Đề thi toán khối D đại học năm 2008

Chia sẻ: congbien

Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2008. Môn thi Toán, khối D. Tài liệu giúp các bạn tham khảo

Nội dung Text: Đề thi toán khối D đại học năm 2008

0ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2008
Môn thi : TOÁN, khối D

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 4 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I (1;2) với hệ số góc k (k > - 3) đều cắt
đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn
thẳng AB.
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình 2sinx(1+cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx

 xy + x + y = x − 2y
2 2

2. Giải hệ phương trình  (x, y ∈ ¡ )
 x 2y − y x − 1 = 2x − 2y

Câu III (2 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3)
1. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.
2. Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu IV (2 điểm)
2
ln x
1. Tính tích phân I = ∫ 3 dx
1
x
2. Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
(x − y)(1 − xy)
biểu thức P =
(1 + x) 2 (1 + y) 2

PHẦN RIÊNG ------ Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu : V.a hoặc V.b -------
Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm)
2n −1
1. Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức C2n + C2n + ... + C2n = 2048 (C n là số tổ hợp
1 3 k


chập k của n phần tử)
2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P) : y2 = 16x và điểm A(1; 4). Hai
·
điểm phân biệt B, C (B và C khác A) di động trên (P) sao cho góc BAC = 900. Chứng minh
rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định.
Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 điểm)
x 2 − 3x + 2
1. Giải bất phương trình log 1 ≥0
2
x
2. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên
AA ' = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C.
------------
BÀI GIẢI GỢI Ý

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm)
1. D = R
y' = 3x2 - 6x = 3x(x - 2), y' = 0 ⇔ x = 0, x = 2 4
y" = 6x - 6, y" = 0 ⇔ x = 1
x -∞ 0 1 2 +∞
y' + 0 - - 0 + 2 I
y" - - 0 + +
y 4 2 0 +∞
0 1 2
-∞
2. d : y - 2 = k(x - 1) ⇔ y = kx - k + 2
Pthđgđ : x3 - 3x2 + 4 = kx - k + 2 ⇔ x3 - 3x2 - kx + k + 2 = 0
⇔ (x - 1)(x2 - 2x - k - 2) = 0 ⇔ x = 1 ∨g(x) = x2 - 2x - k - 2 = 0
Vì ∆' > 0 và g(1) ≠ 0 (do k > - 3) và x1 + x2 = 2xI nên có đpcm.
Câu II (2 điểm)
1. Pt ⇔ 4sinxcos2x + 2sinxcosx - 1 - 2cosx = 0 ⇔ 2cosx(2sinxcosx - 1) + (2sinxcosx - 1) = 0
1
⇔ (2sinxcosx - 1)(2cosx + 1) = 0 ⇔ sin2x = 1 ∨cosx = −
2
π 2π
⇔ x = + kπ ∨ x = ± + k2 π (k ∈ ¢ )
4 3
2. ĐK: x ≥ 1 và y ≥ 0
xy + x + y = x 2 − 2y 2 ⇔ (x + y)(x - 2y - 1) = 0 ⇔ x = - y ∨ x = 2y + 1
* Th.1 : x = - y . Vì y ≥ 0 nên x ≤ 0 (loại vì x ≥ 1)
* Th.2 : x = 2y + 1 thế vào pt x 2y − y x − 1 = 2x − 2y ta được :
(2y + 1) 2y − y 2y = 2y + 2 ⇔ (y + 1)( 2y − 2) = 0 ⇔ y = - 1 (loại) ∨ y = 2.
Vậy hệ có 1 nghiệm : x = 5; y = 2.

Câu III (2 điểm)
1. Pt mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0
(S) đi qua A, B, C, D ⇔ 18 - 6a - 6b + d = 0 và 18 - 6a - 6c + d = 0 và 18 - 6b - 6c + d = 0 và
3 3 3
27 - 6a - 6b - 6c + d = 0 ⇔ a = ; b = ;c = ;d = 0 .
2 2 2
Vậy pt (S) : x + y + z - 3x - 3y - 3z =r0uuu
2 2 2
uuu r
2. mp (ABC) đi qua A và có VTPT là [AB, AC] = (-9;-9;-9) nên có pt x + y + z - 6 = 0
 3 3 3 3 3 3
d đi qua tâm I  ; ;  của (S) và ⊥ với mp (ABC) có pt : x = + t, y = + t, z = + t.
2 2 2 2 2 2
Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC chính là giao điểm H của d và mp(ABC) ⇒ H (2; 2; 2).

Câu IV (2 điểm)
dx dx 1
1. Đặt u = ln x ⇒ du = , dv = 3 chọn v = − 2
x x 2x
2
1 1 1 3
I = − 2 ln x 1 + ∫ 3 dx = − ln 2 +
2

2x 1
2x 8 16
π
2. Đặt x = tgu, y = tgv với u, v ∈ [0; ) .
2
(tgu − tgv)(1 − tgutgv) sin(u − v) cos(u + v) 1 sin 2u − sin 2v
P= = 2 =
(1 + tgu) (1 + tgv)
2 2
(sin u + cos u) (sin v + cos v)
2
2 (1 + sin 2u)(1 + s in2v)
1 1 1 
=  − 
2  1 + s in2v 1 + s in2u 
1 1 1  1 π
Pmax =  −  = khi u = và v = 0 ⇔ x = 1 và y = 0
2 1+ 0 1+1 4 4
1 1 1  1 π
Pmin =  −  = − khi u = 0 và v = ⇔ x = 0 và y = 1
2 1+1 1+ 0  4 4
Cách khác :
x − x 2 y − y + xy 2 x(1 + y 2 ) − y(1 + x 2 ) x(1 + 2y + y 2 ) − y(1 + 2x + x 2 )
P= = =
(1 + x) 2 (1 + y) 2 (1 + x) 2 (1 + y) 2 (1 + x)2 (1 + y) 2
x y a 1
= − 2 , mà
0≤ ≤ (∀a ≥ 0)
(1 + x) (1 + y)
2
(1 + a) 2
4
1 1
nên : Pmax = khi x = 1 ; y = 0 và Pmin = − khi x = 0 ; y = 1.
4 4

PHẦN RIÊNG ------ Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu : V.a hoặc V.b -------
Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm)
1. (1 + x) 2n = C0 + xC1 + x 2C2 + x 3C3 + ... + x 2n −1C2n −1 + x 2nC2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n

x=1: 22n = C0 + C1 + C2 + C3 + ... + C2n −1 + C2n (1)
2n 2n 2n 2n 2n 2n
2n −1
x = - 1 : 0 = C2n − C2n + C2n − C2n + ... − C2n + C2n (2)
0 1 2 3 2n

2n −1
(1) - (2) : 2 = 2(C2n + C2n + ... + C2n ) = 4096 = 2 ⇔ n = 6.
2n 1 3 12


 b2   c2 
2. B, C ∈ (P) ⇒ B  ; b  , C  ;c  (b ≠ c, b ≠ 4, c ≠ 4)
 16   16 
uuu  b 2
r  uuu  c 2
r 
AB =  − 1; b − 4  , AC =  − 1;c − 4 
 16   16 
uuu uuu
r r −272 − bc bc
AB ⊥ AC ⇔ AB.AC = 0 ⇔ (b + 4)(c + 4) + 256 = 0 ⇔ b + c = = −(68 + )
4 4
b 2
 uuu c − b
r
BC qua B  ; b  có 1 vtcp : BC = (c + b;16) .
 16  16
Nên có pt BC :
b2 y
16(x − ) − (b + c)(y − b) = 0 ⇔ 16x − (b + c)y + bc = 0 ⇔ 4(4x + 17y) + bc( + 1) = 0
16 4
y
BC luôn qua điểm cố định thoả : 4x + 17y = 0 và + 1 = 0 ⇔ x = 17 và y = - 4.
4
Vậy BC luôn qua I (17, -4) cố định.
Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 điểm)
x 2 − 3x + 2 x 2 − 3x + 2 x 2 − 4x + 2 B/ C/
1. Bpt ⇔ 0 < ≤1 ⇔ > 0 và ≤0
x x x
⇔ 2 − 2 ≤ x < 1 hay 2 < x ≤ 2 + 2 2
A/ N
1 2
2. Thể tích V=Sh= = a.a.a 2 = a 3
(đvtt)
2 2 H M
Gọi N là trung điểm BB/ B C
K
Ta có : d(B’C, AM) = d(B’, (AMN)) = d(B, (AMN)) (vì N là trung điểm BB’)
= BH với H là hình chiếu của B lên mp (AMN)
1 1 1 1 1 4 2 7 a
Ta có : 2
= 2
+ 2
+ 2
= 2 + 2 + 2 = 2 ⇒ BH =
BH BA BM BN a a a a 7
Lê Ngô Thiện
(ĐH Sư Phạm – TP.HCM)
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản