Giải các phương trình liên quan đến tổ hợp - chỉnh hợp (Bài tập và hướng dẫn giải)

Chia sẻ: T N | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:11

0
616
lượt xem
121
download

Giải các phương trình liên quan đến tổ hợp - chỉnh hợp (Bài tập và hướng dẫn giải)

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'giải các phương trình liên quan đến tổ hợp - chỉnh hợp (bài tập và hướng dẫn giải)', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Giải các phương trình liên quan đến tổ hợp - chỉnh hợp (Bài tập và hướng dẫn giải)

  1. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 09 tháng 04 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 BTVN NGÀY 09-04 Giải phương trình liên quan đến tổ hợp, chỉnh hợp. Bài 1: Tìm2 số tự nhiên x, y sao cho: C xy+1 : C xy +1 : C xy −1 = 6 : 5 : 2 Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 2 Axy + Cxy = 50   y ( x, y ∈ ¥ ) 5 Ax − 2Cx = 80 y  Bài 3: Giải bất phương trình: 5 2 Cn −1 − Cn −1 − 4 3 An − 2 < 0 (n ∈ ¥ ) 4 Bài 4: Giải hệ phương trình sau:  Ax2 + C y = 22  3  3 ( x, y ∈ ¥ )  Ay + C x = 66 2  Bài 5: Giải PT: C2 n +1 + C22n +1 + ... + C2 n +1 = 220 − 1 (n ∈ ¥ ) 1 n ………………….Hết……………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
  2. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 HDG CÁC BTVN • BTVN NGÀY 08-04 Bài 1: Chứng minh rằng với k , n ∈ ¥ ; 2 ≤ k ≤ n luôn có: Cn + 4Cn −1 + 6Cn − 2 + 4Cnk −3 + Cn − 4 = Cn + 4 k k k k k Giải: Ta có : VT = Cnk + Cnk −1 + 3 ( Cnk −1 + Cnk − 2 ) + 3 ( Cnk − 2 + Cnk − 3 ) + Cnk − 3 + Cnk − 4 = Cnk+1 + 3Cnk+−11 + 3Cnk+−12 + Cnk+−13 = Cnk+ 1 + Cnk+−11 + 2 ( Cnk+−11 + Cnk+−12 ) + Cnk+−12 + Cnk+−13 = Cnk+ 2 + 2Cnk+−2 + Cnk+−22 = Cnk+ 2 + Cnk+−2 + Cnk+−2 + Cnk+−22 = Cnk+ 3 + Cnk+−3 = Cnk+ 4 = VP 1 1 1 1 ⇒ DPCM Bài 2: Chứng minh rằng: 2Cn + 5Cn +1 + 4Cn + 2 + Cn +3 = Cn + 22 + Cn +33 k k k k k+ k+ Giải: Ta có : Cnk + 2Cnk + 1 + Cnk + 2 = Cnk + Cnk + 1 + Cnk + 1 + Cnk + 2 = Cnk++11 + Cnk++12 = Cnk++22 Cnk + 3Cnk + 1 + 3Cnk + 2 + Cnk + 3 = Cnk + Cnk + 1 + 2 ( Cnk + 1 + Cnk + 2 ) + Cnk + 2 + Cnk + 3 = Cnk++11 + 2Cnk++12 + Cnk++13 = Cnk++11 + Cnk++12 + Cnk++12 + Cnk++13 = Cnk++22 + Cnk++23 = Cnk++33 ⇒ 2Cnk + 5Cnk + 1 + 4Cnk + 2 + Cnk + 3 = Cnk++22 + Cnk++33 Bài 3: Tính giá trị của biểu thức sau: S = C2010C2010 + C2010C2009 + ... + C2010C2010−−kk + ... + C2010 C10 0 2009 1 2008 k 2010 2009 Page 2 of 11
  3. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Giải: Ta có : C2010C2010−−kk = k 2009 2010! . ( 2010 − k ) ! = 2010! = 2010.2009! k !( 2010 − k ) ! (2009 − k )! k !( 2009 − k ) ! k !( 2009 − k ) ! = 2010C2009 k ⇒ S = 2010 ( C2009 + C2009 + ... + C2009 + ... + C2009 ) = 2010(1 + 1) 2009 = 1005.22010 0 1 k 2009 Bài 4: Với n, k là số nguyên dương và 1 ≤ k ≤ n . Chứng minh rằng: Cn Cnk − CnCnk−11 + Cn Cnk− 22 − ... + (−1)Cnk C0n − k = 0 0 1 − 2 − Giải: k ( 1 + x ) = Ck + C1 x + Ck x2 + ... + Ck xk 0 k 2 k Ta có :C m .Cn = k k! . n! = n! . ( n − m) ! k m !( k − m ) ! k !( n − k ) ! m !( n − m ) ! ( k − m ) !( n − k ) ! m k −m = Cn .Cn−m k ⇒ Cn ( 1 + x ) = Cn Cn + C1C k −1x + Cn C k −2 x 2 + ... + Cn C n−k x k k 0 k n n−1 2 k n−2 0 Thay x = −1 ⇒ Cn Cn − C1C k −1 + Cn C k −2 − ... + (−1)Cn C n−k = 0 ⇒ DPCM 0 k n n−1 2 k n−2 0 • BTVN NGÀY 09-04 Bài 1: Tìm2 số tự nhiên x, y sao cho: C xy+1 : C xy +1 : Cxy −1 = 6 : 5 : 2 Giải: Page 3 of 11
  4. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Điều kiện: 0 ≤ y ≤ x +1  Cxy+1 Cxy +1   = (1)  y ≥1  6 5 0 ≤ y + 1 ≤ x ⇔  ⇔ 0 ≤ y − 1 ≤ x  x ≥ y + 1  Cxy +1 Cxy −1  = (2)  5  2 1 ( x + 1)! 1 x! (1) ⇔ . = . ⇔ 5( x + 1)( y + 1) = 6( x − y )( x − y + 1) 6 y !( x − y + 1)! 5 ( y + 1)!( x − y − 1)! 1 x! 1 x! (2) ⇔ . = . ⇔ 2( x − y )( x − y + 1) = 5 y ( y + 1) 5 ( y + 1)!( x − y − 1)! 2 ( y − 1)!( x − y + 1)! 5( x + 1)( y + 1) = 6( x − y )( x − y + 1) ⇔ ⇔ 5( x + 1)( y + 1) = 15 y ( y + 1) ⇔ x + 1 = 3 y  2( x − y )( x − y + 1) = 5 y ( y + 1) ⇒ x = 3 y − 1thay vào (4) ⇒ 2(2 y − 1)(2 y ) = 5 y ( y + 1) ⇔ 4(2 y − 1) = 5 y + 5 ⇔ y = 3 ⇒ x = 8 ⇒ S = {(8;3)} Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 2 Axy + Cxy = 50   y ( x, y ∈ ¥ ) 5 Ax − 2Cx = 80 y  Giải Đặt: a = Axy  5a − 2b = 80 a = 20  ⇒ ⇒  b = Cxy  2a + b = 50 b = 10  x!  ( x − y )! = 20  y! = 2  x( x − 1) = 20  x 2 − x − 20 = 0   ⇒ ⇒  x! ⇒ ⇔  x! = 20  y = 2 y = 2 = 10  ( x − y )!   y !( x − y )!  x = 5 ⇔ y = 2 Bài 3: Giải bất phương trình: Page 4 of 11
  5. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 5 2 Cn −1 − Cn −1 − 4 3 An − 2 < 0 (n ∈ ¥ ) 4 Giải Điều kiện: n − 1 ≥ 4  n − 1 ≥ 3 ⇒ n ≥ 5 n − 2 ≥ 2  (n − 1)! (n − 1)! 5(n − 2)! n −1 n −1 5 ⇒ − − <0⇔ − − <0 (n − 1)!4! (n − 4)!3! 4(n − 4)! 24 6(n − 4) 4(n − 4) ⇔ (n − 1)(n − 4) − 4(n − 1) − 30 < 0 ⇔ n 2 − 9n − 22 < 0 ⇔ 5 ≤ n < 11 ⇒ S = { 5;6;7;8;9;10} Bài 4: Giải hệ phương trình sau:  Ax2 + C y = 22  3  3 ( x, y ∈ ¥ )  Ay + Cx = 66 2  Giải  2 1 2 1 2  b Cx = Ax = Ax a = Ax2 a + 6 = 22  2! 2   6a + b = 132 Vì :  . Coi :  ⇒ ⇔ b = Ay a + 2b = 132 3 C 3 = 1 A3 = 1 A3  b + a = 66   y 3! x 6 y  2   x!  6a + b = 132  a = 12  Ax2 = 12  ( x − 2)! = 12   ⇔ ⇔⇔  ⇔ 3 ⇔ b = 5a b = 60  Ay = 60   y ! = 60  ( x − 3)!  Page 5 of 11
  6. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408  x( x − 1) = 12 x = 4 x = 4 ⇔ ⇔ ⇔  y ( y − 1)( y − 2) = 60 ( y − 5)( y + 2 y + 12) = 0 y = 5 2 ⇒ S = { ( 4;5) } Bài 5: Giải PT: C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 220 − 1 (n ∈ ¥ ) 1 2 n Giải C2 n +1 + C22n +1 + ... + C2nn +1 = 220 − 1 1 Vì :(1 + 1)2 n +1 = C20n +1 + C2 n +1 + ... + C2nn +1 + C2nn++1 + ... + C22nn++11 1 1 Do : C2kn +1 = C22nn++11− k (∀ k = 0;2n + 1) ⇒ 22 n +1 = 2 ( C20n +1 + C2 n +1 + ... + C2nn +1 ) ⇒ C20n +1 + C2 n +1 + ... + C2nn +1 = 22 n 1 1 ⇒ 220 − 1 = C2 n +1 + ... + C2nn +1 = 22 n − 1 ⇒ 22 n = 220 ⇒ n = 10 1 • BTVN NGÀY 11-04 Bài 1: Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số và thõa mãn điều kiện: Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và tổng của 3 chữ số đầu kém tổng của 3 chữ số sau là 1 đơn vị? Giải Giả sử số có 6 chữ số là: a1a2 a3 a4 a5 a6 = AB  6  A = a1 + a2 + a3  A + B = ∑ k = 21  A = 10 Trong đó:  ⇒ k =1 ⇒  B = a4 + a5 + a6   B = 11  A − B = −1 Xét các khả năng làm xuất hiện bộ 3 số có tổng là 10 thì có: A = 1+ 3 + 6 = 1+ 4 + 5 = 2 + 3 + 5 Với mỗi bộ 3 số ta có: 3! Cách chọn A và 3! Cách chọn B tương ứng Page 6 of 11
  7. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Khi ấy có : 3!.3!=36 cách. Vậy có tất cả: 3.36=108 (số) Bài 2: Từ 9 số 0,1,2,…,8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau. Giải Ta có 2 trường hợp sau: • TH1: a1a2 a3 a4 a5 a6 0 Như vậy 6 vị trí còn lại được chọn (có thứ tự) từ 8 số kia ( khác 0) Có: A86 = 20160 • TH2: a1a2 a3a4 a5 a6 a7 với a7 ∈ { 2; 4; 6;8} Vậy có 4 cách chọn a7 Và 6 vị trí còn lại được chọn (có thứ tự) từ 8 số kia nhưng loại đi những số đứng đầu là số 0. Vậy có: 4( A8 − A7 ) = 70560 6 5 Vậy có tất cả: 20160+70560=90720 (số) Bài 3: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hồng này xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra 1 bó hoa gồm 7 bông: a) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có đúng 1 bông đỏ. b) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông vàng và ít nhất 3 bông đỏ? Giải: a) Có 3 khả năng xảy ra là: Page 7 of 11
  8. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 * ( 1D ;3T ;3V )  * ( 1D ; 2T ; 4V )  * ( 1D ;1T ;5V ) Vậy có tất cả: C4 .C33 .C5 + C4 .C32 .C54 + C4 .C3 .C5 = 112 1 3 1 1 1 5 b) Cũng có 3 khả năng là: * ( 3V ;3D ;1T )  * ( 3V ; 4 D )  * ( 4V ;3D ) Vậy có tất cả: C4 .C53 .C3 + C5 .C4 + C54 .C4 = 150 3 1 3 4 3 Bài 4: Có 12 giống cây 3 loại: Xoài, mít, ổi .Trong đó có 6 xoài, 4 mít, 2 ổi. Chọn ra 6 giống để trồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số cậy mít nhiều hơn số cây ổi? Giải: Có 3 trường hợp lien quan đến việc chịn ra cây ổi: • TH1: ( Không có ổi) Vì: 6=4+2 nên chỉ có 4 mít và 2 xoài. Vậy có: C4 .C6 4 2 = 15 • TH2: ( Có 1 ổi). Vì: 5=4+1=3+2 nên có 3 mít và 1 xoài, hay 3 mít và 2 xoài. Vậy có: C2C44 .C6 + C2 .C4 .C62 = 132 1 1 1 3 • TH3: (Có 2 ổi). Vì: 4=3+1 nên chỉ có 3 mít và 1 xoài. Vậy có: C22 .C4 .C6 = 24 3 1 Vậy có tất cả: 15+132+24=171 (cách) Bài 5: Page 8 of 11
  9. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Một đội văn nghệ có 15 người gồm: 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập 1 đội văn nghệ gồm 8 người, sao cho có ít nhất 3 nữ? Giải: 8 Số cách chọn ngẫu nhiên 8 người là: C15 Xét 3 trường hợp: 8 • Không có nữ: Có C10 1 7 • Có 1 nữ: Có C5 .C10 2 6 • Có 2 nữ: Có C5 .C10 8 ( Vậy có tất cả: C15 − C10 + C5 .C10 + C5 .C10 = 3690 8 1 7 2 6 ) Bài 6: Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9. Giải:  6  a1a2 a3a4 a5 a6 M ⇔  ∑ ak M 9 9  k =1  Chúng là: 100008;100017;100028;…;999999 Như vậy ta thấy các chữ số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 lập thành 1 cấp số cộng: u1 = 100017  un = 999999 ⇒ un = (n − 1)d ⇔ 999999 = 18(n − 1) ⇔ n = 50000 d = 18  Vậy có 50000 số thõa mãn. Bài 7: Page 9 of 11
  10. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số. Sao cho tổng các chữ số của mỗi số là số lẻ. Giải: Vì : Lẻ= chẵn + lẻ nên: Khi xét số có 5 chữ số: a1a2 a3a4 a5 ta có 2 khả năng: • Nếu a1 + a2 + a3 + a4 chẵn thì a5 = { 1;3;5; 7;9} • Nếu a1 + a2 + a3 + a4 lẻ thì a5 = { 0; 2; 4; 6;8} Mặt khác: Số các chữ số có 4 chữ số a1a2 a3 a4 là: 9.10.10.10 = 9.103 Mà mỗi số đó sinh ra 5 số có 5 chữ số. Vậy có tất cả là: 5.9.103 = 45000 (Số) Bài 8: Một tổ học sinh có 20 em, trong đó 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết tiếng Pháp, 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần lập 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm? Giải: Để lập nhóm ta tiến hành 3 bước: • Chọn 3 em biết tiếng Anh từ 8 em: Có C83 cách 4 • Chọn 4 em biết tiếng Pháp từ 7 em: Có C7 cách • Chọn 2 em biết tiếng Đức từ 5 em: Có C52 cách Vậy có tất cả: C8 .C7 .C5 = 19600 ( Cách) 3 4 2 Bài 9: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau, người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy vào 3 bì thư đã chọn ( Mỗi bì thư chỉ dán 1 tem). Có bao nhiêu cách làm như vậy? Giải: Ta có: Page 10 of 11
  11. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 • Số cách chọn tem thư là: C53 3 • Số cách chọn bì thư là: C6 • 3! Cách dán tem. Vậy số cách làm là: C5 .C6 .3! = 1200 3 3 Bài 10: Có nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó có 2 chữ số kề nhau phải khác nhau? Giải: α = a1a2 a3 a4 a5   Đặt: E = { 0;1; 2...;9} và số có 5 chữ số là: ai ∈ E; i = 1;5 a ≠ 0  1  Ta có: a1 được chọn từ tập E\{0} => Có 9 cách. a2 được chọn từ tập E\{ a1} => Có 9 cách. a3 được chọn từ tập E\{ a2} => Có 9 cách. a4 được chọn từ tập E\{ a3} => Có 9 cách. A5 được chọn từ tập E\{ a4} => Có 9 cách. Vậy số các số thõa mãn là: 9.9.9.9.9=59049 ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Page 11 of 11

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản