Đề thi và đáp án môn Toán cao cấp

Chia sẻ: ronaldo_2207

Tài liệu tham khảo về Đề Thi toán cao cấp học phần một. Tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên có tư liệu ôn thi tốt đạt kết quả cao trong các kì thi giữa kì và cuối kì.

Nội dung Text: Đề thi và đáp án môn Toán cao cấp

Thi toán cao cấp học phần một Trần trung kiên



Đề thi số 1 Thi ngày 20/6/2008 – Đề lẻ
Câu I: a/ Phát biểu và tổ hợp tuyến tính của một hệ véc tơ và sự biểu diễn tuyến
tính của một véc tơ qua một hệ véc tơ trong không gian véc tơ ¡ n .

b/ Trong không gian ¡ 3 , cho H = { A 1, 2, 3, } . Biết rằng tập hợp
A A X
{ t, 2 t 1 2 3 }
T = t= ( 1 t , 3)∈ ¡ 3 :X = tA 1 + t A 2 + tA 3 ≠ ∅ . Cho nhận định về số phần tử của
T.
+∞
Câu II: Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑(
n=1
n + 1 − n − 1)



( 2 +−31(x − 1) )
+∞
b/ Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm: ∑
n=1
3n
n
n




Câu III: Cho hệ véc tơ { A 1 = ( 0, ;A 2 = ( 2, ;A 3 = ( 1, ) = ( 2, } .
1, 2) 3, 5) 0, α ;B 4, 7)

Với giá trị nào của α thì r { A 1, 2, 3} = r { A 1, 2, 3, }
ank A A ank A A B

Câu IV: Cho hệ phương trình tuyến tính: A X = Ο, trong đó:

 2 −3 5 −3 3
A = 7 −8 1 1 2
 1 −2 1 1 0 .
 −4 −3 1
 3 5 

Hãy chỉ ra công thức nghiệm tổng quát với x1 ,x4 ,x5 làm ẩn cơ sở và một hệ nghiệm
cơ bản của hệ đã cho.

H ết




1
Thi toán cao cấp học phần một Trần trung kiên




Đáp án đề thi số 1 ngày 20/6/2008 – Đề lẻ
Câu I: b/ Mỗi phần tử của T tương ứng với một cách biểu diễn tuyến tính
của X qua hệ véc tơ { A 1, 2, 3} và cũng là tương ứng với một nghiệm của hệ
A A
phương trình tuyến tính tA 1 + t A 2 + tA 3 = X (*1).
1 2 3
Giả thiết T ≠ ∅ cho phép ta khẳng định hệ phương trình (*1) có nghiệm ⇔
r { A 1, 2, 3} = r { A 1, 2, 3, } .
ank A A ank A A X
Nếu r { A 1, 2, 3} = 3 thì hệ (*1) chỉ có một nghiệm (vì hệ (*1) là hệ phương
ank A A
trình tuyến tính Cramer) ⇒ T chỉ có một phần tử.
Nếu r { A 1, 2, 3} = 2 thì hệ (*1) có vô số nghiệm phụ thuộc bậc nhất vào
ank A A
một tham số ⇒ T có vô số phần tử, số các phần tử của nó tương đương với số các
điểm của một đường thẳng.
Nếu r { A 1, 2, 3} = 1, (tức là 4 véc tơ A 1, 2, 3, tỷ lệ với nhau và có ít
ank A A A A X
nhất một trong các véc tơ A 1, 2, 3 khác véc tơ không) thì hệ (*1) có vô số nghiệm
A A
phụ thuộc bậc nhất vào hai tham số ⇒ T có vô số phần tử, số các phần tử của nó
tương đương với số các điểm của một mặt phẳng.
Nếu r { A 1, 2, 3} = 0 , (tức là cả 4 véc tơ A 1, 2, 3, đều là những véc tơ
ank A A A A X
không) thì hệ (*1) có vô số nghiệm phụ thuộc bậc nhất vào ba tham số ⇒ T có vô số
phần tử, số các phần tử của nó tương đương với số các điểm của toàn không gian
¡ 3.
+∞ +∞
Câu II: a/ ∑(
n=1
n + 1 − n − 1) = ∑
n=1
2
n+ 1+ n−1
là chuỗi số dương

2 > 1 ⇔ 2n > n + 1 + n − 1 ∀ n ≥ 2 (*1)
Nhận thấy rằng
n+ 1+ n−1 n

* Tam thức bậc 2: y = x2 − x − 1 có 2 nghiệm: x1 = 1 − 5 vµ x2 = 1 + 5 nên
2 2

x2 − x − 1 > 0 ∀ x > 1+ 5 ⇒ n2 − n − 1 > 0 ⇔ n > n + 1 ∀ n ≥ 2 (*2)
2

( )
2
* n2 − n + 1 = n − 1 + 3 > 0 ∀ n ⇔ n > n − 1 ∀ n > 1 (*3)
2 4

Từ (*2) và (*3) ⇒ (*1)
+∞ +∞
Chuỗi ∑ 1 phân kỳ, theo dấu hiệu so sánh 1 thì chuỗi ∑( n + 1 − n − 1) phân
n=1 n n=1
kỳ.




2
Thi toán cao cấp học phần một Trần trung kiên

+∞
2 1 u
Cách 2: Đặt un =
n+1+ n−1
, vn =
n
⇒ nlm n = 1, mặt khác chuỗi
i
→+∞ vn ∑1
n=1 n
+∞
phân kỳ ⇒ chuỗi ∑(
n=1
n + 1 − n − 1) phân kỳ.



( 2 +−31(x − 1) )
+∞
b/ Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm: ∑
n=1
3n
n
n




Đề thi số 2 Thi ngày 20/6/2008 – Đề lẻ
Câu I: a/ Phát biểu và chứng minh định lý về điều kiện cần và đủ để một hệ véc
tơ là phụ thuộc tuyến tính.

b/ Dùng định lý trên để chứng tỏ hệ hai véc tơ sau là độc lập tuyến tính:

{ A1 = (2,3,0,1) 2 = (
;A }
6,9,0,2) .


( )
+∞ n
x+ 5
Câu II: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm: ∑ n
n=1 l n + 1) 3x + 1
n(

 1 2 −α 2 α 
Câu III: Cho ma trận A =  1 5 α 1 
 1 1 −4 2α 
 

Với giá trị nào của α thì rankA = 2 ?

rankA = 3 ?

Câu IV: Cho hệ phương trình tuyến tính: A X = Ο, trong đó:

 2 −3 5 −3 3
A = 7 −8 1 1 2
 1 −2 1 1 0 .
 −4 −3 1
 3 5 

Hãy chỉ ra công thức nghiệm tổng quát với x1 ,x4 ,x5 làm ẩn cơ sở và một hệ nghiệm
cơ bản của hệ đã cho.

H ết




3
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản