thủ thuật giải toán phương trình vô tỷ - Đoàn trí dũng

T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG<br /> <br /> TÀI LIỆU ÔN THI<br /> TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA<br /> ------------------------***------------------------<br /> <br /> THỦ THUẬT<br /> Giải toán<br /> PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ<br /> <br /> Tác giả: ĐOÀN TRÍ DŨNG<br /> <br /> HÀ NỘI, THÁNG 4 NĂM 2016<br /> <br /> 1<br /> <br /> THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG<br /> <br /> CHỦ ĐỀ 1: 4 KỸ NĂNG CƠ BẢN CẦN BIẾT<br /> TRONG QUÁ TRÌNH GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH CASIO<br /> I. Kỹ năng 1: Kỹ năng nâng lũy thừa:<br /> Kỹ năng nâng lũy thừa là rất quan trọng trong quá trình giải toán<br /> mà trong quá trình giải toán, ta vẫn thường gọi với những tên quen<br /> thuộc như “bình phương hai vế”, “lập phương hai vế”. Học sinh cần<br /> nắm vững các hằng đẳng thức cơ bản về nâng lũy thừa như sau:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> a  b  a  b  2ab .<br /> a  b  a  3a b  3ab  b .<br /> a  b  c   a  b  c  2 ab  bc  ca  .<br /> a  b  c   a  b  c  3 a  b  b  c  c  a  .<br /> a  b  c   a  b  c  3 a  b  c ab  bc  ca   3abc .<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> II. Kỹ năng 2: Phân tích nhân tử biểu thức chứa một căn dạng cơ<br /> bản:<br /> Ví dụ 1: Phân tích nhân tử: x  2 x  3<br /> Đặt<br /> <br /> x  3  t  x  t 3  3 . Khi đó:<br /> <br /> x  2 x  3  t 2  2t  3   t  1 t  3 .<br /> <br /> Do đó thay ngược t  x  3 ta được:<br /> <br /> x2 x3 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x  3 1<br /> <br /> <br /> <br /> x3 3 .<br /> <br /> BÀI TẬP TỰ LUYỆN<br /> Bài 1: Phân tích nhân tử: 2x  4  5 x  1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Đáp án: 2 x  1  1<br /> <br /> x 1 2<br /> <br /> <br /> <br /> Bài 2: Phân tích nhân tử: 2x  5  7 2x  1<br /> Đáp án:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2x  1  1<br /> <br /> 2x  1  6<br /> <br /> <br /> <br /> III. Kỹ năng 3: Phân tích nhân tử hai biến không chứa căn:<br /> Ví dụ 2: Phân tích nhân tử: x2  2xy  y2  x  y (Tối đa là bậc 2).<br /> Thay y  100 , biểu thức trở thành:<br /> <br /> x2  2xy  y2  x  y  x2  201x  10100 .<br /> Bấm máy phương trình bậc 2 ta được 2 nghiệm: x  100,x  101 .<br /> 2<br /> <br /> T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG<br /> <br /> Do đó: x2  201x  10100   x  100  x  101 .<br /> Vì 100  y,101  100  1  y  1 , vậy:<br /> <br /> x2  2xy  y2  x  y   x  y  x  y  1 .<br /> <br /> Ví dụ 3: Phân tích nhân tử: x3  2x2 y  xy2  y2  xy  3x  3y .<br /> Thay y  100 , biểu thức trở thành:<br /> <br /> x3  2x2 y  xy2  y2  xy  3x  3y  x3  200x2  10103x  10300<br /> Sử dụng SOLVE ta được x  100  y . Ta có hai cách xử lý sau:<br /> Cách 1: Sử dụng CALC:<br /> 1<br /> Thay x  1000, y <br /> ta có:<br /> 100<br /> x3  2x2 y  xy2  y2  xy  3x  3y<br />  1000013.01<br /> xy<br /> <br /> 1<br /> 1<br />  3<br />  x2  xy  y  3<br /> 100<br /> 100<br /> Hay nói cách khác phân tích đa thức nhân tử ta được kết quả:<br />  10002  1000.<br /> <br /> <br /> <br /> x3  2x2 y  xy2  y2  xy  3x  3y   x  y  x2  xy  y  3<br /> <br /> <br /> <br /> Cách 2: Sơ đồ Hoorne:<br /> 1<br /> 200<br /> 10103<br /> 10300<br /> x<br /> 1<br /> 100<br /> 103<br /> 0<br /> 100<br /> 3<br /> 2<br /> x  200x  10103x  10300<br /> Vậy<br />  x2  100x  103<br /> x  100<br /> Hay x3  2x2 y  xy2  y2  xy  3x  3y   x  y  x2  xy  y  3 .<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Chú ý: Phƣơng pháp này rất có ích cho các bài toán về chủ đề<br /> tƣơng giao đồ thị hàm số bậc 3.<br /> IV. Kỹ năng 4: Kỹ năng tìm max/min của phân số<br /> Hƣớng đi 1: Tìm max/min bằng TABLE<br /> 1<br /> Ví dụ ta muốn tìm max/min của<br /> :<br /> x2 2<br /> Với chức năng TABLE của máy<br /> tính Casio ta được:<br /> <br /> 3<br /> <br /> THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG<br /> <br /> max<br /> <br /> 1<br /> x2 2<br /> <br />  0.5 <br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> Chú ý rằng: max A  a thì biểu<br /> thức  a  A   0 luôn đúng.<br /> <br /> Do đó nếu sau khi liên hợp:<br /> <br /> <br /> Xuất hiện  A   , ta tìm minA .<br /> <br /> <br /> <br /> Xuất hiện  A  , ta tìm max A .<br /> <br /> Hƣớng đi 2: Sử dụng đánh giá ƣớc lƣợng:<br /> c<br /> c<br />  Ước lượng theo số:<br />   b,c  0  .<br /> a b b<br /> x1<br /> x<br /> 1<br />  <br /> <br />  Ước lượng theo bậc cao nhất:<br /> 2<br /> 2<br /> x  2x  5  x<br /> x x 2<br /> Chú ý: Lớn hơn hay nhỏ hơn để chắc chắn ta sử dụng TABLE để<br /> kiểm tra, điều này giúp khám phá ra những giá trị min/max khá đặc<br /> biệt, chẳng hạn như sau:<br /> x2  x  2<br /> x2  x x  1<br />  <br /> <br /> 2<br /> x2  x  1  x<br /> x2  x<br /> <br />  x2  x  2<br /> x 1<br /> Kiểm tra <br /> <br />  trong TABLE với điều kiện có được<br /> 2<br /> 2 <br />  x x 1  x<br /> để kiểm tra cẩn thận nhóm biểu thức này dương hay âm.<br /> <br /> 4<br /> <br /> T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG<br /> <br /> CHỦ ĐỀ 2: TỔNG QUAN CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI<br /> Các phương pháp chính khi giải toán phương trình:<br /> 1. Tƣ duy đặt ẩn phụ:<br /> Đặt 1 ẩn phụ: Mục đích đưa về một phương trình, bất phương trình<br /> cơ bản hơn. Vậy khi nào đặt được ẩn phụ? Quan sát hệ số, phát hiện<br /> sự lặp đi lặp lại:<br /> <br /> <br /> <br /> Ví dụ 5: 2 25x2  18x  9<br /> <br /> <br /> <br />  2  4x   9  x  1<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 5x  1  4  5  x  3 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x 1<br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> 4x   x  1  4  5 4x  3  x  1<br /> <br /> <br /> <br /> x 1<br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> Thông thường đến bước này cần phải quyết định thực hiện các phép<br /> biến đổi cơ bản đưa về ẩn phụ (Cộng, trừ, nhân, chia). Nếu lựa chọn<br /> phép chia thì phải triệt tiêu 1 biến:<br />   4x 2<br />   4x<br /> 4 <br />  4x<br /> <br /> 2<br />  9<br /> 1 <br />  3<br />   5<br /> <br />  x  1<br />  x  1<br /> x 1 <br />  x1 <br /> <br /> <br /> <br /> Thường học sinh hay nản nhất ở bước quyết định có ẩn phụ hóa<br /> được hay không này, đó là cần biến đổi biểu thức lạc loài về được ẩn<br /> phụ cần đặt, và có thể hệ số bất định hóa:<br /> <br /> 16<br />  4x <br />  <br /> <br /> x 1<br /> x1<br />  x 1<br /> 4    0   4<br /> <br /> Tới đây ta quy đồng và đồng nhất hệ số: <br /> .<br />   16<br />   16<br /> 4<br /> <br /> <br /> <br /> Hay nói cách khác ta biến đổi phương trình về dạng:<br />   4x 2<br />  4x<br />  4x  <br />  4x<br /> <br /> 2<br />  9 <br />  1  16  4 <br /> <br />    5 x  1  3<br />  x 1<br />  x  1<br />  x 1 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Đến đây bài toán có thể xử lý được đơn giản hơn rất nhiều. Mời bạn<br /> đọc tiếp tục với hai bài toán cơ bản áp dụng sau:<br /> 3x2  4x  8<br /> Áp dụng 1: x2  3x  6  x <br /> 2 x2  3x  6  x  4<br /> <br /> <br /> <br /> Áp dụng 2: x3  x  2<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> x2<br /> <br /> <br /> <br /> 5<br /> <br /> x3  2x  4  x3  x  2<br /> 5<br /> <br />