Đề thi và đáp án chính thức môn Toán khối B năm 2009 của Bộ GDĐT

Chia sẻ: Dao Ngoc Bich Van | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

2
3.447
lượt xem
826
download

Đề thi và đáp án chính thức môn Toán khối B năm 2009 của Bộ GDĐT

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn thí sinh xem đề thi và đáp án chính thức môn Toán khối B của Bộ Giáo Dục Đào Tạo.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi và đáp án chính thức môn Toán khối B năm 2009 của Bộ GDĐT

  1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Môn: TOÁN; Khối: B ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = 2 x 4 − 4 x 2 (1). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Với các giá trị nào của m, phương trình x 2 | x 2 − 2 | = m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt ? Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình sin x + cos x sin 2 x + 3 cos3x = 2(cos 4 x + sin 3 x). ⎧ xy + x + 1 = 7 y 2. Giải hệ phương trình ⎨ 2 2 ( x, y ∈ ). ⎩ x y + xy + 1 = 13 y 2 Câu III (1,0 điểm) 3 3 + ln x Tính tích phân I = ∫ dx. 1 ( x + 1) 2 Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC . A ' B ' C ' có BB ' = a, góc giữa đường thẳng BB ' và mặt phẳng ( ABC) bằng 60 ; tam giác ABC vuông tại C và BAC = 60 . Hình chiếu vuông góc của điểm B ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A ' ABC theo a. Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn ( x + y )3 + 4 xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3( x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) − 2( x 2 + y 2 ) + 1 . PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 4 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) : ( x − 2) 2 + y 2 = và hai đường thẳng Δ1 : x − y = 0, 5 Δ 2 : x − 7 y = 0. Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn (C1 ); biết đường tròn (C1 ) tiếp xúc với các đường thẳng Δ1 , Δ 2 và tâm K thuộc đường tròn (C ). 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B (−2;1;3), C (2; −1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến ( P ) bằng khoảng cách từ D đến ( P ). Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thoả mãn: z − (2 + i ) = 10 và z.z = 25. B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(−1;4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng Δ : x − y − 4 = 0. Xác định toạ độ các điểm B và C , biết diện tích tam giác ABC bằng 18. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 5 = 0 và hai điểm A(−3;0;1), B(1; −1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với ( P ), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. Câu VII.b (1,0 điểm) x2 − 1 Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = − x + m cắt đồ thị hàm số y = tại hai điểm phân biệt x A, B sao cho AB = 4. ---------- Hết ---------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh:................................
  2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN; Khối: B (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm I 1. (1,0 điểm) Khảo sát… (2,0 điểm) • Tập xác định: D = . • Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y ' = 8 x3 − 8 x; y ' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1. 0,25 Hàm số nghịch biến trên: ( −∞ ; − 1) và (0;1); đồng biến trên: ( −1;0) và (1; + ∞). - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, yCT = −2; đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 0. - Giới hạn: lim y = lim y = +∞. 0,25 x →−∞ x →+∞ - Bảng biến thiên: x −∞ −1 0 1 +∞ y' − 0 + 0 − 0 + +∞ 0 +∞ 0,25 y −2 −2 • Đồ thị: y 16 0,25 −1 O 1 −2 2 x −2 2. (1,0 điểm) Tìm m... x 2 x 2 − 2 = m ⇔ 2 x 4 − 4 x 2 = 2m. 0,25 Phương trình có đúng 6 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = 2m cắt đồ thị 0,25 hàm số y = 2 x 4 − 4 x 2 tại 6 điểm phân biệt. Đồ thị hàm số y = 2 x 4 − 4 x 2 y và đường thẳng y = 2m. 16 0,25 2 y = 2m −2 −1 O 1 2 x Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán được thoả mãn khi và chỉ khi: 0 < 2m < 2 ⇔ 0 < m < 1. 0,25 Trang 1/4
  3. Câu Đáp án Điểm II 1. (1,0 điểm) Giải phương trình… (2,0 điểm) Phương trình đã cho tương đương: (1 − 2sin 2 x)sin x + cos x sin 2 x + 3 cos3 x = 2 cos 4 x 0,25 ⇔ sin x cos 2 x + cos x sin 2 x + 3 cos3 x = 2cos 4 x ⎛ π⎞ ⇔ sin 3x + 3 cos3x = 2cos 4 x ⇔ cos ⎜ 3x − ⎟ = cos 4 x. 0,25 ⎝ 6⎠ π π ⇔ 4 x = 3x − + k 2π hoặc 4 x = −3x + + k 2π . 0,25 6 6 π π 2π Vậy: x = − + k 2π hoặc x = +k (k ∈ ). 0,25 6 42 7 2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình… ⎧ x 1 ⎪x + y + y = 7 ⎪ Hệ đã cho tương đương: ⎨ (do y = 0 không thoả mãn hệ đã cho) 0,25 ⎪ x 2 + x + 1 = 13 ⎪ ⎩ y y2 ⎧⎛ 1⎞ x ⎧⎛ 2 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎪⎜ x + ⎟+ =7 ⎪⎜ x + ⎟ + ⎜ x + ⎟ − 20 = 0 ⎪⎝ y⎠ y ⎪ y⎠ ⎝ y⎠ ⇔ ⎨ 2 ⇔ ⎨⎝ 0,25 ⎪⎛ 1⎞ x ⎪x ⎛ 1⎞ ⎪⎜ x + ⎟ − = 13 y⎠ y ⎪y = 7−⎜x+ y ⎟ ⎩⎝ ⎩ ⎝ ⎠ ⎧ 1 ⎧ 1 ⎪ x + = −5 ⎪x + = 4 ⇔ ⎨ y (I) hoặc ⎨ y (II). 0,25 ⎪ x = 12 y ⎪x = 3y ⎩ ⎩ ⎛ 1⎞ (I) vô nghiệm; (II) có nghiệm: ( x; y ) = ⎜1; ⎟ và ( x; y ) = (3;1). ⎝ 3⎠ 0,25 ⎛ 1⎞ Vậy: ( x; y ) = ⎜1; ⎟ hoặc ( x; y ) = (3;1). ⎝ 3⎠ III Tính tích phân… (1,0 điểm) dx 1 1 u = 3 + ln x, dv = 2 ; du = dx, v = − . 0,25 ( x + 1) x x +1 3 3 3 + ln x dx I =− +∫ 0,25 x + 1 1 1 x( x + 1) 3 3 3 + ln 3 3 1 dx =− + + ∫ dx − ∫ 0,25 4 2 1x 1 x +1 3 − ln 3 3 3 1⎛ 27 ⎞ = + ln x 1 − ln x + 1 1 = ⎜ 3 + ln ⎟ . 0,25 4 4⎝ 16 ⎠ IV Tính thể tích khối chóp… (1,0 điểm) Gọi D là trung điểm AC và G là trọng tâm tam giác ABC B' A' ta có B ' G ⊥ ( ABC ) ⇒ B ' BG = 60 C' a 3 a 3a ⇒ B ' G = B ' B.sin B ' BG = và BG = ⇒ BD = . 0,50 2 2 4 B A G D AB 3 AB AB Tam giác ABC có: BC = , AC = ⇒ CD = . C 2 2 4 3 AB 2 AB 2 9a 2 3a 13 3a 13 9a 2 3 BC 2 + CD 2 = BD 2 ⇒ + = ⇒ AB = , AC = ; S ΔABC = . 0,25 4 16 16 13 26 104 Trang 2/4
  4. Câu Đáp án Điểm 1 9a 3 Thể tích khối tứ diện A ' ABC : VA ' ABC = VB ' ABC = B ' G.SΔABC = . 0,25 3 208 V Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức… (1,0 điểm) Kết hợp ( x + y )3 + 4 xy ≥ 2 với ( x + y )2 ≥ 4 xy suy ra: ( x + y )3 + ( x + y )2 ≥ 2 ⇒ x + y ≥ 1. 0,25 3 2 ( x + y 2 ) + 3 ( x4 + y 4 ) − 2( x2 + y 2 ) +1 2 A = 3( x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) − 2( x 2 + y 2 ) + 1 = 2 2 0,25 3 3 9 ≥ ( x 2 + y 2 ) + ( x 2 + y 2 ) − 2( x 2 + y 2 ) + 1 ⇒ A ≥ ( x 2 + y 2 ) − 2 ( x 2 + y 2 ) + 1. 2 2 2 2 4 4 ( x + y)2 1 1 9 Đặt t = x 2 + y 2 , ta có x 2 + y 2 ≥ ≥ ⇒ t ≥ ; do đó A ≥ t 2 − 2t + 1 . 2 2 2 4 9 9 1 ⎛1⎞ 9 0,25 Xét f (t ) = t 2 − 2t + 1; f '(t ) = t − 2 > 0 với mọi t ≥ ⇒ min f (t ) = f ⎜ ⎟ = . 4 2 2 ⎡1 ⎞ ⎢ ; +∞ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 16 ⎣2 ⎠ 9 1 9 A≥ ; đẳng thức xảy ra khi x = y = . Vậy, giá trị nhỏ nhất của A bằng . 0,25 16 2 16 VI.a 1. (1,0 điểm) Xác định toạ độ tâm K ... (2,0 điểm) 4 a−b a − 7b Gọi K (a; b); K ∈ (C ) ⇔ (a − 2) 2 + b 2 = (1); (C1 ) tiếp xúc Δ1 , Δ 2 ⇔ = (2). 0,25 5 2 5 2 ⎧5(a − 2) 2 + 5b 2 = 4 ⎪ ⎧5(a − 2)2 + 5b 2 = 4 ⎧5(a − 2) 2 + 5b 2 = 4 (1) và (2), cho ta: ⎨ ⇔ ⎨ (I) hoặc ⎨ (II). 0,25 ⎪5 a − b = a − 7b ⎩ ⎩5(a − b) = a − 7b ⎩5(a − b) = 7b − a ⎧25a 2 − 20a + 16 = 0 ⎧a = 2b ⎛8 4⎞ (I) ⇔ ⎨ vô nghiệm; (II) ⇔ ⎨ 2 ⇔ (a; b) = ⎜ ; ⎟ . 0,25 ⎩b = −2a ⎩25b − 40b + 16 = 0 ⎝5 5⎠ a −b 2 2 ⎛8 4⎞ 2 2 Bán kính (C1 ) : R = = . Vậy: K ⎜ ; ⎟ và R = . 0,25 2 5 ⎝5 5⎠ 5 2. (1,0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng ( P)... Mặt phẳng ( P ) thoả mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau: Trường hợp 1: ( P ) qua A, B và song song với CD. 0,25 Vectơ pháp tuyến của ( P) : n = ⎡ AB, CD ⎤ . ⎣ ⎦ AB = ( −3; −1; 2), CD = ( −2; 4;0) ⇒ n = (−8; −4; −14). Phương trình ( P ) : 4 x + 2 y + 7 z − 15 = 0. 0,25 Trường hợp 2: ( P ) qua A, B và cắt CD. Suy ra ( P ) cắt CD tại trung điểm I của CD. 0,25 I (1;1;1) ⇒ AI = (0; −1;0); vectơ pháp tuyến của ( P) : n = ⎡ AB, AI ⎤ = (2;0;3). ⎣ ⎦ Phương trình ( P ) : 2 x + 3z − 5 = 0. 0,25 Vậy ( P) : 4 x + 2 y + 7 z − 15 = 0 hoặc ( P ) : 2 x + 3z − 5 = 0. VII.a Tìm số phức z... (1,0 điểm) Gọi z = x + yi; z − (2 + i) = ( x − 2) + ( y − 1)i; z − (2 + i ) = 10 ⇔ ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 = 10 (1). 0,25 z.z = 25 ⇔ x 2 + y 2 = 25 (2). 0,25 Giải hệ (1) và (2) ta được: ( x; y ) = (3;4) hoặc ( x; y ) = (5;0). Vậy: z = 3 + 4i hoặc z = 5. 0,50 Trang 3/4
  5. Câu Đáp án Điểm VI.b 1. (1,0 điểm) Xác định toạ độ các điểm B, C... (2,0 điểm) Gọi H là hình chiếu của A trên Δ, suy ra H là trung điểm BC. A 9 2S AH = d ( A, BC ) = ; BC = ΔABC = 4 2. Δ 2 AH 0,25 B H C BC 2 97 AB = AC = AH 2 + = . 4 2 ⎧ 97 ⎪( x + 1) + ( y − 4 ) = 2 2 Toạ độ B và C là nghiệm của hệ: ⎨ 2 0,25 ⎪ x − y − 4 = 0. ⎩ ⎛ 11 3 ⎞ ⎛3 5⎞ Giải hệ ta được: ( x; y ) = ⎜ ; ⎟ hoặc ( x; y ) = ⎜ ; − ⎟ . 0,25 ⎝ 2 2⎠ ⎝2 2⎠ ⎛ 11 3 ⎞ ⎛ 3 5 ⎞ ⎛ 3 5 ⎞ ⎛ 11 3 ⎞ Vậy B ⎜ ; ⎟ , C ⎜ ; − ⎟ hoặc B ⎜ ; − ⎟ , C ⎜ ; ⎟ . 0,25 ⎝ 2 2⎠ ⎝2 2⎠ ⎝2 2⎠ ⎝ 2 2⎠ 2. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng… B Gọi Δ là đường thẳng cần tìm; Δ nằm trong mặt phẳng (Q ) qua A và song song với ( P). 0,25 Phương trình (Q) : x − 2 y + 2 z + 1 = 0. Q A H K K , H là hình chiếu của B trên Δ, (Q). Ta có BK ≥ BH nên AH là đường thẳng cần tìm. 0,25 ⎧ x −1 y +1 z − 3 ⎪ = = ⎛ 1 11 7 ⎞ Toạ độ H = ( x; y; z ) thoả mãn: ⎨ 1 −2 2 ⇒ H = ⎜ − ; ; ⎟. 0,25 ⎪x − 2 y + 2z + 1 = 0 ⎝ 9 9 9⎠ ⎩ ⎛ 26 11 2 ⎞ x + 3 y z −1 AH = ⎜ ; ; − ⎟ . Vậy, phương trình Δ : = = . 0,25 ⎝ 9 9 9⎠ 26 11 −2 VII.b Tìm các giá trị của tham số m... (1,0 điểm) ⎧ x2 − 1 ⎪ = −x + m ⎧2 x 2 − mx − 1 = 0, ( x ≠ 0) (1) Toạ độ A, B thoả mãn: ⎨ x ⇔ ⎨ 0,25 ⎪ y = −x + m ⎩ y = − x + m. ⎩ Nhận thấy (1) có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 khác 0 với mọi m. 0,25 Gọi A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) ta có: AB 2 = ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 )2 = 2( x1 − x2 ) 2 . m2 Áp dụng định lí Viet đối với (1), ta được: AB 2 = 2 ⎡ ( x1 + x2 ) 2 − 4 x1 x2 ⎤ = ⎣ ⎦ 2 + 4. 0,25 m2 AB = 4 ⇔ + 4 = 16 ⇔ m = ± 2 6. 0,25 2 -------------Hết------------- Trang 4/4

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản