YOMEDIA
ADSENSE
SGK - Đại số và Hình học giải tích: Phần 1
202
lượt xem 50
download
lượt xem 50
download
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
Phần 1 Tài liệu Đại số và Hình học giải tích gồm nội dung 4 chương đầu Tài liệu: Tập hợp và quan hệ; số phức, đa thức, phân thức hữu tỉ; không gian véctơ; ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính.
AMBIENT/
Chủ đề:
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: SGK - Đại số và Hình học giải tích: Phần 1
- ĐẠI H Ọ C V I N H THƯ VIÊN HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 512.14 TR-H/OO T R A N T R Ọ N G HUÊ DT. 000339 ĐAI SỖVẢ HÌNH HOC GIAI TÍCH © K I H à NỘI NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
- ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ N Ộ I TRẦN TRỌNG HUỆ ĐẠI SÔ VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH m m NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC Q u ố c GIA HÀ NỘI - 2000
- Chiu trách nhiêm xuât bản: Giám đốc NGUYỄN VÃN THỎA Tổng biên tập NGUYỄN THIỆN GIÁP Người nhận xét: GS. PHẠM NGỌC THAO GS. ĐOÀN QUỲNH Biền táp: VÕ MAI Sủa bản in: CHU T H Á I HÀ Trình bày bìa: NGỌC ANH ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Mã s ố : 01.147.ĐH2000- 345.2001 In 1.500cuốn, tại Nhà in Đại học Quốc gia Hà Nội Số xuất bản: 27/345/CXB. s ố trích ngang 69 KH/XB. In xong và nộp lưu chiểu Quý I năm 2001.
- Lồi Noi D ầ u Cuốn Đại sô và Hỉnh học giải tích này được biên soạn theo chương trình toán cao cấp dành cho sinh viên các ngành khoa học tự nhiên (không phải ngành toán) và sinh viên các ngành khoa học công nghệ của Đại học Quác gia Hà Nội. Nội dung cuốn sách đước chia làm 6 chương : Chương ì trình bày sơ lược các khái niệm và tính chất uế tập hợp và quan hệ, giải tích tô hợp. Chương lĩ trình bày các khái niệm nhóm, vành, trường; Xây dựng trường sô phức; Khảo sát những tính chất quan trọng của sô phức, đa thức và phản thức hữu lì thực. Chương IU trinh bày những vân để cơ bản của lý thuyết không gian véctơ, không gian véctơ ỡclit. Chương rv dành cho lý thuyết về ma trận, đắnh thức rà hệ phương trình tuyên tính. Chương V khảo sát một sô tính chất quan trọng của ánh xạ tuyến tinh, phép biên đối tuyên tính trong không gian véctơ hữu hạn chiều, phép biên đổi trực giao và phép biên đối đôi xứng, dạng Loàn phương. Chương VI dành cho việc áp dụng lý thuyết không gian véctơ Orl.il, dạng toàn phương vào việc khảo sái một sô vấn đề của hình học giải tích như phương pháp toa độ, khảo sát đường thắng, mặt phăng, phân loại các đường bậc hai, mặt bậc hai. ơ đây chứng tôi đã cô gắng lựa chọn cách trinh bày một mặt văn đảm bảo được tính trực quan của hình học, mặt khác văn giữ được tính khái quát của phương pháp đại sô. Cuối môi chương có phần bài tập và đáp sỏ hoặc lời hướng dân. Cuốn sách này có thể dùng làm tài liệu học tập, giảng dạy 3
- cho sinh viên các ngành, khoa học tự nhiên, khoa hoe công nghệ và sinh viên các trường Đại học kỹ thuật. Nội dung các chương ỉn - IV và phần đầu chương V có thê làm tài liệu tham khảo cho sinh viên các trường Đại học kinh tê về môn học Đại sỏ tuyến tính. Mỗi phần của cuốn sách đã được thê nghiệm trong nhiều năm qua các bài giảng của tác giả ặ trường ĐHTHHN trước đây và trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội những năm gần đây và ặ một sô trường Đại học khác. Mặc dù tác giả đã có nhiều cỗ gắng nhưng do sự hạn hẹp của thời gian cuốn sách chắc chăn còn có nhiều thiêu sót, tác giã chăn thành chờ đợi ý kiên đóng góp của các bạn đồng nghiệp và độc giả xa gần. Tác giả trân trọng tò lời cám ơn GS. Đoan Quỳnh, GS.TS. Phạm Ngọc Thao về những góp ý quý báu. Hà Nội, ngay Ì tháng Ì năm 2001 Tác giả 4
- Chương I TẬP HỢP VÀ QUAN HỆ 1.1. T Ậ P HỢP VÀ CÁC PHÉP T O Á N T Ậ P HỢP 1.1.1. T ậ p hợp, tập hợp con Trong đòi sông h à n g ngày cũng n h ư trong khoa học ta thường gặp những tập hợp của các đối tượng khác nhau. Chẳng hạn tập hợp sinh viên của một trường đ ạ i học, tập hợp các cá t h è trong một quần thê sinh vật của một vùng, tập hợp các sô nguyên, tập hợp các điểm trên một đoạn thẳng, tập hợp các nghiệm của một phương trình.v.v.... Ta xem tập hợp là một khái niệm ban đ ầ u của toán học, được hiếu một cách trực giác không định nghĩa. Để chỉ X là một p h ầ n tử c ủ a tập hợp X t a v i ế t X eX (đọc là: X thuộc X). Còn để chỂ X không phải là phần tử của tập hợp X ta viết X Ể X hay X £ X (đọc l à : X k h ô n g thuộc X). Đe mô t ả một tập hợp ta thường d ù n g hai phương p h á p sau đây: Phương pháp 1. L i ệ t kê c á c phần tử của tập hợp đó. Chang hạn: - Tập hợp c á c s ố tự n h i ê n : N = {0, 1,2, } - Tập hợp các sô nguyên : z = {0, ± Ì, + 2 }
- - T ậ p họp c á c sô h ữ u tỉ Q - [r = — m, n 6 z, n n Phương pháp 2. Chỉ ra n h ữ n g t í n h c h ấ t m à m ọ i p h â n t ử của t ậ p hợp đ ó đ ể u có v à chỉ n h ữ n g p h â n t ử t h u ộ c t ậ p hợp đó m ớ i có. N h ữ n g t í n h c h ấ t n h ư v ậ y gọi là t í n h c h ấ t đặc t r ư n g của t ậ p hợp đ a n g xét. Ví d ụ n h ư t ậ p hợp E g ồ m n h ữ n g p h ầ n t ử có t í n h c h ấ t T(x) t h ì ta v i ế t : E = {x : T (x)ỉ Chang h ạ n E là t ậ p hợp các sô c h ệ n . Ta b i ế t r a n g X l à m ộ t sô c h ệ n k h i v à chỉ k h i X = 2k, k là m ộ t sô n g u y ê n . V ậ y ta có E = {x : X = 2k. k 6 VA Sau đ â y danh t ừ "tập hợp" ta sẽ gọi m ộ t c á c h v ắ n t ắ t là "tập". Đ ê c h ỉ c ù n g một k h á i n i ệ m n g o à i d a n h t ừ t ậ p ta còn d ù n g các tu họ, hệ, lóp.VA'.... Tập con: T ậ p A g ọ i là t ậ p con c ủ a X, kí h i ệ u A c X (hay X D A). nếu X 6 A t h ì X e X. N ê u A c X v à c ó phần tử y e X n h ư n g y 6 A t h ì ta v i ê t A c X. Ví d ụ : N c: z c Q Tập rỗng : T ậ p r ỗ n g là t ậ p k h ô n g c h ứ a p h ầ n t ử n à o , k í h i ệ u là o . V ậ y x e o đ ố i v ớ i m ọ i đôi t ư ợ n g X. Ta q u i ưốc (tcX, đôi với m ọ i t ậ p X. Hai Lập trừng nhau : H a i t ậ p A, B gọi là t r ù n g n h a u n ê u A c B và B C A, k h i đó ta v i ế t A = B. 1.1.2. C á c k í h i ệ u lôgic T r o n g t o á n học n g ư ờ i ta q u i d i n h r ằ n g mỗi mệnh đê toán 6
- học là m ộ t điêu k h á n g định toán học chi có thê đ ú n g hoặc sai. Đế d i ễ n t ả n g ắ n gọn r á c m ệ n h ( l ề Loàn h ọ c La t h ư ờ n g d ù n g c á c k í h i ệ n sau đ â y : - Kí hiệu "S => T" có nghĩa la từ mệnh s đ ú n g suy ra mệnh dể T đ ú n g . - Kí hiệu "S T" có ntĩhĩa là Lừ mệnh đê s đ ú n g suy ra mệnh để T đ ú n g và ngược lại từ mệnh để T đúng suy ra mệnh để s đúng. Trường họp s c=> T ta nói hai mệnh để s và T tương đương hoặc T là điều kiện cần và đủ để có s. Đôi khi ta còn p h á t biểu dưới dạng : Có s khi và chí khi có T, hay có s nêu và c h ỉ nêu có T. V A ' - Kí hiệu " Vx 6 X : s " có nghĩa là với m ọ i phần tẩ X 6 X đều có mệnh để s. - Kí hiệu 3a 6 X : s (3 ! X 6 X : S) có nghĩa là tồn tại phần tử N e X (tồn t ạ i duy nhất phẩn tẩ X e X) sao cho mệnh để s đúng. 1.1.3. Các phép toán tập hợp Giả sẩ A, B là các tập cho trước, ta định nghĩa - Hợp của hai tập A, B là tập A u B = {x : X 6 A hoặc X e Bị - Giao của hai tập hợp A, B là tập A n B = |x : X e A và X e BỊ - H i ệ u của hai tập A, B là tập A \ B = {x : X e A va X £ BI Nêu A n B = o ta nói các tập A, B rời nhau. N ế u A c X. ta kí hiệu C A = X XA, và gọi là phần bù của tập A trong tập X. X 7
- Các phép toán hợp và giao có t h ể mở rộng cho một họ bất kỳ các tập. Giả sử ì là một tập cho trước, ứng với mỗi phần t ử i e ì ta có một tập A,. Khi đó tập Ì được gọi là tập các chỉ số. Hợp cệa họ tập ỊA;}, i € Ì là tập : uA, = Ịx : Bi 6 I,X £ Ai Ị i e ] Giao cệa họ t ậ p (Ai} i e ì là t ậ p : OA, = {x : X € Ai, Vi € TỊ i 6 ì Các tính chất của phép loàn tập hợp a) T í n h chất giao hoán: A 15- B u A. A n B = B n A. b) Tính chất kết hợp: (AuB) c = A u (BuC) (AnB) n c = A n (BnC) c) Tính chất p h â n phối: Aw(B n C) = (A u B) n (AuC) A n ( B u C) = ( A n B)u(AnC) d) Công thức Đờ Moóc G ă n g (De Morgan) X \ (uA,)= n(X\A,). i 6 Ì Ì 6 Ì X\(nA,)= u(X\Ai). le! le! Chứng minh các hệ thức t r ê n đây (lược xem như bài tập. 8
- 1.2. QUAN HỆ 1.2.1. T í c h Đ ề c á c c ủ a c á c tập G i ả sử X, Y là các tập cho trước. Tích Đề các (hay tích trực tiếp) của các t ậ p X, Y, kí hiệu là X X Y, là tập t ấ t cả các cặp có t h ứ tự (x, y), X e X, y 6 Y. X X Y= {(x, y ) : X £ X, y e Y} Ta qui định rằng : ( x . y ) = (x\ y ' ) k h i v à c h ỉ k h i X = x', y = y'. M ộ t cách tông quát, giả sử X], ..... X là các tập cho trước. n Tích Đề - các của các tập X] X là tập : n Xị X X X = n {x = ( x b x ) n : Xi 6 X,, i = Ì, n} n Nêu X, = = x n = X ta viết Xx XX= x. Tập X" gọi là lũy thừa Đê các bậc n của tập X. 1.2.2. Q u a n h ệ Định nghĩa quan hệ. M ỗ i tập con S c X x X gọi là một quan hệ t r ê n tập X. Nếu cặp (x, y) G s thì ta nói rằng phắn tử X n ằ m trong quan hệ s với p h ầ n tử y v à viết X Sy. Giả sử s là một quan hệ. a) Quan hệ s gọi là có t í n h chất phản xạ nêu xSx, Vx e X. b) Quan hệ s gọi là có tính chất đối xứng nếu xSy thì ySx. c) Quan hệ s gọi là có t í n h chất bắc cắu nêu xSy và ySz t h ì xSz. d) Quan hệ s gọi là có tính chất p h ả n đối xứng nếu xSy và ySx thì X = y. 9
- a) Quan hệ tương đương Q u a n h ệ t ư ơ n g đ ư ơ n g là m ộ t q u a n h ệ có t í n h c h ấ t p h ả n x ạ , đ ô i x ứ n g v à bắc c ầ u . G i ả s ử s £ X X X l à m ộ t q u a n h ệ t ư ơ n g đ ư ơ n g t r ê n t ậ p X. K h i đ ó n ê u xSy ta t h ư ờ n g v i ê t X ~ y. Theo đ ị n h n g h ĩ a ta có : *) X ~ X, V X e X. *) X ~ y => y ~ X. *) x~yvày~z=>x~ z. N ế u X ~ y ta n ó i p h ầ n t ử X t ư ơ n g đ ư ơ n g v ớ i p h ầ n t ử y . V ớ i m ỗ i p h ầ n t ử X e X ta đ ặ t : X = {x' e X : x' ~ x } . T ậ p con X gọi là lớp t ư ơ n g đ ư ơ n g có đ ạ i b i ê u l à p h ầ n t ử X. Theo t í n h c h ấ t p h ả n x ạ ta có X € X . V ậ y X * o v à u X = X X 6 X Mệnh đề 1.2.1. C á c lớp t ư ơ n g đ ư ơ n g r ờ i n h a u hoặc t r ù n g n h a u . Chứng minh : G i ả sử X n y í o. K h i đ ó t ợ n t ạ i p h ầ n t ử ze Xny . Theo đ ị n h n g h ĩ a lớp t ư ơ n g đ ư ơ n g ta có z ~ X, z ~ y. Do t í n h c h ấ t dôi x ứ n g ta có X ~ z. Với m ọ i x'e X ta có x' ~ X. Do đ ó x ' ~ z. Vì z ~ y n ê n x' ~ y. V ậ y x'e y . Do đó ta có X C y . Chứng minh tương tự y c X . Vậy X = y . • Sự chia lớp. H ọ các t ậ p con {Aj} í e ì của tập X được gọi là m ộ t 10
- sụ chia lớp tập X nêu A, / e|s Ị I Aj n Aj = với i •* ị và u Aị = X 1 6 ì Theo mệnh đề 1.2.1. ta có: Các lốp tương đương là một sự chia lớp t ậ p X. Tập thương. G i ả sử quan hệ ~ là một quan h ệ tương đương t r ê n t ậ p X. Ta đ ặ t : X/~ = : X e x; ũ Tập X/~ gọi là tập thương của tập X theo quan hệ tương đương ~. Ví dụ : Giả sử n là một số nguyên dương cho trước. Ta xét một quan hệ ~ t r ê n tập các số nguyên z xác định n h ư sau : X ~ y X - y c h i a h ế t c h o n. Dễ d à n g kiêm tra l ạ i rằng quan hệ đ a n g xét là một quan hệ có Lính chầt p h ả n xạ, đôi xứng và bắc cầu. Thực vậy, quan hệ - có tính chầt phản xạ : vì X - X = 0, 0 chia hét cho n nên X - X. Quan hệ - có tính chầt đôi xứng : giả sử X - y. Ta có X - y chia hết cho nụ do đó y - X = -(x - y) cũng chia hết cho n. V ậ y y ~ X. Quan h ệ - có tính chầt bắc cầu : giả sử X ~ y và y - z. Vì X— y và y- z chia hết cho n, nên X - z = (x-y) + (y - z ) c ũ n g c h i a h é t cho li. do đó X - z. Vậy quan hệ đ a n g xét là một quan hệ tương đương trên tập các số nguyên z. Nêu X ~ y ta viết X = V mod (n) (đọc là X bang y đồng dư n). Dê thấy rằng với mỗi sô nguyên X nêu X = kn + r, 0 < r < n thì x = r m o d (n), d o đó X = r . Vậy tập thương c ủ a tập c á c s ố nguyên z theo quan hệ tương đương đ a n g xét là : Z/~={Õ; ĩ , .... l i ! I Trong đó : r = Ịx = kn + r : k € Z}, r = 0 , n-1 li
- b) Quan hệ t h ứ tự Quan h ệ t h ứ t ự t r ê n một t ậ p là một quan h ệ p h ả n xạ, bắc cầu và p h ả n đôi xứng. Quan h ệ t h ứ t ự t h ư ờ n g được kí h i ệ u là X < z. *) X < y v à y < X => X = y. Nêu X < y thì ta nói phần tử X đứng trước tử y hay phần tử y đứng sau phần tử X. Nếu X < y và X * y thì ta nói phần tử X đứng trước thực sự phần tử V và viết X < y (Đôi khi ta còn viết y> X, y > x). Tập X có một quan hệ t h ứ tự < được gọi là tập được sắp t h ứ tự, kí hiệu là (X,
- 1.3. ÁNH X Ạ 1.3.1. Đ ị n h n g h ĩ a f M ộ t á n h x ạ f t ừ t ậ p X v à o t ậ p Y, k í h i ệ u là f : X - > Y (hay X ->Y), là m ộ t q u i tắc t ư ớ n g ứ n g m ỗ i p h â n t ử X 6 X với m ộ t p h ầ n t ử duy n h ấ t f (x) 6 Y . P h ầ n t ử f (x) g ọ i l à ả n h của p h ầ n t ử X qua á n h x ạ f. G i ả sử có h a i á n h x ạ f : X -> Y v à g : Y -»z, t í c h (hay hợp t h à n h ) c ủ a á n h x ạ f v ớ i á n h x ạ g l à m ộ t á n h x ạ g.f : X -> z được xác đ n h n h ư sau g . f ( x ) = g(f(x)), V x e X . (1.3.1.) Ánh của t ậ p con A c X qua á n h x ạ f : X - > Y là t ậ p f ( A ) = { f ( x ) : x e A}. (1.3.2) T a k í h i ệ u I m f = f (X), g ọ i là ả n h của á n h x ạ ỉ. Nghịch ảnh của t ậ p con D C Y l à t ậ p 1 f (D) = {x e X : f (x) € D} (1.3.3) Á n h x ạ f : X —> Y gọi l à đơn ánh n ê u với mọi X, x' 6 X, X * x' t h ì f ( x ) # f ( x ' ) . Á n h x ạ f g ọ i l à t o à n á n h n ế u I r a f = Y. , Á n h x ạ f . X - » Y được g ọ i l à song ánh n ế u f v ừ a là đ ơ n á n h vừa là t o à n á n h . Ví dụ : a) G i ả sử A c X , x é t á n h x ạ i A : A —> X x á c đ n h bởi ÌA(X) = X , với m ọ i X e A . Á n h x ạ i A là m ộ t đ ơ n á n h , gọi là ánh xạ nhúng tập A vào tập X. Đ ặ c b i ệ t n ê u A = X t h ì i x l à m ộ t song á n h , i x gọi là á n h x ạ đồng nhất của t ậ p X (đôi k h i c ò n d ù n g kí h i ệ u i c l ) . x 13
- G i ả sử f : X - > Y, v ớ i m ỗ i t ậ p con A c X x é t á n h xa f I X : A -> Y xác đ ị n h bởi : f I A (x) = f (x). với mọi X £ A . Á n h x ạ r i \ g ọ i l à h ạ n c h ê c ủ a á n h x ạ f t r ê n t ậ p hợp con A. T a có : f. i A = f | A b) G i ả sử X ) , Xọ l à các t ậ p cho trước. X é t á n h x ạ : p, : X] X X. -> x „ i = 1,2, x á c đ ị n h bởi : Ị), ( x 1 ( X o ) = X;. v ớ i m ọ i ( X i . Xọ) e X] X x_. Á n h x ạ P i là m ộ t t o à n á n h , g ọ i l à p h é p c h i ê u lên t h à n h phần thứ i . c) G i ả sử q u a n h ệ ~ là m ộ t q u a n h ệ t ư ơ n g đ ư ơ n g t r ê n t ậ p X. X é t á n h x ạ p : X —> XI-, x á c đ ị n h bởi • p(x) = X , v ờ i m ọ i X e X Á n h xạ p là m ộ t t o à n á n h , gọi là á n h x ạ c h í n h tắc t ừ t ậ p X l ê n t ậ p t h ư ờ n g X/~ D ê t h ấ y r ằ n g t í c h c á c đ ơ n á n h ( t o à n á n h ) là một đ ơ n ánh ( t o à n á n h ) . Do đ ó ta có : T í c h c á c song á n h l à m ộ t s o n ẹ á n h . Ánh xạ ngược. G i ả s ử f : X - •> Y là m ộ t song á n h . K h i đ ó với mỗi y G V t ồ n t ạ i d u y n h ấ t X t X sao cho f(x) = y. V ậ y ta có á n h x ạ g : Y—» X xác đ ị n h n h ư s a u : v ớ i m ỗ i V E Y đ ặ t • g ( y ) = •
- Ví dụ : 1. Với n = 1. 2, ta đặt : En-{Ì, 2 n} Xét tập có n phần tử : A = la,. a , 2 aỉ n Ánh xạ f : E -> A. Xác định bởi : f (k) = ãỵ, k =1,2,...,n. Rõ n r à n g r ằ n g f là một song á n h . Vậy ta có E ~ A. n 2) Xét các tập : N = {0,1,2 } 2N = {0,2,4, } X = { x Xọ, x , b 3 }, trong đó Xj * Xj với i * j . Dễ d à n g chứng tỏ r ằ n g các á n h xạ sau đây là các song á n h . a : N -> 2N, xác đ ị n h bởi : a (k) = 2k. p : N -> X, xác định bởi : p (k) = x k + 1 k = 0. Ì, 2, Vậy t ậ p các sô chẵn k h ô n g â m 2N và tập X có cùng lực lưững với t ậ p các số t ự n h i ê n N . Tập hữu hạn. Tập có cùng lực lưững với tập E n gọi là tập h ữ u hạn. 10 ( ' h á n ? hạn các tập A = {a, b, c} và tập B ={x € z : I X I < lo } là các t á p h ữ u hạn. Tập vô hạn đếm được. Tập có c ù n g lực lưững với tập N các số t ự n h i ê n gọi là tập vô hạn đêm đưữc. Theo ví d ụ 2 các tập 2N, X là vô hạn đêm đưữc. Ta có t h ể chứng minh r ằ n g tập z các số n g u y ê n và tập Q các số hữu tỉ là các t ậ p vô h ạ n đêm đưữc. 15
- Tập không đêm được. Tập vô hạn không cùng lực lượng vói tập các sô tự nhiên N được gọi là tập không đêm được. Người ta chứng minh dược rằng tập các số thực R là không đêm được. Chú ý : Giả sử X là một tập vô hạn đêm được. Khi dó tồn tại một song ánh ĩ : N —> X. Ta kí hiệu f (i) = Xi, Ì = 0,1,2 Vì f là một toàn ánh nên ta có : X = f(N) = { x , x . x , , ....} u 1 Vậy nhờ song ánh f ta có thê liệt kê (hay đánh sô) tất cả các phần tử cụa tập X. Từ đó ta suy ra rằng : Một tập vô hạn là đêm được khi và chỉ khi các phần tử của tập đó đánh sô được. 1.3.3. M ệ n h đ ể qui nạp Phương pháp qui nạp là một phương pháp chứng minh mà chúng ta hay sử dụng. Tính đúng đắn cụa phương pháp đó được thể hiện ở mệnh đê sau : M ệ n h đ ề 1.3.1. Giả sử T = T (ti), n eN, là một điều khẳng định nào đó. Nếu T đúng đôi với n = 0, và nếu T đúng đôi với n = k - Ì thì T đúng đối với n = k. Khi đó T đúng đối với mọi n e N. Chứng minh. Gọi A là tập các số tự nhiên n>0 mà T không đúng. Giả sử A * o. Ta gọi k là số tự nhiên nhỏ nhất thuộc A. Khi đó điêu khẳng định T không đúng đối với k. Vì k-1 6 A, nên T đúng đối với k-1, Khi đó theo giả thiết T đúng đôi với n = k. Mâu thuẫn này chứng tỏ A = o, và T đúng đối với mọi n 6 N • 16
- 1.4. GIẢI TÍCH T Ổ HỢP V À NHỊ THỨC NIUTƠN 1.4.1. Chỉnh hợp Định nghĩa. Giả sử E là một tập có n phần tử. Mỗi tập con p phần tử (phân biệt) của tập E được sắp xếp theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập p của tập E có n phần tử, n > 1. Ví dụ: a) Giả sử = {a, b, c, d, e, g}. Với thứ tự tằ trái sang phải thì ta có : Ịa, b, dị, {d, a, b},{d, b, a}, {c, d, g}. v.v... là các chỉnh hợp chập 3 của tập E có 6 phần tư. Còn {b, a, e, gí, {a, b, g, e}, {a, c. d, g},v.v.... là các chỉnh hợp chập 4 của tập E. b) Xét tập X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Ta có : {1.2,3,4,5}, {2,1,4,3,5}, {5,6,1,7,8}, {1,5,6,7,8},V.V.... là các chỉnh hợp chập 5 của tập X có 10 phần tử. Sô chính hợp . Ta kí hiệu A ' là số chinh hợp chập p của tập J có n phần tử. Mệnh đề 1.4.1. A^=n(n-1) ( n - p + 1) (1.4.1) Chứng minh. Công thức (1.4.1) được chứng minh hằng phương pháp qui nạn theo p. _•• 0(1339 Đối với p = Ì, theo (1.4.1) ta có A = n. Vậy công thức đúng đôi với p = Ì. Giả sử công thức đúng đôi với p - Ì, p >1. Ta chứng tỏ công thức cũng đúng đối với p. 17
- Xét t ư ơ n g ứ n g : (a,, a, a ) p !—> {'tiị, iu . ì), (a) Úng với m ỗ i c h ỉ n h hợp c h ậ p p c ủ a t ậ p E có n p h ầ n t ử Ú I , . a , 2 a ) ta có m ộ t c h ỉ n h hợp c h ậ p p - 1 c ủ a t ậ p E d ạ n g ( a p l t aọ a p _ ì). V Ì phần tư a p có t h ể l ấ y t r o n g n -(p - 1) p h ầ n t ử còn l ạ i của t ậ p E k h á c với c á c p h ầ n t ử à,, ao a _ ả. Do đ ó ứ n g v ớ i n - p -I p Ì c h ỉ n h hợp c h ậ p p k h á c n h a u của t ậ p E có n p h ầ n t ử t ư ơ n g ứ n g (a) cho ta m ộ t chỉnh hợp chập p - Ì của t ậ p E. Do dó số chỉnh hợp chập p của t ậ p E b ằ n g n - p + Ì l ầ n s ố c h ỉ n h hợp chập p - Ì của t ậ p E. V ậ y ta có: p P-1 A li = A li . (n - p + 1)' v 1 ì - P—Ì Theo g i ả t h i ế t qui n ạ p A = n ( n - 1) ... ( n - p ) . Do đó A p = n (n-1) ( n - p + 1). Ví d ụ : H ỏ i có bao n h i ê u c á c h b ô t r í chỗ n g ồ i cho 4 n g ư ờ i t r ê n m ộ t d ã y g h ế có 6 chỗ n g ồ i ? T a n h ậ n t h ấ y r ằ n g m ồ i c á c h bỗ t r í c h ỗ n g ồ i l à m ộ t c h ỉ n h hợp c h ậ p 4 c ủ a t ậ p có 6 chiếc g h ê . V ạ y sò c á c h b ô t r í có t h ể có là : Ai = 6 (6-1) (6-2) (6-3) = 6 . 5 . 4 . 3 = 360 1.4.2. H o á n v ả a) Định nghĩa: M ộ t c h ỉ n h h ợ p c h ậ p n của t ậ p E có n p h ầ n t ử g ọ i l à m ộ t h o á n vả (hay p h é p t h ê ) của t ậ p E. Ta kí h i ệ u : P n là s ố h o á n vả c ủ a t ậ p có n p h ầ n t ử ; r i ! = n (n - l ) . . . 2. Ì (đọc l à n g i a i t h ừ a ) . Theo c ô n g t h ứ c (1.4.1) t a có : p n = n! .(1-4.2.) T a q u i ước 0! = 1. 18
ADSENSE
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
Thêm tài liệu vào bộ sưu tập có sẵn:
Báo xấu
LAVA
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn