Đề thi và đáp án học sinh giỏi Châu Văn Liêm, Cần Thơ

Chia sẻ: trungtran1

Tham khảo tài liệu 'đề thi và đáp án học sinh giỏi châu văn liêm, cần thơ', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Nội dung Text: Đề thi và đáp án học sinh giỏi Châu Văn Liêm, Cần Thơ

 

  1. Sôû Giaùo duïc vaø Ñaøo taïo thaønh phoá Caàn Thô Tröôøng Trung hoïc Phoå thoâng Chaâu Vaên Lieâm ÑEÀ THI HOÏC SINH GIOÛI ÑOÀNG BAÈNG CÖÛU LONG ( Moân Toaùn - 180 Phuùt ) BAØI 1 : Soá hoïc. Cho n laø soá töï nhieân sao cho 2006! chia heát cho 6n. Chöùng minh n  999 BAØI 2 : Ñaïi soá vaø löôïng giaùc. 2 2 Giaûi phöông trình : 2005x  2006x = 2004x  2005x . BAØI 3 : Giaûi tích vaø toå hôïp. Cho caáp soá coäng  ao; a1; a2; a3 . . . vôùi an = a + n.d ; a > 0, d > 0 , n  N . Tìm ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñoái vôùi a vaø d ñeå coù moät daõy con cuûa caáp soá coäng laø caáp soá nhaân. BAØI 4 : Hình hoïc phaúng Beân trong ñöôøng troøn ñöôøng kính AB = 2006 coù 4 ñoaïn thaúng moãi ñoaïn coù ñoä daøi baèng 1003. Chöùng minh raèng toàn taïi moä t ñöôøng thaúng vuoâng goùc hoaëc song song vôùi AB, giao vôùi ít nhaát 2 trong 4 ñoaïn thaúng ñaõ cho. BAØI 5 : Hình hoïc khoâng gian Cho töù dieän ABCD, coù caùc caïnh AD, AC, BD, BC laàn löôït tieáp xuùc vôùi maët caàu (S1) baùn kính R1 , taâm I1 naèm treân caïnh AB; caùc caïnh CA, CB, DA, DB laàn löôït tieáp xuùc vôùi maët caàu (S 2) baùn kính R2 , taâm I2 naèm treân 2 2 caïnh CD. Chöùng minh : AB4(CD2 – 4R ) = CD4(AB2 – 4R ) 2 1
  2. Sôû Giaùo duïc vaø Ñaøo taïo thaønh phoá Caàn Thô Tröôøng Trung hoïc Phoå thoâng Chaâu Vaên Lieâm ÑAÙP AÙN THI HOÏC SINH GIOÛI ÑOÀNG BAÈNG CÖÛU LONG Moân Toaùn BAØI 1 : 2006!  6n  2006!  2n vaø 2006!  3n. 2006  Soá caùc boäi cuûa 2 trong daõy 1; 2; . . . 2006 laø   = 1003 soá  2  2006  Soá caùc boäi cuûa 22 trong daõy 1; 2; . . . 2006 laø   = 501 soá  4  Töông töï soá caùc boäi cuûa 23 , 24 . . . , 210 trong daõy 1; 2; . . . 2006 laàn löôït laø 250; 125; 62; 31; 15; 7; 3; 1 soá Nhö vaäy khi phaân tích 2006! thaønh tích caùc thöøa soá nguyeân toá thì soá muõ cuûa 2 laø 1003 + 501 + 250 + 125 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 =1998. Cuõng laøm nhö treân, ta nhaän thaáy khi phaân tích 2006! thaønh tích caùc thöøa soá nguyeân toá thì soá muõ cuûa 3 laø 668 + 222 + 74 + 24 + 8 + 2 + 1 = 999. Do ñoù 2006! = 21998.3999.p vôùi (p; 2) = 1; (p; 3) = 1 deã thaáy neáu 2006!  2n thì n  1998 vaø 2006!  3n thì n  999. Vaäy n  999. BAØI 2 : 2 2 2 2005x  2006x = 2004x  2005x  2004x + 2006x = 2005x + 2 2005x (*) Ñaët 2004 = a, 2006 = b, 2005 = (a + b)/2 = c. Nhaän xeùt 1 : (*) coù nghieäm x = 0; x = 1. 2 Nhaän xeùt 2 : Xeùt haøm soá f(x) = x   x
  3. 2 2 f’(x) = 2 x - 1  x - 1 = x - 1(x -   1) khi  < 0 hoaëc  > 1 thì f’(x) > 0 vôùi x  (1; +), khi 0 <  < 1 thì f’(x) < 0 vôùi x  (1; +) do ñoù f(x) ñoàng bieán treân (1; +) vôùi   [0; 1], nghòch bieán treân (1; +) vôùi   (0; 1) Nhaän xeùt 3 : Xeùt haøm soá g(x) = x coù g’(x) = x - 1, g”(x) = (  1)x - 2 khi  < 0 hoaëc  > 1 thì g”(x) > 0 vôùi x  (1; +) , khi 0 <  < 1 thì g”(x) < 0 vôùi x  (1; +) , do ñoù g(x) loõm treân (1; +) vôùi   [0; 1], loài treân (1; +) vôùi   (0; 1) Theo caùc nhaän xeùt treân , vôùi x  [0; 1] ta coù : 2 1 x 1 2 2 1 2 1 2 ax + bx = ( a + bx) + (ax + bx ) + (bx  bx)  (ax  ax) 2 2 2 2 2 > cx + c x vôùi x  (0; 1)ta coù : 2 1 x 1 2 2 1 2 1 2 ax + bx = ( a + bx) + (ax + bx ) + (bx  bx)  (ax  ax) 2 2 2 2 2 < cx + c x Vaäy phöông trình ñaõ cho chæ coù nghieäm x = 0; x = 1. BAØI 3 : Ñieàu kieän caàn : Giaû söû coù moät daõy con cuûa daõy ñaõ cho laø caáp soá nhaân. ai , aj , ak (i, j, k  N, i < j < k) laø ba soá haïng lieân tieáp cuûa caáp soá nhaân ñoù 2  a = ai.ak  (a + j.d)2 = (a + i.d)(a + k.d)  a.d( 2j  i  k ) = d2( i.k  j
  4. j2 ) a i.k  j2 a  =  Q   Q. d 2j  i  k d a a m Ñieàu kieän ñuû : giaû söû Q = vôùi n  N* , m  N*.  a.n = d.m d d n Xeùt bo = ao = a. b1 = (n + 1).bo , b1 = (n + 1)a = n.a + a = a + m.d = am ; b2 = (n + 1).b1 = (n + 1).am ; b2 = (n + 1).(a + m.d) = n.a + a + (n + 1)m.d = m.d + a + (n + 1)m.d = a + (n + 2)m.d = am(n + 2); b3 = (n + 1).b2 = (n + 1).am(n + 2), b3 = (n + 1).[a + m(n + 2).d] = n.a + a + (n + 1)(n + 2).m.d = m.d + a + (n + 1)(n + 2)m.d = a + [(n + 1)(n + 2) + 1]m.d = am[(n + 1)(n + 2) + 1]; Roõ raøng quaù trình treân coù theå keùo daøi voâ haïn  daõy ñaõ cho coù daõy con laø caáp soá nhaân. Vaäy ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå caáp soá coäng ñaõ cho coù daõy con caáp soá nhaân laø a Q d BAØI 4 : Keû ñöôøng kính CD  AB Xeùt EF laø moät trong caùc ñoaïn ñaõ cho, goïi ñoä daøi hình chieáu cuûa EF laàn löôït treân AB, CD laø x1 ; y1, deã thaáy x1 + y1  EF = 1003. Töông töï, ñoä daøi caùc hình chieáu 3 ñoaïn coøn laïi treân AB, CD laøn löôït laø laø x2 ; y2, x3 ; y3, x4 ; y4 . Roõ raøng laø ( x1 + x2 + x3 + x4 ) + ( y1 + y2 + y3 + y4 )  2.2006, nhö vaäy moät trong hai toång ( x1 + x2 + x3 + x4 );( y1 + y2 + y3 + y4 ) coù moät toång
  5. lôùn hôn 2006, giaû söû ñoù laø ( x 1 + x2 + x3 + x4 ), suy ra treân AB coù ñieåm M thuoäc ít nhaát 2 hình chieáu cuû a caùc ñoaïn noùi treân. Ñöôøng thaúng qua M vuoâng goùc AB laø ñöôøng thaúng caàn tìm. BAØI 5 : AD, AC laø caùc tieáp tuyeán cuûa maët caàu taâm I 1, deã thaáy I1AD = I1AC. BD, BC laø caùc tieáp tuyeán cuûa maët caàu taâm I 1, deã thaáy I1BD = I1BC. Do ñoù tam giaùc ABD = tam giaùc ABC suy ra AD = AC; BD = BC. Töông töï vôùi caùc tieáp tuyeán cuûa maët caàu taâm I 2, ta coù AD = BD; AC = BC Ñaët AC = AD = BC = BD = a > 0, deã thaáy I 1 laø trung ñieåm AB, I2 laø trung ñieåm CD, ñaët AB = 2m, CD = 2n. m Ta coù dtABD = 2.dtADI1 = a.R1 = m.DI1 = m. a2 - m2  R1 = a a2 - m2 m Töông töï R2 = a2 - m2 a 22 2 2 2 a2 – n2  n4 CD4 Nhö vaäy : CD – 4R = 4(n – R ) = 4n 1 – =4 2= 2 2  a2  a 4a2 2 2 AB4 Töông töï : AB – 4R = 2 1 4a 4 2 2 4 2 2 AB4 CD4 Suy ra : AB (CD – 4R ) vaø CD (AB – 4R ) cuøng baèng 2 1 4a2
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản