Đề thi tuyển sinh lớp 10- trung học phổ thông chuyên-Đại học Quốc gia Hà Nội

Chia sẻ: fangfangfang

Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc ACB = 300 . Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thăng BC với đường tròn (O). 1) Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo R. 2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một đường tròn và tâm đường tròn đó...

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Đề thi tuyển sinh lớp 10- trung học phổ thông chuyên-Đại học Quốc gia Hà Nội

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN
PTC_1011QĐ_01
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ Năm học 2010- 2011
NỘI Môn thi: TOÁN- Vòng I
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN




Câu I
1) Giải hệ phương trình
3 x 2 + 8 y 2 + 12 xy = 23

2
 x + y 2 = 2.

2) Giải phương trình
2 x + 1 + 3 4 x 2 − 2 x + 1 = 3 + 8 x 3 + 1.
Câu II
1) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức
(1 + x )(1 + y ) + 4 xy + 2( x + y ) (1 + xy ) = 25.
2 2


2) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không
vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta
luôn có.
3 n 2 + n + 1
7
+ + ... =n

n( n + 1) 
1.2 2.3
Câu III
Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với
đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc ACB = 30 0 . Gọi H là giao điểm thứ hai
của đường thăng BC với đường tròn (O).
1) Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC
theo R.
2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O
tại điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng
một đường tròn và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố
định khi M thay đổi trên đoạn thẳng AC.
Câu IV
9
Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức (1 + a )(1 + b) = , hãy tìm giá trị nhỏ
4
nhất của biểu thức P = 1 + a 4 + 1 + b 4 .

----------------------------------------------- Hết -------------------------------------------

HD gi¶i ®Ò MÔN TOÁN (Vòng 1)
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu I
3) Giải hệ phương trình
3 x 2 + 8 y 2 + 12 xy = 23

2
 x + y 2 = 2.

4) Giải phương trình
2 x + 1 + 3 4 x 2 − 2 x + 1 = 3 + 8 x 3 + 1.
Híng dÉn
1) Céng c¶ hai ph¬ng tr×nh ta ®îc (2x+3y)2=25
Ta cã hai hÖ
2 x + 3 y = 5  2 x + 3 y = −5
2 Vµ 
x + y = 2 x + y = 2
2 2 2

7 7
;−
Giai ra ta ®îc PT cã 4 nghiÖm 1,-1;
13 13
−1
2) §KX§ x ≥
2
§Æt 2 x + 1 = a(a ≥ 0); 4 x 2 − 2 x + 1 = b(b > 0)
Ta cã (1-b)(a-3) =0
1
;a=3 th× x3 = 4
b=1 th× x1 = 0; x 2 =
2
Câu II
3) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức
(1 + x )(1 + y ) + 4 xy + 2( x + y ) (1 + xy ) = 25.
2 2


4) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không
vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta
luôn có.
3 n 2 + n + 1
7
+ + ... =n

n( n + 1) 
1.2 2.3
Híng dÉn
1)Ph¸ ngoÆc
(1 + x 2 )(1 + y 2 ) + 4 xy + 2( x + y ) (1 + xy ) = 25. ⇔ ( xy + 1) 2 + 2( x + y ) (1 + xy ) + ( x + y) 2 = 25
⇔ ( xy + 1 + x + y ) 2 = 25 ⇔ ( x + 1)( y + 1) 2 = 25
v× x,y kh«ng ©m nªn (x+1)(y+1)=5 ta cã (x;y)=(0;4);(4;0)
k 2 + k +1 k +1
k2 k 1 1 1
= + = + = 1− + (k ∈ N )
2) xÐt
k (k + 1) k (k + 1) k (k + 1) (k + 1) k k +1 k
Thay k lÇn lît tõ 1 ®Õn n ta cã
3 n 2 + n + 1  1  n
7
+ + ...  = n + 1 − = n + = n (®pcm)

n + 1  n + 1
n( n + 1)  
1.2 2.3  
Câu III
Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với
đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc ACB = 30 0 . Gọi H là giao điểm thứ hai
của đường thăng BC với đường tròn (O).
3) Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo
R.
4) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại
điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một
đường tròn và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M
thay đổi trên đoạn thẳng AC.
Híng dÉn

C




j




M
H
N



B
A O




1)BC=4R;AC= 2 3R ;AH= R 3
2) Ta cã ∠HNA = ∠HAB = 30 0 nªn ∠C + ∠NHC = 180 0 nªn tø gi¸c CMNH néi tiÕp
t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp thuéc trung trùc HC cè ®Þnh
Câu IV
9
Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức (1 + a )(1 + b) = , hãy tìm giá trị nhỏ
4
nhất của biểu thức P = 1 + a 4 + 1 + b 4 .
Híng dÉn

¸p dông BB§T Bu nhi acãpky cho 2 d·y
a 2 ;1 vµ 1; 4 ta cã
a2 + 4 1
17(a + 1) ≥ (a + 4) ⇔ a + 1 ≥ (1); Dau :" =" ⇔ a =
4 2 2 4

2
17
b2 + 4 1
b ;1 vµ 1; 4 ta cã 17(b + 1) ≥ (b + 4) ⇔ b + 1 ≥ (1); Dau :" =" ⇔ b =
4 2 2 4
2

2
17
5
a2 + b2 + 8
(*) MÆt kh¸c Tõ GT ta cã a + b + ab =
Tõ (1)&(2) ta cã P ≥
4
17
L¹i ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«-Si cho 2 ta cã
2 1
a + 4 ≥ a

2 1 32 1 5 1 1
b + ≥ b ⇔ (a + b ) + ≥ (a + b + ab) = ⇔ a + b ≥ ; Dau :" =" ⇔ a = b =
2 2 2

4 2 2 4 2 2

a + b
2 2
≥ ab

2
1
+8
17 V©y Min( P ) = 17 ⇔ a = b = 1
Thay Vµo (*) ta cã P ≥ 2 = 2 2
2
17




KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN
PTC_1011QĐ_02
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ Năm học 2010- 2011
NỘI Môn thi: TOÁN- Vòng II
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN




Câu I
1) Giải phương trình
x + 3 + 3x + 1 = 4
2) Giải hệ phương trình
5 x 2 + 2 y 2 + 2 xy = 26

3 x + ( 2 x + y ) ( x − y ) = 11.
Câu II
1) Tìm tất cả các số nguyên dương n để n 2 + 391 là số chính phương.
2) Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = 1 .
Chứng minh rằng
xy + z + 2 x 2 + 2 y 2
≥ 1.
1 + xy
Câu III
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là điểm nằm trong tam giác. Kí hiệu H là
hình chiếu của M trên cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hình chiếu của H trên các
đường thẳng MB, MC, AB, AC. Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng.
1) Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC.
2) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp.
Câu IV
Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự a1 , a 2 ,..., a 2010 ,
ta đánh dấu tất cả các số âm và tất cả các số mà tổng của nó với một số liên tiếp liền
ngay sau nó là một số dương. (Ví dụ với dãy số -8,-4,-1,2,-1,2,-3,...,-2005 thì các số
được đánh dấu là a 2 = −4, a 3 = 4, a 4 = −1, a5 = 2 ).
Chứng minh rằng nếu trong dãy số đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của
tất cả các số được đánh dấu là một số dương.

----------------------------------------------- Hết -------------------------------------------
HD gi¶i ®Ò thi MÔN TOÁN (Vòng 2)
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu I
5) Giải phương trình
x + 3 + 3x + 1 = 4
6) Giải hệ phương trình
5 x 2 + 2 y 2 + 2 xy = 26

3 x + ( 2 x + y ) ( x − y ) = 11.
Híng dÉn
1) x=1 xÐt x< 1 VT1 VT>4
2)
5 x 2 + 2 y 2 + 2 xy = 26 5 x 2 + 2 y 2 + 2 xy = 26(1)
5 x 2 + 2 y 2 + 2 xy = 26  
⇔ ⇔

3x + ( 2 x + y ) ( x − y ) = 11. 3x + 2 x − xy − y = 11 6 x + 4 x − 2 xy − 2 y = 22(2)
2 2 2 2
 
Céng (1) vµ (2) ta cã PT 3 x 2 + 2 x − 16 = 0 ⇔ (3 x + 8)( x − 2) = 0
−8
Víi x = thay vµo PT(1) v« nghiÖm
3
Víi x = 2 thay vµo PT(1) ta ®îc y=1 hoÆc y=-3
VËy hÖ cã 2 nghiÖm (x;y)=(2;1);(2-3)

Câu II

5) Tìm tất cả các số nguyên dương n để n 2 + 391 là số chính phương.
6) Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = 1 .
Chứng minh rằng
xy + z + 2 x 2 + 2 y 2
≥ 1.
1 + xy
Híng dÉn
1)ta cã n + 391 lµ sè chÝnh ph¬ng nªn n 2 + 391 = k 2 (k ∈ N )
2


n 2 + 391 = k 2 ⇔ (n − k )(n + k ) = −391 mµ 391=-1.391=1.(-391)=-17.23=17.(-23)
Ta cã n-k1 .Đặt S = m 2 n 2 − 4m + 4n
Chứng minh rằng:
( ) 2
1. Nếu m>n thì mn 2 − 2 < n 2 S < m 2 n 4
2. Nếu S là số chính phương thì m=n
Câu 4 Cho tam gíac ABC với AB>AC ,AB >BC.Trên cạnh AB của tam giác lấy
các điểm M và N sao cho BC=BM và AC=AN
1.Chứng minh điểm N thuộc đoạn thẳng BM
2.Qua M và N ta kẻ đường thẳng MP song song với BC và NQ song song
với CA ( P ∈ CA; Q ∈ CB ) .Chứng minh CP=CQ.
3.Cho góc ACB = 900 , góc CAB = 300 và AB = a .
Tính diện tích tam giác MCN theo a.
Câu 5
1
2 ;2;
Trên bảng đen viết ba số .Ta bắt đầu thực hiện trò chơi như sau :
2
Mỗi lần chơi ta xoá hai số nào đó trong ba số trên bảng ,giả sử là a và b rồi viết vào 2
a+b a−b
vị trí vừa xoá hai số mới đồng thời giữ nguyên số còn lại .Như vậy sau

2 2
mỗi lần chơi trên bảng luôn có ba số .Chứng minh rằng dù ta có chơi bao nhiêu lần đi
1
; 2 ;1 + 2 .
chăng nữa thì trên bảng không đồng thời có ba số
22

----------------------------------------------- Hết -------------------------------------------


Gi¶i ®Ò thi tuyÓn sinh
Vµo khèi trung häc phæ th«ng chuyªn n¨m 2010
M«n thi: To¸n häc
(Dïng cho mäi thÝ sinh thi vµo chuyªn To¸n vµ chuyªn Tin)

C©u 1:
1.Gi¶ sö a vµ b lµ hai sè d¬ng kh¸c nhau vµ tho¶ m·n
a − b = 1− b2 − 1 − a2
a2 + b2 = 1
Chøng minh r»ng
2.Chøng minh r»ng sè 2009 2 + 2009 2.2010 2 + 2010 2 lµ sè nguyªn d¬ng
Híng dÉn
a2 − b2 (a − b)(a + b)
1. tõ GT a − b = 1 − b − 1 − a = = ; ( a ≠ b)
2 2

1− b + 1− a 1− b2 + 1− a2
2 2


suy ra a + b = 1 − b 2 + 1 − a 2
a + b = 1 − b 2 + 1 − a 2 a = 1 − b 2
 
⇔ ⇒ a2 + b2 = 1
ta cã hÖ 
a − b = 1 − b − 1 − a b = 1 − a
2 2 2
 
2 §Æt a= 2009 ta cã 2009 2 + 2009 2.2010 2 + 2010 2 =
a 2 + a 2 .(a + 1) 2 + (a + 1) 2 = a 2 .( a + 1) 2 + 2a(a + 1) + 1 = (a 2 + a + 1) 2 = a 2 + a + 1 ∈ Z
C©u 2:
Gi¶i sö 4 sè thùc a , b, c, c, d ®«i 1 kh¸c nhau vµ tho¶ m·n hai ®iÒu kiÖn sau
Ph¬ng tr×nh x 2 − 2cx − 5d = 0 cã 2 nghiªm a vµ b
iii)
Ph¬ng tr×nh x 2 − 2ax − 5b = 0 cã 2 nghiªm c vµ d
iv)
Chøng minh r»ng
1. a-c=c-b=d-a
2. a+b+c+d=30
Híng dÉn
a + b = 2c(1)
1. V× a,b lµ nghiÖm PT (1) theo Vi-Ðt ta cã 
ab = −5d (2)
c + d = 2a (3)
V× a,b lµ nghiÖm PT (1) theo Vi-Ðt ta cã 
cd = −5b(4)
Tõ (1) ta cã a-c=c-b tõ (3) ta cã c-a=a-d nªn a-c=c-b=d-a
2.nh©n (2) vµ (4) ta cã abcd=25bd suy ra ac=25
MÆt kh¸c a lµ nghiÖm PT(1) nªn a 2 − 2ca − 5d = 0 ⇒ a 2 − 5d = 50(5)
c lµ nghiÖm PT(1) nªn c 2 − 2ca − 5b = 0 ⇒ c 2 − 5b = 50(6)
tõ (5) vµ (6) ta cã
a 2 + c 2 − 5(b + d ) = 100 ⇔ ( a + c ) 2 − 2ac − 5( a + c) = 100 ⇔ ( a + c ) 2 − 5(a + c) − 150 = 0
⇔ a + c = 15; ma : a + c = a + d ⇒ a + b + c + d = 30(dpcm)

C©u 3 Gi¶ sö m vµ n lµ nh÷ng sè nguyªn d¬ng víi n>1 .§Æt S = m 2 n 2 − 4m + 4n
Chøng minh r»ng:
( ) 2
1.NÕu m>n th× mn 2 − 2 < n 2 S < m 2 n 4
2.NÕu S lµ sè chÝnh ph¬ng th× m=n
Híng dÉn
1.ta chøng minh ( mn 2 − 2 ) < n 2 (m 2 n 2 − 4m + 4n) < m 2 n 4
2


B»ng c¸ch xÐt hiÖu
( ) 2
H = mn 2 − 2 − n 2 (m 2 n 2 − 4m + 4n)
H = m 2 n 4 − 4mn 2 + 4 − m 2 n 4 + 4mn 2 − 4n 3 = −4n 3 < 0; vi : n > 1
MÆt kh¸c n (m n − 4m + 4n) − m n = 4n (m − n) > 0 v× n>1; m>n
2 22 24 2



( ) ( )
2 2
2.Ta chøng minh mn − 2 < S < mn + 2
xÐt S=(mn-1)2 th× m 2 n 2 − 4m + 4n = m 2 n 2 − 2mn + 1 ⇔ 4n − 4m − 2mn = 1
kh«ng tån t¹i m,n v× vÕ ph¶i ch½n
XÐt S=(mn+1)2 th× m 2 n 2 − 4m + 4n = m 2 n 2 + 2mn + 1 ⇔ 4n − 4m + 2mn = 1
kh«ng tån t¹i m,n v× vÕ ph¶i ch½n
Tõ ®ã ta cã S=m2n2 th× m 2 n 2 − 4m + 4n = m 2 n 2 ⇔ 4n − 4m = 0 suy ra m=n

C©u 4 Cho tam gÝac ABC víi AB>AC ,AB >BC.Trªn c¹nh AB cña tam gi¸c lÊy
c¸c ®iÓm M vµ N sao cho BC=BM vµ AC=AN
1.Chøng minh ®iÓm N thuéc ®o¹n th¼ng BM
2.Qua M vµ N ta kÎ ®êng th¼ng MP song song víi BC vµ NQ song song
víi CA ( P ∈ CA; Q ∈ CB ) .Chøng minh CP=CQ.
3.Cho gãc ACB=900 , gãc CAB=300 vµ AB= a .
TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c MCN theo a.
Híng dÉn
A




M
P




H


N


C
Q
B
1. Ta cã BN=AB-AN=AB-AC 0
∆/ = (m − 10) 2 − 2( m − 10 ) = (m − 10 − 1) 2 − 1 = (m − 11) 2 − 1
∆/ > 0 ⇔ (m − 11) 2 − 1 > 0 ⇔ (m − 11) > 1; Hoac : (m − 11) < −1
m > 12
⇔
m < 10
2) víi §K trªn theo ViÐt ta cã
 x1 + x 2 = −2

 2
 x1. x 2 = m − 10

§Æt Q= x1 + x2 + x12 x2 + x1 x2
3 3 2


Q = x13 + x2 + x12 x2 + x1 x2 = ( x1 + x2 ) 3 − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) + x1 x2 ( x1 + x2 )
3 2


88 − 8m
8
Q = ( x1 + x2 ) 3 − 2 x1 x2 ( x1 + x2 ) = −8 + =
m − 10 m − 10
88 − 8m 48 − 4m
Q < −4 ⇔ +4 12
m − 10 m − 10
m ≠ 10
Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn  /
∆ > 0
C©u 4:(3 ®iÓm)
Cho tam gi¸c nhän ABC ( AB 2
1) Cho a là số bất kì,chứng minh rằng:
a 2010 + 2009
2) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình y 2 − x ( x − 2)( x 2 − 2 x + 2) = 0
Bài 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn.Đường tròn đường
kính OM cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm E , F.
1) Chứng minh giao điểm I của đoạn thẳng OM với đường tròn (O;R) là tâm
đường tròn nội tiếp tam giác MEF.
2) Cho A là một điểm bất kì của thuộc cung EF chứa điểm M của đ ường tròn
đường kính OM (A khác E,F). Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF tại điểm B. Chứng
minh OA.OB = R 2 .
3) Cho biết OM=2R và N là một điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm I c ủa
đường tròn (O;R) ( N khác E,F). Gọi d là đường thẳng qua F và vuông góc với đ ường
thẳng EN tại điểm P, d cắt đường tròn đường kính OM tại điểm K (K khác F). Hai
đường thẳng FN và KE cắt nhau tại điểm Q. chứng minh rằng:
32
PN . PK + QN .QK ≤ R
2
Bài 5 ( 1,0 điểm)
Giải phương trình: x 8 − x 7 + x 5 − x 4 + x 3 − x + 1 = 0

----------------------------------------------- Hết -------------------------------------------

Mét sè gîi ý ®Ò chuyªn Amsterdam, Chu V¨n An 23.6.2010

Bµi I. (2 ®iÓm)

1) Cho n lµ sè nguyªn, chøng minh A = n3 + 11n chia hÕt cho 6.
2) T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn n ®Ó B = n4 – 3n2 + 1 lµ sè nguyªn tè
Gîi ý :
1) A = (n- 1)n(n + 1) + 12n
Mçi h¹ng tö chia hÕt cho 2 vµ 3 . suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh
2) B =(n2 – n - 1).(n2 + n - 1)
n2 – n – 1 < n2 + n – 1. ®Ó B lµ sè nguyªn tè th× n2 – n – 1= 1
suy ra n = - 1(lo¹i), n = 2 tho¶ m·n

Bµi II. (2 ®iÓm)
Cho ph¬ng tr×nh: (m2 + 2m + 2)x2 – (m2 – 2m + 2)x – 1 = 0
Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho.
1) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó : x12 + x22 = 2x1x2(2x1x2 – 1)
2) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc S = x1 + x2
Gîi ý :
1) dÔ cã ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m.
 m 2 − 2m + 2
 x1 + x 2 = 2
 m + 2m + 2
Theo vi et :  thay vµo , t×m ®îc m
−1
x x =
 1 2 m 2 + 2m + 2

m − 2m + 2
2
2) S = 2 .
m + 2m + 2
Sau ®ã xÐt hiÖu S – ( 3 − 2 2 ) vµ hiÖu S – ( 3 + 2 2 ) ta t×m ®îc max, min.
HoÆc dïng ph¬ng ph¸p ®enta

Bµi III. (2 ®iÓm)
a 2010 + 2010
>2
a 2010 + 2009
1) Cho a bÊt k×, chøng minh r»ng:
2) T×m c¸c sè nguyªn x, y tho¶ m·n ph¬ng tr×nh:
y2 – x(x – 2)(x2 – 2x + 2) = 0
Gîi ý :
1) a 2010 + 2010 = (a 2010 + 2009) + 1 ≥ 2 a 2010 + 2009 . Suy ra ®iÒu ph¶I chøng minh
DÊu b»ng kh«ng xÈy ra.
2. §Æt (x - 1)2 = t ≥ 0 ph¬ng tr×nh cã d¹ng : y2 – (t- 1)(t + 1) = 0
Hay (y - t)(y + 1)= - 1. gi¶i theo íc sè
Bµi IV( 3 ®iÓm)
Cho ®êng trßn (O;R) vµ mét ®iÓm M n»m ngoµi ®êng trßn . § ưêng trßn ®-
êng kÝnh OM c¾t ®êng trßn (O;R) t¹i hai ®iÓm E, F.
1) Chøng minh giao ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng OM víi ®êng trßn (O;R) lµ t©m
cña ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c MEF.
2) Cho A lµ mét ®iÓm bÊt k× thuéc cung EF chøa ®iÓm M cña ® êng trßn ®-
êng kÝnh OM (A kh¸c E vµ F). §o¹n th¼ng OA c¾t ®o¹n th¼ng EF t¹i ®iÓm
B. Chøng minh OA. OB = R2 .
3) Cho biÕt OM = 2R vµ N lµ ®iÓm bÊt k× thuéc cung EF chøa ®iÓm I cña ® -
êng trßn (O; R) (N kh¸c E vµ F). Gäi d lµ ®êng th¼ng qua F vµ vu«ng gãc víi
®êng th¼ng EN t¹i ®iÓm P, d c¾t ®êng trßn ®êng kÝnh OM t¹i ®iÓm K (K
kh¸c F). Hai ®êng th¼ng FN vµ KE c¾t nhau t¹i ®iÓm Q. Chøng minh r»ng:
32
R
2
PN . PK + QN . QK
Gîi ý : (c¸c b¹n tù vÏ h×nh nhÐ)
1) Ta dÔ cã ME, MF lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O), tõ ®ã dÔ chøng minh ®-
îc cung EI = cung FI cña ®êng trßn (O). DÔ dµng chøng minh ®îc EI, FI, MI
lµ c¸c ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c MEF.
2) Gäi EF c¾t OM t¹i H. DÔ chøng minh ®îc : OA.OB = OH.OM = OE2.
3) Ta cã I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp ΔMEF vµ ΔMEF ®Òu cã c¹nh b»ng
R 3.
 Sö dông gãc néi tiÕp, gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y ®Ó chøng minh FQ
⊥ EK.
 Ta cã PN. PK + QN.QK = 2.SKPNQ ≤ KN.QP dÊu b»ng khi KN ⊥ PQ. (*)
 Mµ N lµ trùc t©m ΔEKF, nªn KN = 2. IH = R (1)
PQ KP 1 R3
= =⇒
 Ta cã ΔKPQ ®ång d¹ng víi ΔKEF , nªn PQ = (2)
EF KE 2 2
Thay (1), (2) vµo (*) ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.
dÊu b»ng khi KN ⊥ PQ hay N, I trïng nhau


Bµi V. (1 ®iÓm)
Gi¶i ph¬ng tr×nh: x8 – x7 + x5 – x4 + x3 – x + 1 = 0
Gîi ý :
NÕu x ≥ 1Th× VT = (x8 – x7) + (x5 – x4) + (x3 – x) + 1 ≥ 1 kh«ng cã nghiÖm
NÕu 1> x > 0Th× VT = (x5 – x7) + (x3 – x4) + (1 – x) + x8> 0 kh«ng cã nghiÖm
NÕu x ≤ 0 th× VT > 1 kh«ng cã nghiÖm
VËy pt v« nghiÖm


KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN
PTC_1011QĐ_07
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2010- 2011
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Môn thi: TOÁN




Câu 1 : (4 điểm)
1
+ y =1
x +1
1) Giải hệ phương trình : 2
+ 5y = 3
x +1


2) Giải phương trình: (2x2 - x)2 + 2x2 – x – 12 = 0
Câu 2 : (3 điểm)
Cho phương trình x2 – 2(2m + 1)x + 4m2+ 4m – 3 = 0 (x là ẩn số)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) thỏa |x1| = 2|x2|
Câu 3 : (2 điểm)
7+ 5 + 7− 5
Thu gọn biểu thức: A= − 3− 2 2
7 + 2 11
Câu 4 : (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Gọi P là điểm chính giữa
của cung nhỏ AC. Hai đường thẳng AP và BC cắt nhau tại M. Chứng minh rằng:
a) ᄋ = AMB
ABP ᄋ
b) MA. MP = BA. BM
Câu 5 : (3 điểm)
a) Cho phương trình: 2x2 + mx + 2n + 8 = 0 (x là ẩn số và m, n là các số nguyên).
Giả sử phương trình có các nghiệm đều là số nguyên.
Chứng minh rằng: m2 + n2 là hợp số.
b) Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 .
Tính P = a2010 + b2010
Câu 6 : (2 điểm)
Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA = OB = 2a. Gọi (O) là đường tròn tâm
O bán kính a. Tìm điểm M thuộc (O) sao cho MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 7 : (2 điểm)
12 3
Cho a, b là các số dương thoả a2 + 2b2 ≤ 3c2. Chứng minh + .
ab c
-
---------------------------------------------- Hết -------------------------------------------
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản