Vui lòng download xuống để xem tài liệu đầy đủ.

Đề thi và đáp án chính thức môn Toán khối A năm 2009 của Bộ Giáo Dục-Đào Tạo

Chia sẻ: | Ngày: | Loại File: pdf | 5 trang

4
6.262
lượt xem
1.353
download

Mời tất cả các bạn tham khảo đề thi và đáp án chính thức môn Toán khối A do Bộ Giáo Dục và Đào Tạo công bố ngày 05/07/09.

Đề thi và đáp án chính thức môn Toán khối A năm 2009 của Bộ Giáo Dục-Đào Tạo
Nội dung Text

  1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Môn thi: TOÁN; Khối: A ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm): Câu I (2,0 điểm) x+2 Cho hàm số y = (1). 2x + 3 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A , B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O. Câu II (2,0 điểm) (1 − 2sin x ) cos x 1. Giải phương trình = 3. (1 + 2sin x )(1 − sin x ) 2. Giải phương trình 2 3 3x − 2 + 3 6 − 5 x − 8 = 0 ( x ∈ ). Câu III (1,0 điểm) π 2 Tính tích phân I = ∫ ( cos3 x − 1) cos 2 x dx . 0 Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a , CD = a; góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABCD ) bằng 60 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD . Biết hai mặt phẳng ( SBI ) và ( SCI ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) , tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a. Câu V (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x ( x + y + z ) = 3 yz , ta có: ( x + y) + ( x + z) + 3 ( x + y )( x + z )( y + z ) ≤ 5 ( y + z ) . 3 3 3 PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6;2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Điểm M (1;5 ) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng Δ : x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB . 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − 2 y − z − 4 = 0 và mặt cầu (S ) : x + y + z − 2 x − 4 y − 6 z − 11 = 0. Chứng minh rằng mặt 2 2 2 phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó. Câu VII.a (1,0 điểm) 2 2 Gọi z1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2 z + 10 = 0 . Tính giá trị của biểu thức A = z1 + z2 . B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 + 4 x + 4 y + 6 = 0 và đường thẳng Δ : x + my − 2m + 3 = 0, với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn ( C ) . Tìm m để Δ cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 1 = 0 và hai đường thẳng x +1 y z + 9 x −1 y − 3 z +1 Δ1 : = = , Δ2 : = = . Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng Δ1 sao cho 1 1 6 2 1 −2 khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( P ) bằng nhau. Câu VII.b (1,0 điểm) ⎧log 2 ( x 2 + y 2 ) = 1 + log 2 ( xy ) ⎪ Giải hệ phương trình ⎨ 2 2 ( x, y ∈ ) . ⎪3x − xy + y = 81 ⎩ ---------- Hết ---------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh................................
  2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN; Khối A (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm I 1. (1,0 điểm) Khảo sát… (2,0 điểm) ⎧ 3⎫ • Tập xác định: D = \ ⎨− ⎬ . ⎩ 2⎭ • Sự biến thiên: −1 - Chiều biến thiên: y ' = < 0, ∀x ∈ D. ( 2 x + 3) 0,25 2 ⎛ 3⎞ ⎛ 3 ⎞ Hàm số nghịch biến trên: ⎜ −∞; − ⎟ và ⎜ − ; +∞ ⎟ . ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ - Cực trị: không có. 1 1 - Giới hạn và tiệm cận: lim y = lim y = ; tiệm cận ngang: y = . x →−∞ x →+∞ 2 2 3 0,25 lim − y = −∞, lim + y = +∞ ; tiệm cận đứng: x = − . ⎛ 3⎞ x →⎜ − ⎟ ⎛ 3⎞ x →⎜ − ⎟ 2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ - Bảng biến thiên: 3 x −∞ − +∞ 2 y' − − 1 +∞ 0,25 y 2 1 −∞ 2 • Đồ thị: 3 y x=− 2 1 y= 2 0,25 O x 2. (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến… Tam giác OAB vuông cân tại O, suy ra hệ số góc tiếp tuyến bằng ±1 . 0,25 −1 Gọi toạ độ tiếp điểm là ( x0 ; y0 ) , ta có: = ±1 ⇔ x0 = −2 hoặc x0 = −1. 0,25 (2 x0 + 3) 2 • x0 = −1 , y0 = 1 ; phương trình tiếp tuyến y = − x (loại). 0,25 • x0 = −2 , y0 = 0 ; phương trình tiếp tuyến y = − x − 2 (thoả mãn). Vậy, tiếp tuyến cần tìm: y = − x − 2. 0,25 Trang 1/4
  3. Câu Đáp án Điểm II 1. (1,0 điểm) Giải phương trình… (2,0 điểm) 1 Điều kiện: sin x ≠ 1 và sin x ≠ − (*). 0,25 2 Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: (1 − 2sin x)cos x = 3(1 + 2sin x)(1 − sin x) ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ 0,25 ⇔ cos x − 3 sin x = sin 2 x + 3 cos 2 x ⇔ cos ⎜ x + ⎟ = cos ⎜ 2 x − ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 6⎠ π π 2π ⇔ x = + k 2π hoặc x = − + k . 0,25 2 18 3 π 2π Kết hợp (*), ta được nghiệm: x = − +k (k ∈ ) . 0,25 18 3 2. (1,0 điểm) Giải phương trình… ⎧2u + 3v = 8 Đặt u = 3 3 x − 2 và v = 6 − 5 x , v ≥ 0 (*). Ta có hệ: ⎨ 3 0,25 ⎩5u + 3v = 8 2 ⎧ 8 − 2u ⎧ 8 − 2u ⎪v = ⎪v = ⇔ ⎨ 3 ⇔ ⎨ 3 0,25 ⎪15u 3 + 4u 2 − 32u + 40 = 0 ⎪(u + 2)(15u 2 − 26u + 20) = 0 ⎩ ⎩ ⇔ u = −2 và v = 4 (thoả mãn). 0,25 Thế vào (*), ta được nghiệm: x = −2. 0,25 III Tính tích phân… (1,0 điểm) π π 2 2 I = ∫ cos5 xdx − ∫ cos 2 x dx. 0,25 0 0 π Đặt t = sin x, dt = cos xdx; x = 0, t = 0; x = , t = 1. 2 π π 1 0,50 2 2 1 ⎛ 2 1 ⎞ 8 I1 = ∫ cos5 xdx = ∫ (1 − sin 2 x ) cos xdx = ∫ (1 − t ) 2 2 2 dt = ⎜ t − t 3 + t 5 ⎟ = . 0 0 0 ⎝ 3 5 ⎠ 0 15 π π π ⎞2 π 8 π 2 12 1⎛ 1 0,25 I 2 = ∫ cos 2 x dx = ∫ (1 + cos 2 x ) dx = ⎜ x + sin 2 x ⎟ = . Vậy I = I1 − I 2 = − . 0 20 2⎝ 2 ⎠0 4 15 4 IV Tính thể tích khối chóp... (1,0 điểm) S ( SIB ) ⊥ ( ABCD) và ( SIC ) ⊥ ( ABCD); suy ra SI ⊥ ( ABCD). Kẻ IK ⊥ BC ( K ∈ BC ) ⇒ BC ⊥ ( SIK ) ⇒ SKI = 60 . 0,50 A B I D C K Diện tích hình thang ABCD : S ABCD = 3a 2 . 3a 2 3a 2 0,25 Tổng diện tích các tam giác ABI và CDI bằng ; suy ra S ΔIBC = . 2 2 2S 3 5a 3 15a BC = ( AB − CD ) + AD 2 = a 5 ⇒ IK = ΔIBC = 2 ⇒ SI = IK .tan SKI = . BC 5 5 0,25 1 3 15a 3 Thể tích khối chóp S . ABCD : V = S ABCD .SI = . 3 5 Trang 2/4
  4. Câu Đáp án Điểm V Chứng minh bất đẳng thức… (1,0 điểm) Đặt a = x + y, b = x + z và c = y + z. Điều kiện x( x + y + z ) = 3 yz trở thành: c 2 = a 2 + b 2 − ab. 0,25 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: a3 + b3 + 3abc ≤ 5c3 ; a, b, c dương thoả mãn điều kiện trên. 3 1 c 2 = a 2 + b 2 − ab = (a + b) 2 − 3ab ≥ (a + b) 2 − (a + b) 2 = (a + b) 2 ⇒ a + b ≤ 2c (1). 0,25 4 4 a 3 + b3 + 3abc ≤ 5c 3 ⇔ (a + b)(a 2 + b 2 − ab) + 3abc ≤ 5c 3 ⇔ (a + b)c 2 + 3abc ≤ 5c 3 0,25 ⇔ (a + b)c + 3ab ≤ 5c 2 . 3 (1) cho ta: (a + b)c ≤ 2c 2 và 3ab ≤ (a + b) 2 ≤ 3c 2 ; từ đây suy ra điều phải chứng minh. 4 0,25 Dấu bằng xảy ra khi: a = b = c ⇔ x = y = z. VI.a 1. (1,0 điểm) Viết phương trình AB... (2,0 điểm) Gọi N đối xứng với M qua I , suy ra N (11; −1) và N thuộc đường thẳng CD. 0,25 A M B E ∈ Δ ⇒ E ( x;5 − x ) ; IE = ( x − 6;3 − x ) và NE = ( x − 11;6 − x). I E là trung điểm CD ⇒ IE ⊥ EN . IE.EN = 0 ⇔ ( x − 6)( x − 11) + (3 − x)(6 − x) = 0 ⇔ x = 6 hoặc 0,25 C D E N x = 7. • x = 6 ⇒ IE = ( 0; −3) ; phương trình AB : y − 5 = 0. 0,25 • x = 7 ⇒ IE = (1; −4 ) ; phương trình AB : x − 4 y + 19 = 0. 0,25 2. (1,0 điểm) Chứng minh ( P) cắt ( S ), xác định toạ độ tâm và tính bán kính… ( S ) có tâm I (1;2;3), bán kính R = 5. 2− 4−3− 4 0,25 Khoảng cách từ I đến ( P) : d ( I ,( P) ) = = 3 < R; suy ra đpcm. 3 Gọi H và r lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến, 0,25 H là hình chiếu vuông góc của I trên ( P) : IH = d ( I ,( P) ) = 3, r = R 2 − IH 2 = 4. ⎧ x = 1 + 2t ⎪ y = 2 − 2t ⎪ Toạ độ H = ( x; y; z ) thoả mãn: ⎨ 0,25 ⎪z = 3 − t ⎪ ⎩ 2 x − 2 y − z − 4 = 0. Giải hệ, ta được H (3; 0; 2). 0,25 VII.a Tính giá trị của biểu thức… (1,0 điểm) Δ = −36 = 36i 2 , z1 = −1 + 3i và z2 = −1 − 3i. 0,25 | z1 | = (−1)2 + 32 = 10 và | z2 | = (−1)2 + (−3)2 = 10. 0,50 Trang 3/4
  5. Câu Đáp án Điểm A = | z1 | 2 + | z2 | 2 = 20. 0,25 VI.b 1. (1,0 điểm) Tìm m... (2,0 điểm) (C ) có tâm I (−2; −2), bán kính R = 2. 0,25 1 1 Diện tích tam giác IAB : S = IA.IB.sin AIB ≤ R 2 = 1; S lớn nhất khi và chỉ khi IA ⊥ IB. 0,25 2 2 R −2 − 2 m − 2 m + 3 Khi đó, khoảng cách từ I đến Δ : d ( I , Δ) = =1 ⇔ =1 0,25 2 1 + m2 8 ⇔ (1 − 4m ) = 1 + m 2 ⇔ m = 0 hoặc m = 2 . 0,25 15 2. (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm M ... Δ 2 qua A(1;3; −1) và có vectơ chỉ phương u = (2;1; −2). M ∈ Δ1 ⇒ M (−1 + t ; t; −9 + 6t ). 0,25 ⎡ ⎤ MA = (2 − t ;3 − t ;8 − 6t ), ⎣ MA, u ⎦ = (8t − 14; 20 − 14t ; t − 4) ⇒ ⎡ MA, u ⎤ = 3 29t 2 − 88t + 68. ⎣ ⎦ ⎡ MA, u ⎤ ⎣ ⎦ Khoảng cách từ M đến Δ 2 : d ( M , Δ 2 ) = = 29t 2 − 88t + 68. u 0,25 −1 + t − 2t + 12t − 18 − 1 11t − 20 Khoảng cách từ M đến ( P ) : d ( M ,( P) ) = = . 1 + ( −2 ) + 2 3 2 2 2 11t − 20 53 29t 2 − 88t + 68 = ⇔ 35t 2 − 88t + 53 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = . 0,25 3 35 53 ⎛ 18 53 3 ⎞ t = 1 ⇒ M (0;1; −3); t = ⇒ M ⎜ ; ; ⎟. 0,25 35 ⎝ 35 35 35 ⎠ VII.b Giải hệ phương trình… (1,0 điểm) ⎧ x 2 + y 2 = 2 xy ⎪ Với điều kiện xy > 0 (*), hệ đã cho tương đương: ⎨ 2 0,25 ⎪ x − xy + y = 4 2 ⎩ ⎧x = y ⎧x = y ⇔ ⎨ 2 ⇔⎨ 0,50 ⎩y = 4 ⎩ y = ±2. Kết hợp (*), hệ có nghiệm: ( x; y ) = (2;2) và ( x; y ) = (−2; −2). 0,25 -------------Hết------------- Trang 4/4

Có Thể Bạn Muốn Download

Đồng bộ tài khoản