Đề thi và đáp án kỳ thi olympic toán ĐBSCL

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

0
112
lượt xem
19
download

Đề thi và đáp án kỳ thi olympic toán ĐBSCL

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn ôn thi Olympic toán. Tài liệu mang tính chất tham khảo.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi và đáp án kỳ thi olympic toán ĐBSCL

  1. Sôû Giaùo Duïc & Ñaøo Taïo Ñoàng Thaùp Tröôøng THPT Thò Xaõ SaÑeùc ÑEÀ THI OLYMPIC ÑBSCL Moân: TOAÙN – Khoái 12 Baøi 1: Cho soá nguyeân n > 1 vaø soá thöïc p > 0 . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa: n 1 n  xi xi 1 khi xi chaïy khaép moïi giaù trò thöïc khoâng aâm sao cho i 1 x i 1 i  p. Baøi 2: Trong maët phaúng toïa ñoä vuoâng goùc oxy cho n veùctô : OA1 , OA2 ,, OAn , thoûa OA1  OA2    OAn  1 Chöùng minh raèng coù theå choïn ra k veùctô coù tính chaát : 1 OAi  OAi    OAi  . 1 2 k 4 Baøi 3:
  2. Sôû Giaùo Duïc & Ñaøo Taïo Ñoàng Thaùp Tröôøng THPT Thò Xaõ SaÑeùc n (1) k 1 Daõy soá (un ) , (n =1, 2, 3,....) ñöôïc xaùc ñònh bôûi un   , vôùi n=1, 2, 3, .... k 1 k Chöùng minh raèng daõy soá naøy coù giôùi haïn vaø tìm giôùi haïn ñoù. Baøi 4: Giaûi phöông trình sau : T 4  4T 3  6T 2  4T  1  0 Baøi 5: Cho tam giaùc ABC, O laø ñieåm tuøy yù trong tam giaùc. Ñaët : OA = x; OB = y; OC = z. Goïi u, v, w töông öùng laø caùc ñöôøng phaân giaùc trong caùc goùc  BOC,  COA,  AOB cuûøa caùc tam giaùc BOC, COA, AOB. Chöùng minh raèng : x  y  z  2(u  v  w) .
  3. Sôû Giaùo Duïc & Ñaøo Taïo Ñoàng Thaùp Tröôøng THPT Thò Xaõ SaÑeùc ÑAÙP AÙN Baøi 1: Ñaët : S = x1x2 + x2x3 + … + xn-1xn ; p = x1 + x2 + … + xn . Giaû söû : xk = Max { x1, x2 , … , xn} n 1 n 1 k 1 n 1 k p2 S=  xi xi1 = i 1  xi xi1 + i 1  xi xi1  xk . xi + xk . xi 1  xk(p – xk)  i k i 1 i k 4 ,(Coâsi). p2 Vaäy : Max S = khi xk = xk+1 = p/2 vaø xi = 0, i = 1,…n, i  k vaø i  k + 1. 4 Baøi 2: Goïi (xi,yi) laø toïa ñoä veùctô OAi , i = 1,…,n. Ta coù: OAi  xi2  yi2  xi  yi , (1). Daáu ‘’=’’ xaõy ra khi xi = 0 hay yi = 0. n n Töø gthieát ta coù: 1  OA1  OA2    OAn   xi   yi i 1 i 1
  4. Sôû Giaùo Duïc & Ñaøo Taïo Ñoàng Thaùp Tröôøng THPT Thò Xaõ SaÑeùc n n  1   xi   y i   xi   xi   y i   y i . i 1 i 1 xi 0 xi 0 yi  0 yi  0 1 Theo nguyeân lyù Ñirichleâ seõ toàn taïi x xi  0 i  4 . Goïi OAi1 , OAi 2 ,..., OAik laàn löôït laø caùc veùctô coù hoaønh ñoä x i1, xi2, …, xik > 0. Ta coù: OAi1  OAi 2    OAik  xi1  xi 2    xik 2   yi1  yi 2    yik 2  xi1    xik   xi  1 xi 0 4 . Baøi 3: 2m m 1 1 2m 1 m 1 m 1 Ta vieát : u2 m    2 =    k 1 k k 1 2k k 1 k k 1 k k 1 k  m Maët khaùc, ta coù nhaän xeùt : vôùi x  (0,1) thì ln( x  1)  x   ln(1  x) , (1) Thaät vaäy: 1 x + Xeùt f ( x)  ln( x  1)  x  f '( x)  1   0, x  (0,1) , suy ra f(x) x 1 x 1 nghòch bieán treân (0,1)  f ( x)  f (0)  0  ln( x  1)  x , (2) 1 x + Xeùt g ( x)  ln(1  x)  x  g '( x)  1   0, x  (0,1) , suy ra g(x) 1 x 1 x nghòch bieán treân (0,1)  g ( x)  g (0)  0  x  ln(1  x) , (3) Töø (2) vaø (3) suy ra (1) ñaõ ñöôïc chöùng minh
  5. Sôû Giaùo Duïc & Ñaøo Taïo Ñoàng Thaùp Tröôøng THPT Thò Xaõ SaÑeùc 1 Aùp duïng (1) vôùi x  , ( k = 1, 2, 3, ...) , ta ñöôïc : k m m2 1 m 1 ln( )   ln( )  ln(m  2)  ln(m  1)   ln(m  1)  ln m m 1 m 1 m 1 m 1 1 Töông töï: ln(m  3)  ln(m  2)   ln(m  2)  ln(m  1) m2 1 ln( m  4)  ln( m  3)   ln( m  3)  ln( m  2) m3 .............................................. 1 ln(2m  1)  ln(2m)   ln(2m)  ln(2m  1) 2m m 1  ln(2m  1)  ln(m  1)    ln(2m)  ln m k 1 k  m 1  ln(2  )  u2 m  ln 2  lim u2m  ln 2 . m 1 m 1 Maët khaùc u2 m1  u2 m  neân lim u2 m1  lim u2 m . 2m  1 m m Suy ra lim un  ln 2 . n  Vaäy : lim un  ln 2 , n  (n=1, 2, 3, ...) Baøi 4: Phöông trình  4T (1  T 2 )  T 4  6T 2  1 (*)
  6. Sôû Giaùo Duïc & Ñaøo Taïo Ñoàng Thaùp Tröôøng THPT Thò Xaõ SaÑeùc Nhaän thaáy phöông trình (*) khoâng nhaän T   3  2 2 hay T  1 laøm nghieäm  1  T  0 2 4T (1  T 2 ) Do doù  4 neân (*)  4  1 (**) T  6T 2  1  0  T  6T 2  1    Ñaët T  tg ,     ;  \ arctg   3  2 2  ,          2 2    4  2tg   2.  1  tg 2   4tg (1  tg 2 ) (**)  4 1     1  2tg 2  1 tg   6tg   1 2  2tg   2 1  tg 2 2 1   1  tg 2         tg 4  1  4   k , (k  Z )     k. , (k  Z ) 4 16 4       So ñieàu kieän :     ;  , suy ra    k.     k  9 7    2 2 2 16 4 2 4 4 Vì k  Z neân suy ra k   2,1,0,1. 7   7  Neáu k  2 thì     T  tg  tg   16  16    3   5  Töông töï : neáu k  1,0,1 thì T  tg    , tg , tg    16  16 16   7  3  5  Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø tg  , tg , tg , tg   16 16 16 16  Baøi 5:
  7. Sôû Giaùo Duïc & Ñaøo Taïo Ñoàng Thaùp Tröôøng THPT Thò Xaõ SaÑeùc Ñaàu tieân , ta chöùng minh boå ñeà sau: ‚ Neáu        thì p, q, r , ta luoân coù: p2  q2  r 2  2  qr cos  pr cos   pq cos   ‛. Thaät vaäy : p2  q2  r 2  2  qr cos  pr cos   pq cos    sin2   cos2   p2  sin2   cos2   q2  r 2  2qr cos  2 pq cos(   )  2 pr cos    r 2   p cos     q cos    2r( p cos  )  2r( q cos  )  2( p cos  )( q cos  )  + 2 2   +  p sin     q sin    2( p sin  )(q sin  ) 2 2     r  p cos   q cos    p sin   q cos   0 . 2 2  p2  q2  r 2  2  qr cos  pr cos   pq cos   , (ñpcm). Trôû laïi baøi toaùn ñaàu baøi : Ñaët :  AOB = 2 ;  AOC = 2 ;  BOC = 2   +  +  =  Theo coâng thöùc tính ñöôøng phaân giaùc trong tam giaùc , ta coù : 2 yz cos  2 xz cos  2 xy cos  u ,v  ,w  yz xz x y AÙp duïng boå ñeà vôùi p  x , q  y , r  z ta coù : u( y  z ) v( x  z ) w( x  y ) x  y  z  2 yz .  2 xz .  2 xy . yz xz xy  yz zx x y Hay x  y  z  u.    v.    w.    2(u  v  w) , (ñpcm)  yz   xz   xy  ( theo baát ñaúng thöùc Cauchy )
  8. Sôû Giaùo Duïc & Ñaøo Taïo Ñoàng Thaùp Tröôøng THPT Thò Xaõ SaÑeùc

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản