Đề thi toán quốc gia bảng A năm 2003

Chia sẻ: Nguyễn Xuân Anh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:2

0
154
lượt xem
43
download

Đề thi toán quốc gia bảng A năm 2003

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo về đề thi học sinh giỏi môn toán quốc gia năm học 2002-2003 môn Toán Bảng A.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi toán quốc gia bảng A năm 2003

  1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003 MÔN: TOÁN (Bảng A) Ngày thi : 12/3/2003 Bài 1 : Cho hàm số f xác định trên tập hợp số thực R, lấy giá trị trên R và thoả mãn điều kiện : f(cotgx) = sin2x + cos2x với mọi x thuộc khoảng (0; π ). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : g(x) = f(x).f(1-x) trên đoạn [-1;1] Bài 2 : Trong mặt phẳng , cho hai đường tròn cố định (O 1 ) và (O 2 ) tiếp xúc với nhau tại điểm M , và bán kính của đường tròn (O 2 ) lớn hơn bán kính của đường tròn (O 1 ). Xét điểm A nằm trên đường tròn (O 2 ) sao cho 3 điểm O 1 ,O 2 ,A không thẳng hàng . Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O 1 ) (B và C là các tiếp điểm) . Các đường thẳng MB và MC cắt lại đường tròn (O 2 ),tương ứng, tại E và F . Gọi D là giao điểm của đường thẳng EF và tiếp tuyến tại A của đường tròn (O 2 ) . Chứng minh rằng điểm D di động trên một đường thẳng cố định , khi A di động trên đường tròn (O 2 ) sao cho ba điểm O 1 ,O 2 ,A không thẳng hàng . ( (O) kí hiệu đường tròn tâm O) Bài 3 : Với mỗi số nguyên n>1 , kí hiệu s n là số các hoàn vị (a 1 ,a 2 ,….,a n ) của n số nguyên dương đầu tiên , mà mỗi hoán vị (a 1 ,a 2 ,…., a n ) đều có tính chất 1 ≤ |a k - k| ≤ 2 với mọi k = 1,2,3,…,n. Chứng minh rằng : 1,75.s n−1 < s n < 2.s n+1 với mọi số nguyên n >6 ------------------------------------------------
  2. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003 MÔN: TOÁN (Bảng A) Ngày thi : 13/3/2003 Bài 4 : Hãy tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho hệ phương trình : 2 2 (x+1) 2 + y 12 = (x+2) 2 + y 2 = … = (x+k) 2 + y k = … = (x+n) 2 + y n 2 có nghiệm nguyên (x,y 1 ,y 2 ,….,y n ) Bài 5 : Cho hai đa thức : P(x) = 4x 3 - 2x 2 - 15x + 9 và Q(x) = 12x 3 + 6x 2 - 7x + 1 1/ Chứng minh rằng mỗi đa thức đã cho đều có ba nghiệm thực phân biệt 2/ Kí hiệu α và β tương ứng là nghiệm lớn nhất của P(x) và Q(x) . Chứng minh rằng: α 2 + 3β 2 = 4 Bài 6 : Cho tập hợp F gồm tất cả các hàm số f : R + → R + thoả mãn điều kiện: f(3x) ≥ f(f(2x)) + x với mọi số thực dương x. Hãy tìm số thực α lớn nhất sao cho với mọi hàm số f thuộc tập hợp F ta đều có : f(x) ≥ α với mọi số thực dương x. ( R + kí hiệu tập hợp các số thực dương). --------------------------------------

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản