Đề thi HSG tỉnh 2013 Quảng Bình lớp 11 môn toán

Chia sẻ: mayin_123

Tham khảo đề thi - kiểm tra 'đề thi hsg tỉnh 2013 quảng bình lớp 11 môn toán', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Nội dung Text: Đề thi HSG tỉnh 2013 Quảng Bình lớp 11 môn toán

SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012- 2013
Môn thi: Toán
ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 27 tháng 3 năm 2013)
SỐ BÁO DANH:…………….. Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)



Câu 1:(3.0 điểm)
 2 x
 x  y  y  10

a) Giải hệ phương trình: 
 x 2  1  2 x  12

 y2
2
b) Giải phương trình:  cos 2 x  cos 4 x   6  2sin 3 x
Câu 2:(2.5 điểm)

a) Tính giới hạn dãy số: lim  n4  n2  1  3 n6  1 
u1  2013
b) Cho dãy số  un  xác định như sau: 
 n 1
un 1  n 1 un  (n  1)
 2013n
Tìm công thức số hạng tổng quát và giới hạn dãy số  un  ?

Câu 3:(2.5 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang cân (AD//BC) và BC=2a,
AB=AD=DC=a (a>0). Mặt bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC
và BD. Biết SD vuông góc với AC.
a) Tính SD.
b) Mặt phẳng (  ) qua điểm M thuộc đoạn OD (M khác O, D) và song song với
hai đường thẳng SD và AC.
Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (  ). Biết MD = x.
Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất.

Câu 4:(2.0 điểm) Cho phương trình: x 4  ax 3  bx 2  cx  d  0
a) Với d  2013 , chứng minh rằng phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
4
b) Với d  1 , giả sử phương trình có nghiệm, chứng minh a 2  b 2  c 2 
3


--------------------HẾT----------------------




SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán
(Khóa ngày 27 tháng 3 năm 2013)
HƯỚNG DẪN CHẤM

(Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang)
yªu cÇu chung
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập
luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.
* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải
sau có liên quan. Ở câu 3 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0.
* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là
0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng
bài.
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.

Câu Nội dung Điểm




Trang: 1 - Đáp án Toán 11
1 1,5 điểm
1
a) ĐK: y  0 . Đặt a  x  1; b 
y 0,25
Ta có hệ phương trình trở thành
 a  b  ab  11  a  b  5 a  b  7  a  2 a  3 0,75
 2 2
  (VN )   
 a  b  13  ab  6 ab  18 b  3 b  2
a  2  1 0,25
TH1:   ( x; y )  1; 
b  3  3
a  3  1 0,25
TH2:   ( x; y )   2; 
b  2  2
2 1,5 điểm
b)  cos 2 x  cos 4 x   6  2sin 3 x
 4sin 2 x sin 2 3 x  6  2sin 3 x
 4(1  sin 2 x sin 2 3 x)  2(1  sin 3 x)  0 0,5
 4 sin 2 x(1  sin 2 3 x)  cos 2 x   2(1  sin 3 x )  0
 
 4(sin 2 x cos 2 3 x  cos 2 x )  2(1  sin 3 x)  0 0,5

sin 3 x  1
 sin 3 x  1 
 sin 2 x cos 2 3 x  0   2  x   k 2 (k  Z ) 0,5
cos 2 x  0 cos x  0 2

2 1,0 điểm
a) lim  
n 4  n2  1  3 n6  1  lim  n4  n 2  1  n 2  ( 3 n6  1  n 2 )  0,25

Ta có:
 1 
 2
  1 2  1
n 1
 
lim n 4  n2  1  n 2  lim 
4 2
 n  n 1  n 
2
  lim 
 1
n
1

 2 0,25
 1 2  4 1
 n n 
1 0,25
lim( 3 n 6  1  n 2 )  lim 0
3
( n6  1) 2  n 2 3 ( n6  1)  n 4
0,25
Do đó lim n 4  n2  1  3 n6  1  1
  2
1,5 điểm
*
b) un  0, n  N 0,25
n 1 n 1 n 1 n 1
un 1  un  n
 un 1  un 
2013 2013n
1
Do đó: u22  u11 
20131
3 2 1
u3  u 2 
20132
Trang: 2 - Đáp án Toán 11
...
n n 1 1
un  un 1 
2013n 1 0,5
n 1
 1 
1  
1 1 1 2013 
Suy ra: unn  u11    ...   
1
2013 2013 2
2013n 1 2012
n 1
 1 
1  
n
un  2013   2013  0,25
2012
n 1
 1 
1 
n 2013 
  n 2014  1  1  ...  1  2014  1  2013 (Cô si)
1  un  2013   0,25
2012 n n
2013  0,25
Mặt khác lim 1 
   1 . Vậy lim un  1
 n 

3 S 2,5 điểm
K


Q

B C T
J
P
0,25
O
M
A N D




Trang: 3 - Đáp án Toán 11
a) Dễ thấy đáy ABCD là nữa hình lục giác đều cạnh a.
Kẻ DT//AC (T thuộc BC). Suy ra CT=AD=a và DT vuông góc SD. 0,25
Ta có: DT=AC= a 3 .
Xét tam giác SCT có SC=2a, CT=a, SCT  1200  ST  a 7 0,25
Xét tam giác vuông SDT có DT= a 3 , ST  a 7  SD  2a 0,25
b) Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD, DC lần lượt tại N,P.
Qua M, N, P kẻ các đường thẳng song song với SD cắt SB, SA, SC lần
lượt tại K, J, Q. Thiết diện là ngũ giác NPQKJ.
Ta có: NJ, MK, PQ cùng vuông góc với NP. 0,25
1 1
dt(NPQKJ)=dt(NMKJ)+dt(MPQK)= ( NJ  MK ) MN  ( MK  PQ )MP
2 2
1 0,25
 ( NJ  MK ).NP (do NJ=PQ).
2
NP MD AC.MD x.a 3
Ta có:   NP    3x
AC OD OD a
3
 a 
2a.   x
NJ AN OM SD.OM  3   2(a  x 3)
   NJ  
SD AD OD OD a
3
KM BM
  KM 
SD.BM 2a. a 3  x
 
2 (a 3  x )
 0,5
SD BD BD a 3 3
1 2 
Suy ra: dt(NPQKJ)=  2(a  x 3)  (a 3  x )  3 x  2(3a  2 3 x) x
2 3 
1 1  2 3 3 2

(3a  2 3x )2 3x  (3a  2 3x )  2 3x   a 0,25
3 4 3  4
3 3 2 3
Diện tích NPQKJ lớn nhất bằng a khi x  a 0,25
4 4




4 1.0 điểm
a) d= -2013
Đặt f ( x)  x 4  ax 3  bx 2  cx  2013 liên tục trên R.
Ta có: f  0   2013  0 0,25
Mặt khác lim f ( x)   , nên tồn tại 2 số   0;   0 sao cho
x 
f ( )  0; f (  )  0 . Do đó f (0). f ( )  0; f (0). f (  )  0 . 0,5
Vậy phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc hai khoảng ( , 0) 0,25
và (0,  )


Trang: 4 - Đáp án Toán 11
1.0 điểm
b) d=1: Gọi x0 là nghiệm của phương trình ( x0  0 )
4 3 2 2 1 1
x0  ax0  bx0  cx0  1  0  b   x0  2  ax0  c 0,25
x0 x0
2
1   2 1 1  2 1
Ta có:  a  b  c  ( x  2  1)  a  c    x0  2  ax0  c   ( x0  2  1)
2 2 2 2
0
2 2

x0   x0 x0   x0
 
2 2
 1 2 1 1  2 1 
  ax0  c  x0  2  ax0  c    x0  2  0,25
 x0 x0 x0   x0 
2
 2 1 
 x0  2 
x0  t2 1
Suy ra:  a  b  c   
2 2 2
 với t  x02  2  2
1
x0  2  1 t  1
2 x0
x0
t2 4
Mặt khác:   3t 2  4t  4  0  (t  2)(3t  2)  0 (đúng do t  2 ). 0,25
t 1 3
4
Vậy a 2  b 2  c 2  .
3
2
Dấu bằng xảy ra khi a  b  c   (ứng với x0  1 ) 0,25
3
2 2
a  c  , b   (ứng với x0  1 )
3 3




Trang: 5 - Đáp án Toán 11
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản