đề thi thử đại học Toán 2010 - trường THPT chuyên ĐHSP HN

Chia sẻ: anhkhoa_lpt

TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP HÀ NỘI Đề số 17 I. PHẦN CHUNG (7 điểm) ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = 2 x 3 + 9mx 2 + 12m 2 x + 1 (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1. 2) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT...

Nội dung Text: đề thi thử đại học Toán 2010 - trường THPT chuyên ĐHSP HN

 

  1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 HÀ NỘI Môn thi: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Đề số 17 I. PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = 2 x 3 + 9mx 2 + 12m 2 x + 1 (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1. 2) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x 2CÑ = xCT . Câu II (2 điểm): x + 1 +1 = 4 x 2 + 3 x 1) Giải phương trình: æ 5p æ pö ö 5cos ç 2 x + ÷ = 4sin ç - x÷ – 9 2) Giải hệ phương trình: 3ø è6 è ø x ln( x 2 + 1) + x 3 f ( x) = Câu III (1 điểm): Tìm họ nguyên hàm của hàm số: x2 + 1 Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có SA = x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a. Chứng minh rằng đường a3 2 thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC). Tìm x theo a để thể tích của khối chóp S.ABCD bằng . 6 3 öæ 3ö æ 1 öæ 1ö æ Câu V (1 điểm): Cho các số thực không âm a, b. Chứng minh rằng: ç a2 + b + ÷ ç b2 + a + ÷ ³ ç 2a + ÷ç 2b + ÷ 4 øè 4ø è 2 øè 2ø è II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d1 : 2 x + y – 3 = 0 , d2 : 3 x + 4 y + 5 = 0 , d3 : 4 x + 3 y + 2 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d1 và tiếp xúc với d2 và d3. x-2 y z+2 == 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2; –1), đường thẳ ng (D): và mặt phẳng 1 3 2 (P): 2 x + y - z + 1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt đường thẳng (D) và song song với (P). Câu VII.a (1 điểm): Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1? 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): 2 x + my + 1 - 2 = 0 và đường tròn có phương 1) Trong mặt phẳ ng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : trình (C ) : x + y - 2 x + 4 y - 4 = 0 . Gọi I là tâm đường tròn (C ) . Tìm m sao cho (d ) cắt (C ) tại hai điểm 2 2 phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IAB lớn nhất và tính giá trị đó. 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm S(0;0;1), A(1;1;0). Hai điểm M(m; 0; 0), N(0; n; 0) thay đổi sao cho m + n = 1 và m > 0, n > 0. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN). Từ đó suy ra mặt phẳng (SMN) tiếp xúc với một mặt cầu cố định. x +1 ( 4 x – 2.2 x – 3 ) .log2 x – 3 > 4 2 - 4 x Câu VII.b (1 điểm): Giải bất phương trình: ============================ Trần Sĩ Tùng
  2. Hướng dẫn: I. PHẦN CHUNG Câu I: 2) y¢ = 6 x 2 + 18mx + 12 m 2 = 6( x 2 + 3mx + 2m 2 ) Hàm số có CĐ và CT Û y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 Û D = m 2 > 0 Û m ¹ 0 1 ( -3m - m ) , x2 = 1 ( -3m + m ) . Dựa vào bảng xét dấu y¢ suy ra xCÑ = x1 , xCT = x2 Khi đó: x1 = 2 2 2 æ -3m - m ö -3m + m 2 Û m = -2 ÷= Do đó: x = xCT Ûç CÑ 2 2 è ø 2x -1 Câu II: 1) Điều kiện x ³ 0 . PT Û 4 x 2 - 1 + 3 x - x + 1 = 0 Û (2 x + 1)(2 x - 1) + =0 3x + x + 1 1 1 æ ö Û (2 x - 1) ç 2 x + 1 + ÷ = 0 Û 2x -1 = 0 Û x = . 2 3x + x + 1 ø è 2æ pö æ pö æ pö p 2) PT Û 10 sin ç x + ÷ + 4 sin ç x + ÷ - 14 = 0 Û sin ç x + ÷ = 1 Û x = + k 2p . 6ø 6ø 6ø 3 è è è x ln( x 2 + 1) x( x 2 + 1) - x x ln( x 2 + 1) x Câu III: Ta có: f ( x ) = + x- + = 2 2 2 2 x +1 x +1 x +1 x +1 1 1 2 2 2 Þ F ( x ) = ò f ( x )dx = ò ln( x + 1)d ( x + 1) + ò xdx - ò d ln( x + 1) 2 2 1 1 1 = ln 2 ( x 2 + 1) + x 2 - ln( x 2 + 1) + C . 4 2 2 Câu IV: Do B và D cách đều S, A, C nên BD ^ (SAC). Gọi O là tâm của đáy ABCD. Các tam giác ABD, BCD, SBD là các tam giác cân bằng nhau và có đáy BD chung nên OA = OC = OS. Do đó DASC vuông tại S. a2 + x 2 1 1 1 1 Ta có: VS. ABCD = 2VS. ABC = 2. BO.SA.SC = ax . AB2 - OA2 = ax a2 - = ax 3a2 - x 2 3 6 3 4 6 a3 2 a3 2 1 éx = a Û ax 3a 2 - x 2 = Do đó: VS . ABCD = Ûê . 6 6 6 ëx = a 2 2 3 1 1æ 1ö 1 1 Câu V: Ta có: a2 + b + = a2 - a + + b + a + = ç a - ÷ + a + b + ³ a + b + 4 4 2è 2ø 2 2 3 1 Tương tự: b2 + a + ³ a + b + . 4 2 2 1ö æ 1 öæ 1ö æ Ta sẽ chứng minh ç a + b + ÷ ³ ç 2 a + ÷ç (2b + ÷ (*) 2ø è 2 øè 2ø è 1 1 Thật vậy, (*) Û a2 + b2 + 2ab + a + b + ³ 4ab + a + b + Û (a - b)2 ³ 0 . 4 4 1 Dấu "=" xảy ra Û a = b = . 2 II. PHẦN TỰ CHỌN 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a: 1) Gọi tâm đường tròn là I (t;3 - 2t ) Î d1. 3t + 4(3 - 2t ) + 5 4t + 3(3 - 2t ) + 2 ét = 2 Khi đó: d ( I , d2 ) = d ( I , d3 ) Û = Ûê ët = 4 5 5 9 49 Vậy có 2 đường tròn thoả mãn: ( x - 2)2 + ( y + 1)2 = và ( x - 4)2 + ( y + 5)2 = . 25 25 ìx = 2 + t r x-2 y z+2 ï == Û í y = 3t . (P) có VTPT n = (2;1; -1) . 2) (D) : 1 3 2 ï z = -2 + 2t î Trần Sĩ Tùng
  3. Gọi I là giao điểm của (D) và đường thẳng d cần tìm Þ I (2 + t;3t; -2 + 2t ) uur Þ AI = (1 + t ,3t - 2, -1 + 2t ) là VTCP của d. uur uur r 1 Do d song song mặt phẳng (P) Û AI .n = 0 Û 3t + 1 = 0 Û t = - Þ 3 AI = ( 2; -9; -5 ) . 3 x -1 y - 2 z +1 = = Vậy phương trình đường thẳng d là: . -9 -5 2 Câu VII.a: Gọi số cần tìm là: x= x = a1a2 a3 a4 a5 a6 . Vì không có mặt chữ số 1 nên còn 9 chữ số 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 để thành lập số cần tìm. Vì phải có mặt chữ số 0 và a1 ¹ 0 nên số cách xếp cho chữ số 0 là 5 cách. 5 Số cách xếp cho 5 vị trí còn lạ i là : A8 . 5 Vậy số các số cần tìm là: 5. A8 = 33.600 (số) 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: 1) (C ) có tâm I (1; –2) và bán kính R = 3. 2 - 2m + 1 - 2 < 3 2 + m 2 (d) cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt A, B Û d ( I , d ) < R Û Û 1 - 4m + 4m2 < 18 + 9m2 Û 5m2 + 4m + 17 > 0 Û m Î R 1 1 9 = IA.IB sin · £ IA.IB = Ta có: S AIB IAB 2 2 2 32 9 khi · = 900 Û AB = R 2 = 3 2 Û d ( I , d ) = Vậy: S AIB lớn nhất là IAB 2 2 32 2 + m 2 Û 16m2 - 16m + 4 = 36 + 18m2 Û 2m 2 + 16m + 32 = 0 Û m = -4 Û 1 - 2m = uuur 2 uuu r r 2) Ta có: SM = (m;0; -1), SN = (0; n; -1) Þ VTPT của (SMN) là n = (n; m; mn) Phương trình mặt phẳng (SMN): nx + my + mnz - mn = 0 n + m - mn 1 - m.n 1 - mn Ta có: d(A,(SMN)) = = = =1 2 n 2 1 - mn 2 + m 2 + m2 n2 1 - 2mn + m n Suy ra (SMN) tiếp xúc mặt cầu tâm A bán kính R=1 cố định. Câu VII.b: BPT Û (4 x - 2.2 x - 3).log2 x - 3 > 2 x +1 - 4 x Û (4 x - 2.2 x - 3).(log2 x + 1) > 0 é ì x > log2 3 êï é ì22 x - 2.2 x - 3 > 0 é ì2 x > 3 êï x > 1 í êí êí é x > log2 3 log2 x + 1 > 0 log2 x > -1 2 Û êî Û êî Û êî Ûê 1 ê ì x < log 3 ê ì22 x - 2.2 x - 3 < 0 ê ì2 x < 3 ê0 < x < 2 êï 2 êí êí ë ê í0 < x < 1 ë îlog2 x + 1 < 0 ê îlog2 x < -1 ê ë êï 2 ëî ===================== Trần Sĩ Tùng
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản