ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 3

Chia sẻ: Nguyen Ngoc Son Son | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

0
427
lượt xem
73
download

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 3

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

TÀI LIỆU THAM KHẢO VỀ ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 3.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 3

  1. TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản Đề số: 02 Học phần: Toán cao cấp 3 Ngày thi: Thời gian làm bài: 90 phút. 5 Cho hàm số: z = x + x − 2 xy + y − 6 y 3 2 2 Câu 1: 2 • Tìm cực trị của hàm z. • Tại điểm N (1,2) hàm z sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với trục Ox góc 600. • Tại điểm N đó hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất. Biểu diễn trên hình vẽ. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, dùng tích phân mặt Câu 2: tính khối lượng của tam giác phẳng ABC với A (-2,3,0), B 3 ( 4,0,0) và C (-2,0, ) với hàm mật độ ρ (x,y,z) = y. 2 Trên mặt phẳng hệ toạ độ Oxy chọn ba điểm A (1,-1),B (0,0) và Câu 3: C (1,2). L là đường cong kín theo chiều dương, trong đó: • Đoạn nối A với B có phương trình x = y 2 • Đoạn nối B với C có phương trình y = 2x 2 • Đoạn nối C với A là đường thẳng. ∫ Tính i 3 y (2 x + 1)dx + 2( x + y )dy 2 2 L Kiểm chứng kết qủa thông qua việc sử dụng công thức Green. Giải hệ phương trình vi phân: Câu 4:  y, = 3 y + 2z  , 1  z = − y + z + x.e x  2 với điều kiện: khi x = 0 thì y = 0 và z = 0. Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn
  2. Giảng viên ra đề Đáp án Câu 1: z x = 3 x + 5 x − 2 y = 0 , 2 z ,y = −2 x + 2 y − 6 = 0 ⇒ y = x + 3 Thay vào ta có : 3 x 2 + 5 x − 2 x − 6 = 3 x 2 + 3 x − 6 = 0 ⇒ x 2 + x − 2 = 0 ⇒ x1 = 1, x2 = −2 ⇒ y1 = 4, y2 = 1 Hàm số có 2 điểm tới hạn M 1 = (1, 4), M 2 = (−2,1) M 1 = (1, 4) M 2 = (−2,1) z = 6 x + 5 =r ,, 11 -7 xx z = −2 =s ,, -2 -2 xy z ,, = 2 =t 2 2 yy 4-22<0 4+14>0 s − rt 2 r=11 hsố đạt cực tiểu không cực trị zx ( N ) = 3 + 5 − 4 = 4 , 2. y N 2 z ( N ) = −2 + 4 − 6 = −4 , y ∂z 31 x 5 = 4 cos 600 − 4 cos 300 = 4(− + )<0 ∂l 22 -2 Vậy hàm số sẽ giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với trục Ox một góc 600 . 3. Hướng thay đổi nhanh nhất 4i-4j. z Câu 2: + Vẽ hình 3 C Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng ABC. 2   C A  x + 2 y −3 z÷ y 1 -2 -1 2  ÷ 1 9 −3 0 ÷ = 0 ⇔ − ( x + 2) − 9( y − 3) − 18 z = 0 2 6 -1 2  3÷ B 0 −3 ÷ x  2 xy ⇔ + + z =1 42 Bước 2: Đưa tích phân mặt về tích phân bội 2 bằng cách chiếu xuống mặt phẳng Oxy. Khi đó ta có:
  3. m = ∫∫ yds = ∫∫ y 1 + ( z x ) 2 + ( z ,y ) 2 dxdy y , A S D 2 −1 2 −1 2 21 m = ∫∫ y 1 + ( 4 ∫∫ ) + ( ) dxdy = ydxdy 4 2 C B x 5 D D Tính tích phân này có 2 cách: −x y= +2 4 2 21 21 ∫ dx ∫ Cách 1: ydy = 9. 4 −2 4 y =0 x =−2 y + 4 3 21 21 4∫ ∫ ydx = 9. dy Cách 2: 4 x =−2 0 Câu 3: i =∫ + ∫ ∫ ∫ + L BA AC CB 1.Trên đoạn BA: x = y 2 , y : 0 → −1 ∫ 3 y(2 x + 1)dx + 2( x + y 2 )dy 2 C 2 BA −1 = ∫ [3 y (2 y 2 + 1)2 y + 2( y 4 + y 2 )]dy 0 −1 = ∫ [(6y3 + 3 y ).2 y + 2 y 4 + 2 y 2 ]dy B 0 −1 = ∫ (2y 4 + 2 y 2 + 12 y 4 + 6 y 2 )dy A 0 14 5 8 3 −1 −14 8 −82 −1 = ∫ (14y 4 + 8 y 2 )dy = ( y + y) = −= -2 0 5 3 5 3 15 0 2. Trên đoạn AC: x = 1, y : −1 → 2 2 2 2 ∫ 3 y(2 x + 1)dx + 2( x + y ) dy = ∫ 2(1 + y 2 ) dy = (2 y + y 3 ) = 12 2 2 −1 3 −1 AC 3. Trên đoạn CB: y = 2 x 2 , x :1 → 0
  4. 0 0 ∫ 3 y(2 x + 1)dx + 2( x + y ) dy = ∫ [(6x (2 x + 1) + 2( x + 4 x ).4x]dx = ∫ (12x 3 + 6 x 2 + 8 x 3 + 32 x 5 )dx 2 2 2 2 4 CB 1 1 0 0 32 6 37 = ∫ (32x 5 + 20 x 3 + 6 x 2 )dx =( x + 5 x 4 + 2 x3 ) = − 1 6 3 1 −82 37 29 ∫ i 3 y (2 x + 1)dx + 2( x 2 + y 2 )dy = + 12 − =− . Vậy 15 3 5 L Dùng công thức Green: Q = 2( x 2 + y 2 ) , P = 3 y (2 x + 1) ∂Q ∂P − = − 6 x − 3 + 4 x = −2 x − 3 ∂x ∂y y = x2 1 − ∫∫ (2 x + 3)dxdy = − ∫ dx ∫ (2 x + 3)dy y =− x D 0 1 1 4 52 3 = − ∫ (2 x + 3)(2 x 2 + x )dx = −( x 4 + 2 x 3 + x + 2x 2 ) 0 5 0 −29 4 = −(1 + 2 + + 2) = 5 5 Câu 4: Bước 1: Khử y ,, = 3 y , + 2 z , = 3 y , + (− y + 2 z + 2 xe x ) = 3 y , − y + y , − 3 y + 2 xe x ⇔ y ,, − 4 y , + 4 y = 2 xe x . Bước 2: Phương trình thuần nhất y ,, − 4 y , + 4 y = 0 Phương trình đặc trưng λ − 4λ + 4 = 0 ⇔ λ1 = λ2 = 2 2 Nghiệm riêng y1 = e , y2 = xe 2x 2x Nghiệm tổng quát y = c1e + c2 xe x 2x Bước 3: Phương trình không thuần nhất y ,, − 4 y , + 4 y = 2 xe x . Tìm nghiệm bằng phương pháp biến thiên hằng số: C1'e 2 x + C2 xe 2 x = 0 C1' e 2 x + C2 xe2 x = 0 ' '   ⇔  ' 2x ⇔ C2e 2 x = 2 xe 2 x '  ' 2x ' C1 (e ) + C2 ( xe ) = 0 2C1e + C2 (e + 2 xe ) = 0 ' 2x ' ' 2x 2x   C2 = 2 xe − x dx + C2 ∫ * C2 = 2 xe − x  −x C2 = −2( x + 1)e + C2 ' *   ⇔ ' ⇔ ⇔ C1 = − ∫ x e dx + C1 −x C1 = − xC2 C1 = (− x + 2 x + 2)e + C1 ' 2 * 2 −x *    Nghiệm tổng quát phương trình không thuần nhất:
  5. y=[(− x 2 + 2 x + 2)e − x + C1* ]e2 x + [ − 2( x + 1)e − x + C2 ]xe 2 x = −(3 x 2 + 4 x + 2)e x + C1*e 2 x + C2 xe 2 x * * Thay vào tìm z z = (6 x 2 + 2 x)e x − C1*e 2 x + C2 e 2 x − C2 xe 2 x = (6 x 2 + 2 x )e x − (C1* − C2 )e 2 x − C2 xe 2 x * * * * Bước 4: Thay điều kiện vào tìm C1* , C2* ta được C1* = 2, C2 = 2 *  y = −(3 x 2 + 4 x + 2)e x + 2( x + 1)e 2 x  Vậy   z = (6 x + 2 x)e − 2 xe 2 x 2x  Thang điểm Câu 1: z x = 3x 2 + 5x − 2 y = 0 , (1.5d) z ,y = −2 x + 2 y − 6 = 0 ⇒ y = x + 3 ⇒ 3x 2 + 5 x − 2 x − 6 = 3x 2 + 3x − 6 = 0 0.5 ⇒ x 2 + x − 2 = 0 ⇒ x1 = 1, x2 = −2 ⇒ y1 = 4, y2 = 1 tại M 1 = (1, 4) cực tiểu 0.5 tại M 2 = (−2,1) hàm số không đạt cực trị z (N ) = 3 + 5 − 4 = 4 , x z ,y ( N ) = −2 + 4 − 6 = −4 ∂z 31 = 4 cos 600 − 4 cos 300 = 4(− + )<0 0.25 ∂l 22 hướng thay đổi nhanh nhất 4i-4j 0.25 Câu 2: Vẽ hình 0.25 (2.75đ Lập phương trình mặt phẳng ABC 1.0 ) Lập bài toán tính: 0.5 m = ∫∫ yds = ∫∫ y 1 + ( z x ) 2 + ( z ,y ) 2 dxdy , S D −1 2 −1 2 21 m = ∫∫ y 1 + ( 4 ∫∫ ) + ( ) dxdy = ydxdy 1.0 4 2 D D Vẽ hình: Câu 3: 0.25 (3.25đ) ∫ 3 y(2 x + 1)dx + 2( x + y )dy 2 2 BA −1 −82 0.5 = ∫ [3 y (2 y 2 + 1)2 y + 2( y 4 + y 2 )]dy = 15 0
  6. ∫ 3 y(2 x + 1)dx + 2( x 0.5 + y 2 )dy = 12 2 AC ∫ 3 y(2 x + 1)dx + 2( x + y 2 ) dy 2 CB 0 0.5 −37 = ∫ [(6x 2 (2 x + 1) + 2( x 2 + 4 x 4 ).4x]dx = 3 1 Lập biểu thức theo công thức Green − ∫∫ (2 x + 3) dxdy = D 0.5 y = x2 1 = − ∫ dx ∫ (2 x + 3)dy y =− x 0 −29 = 1 5 Câu 4: (2.5) 0.5 Phép khử ⇔ y ,, − 4 y , + 4 y = 2 xe x 0.5 Phương trình thuần nhất y ,, − 4 y , + 4 y = 0 Phương trình đặc trưng λ − 4λ + 4 = 0 ⇔ λ1 = λ2 = 2 2 Nghiệm tổng quát y = c1e + c2 xe x 2x 0.5 C2 = −2( x + 1)e − x + C2 *  Tim ra  0.5 −x C1 = (− x + 2 x + 2)e + C1 2 *  0.25 C1* = 2, C2 = 2 * 0.25  y = −(3 x + 4 x + 2)e + 2( x + 1)e 2 x 2x    z = (6 x + 2 x)e − 2 xe 2 x 2x 
Đồng bộ tài khoản