Đề tuyển sinh đại học dự trữ 2005-2007

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:60

0
105
lượt xem
41
download

Đề tuyển sinh đại học dự trữ 2005-2007

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tuyển sinh đại học dự trữ 2005-2007 nhằm giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình Tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp giải hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề tuyển sinh đại học dự trữ 2005-2007

  1. ÑEÀ THI TUYEÅN SINH ÑAÏI HOÏC (DÖÏ TRÖÕ ) MOÂN TOAÙN NAÊM 2005 - 2007 DÖÏ BÒ 1 KHOÁI A 2005: x 2 + 2mx + 1 − 3m 2 Caâu I: (2 ñ)Goïi (Cm) laø ñoà thò cuûa haøm soá : y = (*) (m laø tham soá) x−m 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (*) öùng vôùi m = 1. 2. Tìm m ñeå haøm soá (*) coù hai ñieåm cöïc trò naèm veà hai phía truïc tung. ⎧ x2 + y 2 + x + y = 4 Caâu II: ( 2 ñieåm) 1. Giaûi heä phöông trình : ⎨ ⎩ x( x + y + 1) + y ( y + 1) = 2 2. Tìm nghieäm treân khoûang (0; π ) cuûa phöông trình : x 3π 4 sin 2 − 3 cos 2 x = 1 + 2 cos 2 ( x − ) 2 4 Caâu III: (3 ñieåm) 1.Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho tam giaùc ABC caân taïi ñænh A coù 4 1 troïng taâm G ( ; ) , phöông trình ñöôøng thaúng BC laø x − 2 y − 4 = 0 vaø phöông trình ñöôøng thaúng 3 3 BG laø 7 x − 4 y − 8 = 0 .Tìm toïa ñoä caùc ñænh A, B, C. 2.Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho 3 ñieåm A(1;1;0),B(0; 2; 0),C(0; 0; 2) . a) Vieát phöông trình maët phaúng (P) qua goác toïa ñoä O vaø vuoâng goùc vôùi BC.Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa AC vôùi maët phaúng (P). b) Chöùng minh tam giaùc ABC laø tam giaùc vuoâng. Vieát phöông trình maët caàu ngoïai tieáp töù dieän OABC. π 3 Caâu IV: ( 2 ñieåm). 1.Tính tích phaân I = ∫ sin 2 x.tgxdx . 0 2. Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân, moãi soá goàm 6 chöõ soá khaùc nhau vaø toång caùc chöõ soá haøng chuïc, haøng traêm haøng ngaøn baèng 8. Caâu V: (1 ñieåm) Cho x, y, z laø ba soá thoûa x + y + z = 0. Cmraèng : 3 + 4x + 3 + 4 y + 3 + 4z ≥ 6 Baøi giaûi CAÂU I x 2 + 2x − 2 1/ Khi m = 1 thì y = (1) x −1 • MXÑ: D = R \ {1} x 2 − 2x • y' = , y ' = 0 ⇔ x = 0 hay x = 2 ( x − 1)2 • BBT x −∞ 0 1 2 +∞ y' + 0 - - 0 + y 2 +∞ TRANG 1
  2. −∞ 6 • Tieäm caän: x = 1 laø pt t/c ñöùng y = x + 3 laø pt t/c xieân 2/ Tìm m x 2 − 2mx + m 2 − 1 Ta coù y ' = ( x − m )2 Haøm soá (*) coù 2 cöïc trò naèm veà 2 phía truïc tung ⇔ y ' = 0 coù 2 nghieäm traùi daáu ⇔ x1x 2 = P = m 2 − 1 < 0 ⇔ −1 < m < 1 CAÂU II: 1/ Giaûi heä phöông trình ⎧x 2 + y2 + x + y = 4 ⎪ ⎨ (I) ⎪x ( x + y + 1) + y ( y + 1) = 2 ⎩ ⎧x 2 + y2 + x + y = 4 ⎪ (I) ⇔ ⎨ 2 2 ⎪x + y + x + y + xy = 2 ⇒ xy = −2 ⎩ Ta coù S = x + y; P = xy ⇒ S2 = x 2 + y 2 + 2xy ⇒ x 2 + y 2 = S2 − 2P ⎧S2 − 2P + S = 4 ⎪ ⎧ P = −2 Vaäy ( I ) ⇔ ⎨ ⇔⎨ 2 ⎪S − P + S = 2 ⎩ ⎩S = 0 hay S = −1 ⎧S = x + y = 0 TH1 : ⎨ vaäy x, y laø nghieäm cuûa phöông trình X2 + 0X − 2 = 0 ⎩P = xy = −2 ⎧x = 2 ⎪ ⎧x = − 2 ⎪ Vaäy heä coù 2 nghieäm ⎨ hay ⎨ ⎪x = − 2 ⎩ ⎪y = 2 ⎩ ⎧ S = x + y = −1 TH 2 : ⎨ vaäy x,y laø nghieäm cuûa phöông trình X2 + X − 2 = 0 ⎩ P = xy = −2 ⎧x = 1 ⎧ x = −2 ⇒ X = 1hay X = −2 . Vaäy heä coù 2 nghieäm ⎨ V⎨ ⎩ y = −2 ⎩y = 1 ⎧x = 2 ⎪ ⎧x = − 2 ⎪ ⎧x = 1 ⎧ x = −2 Toùm laïi heä Pt (I) coù 4 nghieäm ⎨ V ⎨ V⎨ V⎨ ⎪y = − 2 ⎩ ⎪y = 2 ⎩ ⎩ y = −2 ⎩y = 1 ⎧x 2 + y2 + x + y = 4 ⎪ ⎪x 2 + y2 + x + y = 4 ⎧ ⎧(x + y)2 + x + y = 0 ⎪ CAÙCH KHAÙC (I) ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ 2 2 ⎪x + y + x + y + xy = 2 ⎩ ⎪xy = −2 ⎩ ⎪ xy = −2 ⎩ ⎧ x + y = 0 hay x + y = − 1 ⎪ ⎧ x + y = 0 hay x + y = − 1 ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪ xy = −2 ⎩ ⎪ xy = −2 ⎩ ⎧x = −y ⎪ ⎪ x + y = −1 ⎧ ⎧x = 2 ⎪ ⎧x = − 2 ⎪ ⎧x = 1 ⎧ x = −2 ⇔⎨ hay ⎨ 2 ⇔ ⎨ V⎨ V⎨ V⎨ ⎩ 2 ⎪x = 2 ⎪x + x − 2 = 0 ⎩ ⎪y = − 2 ⎩ ⎪y = 2 ⎩ ⎩ y = −2 ⎩y = 1 2/ Tìm nghieäm ∈ ( 0, π ) TRANG 2
  3. x ⎛ 3π ⎞ Ta coù 4 sin 2 − 3 cos 2x = 1 + 2 cos2 ⎜ x − ⎟ (1) 2 ⎝ 4 ⎠ ⎛ 3π ⎞ (1) ⇔ 2 (1 − cos x ) − 3 cos 2x = 1 + 1 + cos ⎜ 2x − ⎟ ⎝ 2 ⎠ (1) ⇔ 2 − 2 cos x − 3 cos 2x = 2 − sin 2x (1) ⇔ −2 cos x = 3 cos 2x − sin 2x . Chia hai veá cho 2: 3 1 (1) ⇔ − cos x = cos 2x − sin 2x 2 2 ⎛ π⎞ 5π 2π 7π ⇔ cos ⎜ 2x + ⎟ = cos ( π − x ) ⇔ x = +k ( a ) hay x = − + h2π ( b ) ⎝ 6⎠ 18 3 6 Do x ∈ ( 0, π ) neân hoï nghieäm (a) chæ choïn k=0, k=1, hoï nghieäm (b) chæ choïn h = 1. Do ñoù ta coù ba 5π 17π 5π nghieäm x thuoäc ( 0, π ) laø x1 = , x2 = , x3 = 18 18 6 ⎧x − 2y − 4 = 0 CAÂU III. 1/ Toïa ñoä ñænh B laø nghieäm cuûa heä pt ⎨ ⇒ B ( 0, −2 ) ⎩7x − 4y − 8 = 0 Vì ΔABC caân taïi A neân AG laø ñöôøng cao cuûa ΔABC 4 1 Vì GA ⊥ BC ⇒ pt GA: 2(x − ) + 1(y − ) = 0 ⇔ 2x + y − 3 = 0 ⇔ 2x + y − 3 = 0 3 3 ⎧2x + y − 3 = 0 ⇒ GA ∩ BC = H ⎨ ⇒ H ( 2, −1) ⎩x − 2y − 4 = 0 uuur uuur uuur ⎛ 4 1 ⎞ uuur ⎛ 4 1⎞ Ta coù AG = 2GH vôùi A(x,y). AG = ⎜ − x, − y ⎟ ; GH = ⎜ 2 − , −1 − ⎟ ⎝3 3 ⎠ ⎝ 3 3⎠ ⎧x = 0 ⎪ ⇒ ⎨1 8 ⇒ A ( 0,3) ⎪3 − y = − 3 ⎩ xA + xB + xC y + y B + yC Ta coù : x G = vaø y G = A ⇒ C ( 4,0 ) 3 3 Vaäy A ( 0,3) ,C ( 4, 0 ) ,B ( 0, −2 ) uuu r 2a/ Ta coù BC = ( 0, −2,2 ) • mp (P) qua O ( 0, 0, 0 ) vaø vuoâng goùc vôùi BC coù phöông trình laø 0.x − 2y + 2z = 0 ⇔ y − z = 0 ⎧x = 1 − t uuu r ⎪ • Ta coù AC = ( −1, −1,2 ) , phöông trình tham soá cuûa AC laø ⎨y = 1 − t . ⎪z = 2t ⎩ 1 1 Theá pt (AC) vaøo pt mp (P). Ta coù 1 − t − 2t = 0 ⇔ t = . Theá t = vaøo pt (AC) ta coù 3 3 ⎛2 2 2⎞ M ⎜ , , ⎟ laø giao ñieåm cuûa AC vôùi mp (P) ⎝3 3 3⎠ uuu r uuu r 2b/ Vôùi A (1,1, 0 ) B ( 0,2, 0 ) C ( 0,0,2 ) .Ta coù: AB = ( −1,1, 0 ) , AC = ( −1, −1,2 ) uuu uuu r r uuu uuu r r ⇒ AB.AC = 1 − 1 = 0 ⇔ AB ⊥ AC ⇒ ΔABC vuoâng taïi A TRANG 3
  4. • Ta deã thaáy ΔBOC cuõng vuoâng taïi O. Do ñoù A, O cuøng nhìn ñoaïn BC döôùi 1 goùc vuoâng. Do ñoù A, O naèm treân maët caàu ñöôøng kính BC, seõ coù taâm I laø trung ñieåm cuûa BC. Ta deã daøng tìm döôïc I ( 0,1,1) R = 12 + 12 = 2 2 2 Vaäy pt maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän OABC laø : x 2 + ( y − 1) + ( z − 1) = 2 CAÂU IV. π/ 3 π/ 3 sin x 1/ Tính I = ∫ sin 2 xtgxdx = ∫ sin 2 x. dx 0 0 cos x π/ 3 (1 − cos x ) sin x dx , Ñaët u = cos x ⇒ −du = sin xdx 2 ⇒ I= ∫ cos x 0 ⎛π⎞ 1 Ñoåi caän u ⎜ ⎟ = , u(0) = 1 ⎝3⎠ 2 1/ 2 (1 − u ) ( −du ) = 2 1 ⎛1 ⎞ ⎡ u2 ⎤ 1 3 I= ∫ u ∫ ⎜u ⎠ − u ⎟ du = ⎢ ln u − ⎥ = ln 2 − 2 ⎦1/ 2 8 1 1/ 2 ⎝ ⎣ 2/ Goïi n = a1a2 a3a4 a5a6 laø soá caàn laäp ycbt : a3 + a4 + a5 = 8 ⇒ a3 ,a4 ,a5 ∈ {1,2,5} hay a3 ,a4 ,a5 ∈ {1,3,4} a) Khi a3 ,a4 ,a5 ∈ {1,2,5} • Coù 6 caùch choïn a1 • Coù 5 caùch choïn a2 • Coù 3! caùch choïn a3 ,a4 ,a5 • Coù 4 caùch choïn a6 Vaäy ta coù 6.5.6.4 = 720 soá n b) Khi a3 ,a4 ,a5 ∈ {1,3,4} töông töï ta cuõng coù 720 soá n Theo qui taéc coäng ta coù 720 + 720 = 1440 soá n Caùch khaùc Khi a3 ,a4 ,a5 ∈ {1,2,5} Coù 3! = 6 caùch choïn a3a4 a5 Coù A 3 caùch choïn a1 ,a2 ,a6 6 Vaäy ta coù 6. 4.5.6 = 720 soá n Khi a3 ,a4 ,a5 ∈ {1,3,4} töông töï ta cuõng coù 720 soá n Theo qui taéc coäng ta coù 720 + 720 = 1440 soá n 4 CAÂU V: Ta coù: 3 + 4 x = 1 + 1 + 1 + 4 x ≥ 4 4 x ⇒ 3 + 4x ≥ 2 4 4 x = 2. 8 4 x . Töông töï 3 + 4y ≥ 2 4 4 y = 2. 8 4 x 3 + 4z ≥ 2 8 4z Vaäy 3 + 4 x + 3 + 4 y + 3 + 4z ≥ 2 ⎡ 8 4 x + 8 4 y + 8 4z ⎤ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ TRANG 4
  5. 3 8 ≥6 4 x.4 y.4z ≥ 6 24 4 x + y +z = 6 DÖÏ BÒ 2 KHOÁI A: x2 + x + 1 Caâu I: (2 ñieåm) 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò ( C ) cuûa haøm soá y = . x +1 2. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm M (- 1; 0) vaø tieáp xuùc vôùi ñoà thò ( C ) . ⎧ ⎪ 2x + y +1 − x + y = 1 Caâu II:( 2 ñieåm). 1. Giaûi heä phöông trình : ⎨ ⎪3 x + 2 y = 4 ⎩ π 2. Giaûi phöông trình : 2 2 cos3 ( x − ) − 3cos x − sin x = 0 4 Caâu III: (3 ñieåm). 1. Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho ñöôøng troøn (C): x2 + y2 −12 x − 4 y + 36 = 0 . Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C1) tieáp xuùc vôùi hai truïc toïa ñoä Ox, Oy ñoàng thôøi tieáp xuùc ngoøai vôùi ñöôøng troøn (C). 2. Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho 3 ñieåm A(2;0;0), C(0; 4; 0), S(0; 0; 4) a) Tìm toïa ñoä ñieåm B thuoäc maët phaúng Oxy sao cho töù giaùc OABC laø hình chöõ nhaät. Vieát phöông trình maët caàu qua 4 ñieåm O, B, C, S. b) Tìm toïa ñoä ñieåm A1 ñoái xöùng vôùi ñieåm A qua ñöôøng thaúng SC. 7 x+2 Caâu IV: ( 2 ñieåm). 1.Tính tích phaân I = ∫ 3 dx . 0 x +1 2. Tìm heä soá cuûa x7 trong khai trieån ña thöùc (2 − 3 x) 2 n , trong ñoù n laø soá nguyeân döông thoûa maõn: C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n+11 = 1024. ( Cn laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû) 1 3 5 2n+ k Caâu V: (1 ñieåm) Cmraèng vôùi moïi x, y > 0 ta coù : y 9 2 (1 + x)(1 + )(1 + ) ≥ 256 . Ñaúng thöùc xaûy ra khi naøo? x y Baøi giaûi: CAÂU I. x2 + x + 1 1/ Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò y = (C) x +1 x 2 + 2x MXÑ: D = R \ {−1} . y ' = 2 ,y' = 0 ⇔ x 2 + 2x = 0 ⇔ x = 0hay x = −2 ( x + 1) BBT x −∞ -2 -1 0 +∞ y' + 0 - - 0 + y -3 +∞ +∞ −∞ −∞ 1 Tieäm caän: x = −1 laø phöông trình tieäm caän ñöùng y = x laø phöông trình tieäm caän xieân 2/ Phöông trình tieáp tuyeán Δ qua M ( −1,0 ) ( heä soá goùc k ) coù daïng TRANG 5
  6. Δ : y = k ( x + 1) Δ tieáp xuùc vôùi ( C ) ⇔ heä pt sau coù nghieäm ⎧ x2 + x + 1 ⎪ = k ( x + 1) ⎪ x +1 ⎨ 2 ⎪ x + 2x = k ⎪ ( x + 1)2 ⎩ ⇒ phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø = 2 ( x 2 + x + 1 x + 2x ( x + 1) ) x +1 ( x + 1)2 3 ⇔ x =1 ⇒ k = 4 3 Vaäy pt tieáp tuyeán Δ vôùi ( C ) qua M ( −1,0 ) laø: y = ( x + 1) 4 ⎧ 2x + y + 1 − x + y = 1 ⎪ CAÂU II. 1/ Giaûi heä pt : ⎨ (I) ⎪3x + 2y = 4 ⎩ ⎧ 2x + y + 1 − x + y = 1 (I) ⇔ ⎪ ⎨ ⎪( 2x + y + 1) + ( x + y ) = 5 ⎩ Ñaët u = 2x + y + 1 ≥ 0,v = x+y ≥0 ⎧u − v = 1 ⎪ ⎡ u1 = 2 ⇒ v1 = 1 (I) thaønh ⎨ ⇒⎢ ⎪ u + v = 5 ⎣ u2 = −1 ⇒ v2 = −2 ( loaïi ) 2 2 ⎩ ⎧ 2x + y + 1 = 2 ⎪ ⎧2x + y + 1 = 4 ⎧x = 2 Vaäy ( I ) ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪ x + y =1 ⎩ ⎩x + y = 1 ⎩y = −1 ⎛ π⎞ 2/ Giaûi phöông trình 2 2 cos3 ⎜ x − ⎟ − 3cos x − sin x = 0 ( 2 ) ⎝ 4⎠ 3 ⎡ ⎛ π ⎞⎤ (2) ⇔ ⎢ 2 cos ⎜ x − ⎟ ⎥ − 3cos x − sin x = 0 ⎣ ⎝ 4 ⎠⎦ 3 ⇔ ( cos x + sin x ) − 3cos x − sin x = 0 ⇔ cos3 x + sin 3 x + 3cos2 x sin x + 3cos x sin 2 x − 3cos x − sin x = 0 ⎧cos x = 0 ⎪ ⎧cos x ≠ 0 ⎪ ⇔⎨ 3 hay ⎨ 2 3 2 3 ⎪sin x − sin x = 0 ⎩ ⎪1 + 3tgx + 3tg x + tg x − 3 − 3tg x − tgx − tg x = 0 ⎩ π π ⇔ sin 2 x = 1 hay tgx = 1 ⇔ x = + kπ hay x = + kπ 2 4 CAÂU III 2 2 1/ ( C ) ⇔ x 2 + y 2 − 12x − 4y + 36 = 0 ⇔ ( x − 6 ) + ( y − 2 ) = 4 Vaäy (C) coù taâm I ( 6,2 ) vaø R=2 TRANG 6
  7. Vì ñöôøng troøn ( C1 ) tieáp xuùc vôùi 2 truïc Ox, Oy neân taâm I1 naèm treân 2 ñöôøng thaúng y = ± x vaøvì (C) coù taâm I ( 6,2 ) ,R = 2 neân taâm I1 (x; ± x) vôùi x > 0. TH1 : Taâm I1 ∈ ñöôøng thaúng y = x ⇒ I ( x,x ) , baùn kính R1 = x ( C1 ) tieáp xuùc ngoaøi vôùi (C) ⇔ I I1 = R + R1 ⇔ ( x − 6 )2 + ( x − 2 )2 =2+x 2 2 ⇔ ( x − 6 ) + ( x − 2 ) = 4 + 4x + x 2 ⇔ x 2 − 16x − 4x + 36 = 0 ⇔ x 2 − 20x + 36 = 0 ⇔ x = 2 hay x = 18 .ÖÙng vôùi R1 = 2 hay R1 = 18 2 2 Coù 2 ñöôøng troøn laø: ( x − 2 ) + ( y − 2 ) = 4 ;( x − 18)2 + ( y − 18)2 = 18 TH 2 : Taâm I1 ∈ ñöôøng thaúng y = −x ⇒ I ( x, − x ) ; R1 = x Töông töï nhö treân, ta coù x= 6 2 2 Coù 1 ñöôøng troøn laø ( x − 6 ) + ( y + 6 ) = 36 Toùm laïi ta coù 3 ñöôøng troøn thoûa ycbt laø: ( x − 2 )2 + ( y − 2 )2 = 4; ( x − 18)2 + ( y − 18)2 = 18; ( x − 6 )2 + ( y + 6 )2 = 36 uuu r uuu r 2a/ Töù giaùc OABC laø hình chöõ nhaät ⇒ OC = AB ⇒ B(2,4,0) * Ñoaïn OB coù trung ñieåm laø H (1,2,0 ) . H chính laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc vuoâng OBC. Vì A, O, C cuøng nhìn SB döôùi moät goùc vuoâng neân trung ñieåm I ( 1; 2; 2 ) laø taâm maët caàu vaø 1 1 baùn kính R = SB = 4 + 16 + 16 = 3 , 2 2 2 2 Vaäy phöông trình maët caàu laø ( x − 1) + ( y − 2 ) + (z − 2) = 9 2 uuu r 2b/ SC = ( 0,4, −4 ) choïn ( 0,1, −1) laø vtcp cuûa SC. ⎧x = 0 ⎪ Pt tham soá ñöôøng thaúng SC ⎨y = t ⎪z = 4 − t ⎩ Mp (P) qua A ( 2,0,0 ) vaø vuoâng goùc vôùi SC coù phöông trình laø O( x − 2) + y − z = 0 ⇔ y − z = 0 Theá pt tham soá cuûa SC vaø pt (P) Ta coù t=2 vaø suy ra M ( 0,2,2 ) Goïi A1 ( x,y,z ) laø ñieåm ñoái xöùng vôùi A qua SC. Coù M laø trung ñieåm cuûa AA1 neân ⎧2 + x = 2.0 ⎧x = −2 ⎪ ⎪ ⎨0 + y = 2.2 ⇒ ⎨y = 4 Vaäy A1 ( −2,4,4 ) ⎪0 + z = 2.2 ⎪z = 4 ⎩ ⎩ 7 x+2 CAÂU IV: 1/ Tính I = ∫0 3 x + 1dx Ñaët t = 3 x + 1 ⇒ x = t 3 − 1 ⇒ dx = 3t 2 dt TRANG 7
  8. ⇒ x + 2 = t 3 + 1 .Ñoåi caän t( 0) = 1 ; t (7 ) = 2. (t 3 ) + 1 3t 2 ⎡ t5 t2 ⎤ 231 2 ( ) 2 2 4 Vaäy I = ∫1 t dt = 3∫ t + t dt = 3 ⎢ + ⎥ = ⎣ 5 2 ⎦1 10 1 2n +1 2/ Ta coù (1 + x ) = C2n +1 + C1 +1x + C2n +1x 2 + C3 +1x 3 + ... + C2n +1x 2n +1 0 2n 2 2n 2n +1 Cho x = 1 Ta coù 22n +1 = C2n +1 + C1 +1 + C2n +1 + C3 +1 + C2n +1 + ... + C2n +1 (1) 0 2n 2 2n 4 2n +1 Cho x = −1 Ta coù 0 = C2n +1 − C1 +1 + C2 +1 − C3 +1 + C2n +1 − ... − C2n +1 (2) 0 2n 2n 2n 4 2 n +1 Laáy (1) - (2) ⇒ 22n +1 = 2 ⎡C1 +1 + C3 +1 + C2n +1 + ... + C2n +1 ⎤ 5 2n +1 2n 2n ⎣ ⎦ 2n ⇒2 = C1 +1 2n + C3 +1 2n 5 + C2n +1 2n +1 + ... + C2n +1 10 = 1024 = 2 . Vaäy 2n=10 10 10 k k Ta coù ( 2 − 3x ) = ∑ ( −1) C10 210− k ( 3x ) k k =0 7 Suy ra heä soá cuûa x laø −C10 37.23 hay −C10 37.23 7 3 x x x x3 CAÂU V: Ta coù: 1 + x = 1 + + + ≥ 44 3 3 3 3 3 y y y y y3 1+ = 1+ + + ≥4 3 3 4 x 3x 3x 3x 3 .x 2 9 3 3 3 33 ⎛ 9 ⎞ 36 1+ = 1+ + + ≥ 44 ⇒ ⎜1 + ⎟ ≥ 16 4 3 ⎜ y⎟ ( y) 3 y y y y ⎝ ⎠ y 2 ⎛ y ⎞⎛ 9 ⎞ x 3 y3 36 Vaäy (1 + x ) ⎜ 1 + ⎟ ⎜ 1 + ⎟ ≥ 256 4 3 3 3 3 = 256 ⎝ x ⎠⎜ ⎝ y⎟ ⎠ 3 3 .x y DÖÏ BÒ 1 KHOÁI B: Caâu I: (2 ñieåm). 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò ( C ) cuûa haøm soá y = x 4 − 6 x 2 + 5 2. Tìm m ñeå phöông trình sau coù 4 nghieäm phaân bieät : x 4 − 6 x 2 − log 2 m = 0 . ⎧ 2x + y +1 − x + y = 1 ⎪ Caâu II: 2 ñieåm) 1. Giaûi heä phöông trình : ⎨ ⎪3 x + 2 y = 4 ⎩ π 2. Giaûi phöông trình : 2 2 cos3 ( x − ) − 3cos x − sin x = 0 4 x2 y 2 Caâu III: (3 ñieåm) 1. Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho elip (E) : + = 1. Vieát 64 9 phöông trình tieáp tuyeán d cuûa (E) bieát d caét hai hai truïc toïa ñoä Ox, Oy laàn löôït taïi A, B sao cho AO = 2BO. x y z 2. Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hai ñöôøng thaúng d1 : = = vaø 1 1 2 ⎧ x = −1 − 2t ⎪ d2 : ⎨ y = t ( t laø tham soá ) ⎪z = 1+ t ⎩ a) Xeùt vò trí töông ñoái cuûa d1 vaø d2 . TRANG 8
  9. b) Tìm toïa ñoä caùc ñieåm M thuoäc d1 vaø N thuoäc d2 sao cho ñöôøng thaúng MN song song vôùi maët phaúng (P) : x − y + z = 0 vaø ñoä daøi ñoïan MN = 2 . Caâu IV: ( 2 ñieåm) e 1. Tính tích phaân ∫x ln xdx . 2 0 2. Moät ñoä vaên ngheä coù 15 ngöôøi goàm 10 nam vaø 5 nöõ. Hoûi coù bao nhieâu caùch laäp moät nhoùm ñoàng ca goàm 8 ngöôøi bieát raèng trong nhoùm ñoù phaûi coù ít nhaát 3 nöõ. 3 Caâu V: (1 ñieåm) Cho a, b, c laø ba soá döông thoûa maõn : a + b + c = .. Cmraèng : 4 3 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤3 . Khi naøo ñaúng thöùc xaûy ra ? Baøi giaûi: CAÂU I: 4 2 1/ Khaûo saùt y = x − 6x + 5 . MXÑ: D=R ( ) y' = 4x3 − 12x = 4x x 2 − 3 ,y' = 0 ⇔ x = 0 hay x = ± 3 y'' = 12x 2 − 12,y'' = 0 ⇔ x = ±1 BBT x −∞ − 3 -1 0 1 3 +∞ y' - 0 + + 0 - - 0 + y '' + + 0 - - 0 + + y +∞ 5 +∞ -4 0 0 -4 Ñoà thò 2/ Tìm m ñeå pt x 4 − 6x 2 − log 2 m = 0 coù 4 nghieäm phaân bieät. x 4 − 6x 2 − log2 m = 0 ⇔ x 4 − 6x 2 + 5 = log2 m + 5 Ñaët k = log2 m + 5 Ycbt ⇔ ñöôøng thaúng y=k caét (C) taïi 4 ñieåm phaân bieät TRANG 9
  10. ⇔ −4 < k < 5 ⇔ −4 < log2 m + 5 < 5 1 ⇔ −9 < log2 m < 0 ⇔ < m 0 ). Pt x y AB: + = 1 ⇔ x + 2y − 2m = 0 2m m AB tieáp xuùc vôùi (E) ⇔ 64 + 4.9 = 4m 2 ⇔ 4m 2 = 100 ⇔ m 2 = 25 ⇔ m = 5 ( m > 0 ) Vaäy pt tieáp tuyeán laø x + 2y − 10 = 0 Vì tính ñoái xöùng neân ta coù 4 tieáp tuyeán laø TRANG 10
  11. x + 2y − 10 = 0,x + 2y + 10 = 0 x − 2y − 10 = 0, x − 2y + 10 = 0 r 2/ a/ d1 qua O ( 0,0,0 ) , VTCP a = (1,1,2 ) r d 2 qua B ( −1,0,1) , VTCP b = ( −2,1,1) r r uuu r ⎡a, b ⎤ = ( −1, −5,3 ) , OB = ( −1, 0,1) ⎣ ⎦ r r uuu r ⎡a, b ⎤ OB = 1 + 3 = 4 ≠ 0 ⇔ d1 ,d 2 cheùo nhau ⎣ ⎦ b/ M ∈ d1 ⇒ M ( t ',t ',2t ' ) ; N ∈ d 2 ⇒ N ( −1 − 2t,t,1 + t ) uuuur MN = ( −2t − t '− 1,t − t ',t − 2t '+ 1) uuuu uu r r Vì MN // (P) ⇔ MN ⊥ n p = (1, −1,1) uuuu r r ⇔ MN.n p = 0 ⇔ −2t − t '− 1 − t + t '+ t − 2t '+ 1 = 0 ⇔ t = −t ' MN = ( t '− 1)2 + 4t '2 + (1 − 3t ' )2 = 2 4 ⇔ 14t '2 − 8t '+ 2 = 2 ⇔ 2t ' ( 7t '− 4 ) = 0 ⇔ t ' = 0 hay t ' = 7 * t’=0 ta coù M ( 0,0,0 ) ≡ O ∈ ( P )( loaïi ) 4 ⎛4 4 8⎞ ⎛1 4 3⎞ * t' = ta coù M ⎜ , , ⎟ ; N ⎜ , − , ⎟ 7 ⎝7 7 7⎠ ⎝7 7 7⎠ e 2 CAÂU IV. 1/ Tính I = ∫1 x ln xdx dx 2 x3 Ñaët u = ln x ⇒ du = ; dv = x dx choïn v = x 3 3 3 e x e 1 e dx x 1 e 2 1 I = ∫ x 2 ln xdx = ln x 1 − ∫ x 3 = ln x − x 3 = e3 + 1 3 3 1 x 3 9 1 9 9 2. Ta coù tröôøng hôïp * 3 nöõ + 5 nam. Ta coù C3C10 = 2520 5 5 4 4 * 4 nöõ + 4 nam. Ta coù C5 C10 = 1050 * 5 nöõ + 3 nam. Ta coù C5C10 = 120 5 3 Theo qui taéc coäng. Ta coù 2520 + 1050 + 120 = 3690 caùch CAÂU V: a + 3b + 1 + 1 1 3 ( a + 3b )1.1 ≤ = ( a + 3b + 2 ) 3 3 b + 3c + 1 + 1 1 Ta coù 3 ( b + 3c )1.1 ≤ = ( b + 3c + 2 ) 3 3 3 ( c + 3a )1.1 ≤ c + 3a + 1 + 1 1 = ( c + 3a + 2 ) 3 3 1 Suy ra 3 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤ ⎡ 4 ( a + b + c ) + 6 ⎤ 3⎣ ⎦ TRANG 11
  12. 1⎡ 3 ⎤ ≤ ⎢ 4. + 6 ⎥ = 3 3⎣ 4 ⎦ ⎧ 3 ⎪a + b + c = 1 Daáu = xaûy ra ⇔ ⎨ 4 ⇔a=b=c= ⎪a + 3b = b + 3c = c + 3a = 1 4 ⎩ Caùch 2: Ñaët x = 3 a + 3b ⇒ x 3 = a + 3b ; y = 3 b + 3c ⇒ y3 = b + 3c ; z = 3 c + 3a ⇒ z3 = c + 3a 3 ⇒ x 3 + y 3 + z 3 = 4 ( a + b + c ) = 4. = 3 . BÑT caàn cm ⇔ x + y + z ≤ 3 . 4 3 Ta coù : x 3 + 1 + 1 ≥ 3 x 3 .1.1 = 3x ; y3 + 1 + 1 ≥ 3 3 y3 .1.1 = 3y ; z3 + 1 + 1 ≥ 3 3 z3 .1.1 = 3z ⇒ 9 ≥ 3 ( x + y + z ) (Vì x3 + y3 + z3 = 3 ). Vaäy x + y + z ≤ 3 3 Hay a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤ 3 3 Daáu = xaûy ra ⇔ x 3 = y3 = z3 = 1 vaø a + b + c = 4 3 1 ⇔ a + 3b = b + 3c = c + 3a = 1 vaø a + b + c = ⇔a=b=c= 4 4 DÖÏ BÒ 2 KHOÁI B: x + 2x + 2 2 Caâu I: (2 ñieåm) Cho haøm soá : y = (*) x +1 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò ( C ) cuûa haøm soá (*) . 2. Goïi I laø giao ñieåm cuûa hai tieäm caän cuûa ( C ).Chöùng minh raèng khoâng coù tieáp tuyeán naøo cuûa (C ) ñi qua ñieåm I . Caâu II:( 2 ñieåm). 1. Giaûi baát phöông trình : 8 x 2 − 6 x + 1 − 4 x + 1 ≤ 0 π cos 2 x − 1 2. Giaûi phöông trình : tg ( + x) − 3tg 2 x = 2 cos 2 x Caâu III: (3 ñieåm). 1. Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho 2 ñöôøng troøn : (C1 ): x2 + y2 = 9 vaø (C2 ): x2 + y2 −2 x − 2 y − 23 = 0 . Vieát phöông trình truïc ñaúng phöông d cuûa 2 ñöôøng troøn (C1) vaø (C2). Chöùng minh raèng neáu K thuoäc d thì khoûang caùch töø K ñeán taâm cuûa (C1) nhoû hôn khoûang caùch töø K ñeán taâm cuûa ( C2 ). 2. Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho ñieåm M(5;2; - 3) vaø maët phaúng (P) : 2 x + 2 y − z + 1 = 0 . a) Goïi M1 laø hình chieáu cuûa M leân maët phaúng ( P ). Xaùc ñònh toïa ñoä ñieåm M1 vaø tính ñoä daøi ñoïan MM1. b) Vieát phöông trình maët phaúng ( Q ) ñi qua M vaø x-1 y-1 z-5 chöùa ñöôøng thaúng : = = 2 1 -6 π 4 Caâu IV: ( 2 ñieåm). 1.Tính tích phaân ∫ (tgx + e cos x)dx . sin x 0 2. Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân, moãi soá goàm 5 chöõ soá khaùc nhau vaø nhaát thieát phaûi coù 2 chöõ 1, 5 ? Caâu V: (1 ñieåm) Cmraèng neáu 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì TRANG 12
  13. 1 x y − y x ≤ . Ñaúng thöùc xaûy ra khi naøo? 4 Baøi giaûi x 2 + 2x + 2 CAÂU I 1/ Khaûo saùt y = (C) x +1 MXÑ: D = R \ {−1} x 2 + 2x y' = 2 ,y ' = 0 ⇔ x 2 + 2x = 0 ⇔ x = 0 hay x = −2 ( x + 1) BBT x −∞ -2 -1 0 +∞ y' + 0 - - 0 + y -2 +∞ +∞ −∞ −∞ 2 Tieäm caän x = −1 laø pt t/c ñöùng. y = x + 1 laø pt t/c xieân Ñoà thò :Baïn ñoïc töï veõ. 2/ Chöùng minh khoâng coù tieáp tuyeán naøo cuûa (C) ñi qua I ( −1,0 ) laø giao ñieåm cuûa 2 tieäm caän. x 2 + 2x o + 2 Goïi M o ( x o ,y o ) ∈ ( C ) ⇔ y o = o xo + 1 Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M o ⎛ x 2 + 2x ⎞ y − y o = f ' ( x o )( x − x o ) ⇔ y − y o = ⎜ o o ⎟ ( x − xo ) ⎜ ( x + 1)2 ⎟ ⎝ o ⎠ Tieáp tuyeán ñi qua I ( −1,0 ) ⇔ 0 − y o = (x 2 o ) + 2x o ( −1 − x o ) ( x o + 1)2 x 2 + 2x o + 2 x 2 + 2x o ⇔ o = o xo + 1 xo + 1 ⇔ 2 = 0 Voâ lí. Vaäy khoâng coù tieáp tuyeán naøo cuûa (C) ñi qua I ( −1,0 ) CAÂU II 1/ Giaûi baát phöông trình 8x 2 − 6x + 1 − 4x + 1 ≤ 0 (1) (1) ⇔ 8x 2 − 6x + 1 ≤ 4x − 1 ⎧ 1 1 ⎪ x ≤ Vx ≥ ⎧8x 2 − 6x + 1 ≥ 0 4 2 ⎧ 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪x = 4 Vx ≥ 2 ⎪ ⇔ ⎨4x − 1 ≥ 0 ⇔ ⎨x ≥ ⇔⎨ ⎪ 2 2 ⎪ 4 ⎪ x ≤ 0 hay x ≥ 1 ⎩8x − 6x + 1 ≤ (4x − 1) 2 ⎪8x − 2x ≥ 0 ⎪ ⎩ 4 ⎪ ⎩ 1 1 ⇔ x = hay x ≥ 4 2 TRANG 13
  14. ⎛π ⎞ cos 2x − 1 2/ Giaûi phöông trình tg ⎜ + x ⎟ − 3tg 2 x = (2) ⎝2 ⎠ cos2 x −2sin 2 x (2) ⇔ − cot gx − 3tg 2 x = cos2 x 1 π ⇔− − tg 2 x = 0 ⇔ tg3x = −1 ⇔ tgx = −1 ⇔ x = − + kπ, k ∈ Z tgx 4 CAÂU III 1/ Ñöôøng troøn ( C1 ) coù taâm O ( 0,0 ) baùn kính R1 = 3 Ñöôøng troøn ( C2 ) coù taâm I (1,1) , baùn kính R 2 = 5 Phöông trình truïc ñaúng phöông cuûa 2 ñöôøng troøn ( C1 ) , ( C2 ) laø (x 2 ) ( + y2 − 9 − x 2 + y 2 − 2x − 2y − 23 = 0 ) ⇔ x + y + 7 = 0 (d) Goïi K ( x k ,y k ) ∈ ( d ) ⇔ y k = − x k − 7 2 2 2 OK 2 = ( x k − 0 ) + ( y k − 0 ) = x 2 + y 2 = x 2 + ( − x k − 7 ) = 2x 2 + 14x k + 49 k k k k 2 2 2 2 IK 2 = ( x k − 1) + ( y k − 1) = ( x k − 1) + ( − x k − 8 ) = 2x 2 + 14x k + 65 k ( ) ( Ta xeùt IK 2 − OK 2 = 2x 2 + 14x k + 65 − 2x 2 + 14x k + 49 = 16 > 0 k k ) Vaäy IK 2 > OK 2 ⇔ IK > OK(ñpcm) 2/ Tìm M1 laø h/c cuûa M leân mp (P) r Mp (P) coù PVT n = ( 2,2, −1) ⎧x = 5 + 2t ⎪ Pt tham soá MM1 qua M, ⊥ ( P ) laø ⎨y = 2 + 2t ⎪z = −3 − t ⎩ Theá vaøo pt mp (P): 2 ( 5 + 2t ) + 2 ( 2 + 2t ) − ( −3 − t ) + 1 = 0 ⇔ 18 + 9t = 0 ⇔ t = −2 . Vaäy MM1 ∩ ( P ) = M1 (1, −2, −1) Ta coù MM1 = ( 5 − 1)2 + ( 2 + 2 )2 + ( −3 + 1)2 = 16 + 16 + 4 = 36 = 6 x −1 y −1 z − 5 r * Ñöôøng thaúng Δ : = = ñi qua A(1,1,5) vaø coù VTCP a = ( 2,1, −6 ) 2 1 −6 uuuu r Ta coù AM = ( 4,1, −8 ) uuuu r r Maët phaúng (Q) ñi qua M, chöùa Δ ⇔ mp (Q) qua A coù PVT laø ⎡ AM,a ⎤ = ( 2,8,2 ) hay (1,4,1) ⎣ ⎦ neân pt (Q): ( x − 5 ) + 4 ( y − 2 ) + ( z + 3 ) = 0 Pt (Q): x + 4y + z − 10 = 0 Caùch khaùc: Maët phaúng (Q) chöùa Δ neân pt mp(Q) coù daïng: x − 2y + 1 = 0 hay m(x − 2y + 1) + 6y + z − 11 = 0 . Maët phaúng (Q) ñi qua M(5;2; - 3) neân ta coù 5 – 4 + 1 = 0 ( loaïi) hay m( 5 – 4 + 1) + 12 – 3 – 11 = 0 ⇔ m = 1. Vaäy Pt (Q): x + 4y + z − 10 = 0 TRANG 14
  15. ∫0 ( tgx + e cos x ) dx π/ 4 sin x CAÂU IV: 1/ Tính I = π/ 4 π / 4 sin x π/ 4 sin x π/ 4 Ta coù: I = ∫0 tgxdx + ∫ e cos xdx = ∫ dx + ∫ esin x cos xdx 0 0 cos x 0 1 π/ 4 sin x π / 4 = ⎡ − ln ( cos x ) ⎤ 0 ⎣ ⎦ +e = ln 2 + e 2 −1 o 2/ Goïi n = a1a2 a3a4 a5 laø soá caàn laäp Tröôùc tieân ta coù theå xeáp 1, 5 vaøo 2 trong 5 vò trí: ta coù: A 2 = 4.5 = 20 caùch 5 Xeáp 1,5 roài ta coù 5 caùch choïn 1 chöõ soá cho oâ coøn laïi ñaàu tieân 4 caùch choïn 1 chöõ soá cho oâ coøn laïi thöù 2 3 caùch choïn 1 chöõ soá cho oâ coøn laïi thöù 3 * Theo qui taéc nhaân ta coù: A 2 .5.4.3 = 20.60 = 1200 soá n. 5 Caùch khaùc : - Böôùc 1 : xeáp 1, 5 vaøo 2 trong 5 vò trí: ta coù: A 2 = 4.5 = 20 caùch 5 -Böôùc 2 : coù A 3 = 3.4.5 = 60 caùch boác 3 trong 5 soá coøn laïi roài xeáp vaøo 3 vò trí coøn laïi . 5 Vaäy coù 20.60 = 1200 soá n thoûa ycbt. x ≥ x2 CAÂU V. Ta coù 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 1 1 Ta coù x y − y x ≤ ⇔ x y ≤ + y x (1) 4 4 Theo baát ñaúng thöùc Cauchy ta coù 1 1 1 1 y x+ ≥ yx 2 + ≥ 2 yx 2 . = x y ⇒ x y − y x ≤ 4 4 4 4 ⎧ ⎪0 ≤ y ≤ x ≤ 1 ⎧x = 1 ⎪ ⎪ Daáu = xaûy ra ⇔ ⎨ x = x 2 ⇔⎨ 1 ⎪ 1 ⎪y = 4 ⎩ ⎪yx 2 = ⎩ 4 DÖÏ BÒ 1 KHOÁI D: Caâu I: (2 ñieåm) Goïi (Cm) laø ñoà thò cuûa haøm soá y= – x3+ ( 2m + 1) x2 – m – 1 (1) (m laø tham soá). 1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1) khi m = 1 . 2) Tìm m ñeå ñoà thò (Cm) tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng y= 2mx – m – 1. Caâu II:( 2 ñieåm). 1. Giaûi baát phöông trình : 2 x + 7 − 5 − x ≥ 3x − 2 3π sin x 2. Giaûi phöông trình : tg ( − x) + =2 2 1 + cos x Caâu III: (3 ñieåm). 1. Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho ñöôøng troøn (C): x2 + y2 −4 x − 6 y − 12 = 0 . Tìm toïa ñoä ñieåm M thuoäc ñöôøng thaúng d : 2 x − y + 3 = 0 sao cho MI = 2R , trong ñoù I laø taâm vaø R laø baùn kính cuûa ñöôøng troøn (C). 2. Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho laêng truï ñöùng OAB.O1A1B1 vôùi A(2;0;0), B(0; 4; 0), B O1(0; 0; 4) a) Tìm toïa ñoä caùc ñieåm A1, B1. Vieát phöông trình maët caàu qua 4 ñieåm O, A, B, O1. b) Goïi M laø trung ñieåm cuûa AB.Maët phaúng ( P ) qua M vuoâng goùc vôùi O1A vaø caét OA, OA1 laàn löôït taïi N, K . Tính ñoä daøi ñoïan KN. TRANG 15
  16. e3 ln 2 x Caâu IV: ( 2 ñieåm). 1.Tính tích phaân I = ∫ dx . 1 x ln x + 1 2. Tìm k ∈ {0;1; 2;.....; 2005} sao cho C2005 ñaït giaù trò lôùn nhaát. ( Cn laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n k k phaàn töû) Caâu V: (1 ñieåm) Tìm m ñeå heä phöông trình sau coù nghieäm: ⎧7 2 x + x +1 − 7 2+ x +1 + 2005 x ≤ 2005 ⎪ ⎨ 2 ⎪ x − (m + 2) x + 2m + 3 ≥ 0 ⎩ Baøi giaûi CAÂU I 1/ Khaûo saùt y = − x 3 + ( 2m + 1) x 2 − m − 1 khi m=1 Khi m = 1 thì y = −x3 + 3x 2 − 2 MXÑ: D=R y ' = −3x 2 + 6x = 3x ( − x + 2 ) , y ' = 0 ⇔ x = 0 hay x = 2 y '' = −6x + 6, y '' = 0 ⇔ x = 1 BBT x −∞ 0 1 2 +∞ y' - 0 + + - y '' + + 0 - - y +∞ 2 loõm -2 loõm 0 loài loài −∞ 2/ Tìm m ñeå ( Cm ) tieáp xuùc vôùi y = 2mx − m − 1 ( d ) ⎧ − x 3 + ( 2m + 1) x 2 − m − 1 = 2mx − m − 1 ⎪ (d) tieáp xuùc vôùi ( Cm ) ⇔⎨ coù nghieäm ⎪ ⎩ −3x 2 + 2 ( 2m + 1) x = 2m TRANG 16
  17. ⎧x = 0 hay − x 2 + ( 2m + 1) x = 2 m ⎪ ⇔⎨ coù nghieäm ⎪ ⎩ −3x 2 + 2 ( 2m + 1) x = 2m ⎧− x 2 + ( 2m + 1) x = 2m ⎪ ⇔ m = 0 hay ⎨ coù nghieäm ⎪ ⎩ −3x 2 + 2 ( 2m + 1) x = − x 2 + ( 2m + 1) x ⎧− x 2 + ( 2m + 1) x = 2 m ⎪ ⇔ m = 0 hay ⎨ coù nghieäm ⎪2x − ( 2m + 1) x = 0 2 ⎩ ⎧− x 2 + ( 2m + 1) x = 2m ⎪ ⇔ m = 0 hay ⎨ 2m + 1 coù nghieäm ⎪x = ⎩ 2 2 ⎛ 2m + 1 ⎞ 1 2 1 ⇔ m = 0 hay − ⎜ ⎟ + ( 2m + 1) = 2m ⇔ m = 0 hay m = ⎝ 2 ⎠ 2 2 CAÂU II: 1/ Giaûi bpt 2x + 7 − 5 − x ≥ 3x − 2 (1) ⎧2x + 7 ≥ 0 ⎪ 2 Ñieàu kieän ⎨5 − x ≥ 0 ⇔ ≤ x ≤ 5 ⎪3x − 2 ≥ 0 3 ⎩ 2 (1) ⇔ 2x + 7 ≥ 3x − 2 + 5 − x vaø ≤ x ≤ 5 3 2 ⇔ 2x + 7 ≥ 3x − 2 + 5 − x + 2 ( 3x − 2 )( 5 − x ) vaø ≤ x ≤ 5 3 2 2 ⇔ 2 ≥ ( 3x − 2 )( 5 − x ) vaø ≤ x ≤ 5 ⇔ 3x 2 − 17x + 14 ≥ 0 vaø ≤ x ≤ 5 3 3 14 2 2 14 ⇔ (x ≤ 1 hay ≤ x) vaø ≤ x ≤ 5 ⇔ ≤ x ≤ 1 hay ≤x≤5 3 3 3 3 ⎛ 3π ⎞ sin x 2/ Giaûi phöông trình tg ⎜ − x⎟ + = 2 (2) ⎝ 2 ⎠ 1 + cos x sin x cos x sin x (2) ⇔ cot gx + =2⇔ + =2 1 + cos x sin x 1 + cos x ⇔ cos x + cos2 x + sin 2 x = 2sin x + 2sin x cos x vaø sin x ≠ 0 ⇔ ( cos x + 1) = 2sin x ( cos x + 1) vaø sin x ≠ 0 π 5π ⇔ 2sin x = 1 ⇔ x = + k 2 π hay x = + k 2π . 6 6 Ghi chuù:Khi sinx ≠ 0 thì cos x ≠ ± 1 CAÂU III. 1/ Ñöôøng troøn (C) coù taâm I ( 2,3 ) , R=5 M ( x M ,y M ) ∈ ( d ) ⇔ 2x M − y M + 3 = 0 ⇔ y M = 2x M + 3 IM = ( x M − 2 )2 + ( y M − 3 )2 = 10 TRANG 17
  18. ⇔ ( x M − 2 )2 + ( 2x M + 3 − 3)2 = 10 ⇔ 5x 2 − 4x M − 96 = 0 M ⎡ x M = −4 ⇒ y M = −5 ⇒ M ( −4, −5 ) ⎢ ⇔⎢ 24 63 ⎛ 24 63 ⎞ xM = ⇒ yM = ⇒ M⎜ , ⎟ ⎢ ⎣ 5 5 ⎝ 5 5 ⎠ 2/ a/ Vì AA1 ⊥ ( Oxy ) ⇒ A1 ( 2,0,4 ) BB1 ⊥ ( Oxy ) ⇒ B1 ( 0,4,4 ) Vieát pt maët caàu (S) qua O, A, B, O1 Ptmc (S): x 2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 Vì O ∈ ( S) ⇒ d = 0 Vì A ∈ ( S) ⇒ 4 − 4a = 0 ⇒ a = 1 Vì B ∈ ( S) ⇒ 16 − 8b = 0 ⇒ b = 2 Vì O1 ∈ ( S) ⇒ 16 − 8c = 0 ⇒ c = 2 Vaäy (S) coù taâm I(1,2,2) Ta coù d = a2 + b2 + c2 − R 2 ⇒ R2 = 1 + 4 + 4 = 9 Vaäy pt maët caàu (S) laø: ( x − 1)2 + ( y − 2 )2 + ( z − 2 )2 = 9 b/ Tính KN uuuu r Ta coù M (1,2,0 ) , O1A = ( 2,0, −4 ) uuuu r Mp(P) qua M vuoâng goùc vôùi O1A neân nhaän O1A hay (1;0; -2) laøm PVT ⇒ pt (P): 1( x − 1) + 0 ( y − 2 ) − 2(z − 0) = 0 (P): x − 2z − 1 = 0 ⎧x = t ⎪ PT tham soá OA laø ⎨y = 0 ⎪z = 0 ⎩ Theá vaøo pt (P): t − 1 = 0 ⇒ t = 1 ⇒ OA ∩ ( P ) = N (1,0,0 ) ⎧x = t ⎪ uuuur Pt tham soá OA1 laø: ⎨ y = 0 vôùi OA1 = ( 2, 0,4 ) hay (1;0;2) laø vtcp. ⎪z = 2t ⎩ 1 Theá vaøo pt (P): t − 4t − 1 = 0 ⇒ t = − 3 ⎛ 1 2⎞ ⇒ OA1 ∩ ( P ) = K ⎜ − ,0, − ⎟ ⎝ 3 3⎠ TRANG 18
  19. 2 2 ⎛ 1⎞ 2 ⎛ 2⎞ 20 20 2 5 Vaäy KN = ⎜ 1 + ⎟ + ( 0 − 0 ) + ⎜ 0 + ⎟ = = = ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 9 3 3 e3 ln 2 x CAÂU IV: 1/ Tính I = ∫1 x ln x + 1 dx dx Ñaët t = ln x + 1 ⇒ t 2 = ln x + 1 ⇒ 2tdt = vaø t 2 − 1 = ln x x Ñoåi caän: t(e3 ) = 2; t(1) = 1 2 e3 ln 2 x 2 t 4 − 2t 2 + 1 ⎡ t 5 2t 3 ⎤ 76 ( ) 2 4 2 I=∫ dx = ∫ 2tdt = 2 ∫ t − 2 t + 1 dt = 2 ⎢ − + t⎥ = x ln x + 1 t ⎣5 3 ⎦1 15 1 1 1 k k +1 ⎧C2005 ≥ C2005 k ⎪ 2. C2005 lôùn nhaát ⇔ ⎨ k∈N k k −1 ⎪ ⎩ C2005 ≥ C2005 ⎧ 2005! 2005! ⎪ k!( 2005 − k )! ≥ ( k + 1)!( 2004 − k )! ⎪ ⎧ k + 1 ≥ 2005 − k ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪ 2005! 2005! ⎩2006 − k ≥ k ≥ ⎪ k!( 2005 − k )! ( k − 1)!( 2006 − k )! ⎩ ⎧ k ≥ 1002 ⇔⎨ ⇔ 1002 ≤ k ≤ 1003, k ∈ N ⎩ k ≤ 1003 ⇔ k = 1002 hay k = 1003 CAÂU V: Tìm m ñeå heä phöông trình sau coù nghieäm: ⎧72x + x +1 − 72+ x + 1 + 2005x ≤ 2005 (1) ⎪ ⎨ 2 ⎪x − ( m + 2 ) x + 2m + 3 ≥ 0 (2) ⎩ Ñieàu kieän laø x ≥ −1 .Ta coù 72x + x +1 − 72 + x +1 ≤ 0, ∀x ∈ [ −1;1] Ta coù: (1) ⇔ 7 x +1 (7 2x ) − 72 ≤ 2005 (1 − x ) : ñuùng ∀x ∈ [ −1;1] vaø sai khi x > 1 Do ñoù (1) ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 . Vaäy, heä bpt coù nghieäm ⇔ f ( x ) = x 2 − ( m + 2 ) x + 2m + 3 ≥ 0 coù nghieäm ∈ [ −1,1] ⇔ Maxf(x)≥0 ⇔ max {f(−1), f(1)} ≥ 0 x∈[ −1;1 ] ⇔ max {3m + 6,m + 2} ≥ 0 ⇔ 3m + 6 ≥ 0 hay m + 2 ≥ 0 ⇔m≥− 2 DÖÏ BÒ 2 KHOÁI D: x 2 + 3x + 3 Caâu I: (2 ñieåm) 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá y = . x +1 x 2 + 3x + 3 2. Tìm m ñeå phöông trình = m coù 4 nghieäm phaân bieät x +1 TRANG 19
  20. 2 x − x2 ⎛1⎞ Caâu II:( 2 ñieåm). 1. Giaûi baát phöông trình : 9 − 2⎜ ⎟ x2 − 2 x ≤3. ⎝ 3⎠ 2. Giaûi phöông trình : sin 2 x + cos 2 x + 3sin x − cos x − 2 = 0 Caâu III: (3 ñieåm). 1. Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho 2 ñieåm A(0;5), B(2; 3) . Vieát phöông trình ñöôøng troøn ñi qua hai ñieåm A, B vaø coù baùn kính R = 10 . 2. Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho 3 hình laäp phöông ABCD.A1B1C1D1 vôùi A(0;0;0), B B(2; 0; 0), D1(0; 2; 2) a) Xaùc ñònh toïa ñoä caùc ñieåm coøn laïi cuûa hình laäp phöông ABCD.A1B1C1D1.Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC . Chöùng minh raèng hai maët phaúng ( AB1D1) vaø ( B AMB1) vuoâng goùc nhau. b) Chöùng minh raèng tæ soá khoûang caùch töø ñieåm N thuoäc ñöôøng thaúng AC1 ( N ≠ A ) tôùi 2 maët phaúng ( AB1D1) vaø ( AMB1) khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa ñieåm N. π 2 Caâu IV: ( 2 ñieåm). 1.Tính tích phaân I = ∫ ( 2 x − 1) cos 2 xdx . 0 2. Tìm soá nguyeân n lôùn hôn 1 thoûa maõn ñaúng thöùc : 2 Pn + 6 An − Pn An = 12 . 2 2 ( Pn laø soá hoùan vò cuûa n phaàn töû vaø An laø soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû) k Caâu V: (1 ñieåm) Cho x, y, z laø ba soá döông vaø x yz = 1. Cmraèng : x2 y2 z2 3 + + ≥ . 1+ y 1+ z 1+ x 2 Baøi giaûi CAÂU I: x 2 + 3x + 3 1/ Khaûo saùt y = (C) x +1 MXÑ: D = R \ {−1} x 2 + 2x y' = 2 ,y ' = 0 ⇔ x 2 + 2x = 0 ⇔ x = 0 hay x = −2 ( x + 1) BBT x −∞ -2 -1 0 +∞ y' + 0 - - 0 + y -1 +∞ +∞ −∞ −∞ 3 TRANG 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản