Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:39

0
684
lượt xem
322
download

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tập tài liệu này là của thầy Nguyễn Phú Khánh , tổng hợp một số bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, của một biểu thức nhiều biến số, .... Có cả những bài toán cực trị hình học Tài liệu hay để các bạn tham khảo.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

  1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
  2. Nguytrn lPhú Khánh -ðà L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n ñ n Phú Khánh – l p t GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ TÓM T T LÝ THUY T • ( ) Hàm s f x xác ñ nh và có liên t c trên ño n a;b  thì f ' x xác ñ nh trên kho ng a;b .   ( ) ( ) • Hàm s f ( x ) xác ñ nh và có liên t  )  ( ( ) c trên n a ño n a;b hay a;b  thì f ' x xác ñ nh trên kho ng (a;b ) . • Hàm s có th không ñ t giá tr l n nh t ho c nh nh t trên m t t p h p s th c cho trư c . x ∈a ;b    ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} • max f x = max f a , f x 1 , f x 2 ...f x i , f b x ∈a ;b    • min f ( x ) = min {f (a ) , f ( x ) , f ( x ) ...f ( x ) , f (b )} 1 2 i x ∈a ;b    x ∈a ;b    ∀x ∈ D, f x ≤ M  • M = max f x ⇔  ( ) ( ) x ∈D  ( ) ∃x 0 ∈ D, f x 0 = M ∀x ∈ D, f ( x ) ≥ m  • m = min f ( x ) ⇔  ∃x ∈ D, f ( x ) = m x ∈D  0 0 CÁC BÀI TOÁN CƠ B N Ví d 1: 1 1 1 1 2001 Ch ng minh r ng : + + + ... + < 3(1 + 2) 5( 2 + 3) 7( 3 + 4) 4003( 2001 + 2002) 4006 Gi i : 1 ( n + 1 − n) n +1 − n 1 1 1  Xét : = < =  −  (2n + 1)( n + n + 1) 4n 2 + 4n + 1 2 n(n + 1) 2 n n +1 1 1 1 1 1 1  1 1  V y : Sn < 1 − + − + ... + −  = 1 −  2 3 3 5 n n  2 n +1 2 2 2 n 2Sn < 1 −
  3. Nguytrn lPhú Khánh -ðà L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n ñ n Phú Khánh – l p t Ví d 2: Cho x 1, x 2, x 3, x 4 ..., x 2008 tho mãn x 1 + x 2 + ... + x 2008 = 2009 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c E = x 1 − 1 + x 2 − 1 + ... + x 2008 − 1 Gi i : V n d ng b t ñ ng th c a − b ≥ a − b . D u " = " x y ra khi ab ≥ 0  x1 − 1 ≥ x1 − 1   x2 − 1 ≥ x2 − 1  ....................... x − 1 ≥ x 2008 − 1  2008 ⇒ E = x 1 − 1 + x 2 − 1 + ... + x 2008 − 1 ≥ x 1 + x 2 + ... + x 2008 − 1 + 1 + ... + 1 2008 so 1 Hay E ≥ 2009 − 2008 = 1 x , x , x , x ..., x 2008 ≥ 0  D u " = " x y ra khi  1 2 3 4  x 1 + x 2 + ... + x 2008 = 2009  x , x , x , x ..., x 2008 ≥ 0  V y min E = 1 khi  1 2 3 4  x 1 + x 2 + ... + x 2008 = 2009  Ví d 3: Tìm GTNN c a bi u th c P (x , y ) = x + y − 2x + 2y + 7 . 2 2 Gi i : Ta có P (x , y ) = (x − 1) + (y + 1) + 5 ≥ 5 ∀x , y ∈ ℝ 2 2 x = 1  D u " = " x y ra khi  y = 1  ( ) ( ) V y min P (x , y ) = 5 khi x , y = 1;1 Ví d 4: Cho 2x + 2y − z − 9 = 0 . Tìm GTNN c a bi u th c P = (1 − x ) + (2 − y ) + (3 − z ) . 2 2 2 78
  4. Nguytrn lPhú Khánh -ðà L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n ñ n Phú Khánh – l p t Gi i : ( Trong không gian Oxyz ta xét ñi m A 1;2; 3 và m t ph ng ) (α ) : 2x + 2y − z − 9 = 0 ( N u M x ; y; z ∈ ) (α ) thì AM 2 = (1 − x )2 + (2 − y )2 + (3 − z )2 2+4−3−9 Mà AM ≥ d (A; α ) = = 2 nên P = (1 − x )2 + (2 − y )2 + (3 − z )2 ≥ 4 . 4 + 4 +1 ( ) ( D u " = " x y ra khi M x ; y; z là chân ñư ng vuông góc h t A 1;2; 3 lên m t ph ng α .) ( ) V y min P = 4 . Ví d 5: Tìm GTNNc a bi u th c x 2 + 3x + 5 A= ,x ≠ 1 (x − 1)2 3x 2 − 8x + 6 B= (x ≠ 1) x 2 − 2x + 1 N = x 2 + x + 1 + x 2 − x + 1, x ∈ ℝ Gi i : x 2 + 3x + 5 A= ,x ≠ 1 (x − 1)2 (x 2 − 2x + 1) + 5.(x − 1) + 9 5 9 A= =1+ + (x − 1)2 x − 1 (x − 1)2 1 ð tt = ,t ≠ 0 x −1 2  5  11 11 A = 1 + t + 9t =  3t +  + 2 ≥  6 6 6 5 1 5 13 D u " = " x y ra khi t = − ⇔ =− ⇔x =− 8 x −1 8 5 3x 2 − 8x + 6 B= (x ≠ 1) x 2 − 2x + 1 3(x 2 − 2x + 1) − 2(x − 1) + 1 2 1 B= =3− + (x − 1)2 x − 1 (x − 1)2 79
  5. Nguytrn lPhú Khánh -ðà L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n ñ n Phú Khánh – l p t 1 ð tt = ,t ≠ 0 x −1 ( ) 2 B = 3 − 2t + t 2 = t − 1 + 2 ≥ 2 1 D u " = " x y ra khi t = 1 ⇔ =1⇔x =2 x −1 V y min B = 2 khi x = 2 N = x 2 + x + 1 + x 2 − x + 1, x ∈ ℝ Bài toán này có r t nhi u cách gi i và tôi ñã gi i thi u trong chuyên ñ b t ñ ng th c. Nhân ñây tôi gi i thi u 5 cách gi i ñ c ñáo . Cách 1 : 2 1  3  1  3  2 2 2   N = x +  +   + x −  +    2  2     2  2    2 2 1   3 1  3 2 2   N =  x − (− )  +  0 − (−  + x −  +  0 −   2     2   2    2   1 − 3  1 3  Trên m t ph ng to ñ Oxy xét các ñi m A  − , ,B  ,  2 2  2 2   ,C x , 0 ( )     D a vào hình v ta có N = AC + CB ≥ AB AC = x 2 + x + 1 , BC = x 2 − x + 1 Mà 2 1 1  3 3 2 AB =  +  +  +  = 2 ⇒ AB = 2 2 2  2   2  D u " = " x y ra khi A, B,C th ng hàng , hay x = 0 , nghĩa là C ≡ O V y min N = 2 khi x = 0 Cách 2: Dùng b t ñ ng th c vectơ : a + b ≥ a +b ⇒ N ≥ a +b 80
  6. Nguytrn lPhú Khánh -ðà L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n ñ n Phú Khánh – l p t  1 3  1 3 Ch n : a =  −x + ;  ⇒ a = x 2 − x + 1, b =  x + ;  ⇒ b = x2 + x + 1   2 2    2 2    ( ) 2 a + b = (1; 3) ⇒ a + b = 12 + 3 =2⇒N ≥2 D u " = " x y ra khi a = b ⇔ x = 0 V y min N = 2 khi x = 0 Cách 3: Do N = x 2 + x + 1 + x 2 − x + 1, x ∈ ℝ , do ñó g i ta nghĩ ñ n b t ñ ng th c trung bình c ng, trung bình nhân . ( )( ) Ta có : N ≥ 2 4 x 2 − x + 1 x 2 + x + 1 = 2 4 x 4 + x 2 + 1 ≥ 2, x ∈ ℝ x 2 + x + 1 = x 2 − x + 1  D u " = " x y ra khi  4 ⇔x =0 x + x2 + 1 = 1  V y min N = 2 khi x = 0 Cách 4: x 2 − x + 1 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ  Vì  2 ( ⇒ N ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ N 2 = 2 x 2 + 1 + 2 x 4 + x 2 + 1 ) x + x + 1 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ  x 2 + 1 ≥ 1  Do  4 . ð ng th c ñ ng th i x y ra khi x = 0 , nên N 2 ≥ 4 ⇒ N ≥ 2 x + x + 1 ≥ 1 2  V y min N = 2 khi x = 0 Cách 5: ( ) D th y N = f x = x 2 + x + 1 + x 2 − x + 1, x ∈ ℝ là hàm s ch n x ∈ ℝ . ( ) ( ) ( ) V i ∀x 1 > x 2 > 0 , ta có f x 1 > 0, f x 2 > 0 nên d u c a f x 1 − f x 2 cũng là d u c a ( ) ( ) ( ) f 2 x1 − f 2 x 2 f2 (x ) − f (x ) == 2 (x 1 2 2 2 1 2 ) − x2 + 2 ( 2 4 2 ) x 14 + x 1 + 1 − x 2 + x 2 + 1 . x 1 > x 2 > 0  2 2 Vì x 1 > x 2 > 0 ⇒  4 ( ) ( ) nên f 2 x 1 − f 2 x 2 > 0, ∀x 1 > x 2 > 0  x1 + x1 + 1 ≥ x 2 + x 2 + 1 2 4 2  ( ) ( ) Suy ra f x 1 − f x 2 > 0, ∀x 1 > x 2 > 0 ( ) V i x > 0 thì hàm s f x luôn ñ ng bi n và x < 0 thì hàm s f x luôn ngh ch bi n và f 0 = 2( ) () ( ) V y f x ñ t ñư c giá tr c c ti u t i x = 0 . Do ñó min N = 2 khi x = 0 . 81
  7. Nguytrn lPhú Khánh -ðà L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n ñ n Phú Khánh – l p t Ví d 6: Tìm GTLN và NN c a bi u th c Gi i : Ví d 7: Tìm GTLNc a bi u th c 3x 2 + 6x + 10 A= x 2 + 2x + 2 x M = ,x > 0 (x + 2000)2 Gi i : 3x 2 + 6x + 10 4 4 A= 2 =3+ 2 = 3+ ≤7 x + 2x + 2 x + 2x + 2 (x + 1)2 + 1 D u " = " x y ra khi (x + 1) = 0 ⇔ x = −1 2 V y max A = 7 khi x = −1 x M = ,x > 0 (x + 2000)2 1 Vì x > 0 nên M > 0 .Do ñó M → max ⇔ → min M 1 2 1 x 2 + 2x .2000 + 20002 x 2 − 2.2000x + 20002 + 4.2000x = (x + 2000) . = = M x x x 1 (x − 2000)2 = + 8000 ≥ 8000 M x 82
  8. Nguytrn lPhú Khánh -ðà L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n ñ n Phú Khánh – l p t D u " = " x y ra khi x = 2000 1 1 min = 8000 → max M = M 8000 1 V y max M = khi x = 2000 8000 Ví d 8: Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a bi u th c : 2x 2 + 10x + 3 A= ,x ∈ ℝ 3x 2 + 2x + 1 12x 2 + 8x 2 + 3 B= ,x ∈ ℝ (2x 2 + 1)2 Gi i : 2x 2 + 10x + 3 A= 3x + 2x + 1 2 ( ) ( ) , ∀x ∈ ℝ ⇔ 3A − 2 x 2 + A − 5 x + A − 3 = 0, ∀x ∈ ℝ * () 2 • 3A − 2 = 0 ⇔ A = , ∀x ∈ ℝ 3 2 () • 3A − 2 ≠ 0 ⇔ A ≠ , ∀x ∈ ℝ phương trình * là phương trình b c 2 ñ i v i x . Do ñó phương 3 5 () ( ) ( )( ) 2 trình * có nghi m n u ∆ = A − 5 − 4 3A − 2 A − 3 ≥ 0 ⇔ ≤ A ≤ 7 2 5 V y max A = 7, min A = 2 12x 2 + 8x 2 + 3 B= ,x ∈ ℝ (2x 2 + 1)2 −π π ð t tan u = x 2,
  9. Nguytrn lPhú Khánh -ðà L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n ñ n Phú Khánh – l p t 1 Ta có (x + y + z ) ≥ 0 ⇒ x + y + z + 2(xy + yz + zx ) ≥ 0 hay 1 + 2T ≥ 0 ⇔ T ≥ − 2 2 2 2 2 1 1 D u " = " x y ra ch ng h n khi x = 0; y = ;z = − 2 2 1 1 1 V y minT = − ch ng h n khi x = 0; y = ;z = − 2 2 2 (x − y )2 ≥ 0  M t khác (y − z ) ≥ 0 ⇒ 2(x + y + z ) ≥ 2(xy + yz + zx ) hay 2 ≥ 2T ⇔ T ≤ 1 2 2 2 2 (z − x )2 ≥ 0  3 D u " = " x y ra khi x = y = z = ± 3 3 V y max T = 1 khi x = y = z = ± 3 Ví d 10: ( ). 2 Ch ng minh r ng v i m i x > 0, y > 0 , ta luôn có (1 + x )(1 + y ) ≥ 1 + xy Gi i : Áp d ng b t ñ ng th c trung bình c ng , trung bình nhân. x y 2 xy + ≥ 1+x 1+y (1 + x )(1 + y ) 1 1 1 + ≥2 1+x 1+y (1 + x )(1 + y ) C ng v theo v , ta ñư c: 2 xy + 1 xy + 1 ( ) 2 2≥ ⇔ ≤ 1 ⇔ (1 + xy ≤ (1 + x )(1 + y ) ⇔ (1 + x )(1 + y ) ≥ 1 + xy (1 + x )(1 + y ) (1 + x )(1 + y ) D u " = " x y ra khi x = y > 0 Ví d 11: 1 17 Cho a ≥ 4 , ch ng minh r ng : a + ≥ a 4 . Gi i : 84
  10. Nguytrn lPhú Khánh -ðà L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n ñ n Phú Khánh – l p t 1 a 1 15a Ta có : a + = + + a 16 a 16 a 1 Áp d ng b t ñ ng th c trung bình c ng , trung bình nhân cho hai s dương và . 16 a a 1 a 1 1 1 + ≥2 . =2 = 16 a 16 a 16 2 15a 15 15 Mà a ≥ 4 ⇒ ≥ .4 = 16 16 4 1 a 1 15a 17 V y :a + = + + ≥ a 16 a 16 4 D u " = " x y ra khi a = 4 . Ví d 12:  1  1  1  729 Cho a, b, c > 0 tho mãn a + b + c = 6 . Ch ng minh r ng :  1 + 3   1 + 3   a + 3  ≥ .  a  b  c  512 Gi i :  1  1  1  1 1 1  1 1 1  1 ð t A = 1 + 3  1 + 3  1 + 3  = 1 +  3 + 3 + 3  +  3 3 + 3 3 + 3 3  + 3 3 3  a  b  c  a b c  a b bc ac  abc Áp d ng b t ñ ng th c trung bình c ng , trung bình nhân cho hai s dương, ta ñư c: 3 3 3 1  1  A ≥1+ + 2 2 2 + 3 3 3 = 1 +  abc a b c abc  abc  3  a+b+c  1 1 Và abc ≤   = 8 ⇒ abc ≤ 8 ⇒ ≥  3  abc 8 3  1 729 V y : A ≥ 1 +  = . D u " = " x y ra khi a = b = c = 2 .  8 512 4 Cho x > y ≥ 0 . Ch ng minh r ng : x + ≥3 (x − y )(y + 1)2 Áp d ng b t ñ ng th c trung bình c ng , trung bình nhân cho b n s dương 8 2x − 2y, y + 1, y + 1, (x − y )(y + 1)2 8 8 ⇒ 2x − 2y + 2(y + 1) + ≥ 4 4 2(x − y )(y + 1)2 (x − y )(y + 1)2 (x − y )(y + 1)2 4 4 ⇔ x +1+ ≥4⇔x+ ≥3 (x − y )(y + 1)2 (x − y )(y + 1)2 85
  11. Nguytrn lPhú Khánh -ðà L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n ñ n Phú Khánh – l p t 8 D u " = " x y ra khi 2x − 2y = 2(y + 1) = ⇔ x = 2; y = 1 (x − y )(y + 1)2 Ví d 13: x − 2007 x − 2008 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A = + . x +2 x Gi i : ði u ki n : x ≥ 2008 . a = x − 2007 ≥ 0  x + 2 = a + 2009 2  ð t  ⇒ , ta có : x = b + 2008 2 b = x − 2008 ≥ 0   a b 1 1 A= 2 + 2 = + a + 2009 b + 2008 2009 2008 a+ b+ a b Áp d ng b t ñ ng th c trung bình c ng , trung bình nhân 2009 2008 a+ ≥ 2 2009, b + ≥ 2 2008 a b 1 1 Do ñó A ≤ + 2 2009 2 2008  2009 a =  a 2 = 2009  x = a + 2007 2 D u " = " x y ra khi  a ⇔  2 ⇒ ⇒ x = 4006 b = 2008 x = b + 2008 2 b = 2008     b 1 1 V y max A = + khi x = 4006 2 2009 2 2008 Ví d 14: 1 1 Cho x , y > 0 tho mãn x + y = 1 . Tìm GTNN c a bi u th c A = + . x +y 2 2 xy Gi i : 1 1 4 V i x , y > 0 ta luôn có + ≥ x y x +y 1 1 1 1 1 4 1 4 1 A= 2 + = 2 + + ≥ 2 + hay A ≥ + x +y xy x + y 2xy 2xy x + y + 2xy 2xy ( ) 2 2 2 2 x +y xy (x + y ) 2 1 M t khác x + y ≥ 2 xy ⇒ xy ≤ = 4 4 86
  12. Nguytrn lPhú Khánh -ðà L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n ñ n Phú Khánh – l p t 1 Do ñó A ≥ 4 + =6 1 2. 4 1 V y min A = 6 khi x = y = 2 Ví d 15: xyz Cho x , y, z > 0 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c M = . (x + y )(y + z )(z + x ) Gi i : Áp d ng b t ñ ng th c trung bình c ng , trung bình nhân x + y ≥ 2 xy , y + z ≥ 2 yz , z + x ≥ 2 zx ( )( )( ) (xyz ) 2 ⇒ x +y y +z z +x ≥ 8 = 8xyz xyz xyz 1 ⇒M = ≤ = (x + y )(y + z )(z + x ) 8xyz 8 1 V y max M = khi x = y = z > 0 8 Ví d 16: ab c − 2 + bc a − 3 + ca b − 4 Tìm GTLN c a bi u th c A = , a ≥ 3, b ≥ 4, c ≥ 2 abc Gi i : c −2 a −3 b−4 A= + + c a b (c − 2).2 1 1 (c − 2) + 2 c c −2 1 c −2 = = (c − 2).2 ≤ = ⇒ ≤ 2 2 2 2 2 2 c 2 2 D u " = " x y ra khi c − 2 = 2 ⇔ c = 4 . Tương t : a −3 1 ≤ .D u " = " x y ra khi a = 6 . a 2 3 b−4 1 1 ≤ = . D u " = " x y ra khi b = 8 . b 2 4 4 87
  13. Nguytrn lPhú Khánh -ðà L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n ñ n Phú Khánh – l p t 1 1 1 V y min A = + + khi a = 6, b = 8, c = 4 . 2 2 2 3 4 Ví d 17: x y z Cho x , y, z > 0 tho ñi u ki n x + y + z = 1 . Tìm GTLN c a bi u th c Q = + + x +1 y +1 z +1 Gi i : 1 1 1 9 x , y, z > 0 ⇒ + + ≥ x y z x +y +z x y z x +1−1 y +1−1 z +1−1 1 1 1 Q= + + = + + = 3 −( + + ) x +1 y +1 z +1 x +1 y +1 z +1 x +1 y +1 z +1 9 9 3 Q ≤ 3− =3− = x +1+y +1+z +1 4 4 1 D u " = " x y ra khi x = y = z = 3 3 1 V y max Q = khi x = y = z = 4 3 Ví d 18: Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a các hàm s : 3x − 1 a) f x =( ) x −3 trên ño n 0;2    ( ) b ) f x = x 4 − 2x 2 + 3 trên ño n  −3;2    f (x ) = x ( ) 3 c) 6 + 4 1 − x2 trên ño n  −1;1   3x 2 + 10x + 20 d) f x =( ) x 2 + 2x + 3 Gi i : 3x − 1 ( ) a) f x = x −3 , x ∈ 0;2    Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ño n 0;2  .   −8 Ta có f ' x =( ) < 0, ∀x ∈ 0;2    ( ) 2 x −3 88
  14. Nguytrn lPhú Khánh -ðà L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n ñ n Phú Khánh – l p t B ng bi n thiên x 0 2 ( ) f' x − 1 ( ) f x 3 −5 1 T b ng bi n thiên suy ra : max f x = 0;2   ( ) 3 khi x = 0  0;2    ( ) min f x = −5 khi x = 2 ( ) b ) f x = x 4 − 2x 2 + 3, x ∈  −3;2    Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ño n  −3;2  .   x = −1, f −1 = 2  ( ) ( ) ( ) Ta có f ' x = 4x 3 − 4x ⇒ f ' x = 0 ⇔ x = 0, f 0 = 3 () x = 1, f −1 = 2   ( ) ( ) f −3 = 66, f 2 = 11() B ng bi n thiên x −3 −1 0 1 2 ( ) f' x − 0 + 0 − 0+ f (x ) 66 3 11 2 2 T b ng bi n thiên suy ra : max f x = 66 khi x = −3    −3;2 ( )    −3;2  ( ) min f x = 2 khi x = −1, x = 1 ( ) ( ) 3 c) f x = x 6 + 4 1 − x 2 , x ∈  −1;1   Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ño n  −1;1 .   ð t t = x 2 , x ∈  −1;1 ⇒ t ∈ 0;1     () ( ) () ( ) ( ) 3 2 Hàm s ñã cho vi t l i f t = t 3 + 4 1 − t , t ∈ 0;1 và f ' t = 3t 2 − 12 1 − t   = 3 −3t 2 + 8t − 4  2 2 4 t = , f   = () f' t =0⇔ 3 3 9 t = 2  () f 0 = 4, f 1 = 1 () B ng bi n thiên 89
  15. Nguytrn lPhú Khánh -ðà L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n ñ n Phú Khánh – l p t 2 x 0 1 3 ( ) f' x − 0 + f (x ) 4 1 4 9 4 2 T b ng bi n thiên suy ra : max f x = 4 khi x = 0  −1;1   ( ) min f x =  −1;1   ( ) 9 khi x = ± 3 3x 2 + 10x + 20 d) f x =( )x 2 + 2x + 3 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) lim f x = lim f x = 3 x →−∞ x →+∞ ( )  5 −4x − 22x − 10 2 x = −5 ⇒ y = Ta có : f ' x =( ) ⇒f' x =0⇔ 2 ( ) ( 1 ) 2 x + 2x + 3 2 x = − ⇒ y = 7   2 B ng bi n thiên 1 x −∞ −5 − +∞ 2 ( ) f' x − 0 + 0 − f (x ) 3 7 5 3 2 1 5 T b ng bi n thiên suy ra : max f x = 7 khi x = − ( ) 2 min f x = ( ) 2 khi x = −5 Ví d 19: Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a các hàm s : a ) f (x ) = x 2 − 4x + 5 trên ño n [−2; 3] . 9 1 b ) f ( x ) = x 6 − 3x 4 + x 2 + trên ño n [−1; 1] . 4 4 2 c) f (x ) = −x + 5x + 6 . ( ) d ) f x = (x − 6) x + 4 trên ño n  0; 3  .   2 90
  16. Nguytrn lPhú Khánh -ðà L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n ñ n Phú Khánh – l p t Gi i : a ) f (x ) = x 2 − 4x + 5 trên ño n [−2; 3] . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên [−2; 3] . x −2 f '(x ) = x 2 − 4x + 5 f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 2 ∈  −2; 3  f (−2) = 17, f ( 2 ) = 1, f(3) = 2. V y: min f (x ) = 1 khi x = 2 . x ∈  −2;3  max f (x ) = 17 khi x = −2 . x ∈  −2;3  9 1 b ) f ( x ) = x 6 − 3x 4 + x 2 + trên ño n [−1; 1] 4 4 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên [−1; 1] . ð tt x2 t [0; 1] , x 1; 1 , ta có: 9 1 f ( t ) = t 3 − 3t 2 + t + liên t c trên ño n [0; 1] 4 4  1 t = 9 ⇒ f / ( t ) = 3t 2 − 6t + = 0 ⇔  2 4  3    t = 2 ∉  0;1  1 1 3 1 f (0) = , f   = , f (1) = .     4 2 4 2 V y: 1 1 min f ( t ) = khi t = 0 hay min f ( x ) = khi x = 0 t ∈  0;1  4 x ∈  −1;1  4 3 1 2 max f ( t ) = khi t = hay max  f ( x ) khi x = ± .  t ∈  0;1  4 2  −1;1 x ∈  2 c) f (x ) = −x 2 + 5x + 6 . D = [−1; 6] Hàm s f (x ) = −x 2 + 5x + 6 liên t c trên ño n [ 1; 6] . −2x + 5 f '(x ) = 2 −x 2 + 5x + 6 5 f' x 0 x [ 1; 6] 2 5 7 f (−1) = f ( 6 ) = 0, f   = .     2 2 V y: 91
  17. Nguytrn lPhú Khánh -ðà L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n ñ n Phú Khánh – l p t min f ( x ) = 0 khi x = −1, x = 6 x ∈  −1;6  7 5 max f ( x ) = khi x = . x ∈  −1;6  2 2 ( ) d ) f x = (x − 6) x + 4 trên ño n  0; 3  . 2   Hàm s y = (x − 6) x + 4 liên t c trên ño n  0; 3  . 2   2x 2 − 6x + 4 y' = x2 + 4 x = 1 ∈ 0; 3  y' = 0 ⇔    x = 2 ∈ 0; 3     y(1) = −5 5    max y = −3 13 y(0) = −12  x ∈0;3 ⇒   y(2) = −8 2  xmin y = −12   ∈0;3  y(3) = −3 13  V y max y = −3 13 khi x = 3 , min y = −12 khi x = 0 x ∈ 0;3    x ∈ 0;3    Ví d 20: ( ) a ) Tìm giá tr l n nh t c a các hàm s : f x = x 3 + 3x 2 − 72x + 90 trên ño n  −5;5  .   b ) Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s f ( x ) = x 3 − 3x + 2 trên ño n  –3; 2  .   2 ( ) c) Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s f x = x − 3x + 1 trên ño n  −2;1 . 3   ( ) d ) Tìm a ñ giá tr l n nh t c a hàm s f x = x + 2x + a − 4 trên ño n  −2;1 ñ t giá tr nh nh t 2   Gi i : ( ) a ) f x = x 3 + 3x 2 − 72x + 90 , x ∈  −5; 5    Hàm s ñã cho xác ñ nh trên  −5;5  .   ( ) ð t g x = x 3 + 3x 2 − 72x + 90, x ∈  −5;5    ( ) Ta có : g ' x = 3x 2 + 6x − 72 92
  18. Nguytrn lPhú Khánh -ðà L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n ñ n Phú Khánh – l p t x = −6 ∉  −5;5  ( ) g' x = 0 ⇔   x = 4 ∈  −5; 5      () ( ) () g 4 = −86, g −5 = 400, g 5 = −70 ⇒ −86 ≤ g ( x ) ≤ 400 ⇒ 0 ≤ g ( x ) ≤ 400 ⇒ 0 ≤ f ( x ) ≤ 400 V y : max f ( x ) = 400 khi x = −5 . x ∈ −5;5   b ) f ( x ) = x 3 − 3x + 2 trên ño n  –3; 2    Hàm s ñã cho xác ñ nh trên  –3; 2  .   ð tg x x3 3x 2, x –3; 2 g / (x ) 3x 2 3 g' x 0 x 1 [ 3; 2] g ( 3) 16, g ( 1) 4, g(1) 0, g (2) 4 16 g(x ) 4, x [ 3; 2] 0 g (x ) 16 , x [ 3; 2] 0 f x 16 , x [ 3; 2] . V y max f ( x ) = 16, min f ( x ) = 0 x ∈  –3; 2  x ∈  –3; 2  ( ) c) f x = x − 3x + 1 trên ño n  −2;1 . 3 2   Hàm s ñã cho xác ñ nh trên  −2;1 .   ( ) ð t g x = x − 3x + 1, x ∈  −2;1  3  2 ( ) g ' x = 3x 2 − 6x . x = 0 ( ) g' x = 0 ⇔  x = 2 ∉  −2;1    ( ) () () g −2 = −19, g 0 = 1, g 1 = −1 , suy ra max g x = 1, min g x = −19 .  −2;1 ( )  −2;1 ( )        ( ) x ∈  −2;1 ⇒ g x ∈  −19;1 ⇒ f x = g x ∈ 0;19  .    ( ) ( ) () () g 0 .g 1 < 0 ⇒ ∃ x 1 ∈ 0;1 sao cho g x 1 = 0. ( ) ( ) ( ) V y max f x = 19, min f x = 0.  −2;1  −2;1 ( )     ( ) d ) f x = x 2 + 2x + a − 4 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên  −2;1 .   ( ) ( ) 2 f x = x 2 + 2x + a − 4 = x + 1 + a − 5 93
  19. Nguytrn lPhú Khánh -ðà L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n ñ n Phú Khánh – l p t ( ) 2 ð t t = x + 1 , x ∈  −2;1 ⇒ t ∈ 0; 4      Ta có f (t ) = t + a − 5 , t ∈ 0; 4    max f ( x ) ⇔ max f (t ) = max {f ( 0 ) , f {4}} = max { a − 5 , a − 1 } x ∈ −2;1   t ∈ 0;4    t ∈ 0;4    t∈ 0;4    • a − 5 ≥ a − 1 ⇔ a ≤ 3 ⇒ max f (t ) = a − 5 = 5 − a t∈ 0;4    • a − 5 ≤ a − 1 ⇔ a ≥ 3 ⇒ max f (t ) = a − 1 = a − 1 t ∈ 0;4    5 − a ≥ 5 − 3 = 2, ∀a ≤ 3  M t khác  ⇒ max f t ≥ 2, ∀a ∈ ℝ () a − 1 ≥ 3 − 1 = 2, ∀a ≥ 3  t∈ 0;4    V y giá tr nh nh t c a max f t = 2 khi a = 3 t∈ 0;4    () Ví d 21: Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a các hàm s : ( ) a) f x = x + 4 − x 2 . x +1 b) f x = ( ) trên ño n x ∈  −1;2  .   x +1 2 Gi i : ( ) a) f x = x + 4 − x 2 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ño n  −2;2  .   4 − x2 − x ( ) Ta có f ' x = 1 − x , x ∈ −2;2 = ( ) 4 − x2 4 − x2  4 − x2 − x = 0   4 − x2 = x   0 < x < 2  0 < x < 2 ( ) f' x =0⇔ ⇔ ⇔ 2 ⇔  2 ⇔x = 2   x ∈ −2;2  ( x ∈ −2;2 )   4−x = x 2   x =2 ( ) B ng bi n thiên x −2 2 2 ( ) f' x − 0 + f (x ) −2 2 2 2 T b ng bi n thiên , ta ñư c max f x = 2 2 khi x = 2 x ∈ −2;2    ( ) x ∈ −2;2   ( ) min f x = −2 khi x = −2 94
  20. Nguytrn lPhú Khánh -ðà L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n ñ n Phú Khánh – l p t x +1 ( ) b) f x = x2 + 1 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ño n  −1;2  .   −x + 1 Ta có f ' x =( ) ⇒ f' x =0⇔x =1 ( ) ( ) 3 x +1 2 B ng bi n thiên . x −1 1 2 ( ) f' x + 0 − f (x ) 2 3 5 0 5 T b ng bi n thiên , ta ñư c max f x = 2 khi x = 1 x ∈ −1;2    ( ) x ∈ −1;2   ( ) min f x = 0 khi x = −1 Ví d 22: 1 Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a các hàm s : y = sin x + cos x Gi i :  π Xét hàm s g (x ) = sin x + cos x liên t c trên ño n 0;   2 cos x sin x cos x cos x − sin x sin x g '(x ) = − = 2 sin x 2 cos x 2 sin x .cos x π g '(x ) = 0 ⇔ cos x = sin x ⇒ x = 4 π π 1 g(0) = 1; g( ) = 4 8; g( ) = 1 ⇒ 1 ≤ g(x ) ≤ 4 8 ⇒ ≤y ≤1 4 2 4 8 1 V y min y = , max y = 1 4 8 Ví d 23: ax + b Tìm các giá tr a, b sao cho hàm s f x = ( ) x2 + 1 có95 tr l n nh t b ng 4 và có giá tr nh nh t giá b ng −1

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản