Đề Thi Vào Hệ ĐT KSTN - ĐHBK Hà Nội (Full: 99-07)

Chia sẻ: Trần Bá Phúc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

1
186
lượt xem
54
download

Đề Thi Vào Hệ ĐT KSTN - ĐHBK Hà Nội (Full: 99-07)

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu " Đề Thi Vào Hệ ĐT KSTN - ĐHBK Hà Nội (Full: 99-07) " giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, cá đề thi thử, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập, đề thi một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình.Chúc các bạn học tốt.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề Thi Vào Hệ ĐT KSTN - ĐHBK Hà Nội (Full: 99-07)

  1. 1 Ph n th Nh t TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I TRUNG TÂM ðÀO T O TÀI NĂNG ð thi tuy n sinh chương trình ñào t o K.s tài năng và K.s ch t lư ng cao Năm 1999 Môn thi: Toán h c Th i gian: 90 phút(*). Bài 1: Kh o sát s bi n thiên c a hàm s f ( x ) xác ñ nh trên toàn ℝ , ñư c cho như sau:  x x + khi x = 0. f ( x) =  1+ ex 1  0 khi x ≠ 0. Bài 2: Tìm các s th c a, b, c th a mãn ñi u ki n a − 2b + 3c − 16 = 0 sao cho bi u th c: f = 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 − 4a − 4b − 4c + 15. ñ t giá tr nh nh t. Bài 3: Ch ng minh r ng phương trình: a.cos x + b.sin 2 x + c.cos3x = x có nghi m trên ño n [ −π , π ] v i m i a, b, c ∈ ℝ. Bài 4: Tìm hàm s f ( x ) xác ñ nh trên ño n [ 0,1] , bi t r ng: 0 ≤ f ( x ) ≤ 1, ∀x ∈ [ 0,1]. và: f ( x1 ) − f ( x2 ) ≥ x1 − x2 , ∀x1, x2 ∈ [ 0,1]. (*)ð thi ñư c so n l i b i Vũ H u Ti p K52-ðTVT-KSTN-ðHBKHN
  2. 2 TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I TRUNG TÂM ðÀO T O TÀI NĂNG ð thi tuy n sinh chương trình ñào t o K.s tài năng và K.s ch t lư ng cao Năm 2000 Môn thi: Toán h c Th i gian: 90 phút(*). Bài 1: Cho dãy s x1 , x2 ,..., xn ,..., xác ñ nh như sau: x1 > 0, xn = ln (1 + xn−1 ) , ∀n ≥ 1. Ch ng minh r ng dãy s y h i t t i m t gi i h n l. Tìm l. Bài 2: Ch ng minh r ng n u f ( x ) là hàm s xác ñ nh trên ℝ, th a mãn ñi u ki n f ( x1 ) − f ( x2 ) ≤ x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ ℝ. 3 thì f ( x ) là hàm h ng. Bài 3: f ( x ) là m t hàm s xác ñ nh và liên t c t i m i x ≠ 0, l y giá tr ≥ 0, th a mãn ñi u ki n: x f ( x ) ≤ k ∫ f ( t ) dt , ∀x ≥ 0. 0 Trong ñó k là m t h ng s dương. Ch ng minh r ng f ( x ) = 0, ∀x ≥ 0. x ( G i ý: Có th xét s bi n thiên c a hàm s F ( x ) = e − kx ∫ f ( t ) dt trên kho ng 0 (0, +∞)). Bài 4: Hàm s f ( x ) th a mãn ñi u ki n f " ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ. Ch ng minh r ng : f ( tx + (1 − t ) y ) ≤ tf ( x ) + (1 − t ) f ( y ) , ∀x, y ∈ ℝ, ∀t ∈ ( 0,1) . Bài 5: Cho các s th c k1 , k2 ,..., kn , khác nhau t ng ñôi m t. Ch ng minh r ng : a1e k1x + a2e k2 x + ... + an e kn x = 0, ∀x ∈ ℝ. khi và ch khi a1 = a2 = ... = an = 0. (*)ð thi ñư c so n l i b i Vũ H u Ti p K52-ðTVT-KSTN-ðHBKHN
  3. 3 TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I TRUNG TÂM ðÀO T O TÀI NĂNG ð thi tuy n sinh chương trình ñào t o K.s tài năng và K.s ch t lư ng cao Năm 2001 Môn thi: Toán h c Th i gian: 120 phút(*). Bài 1: ex Cho hàm s f ( x) = . Xét dãy s {un } xác ñ nh b i: ( x + 1) 2 u0 = 1, un+1 = f ( un ) , ∀n ≥ 0. 1  1./ Ch ng minh r ng phương trình f ( x ) = x có 1 nghi m duy nh t α ∈  ,1 . 2  1  2./ Ch ng minh r ng un ∈  ,1 v i m i n nguyên dương. 2  1  3./ Ch ng minh r ng f ' ( x ) tăng trên ño n  ,1 . Suy ra t n t i m t s 2  k ∈ ( 0,1) sao cho un+1 − α = k un − α v i m i n nguyên dương. 4./ Ch ng minh r ng: lim un = α . n→∞ Bài 2: x− y V i 2 s x, y ∈ ℝ ta ñ t d ( x, y ) = . 1+ x − y Ch ng minh r ng v i 3 s x, y, z ∈ ℝ ta luôn có: d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( y, z ) . Bài 3: Cho hàm s f ( x ) có f " ( x ) > 0 và a < b. Ch ng minh r ng: 1./ f ( λ x1 + (1 − λ ) x2 ) > λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 ) , ∀x1 , x2 ∈ [ a, b ] , ∀0 < λ < 1.  a+b b 2./ ∫ f ( x ) dx ≤ ( b − a ) f  . a  2  Bài 4: Cho a < b và hàm s f ( x ) có f ' ( x ) liên t c trên ℝ th a mãn f ( a ) = f ( b ) = 0 b m và ∫ f ' ( x ) dx = m. Ch ng minh r ng: f ( x ) ≤ , ∀x ∈ [ a, b ]. a 2 (*)ð thi ñư c so n l i b i Vũ H u Ti p K52-ðTVT-KSTN-ðHBKHN
  4. 4 TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I TRUNG TÂM ðÀO T O TÀI NĂNG ð thi tuy n sinh chương trình ñào t o K.s tài năng và K.s ch t lư ng cao Năm 2002 Môn thi: Toán h c Th i gian: 120 phút(*). Bài 1: Cho b t phương trình: x ≥ mx 2 + x (1) 1+ x 1./ Gi i b t phương trình (1) khi m = 2. 2./ Tìm m ∈ ℝ l n nh t sao cho b t phương trình (1) nghi m ñúng v i m i x ∈ ℝ. Bài 2: Cho dãy s { xn } xác ñ nh nhau sau:  1  x1 = − 3  f ( x) =  2  x = xn − 1, ∀n ≥ 1.  n +1 2  Ch ng minh r ng dãy { xn } có gi i h n khi n → +∞ và tìm gi i h n ñó. Bài 3: Cho các s th c a0 , a1 ,..., a2002 th a mãn:  a0 ≠ 0   a1 a2 a2002  a0 + 2 + 3 + ... 2003 = 0.  Ch ng minh r ng phương trình: a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a2002 x 2002 = 0 có nghi m trên ño n [ 0,1]. Bài 4: Cho hàm s y = f ( x ) có ñ o hàm c p hai f " ( x ) ≥ 0 trên toàn b ℝ và a ∈ ℝ c ñ nh. Tìm giá tr l n nh t c a hàm s g ( x ) = f ( x ) + ( a − x ) f ' ( x ) trên ℝ. (*)ð thi ñư c so n l i b i Vũ H u Ti p K52-ðTVT-KSTN-ðHBKHN
  5. 5 TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I TRUNG TÂM ðÀO T O TÀI NĂNG ð thi tuy n sinh chương trình ñào t o K.s tài năng và K.s ch t lư ng cao Năm 2003 Môn thi: Toán h c Th i gian: 120 phút(*). Bài 1: Tìm ña th c P ( x ) có b c bé nh t, ñ t c c ñ i t i x = 1 v i P (1) = 6 và ñ t c c ti u t i x = 3 v i P ( 3) = 2. Bài 2: Có t n t i hay không m t ña th c P ( x ) th a mãn 2 ñi u ki n: i ) P ( x ) ≥ P "( x ) . ii ) P ' ( x ) ≥ P " ( x ) . v i m i giá tr c a x. Bài 3: 1./ Cho hàm s xác ñ nh và f ' ( x ) > 0 ∀x ∈ ℝ . Bi t r ng t n t i x0 ∈ ℝ sao ( ( )) cho f f f ( f ( x0 ) ) = x0 . Ch ng minh r ng f ( x0 ) = x0 . 2./ Gi i h phương trình:  x = y3 + 2 y − 2   y = z + 2z − 2 3   z = t + 2t − 2 3 t = x 3 + 2 x − 2.  Bài 4: Cho dãy s { xn } th a mãn:  x1 = 2    x1 + x2 + ... + xn = n xn . 2  Tìm gi i h n: lim ( n 2 xn ) . n →∞ (*)ð thi ñư c so n l i b i Vũ H u Ti p K52-ðTVT-KSTN-ðHBKHN
  6. 6 TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I TRUNG TÂM ðÀO T O TÀI NĂNG ð thi tuy n sinh chương trình ñào t o K.s tài năng và K.s ch t lư ng cao Năm 2004 Môn thi: Toán h c Th i gian: 120 phút(*). Bài 1: Tìm các s a, b, c sao cho: a ( 2 x3 − x 2 ) + b ( x3 + 5 x 2 − 1) − c ( 3 x 3 + x 2 ) lim = 1. x →±∞ a ( 5 x 4 − x ) − bx 4 + c ( 4 x 4 + 1) + 2 x 2 + 5 x Bài 2: Ch ng minh r ng v i m i tham s m, phương trình: x3 − 9 x − m ( x 2 − 1) = 0 luôn có 3 nghi m. Bài 3: f ( x ) là hàm s xác ñ nh trên ño n [ 0,1] , th a mãn ñi u ki n: f ( x1 ) − f ( x2 ) < x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ [ 0,1]. Ch ng minh r ng t n t i m t ñi m duy nh t x0 ∈ [ 0,1] sao cho: f ( x0 ) = x0 . Bài 4: 1./ Ch ng minh r ng n u hàm s f ( x ) liên t c trên ño n [ a, b ] thì: b b ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx. a a 2./ Ch ng minh r ng n u hàm s f ( x ) có ñ o hàm liên t c trên ño n [ a, b ] và th a mãn ñi u ki n f ( a ) = f ( b ) = 0 thì: (b − a ) b 2 ∫ f ( x) a dx ≤ 4 M. (*)ð thi ñư c so n l i b i Vũ H u Ti p K52-ðTVT-KSTN-ðHBKHN
  7. 7 TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I TRUNG TÂM ðÀO T O TÀI NĂNG ð thi tuy n sinh chương trình ñào t o K.s tài năng và K.s ch t lư ng cao Năm 2005 Môn thi: Toán h c Th i gian: 120 phút(*). Bài 1: Cho dãy s {un } xác ñ nh như sau: 1 u0 = 1, un = un −1 + , ∀n ≥ 0. un−1 1./ Ch ng minh r ng dãy s y không d n t i m t gi i h n h u h n khi n → +∞. 2./ Ch ng minh r ng: lim un = +∞. n →∞ Bài 2: Cho hàm s f ( x ) liên t c, ñơn ñi u gi m trên [ 0,b ] và a ∈ [ 0, b ]. Ch ng minh r ng: a b b ∫ f ( x ) dx ≥ a ∫ f ( x ) dx. 0 0 Bài 3:  π f ( x ) là m t hàm s liên t c trên ño n 0,  , th a mãn:  2 π 2 f ( x ) > 0 và ∫ f ( x ) dx < 1. 0 Ch ng minh r ng phương trình: f ( x ) = sin x  π có ít nh t m t nghi m trong kho ng  0,  .  2 Bài 4: Cho hàm s :  α 1  x sin   khi x ≠ 0. f ( x) =  x 0 khi x = 0.  v i α là h ng s dương. V i giá tr nào c a α , hàm s f ( x ) có ñ o hàm t i m i x. Bài 5: Tìm t t c các hàm s f ( x ) có ñ o hàm liên t c trên ℝ và th a mãn h th c: f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + 2 xy, ∀x, y ∈ ℝ. (*)ð thi ñư c so n l i b i Vũ H u Ti p K52-ðTVT-KSTN-ðHBKHN
  8. 8 TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I TRUNG TÂM ðÀO T O TÀI NĂNG ð thi tuy n sinh chương trình ñào t o K.s tài năng và K.s ch t lư ng cao Năm 2006 Môn thi: Toán h c Th i gian: 120 phút(*). Bài 1: Phương trình: x3 − ax 2 + 4 = 0, (trong ñó a là tham s ), có bao nhiêu nghi m? Bài 2: Cho dãy s {un } xác ñ nh như sau: u0 ∈ ℝ và: 1 un+1 = un + ∫ t − un dt , ∀n ∈ ℕ. 0 1./ Ch ng minh r ng: ñó là 1 dãy s tăng và n u u0 ≥ 1 thì: 1 un+1 = 2un − , ∀n ∈ ℕ. 2 T ñó ch ng minh r ng: lim un = +∞. n →∞ 2./ Ch ng minh r ng n u 0 ≤ u0 < 1 hay n u u0 < 0 thì lim un = +∞. n →∞ Bài 3: 1 V i m i n nguyên dương, ñ t I n = ∫ x n ln (1 + x 2 ) dx. 0 1./ Tính lim I n . n →∞ c 1 2./ Gi s c ∈ ( 0,1) . ð t An = ∫ x ln (1 + x ) dx, Bn = ∫ x n ln (1 + x 2 ) dx. n 2 0 c An Ch ng minh r ng: lim = 0. n →∞ Bn Bài 4: 1./ Tìm nh ng hàm s f ( x ) xác ñ nh trên ℝ , liên t c t i 0, sao cho: f ( 2 x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ℝ. 2./ Tìm nh ng hàm s g ( x ) xác ñ nh trên ℝ , có ñ o hàm t i 0, sao cho: g ( 2 x ) = 2 g ( x ) , ∀x ∈ ℝ. Bài 5: x và y là 2 ñư ng th ng chéo nhau. A và B là 2 ñi m c ñ nh trên x. CD là ño n th ng có chi u dài l cho trư c trư t trên y. Tìm v trí c a CD sao cho di n tích toàn ph n c a t di n ABCD là nh nh t. (*)ð thi ñư c so n l i b i Vũ H u Ti p K52-ðTVT-KSTN-ðHBKHN
  9. 9 TRƯ NG ð I H C BÁCH KHOA HÀ N I TRUNG TÂM ðÀO T O TÀI NĂNG ð thi tuy n sinh chương trình ñào t o K.s tài năng và K.s ch t lư ng cao Năm 2007 Môn thi: Toán h c Th i gian: 120 phút(*). Bài 1: ( ) 3 Cho phương trình: 1− x + x − x (1 − x ) = m (1) (m là tham s ) 1./ Gi i phương trình (1) khi m = 1. 2./ Tìm m ñ phương trình (1) có nghi m. Bài 2: V i n là s nguyên dương, ñ t: π π 4 4 U n = ∫ x 2 n −1 ( sin x ) dx và Vn = ∫ x 2 n−1 ( cos 2 x ) 2n 2 n −1 dx. 0 0 Ch ng minh r ng: 1./ lim U n = lim Vn = 0. n →+∞ n→+∞ π2 2./ 2U n + Vn ≤ , ∀n ≥ 1. 32 Bài 3: Ký hi u t p ℝ + là t p các s th c dương. Gi s f : ℝ + → ℝ + là m t hàm s liên t c và th a mãn f ( f ( x ) ) = ( x + 1) 5 5 + 1. Ch ng minh r ng: 1./ N u f ( x1 ) = f ( x2 ) thì x1 = x2 . f ( x + 1) 2./ Hàm s f ( x ) ñơn ñi u tăng và lim = 1. x →+∞ f ( x) Bài 4: Cho m t ph ng ( P ) và 2 ñi m C , D v 2 phía ñ i v i ( P ) sao cho CD không vuông góc v i ( P ) . Hãy xác ñ nh v trí 2 ñi m A, B thu c ( P ) sao cho AB = a (a > 0 cho trư c ) và t ng ñ dài CA + AB + BD ñ t giá tr nh nh t. Bài 5: Cho k1 , k2 ,..., kn là các s th c dương khác nhau t ng ñôi m t. Ch ng minh r ng: λ1 cos ( k1 x ) + λ2 cos ( k2 x ) + ... + λn cos ( kn x ) = 0, ∀x ∈ ℝ khi và ch khi λ1 = λ2 = ... = λn = 0. (*)ð thi ñư c so n l i b i Vũ H u Ti p K52-ðTVT-KSTN-ðHBKHN
  10. 10 Ph n th Hai ðÁP ÁN Kỳ thi ch n h K sư tài năng và K sư ch t lư ng cao Năm 1999 Môn thi: Toán Bài 1:  x x + khi x ≠ 0 f ( x) =  1+ e x 1  0 khi x = 0. Trư c tiên ta có lim f ( x ) = 0 ⇒ hàm s liên t c t i x = 0 . x →0 1 1 1 1 + e x + x.e x . x 2 = 1 + 1 + e + t.e , trong ñó t = 1 . t t V i x ≠ 0, f ' ( x ) = 1 + 1 2 (1 + et ) 2   x  1+ e  x   ð t g ( t ) = 1 + et + t.et ⇒ g ' ( t ) = et ( 2 + t ) ⇒ g ' ( t ) = 0 ⇔ t = −2. Qua t = −2, g ' ( t ) ñ i d u t âm sang dương, v y t = −2 là ñi m c c ti u duy nh t c a g ( t ) ⇒ g ( t ) ≥ g ( −2 ) = 1 + e −2 − 2e−2 = 1 − e−2 > 0. Do ñó f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ* . V y f ( x ) ñ ng bi n trên ℝ. Bài 2: Áp d ng b t ñ ng h c Bunhiacopxki ta có: [(a − 1).1 + (b − 1).( −2) + (c − 1).3]2 ≤ [(a − 1) 2 + (b − 1) 2 + (c − 1) 2 ][12 + ( −2) 2 + 32 ] ⇒ 142 ≤ [a 2 + b 2 + c 2 − 2a − 2b − 2c + 3].14 9 ⇒ 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 − 4a − 4b − 4c + 15 ≥ 2(14 + ) = 37. 2 D u b ng x y ra khi: a − 1 b − 1 c − 1 (a − 1) − 2(b − 1) + 3(c − 1) = = = = 1. 1 −2 3 1+ 4 + 9 ⇒ a = 2, b = −1, c = 4. Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN. Hà N i, tháng 8/2008
  11. 11 Bài 3: b cos 2 x c sin 3 x x 2 Xét f ( x) = a sin x − + − là hàm s xác ñ nh, kh vi trên ℝ và: 2 3 2 b π2 f (π ) = f (−π ) = − − . 2 2 Theo ñ nh lý Roll, t n t i x0 ∈ (−π , π ) mà f '( x0 ) = 0. V y phương trình ñã cho có nghi m x0 ∈ (−π , π ). (dpcm) Bài 4: Cho x1 = 1, x2 = 0 ⇒ f (1) − f (0) ≥ 1 − 0 = 1. (*) Do 0 ≤ f (1) ≤ 1, 0 ≤ f (0) ≤ 1 ⇒ f (1) − f (0) ≤ 1. K t h p v i (1) ⇒ f (1) − f (0) = 0. D u b ng x y ra, v y x y ra 2 trư ng h p:  f (1) = 1 *)TH1:   f (0) = 0. Cho x1 = 0, x2 = x ⇒ f ( x) ≥ x ⇒ f ( x) ≥ x. (1) Cho x1 = 1, x2 = x ⇒ 1 − f ( x) ≥ 1 − x ⇒ 1 − f ( x) ≥ 1 − x ⇒ f ( x) ≤ x. (2) T (1 )và (2) ⇒ f ( x) = x.  f (1) = 0 *)TH2   f (0) = 1. Làm tương t ta có f ( x ) = 1 − x. K t lu n: có 2 hàm s th a mãn ñi u ki n bài toán là: f ( x) = x f ( x ) = 1 − x. Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN. Hà N i, tháng 8/2008
  12. 12 ðÁP ÁN Kỳ thi ch n h K sư tài năng và K sư ch t lư ng cao Năm 2000 Môn thi: Toán Bài 1: 1 Xét g ( x ) = x − ln (1 + x ) có g ' ( x ) = 1 − > 0, x ∈ ( 0, +∞ ) 1+ x ⇒ g ( x ) ñ ng bi n trên ( 0, +∞ ) ⇒ g ( x ) > g ( 0 ) = 0, ∀x ∈ ( 0, +∞ ) T cách xác ñ nh dãy ⇒ xn > 0, ∀n ≥ 1. ⇒ xn − xn +1 = xn − ln (1 + xn ) = f ( xn ) > 0, ∀n ≥ 1. V y { xn } là dãy gi m và b ch n dư i b i 0 ⇒ { xn } h i t . Gi s lim xn = l khi ñó l là nghi m c a phương trình g ( x ) = 0 ⇒ l = 0 n →∞ V y lim xn = 0. n →∞ Bài 2: f ( x1 ) − f ( x2 ) 2 T g i thi t ta có: 0 ≤ ≤ x1 − x2 . x1 − x2 C ñ nh x2 , cho x1 → x2 f ( x1 ) − f ( x2 ) 2 f ( x1 ) − f ( x2 ) ⇒ 0 ≤ lim ≤ lim x1 − x2 = 0 ⇒ lim =0 x1 → x2 x1 − x2 x1 → x2 x1 → x2 x1 − x2 f ( x1 ) − f ( x2 ) ⇒ lim = 0. x1 → x2 x1 − x2 ði u ñó nghĩa là: ∃f ' ( x ) , ∀x ∈ ℝvà f ' ( x ) = 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ f ( x ) = c, ∀x ∈ ℝ, ( c = const ) . V y f ( x ) là hàm h ng. Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN. Hà N i, tháng 8/2008
  13. 13 Bài 3: x Xét hàm s : F ( x ) = e − kx ∫ f ( t ) dt trên [0; +∞) 0  x  Ta có: F ' ( x ) = e− kx  f ( x ) − k ∫ f ( t ) dt  ≤ 0, ∀x ≥ 0.  0  x V y F ( x ) ≤ F ( 0 ) = 0, ∀x ≥ 0 ⇒ ∫ f ( t ) dt ≤ 0, ∀x ≥ 0. 0 x0 G a s t n t i x0 ≥ 0 : f ( x0 ) > 0, do f ( x ) liên t c nên ∫ f ( t ) dt > 0. 0 ði u mâu thu n ch ng t f ( x ) = 0, ∀x ≥ 0. Bài 4: Không gi m t ng quát, gi s x < y (trư ng h p x = y BðT hi n nhiên ñúng) Ta có: f ( tx + (1 − t ) y ) ≤ tf ( x ) + (1 − t ) f ( y ) ( ) ( ⇔ (1 − t ) f ( y ) − f ( tx + (1 − t ) y ) ≥ t f ( tx + (1 − t ) y ) − f ( x ) ) (1). ( Áp d ng ñ nh lý Lagrange, ∃a ∈ x, ( tx + (1 − t ) y ) ) ( và b ∈ ( tx + (1 − t ) y ) , y ) ( a < b) th a mãn: f ( y ) − f ( ( tx + (1 − t ) y ) ) = f ' ( b ) ( y − ( tx + (1 − t ) y ) ) = f ' ( b ) .t. ( y − x ) và f ( ( tx + (1 − t ) y ) ) − f ( x ) = f ' ( a ) ( ( tx + (1 − t ) y ) − x ) = f ' ( a ) . (1 − t ) . ( y − x ) V y (1) ⇔ f ' ( b ) t (1 − t )( y − x ) ≥ f ' ( a ) t (1 − t )( y − x ) (2) Do f " ( x ) > 0∀x ∈ ℝ ⇒ f ' ( x ) ñ ng bi n trên ℝ ⇒ f ' (b ) > f ' ( a ) Và t (1 − t )( y − x ) > 0∀x < y, t ∈ ( 0,1) V y (2) ñúng, t ñó BðT c n ch ng minh ñúng. Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN. Hà N i, tháng 8/2008
  14. 14 Bài 5: a1ek1x + a2ek2 x + .... + an ekn x = 0, ∀x ∈ ℝ (1) Ta ch ng minh b ng quy n p theo n. V i n = 1 , hi n nhiên ae kx = 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ a = 0. Gi s kh ng ñ nh ñúng ñ n n − 1. ð t f ( x ) là v trái c a phương trình. ð o hàm 2 v c a (1) ta có: k1a1e k1 x + k2 a2 e k2 x + ... + kn an ekn x = 0, ∀x ∈ ℝ V y kn f ( x ) − f ' ( x ) = 0, ∀x ∈ ℝ. n −1 ⇒ ∑ ( kn − ki ) ai eki x = 0, ∀x ∈ ℝ . i =1 Theo gi thi t quy n p ⇒ ( kn − k1 ) a1 = ( kn − k2 ) a2 = ... = ( kn − kn −1 ) an −1 = 0. Do các ki khác nhau ñôi m t nên a1 = a2 = ... = an −1 = 0. T ñó hi n nhiên an = 0. Theo nguyên lý quy n p, bài toán ñư c ch ng minh. Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN. Hà N i, tháng 8/2008
  15. 15 ðÁP ÁN Kỳ thi ch n h K sư tài năng và K sư ch t lư ng cao Năm 2001 Môn thi: Toán Bài 1: ex 1./ Xét hàm s g ( x ) = f ( x ) − x = − x, x ∈ ( 0, +∞ ) . (1 + x ) 2 Khi ñó g ( x ) liên t c trên ( 0, +∞ ) và: e x ( x + 1) − 2e x ( x + 1) 2 g '( x) = −1 ( x + 1) 4 e x ( x − 1) = − 1 < 0, ∀x ∈ ℝ. ( x + 1) 3 V y g ( x ) ngh ch bi n trên ℝ. M t khác: 1 1 e 2 1 4 e 1 g  = 2 − = − > 0, 2 1  2 9 2  + 1 2  e g (1) = − 1 < 0. 4 1  ⇒ phương trình g ( x ) = 0 có nghi m α ∈  ,1 . 2   1  T ñó phương trình f ( x ) = x có nghi m duy nh t α ∈  ,1 . 2  e 1  1 4 e 1  2./ Ta có u1 = f ( u0 ) = f (1) = ∈  ,1 , f   = ∈  ,1 . 4 2  2 9 2  e ( x − 1) x 1  Và f ' ( x ) = < 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ f ( x ) ngh ch bi n trên  ,1 . ( x + 1) 3 2  1   e 4 e  1  Do ñó v i x ∈  ,1 , f ( x ) ∈  ,   ⊂  ,1 .  2   4 9  2  1  B ng quy n p ⇒ un ∈  ,1 , ∀n ∈ ℕ* . 2  Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN. Hà N i, tháng 8/2008
  16. 16 3./ f '( x) = e x ( x − 1) ⇒ f "( x ) = ( e ( x − 1) + e ) ( x + 1) x x 3 − 3 ( x + 1) e x ( x − 1) 2 ( x + 1) ( x + 1) 3 6 e x x ( x + 1) + 3e x (1 − x ) 1  = > 0, ∀x ∈  ,1 . ( x + 1) 6 2  1  ⇒ f ' ( x ) tăng trên ño n  ,1 . 2  ⇒ f ' ( x ) < f ' (1) = 0, 1 − e −4 e f '( x) > f '  = 3 = = − q > −1 ⇒ 0 ≤ f ' ( x ) ≤ q < 1. 2 3 27 2  2 Ch n k ∈ ( q,1) b t kỳ. Theo ñ nh lý Lagrange, ∃β n n m gi a un +1 , α mà: un +1 − α = f ( un ) − f ( a ) = f ' ( β n ) un − α ≤ q un − α < k un − α . 4./ Theo câu 3/ un − α < k un −1 − α < k 2 un − 2 − α < ... < k n u0 − α . Do 0 < k < 1 ⇒ k n → 0 khi n → +∞ t ñó lim un − α = 0 ⇒ lim un = α . n →∞ n →∞ Bài 2: x− y d ( x, y ) = . 1+ x − y Ta có: d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z , x ) x− y x−z z−y ⇔ ≤ + 1+ x − y 1+ x − z 1+ z − y 1 1 z−y ⇔ 1− ≤ 1− + 1+ x − y 1+ x − z 1+ z − y x− y − z−x z−y ⇔ ≤ . (1 + x − y )(1 + z − x ) 1+ z − y L i do x − y − z − x ≤ z − y và (1 + x − y )(1 + z − x ) = 1 + x − y + z − x + x − y z − x ≥ 1+ x − y + z − x ≥ 1+ z − y > 0 1 1 ⇒ ≤ . (1 + x − y )(1 + z − x ) 1+ z − y V y ta có ñi u ph i ch ng minh. Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN. Hà N i, tháng 8/2008
  17. 17 Bài 3: 1./ Xem bài 4 năm 2000.  x+a x 2./ Xét ham s : g ( x ) = ∫ f ( t ) dt − ( x − a ) f   , x ∈ [ a, b ] . a  2   x+a x−a  x+a Ta có: g ' ( x ) = f ( x ) − f  − f ' .  2  2  2   x+a Theo ñ nh lý Lagrange t n t i x0 ∈  a,  mà  2   x+a  x+a  x−a f ( x) − f   = f ' ( x0 )  x −  = f ' ( x0 )  .  2   2   2   x − a   x + a  ⇒ g '( x) =    f ' ( x0 ) − f '  .  2   2  Do f '' ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ f ' ( x ) ñ ng bi n trên ℝ . x+a  x+a Vì a < x0 < ⇒ f ' ( x0 ) < f '   ⇒ g ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ [ a, b ] . 2  2  V y g ( x ) ≤ g ( a ) = 0, ∀x ∈ [ a, b ] .  a+b b Hay ∫ f ( t ) dt ≤ ( b − a ) f  a  . 2  Bài 4: Do f ( x ) liên t c trên [ a, b ] ⇒ ∃x0 ∈ [ a, b ] mà f ( x0 ) ≥ f ( x ) , ∀x ∈ [ a, b ]. b x0 b Ta có: m = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ f ' ( x ) dx + ∫ f ' ( x ) dx a a x0 x0 b ≥ ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx a x0 = f ( x0 ) − f ( a ) + f ( b ) − f ( x0 ) = 2 f ( x0 ) . m ⇒ f ( x ) ≤ f ( x0 ) ≤ . 2 Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN. Hà N i, tháng 8/2008
  18. 18 ðÁP ÁN Kỳ thi ch n h K sư tài năng và K sư ch t lư ng cao Năm 2002 Môn thi: Toán Bài 1: x ≥ mx 2 + x. (1) 1+ x x 1./ Khi m = 2, (1) ⇔ ≥ 2 x 2 + x. (2) 1+ x Xét 3 trư ng h p: *)TH1: x > 0. x 3 ( 2) ⇔ ≥ ( 2 x + 1) x ⇔ 1 ≥ ( 2 x + 1)(1 + x ) ⇔ 2 x 2 + 3 x ≤ 0 ⇔ x ≤ − . 1+ x 2 V y trong trư ng h p này, BPT vô nghi m. *)TH2: x < 0. x 1 ( 2) ⇔ ≥ ( 2 x + 1) x ⇔ 1 ≤ ( 2 x + 1)(1 − x ) ⇔ 2 x 2 + x ≤ 0 ⇔ x ≤ − . 1− x 2 *)TH3: x = 0 ⇒ BPT ñúng. 1 V y nghi m c a BPT là x ≤ − và x = 0. 2 2./ ði u kiên c n: Gi s m là s th a mãn. x ⇒ ≥ mx 2 + x, ∀x > 0 1+ x x ⇔ ≥ mx 2 + x ⇔ mx + ( m + 1) ≤ 0, ∀x > 0 ⇒ m ≤ 0. ( 3) 1+ x Cho x → 0+ ⇒ m + 1 ≤ 0 ⇒ m ≤ −1. ði u ki n ñ : V i m = −1. Thay vào ta th y BPT ñúng v i m i x ∈ ℝ K t lu n m = −1. Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN. Hà N i, tháng 8/2008
  19. 19 Bài 2: T gi thi t ta có: xn > −1, ∀n. Do 1 1 1 x1 = < 1 ⇒ x2 < − ⇒ < x2 < 1. 3 2 2 7 1 1 7 7 1 ⇒ − < x3 < − ⇒ < x3 < < 1 ⇒ ... ⇒ − < xn < − , ∀n > 2. 8 2 2 8 8 2 x2 ð t f ( x) = − 1. 2  7 1 Xét phương trình f ( x ) = x, x ∈  − , −  , có nghi m α = 1 − 3.  8 2 Theo ñ nh lý Lagrange, t n t i β n n m gi a α và xn th a mãn: xn +1 − α = f ( xn ) − f ( a ) = f ' ( β n ) xn − α = β n xn − α < k xn − α  7  < k 2 xn −1 − α ... < k n x1 − α ,  k = < 1 .  8  Do lim k x1 − α = 0 ⇒ lim xn +1 − α = 0 ⇒ lim xn = α = 1− 3. n n →∞ n →∞ n →∞ Bài 3: a1 x 2 a2 x 3 a x 2003 Xét hàm s f ( x ) = a0 x + + + ... + 2002 , x ∈ [ 0,1]. 2 3 2003 Ta có f ( x ) liên t c trên [ 0,1] và f ( 0 ) = f (1) = 0 , theo ñ nh lý Roll, ∃x0 ∈ [ 0,1] sao cho f ' ( x0 ) = 0 ⇒ phương trình a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a2002 x 2002 = 0 có nghi m trên ño n [ 0,1] . Bài 4: Xét hàm s : h ( x ) = f ( a ) − g ( x ) = f ( a ) − f ( x ) − ( a − x ) f ' ( x ) . Theo ñ nh lý Lagrange, ∃x0 n m gi a a và x th a mãn f ( a ) − f ( x ) = f ' ( x0 )( a − x ) . Do ñó: h ( x ) = ( a − x ) ( f ' ( x0 ) − f ' ( x ) ) . Vì f "( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ f ' ( x ) ñ ng bi n ⇒ (a − x) và f ' ( a ) − f ' ( x ) cùng d u ⇒ h ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ g ( x ) ≤ f ( a ) , ∀x ∈ ℝ. D u b ng x y ra khi x = a. V y max g ( x ) = f ( a ) . Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN. Hà N i, tháng 8/2008
  20. 20 ðÁP ÁN Kỳ thi ch n h K sư tài năng và K sư ch t lư ng cao Năm 2003 Môn thi: Toán Bài 1: Do ña th c P ( x ) ñ t c c ñ i và c c ti u t i x = 1 và x = 3 nên deg P ( x ) ≥ 3 và P ' ( x ) = ( x − 1)( x − 3) Q ( x ) v i Q ( x ) . ( deg P ( x ) là b c c a ña th c P ( x ) ) N u deg Q ( x ) = 0, Q ( x ) = a  x3  ⇒ P ( x ) = a  − 2 x 2 + 3 x  + c.  3  4a P (1) = 6 ⇒ + c = 6. 3 P ( 3) = 2 ⇒ c = 2 ⇒ a = 3 ⇒ P ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x + 2. Th l i th y ña thưc này th a mãn bài toán và có b c nh nh t. Bài 2: Trư c h t ta có nh n xét: N u ña th c Q ( x ) không ñ i d u trên ℝ thì deg Q ( x ) ch n. Gi s t n t i ña th c th a mãn bài toán. Xét R ( x ) = P ( x ) − P "( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ. Rõ ràng deg R ( x ) = deg P ( x ) ⇒ deg P ( x ) ch n ⇒ deg P ' ( x ) l . ⇒ deg ( P ' ( x ) − P " ( x ) ) = deg P ' ( x ) l . ⇒ ña th c ( P ' ( x ) − P " ( x ) ) ñ i d u trên ℝ (mâu thu n v i ii)). ði u vô lý suy ra không t n t i ña th c th a mãn ñi u ki n bài toán. Bài 3: 1./ Do f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ x1 > x2 ⇔ f ( x1 ) > f ( x2 ) . ( ) N u: f ( x0 ) > x0 ⇒ f ( f ( x0 ) ) > f ( x0 ) > x0 ⇒ f f ( f ( x0 ) ) > f ( f ( x0 ) ) > x0 . ( ( )) ( ⇒ f f f ( f ( x0 ) ) > f f ( f ( x0 ) ) > x0 . ) Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN. Hà N i, tháng 8/2008

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản