ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN LẦN THỨ XVIII (2010) MÔN GIẢI TÍCH

Chia sẻ: nguyenxuantu9x

HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN LẦN THỨ XVIII (2010) Đề thi môn : Giải tích Thời gian làm bài : 180 phút Câu 1.Cho hàm số ( ) ln( f x = x +1) . a) Chứng minh rằng với mọi x 0 ,tồn tại duy nhất số thực c thỏa mãn điều kiện f (x) = xf '(c) mà ta kí hiệu là c(x) .

Nội dung Text: ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN LẦN THỨ XVIII (2010) MÔN GIẢI TÍCH

 

  1. HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN LẦN THỨ XVIII (2010) Đề thi môn : Giải tích Thời gian làm bài : 180 phút Câu 1.Cho hàm số f ( x) = ln( x + 1) . a) Chứng minh rằng với mọi x > 0 ,tồn tại duy nhất số thực c thỏa mãn điều kiện f ( x) = xf '(c) mà ta kí hiệu là c( x) . c( x) b) Tìm lim . + x ®0 x Câu 2.Cho dãy số {xn } được xác định bởi: x1 = 1, x n +1 = xn (1 + xn 010 ), n ³ 1 . 2 Tìm æ x 2010 x 2010 x 2010 ö lim ç 1 + 2 + ... + n ÷ n ®¥ è x2 xn+1 ø x3 Câu 3.Cho a Î ¡ và hàm số f ( x) khả vi trên [0, ¥) thỏa mãn các điều kiện f (0) ³ 0 và f '( x) + af ( x) ³ 0, "x Î [0, ¥) . Chứng minh rằng f ( x) ³ 0, "x ³ 0 . Câu 4. Cho hàm f ( x) khả vi liên tục trên [0,1] .Giả sử rằng 1 1 ò f ( x)dx = ò xf ( x )dx = 1. 0 0 Chứng minh rằng tồn tại c Î (0,1) sao cho f '(c) = 6 . P '(-1) n Câu 5. Cho đa thức P( x) bậc n với hệ số thực sao cho P(-1) ¹ 0 và - £. P(-1) 2 Chứng minh rằng P( x) có ít nhất một nghiệm x0 với | x0 | ³ 1 . Câu 6. Chọn một trong hai câu sau: 6a. Tìm tất cả các hàm số dương f ( x) khả vi liên tục trên [0,1] thỏa mãn các điều kiện f (1) = ef (0) và 2 æ f '( x) ö 1 ò ç f ( x) ÷ dx £ 1 . 0è ø 6b. Tìm tất cả các hàm f ( x) liên tục trên ¡ và thỏa mãn các điều kiện f (1) = 2010 , f ( x + y ) = 2010 x f ( y ) + 2010 y f ( x), "x, y Î ¡ . _______________________________________________________________________ Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản