Đề thi HSG Toán 9 - Bình định

Chia sẻ: sonyt707

Bài 1: (3 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên (m, n) sao cho 2n3 – mn2 – 3n2 + 14n – 7m – 5 = 0 Bài 2: (3 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực khác 0 và Chứng minh rằng 1 1 1 + + =0 x y x yz zx xy + + =3 x 2 y2 z2 Bài 3: (3 điểm) Giải hệ phương trình: ⎧ x + y =7 ⎪ ⎨ ⎪ x − 20 + y + 3 = 6 ⎩ Bài 4: (4 điểm) Cho điểm O thuộc miền trong...

Nội dung Text: Đề thi HSG Toán 9 - Bình định

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS – TỈNH BÌNH ĐỊNH
MÔN TOÁN – Thời gian: 150 phút – Ngày 18 – 03 – 2009

Bài 1: (3 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên (m, n) sao cho 2n3 – mn2 – 3n2 + 14n – 7m – 5 = 0

Bài 2: (3 điểm)
1 1 1
Cho x, y, z là 3 số thực khác 0 và + + =0
x y x
yz zx xy
Chứng minh rằng + + =3
x 2 y2 z2
Bài 3: (3 điểm)
Giải hệ phương trình:
⎧ x + y =7


⎪ x − 20 + y + 3 = 6


Bài 4: (4 điểm)
Cho điểm O thuộc miền trong của tam giác ABC. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh
tam giác ABC lần lượt tại G, E, F.
OA OB OC
Chứng minh rằng + + =2
AG BE CF

Bài 5: (4 điểm)
Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên tia tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) lấy
điểm C sao cho AC = AB. Đường thẳng BC cắt đường tròn (O) tại D, M là một điểm
thay đổi trên đoạn AD. Gọi N và P lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống
AB và AC, H là chân đường vuông góc hạ từ N xuống đường thẳng PD.
a) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.
b) Chứng minh rằng khi M thay đổi, HN luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 6: (3 điểm)
1 1 1
Chứng minh: 17 < + +L + < 18
2 3 100




1
GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN LỚP 9 THCS – TỈNH BÌNH ĐỊNH
NĂM HỌC 2008 – 2009

Bài 1.
Tìm tất cả các cặp số nguyên (m, n) sao cho 2n3 – mn2 – 3n2 + 14n – 7m – 5 = 0 (1)
Biến đổi:
(1) 2n3 – 3n2 + 14n – 5 – m(n2 + 7) = 0
2n 3 − 3n 2 +14n − 5 16
⇔m= = 2n − 3 + 2
n +7
2
n +7
Vì m, n ∈ Z, nên (n + 7) ∈ Ư(16), suy ra (n2 + 7) ∈ {8; 16}, do đó n2 ∈ {1; 9}.
2

+) Nếu n2 = 1 thì n = ±1
+) Nếu n2 = 9 thì n = ±3
+ Với n = 1, ta có m = 1
+ Với n = -1, ta có m = -3
+ Với n = 3, ta có m = 4
+ Với n = -3, ta có m = -8.
Vậy ta tìm được 4 cặp giá trị (m, n) ∈ {(1; 1), (-3; -1), (4; 3), (-8; -3)}.

Bài 2.
1 1 1
Cho x, y, z khác 0 thỏa + + =0 .
x y z
yz zx xy
Chứng minh 2 + 2 + 2 = 3
x y z
Trước hết ta chứng minh hằng đẳng thức:
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
1
= (a + b + c)[(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2]
2
Ta có:
(a3 + b3) + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b)– 3abc
= (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b) – 3abc
= (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
1
= (a + b + c)[(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2]
2
Do đó a3 + b3 + c3 – 3abc = 0 khi và chỉ khi: a + b + c = 0 hoặc a = b = c.
1 1 1 1 1 1
Đặt a = , b = ,c = , theo giả thiết + + = 0 nên suy ra a + b + c = 0
x y z x y z
Do đó a + b + c – 3abc = 0 ⇔ a + b3 + c3 = 3abc,
3 3 3 3

1 1 1 3
hoặc 3 + 3 + 3 =
x y z xyz
yz zx xy
Nhân 2 vế của đẳng thức trên cho xyz, ta được 2 + 2 + 2 = 3 (đpcm).
x y z

Bài 3.
Giải hệ phương trình:

2
⎧ x + y =7


⎪ x − 20 + y + 3 = 6

Điều kiện xác định của hệ phương trình là: x ≥ 20, y ≥ 0.
Đặt a = x − 20, b = y + 3 (a ≥ 0, b ≥ 0), suy ra x = a2 + 20, y = b2 – 3.
Hệ phương trình viết lại:
⎧ a 2 + 20 + b 2 − 3 = 7 (1)


⎪a + b = 6(2)

Trong đó, 0 ≤ a ≤ 6, b ≥ 3
Bình phương hai vế của (1) ta có:
a2 + 20 + b2 – 3 + 2 (a 2
+ 20 )( b 2 − 3) = 49 (3)
Thay b = 6 – a vào (3), ta có:
a2 + 20 + (6 – a)2 – 3 + 2 (a 2
+ 20 ) ⎡( 6 − a ) − 3⎤ = 49

2

⇔ a2 + 20 + 36 – 12a + a2 – 3 + 2 (a 2
+ 20 )( a 2 −12a + 33) = 49

⇔ (a 2
+ 20 )( a 2 −12a + 33) = - a2 + 6a – 2 (4)
Bình phương hai vế của (4) với (a – 3)2 ≤ 7, ta có:
(a2 + 20)(a2 – 12a + 33) = (-a2 + 6a – 2)2
⇔ a4 – 12a3 + 53a2 – 240a + 660 = a4 + 36a2 + 4 – 12a3 + 4a2 – 24a
⇔ 13a2 – 216a + 656 = 0
164
⇔ a1 = 4: chọn, a2 = > 6 : loại
13
Với a = 4, ta có b = 2.
Thế lại ẩn cũ:
a = 4 ⇒ x − 20 = 4 ⇔ x = 36
b = 2 ⇒ y+3 = 2 ⇔ y = 1
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm:
x = 36, y = 1.

Bài 4. A
OA OB OC
Chứng minh: + + =2
AG BE CF
Đặt SOAB = S1, SOAC = S2, SOBC = S3 S2 E
Ta có: S1
F
OA S1 S S1 + S2 S +S O
= = 2 = = 1 2 (1)
AG SABG SACG SABG + SACG SABC S3
Lập luận tương tự, ta có: B A C
OB S1 + S3 G
= (2)
BE SABC
OC S2 + S3 E
= (3) S1 S2
CF SABC F
O
Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta có:
S3
B C
G
3
OA OB OC 2(S1 + S2 + S3 ) 2SABC
+ + = = =2 .
AG BE CF SABC SABC

Bài 5.
a) Vị trí của M để diện tích tam giác AHB lớn nhất
Ta có PAN + PHN = 900 + 900 = 1800 nên tứ giác APHN nội tiếp (1)
Tứ giác APMN là hình vuông nên nội tiếp (2) x
Từ (1), (2) ta có 5 điểm A, N, M, P, H
cùng thuộc một đường tròn.
C
Do đó AHM = APM = 900
Mặt khác tứ giác MPCD nội tiếp nên
MPD = MCD (góc nội tiếp cùng chắn cung MD)
Tam giác ABC vuông cân tại A có AD
vừa là đường cao vừa là đường trung trực,
vừa là đường phân giác nên:
D
MB = MC ⇒ ΔMBC cân tại M
H
⇒ MCD = MBD , do đó MPD = MBD (3)
P M
Ta lại có AMB là góc ngoài ΔMBD tại M nên:
AMB = MBD + MDB = MBD + 900 (4)
APH = APM + MPH = 900 + MPD (5)
Từ (3), (4), (5) suy ra: APH = AMB (6) A B
K N O
Vì tứ giác APHM nội tiếp nên:
APH + AMH = 1800 (7)
Từ (6), (7) suy ra:
AMB + AMH = 1800
Do đó ba điểm H, M, B thẳng hàng, nên AHB = 900
Vậy H thuộc đường tròn (O).
E
Suy ra tam giác AHB có diện tích lớn nhất khi độ dài đường cao HK lớn nhất
⇒ HK = R ⇒ H ≡ D ⇒ M ≡ D.
Vậy khi M ≡ D thì SAHB đạt giá trị lớn nhất là R2 (R là bán kính đường tròn (O)).
b) Chứng minh HN luôn đi qua một điểm cố định
Gọi E là giao điểm thứ hai của HN với đường tròn (O).
Ta có AHN = APN = 450. Vì AHB = 900, suy ra NHB = 450.
Do đó HN là tia phân giác của góc AHB , suy ra E là điểm chính giữa của cung AB , nên
điểm E cố định.
Vậy khi M di động trên đoạn thẳng AD thì HN luôn đi qua điểm E cố định là điểm chính giữa
của cung tròn AB của đường tròn (O).



Bài 6.
Chứng minh:
1 1 1
17 < + +L +
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản