Vui lòng download xuống để xem tài liệu đầy đủ.

Giải các phương trình liên quan đến tổ hợp - chỉnh hợp (Bài tập và hướng dẫn giải)

Chia sẻ: | Ngày: doc 11 p | 117

0
599
views

Tham khảo tài liệu 'giải các phương trình liên quan đến tổ hợp - chỉnh hợp (bài tập và hướng dẫn giải)', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Giải các phương trình liên quan đến tổ hợp - chỉnh hợp (Bài tập và hướng dẫn giải)
Nội dung Text

  1. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 09 tháng 04 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 BTVN NGÀY 09-04 Giải phương trình liên quan đến tổ hợp, chỉnh hợp. Bài 1: Tìm2 số tự nhiên x, y sao cho: C xy+1 : C xy +1 : C xy −1 = 6 : 5 : 2 Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 2 Axy + Cxy = 50   y ( x, y ∈ ¥ ) 5 Ax − 2Cx = 80 y  Bài 3: Giải bất phương trình: 5 2 Cn −1 − Cn −1 − 4 3 An − 2 < 0 (n ∈ ¥ ) 4 Bài 4: Giải hệ phương trình sau:  Ax2 + C y = 22  3  3 ( x, y ∈ ¥ )  Ay + C x = 66 2  Bài 5: Giải PT: C2 n +1 + C22n +1 + ... + C2 n +1 = 220 − 1 (n ∈ ¥ ) 1 n ………………….Hết……………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
  2. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 HDG CÁC BTVN • BTVN NGÀY 08-04 Bài 1: Chứng minh rằng với k , n ∈ ¥ ; 2 ≤ k ≤ n luôn có: Cn + 4Cn −1 + 6Cn − 2 + 4Cnk −3 + Cn − 4 = Cn + 4 k k k k k Giải: Ta có : VT = Cnk + Cnk −1 + 3 ( Cnk −1 + Cnk − 2 ) + 3 ( Cnk − 2 + Cnk − 3 ) + Cnk − 3 + Cnk − 4 = Cnk+1 + 3Cnk+−11 + 3Cnk+−12 + Cnk+−13 = Cnk+ 1 + Cnk+−11 + 2 ( Cnk+−11 + Cnk+−12 ) + Cnk+−12 + Cnk+−13 = Cnk+ 2 + 2Cnk+−2 + Cnk+−22 = Cnk+ 2 + Cnk+−2 + Cnk+−2 + Cnk+−22 = Cnk+ 3 + Cnk+−3 = Cnk+ 4 = VP 1 1 1 1 ⇒ DPCM Bài 2: Chứng minh rằng: 2Cn + 5Cn +1 + 4Cn + 2 + Cn +3 = Cn + 22 + Cn +33 k k k k k+ k+ Giải: Ta có : Cnk + 2Cnk + 1 + Cnk + 2 = Cnk + Cnk + 1 + Cnk + 1 + Cnk + 2 = Cnk++11 + Cnk++12 = Cnk++22 Cnk + 3Cnk + 1 + 3Cnk + 2 + Cnk + 3 = Cnk + Cnk + 1 + 2 ( Cnk + 1 + Cnk + 2 ) + Cnk + 2 + Cnk + 3 = Cnk++11 + 2Cnk++12 + Cnk++13 = Cnk++11 + Cnk++12 + Cnk++12 + Cnk++13 = Cnk++22 + Cnk++23 = Cnk++33 ⇒ 2Cnk + 5Cnk + 1 + 4Cnk + 2 + Cnk + 3 = Cnk++22 + Cnk++33 Bài 3: Tính giá trị của biểu thức sau: S = C2010C2010 + C2010C2009 + ... + C2010C2010−−kk + ... + C2010 C10 0 2009 1 2008 k 2010 2009 Page 2 of 11
  3. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Giải: Ta có : C2010C2010−−kk = k 2009 2010! . ( 2010 − k ) ! = 2010! = 2010.2009! k !( 2010 − k ) ! (2009 − k )! k !( 2009 − k ) ! k !( 2009 − k ) ! = 2010C2009 k ⇒ S = 2010 ( C2009 + C2009 + ... + C2009 + ... + C2009 ) = 2010(1 + 1) 2009 = 1005.22010 0 1 k 2009 Bài 4: Với n, k là số nguyên dương và 1 ≤ k ≤ n . Chứng minh rằng: Cn Cnk − CnCnk−11 + Cn Cnk− 22 − ... + (−1)Cnk C0n − k = 0 0 1 − 2 − Giải: k ( 1 + x ) = Ck + C1 x + Ck x2 + ... + Ck xk 0 k 2 k Ta có :C m .Cn = k k! . n! = n! . ( n − m) ! k m !( k − m ) ! k !( n − k ) ! m !( n − m ) ! ( k − m ) !( n − k ) ! m k −m = Cn .Cn−m k ⇒ Cn ( 1 + x ) = Cn Cn + C1C k −1x + Cn C k −2 x 2 + ... + Cn C n−k x k k 0 k n n−1 2 k n−2 0 Thay x = −1 ⇒ Cn Cn − C1C k −1 + Cn C k −2 − ... + (−1)Cn C n−k = 0 ⇒ DPCM 0 k n n−1 2 k n−2 0 • BTVN NGÀY 09-04 Bài 1: Tìm2 số tự nhiên x, y sao cho: C xy+1 : C xy +1 : Cxy −1 = 6 : 5 : 2 Giải: Page 3 of 11
  4. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Điều kiện: 0 ≤ y ≤ x +1  Cxy+1 Cxy +1   = (1)  y ≥1  6 5 0 ≤ y + 1 ≤ x ⇔  ⇔ 0 ≤ y − 1 ≤ x  x ≥ y + 1  Cxy +1 Cxy −1  = (2)  5  2 1 ( x + 1)! 1 x! (1) ⇔ . = . ⇔ 5( x + 1)( y + 1) = 6( x − y )( x − y + 1) 6 y !( x − y + 1)! 5 ( y + 1)!( x − y − 1)! 1 x! 1 x! (2) ⇔ . = . ⇔ 2( x − y )( x − y + 1) = 5 y ( y + 1) 5 ( y + 1)!( x − y − 1)! 2 ( y − 1)!( x − y + 1)! 5( x + 1)( y + 1) = 6( x − y )( x − y + 1) ⇔ ⇔ 5( x + 1)( y + 1) = 15 y ( y + 1) ⇔ x + 1 = 3 y  2( x − y )( x − y + 1) = 5 y ( y + 1) ⇒ x = 3 y − 1thay vào (4) ⇒ 2(2 y − 1)(2 y ) = 5 y ( y + 1) ⇔ 4(2 y − 1) = 5 y + 5 ⇔ y = 3 ⇒ x = 8 ⇒ S = {(8;3)} Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 2 Axy + Cxy = 50   y ( x, y ∈ ¥ ) 5 Ax − 2Cx = 80 y  Giải Đặt: a = Axy  5a − 2b = 80 a = 20  ⇒ ⇒  b = Cxy  2a + b = 50 b = 10  x!  ( x − y )! = 20  y! = 2  x( x − 1) = 20  x 2 − x − 20 = 0   ⇒ ⇒  x! ⇒ ⇔  x! = 20  y = 2 y = 2 = 10  ( x − y )!   y !( x − y )!  x = 5 ⇔ y = 2 Bài 3: Giải bất phương trình: Page 4 of 11
  5. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 5 2 Cn −1 − Cn −1 − 4 3 An − 2 < 0 (n ∈ ¥ ) 4 Giải Điều kiện: n − 1 ≥ 4  n − 1 ≥ 3 ⇒ n ≥ 5 n − 2 ≥ 2  (n − 1)! (n − 1)! 5(n − 2)! n −1 n −1 5 ⇒ − − <0⇔ − − <0 (n − 1)!4! (n − 4)!3! 4(n − 4)! 24 6(n − 4) 4(n − 4) ⇔ (n − 1)(n − 4) − 4(n − 1) − 30 < 0 ⇔ n 2 − 9n − 22 < 0 ⇔ 5 ≤ n < 11 ⇒ S = { 5;6;7;8;9;10} Bài 4: Giải hệ phương trình sau:  Ax2 + C y = 22  3  3 ( x, y ∈ ¥ )  Ay + Cx = 66 2  Giải  2 1 2 1 2  b Cx = Ax = Ax a = Ax2 a + 6 = 22  2! 2   6a + b = 132 Vì :  . Coi :  ⇒ ⇔ b = Ay a + 2b = 132 3 C 3 = 1 A3 = 1 A3  b + a = 66   y 3! x 6 y  2   x!  6a + b = 132  a = 12  Ax2 = 12  ( x − 2)! = 12   ⇔ ⇔⇔  ⇔ 3 ⇔ b = 5a b = 60  Ay = 60   y ! = 60  ( x − 3)!  Page 5 of 11
  6. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408  x( x − 1) = 12 x = 4 x = 4 ⇔ ⇔ ⇔  y ( y − 1)( y − 2) = 60 ( y − 5)( y + 2 y + 12) = 0 y = 5 2 ⇒ S = { ( 4;5) } Bài 5: Giải PT: C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 220 − 1 (n ∈ ¥ ) 1 2 n Giải C2 n +1 + C22n +1 + ... + C2nn +1 = 220 − 1 1 Vì :(1 + 1)2 n +1 = C20n +1 + C2 n +1 + ... + C2nn +1 + C2nn++1 + ... + C22nn++11 1 1 Do : C2kn +1 = C22nn++11− k (∀ k = 0;2n + 1) ⇒ 22 n +1 = 2 ( C20n +1 + C2 n +1 + ... + C2nn +1 ) ⇒ C20n +1 + C2 n +1 + ... + C2nn +1 = 22 n 1 1 ⇒ 220 − 1 = C2 n +1 + ... + C2nn +1 = 22 n − 1 ⇒ 22 n = 220 ⇒ n = 10 1 • BTVN NGÀY 11-04 Bài 1: Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số và thõa mãn điều kiện: Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và tổng của 3 chữ số đầu kém tổng của 3 chữ số sau là 1 đơn vị? Giải Giả sử số có 6 chữ số là: a1a2 a3 a4 a5 a6 = AB  6  A = a1 + a2 + a3  A + B = ∑ k = 21  A = 10 Trong đó:  ⇒ k =1 ⇒  B = a4 + a5 + a6   B = 11  A − B = −1 Xét các khả năng làm xuất hiện bộ 3 số có tổng là 10 thì có: A = 1+ 3 + 6 = 1+ 4 + 5 = 2 + 3 + 5 Với mỗi bộ 3 số ta có: 3! Cách chọn A và 3! Cách chọn B tương ứng Page 6 of 11
  7. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Khi ấy có : 3!.3!=36 cách. Vậy có tất cả: 3.36=108 (số) Bài 2: Từ 9 số 0,1,2,…,8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau. Giải Ta có 2 trường hợp sau: • TH1: a1a2 a3 a4 a5 a6 0 Như vậy 6 vị trí còn lại được chọn (có thứ tự) từ 8 số kia ( khác 0) Có: A86 = 20160 • TH2: a1a2 a3a4 a5 a6 a7 với a7 ∈ { 2; 4; 6;8} Vậy có 4 cách chọn a7 Và 6 vị trí còn lại được chọn (có thứ tự) từ 8 số kia nhưng loại đi những số đứng đầu là số 0. Vậy có: 4( A8 − A7 ) = 70560 6 5 Vậy có tất cả: 20160+70560=90720 (số) Bài 3: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hồng này xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra 1 bó hoa gồm 7 bông: a) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có đúng 1 bông đỏ. b) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông vàng và ít nhất 3 bông đỏ? Giải: a) Có 3 khả năng xảy ra là: Page 7 of 11
  8. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 * ( 1D ;3T ;3V )  * ( 1D ; 2T ; 4V )  * ( 1D ;1T ;5V ) Vậy có tất cả: C4 .C33 .C5 + C4 .C32 .C54 + C4 .C3 .C5 = 112 1 3 1 1 1 5 b) Cũng có 3 khả năng là: * ( 3V ;3D ;1T )  * ( 3V ; 4 D )  * ( 4V ;3D ) Vậy có tất cả: C4 .C53 .C3 + C5 .C4 + C54 .C4 = 150 3 1 3 4 3 Bài 4: Có 12 giống cây 3 loại: Xoài, mít, ổi .Trong đó có 6 xoài, 4 mít, 2 ổi. Chọn ra 6 giống để trồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số cậy mít nhiều hơn số cây ổi? Giải: Có 3 trường hợp lien quan đến việc chịn ra cây ổi: • TH1: ( Không có ổi) Vì: 6=4+2 nên chỉ có 4 mít và 2 xoài. Vậy có: C4 .C6 4 2 = 15 • TH2: ( Có 1 ổi). Vì: 5=4+1=3+2 nên có 3 mít và 1 xoài, hay 3 mít và 2 xoài. Vậy có: C2C44 .C6 + C2 .C4 .C62 = 132 1 1 1 3 • TH3: (Có 2 ổi). Vì: 4=3+1 nên chỉ có 3 mít và 1 xoài. Vậy có: C22 .C4 .C6 = 24 3 1 Vậy có tất cả: 15+132+24=171 (cách) Bài 5: Page 8 of 11
  9. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Một đội văn nghệ có 15 người gồm: 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập 1 đội văn nghệ gồm 8 người, sao cho có ít nhất 3 nữ? Giải: 8 Số cách chọn ngẫu nhiên 8 người là: C15 Xét 3 trường hợp: 8 • Không có nữ: Có C10 1 7 • Có 1 nữ: Có C5 .C10 2 6 • Có 2 nữ: Có C5 .C10 8 ( Vậy có tất cả: C15 − C10 + C5 .C10 + C5 .C10 = 3690 8 1 7 2 6 ) Bài 6: Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9. Giải:  6  a1a2 a3a4 a5 a6 M ⇔  ∑ ak M 9 9  k =1  Chúng là: 100008;100017;100028;…;999999 Như vậy ta thấy các chữ số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 lập thành 1 cấp số cộng: u1 = 100017  un = 999999 ⇒ un = (n − 1)d ⇔ 999999 = 18(n − 1) ⇔ n = 50000 d = 18  Vậy có 50000 số thõa mãn. Bài 7: Page 9 of 11
  10. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số. Sao cho tổng các chữ số của mỗi số là số lẻ. Giải: Vì : Lẻ= chẵn + lẻ nên: Khi xét số có 5 chữ số: a1a2 a3a4 a5 ta có 2 khả năng: • Nếu a1 + a2 + a3 + a4 chẵn thì a5 = { 1;3;5; 7;9} • Nếu a1 + a2 + a3 + a4 lẻ thì a5 = { 0; 2; 4; 6;8} Mặt khác: Số các chữ số có 4 chữ số a1a2 a3 a4 là: 9.10.10.10 = 9.103 Mà mỗi số đó sinh ra 5 số có 5 chữ số. Vậy có tất cả là: 5.9.103 = 45000 (Số) Bài 8: Một tổ học sinh có 20 em, trong đó 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết tiếng Pháp, 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần lập 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm? Giải: Để lập nhóm ta tiến hành 3 bước: • Chọn 3 em biết tiếng Anh từ 8 em: Có C83 cách 4 • Chọn 4 em biết tiếng Pháp từ 7 em: Có C7 cách • Chọn 2 em biết tiếng Đức từ 5 em: Có C52 cách Vậy có tất cả: C8 .C7 .C5 = 19600 ( Cách) 3 4 2 Bài 9: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau, người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy vào 3 bì thư đã chọn ( Mỗi bì thư chỉ dán 1 tem). Có bao nhiêu cách làm như vậy? Giải: Ta có: Page 10 of 11
  11. TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 • Số cách chọn tem thư là: C53 3 • Số cách chọn bì thư là: C6 • 3! Cách dán tem. Vậy số cách làm là: C5 .C6 .3! = 1200 3 3 Bài 10: Có nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó có 2 chữ số kề nhau phải khác nhau? Giải: α = a1a2 a3 a4 a5   Đặt: E = { 0;1; 2...;9} và số có 5 chữ số là: ai ∈ E; i = 1;5 a ≠ 0  1  Ta có: a1 được chọn từ tập E\{0} => Có 9 cách. a2 được chọn từ tập E\{ a1} => Có 9 cách. a3 được chọn từ tập E\{ a2} => Có 9 cách. a4 được chọn từ tập E\{ a3} => Có 9 cách. A5 được chọn từ tập E\{ a4} => Có 9 cách. Vậy số các số thõa mãn là: 9.9.9.9.9=59049 ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Page 11 of 11

Có Thể Bạn Muốn Download

Đồng bộ tài khoản