Giải bài tập định thức

Chia sẻ: Xuan Khuong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:1

0
2.138
lượt xem
343
download

Giải bài tập định thức

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đại số tuyến tính - Giải bài tập định thức

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Giải bài tập định thức

  1. Đ IS TUY N TÍNH Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a PGS. TS M Vinh Quang Ngày 10 tháng 11 năm 2004 Bài 3 : Gi i Bài T p Đ nh Th c 1. Tính αβγ trong đó α, β , γ là các nghi m c a phương trình :x3 + px + q = 0 βγα γαβ Gi i : Theo đ nh lí Viet ta có α + β + γ = 0 C ng c t (1), c t (2) vào c t (3) ta có: αβγ α β α+β+γ αβ0 βγα β γ α+β+γ βγ0 = = =0 γαβ γ α α+β+γ γα0 2. Gi i phương trình x x2 x 3 1 1 248 1 3 9 27 1 4 16 64 Gi i : 1
  2. Khai tri n đ nh th c v trái theo dòng đ u, ta s có v trái là m t đa th c b c 3 c a x, kí hi u là f (x). Ta có f (2) = 0 vì khi đó đ nh th c v trái có 2 dòng đ u b ng nhau. Tương t f (3) = 0, f (4) = 0. Vì f (x) là đa th c b c 3, có 3 nghi m là 2, 3, 4 nên phương trình trên có nghi m là 2, 3, 4. 3. Ch ng minh a1 + b 1 b 1 + c 1 c 1 + a1 a2 + b 2 b 2 + c 2 c 2 + a2 =0 a3 + b 3 b 3 + c 3 c 3 + a3 Gi i : Nhân c t (2) v i (-1), c t (3) v i 1 r i c ng vào c t (1), ta có: 2a1 b1 + c1 c1 + a1 a1 b 1 + c 1 c 1 + a1 2a2 b2 + c2 c2 + a2 = 2 a2 b 2 + c 2 c 2 + a2 VT = 2a3 b3 + c3 c3 + a3 a3 b 3 + c 3 c 3 + a3 a1 b 1 + c 1 c 1 a1 b 1 c1 (1) (2) = = 2 a2 b 2 + c 2 c 2 2 a2 b 2 c2 a3 b 3 + c 3 c 3 a3 b 3 c3 Gi i thích: (1) : nhân c t (1) v i (-1) c ng vào c t (3) (2) : nhân c t (3) v i (-1) c ng vào c t (2) 4. Ch ng minh a2 (a + 1)2 (a + 2)2 (a + 3)2 b2 (b + 1)2 (b + 2)2 (b + 3)2 =0 c2 (c + 1)2 (c + 2)2 (c + 3)2 d2 (d + 1)2 (d + 2)2 (d + 3)2 Gi i : a2 (a + 1)2 2a + 3 6a + 9 b2 (b + 1)2 2b + 3 6b + 9 (2) (1) VT = =0 c2 (c + 1)2 2c + 3 6c + 9 d2 (d + 1)2 2d + 3 6d + 9 Gi i thích: (1) : Nhân c t (1) v i (-1) c ng vào c t (4), nhân c t (2) v i (-1) c ng vào c t (3) (2) : Đ nh th c có 2 c t t l 2
  3. 5. Tính đ nh th c 1 + a1 a2 a3 ... an a1 1 + a2 a3 ... an a1 a2 1 + a3 ... an . . . . .. . . . . . . . . . a1 a2 a3 . . . 1 + an Gi i : 1 + a1 + . . . + an a2 a3 ... an 1 + a1 + . . . + an 1 + a2 a3 ... an (1) 1 + a1 + . . . + an a2 1 + a3 ... an VT = . . . . .. . . . . . . . . . 1 + a1 + . . . an a2 a3 . . . 1 + an 1 + a1 + . . . + an a2 a3 . . . an 0 1 0 ... 0 (2) 0 0 1 . . . 0 = 1 + a1 + . . . + an = . . . .. . . .. .. . .. . 0 0 0 ... 1 Gi i thích: (1): C ng các c t (2), (3),. . . , (n) vào c t (1) (2): Nhân dòng (1) v i (-1) r i c ng vào các dòng (2), (3), . . . , (n) 6. Tính đ nh th c 0 1 1 ... 1 1 0 x ... x 1 x 0 ... x . . . . .. . . . . . . . . . 1 x x ... 0 Gi i : V ix=0 n−1 01 1 ... 1 1 1 ... 1 x 1 −x 0 ... 0 −x 0 0 ... 0 (1) (2) V T = 1 0 −x ... 0 = 0 −x 0 ... 0 .. . . .. .. . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . −x 10 0 . . . −x 0 0 0 3
  4. n−1 (−x)n−1 = (−1)n−1 (n − 1)xn−2 (n ≥ 2) = x Gi i thích: (1): Nhân dòng (1) v i (-x) c ng vào dòng (2), (3), . . . , (n) 1 (2): Nhân c t (2), (3), . . . , (n) v i r i c ng t t c vào c t (1) x D th y khi x = 0, đáp s trên v n đúng do tính liên t c c a đ nh th c. 7. Tính đ nh th c 5 3 0 0 ... 0 0 2 5 3 0 ... 0 0 0 2 5 3 ... 0 0 Dn = . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 ... 5 3 0 0 0 0 ... 2 5 Gi i : Khai tri n đ nh th c theo dòng đ u ta có : 2 3 0 ... 0 0 0 5 3 ... 0 0 0 2 5 ... 0 0 Dn = 5Dn−1 − 3 . . . . . .. . . . . . . . . . . . 0 0 0 ... 5 3 0 0 0 ... 2 5 Ti p t c khai tri n đ nh th c theo c t (1) ta có công th c truy h i : Dn = 5Dn−1 − 6Dn−2 (n ≥ 3) (*) T (*) ta có : Dn − 2Dn−1 = 3(Dn−1 − 2Dn−2 ) Do công th c đúng v i m i n ≥ 3 nên ta có: Dn − 2Dn−1 = 3(Dn−1 − 2Dn−2 ) = 32 (Dn−2 − 2Dn−3 ) = . . . = 3n−2 (D2 − 2D1 ) Tính toán tr c ti p ta có D2 = 19, D1 = 5 nên D2 − 2D1 = 9. B i v y ta có: Dn − 2Dn−1 = 3n (1) M t khác, cũng t công th c (*) ta có: Dn − 3Dn−1 = 2(Dn−1 − 3Dn−2 ) 4
  5. Tương t như trên ta có: Dn −3Dn−1 = 2(Dn−1 −3Dn−2 ) = 22 (Dn−2 −3Dn−3 ) = . . . = 2n−2 (D2 −3D1 ) = 2n V y ta có: Dn − 3Dn−1 = 2n (2) Kh Dn−1 t trong (1) và (2) ta có: Dn = 3n+1 − 2n+1 (B n đ c có th so sánh cách gi i bài này v i cách gi i ví d 4) 8. Tính đ nh th c a1 x ... x x a2 ... x D= .. . ... .. . .. . xx . . . an Gi i : Đ nh th c này có th tính b ng phương pháp bi u di n đ nh th c thành t ng các đ nh th c. Trư c h t ta vi t đ nh th c dư i d ng: a1 − x + x 0+x ... 0+x a2 − x + x . . . 0+x 0+x D= . . . .. . . . . . . . . . . an − x + x 0+x 0+x (1) (2) (1) (2) (1) (2) L n lư t tách các c t c a đ nh th c, sau n l n tách ta có đ nh th c D b ng t ng c a 2n đ nh th c c p n. C t th i c a các đ nh th c này chính là c t lo i (1) ho c lo i (2) c a c t th i c a đ nh th c ban đ u D. Chia 2n đ nh th c này thành 3 d ng như sau: D ng 1: Bao g m các đ nh th c có t 2 c t lo i (2) tr lên. Vì các c t lo i (2) b ng nhau nên t t c các đ nh th c d ng này đ u b ng 0. D ng 2: Bao g m các đ nh th c có đúng m t c t lo i (2), còn các c t khác là lo i (1). 5
  6. Gi s c t i là lo i (2). Ta có đ nh th c đó là: a1 − x 0 ... x ... 0 a2 − x 0 ... x ... 0 Di = . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . x . . . an − x 0 0 ↑ c ti n (ak − x) x (1) k=1 = x(a1 − x) . . . (ai−1 − x)(ai+1 − x) . . . (an − x) = ai − x ((1) khai tri n đ nh th c theo c t i) Có t t c n đ nh th c d ng 2 ( ng v i i = 1, 2, . . . , n) và t ng c a t t c các đ nh th c d ng 2 là: 1 1 x(a1 − x) . . . (an − x) + ... + a1 − x an − x D ng 3: Bao g m các đ nh th c không có c t lo i (2), nên t t c các c t đ u là lo i (1). Và do đó có đúng 1 đ nh th c d ng (3) là: a1 − x 0 ... 0 a2 − x 0 ... 0 = (a1 − x) . . . (an − x) . . . .. . . . . . . . . . . an − x 0 0 V y D b ng t ng c a t t c các đ nh th c c a 3 d ng trên và b ng: 1 1 1 x(a1 − x) . . . (an − x) + + ... + x a1 − x an − x 9. Tính a1 + b 1 a1 + b 2 . . . a 1 + bn a2 + b 1 a2 + b 2 . . . a 2 + bn =0 . . . ... . . . . . . an + b 1 an + b 3 . . . an + bn Gi i : 6
  7. Đ nh th c này có th đư c tính b ng phương pháp bi u di n đ nh th c thành t ng các đ nh th c v i cách gi i tương t như bài 8. Chi ti t c a cách gi i này xin dành cho b n đ c. đây chúng tôi đưa ra m t cách tính n a d a vào phương pháp bi u di n đ nh th c thành tích các đ nh th c. V i n ≥ 2 ta có:    a1 1 0 . . . 0 1 1 ... 1   a1 + b1 a1 + b2 . . . a1 + bn  a2 + b1 a2 + b2 . . . a2 + bn   a2 1 0 . . . 0   b1 b2 . . . bn       a3 1 0 . . . 0   0 0 . . . 0  A= =  . . . .. . . .   .   . . . .. .   . . .. . . . . ... .  . . . .. ..  . . . .. an + b1 an + b3 . . . an + bn an 1 0 . . . 0 0 0 ... 0 B C B i v y, ta có: 0 n u n>2 D = detA = det(BC ) = detB.detC = (a1 − a2 )(b2 − a1 ) n u n = 2 10. Tính cos(α1 − β1 ) cos(α1 − β2 ) . . . cos(α1 − βn ) cos(α2 − β1 ) cos(α2 − β2 ) . . . cos(α2 − βn ) . . . ... . . . . . . cos(αn − β1 ) cos(αn − β2 ) . . . cos(αn − βn ) Đ tính đ nh th c này ta dùng phương pháp bi u di n đ nh th c thành tích các đ nh th c. V i n ≥ 2 ta có:   cos(α1 − β1 ) cos(α1 − β2 ) . . . cos(α1 − βn )  cos(α2 − β1 ) cos(α2 − β2 ) . . . cos(α2 − βn )  A=   . . . .. . . .  . . . .   cos(αn − β1 ) cos(αn − β2 ) . . . cos(αn − βn )    cos α1 sin α1 0 . . . 0 cos β1 cos β2 . . . cos βn  cos α2 sin α2 0 . . . 0   sin β1 sin β2 . . . sin βn     =  cos α3 sin α3 0 . . . 0   0 0 ... 0    . . . .. .   . . . .. . . . .  . . .   .. . . . . . . .   cos αn sin αn 0 . . . 0 0 0 ... 0 B C B i v y ta có: 0 n u n>2 D = detA = det(BC ) = detB.detC = sin(α2 − α1 ). sin(β2 − α1 ) n u n = 2 7
  8. 11. Tính đ nh th c c p 2n a 0 ... 0 0 0 0 ... 0 b (1) 0 a ... 0 0 0 0 ... b 0 (2) . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (n − 1) 0 0 ... a 0 0 b ... 0 0 0 0 ... 0 a b 0 ... 0 0 (n) D2n = 0 0 ... 0 b a 0 ... 0 0 (n + 1) 0 0 ... b 0 0 a ... 0 0 (n + 2) . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2n − 1) 0 b ... 0 0 0 0 ... a 0 (2n) b 0 ... 0 0 0 0 ... 0 a 2n×2n Gi i : Xét khi a = 0 b - Nhân dòng (1) v i − c ng vào dòng (2n) a b - Nhân dòng (2) v i − c ng vào dòng (2n-1) a ..................................................................... b - Nhân dòng (n) v i − c ng vào dòng (n+1) a Ta có : a 0 ... 0 0 0 0 ... 0 b 0 a ... 0 0 0 0 ... b 0 . . .. . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 ... a0 0 b ... 0 0 0 0 ... 0a b 0 ... 0 0 a − b2 2 00 ... 0 0 0 ... 0 0 = (a2 −b2 )n D2n = a 2 2 a −b 0 0 ... b 0 0 ... 0 0 a . . .. . . . . . . .. . . ... . . . . . . . .. . . . . a − b2 2 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 a a − b2 2 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 a Khi a = 0, do tính liên t c c a đ nh th c công th c trên v n đúng. V y ta có: D2n = (a2 − b2 )n 8
  9. Chú ý : Khai tri n đ nh th c theo dòng (1), sau đó khai tri n các đ nh th c c p (2n − 1) v a nh n đư c theo dòng (2n − 1). Ta s có công th c truy h i: D2n = (a2 − b2 )D2(n−1) Do công th c trên đúng v i m i n ≥ 2 nên : D2n = (a2 − b2 )D2(n−1) = (a2 − b2 )2 D2(n−2) = . . . = (a2 − b2 )n−1 D2 = (a2 − b2 )n (Chi ti t c a cách làm này xin dành cho b n đ c ). 12. Tính đ nh th c c p 2n . (1) . a1 0 ... 0 b1 0 ... 0 . (2) . . 0 a2 . . . 0 0 b2 ... 0 . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . (n) . 0 0 . . . an 00 . . . bn . ... ... ... ... ... ... ... ... ... D2n = . . d1 0 c1 0 . . . 0 ... 0 . (n + 1) . . (n + 2) 0 c2 . . . 0 0 d2 ... 0 . . . .. . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . cn . 00 . . . dn . (2n) Xét khi a1 , a2 , . . . , an đ u khác 0 : c1 - Nhân dòng (1) v i − r i c ng vào dòng (n + 1) a1 c2 - Nhân dòng (2) v i − r i c ng vào dòng (n + 2) a2 ............................................................................. cn - Nhân dòng (n) v i − r i c ng vào dòng (2n) an 9
  10. Ta có : . . a1 0 ... 0 b1 0 ... 0 . . . 0 a2 . . . 0 0 b2 ... 0 . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . an 0 0 ... bn . ... ... ... ... ... ... ... ... ... D2n = . a1 d1 − b1 c1 . 0 0 ... 0 0 ... 0 . a1 a2 d2 − b2 c2 . . 0 0 ... 0 0 ... 0 . a2 . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . an dn − bn cn . . 0 0 ... 0 0 0 ... . an n = (a1 d1 − b1 c1 ) . . . (an dn − bn cn ) = (ai di − bi ci ) i=1 Khi các a1 , a2 , . . . , an b ng 0, do tính liên t c c a đ nh th c công th c trên v n đúng. V y ta có : n (ai di − bi ci ) D2n = i=1 Chú ý : Khai tri n đ nh th c theo dòng th n, sau đó khai tri n các đ nh th c c p 2n − 1 v a nh n đư c theo dòng (2n − 1) ta s có công th c truy h i: D2n = (an dn − bn cn )D2(n−1) ∀n ≥ 2 Do đó, ta có: D2n = (an dn − bn cn )D2(n−1) = (an dn − bn cn )(an−1 dn−1 − bn−1 cn−1 )D2(n−2) = . . . = (an dn − bn cn ) . . . (a2 d2 − b2 c2 )D1 n (ai di − bi ci ) = i=1 (Chi ti t c a cách này xin dành cho b n đ c ) 1 1 Ngư i đánh máy : Nguy n Ng c Quyên 10

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản