Dùng đồ thị hàm số lồi lõm đánh giá bất đẳng thức

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

0
164
lượt xem
40
download

Dùng đồ thị hàm số lồi lõm đánh giá bất đẳng thức

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu học tập và luyện thi, nhằm giúp các bạn có cách nhìn toàn diện về kiến thức và kĩ năng cần nắm vững trước khi học sinh giỏi bước vào kỳ thi với tâm thế vững vàng nhất. Tác giả hi vọng tài liệu này sẽ là tài liệu bổ ích cho các em.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Dùng đồ thị hàm số lồi lõm đánh giá bất đẳng thức

  1. KHAI THÁC KHÁI NI M ð TH HÀM S L I, LÕM ð ðÁNH GIÁ B T ð NG TH C I. LÝ DO CH N ð TÀI ng d ng hàm l i ñ ñánh giá b t ñ ng th c (BðT) ñã ñư c khai thác nhi u và ñ i di n cho ng d ng ñó là BðT Jensen. Khái ni m hàm l i trong chương trình SGK cũ và m i (bài ñ c thêm) ñư c ñ nh nghĩa d a vào v trí n m trên, n m dư i c a ti p tuy n v i ñ th hàm s . Trong ñ nh nghĩa ñó, ñã cho ta m t tính ch t hình h c c a ti p tuy n. ðó là: ta có th ñánh giá f (x ) thông qua m t bi u th c b c nh t c a x . V n d ng tính ch t này, ta có th tìm ñư c l i gi i ñơn gi n cho m t s bài toán ch ng minh BðT. Hơn n a thông qua ñó ñ chúng ta th y ñư c vi c d y cho HS B n ch t c a các khái ni m Toán h c r t quan tr ng trong phát tri n tư duy cho h c sinh. ðó là lí do mà tôi ch n ñ tài “Khai thác khái ni m ñ th hàm s l i, lõm ñ ñánh giá BðT” II. TH C TR NG TRƯ C KHI TH C HI N CÁC GI I PHÁP C A ð TÀI: 1. Thu n l i: V i s ñ i m i phương pháp d y h c trung h c ph thông l y h c sinh làm trung tâm và t o s h ng thú trong h c t p. H c sinh ch ñ ng chi m lĩnh tri th c. Do ñó, vi c d y cho h c sinh n m ñư c b n ch t c a m t khái ni m Toán h c h t s c quan tr ng 2. Khó khăn: Khi d y khái ni m Toán h c giáo viên chưa chú tr ng nhi u vào vi c d y cho h c sinh n m ñư c b n ch t c a khái ni m mà ch y u t p trung vào vi c kh o sát các ñ i tư ng có thu c v khái ni m ñó hay không?. Do ñó h c sinh Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 1
  2. cũng ít quan tâm ñ n b n ch t c u khái ni m ñã h c nên m t ph n nào ñó h n ch vi c phát tri n tư duy cũng như s h ng thú trong h c t p. III. N I DUNG ð TÀI 1. Cơ s lí thuy t. a. ð nh nghĩa: Cho hàm s y = f (x ) liên t c [a; b ] và có ñ th là (C). Khi ñó ta có hai ñi m A(a; f (a )), B(b; f (b)) n m trên ñ th (C). i) ð th (C) g i là l i trên (a; b) n u ti p tuy n t i m i ñi m n m trên cung AB luôn n m phía trên ñ th (C). ii) ð th (C) g i là lõm trên (a; b) n u ti p tuy n t i m i ñi m n m trên cung AB luôn n m phía dư i ñ th (C). y _ y _ a _ b _ x _ x _ 1 _ a b _ ð th hàm s l i ð th hàm lõm b. D u hi u ñ th l i ð nh lí 1: Cho hàm s y = f (x ) có ñ o hàm c p hai liên t c trên (a; b ) * N u f ''(x ) > 0 ∀x ∈ (a; b ) thì ñ th hàm s lõm trên (a; b) * N u f ''(x ) < 0 ∀x ∈ (a; b ) thì ñ th hàm s l i trên (a; b ) c. ng d ng T hình nh tr c quan c a ñ nh nghĩa cho ta m t phương pháp gi i các bài toán BðT và c c tr sau : ð nh lí 2: (B t ñ ng th c ti p tuy n) Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 2
  3. Cho hàm s y = f (x ) liên t c và có ñ o hàm ñ n c p hai trên [a;b] . i) N u f ''(x ) ≥ 0 ∀x ∈ [a; b ] thì f (x ) ≥ f '(x 0 )(x − x 0 ) + f (x 0 ) ∀x 0 ∈ [a; b ] ii) N u f ''(x ) ≤ 0 ∀x ∈ [a; b ] thì f (x ) ≤ f '(x 0 )(x − x 0 ) + f (x 0 ) ∀x 0 ∈ [a; b ] ð ng th c trong hai B t ñ ng th c trên x y ra ⇔ x = x 0 . Ta có th ch ng minh ñ nh lí trên như sau i) Xét hàm s g(x ) = f (x ) − f '(x 0 )(x − x 0 ) − f (x 0 ) , x ∈ [a; b ] Ta có : g '(x ) = f '(x ) − f '(x 0 ) ⇒ g ''(x ) = f ''(x ) ≥ 0 ∀x ∈ [a; b ] ⇒ g '(x ) = 0 ⇔ x = x 0 và g '(x ) ñ i d u t − sang + khi x qua x 0 nên ta có : g(x ) ≥ g(x 0 ) = 0 ∀x ∈ [a; b ] . ii) Ch ng minh tương t . ð nh lí 3: (B t ñ ng th c cát tuy n) Cho hàm s y = f (x ) liên t c và có ñ o hàm ñ n c p hai trên [a;b] . f (a ) − f (b) i) N u f ''(x ) ≥ 0 ∀x ∈ [a; b ] thì f (x ) ≥ (x − a ) + f (a ) ∀x 0 ∈ [a; b ] a −b f (a ) − f (b) ii) N u f ''(x ) ≤ 0 ∀x ∈ [a; b ] thì f (x ) ≤ (x − a ) + f (a ) ∀x 0 ∈ [a; b ] . a −b ð ng th c trong các BðT trên có khi và ch khi x = a ho c x = b . 2. N i dung, bi n pháp th c hi n gi i pháp c a ñ tài: Ví d 1: Cho các s th c dương a, b, c th a a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng a b c 3 + + ≤ . 2 2 2 10 a +1 b +1 c +1 x Gi i: Xét hàm s f (x ) = v i x ∈ (0;1) . 2 x +1 1 3x Ta có: f '(x ) = ⇒ f ''(x ) = − < 0 ∀x ∈ (0;1) 2 3 2 5 (x + 1) (x + 1) 1 1 1 Nên ta có: f (a ) ≤ f '( )(a − ) + f ( ) 3 3 3 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 3
  4. 1 1 1 f (b) ≤ f '( )(b − ) + f ( ) 3 3 3 1 1 1 f (c) ≤ f '( )(c − ) + f ( ) 3 3 3 1 Suy ra : f (a ) + f (b) + f (c) ≤ f '   (a + b + c − 1) + 3 f ( ) = 1 3 3 3 10 1 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = . 3 Ví d 2 : Cho các s th c dương a, b, c th a : a 2 + b2 + c2 = 3 . Ch ng minh 1 1 1 + + ≥ 1. 1 + 8a 1 + 8b 1 + 8b Gi i : 1 Xét hàm s : f (x ) = , 0 < a ≤ 3 . Ta có : 1 + 8a 4 48 1 f '(x ) = − ⇒ f "(x ) = >0 ∀x ∈ (− ; 3] 8 (1 + 8x )3 (1 + 8x )5 Nên ta có : f (a ) ≥ f '(1)(a − 1) + f (1) f (b ) ≥ f '(1)(b − 1) + f (1) f (c) ≥ f '(1)(c − 1) + f (1) ⇒ f (a ) + f (b ) + f (c ) ≥ f '(1)(a + b + c − 3) + 3 f (1) (*) M t khác : (a + b + c)2 ≤ 3(a 2 + b 2 + c2 ) = 9 4 ⇒ −3 ≤ a + b + c ≤ 3 ⇒ a + b + c − 3 ≤ 0 và f '(1) = − < 0 nên t (*) 27 Ta suy ra : f (a ) + f (b) + f (c) ≥ 3 f (1) = 1 . Nh n xét : D u hi u giúp chúng ta nh n ra phương pháp trên là BðT c n ch ng minh có d ng f (a1 ) + f (a2 ) + ... + f (an ) ≥ k ho c f (a1 ) + f (a2 ) + ... + f (an ) ≤ k , trong ñó ai (i = 1,.., n ) là các s th c cho trư c. Trong m t s trư ng h p BðT chưa có d ng trên, ta ph i th c hi n m t s phép bi n ñ i m i ñưa v d ng trên.Chúng ta c n chú ý m t s d u hi u sau. Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 4
  5. • N u BðT có d ng f (a1 ).f (a2 )...f (an ) ≥ k thì ta l y loganepe hai v • N u BðT c n ch ng minh ñ ng b c thì ta có th chu n hóa. Tùy thu c vào t ng bài toán mà ta l a ch n cách chu n hóa phù h p. Ví d 3 : Cho các s th c dương a, b, c th a : a + b + c = 3 . Tìm GTLN c a bi u th c : b c a       P =  a + 1 + a 2  b + 1 + b2   c + 1 + c 2  .       Gi i :     Ta có : ln P = b ln(a + 1 + a 2 ) + c ln b + 1 + b2  + a ln c + 1 + c 2        Xét hàm s : f (x ) = ln  x + 1 + x 2  , 0 < x < 1 . Ta có :   1 −x f '(x ) = ⇒ f ''(x ) = 0 th a x + y + z = 1 . Tìm GTNN c a bi u th c P = x −y + y −z + z −x . Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 5
  6. 3 Gi i : Áp d ng BðT Cô si, ta có : P ≥ 3 y x .y z .z x ð t A = x y .y z .z x ⇒ ln A = y ln x + z ln y + x ln z . Vì hàm s f (t ) = ln t có 1 f ''(t ) = −
  7. 2 2 2 f (c) ≥ f '( )(c − ) + f ( ) 3 3 3 C ng ba BðT trên ta có : f (a ) + f (b) + f (c) ≥ f '( ) (a + b + c − 2 ) + 3 f ( ) = 33 . 2 2 4 3 3 9 4 2 V y GTNN c a P = 33 ñ t ñư c ⇔ a = b = c = . 9 3 Ví d 6 : Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh r ng : 1+ 3 1 1 1 (a 2 + b2 + c2 )( + + ) ≥ a + b + c + a 2 + b 2 + c 2 . 3 3 a b c (Trích ñ thi Albania 2002) L i gi i. Vì BðT ñã cho thu n nh t nên ta ch c n ch ng minh Bñt ñúng v i m i s th c dương a,b,c th a mãn a 2 + b2 + c2 = 1 , khi ñó bñt c n ch ng minh tr thành: f (a ) + f (b) + f (c) ≥ 1 trong ñó: 1+ 3 1 f (x ) = . − x v i 0 < x < 1 . D th y hàm s f có f ''(x ) > 0 ∀x ∈ (0;1) 3 3 x Nên theo BðT ti p tuy n ta có :  1   1  f (a ) + f (b) + f (c) ≥ f '    (a + b + c − 3) + 3 f     .   3  3   1  f '   0 i = 1, 2,..., n và ∑ ai ≤n i =1 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 7
  8. n ai 1 Ta c n ch ng minh : ∏ ≤ (1). i =1 1 + ai2 2 n x 1 Xét hàm s f (x ) = , x > 0 có f '(x ) = ⇒ f ''(x ) < 0 ∀x > 0 . 2 2 3 1+x (1 + x ) 1 1 1 ⇒ f (x ) ≤ f '(1)(x − 1) + f (1) = (x − 1) + = (x + 1) . 3 2 2 2 2 n  n   ∑ (ai + 1)  n ai n 1 n 1  i =1  2n 1 ⇒∏ = ∏ f (ai ) ≤ ∏ (ai + 1) ≤   ≤ = n  n  i =1 1 + ai2 i =1 8n i =1 8 8n 2n     ð ng th c x y ra ⇔ a1 = a2 = ... = an = 1 ⇔ tan x1 = tan x2 = ... = tan xn = 1 π ⇔ x1 = x 2 = ... = xn = . 4 Nh n xét : Qua các ví d trên, ta có ñư c k t qu t ng quát sau ð nh lí 4 : Cho hàm s y = f (x ) có ñ o hàm c p hai trên a;b  và n s a1, a2,..., an   n n m trong ño n a;b  th a mãn :   ∑ ai = k, na ≤ k ≤ nb . i =1 n k • N u f ''(x ) > 0 ∀x ∈ a;b  thì ta có :   ∑ f (ai ) ≥ nf (n ) i =1 n 1 k • N u f ''(x ) < 0 ∀x ∈ a;b  thì ta có :   ∑ f (ai ) ≤ n f (n ) . i =1 2π Ví d 8. Cho tam giác ABC có m t góc không nh hơn . Ch ng minh r ng : 3 A B C tan + tan + tan ≥ 4 − 3 . 2 2 2 L i gi i. Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 8
  9. 2π π Không m t tính t ng quát, ta gi s A ≥ > B ≥C ⇒C ≤ . 3 6  π  π Hàm s f (x ) = tan x , x ∈  0;  có f ''(x ) > 0 ∀x ∈  0;  . Áp d ng BðT ti p tuy n, ta 3   3   có A π A π π f ( ) ≥ f '( )( − ) + f ( ) 2 3 2 3 3 B π B π π f ( ) ≥ f '( )( − ) + f ( ) 2 12 2 12 12 C π C π π f ( ) ≥ f '( )( − ) + f ( ) . 2 12 2 12 12 A B  C   π π   A 2π  π A + B +C π  ⇒ f + f + f   ≥  f '( ) − f '( )  −  + f '( )  −  2 2 2  3 12   2 3  12  2 2 π  π  + f   + 2f   3  12  π  π  A π A + B +C π Do f '   − f '   > 0; − ≥ 0 và = nên ta có : 3  12  2 3 2 2 A B  C  π  π  f   + f   + f   ≥ f   + 2f   = 4 − 3 ñpcm. 2 2 2 3  12  2π π ð ng th c x y ra ⇔ A = ;B = C = và các hoán v . 3 6 3 Ví d 9. Cho các s th c không âm a,b, c th a max {a, b, c} ≥ và a + b + c = 1 . Tìm 4 GTNN c a bi u th c : P = 3 1 + 3a 2 + 3 1 + 3b2 + 3 1 + 3c 2 . L i gi i. 3 1 Không m t tính t ng quát, ta gi s a = max {a, b, c} ⇒ a ≥ , c ≤ . 4 8 Xét hàm s f (x ) = 3 1 + 3x 2 , x ∈ ( 0;1) có f '(x ) = 2x 3 (1 + 3x 2 )2 2 − 2x 2 ⇒ f ''(x ) = > 0 ∀x ∈ (0;1) . Áp d ng BðT ti p tuy n, ta có : 3 2 5 (1 + 3x ) Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 9
  10. 3 3 3 1 1 1 1 1 1 f (a ) ≥ f '( )(a − ) + f ( ) ; f (b) ≥ f '( )(b − ) + f ( ) ; f (c) ≥ f '( )(c − ) + f ( ) 4 4 4 8 8 8 8 8 8 3  3 1  3 3 1 3 1 172 + 23 67 ⇒ f (a ) + f (b) + f (c) ≥  f '( ) − f '( ) (x − ) + f ( ) + 2 f ( ) ≥ f ( ) + 2 f ( ) = .  4 8  4 4 8 4 8 4 3 1 ð ng th c x y ra ⇔ a = ;b = c = và các hoán v . 4 8 3 172 + 23 67 V y min P = . 4 Nh n xét : Trong m t s trư ng h p ñ th hàm s y = f (x ) có kho ng l i, lõm trên a; b  nhưng ta v n có ñư c ñánh giá : f (x ) ≥ f '(x 0 )(x − x 0 ) + f (x 0 ) ,x 0 ∈ (a; b) . Ch ng   h n các b n xem ñ th minh h a dư i ñây. y _ a x _ _ x0 O b Ví d 10: Cho a, b, c ∈ ℝ và a + b + c = 6 . Ch ng minh r ng : a 4 + b 4 + c 4 ≥ 2(a 3 + b 3 + c 3 ) . L i gi i: BðT ñã cho ⇔ (a 4 − 2a 3 ) + (b 4 − 2b 3 ) + (c 4 − 2c 3 ) ≥ 0 ⇔ f (a ) + f (b) + f (c) ≥ 0 Trong ñó f (x ) = x 4 − 2x 3 . Ta th y f ''(x ) = 12x 2 − 12x nên ñ th hàm s f có kho ng l i và kho ng lõm do ñó ta không th áp d ng BðT ti p tuy n ñư c. Tuy nhiên ta Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 10
  11. v n có th ñánh giá ñư c f (x ) qua ti p tuy n c a nó t i ñi m có hoành ñ x = 2 (vì ñ ng th c x y ra khi a = b = c = 2 ) Ta có ti p tuy n c a ñ th hàm s t i y = f (x ) ñi m có hoành ñ x = 2 là: y = 8x − 16 . f (x ) − (8x − 16) = x 4 − 2x 3 − 8x + 16 = (x − 2)2 (x 2 − 2x + 4) ≥ 0 ∀x ∈ ℝ . ⇒ f (a ) + f (b ) + f (c ) ≥ 8(a + b + c) − 48 = 0 (ñpcm). Chú ý. Vì y = 8x − 16 là ti p tuy n c a ñ th hàm s f (x ) = x 4 − 2x 3 t i ñi m có hoành ñ x = 2 nên ta có s phân tích: f ( x ) − ( 8x − 16 ) = (x − 2 ) g (x ) v i k ≥ 2 và k g (2) ≠ 0 . 3 Ví d 11: Cho a, b, c ≥ − và a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng: 4 a b c 9 + + ≤ . ( Vô ñ ch Toán Ba Lan 1996) a2 + 1 b2 + 1 c2 + 1 10 L i gi i. 1 Ta th y ñ ng th c x y ra khi a = b = c = và Bñt ñã cho có d ng: 3 9 x 3 5 f (a ) + f (b) + f (c) ≤ trong ñó f (x ) = v i x ∈ [− ; ] . 10 x2 + 1 4 2 1 36x + 3 Ti p tuy n c a ñ th hàm s y = f (x ) t i ñi m có hoành ñ x = là : y = . 3 50 36x + 3 36x + 3 x (3x − 1)2 (4x + 3) 3 5 Ta có: − f (x ) = − = ≥ 0 ∀x ∈ [ − ; ] 50 50 2 2 4 2 x +1 50(x + 1) a b c 36(a + b + c) + 9 9 V y: + + ≤ = ñpcm. a2 + 1 b2 + 1 c2 + 1 50 10 Ví d 12 : Cho các s th c a, b, c > 0 tho mãn a + b + c = 1 . Ch ng minh : a b c 9 + + ≥ . 1 + bc 1 + ac 1 + ab 10 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 11
  12. L i gi i. Ta có : b +c 2 1−a 2 a +c 2 1−b 2 b +a 2 1−c 2 bc ≤ ( ) =( ) ; ca ≤ ( ) =( ) ; ab ≤ ( ) =( ) nên 2 2 2 2 2 2 a b c 4a 4b 4c + + ≥ + + = f (a ) + f (b) + f (c) . 1 + bc 1 + ac 1 + ab a 2 − 2a + 5 b 2 − 2b + 5 c 2 − 2c + 5 1 (Nh n xét : ð ng th c x y ra khi a = b = c = và ti p tuy n c a ñ th hàm 3 4x 1 99x − 3 s f (x ) = t i ñi m có hoành ñ x = là : y = ) x 2 − 2x + 5 3 100 4x 99x − 3 (3x − 1)2 (15 − 11x ) M t khác: − = ≥ 0 ∀x ∈ (0;1) x 2 − 2x + 5 100 2 100(x − 2x + 5) 4a 4b 4c 99(a + b + c) − 9 9 ⇒ + + ≥ = ñpcm. a 2 − 2a + 5 b 2 − 2b + 5 c 2 − 2c + 5 100 10 Ví d 13. Cho a, b, c là ñ dài ba c nh tam giác. Ch ng minh r ng : 1 1 1 9  1 1 1  + + + ≥ 4 + + . a b c a +b +c a + b b + c c + a  L i gi i. Không làm m t tính t ng quát ta gi s a + b + c = 1 , khi ñó Bñt ñã cho tr 5a − 1 5a − 1 5c − 1 thành + + ≤ 9. 2 2 2 a −a b −b c −c 1 Vì a,b,c là ñ dài ba c nh tam giác và a + b + c = 1 suy ra a, b, c ∈ (0; ) . 2 5a − 1 (3a − 1)2 (2a − 1) 1 Ta có : − (18a − 3) = ≤ 0 ∀a ∈ (0; ) a − a2 a − a2 2 5a − 1 1 ⇒ ≤ 18a − 3 ∀a ∈ (0; ) . a − a2 2 Ta cũng có hai Bñt tương t . C ng các Bñt này l i v i nhau ta có: 5a − 1 5a − 1 5c − 1 + + ≤ 18(a + b + c) − 9 = 9 (ñpcm). 2 2 2 a −a b −b c −c Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 12
  13. 1 ð ng th c x y ra khi a = b = c = . 3 Ví d 14. Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh r ng : (b + c − a )2 (c + a − b)2 (a + b − c)2 3 + + ≥ . (b + c)2 + a 2 (c + a )2 + b 2 (a + b)2 + c 2 5 (Olympic Toán Nh t B n 1997) L i gi i . Vì Bñt c n ch ng minh là thu n nh t nên ta ch c n ch ng minh Bñt ñúng v i m i s th c dương a, b, c th a mãn a + b + c = 1 . Khi ñó Bñt ñã cho tr thành: (1 − 2a )2 (1 − 2b)2 (1 − 2c)2 3 + + ≥ (1 − a )2 + a 2 (1 − b)2 + b2 (1 − c)2 + c 2 5 4a 2 − 4a + 1 4b2 − 4b + 1 4c 2 − 4c + 1 3 ⇔ + + ≥ 2a 2 − 2a + 1 2b2 − 2b + 1 2c 2 − 2c + 1 5 1 1 1 27 ⇔ + + ≤ 2 2 2 5 2a − 2a + 1 2b − 2b + 1 2c − 2c + 1 27 ⇔ f (a ) + f (b) + f (c) ≤ . 5 1 Trong ñó f (x ) = v i x ∈ (0;1) . 2x 2 − 2x + 1 1 54x + 27 Ti p tuy n c a ñ th hàm s y = f (x ) t i ñi m có hoành ñ x = là : y = 3 25 54x + 27 2(54x 3 − 27x 2 + 1) 2(3x − 1)2 (6x + 1) Ta có: − f (x ) = = ≥ 0 ∀x ∈ (0;1) 25 2 2 25(2x − 2x + 1) 25(2x − 2x + 1) 54(a + b + c) + 81 27 ⇒ f (a ) + f (b) + f (c) ≤ = ñpcm. 25 5 Trong các ví d trên ta ch xét các BðT ñ i x ng ba bi n và ñ ng th c x y ra khi các bi n b ng nhau. Ph n ti p theo ta s ñi xét m t s BðT không ñ i x ng ho c BðT ñ i x ng nhưng ñ ng th c x y ra khi có ít nh t hai bi n không b ng nhau. Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 13
  14. Ví d 15: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng: 10(a 3 + b 3 + c 3 ) − 9(a 5 + b 5 + c 5 ) ≥ 1 (Trung Qu c 2005). L i gi i: Gi s a ≥ b ≥ c . Xét hàm s f (x ) = 10x 3 − 9x 4 , x ∈ (0;1) có f '(x ) = 30x 2 − 45x 4 ⇒ f ''(x ) = 60x − 180x 3 1 ⇒ f ''(x ) = 0 ⇔ x = x 0 = ñ ng th i f ''(x ) > 0 ∀x ∈ (0; x 0 ) và f ''(x ) < 0 ∀x ∈ (x 0 ;1) . 3 • N u a < x 0 . Áp d ng BðT ti p tuy n ,ta có: 1 1 1 f (a ) ≥ f '    a −  + f   3 3 3 1 1 1 f (b) ≥ f '   b −  + f  3 3 3 1 1 1 f (c) ≥ f '    c −  + f   3 3 3 1 1 ( ⇒ f (a ) + f (b) + f (c) ≥ f '   a + b + c − 1 + 3 f )   = 1. 3 3 • N u a > x 0 . Áp d ng BðT ti p tuy n và cát tuy n ta có: f (1) − f (x 0 ) f (a ) ≥ 1 − x0 (a − 1) + f (1) > f (1) = 1 . ( )( ) f (b) ≥ f ' 0 b − 0 + f 0 = 0 () ( )( ) f (c) ≥ f ' 0 c − 0 + f 0 = 0 () ⇒ f (a ) + f (b) + f (c) > 1 . Ví d 16: Cho ∆ABC nh n. Tìm GTLN c a bi u th c: F = sin A. sin2 B. sin2 C . L i gi i: Ta có : ln F = ln sin A + 2 ln sin B + 3 ln sin C π 1  π Xét hàm s f (x ) = ln sin x, x ∈ (0; ) ⇒ f '(x ) = cot x ⇒ f ''(x ) = − ∀x ∈  0;  2 sin2 x  2 Áp d ng BðT ti p tuy n v i ∆MNP nh n, ta có : Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 14
  15. ( ) ( f (A) ≤ f '(M ) A − M + f (M ) = A − M cot M + ln sin M ) ( ) ( f (B ) ≤ f '(N ) B − N + f (N ) = B − N cot N + ln sin N ) ( ) ( ) f (C ) ≤ f '(P ) C − P + f (P ) = C − P cot P + ln sin P ⇒ tan M .f (A) + tan N .f (B ) + tan P .f (C ) ≥ tan M ln sin M + tan N . ln sin N + tan P . ln sin P Ch n ba góc M , N , P sao cho : tan M tan N tan P = = = k ⇒ tan M = k ; tan N = 2k ; tan P = 3k 1 2 3 M t khác : tan M + tan N + tan P = tan M . tan N . tan P tan M 1 2 3 ⇒ 6k = 6k 3 ⇒ k = 1 ⇒ sin M = = ; sin N = ; sin P = 1 + tan2 M 2 5 10 1 2 3 27 ⇒ f (A) + f (B ) + f (C ) ≤ ln + 2 ln + 3 ln = ln 2 5 10 25 5 27 ⇒F ≤ . ð ng th c x y ra ⇔ A = M ; B = N ;C = P . 25 5 27 V y GTLN c a F = . 25 5 Nh n xét : T cách gi i trên, ta có ñư c cách gi i cho bài toán t ng quát sau : Cho ∆ABC nh n. Tìm GTLN c a E = sinm A. sinn B. sin p C , v i m, n, p là nh ng s th c dương. (Xem ph n bài t p) Ví d 17 : Cho tam giác ABC nh n. Tìm GTNN c a bi u th c : F = tan A + 2 tan B + 3 tan C . L i gi i : (D a theo l i gi i c a 2M)  π Xét hàm s f (x ) = tan x, x ∈  0;  , có f '(x ) = 1 + tan2 x  2  π ⇒ f ''(x ) = 2 tan x (1 + tan2 x ) > 0, ∀x ∈  0;  .  2 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 15
  16. Áp d ng BðT ti p tuy n v i ∆MNP nh n, ta có : 1 f (A) ≥ f '(M )(A − M ) + f (M ) = (A − M ) + tan M 2 cos M 1 ⇒ cos2 M .f (A) ≥ sin 2M + A − M 2 1 1 Tương t : cos2 N .f (B ) ≥ sin 2N + B − N ; cos2 P .f (C ) ≥ sin 2P + C − P 2 2 sin 2M + sin 2N + sin 2P ⇒ cos2 M .f (A) + cos2 N .f (B ) + cos2 P .f (C ) ≥ . 2 Ta ch n các góc M , N , P sao cho : cos M = k > 0; cos N = 2k ; cos P = 3k Vì M , N , P là ba góc c a tam giác nên ta có ñ ng th c : cos2 M + cos2 N + cos2 P + 2 cos M . cos N . cos P = 1 ⇒ (1 + 2 + 3)k + 2 6k 3 = 1 ⇒ k là nghi m dương c a phương trình : 2 6x 3 + (1 + 2 + 3)x − 1 = 0 (1). ⇒ sin 2M = 2 1 − cos2 M . cos M = 2k 1 − k 2 ; sin 2N = 2k 2(1 − 2k 2 ); sin 2P = 2k 3(1 − 3k 2 ) sin 2M + sin 2N + sin 2P 1 − k 2 + 2(1 − 2k 2 ) + 3(1 − 3k 2 ) ⇒F ≥ = . 2k 2 k 1 − k 2 + 2(1 − 2k 2 ) + 3(1 − 3k 2 ) V y GTNN c a F = ñ t ñư c khi k A = M ; B = N ;C = P V i M , N , P là ba góc c a tam giác nh n ñư c xác ñ nh b i : cos M = k > 0; cos N = 2k ; cos P = 3k , trong ñó k là nghi m dương duy nh t c a PT (1). Nh n xét : Tương t cách làm trên, ta cũng tìm ñư c giá tr nh nh t c a bi u th c F = m. tan A + n. tan B + p. tan C , trong ñó m, n, p là các s th c dương và A, B, C là ba góc c a tam giác nh n (Xem ph n bài t p). Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 16
  17. Ví d 18: Cho x , y, z > 0 th a x + y + z = 1 . Tìm GTNN c a : 4 P = x 3 + 1 + y2 + 1 + z 4 . L i gi i: Ta có các hàm s f (t ) = t 3 ; g(t ) = 1 + t 2 ; h(t ) = 4 1 + t 4 , t ∈ (0;1) là nh ng hàm s có ñ o hàm c p hai dương trên kho ng (0;1) . Nên v i a, b, c > 0 th a a + b + c = 1 áp d ng BðT ti p tuy n, ta có: f (x ) ≥ f '(a )(x − a ) + f (a ) ; h(y ) ≥ h '(b )(y − b) + h(b) ; g (z ) ≥ g '(c )(z − c) + g(c)      2 k 3a = k a =   3  b   k Ta ch n a, b, c sao cho f '(a ) = g '(b) = h '(c) = k ⇔  =k ⇔ b = (1)  1 + b2  1 − k2    c3 c = 3 k =k 4 4 3  4  (1 + c )   1 − k3k 3 k k k Do a + b + c = 1 ⇔ + + = 1 (2). 3 2 4 3 1−k 1−k k D th y phương trình (2) luôn có nghi m trong kho ng (0;1) . k 3k 1 1 ⇒ P = f (x ) + g(y ) + h(z ) ≥ f (a ) + h(b) + g(c) = + + 9 4 1 − k2 1 − k3k ð ng th c x y ra ⇔ x = a; y = b; z = c . k 3k 1 1 V y min P = + + v i k là nghi m n m trong (0;1) c a (2). 9 2 4 3 1−k 1−k k Ví d 19. (BðT Jensen). Cho hàm s y = f (x ) liên t c và có ñ o hàm c p hai trên (a; b ) và n s th c dương α1, α2 ,..., αn có t ng b ng 1.  n n  a) N u f ''(x ) > 0 ∀x ∈ (a; b) thì ta có: ∑ αi f (xi ) ≥ f  ∑ αi xi    i =1  i =1  Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 17
  18. v i ∀xi ∈ (a; b ) i = 1, n . ð ng th c có khi x1 = x2 = .. = xn .  n n  b) N u f ''(x ) < 0 ∀x ∈ (a; b) thì ta có: ∑ αi f (xi ) ≤ f  ∑ αi xi    i =1  i =1  v i ∀xi ∈ (a; b ) i = 1, n . ð ng th c có khi x1 = x2 = .. = xn . L i gi i. a) ð t y = α1a1 + α2a2 + ... + αnan ⇒ y ∈ (a;b) . Vì f ''(x ) > 0 nên áp d ng BðT ti p tuy n, ta có: ( ) f (ai ) ≥ f '(y ) ai − y + f (y ) ∀i = 1,2,.., n ( ) ⇒ αi f (ai ) ≥ f '(y ) αiai − αi y + αi f (y ) ∀i = 1,2,.., n n n  n n  ⇒ ∑ αi f (ai ) ≥ f '(y )∑ (αiai − αi y ) + f (y )∑ αi = f (y ) = f  ∑ αiai  .   i =1 i =1 i =1  i =1  b) Ch ng minh tương t . Ví d 20. (2M) Cho hai b s th c dương x1, x2,..., xn và a1, a2,..., an th a mãn: n n n n ∏ xi i ≥ ∏ ai i a a ∑ xi = ∑ ai . Ch ng minh r ng: . i =1 i =1 i =1 i =1 L i gi i. n n BðT c n ch ng minh ⇔ ∑ ai ln xi ≥ ∑ ai ln ai . i =1 i =1 Hàm s f (x ) = ln x là hàm l i, nên áp d ng BðT ti p tuy n ta có: 1 f (xi ) ≤ f '(ai )(xi − ai ) + f (ai ) = (xi − ai ) + f (ai ) ai n n n n ⇒ ai f (xi ) ≤ xi − ai + ai f (ai ) ⇒ ∑ ai f (xi ) ≤ ∑ (xi − ai ) + ∑ ai f (ai ) = ∑ ai f (ai ) i =1 i =1 i =1 i =1 n n ⇒ ∑ ai ln xi ≤ ∑ ai ln ai ñpcm. i =1 i =1 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 18
  19. Chú ý: ði u thú v là BðT Cô si l i là m t h qu c a bài toán trên. Th t v y: n ∑ xi Cho a1 = a2 = ... = an = i =1 . Khi ñó BðT ñã cho tr thành: n n  n   ∑ xi  n n  1  ∏ xi ≤ ∏ ai =  i =n  ( do a1 = a2 = ... = an ) i =1 i =1       n ∑ xi n ⇒ i =1 ≥ n ∏ xi ñây chính là BðT Cô Si cho n s . n i =1 Bài t p áp d ng b +c c +a a +b 1 1 1 1. Cho a, b, c > 0. Ch ng minh: + + ≥ + + a2 b2 c2 a b c 2. Cho a, b, c > 0 th a a + b + c ≥ 3 . Ch ng minh r ng: 1 1 1 + + ≤1 2 2 2 a +b +c b +c +a c +a +b 1 1 1 27 3. Cho x , y, z ≤ 1 th a x + y + z = 1 . Ch ng minh r ng: + + ≤ 1 + x2 1 + y2 1 + z2 10  1 4. Cho các s th c a1, a2 ,..., an ∈  0;  và a1 + a2 + ... + an = 1 . Ch ng minh  2 1  1   1  ( ) n  − 1   − 1  ...  a a  a − 1 ≥ n − 1 .   1  2   n  π 5. Cho a, b, c, d ∈ (0; ) và a + b + c + d = π . Ch ng minh 2 2 sin a − 1 2 sin b − 1 2 sin c − 1 2 sin d − 1 + + + ≥ 0. cos a cos b cos c cos d Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 19
  20. n 6. Cho n s th c dương tho mãn: ∑ xi = n . Cmr: i =1 x1 xn 1 1 + ... + ≤ + ... + ( New Zealand 1998). 2 1 + x1 2 1 + xn 1 + x1 1 + xn 7. Cho tam giác ABC . Tìm GTNN c a bi u th c π A A π B B π C C P = tan2 ( ) cot + tan2 ( − ) cot + tan2 ( − )cot . − 4 4 4 4 4 4 4 4 4 8. Cho tam giác ABC . Ch ng minh r ng A B C cos cos cos 3≤ 2 + 2 + 2 < 2. A B C 1 + sin 1 + sin 1 + sin 2 2 2 9. Cho tam giác ABC nh n và m, n, k > 0 . Tìm: 1) Giá tr l n nh t c a F = sinm A. sinn B sink C . 2) Giá tr nh nh t c a F = m tan A + n tan B + k tan C 1 10. Cho n s th c không âm a1, a2 ,..., an có t ng b ng 1. Ch ng minh: n a1a2 ...an ≤ n (BðT Cauchy). 11. Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh: (2a + b + c)2 (2b + c + a )2 (2c + a + b)2 + + ≤ 8 (M - 2003 ). 2 2 2 2 2 2 2a + (b + c) 2b + (c + a ) 2c + (a + b) 12. Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh: b +c c +a a +b a b c + + ≥ 4( + + ). a b c b +c c +a a +b a b c 9 13. Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh: + + ≥ . (b + c)2 (c + a )2 (a + b)2 4(a + b + c) 14. Cho a, b, c > 0 và a 2 + b2 + c2 = 1 . Ch ng minh : 1 1 1 ( + + ) − (a + b + c) ≥ 2 3 . a b c xyz (x + y + z + x 2 + y 2 + z 2 ) 3+ 3 15. Cho x , y, z > 0 . Ch ng minh: ≤ .( H ng Kông (x 2 + y 2 + z 2 )(xy + yz + zx ) 9 1997) IV. K T QU • H c sinh h ng thú và chú ý hơn khi h c các khái ni m Toán h c. Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản