Giải tích (Cơ sở) - Bài 2: Hàm đo ngược

Chia sẻ: Phuc Phuc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

0
245
lượt xem
95
download

Giải tích (Cơ sở) - Bài 2: Hàm đo ngược

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu học tập tham khảo môn giải tích cơ sở - phần 3: độ đo và tích phân, chuyên ngành giải tích, phương pháp dạy học toán, bài số 2: Hàm đo ngược.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Giải tích (Cơ sở) - Bài 2: Hàm đo ngược

  1. GI I TÍCH (CƠ S ) Ph n 3. Đ Đo Và Tích Phân Chuyên ngành: Gi i Tích, PPDH Toán §2. HÀM ĐO ĐƯ C (Phiên b n đã ch nh s a) PGS TS Nguy n Bích Huy Ngày 1 tháng 3 năm 2006 PH N LÝ THUY T 1. Đ nh nghĩa: Cho m t không gian đo đư c (X, F), t p A ∈ F và hàm f : A → R. V i a ∈ R, ta s ký hi u: A[f < a] = {x ∈ A : f (x) < a} Các t p h p A[f ≤ a], A[f > a], A[f ≥ a] đư c đ nh nghĩa tương t . Ta nói hàm f đo đư c trên A (đo đư c đ i v i σ-đ i s F hay F-đo đư c) n u: A[f < a] ∈ F, ∀a ∈ R Đ nh lý 1: Các m nh đ sau tương đương 1) f đo đư c trên A 2) A[f ≤ a] ∈ F, ∀a ∈ R 3) A[f > a] ∈ F, ∀a ∈ R 4) A[f ≥ a] ∈ F, ∀a ∈ R 2. M t s l p hàm đo đư c Cho không gian đo đư c (X, F). Các t p h p đư c xét dư i đây luôn gi thi t là thu c F. 1) Hàm h ng s là đo đư c. Hàm đ c trưng 1A c a t p A là đo đư c khi và ch khi A ∈ F. 2) N u f đo đư c trên A và B ⊂ A thì f đo đư c trên B ∞ N u f đo đư c trên m i An (n ∈ N∗ ) thì f đo đư c trên ∪ An n=1 3) Gi s các hàm f, g đo đư c trên A và ch nh n các giá tr h u h n. Khi đó các hàm sau cũng đo đư c trên A : |f |, |f |α (α > 0), f + g, f.g, f (n u g(x) = 0 ∀x ∈ A) g 4) Gi s các hàm fn đo đư c trên A (n ∈ N∗ ). Khi đó các hàm sau cũng đo đư c trên A a) g(x) = sup{fn (x) : n ∈ N∗ }, h(x) = inf {fn (x) : n ∈ N∗ } b) f (x) = lim fn (x), n u gi i h n t n t i t i m i x ∈ A. n→∞ 1
  2. 3. Hàm đo đư c theo Lebesgue Hàm đo đư c đ i v i σ-đ i s các t p (L) đo đư c g i là hàm đo đư c theo Lebesgue hay (L) đo đư c Đ nh lý 2 N u A ⊂ R là t p (L)-đo đư c và hàm f : A → R liên t c thì f là hàm (L)-đo đư c. 4. Hàm đơn gi n Đ nh nghĩa : Cho không gian đo đư c (X, F) và t p A ∈ S. Hàm f : A → R g i là hàm đơn gi n n u nó có d ng n f (x) = ai 1Ai (x) i=1 n trong đó : Ai ∈ F, (i = 1, n), Ai ∩ Aj = ∅ (i = j), ∪ An = A và 1Ai là hàm đ c trưng i=1 c a t p Ai Như v y, hàm đơn gi n là hàm đo đư c, ch nh n h u h n giá tr . Đ nh lý 3 N u f là hàm không âm, đo đư c trên A thì t n t i dãy {sn } các hàm đơn gi n trên A sao cho i) 0 ≤ sn (x) ≤ sn+1 (x), ∀x ∈ A ii) lim sn (x) = f (x), ∀x ∈ A n→∞ 2
  3. PH N BÀI T P Bài 1 : Cho hàm f : X → R đo đư  c và các s a, b ∈ R, a < b. Ch ng minh r ng hàm  f (x) n u a ≤ f (x) ≤ b g(x) = a n u f (x) < a là đo đư c trên X. b n u f (x) > b  GI I: Cách 1: Đ t A1 = X[a ≤ f ≤ b], A2 = X[f < a], A3 = X[f > b], ta có: Ak ∈ F , k = 1, 2, 3, A1 ∪ A2 ∪ A3 = X   f (x) x ∈ A1 g(x) = a x ∈ A2 b x ∈ A3  g đo đư c trên A2 và A3 vì là hàm h ng trên các t p này g đo đư c trên A1 vì f đo đư c trên A1 Do đó g đo đư c trên A1 ∪ A2 ∪ A3 = X. Cách 2: Ta d dàng ki m tra r ng g(x) = min{b, max{a, f (x)}} T các hàm đo đư c qua phép l y max, min ta nh n đư c hàm đo đư c. Do đó g đo đư c. Bài 2 : 1) Cho các hàm f, g : X → R đo đư c. Ch ng minh t p A := {x ∈ X : f (x) = g(x)} là đo đư c (nghĩa là thu c F). 2) Cho dãy hàm {fn } đo đư c trên X. Ch ng minh r ng t p B := {x ∈ X : lim fn (x) t n t i} đo đư c. n→∞ GI I: 1) Cách 1: Đ t A1 = {x ∈ X : f (x) < g(x)}, A2 = {x ∈ X : g(x) < f (x)} Ta ch ng minh A1 , A2 ∈ F. . Ta vi t t p Q thành dãy {rn }. Ta th y f (x) < g(x) ⇔ ∃n : f (x) < rn < g(x) Do đó: ∞ A1 = {x ∈ X : f (x) < rn < g(x)} n=1 ∞ = (X[f < rn ] ∩ X[g > rn ]) n=1 nên A1 ∈ F. Ch ng minh A2 ∈ F tương t . . Do A = X\(A1 ∪ A2 ) nên A ∈ F Cách 2: Đ t A1 = {x ∈ X : f (x) = +∞}, A2 = {x ∈ X : f (x) = −∞} A3 = {x ∈ X : g(x) = +∞}, A4 = {x ∈ X : g(x) = −∞} 4 Y = X\ Ak k=1 Ta có th ch ng minh Ak , Y ∈ F và 3
  4. A = (A1 ∩ A3 ) ∪ (A2 ∩ A4 ) ∪ Y [f − g = 0] Chú ý r ng trên Y thì f, g đo đư c, ch nh n giá tr h u h n nên f − g đo đư c trên Y và do đó Y [f − g = 0] ∈ F. 2) Đ t f (x) = lim fn (x), g(x) = lim fn (x) n→∞ n→∞ . Theo đ nh nghĩa, ta có f (x) = lim (inf fk (x)), g(x) = lim (sup fk (x)) n→∞ k≥n n→∞ k≥n Các hàm Fn (x) := inf fk (x) đo đư c nên f (x) = lim Fn (x) đo đư c k≥n n→∞ Tương t , ta có g đo đư c . Ta có B = {x ∈ X : f (x) = g(x)} nên áp d ng câu 1) có B ∈ F Bài 3 : Cho không gian đ đo (X, F, µ), A ∈ F và hàm f : A → R đo đư c. 1) Đ t An = {x ∈ A : |f (x)| ≤ n}, n ∈ N∗ . Ch ng minh lim µ(Bn ) = µ(A). n→∞ 2) Gi s µ(A) < ∞. Ch ng minh r ng v i m i > 0, t n t i t p B ⊂ A, B ⊂ F sao cho µ(A\B) < , f b ch n trên B GI I: 1) Ta có: An ∈ F (vì |f | đo đư c), An ⊂ An+1 ∞ A= An (do f ch nh n giá tr h u h n) n=1 Do đó lim µ(An ) = µ(A) n→∞ 2) Do µ(A) < ∞ nên µ(A\An ) = µ(A) − µ(An ). Do đó lim µ(A\An ) = 0 n→∞ Chú ý r ng f b ch n trên An . Do đó ta ch c n ch n B = An khi n đ l n. Bài 4 : Cho không gian đo đư c (X, F) và các hàm f1 , f2 : X → R đo đư c, hàm F : R2 → R liên t c. Ch ng minh r ng hàm g : X → R, g(x) = F (f1 (x), f2 (x)) đo đư c GI I Ta xét ánh x ϕ : X → R2 , ϕ(x) = (f1 (x), f2 (x)). Ta có . g(x) = (F0 ϕ)(x) . X[g < a] = g −1 ((−∞, a)) = ϕ−1 (F −1 ((−∞, a)))] (1) −1 2 T p A := F ((−∞, a)) là t p m trong R (do f liên t c) nên là h p c a đ m đư c các hình ch nh t m : ∞ A= In × Jn , In = (an , bn ), Jn = (cn , dn ) (2) n=1 T (1),(2) ta có: ∞ ∞ X[g < a] = ϕ−1 (In × Jn ) = {x ∈ X : (f1 (x), f2 (x)) ∈ In × Jn } n=1 n=1 ∞ = ({x : an < f1 (x) < bn } ∩ {x : cn < f2 (x) < dn }) n=1 ⇒ X[g < a] ∈ F ∀a ∈ R Bài 5 : Cho hàm f : (a, b) → R khà vi trên (a, b) a < b; a, b ∈ R. Ch ng minh r ng hàm f 4
  5. là (L)-đo đư c trên (a, b) GI I Xét các hàm fn : (a, b) → R xác đ nh như sau 1 1 n f x+ − f (x) , n u x ∈ a, b − n fn (x) = n 1 , n ∈ N∗ c , n u x ∈ b − n, b Ta có (1) lim fn (x) = f (x) ∀x ∈ (a, b) n→∞ 1 Th t v y v i x ∈ (a, b) ta có x < b − n khi n đ l n, do đó 1 lim fn (x) = lim n f x + n − f (x) = f (x) n→∞ n→∞ (2) fn là (L)-đo đư c trên (a, b) 1 1 Th t v y, trên (a, b − n ) hàm fn liên t c (vì f kh vi nên f liên t c) trên b − n , b fn cũng là hàm liên t c nên fn là (L)- đo đư c) T (1),(2) ta có f là (L)-đo đư c. 5
Đồng bộ tài khoản