Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2015-2016 - Trường ĐH SP Hà Nội

Chia sẻ: Tuyensinhlop10 Hoc247 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

0
14
lượt xem
1
download

Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2015-2016 - Trường ĐH SP Hà Nội

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn học sinh và quý thầy cô tham khảo tài liệu Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2015-2016 - Trường ĐH SP Hà Nội nhằm giúp các em hệ thống lại kiến thức cũng như giúp thầy cô có thêm kiến thức truyền đạt cho các em trước khi bước vào kì thi tuyển sinh sắp tới.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2015-2016 - Trường ĐH SP Hà Nội

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> Trường Đại học Sư phạm Hà Nội<br /> <br /> CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM<br /> Độc lập – Tự do – Hạnh phúc<br /> <br /> ĐỀ THI TUYỂN SINH<br /> VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2015<br /> Môn thi :TOÁN<br /> (Dùng cho mọi thí sinh vào trường chuyên)<br /> Thời gian làm bài 120 phút<br /> 2<br /> <br />  a b  1 1 <br />    1  <br /> b a  a b <br /> Câu 1. (2.5 điểm) Cho biểu thức P   2<br /> với a > 0, b > 0 a  b<br /> a b2  a b <br />    <br /> b2 a 2  b a <br /> 1<br /> 1. Chứng minh p <br /> .<br /> ab<br /> 2. Giả sử a, b thay đổi sao cho 4a  b  ab  1 . Tìm min P.<br /> Câu 2. (2 điểm) cho hệ phương trình.<br />  x  my  2  4m<br /> <br /> mx  y  3m  1<br /> Với m là tham số<br /> 1. Giải phương trình khi m = 2.<br /> 2. Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử (x0, y0) là một nghiệm của của hệ<br /> 2<br /> 2<br /> phương trình. Chứng minh đẳng thức x0  y0  5  x0  y0   10  0 .<br /> Câu 3. (1.5 điểm)<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> Cho a, b là các số thực khác 0. Biết rằng phương trình a  x  a   b  x  b   0<br /> Có nghiệm duy nhất. Chứng minh a  b<br /> Câu 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC có các góc ABC và góc ACB nhọn góc BAC = 600 . Các<br /> đường phân giác trong BB1, CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại I.<br /> 1. Chứng minh tứ giác AB1IC1 nội tiếp.<br /> 2. Gọi K là giao điểm thứ hai khác B của đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác<br /> BC1I. Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp.<br /> 3. Chứng minh AK  B1C1 .<br /> Câu 5. (1 điểm) Tìm các số thực không âm a và b thỏa mãn:<br /> 3  2<br /> 3 <br /> 1 <br /> 1<br />  2<br />  a  b    b  a     2a    2b  <br /> 4 <br /> 4 <br /> 2 <br /> 2<br /> <br /> <br /> Hướng dẫn giải<br /> Câu 1 (2.5 điểm)<br /> 2<br /> <br />  a b  1 1 <br />    1  <br /> b a  a b <br /> 1. Cho biểu thức P   2<br /> với a>0 , b>0 a  b<br /> a b2  a b <br />    <br /> b2 a 2  b a <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br />  a 2  b 2  ab   a  2ab  b  a 4  b 4  a 3b  ab3<br />  a b  1 1 <br /> <br /> <br />    1  <br /> ab<br /> a 2b 2<br /> 1<br />  b a  a b   <br /> <br /> a 3b 3<br /> P 2<br />  4<br /> <br /> 2<br /> 4<br /> 4<br /> 3<br /> 3<br /> 4<br /> 3<br /> 3<br /> a b a b<br /> a  b  a b  ab<br /> a  b  a b  ab<br /> ab<br />  2   <br /> 2<br /> 2 2<br /> 2 2<br /> b<br /> a b a<br /> ab<br /> ab<br /> <br /> 2. Giả sử a, b thay đổi sao cho 4a  b  ab  1 . Tìm min P<br /> Áp dụng bât đẳng thức cosi ta có<br /> 1  4a  b  ab  5 ab<br /> 1<br /> <br />  25<br /> ab<br /> Dấu bằng xảy ra khi b = 4a và 1 = 25ab suy ra 1 = 100b2 suy ra b <br /> <br /> 1<br /> 2<br /> a<br /> 10<br /> 5<br /> <br /> Câu 2 (2 điểm) cho hệ phương trình.<br />  x  my  2  4m<br /> <br /> mx  y  3m  1<br /> Với m là tham số<br /> 1 Giải phương trình khi m = 2<br /> 2. Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử (x0,y0) là một nghiệm của của hệ<br /> 2<br /> 2<br /> phương trình .chứn minh đẳng thức x0  y0  5  x0  y0   10  0 1.<br /> 1. Thay m = 2 ta có<br /> 19<br /> <br /> y  5<br />  x  2 y  6<br />  2 x  4 y  12<br />  5 y  19<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2 x  y  7<br /> 2 x  y  7<br /> 2 x  y  7<br /> 2 x  19  7<br /> <br /> 5<br /> <br /> 19<br /> <br /> y  5<br /> <br /> <br /> x  9<br /> <br /> 5<br /> <br /> <br />  x  my  2  4m<br />  x  my  2  4m<br /> <br /> <br /> mx  y  3m  1<br /> m(my  2  4m)  y  3m  1<br />  x  my  2  4m<br /> 2.   2<br /> 2<br />  m y  2m  4m  y  3m  1<br /> <br /> 3m 2  3m  2<br />  x  my  2  4m<br /> x<br /> <br />  x  my  2  4m<br /> <br /> <br /> m2  1<br />  2<br /> <br /> m  1  4m 2  <br /> 2<br /> 2<br /> (m  1) y  m  1  4m<br /> y <br />  y  m  1  4m<br /> 2<br /> m 1<br /> <br /> <br /> m2  1<br /> <br /> Vì m2 +1 khác 0 phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m.<br /> 2. Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử (x0,y0) là một nghiệm của của<br /> 2<br /> 2<br /> hệ phương trình .chứn minh đẳng thức x0  y0  5  x0  y0   10  0 1.<br /> <br /> 3m 2  3m  2<br /> x0 <br /> <br /> <br /> m2  1<br /> Thay <br /> 2<br />  y  m  1  4m<br /> 0<br /> <br /> m2  1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> x0  y0  5  x0  y0   10   x0  3   y0  4   x0  3 y0  15<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br />  3m 2  3m  2  3m 2  3   4m 2  m  1  4m 2  4 <br /> <br />  <br />   15<br /> m2  1<br /> m2  1<br /> <br />  <br /> <br /> Ta có<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3m 2  3m  2 3m  3  12m2  3m  1   m  3 <br /> <br /> <br />  2<br />   2 <br /> m2  1<br /> m2  1<br />  m 1   m 1 <br /> 3m 2  3m  2 3m  3  12m2<br /> <br /> <br />  15  0<br /> m2  1<br /> m2  1<br /> 2<br /> 2<br /> x0  y0  5  x0  y0   10  0<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> Cách 2.  x0  5 x0  6  y0  5 y0  4  0<br /> <br />   x0  3 x0  2    y0  1 y0  4   0<br /> <br /> <br /> 3m 2  3m  2<br /> x0 <br /> <br /> <br /> m2  1<br /> 2<br /> 2<br /> Thay <br /> ta đươc . x0  y0  5  x0  y0   10  0<br /> 2<br />  y  m  1  4m<br />  0<br /> m2  1<br /> <br /> Câu 3 (1.5 điểm)<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> Cho a, b là các số thực khác o . Biết rằng phương trình a  x  a   b  x  b   0<br /> Có nghiệm duy nhất . Chứng minh a  b<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> a  x  a   b  x  b  0<br />  ax 2  2ax  a 3  bx 2  2bx  b3  0<br />  x 2  a  b   2 x  a 2  b 2   a 3  b3  0<br /> <br /> Nếu a + b = 0 thi phương trình có nghiệm x = 0.<br /> Nếu a + b  0. ta có<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br />   2  a 2  b 2    a  b   a 3  b 3 <br /> 2<br /> <br />  2a 2b 2  ab3  a 3b   ab  a  b <br /> Nếu a và b khác dấu thì phương trình có nghiệm với mọi m<br /> Nếu a và b cùng dấu thì phương trình vô nghiệm<br /> Phương trình có nghiêm duy nhất khi a và b khác dấu và   0 suy ra a  b .<br /> Câu 4<br /> <br /> A<br /> B1<br /> C1<br /> I<br /> B<br /> <br /> K<br /> <br /> C<br /> <br /> 1. Ta có B1 IC1  BIC  120o  B1 IC1  BAC  120o  60o  1800 . Mà hai góc này đối nhau<br /> Nên tứ giác AB1IC1 nội tiếp (đpcm).<br /> 2. Vì tứ giác BC1IK nội tiếp nên BIC1  BKC1  60o (góc nội tiếp cùng chắn BC1 )<br /> Và BIK  BC1 K ( góc nội tiếp cùng chắn BK )<br /> Xét tam giác ABC: KCB1  180o  BAC  ABC  180o  60o  ABC  1200  ABC<br /> Xét tam giác BC1K: BIK  BC1 K  180o  BKC1  ABC  180o  60o  ABC  1200  ABC<br /> Suy ra KCB1  BIK  Tứ giác CKIB1 nội tiếp (đpcm).<br /> 3. Vì BIC1  BAC  60o  Tứ giác ACKC1 nội tiếp  KAC1  KCC1 (cùng chắn cung KC1)<br /> Và AKC1  ACC1 (cùng chắn cung AC1). Mà ACC1  KCC1 (GT)<br /> <br /> Suy ra KAC1  AKC1  Tam giác C1AK cân tại C1  C1A = C1K (1)<br /> CMTT: B1A = B1K (2)<br /> Từ (1), (2) suy ra B1C1 là đường trung trực của AK nên AK  B1C1 (đpcm<br /> Câu 5 (1 điểm). Tìm các số thực không âm a và b thỏa mãn<br /> 3  2<br /> 3 <br /> 1 <br /> 1<br />  2<br />  a  b    b  a     2a    2b  <br /> 4 <br /> 4 <br /> 2 <br /> 2<br /> <br /> Áp dụng bất đẳng thức cosi<br /> 3  2<br /> 3  2 1<br /> 1  2 1<br /> 1 <br /> 1<br />  2<br />  a  b   b  a     a   b   b   a     a  b  <br /> 4 <br /> 4 <br /> 4<br /> 2 <br /> 4<br /> 2 <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1 <br /> 1 <br /> 1<br /> <br />  a  b     2a   2b   .<br /> 2 <br /> 2 <br /> 2<br /> <br /> Dấu bằng xảy ra khi a= b = ½<br /> <br /> 2<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản