ĐỀ THI VÀO LỚP 10 VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỂ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TPHCM

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

1
484
lượt xem
205
download

ĐỀ THI VÀO LỚP 10 VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỂ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TPHCM

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

nhu cầu thi vào các lớp 10 chuyên của học sinh ngày càng nhiều. Điều các học sinh quan tâm là cách thức ra đề cũng như yêu cầu kiến thức của từng trường như thế nào. Để đáp ứng nhu cầu đó tập tài liệu tham khảo: ĐỀ THI VÀO LỚP 10 VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỂ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TPHCM

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: ĐỀ THI VÀO LỚP 10 VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỂ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TPHCM

  1. ĐỀ THI VÀO LỚP 10 VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỂ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TPHCM NĂM HỌC2008 – 2009 Bài 1: a) Tìm m để phương trình x 2 + ( 4m + 1) x + 2 ( m − 4 ) = 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 − x2 = 17 ⎧2 x ≥ m − 1 b) Tìm m để hệ bất phương trình ⎨ có nghiệm duy nhất. ⎩mx ≥ 1 Bài 2: Thu gọn các biểu thức sau: a b c a) + + (a, b, c đôi một khác nhau) ( a − b )( a − c ) ( b − a )( b − c ) ( c − a )( c − b ) x + 2 x −1 + x − 2 x −1 b) Với x ≥ 2 x + 2x −1 − x − 2x −1 Bài 3: Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa a ≤ b ≤ c ≤ d và a + d = b + c . Chứng minh rằng: a) a 2 + b 2 + c 2 + d 2 là tổng của ba số chính phương. b) bc ≥ ad . Bài 4: a) Cho a, b là hai số thực thỏa 5a + b = 22 và phương trình x 2 + ax + b = 0 có nghiệm là hai số nguyên dương. Tìm các nghiệm đó. b) Cho hai số thực x, y sao cho x + y, x 2 + y 2 , x 4 + y 4 là các số nguyên. Chứng minh x3 + y 3 cũng là số nguyên. Bài 5: Cho đường tròn (O) đường kính AB. C là một điểm thuộc đường tròn, kẻ CH vuông góc với AB (C khác A, B và H thuộc AB). Kẻ đường tròn tâm C bán kính CH cắt đường tròn (O) tại hai điểm D và E. Chứng minh DE đi qua trung điểm của CH. Bài 6: Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1. Trên cạnh AC lấy điểm D, E sao cho ABD = CBE = 20o . Gọi M là trung điểm của BE, N là điểm thuộc cạnh BC sao cho BN = BM. Tính tổng diện tích hai tam giác BCE và BEN. Bài 7: Cho a, b là hai số thực sao cho a 3 + b3 = 2 . Chứng minh 0 < a + b ≤ 2 GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com
  2. ĐỀ THI VÀO LỚP 10 VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Huớng dẫn giải. Bài 1: a) Ta có Δ = ( 4m + 1) − 8 ( m − 4 ) = 16m 2 + 8m + 1 − 8m + 32 = 16m 2 + 33 > 0 ∀m , suy ra phương trình 2 luôn có hai nghiệm với mọi m. Khi đó theo định lý Viet ta có: ⎧ S = x1 + x2 = − ( 4m + 1) ⎪ ⎨ . ⎪ P = x1 x2 = 2 ( m − 4 ) ⎩ Ta có: x1 − x2 = 17 ⇔ ( x1 − x2 ) = 17 2 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = 289 2 2 ⇔ ( 4m + 1) − 8 ( m − 4 ) = 289 2 ⇔ 16m 2 + 33 = 289 ⇔ m = ±4 Vậy giá trị m cần tìm là 4 và – 4. ⎧2 x ≥ m − 1 ⎪ (1) b) ⎨ ⎪mx ≥ 1 ⎩ ( 2) 1 Ta có (1) ⇔ x ≥ ( m − 1) 2 Với (2) ta xét các trường hợp sau: 1 + Nếu m > 0 thì ( 2 ) ⇔ x ≥ m + Nếu m = 0 ta có 0.x ≥ 1 ( (2) vô nghiệm) 1 + Nếu m < 0 ta có ( 2 ) ⇔ x ≤ m Từ đó suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ⎧m < 0 ⎪ ⎧m < 0 ⎨1 1 ⇔⎨ 2 ⇔ m = −1 ⎪2 ( m − 1) = ⎩ m −m−2 = 0 ⎩ m Bài 2: a) Ta có a b c a b c + + = − + ( a − b )( a − c ) ( b − a )( b − c ) ( c − a )( c − b ) ( a − b )( a − c ) ( a − b )( b − c ) ( a − c )( b − c ) a (b − c ) − b ( a − c ) + c ( a − b) = ( a − b )( b − c )( a − c ) ab − ac − ab + bc + ca − bc = ( a − b )( b − c )( a − c ) =0 GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com
  3. ĐỀ THI VÀO LỚP 10 VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI b) x + 2 x −1 + x − 2 x −1 x −1+ 2 x −1 + 1 + x −1− 2 x −1 + 1 = x + 2x −1 − x − 2x −1 1 2 ( 2x + 2 2x −1 − 2x + 2 2x −1 ) ( ) ( ) 2 2 x −1 + 1 + x −1 −1 = 2. ( ) ( 2x −1) 2 2 2x −1 +1 − x −1 + 1 + x −1 −1 = 2. 2x −1 + 1 − 2x −1 −1 x −1 +1+ x −1 −1 = 2. ( Do x ≥ 2 suy ra x -1 − 1 ≥ 0, 2 x − 1 − 1 ≥ 0 ) 2x −1 +1− ( 2x −1 −1 ) 2 x −1 = 2x − 2 2. 2 Bài 3: a) Ta có a + d = b + c ⇒ b − a = d − c . Ta đặt k = b − a = d − c ⇒ b = k + a, d = c + k và k là số tự nhiên. Khi đó ta có: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = a 2 + ( a + k ) + c 2 + ( c + k ) = 2a 2 + 2ak + 2c 2 + 2k 2 + 2ck 2 2 = ( a 2 + 2ac + c 2 ) + 2k ( a + c ) + k 2 + ( a 2 − 2ac + c 2 ) + k 2 = ( a + c ) + 2k ( a + c ) + k 2 + ( a − c ) + k 2 2 2 = (a + c + k ) + (a − c) + k 2 2 2 Vậy a 2 + b 2 + c 2 + d 2 là tổng của ba số chính phương vì a + c + k, a – c và k là các số nguyên. b) Ta có bc − ad = ( a + k ) c − a ( c + k ) = k ( c − a ) ≥ 0 vì k = b − a ≥ 0, c − a ≥ 0 Suy ra bc ≥ ad . Bài 4: a) Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình x 2 + ax + b = 0 . Giả sử x1 ≥ x2 . Theo định lý Viet ta có x1 + x2 = − a, x1 x2 = b . Suy ra: 5a + b = 22 ⇔ −5 ( x1 + x2 ) + x1 x2 = 22 ⇔ x1 x2 − 5 x1 − 5 x2 + 25 = 47 ⇔ ( x1 − 5 )( x2 − 5 ) = 47 (1) Ta có x1 − 5 ≥ x2 − 5 ≥ −5 và 47 = 47.1 = ( −47 ) . ( −1) nên ta có: GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com
  4. ĐỀ THI VÀO LỚP 10 VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ⎧ x1 − 5 = 47 ⎧ x1 = 52 (1) ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎩ x2 − 5 = 1 ⎩ x2 = 6 Khi đó a = - 58 và b = 312 thỏa 5a + b = 22. Vậy hai nghiệm của phương trình là 6 và 52. b) Ta có x 2 + y 2 = ( x + y ) − 2 xy (1) 2 x4 + y 4 = ( x2 + y 2 ) − 2 x2 y 2 ( 2) 2 Từ (1) suy ra 2xy nguyên vì x + y và x2 + y2 nguyên. Đặt k = 2xy. Từ (2) suy ra 2x2y2 nguyên vì x2 + y2, x4 + y4 nguyên. 1 k2 k ( 2 xy ) = ∈ ⇒ k chẵn. Suy ra xy = ∈ 2 Ta có 2 x 2 y 2 = 2 2 2 Do đó x3 + y 3 = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) là số nguyên. 3 Bài 5: Gọi M là giao điểm của DE và CH. Ta chứng minh CM = HM. I Giả sử CH cắt (O) tại F và cắt (C ) tại I. (I khác H và F khác C ). Khi đó ta có CH = HF (Tính chất đối xứng của đường tròn) và CH = CI (bán kính đường tròn (C )) Xét tam giác MDF và tam giác MCE có: + DMF = CME (đối đỉnh) C E + DFM = CEM (góc nội tiếp cùng chắn cung CD) Suy ra DM FM M ΔDFM ~ ΔCEM ( g.g ) ⇒ = ⇒ DM .EM = CM .FM (1) CM EM D Chứng minh tương tự ta có DM .EM = MH .MI (2) A H O B Từ (1) và (2) ta có CM. MF = MH. MI CM .MF = MH .MI ⇔ CM ( MH + HF ) = MH ( CM + CI ) ⇒ CM .HF = MH .CI ⇒ CM = MH F ( Vì HF = CI = CH ) GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com
  5. ĐỀ THI VÀO LỚP 10 VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 6: Ta có A ΔABD = ΔACE ( g .c.g ) ⇒ BD = BE , S ABD = SCBE Xét tam giác DBM và tam giác EBN có : + DB = EB (cmt) D + DBM = EBN ( = 20o ) + BM = BN (gt) E Suy ra tam giác DBM bằng tam giác EBN (c.g.c), suy ra M S DBM = S NBE 1 Mà S DBM = S DBE ( Vì M là trung điểm BE). B N C 2 1 Do đó S EBN = S DBE 2 1 1 1 1 3. AB 2 3 Từ đó ta có S BCE + S EBN = S DBE + ( S BCE + S ABD ) = S ABC = . = 2 2 2 2 4 8 Bài 7: Ta có 0 < 2 = a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 + ab + b 2 ) 2 ⎛ 1 ⎞ 3 Mà a 2 + ab + b 2 = ⎜ a + b ⎟ + b 2 ≥ 0 . Suy ra a + b > 0 ⎝ 2 ⎠ 4 Để chứng minh a + b ≤ 2 ta chứng minh ( a + b ) ≤ 8 = 4 ( a 3 + b3 ) . 3 Ta có: ( a + b) ≤ 4 ( a 3 + b3 ) ⇔ a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 ≤ 4a 3 + 4b3 3 ⇔ 3 ( a 3 + b3 − a 2b − ab 2 ) ≥ 0 ⇔ a 2 ( a − b ) − b2 ( a − b ) ≥ 0 ⇔ ( a − b ) ( a2 − b2 ) ≥ 0 ⇔ ( a − b ) ( a + b ) ≥ 0 (Đúng vì a + b > 0) 2 Vậy 0 < a + b ≤ 2 GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản