Điểm rơi AM_GM

Chia sẻ: Tai Viet | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

0
74
lượt xem
11
download

Điểm rơi AM_GM

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'điểm rơi am_gm', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Điểm rơi AM_GM

  1. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn Cho 3 số thực dương a,b,c thoả mãn a 2  b 2  c 2  1 . Chứng minh rằng : a b c 3 3 2 2  2 2  2 2 . b c c a a b 2 Phân tích bài toán :  Trường hợp tổng quát , giả sử 0  a  b  c thoả mãn điều kiện a 2  b 2  c 2  1 , vậy ta có thể suy ra 0  a  b  c  1 hay không?. Như vậy điều kiện a,b,c không chính xác vì dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi 0  a  b  c   1   2  a,b,c   0; .   a  b 2  c2  1  3  Ta thấy mối liên hệ gì của bài toán ?. Dễ thấy a 2  b 2  c 2  1 và b 2  c 2 , c2  a 2 , a 2  b 2 . Gợi ý ta đưa a b c 3 3 bài toán về dạng cần chứng minh : 2  2  2  1a 1b 1 c 2  Vì vai trò a,b,c như nhau và 2 ý phân tích trên gợi ý ta đưa đến cách phân tích  a 3 2  2  a  1 a 2 a b c 3 3 2 2 2  b   1  a 2 1  b2 1  c2  2 a  b  c  và cần chứng minh 1  b2  23 b2 .    c 3 2  2  c 1  c  2  Ta thử đi tìm lời giải : a 3 2 1 3 3 2 4 8 2  a  2  a  a(1  a 2 )   a 2(1  a 2 )2   2a 2(1  a 2 )2 1a 2 1a 2 3 3 27 27 2a 2(1  a 2 )2  2a 2(1  a 2 )(1  a 2 )  Dễ thấy  2 2 2 2a  (1  a )  (1  a )  2  Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 2  2a 2  (1  a 2 )  (1  a 2 )  3 3 2a 2(1  a 2 )(1  a 2 ) 2 8   3 2a 2(1  a 2 )(1  a 2 )   2a 2(1  a 2 )2 3 27 Tương tự cho các trường hợp còn lại. Giải : a3 b3 c3 1 Cho 3 số thực dương a,b,c . Chứng minh rằng :    a  b  c  b c  a  c a  b  a b  c  2 Phân tích bài toán :  Đẳng thức cần chứng minh đưa về dạng : a3 b3 c3  m a  c   nb   k b  a   pc   i b  c   ja  0 . b c  a  c a  b  a b  c 
  2. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn  Giả sử 0  a  b  c . Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a  b  c . a3 Từ đó gợi mở hướng giải :  m a  c   nb  3 3 mna . Đẳng thức xảy ra khi b c  a   a3 m  1   m a  c   nb a 3  4 b c  a    m a  a   na   a  b  c a a  a  n  1   2 Tương tự cho các trường hợp khác . Giải : a3 1 1 3 a3 1 1  b  c  a   a . Đẳng thức xảy ra khi:  b  c  a  . b c  a  2 4 2 b c  a  2 4 3 3 b 1 1 3 b 1 1  c  b  a   b . Đẳng thức xảy ra khi:  c  b  a  . c a  b  2 4 2 c a  b  2 4 c3 1 1 3 c3 1 1  a  b  c   c . Đẳng thức xảy ra khi:  a  b  c  . a b  c  2 4 2 a b  c  2 4 3 3 3 a b c 1 Cộng vế theo vế ta được :    a  b  c  . Dấu đẳng thức xảy ra khi : b c  a  c a  b  a b  c  2 a b c  0 Cho 3 số thực dương a,b,c thoả mãn a  b  c  1 . Chứng minh rằng : a. a  b  b  c  c  a  6 . b. 3 a  b  3 b  c  3 c  a  3 18 . 1 1 1 c. a  b  c     10 a b c Giải: a. a  b  b  c  c  a  6 . Phân tích bài toán :  Trường hợp tổng quát , giả sử 0  a  b  c thoả mãn điều kiện a  b  c  1 , dấu đẳng thức chỉ xảy ra 0  a  b  c  1 1 khi   a  b  c  . Hằng số cần thêm là . a  b  c  1  3 3  Từ giả thiết gợi ý ta đưa đến cách phân tích a  b  b  c  c  a  6 a  b  c  hay  1 1 1 1 1 1 3 a  3  b  3 b  3  c  3 c  3  a  3  S  a b  b c  c a  .   . 2   2 2 2     Ta thử đi tìm lời giải : Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân
  3. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 1 1  2 3 a  3 b  3 3  a  b   3  3 2    . a  b  .  a  b 2 2 2 2  2 3   Tương tự cho các trường hợp còn lại . Cách khác : 1 1 a b  m Giả sử với mọi m  0 , ta luôn có : a b  m a  b  m  m  2  . Vấn   đề bây giờ ta   dự đoán m  0 bao nhiêu là phù hợp?. a  b  m  2 Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi  1 m  3. a  b   3 Giải : Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân  2  3 2 AM _GM 3 a  b   3  a b  . a  b  .  .  2 3 2 2  2   3 2 AM _GM 3 b  c   3  b c  . b  c  .  .  2 3 2 2  2  3 2 AM _GM 3 c  a   3  c a  . c  a  .  .  2 3 2 2   2 3 2 a  b  c   3. 3 3  a b  b c  c a  .  .2  6 (đpcm). 2 2 2 1 Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  . 3 b. 3 a  b  3 b  c  3 c  a  3 18 .  Trường hợp tổng quát , giả sử 0  a  b  c thoả mãn điều kiện a  b  c  1 , dấu đẳng thức chỉ xảy ra  2 a  b  3 0  a  b  c  1   2 2 khi   a  b  c   b  c  . Hằng số cần thêm là a  b  c  1  3  3 3  2 c  a  3   Từ giả thiết gợi ý ta đưa đến cách phân tích 3 a  b  3 b  c  3 c  a  3 18 a  b  c  hay a  b   2  2 b  c   2  2 c  a   2  2 3 3 3 3 3 3 T  3a b  3b c  3c a  3 3 3 .
  4. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn Giải : Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân  2 2 3 9 3 2 2 a b      a b  3 . a b . .    3 3  4 3 3 3  2 2 3 9 2 2 b c       b  c  3 .3 b  c . .    3 3  4 3 3 3  2 2  93 2 2 c  a   3  3  3 c  a  3 . c  a  . .   4 3 3 3   9 2 a  b  c   4 9 6 3 T  3 a b  3 b c  3 c a  3 .  3 .  18 (đpcm). 4 3 4 3 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  c  . 3 1 1 1 c. a  b  c     10 a b b Phân tích bài toán :  Trường hợp tổng quát , giả sử 0  a  b  c thoả mãn điều kiện a  b  c  1 , dấu đẳng thức chỉ xảy ra 0  a  b  c  1 khi  a b c  . a  b  c  1  3 1  Từ điều cần chứng minh ,gợi ý ta đưa đến cách phân tích với mọi m  0 , ta luôn có : ma  2 m. a ma  1  a Đẳng thức xảy ra khi :   m  9. a  1  3 1 1 1 1 1 1  Vì thế mà T  a  b  c     9 a  b  c      8 a  b  c  a b b a b b Giải : Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 9a  1  6  a  1  9b   6  b 9c  1  6   c 1 1 1  T  9 a  b  c      8 a  b  c   3.6  8 a  b  c   10 (đpcm). a b b
  5. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 1 Đẳng thức xảy ra khi : a  b  c  . 3 Chứng minh rằng nếu xy  yz  zx  5 thì 3x 2  3y 2  z 2  10 Phân tích bài toán :  Trước hết ta để ý mối liên hệ giữa 3x 2,3y 2, z 2, xy, yz, zx cho ta điều gì ?, phải chăng những hằng đẳng 2 2 thức có dạng : ax  by   0  ax 2  by   2axby ?.  Phân tích : ax 2  ay 2  2axy .Đẳng thức xảy ra khi x  y by 2  cz 2  2 bcyz .Đẳng thức xảy ra khi by 2  cz 2 cz 2  bx 2  2 cbzx . Đẳng thức xảy ra khi cz 2  bx 2  a  b  3 a  1     Bây giờ ta chọn a,b,c sao cho : 2c  1  b  2   a  bc  c  1   2 Giải : x 2  y 2  2xy .Đẳng thức xảy ra khi x  y 1 1 2y 2  z 2  2yz .Đẳng thức xảy ra khi 2y 2  z 2 2 2 1 2 1 z  2x 2  2zx . Đẳng thức xảy ra khi z 2  2x 2 2 2 Cộng vế theo vế ta được : 3x  3y  z  2  xy  yz  zx   3x 2  3y 2  z 2  10 (đpcm). 2 2 2 x  y  1 2y 2  z 2  2 x  y  1  Đẳng thức xảy ra khi :   1 z  2  z 2  2x 2  2 xy  yz  zx  5  Cho 3 số thực dương x, y, z thoả mãn x  y  z  47 . Chứng minh rằng : 3x 2  4y 2  5z 2  235 12 12 Phân tích bài toán : 235  Trước hết ta để ý mối liên hệ giữa 3x 2,4y 2,5z 2, x, y, z cho ta điều gì ?, gợi ý : 3x 2  4y 2  5z 2  12 2 2 2 được biến đổi về dạng 3x  m  4y  n  5z  p  k,  0  m  n  p  k  const   Phân tích :
  6. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 3x 2  m  2 3mx , m  0 . Đẳng thức xảy ra khi 3x 2  m 4y 2  n  2 4ny, n  0 . Đẳng thức xảy ra khi 4y 2  n 5z 2  p  2 5pz, p  0 . Đẳng thức xảy ra khi 5z 2  p  5 x  2 3  3x  m y  5  2 4y  n  4 z  1   Bây giờ ta chọn x, y, z sao cho : 5z 2  p    m  25  3m  4n  5p  3   25 x  y  z  47 n    12  4 p  5  Giải : 25 25 25 3x 2   2 3. x . Đẳng thức xảy ra khi 3x 2  . 3 3 3 25 25 25 4y 2   2 4. y . Đẳng thức xảy ra khi 4y 2  . 4 4 4 5z 2  5  2 5.5z . Đẳng thức xảy ra khi 5z 2  5 . 235 235 Cộng vế theo vế ta được 3x 2  4y 2  5z 2  10 x  y  z    (đpcm). 12 12  5 x  3   5 Đẳng thức xảy ra khi y  .  4 z  1   Cho 3 số thực dương a,b,c thoả mãna b c  3 . 2 1 1 1 3 17 Chứng minh rằng : a 2  2  b 2  2  c 2  2  . b c a 2 Phân tích bài toán :  Trường hợp tổng quát , giả sử 0  a  b  c thoả mãn điều kiện a  b  c  3 , dấu đẳng thức chỉ xảy 2 0  a  b  c   1 ra khi  3  a,b,c   0; 2  . a  b  c     2
  7. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn  Điều cần chứng minh là biểu thức đối xứng , nên ta dự đoán  2 1 a  b  c  2 2  4 1 4       16 .  1  1  1  4 4   a 2 b 2 c 2      16 gợi ý ta phân tích a 2  1  a 2  1  .....  1 …. b2 16b 2    16b 2  16 so b2 Giải : 1 1 1 S  a2  2  b  2  c  2 2 2 b c a 1 1 1 1 1 1 S  a2   .....   b2   .....   c2   .....  16b  2   16b 2  16c  2   16c 2  16a  2   16a 2  16 16 16 1 1 1 1 1 1 S  1717 a 2 . .....  1717 b 2 . .....  1717 c 2 . ..... 16b  16b 2 2    16c  16c 2 2    16a  16a 2 2    16 16 16 a2 b2 c2  a b c  S  1717  1717  1717  17  17 8 16  17 8 16  17 8 16  1616b 32 1616c 32 16 a 16 32  16 b  16 c 16 a    a 17 b 17 c  a 3 17 S  17 3 3 17 . .   3. 17 17 8 5 5 5   16 b 8 16 16 c 8 16 16 a  8 16 16 a b c 2.17 2a 2b2c  5   3 17 3 17 S   (đpcm). 2a  2b  2c  15 2 2.   17   3  1 Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  c  . 2 Cho 3 số thực không âm a,b,c . Chứng minh rằng : 1  3 abc  3 1  a  1  b  1  c  Giải : 1  3 abc  3 1  a  1  b  1  c   3 1.1.1  3 abc  3 1  a  1  b  1  c  1.1.1 abc  3 3 1 1  a  1  b  1  c  1  a  1  b  1  c  1.1.1 abc Đặt : T  3 3 1  a  1  b  1  c  1  a  1  b  1  c  1 1 1 1  1 a b c  T  1  a  1  b  1  c   3  1  a  1  b  1  c  3   
  8. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 1 a  1 b  1 c  1  1 T     .3  1 3 1  a 1  b 1  c  3   Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  c  0 . Tổng quát :   Chứng minh rằng với mọi ai ,bi  0 i  1, n thì ta luôn có : n a1a2 .......an  n b1b2.......bn  n  a1  b  a1  b2  ........ an  bn    1  1 1 1  Cho 3 số thực dương a,b,c thoả mãn a  b  c  1 . Chứng minh rằng :   1    1    1   8 . a  b c  Giải : 1 1 1  1 a  1 b  1 c  b  c c  a a b VT    1    1    1    . .  a . b . c a  b  c   a   b   c  AM_GM 2 bc 2 ca 2 ab VT  . .  8 (đpcm) a b c Tổng quát : x 1, x 2 , x 3 ,..............., x n  0  Cho  . x 1  x 2  x 3  ........  x n  1  1  1  1   1  Chứng minh rằng :   1    1   x x x  1  ........   1   n  1n .  x   1  2  3   n  1 1 1 1 Cho 4 số thực dương a,b,c,d thoả mãn     3 . Chứng minh rằng : 1a 1 b 1c 1d 1 abcd  . 81 Giải : 1  1   1   1  b c d  1 -   1    1  =   1a  1b   1c   1 d  1 b 1 c 1d 1 AM _GM bcd  33 1a 1  b  1  c  1  d 
  9. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn  1 bcd  3 3 1  a 1  b  1  c  1  d    1 cda 1  b  33  1  c  1  d  1  a  Vậy:   1 dca 1  c 3 3  1  d  1  c 1  a    1 abc  33 1  d 1  a  1  b  1  c   1 abcd 1   81  abcd  1  a  1  b  1  c  1  d  1  a  1  b  1  c  1  d  81 Tổng quát : x 1, x 2 , x 3 ,............., x n  0  Cho :  1 1 1 1 1  x  1  x  1  x  .........  1  x  n  1  1 2 3 n 1 Chứng minh rằng : x 1x 2x 3 ...........x n  . n  1n Bài tương tự Cho 3 số thực dương a,b,c thoả mãn a  b  c  3 . Chứng minh rằng : a b c 3 a. 2  2  2  . 1b 1c 1a 2 a b c 3 b. 2  2  2  . a b b c c a 2 2 2 2 a b c c.    1. a  2b b  2c c  2a 2 2 2 Hướng dẫn : a  b  c  3 a.   2 3(ab  bc  ca )  (a  b  c )  ab  bc  ca  3   a a(1  b 2 )  ab 2 ab 2  2  a  a ab 1  b 1  b2 1  b2  2 a  1  b 2  2b 1b 2  b bc 2 bc c ca 2 ca Tương tự : 2 b  2 b  , 2 c  2 c  1c 1c 2 1a 1a 2
  10. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn a b c ab  bc  ca 3 3 Cộng vế theo vế : 2  2  2  a b c  3  . 1b 1c 1a 2 2 2 Cho 3 số thực dương a,b,c thoả mãn a.b.c  1 . Chứng minh rằng : a3 b3 c3 3 a.    . (1  b)(1  c) (1  c)(1  a ) (1  a )(1  b) 4 1 1 1 b.   1 2 a 2 b 2 c Hướng dẫn : a. Cho 3 số thực dương a,b,c thoả mãn a  b  c  1 . Chứng minh rằng : a2 b2 c2 1    b c c a a b 2 Giải : a2 b2 c2 1 a2 b2 c2 1    (  a)  (  b)  (  c)   (a  b  c) b c c a a b 2 b c c a a b 2 2 2 2 a  a(b  c) b  b(c  a ) c  c(a  b) 1     1 b c c a a b 2 a(a  b  c) b(b  c  a ) c(c  a  b) 3     b c c a a b 2 a b c 3     vì a  b  c  1 . b c c a a b 2 Cho 3 số thực dương a,b,c thoả mãn a  b  c  1 . Chứng minh rằng : ab bc ca 1 a.    . a  b  2c b  c  2a c  a  2b 4
  11. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn Hướng dẫn : 1 1 4 a. Dùng bất đẳng thức   . a b a b Cho 3 số thực dương a,b,c . Chứng minh rằng : a3 b3 c3 1 a.    a  b  c  (a  b)(b  c) (b  c)(c  a ) (c  a )(a  b) 4 a3 b3 c3 1 b.    (a  b  c) b(c  a ) c(a  b) a(b  c) 2 Hướng dẫn :  a3 a b b c 3  8a 3     a   (a  b)  (b  c)  6a (a  b)(b  c) 8 8 4 (a  b)(b  c)  b3 b c c a 3  8b 3 a. Cách 1 :      b  Cách 2:   (b  c)  (c  a )  6b  (b  c)(c  a ) 8 8 4  (b  c)(c  a )  c 3 c a a b 3  8c 3     c   (c  a )  (a  b)  6c (c  a )(a  b)  8 8 4 (c  a )(a  b)   4a 3  a3 b c a 3   2b  (c  a )  6a     a  b(c  a ) b(c  a ) 2 4 2  4b 3   b  3 c a b 3 b. Cách 1:   2c  (a  b)  6b Cách 2:     b c(a  b) c(a  b) 2 4 2  4c 3  c3 a b c 3   2a  (b  c)  6c     c a(b  c)  a(b  c) 2  4 2 Cho 3 số thực dương x, y, z . Tìm x2 y2 z2 min f  x ; y; z     . (2y  3z )(2z  3y ) (2z  3x )(2x  3z ) (2x  3y )(2y  3x ) Giải : 13 2 (2y  3z )(2z  3y)  6 y 2  z 2   13yz  6 y 2  z 2   2 y  z 2   25 y 2  z 2  2 x2 2x 2   (2y  3z )(2z  3y ) 25(y 2  z 2 ) y2 2y 2 z2 2z 2 Tương tự :  ,  . (2z  3x )(2x  3z ) 25(z 2  x 2 ) (2x  3y )(2y  3x ) 25(x 2  y 2 ) 2x 2 2y 2 2z 2 1 1 f x ; y; z   2 2  2 2  2 2  f x ; y; z    min f x ; y; z   . 25(y  z ) 25(z  x ) 25(x  y ) 25 25
  12. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn Cho 3 số thực dương a,b,c . Chứng minh rằng : 1 1 1 1 1 1 a.      . a  3b b  3c c  3a 4a 4b 4c 1 1 1 1 1 1 b.      . a  b  2c b  c  2a c  a  2b 4a 4b 4c 1 1 1 11 1 1 c.      . a  b  a  c  b  c b  a  c  a  c  b  2 a b c    a d b b b c c a d.    0 d b b c c a a d  1 1 1  81 Cho x ; y; z   0;1 . Chứng minh rằng :  2x  2y  2z   x  y  z   2 2 2  8 Giải : Đặt a  2x ,b  2y ,c  2z  a,b,c  1;2  1 1 1  81 Bài toán trở thành : Cho a,b,c  1;2 . Chứng minh rằng : a  b  c       . a b c  8 Thật vậy : 1 1 1 81 2 2 2 81 2 2 2 9 a  b  c   a  b  c   8  a  b  c   a  b  c   4  a  b  c   a  b  c   2             2 1  a  2  a  1a  2   0  a 2  3a  2  0  a 2  2  3a  a  3 a 2 2 Tương tự :b   3,c   3 b c 2 2 2  a  b  c        9 1 a b c   Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân : 2 2 2 2 2 2  a  b  c        2 a  b  c      2      a b c  a b c  2 2 2  2 2 2  81 Từ 1 và  2  suy ra 2 a  b  c       9  a  b  c       3 a b c  a b c  4  1 1 1  81 Đẳng thức không xảy ra .  3   a  b  c       (đpcm). a b c  8 Cho a,b,c là 3 số dương thoả mãn ab  bc  ca  3abc . Chứng minh rằng: ab bc ca 3  3  3  a 3  b 3  a 2c  b 2c b  c 3  b 2a  c 2a c  a 3  c 2b  a 2b 4 Trích http://www.maths.vn
  13. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn Giải : 1 1 1 ab  bc  ca  3abc    3 a b c 1 1  1 1 Với a,b  0 ta luôn có a 3  b 3  ab a  b  ,  .   a b 4 a b  và với mọi a,b ta luôn có a 2  b 2  2ab . ab ab ab  1 1      2 2  a 3  b 3  a 2c  b 2c ab(a  b)  (a 2  b 2 )c 4  ab(a  b) (a  b )c    ab 1 1 ab  1 1 1      2     ab(a  b )  (a 2  b 2 )c 4  a  b (a  b 2 )c  4  a  b 2c  ab 1  1 1 1 1     . 1  a 3  b 3  a 2c  b 2c 16  a b  8 c Tương tự : bc 1 1 1 1 1     . 2  b 3  c 3  b 2a  c 2a 16  b c  8 a ca 1 1 1  1 1 2    . 3 c  a  c b  a b 16  c a  8 b 3 3 2   Cộng vế theo vế đẳng thức 1 ,  2  và  3  ta được đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 . Cho tam giác ABC có 3 cạnh : AB  c, BC  a, AC  b thoả mãn a 3  b 3  c 3 .Chứng minh rằng : A là góc nhọn và thoả : 600  A  900 . Giải :  3 2  b  b  b  2   a,b,c  0 0  a  1 2 0  b  a  a  3 3       a    b    c    b    c   3       0  c  1 a  a  0  c  a a  a  3 3 a  b  c    c  3  c  2      a       a  a  b 3  c 3 b2  c2 b2  c2 b2  c2  a 2  3  2 1 2  a 2  b 2  c2  cos A   0  A  900 a a a 2bc a  b  c  b  c  b  bc  c   a b  bc  c   a  b  bc  c 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 b2  c2  a 2 b2  c 2  a 2 1   1  cos A    A  600 bc 2bc 2 Vậy 60  A  90 . 0 0 \
  14. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn
Đồng bộ tài khoản