Giải tích II

Chia sẻ: quangngoc368

Sách dùng cho sinh viên trường Đại học xây dựng và sinh viên trường đại học, cao đẳng kĩ thuật

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Giải tích II

MôC LôC



1 Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè 3
1.1 Kh«ng gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 ChuÈn vµ kho¶ng c¸ch trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 L©n cËn, tËp ®ãng, tËp më vµ tËp bÞ chÆn . . . . . . . . . 4
1.1.3 Giíi h¹n cña d·y ®iÓm trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 ¸nh x¹, giíi h¹n vµ liªn tôc cña ¸nh x¹ . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Giíi h¹n cña ¸nh x¹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Giíi h¹n lÆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 Hµm liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17




1
gi¶i tÝch II




S¸ch dïng cho sinh viªn tr-êng §¹i häc x©y dùng
vµ sinh viªn c¸c tr-êng §¹i häc, Cao ®¼ng kÜ thuËt




2
Ch-¬ng 1

Hµm sè nhiÒu biÕn sè,
hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè

1.1 Kh«ng gian Rn
1.1.1 ChuÈn vµ kho¶ng c¸ch trong Rn
Phï hîp víi kÝ hiÖu trong gi¸o tr×nh §¹i sè vµ Gi¶i tÝch I, trong s¸ch nµy ta kÝ
hiÖu R lµ tËp c¸c sè thùc, Rn lµ kh«ng gian vÐc t¬ víi c¸c phÐp to¸n
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, · · · , un + vn )
αu = α(u1 , u2, ..., un) = (αu1 , αu2 , ..., αun)
víi mäi α ∈ R, u = (u1 , u2, ..., un), v = (v1, v2, ..., vn) ∈ Rn . C¸c vÐc t¬ thuéc
Rn , trong gi¸o tr×nh nµy cßn ®-îc gäi lµ c¸c ®iÓm trong kh«ng gian Rn vµ ngoµi
c¸c kÝ hiÖu ta th-êng sö dông lµ c¸c ch÷ in ®Ëm nh- a, b, u, v, ... ta cßn kÝ hiÖu
chóng b»ng c¸c ch÷ in hoa nh- M, N, A, B, ...
Kh«ng gian Rn lµ kh«ng gian ¬clit víi tÝch v« h-íng
u, v = u1 v1 + u2v2 + · · · + un vn .

§é dµi cña vÐc t¬ u = (u1 , u2, ..., un) ∈ Rn , kÝ hiÖu |u|, ®-îc gäi lµ chuÈn trong
kh«ng gian Rn
|u| = u2 + u2 + · · · + u2
1 2 n

ChuÈn cña vÐc t¬ u tÝnh theo c«ng thøc trªn cßn ®-îc gäi lµ chuÈn ¬clit trong
Rn . Thùc chÊt chuÈn cña vÐc t¬ lµ mét ¸nh x¹ tõ Rn vµo R, nã cã c¸c tÝnh chÊt

3
4 Ch-¬ng I. Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè

• Víi mäi u ∈ Rn , |u| 0, ®ång thêi |u| = 0 khi vµ chØ khi u = 0.
• |λu| = |λ| · |u| víi mäi λ ∈ R mäi u ∈ Rn .
• |u + v| |u| + |v| víi mäi u, v ∈ Rn (bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c).
Chó ý r»ng ¸nh x¹ |x| : Rn → R ®-îc x¸c ®Þnh
|x| = max |xi| x = (x1, x2 , ..., xn)
1 i n

còng tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt trªn nh- chuÈn ¬clit, nã cßn ®-îc gäi lµ chuÈn max
trong Rn . L-u ý r»ng ta cã thÓ cã nhiÒu chuÈn kh¸c nhau trªn kh«ng gian Rn ,
trong gi¸o tr×nh nµy ta h¹n chÕ chØ xÐt chuÈn ¬clit.
§Ó x©y dùng kh¸i niÖm giíi h¹n, kh¸i niÖm c¬ b¶n cña gi¶i tÝch trªn Rn , còng
nh- trong gi¶i tÝch I, ta cÇn kh¸i niÖm vÒ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt k× trong
kh«ng gian Rn .
Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm x = (x1 , x2, ..., xn), y = (y1 , y2, ..., yn) ∈ Rn ®-îc
x¸c ®Þnh
n
d(x, y) = |x − y| = (xi − yi )2
i=1

Tõ c¸c tÝnh chÊt cña chuÈn, ta suy ra c¸c tÝnh chÊt cña kho¶ng c¸ch
• Víi mäi x, y ∈ Rn , d(x, y) 0 vµ d(x, y) = 0 khi vµ chØ khi x = y.
• d(x, y) = d(y, x) víi mäi x, y ∈ Rn .
• d(x, z) d(x, y) + d(y, z) víi mäi x, y, z ∈ Rn (bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c).
Chó ý kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm x, y ∈ Rn cã thÓ ®-îc x¸c ®Þnh th«ng qua
chuÈn max
d (x, y) = |x − y| = max |xi − yi |.
1 i n

Kho¶ng c¸ch d còng tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt trªn.


1.1.2 L©n cËn, tËp ®ãng, tËp më vµ tËp bÞ chÆn
§Þnh nghÜa 1.1.1 Gi¶ sö a lµ ®iÓm thuéc Rn , δ > 0 lµ sè thùc d-¬ng tuú ý. Ng-êi
ta gäi tËp hîp
Uδ (a) = {x ∈ Rn | |x − a| < δ} hoÆc {x ∈ Rn | d(x, a) < δ}
1.1 Kh«ng gian Rn 5


lµ l©n cËn b¸n kÝnh δ > 0 cña ®iÓm a ∈ Rn (hoÆc cßn gäi lµ h×nh cÇu më t©m a
b¸n kÝnh δ).
NÕu V ⊂ Rn vµ V chøa mét l©n cËn b¸n kÝnh δ > 0 nµo ®ã cña ®iÓm a th× V
®-îc gäi lµ l©n cËn cña a.

Chó ý r»ng l©n cËn cña mét ®iÓm trong Rn còng cã thÓ ®-îc ®Þnh nghÜa th«ng
qua chuÈn max. Ta dÔ dµng chøng minh ®-îc hÖ thèng c¸c l©n cËn cña mét
®iÓm lu«n nh- nhau cho dï nã ®-îc x¸c ®Þnh theo chuÈn nµo (chuÈn ¬clit hay
chuÈn max) trong Rn .
HiÓn nhiªn hîp hoÆc giao cña hai l©n cËn cña ®iÓm a còng lµ l©n cËn cña a.
Hoµn toµn gièng nh- c¸c kh¸i niÖm t«p« trong R, ta cã thÓ nãi ®Õn ®iÓm tô,
®iÓm c« lËp, tËp ®ãng, tËp më trong kh«ng gian Rn .
Gi¶ sö H ⊂ Rn lµ tËp con trong Rn . §iÓm a ∈ Rn ®-îc gäi lµ ®iÓm tô cña
tËp H nÕu mäi l©n cËn cña a chøa v« h¹n c¸c phÇn tö cña H (®iÓm tô cña tËp H
cã thÓ thuéc H còng cã thÓ kh«ng thuéc tËp H). DÔ dµng chøng minh a lµ ®iÓm
tô cña tËp H khi vµ chØ khi mäi l©n cËn cña a chøa Ýt nhÊt mét phÇn tö kh¸c a
thuéc H.

Ch¼ng h¹n Uδ (a) lµ h×nh cÇu më t©m a b¸n kÝnh δ. Mäi ®iÓm x ∈ Rn tháa m·n
tÝnh chÊt |x − a| = δ (hay d(x, a) = δ) lµ ®iÓm tô cña h×nh cÇu ®ã.

H ⊂ Rn ®-îc gäi lµ tËp ®ãng trong Rn nÕu nã chøa mäi ®iÓm tô (nÕu cã) cña
H. (Ta quy -íc tËp ∅ lµ tËp ®ãng).

TËp hîp chØ gåm h÷u h¹n phÇn tö lµ tËp ®ãng, ®Æc biÖt tËp
Bδ (a) = {x ∈ Rn | |x − a| δ} (hay {x ∈ Rn | d(x, a) δ})

lµ tËp ®ãng. Bδ (a) cßn ®-îc gäi lµ h×nh cÇu ®ãng t©m a b¸n kÝnh δ.
Ta dÔ dµng chøng minh ®-îc
• Hîp cña h÷u h¹n c¸c tËp ®ãng lµ tËp ®ãng.
• Giao cña h÷u h¹n hoÆc v« h¹n c¸c tËp ®ãng còng lµ tËp ®ãng.

§iÓm a ∈ H ®-îc gäi lµ ®iÓm c« lËp cña tËp H ⊂ Rn nÕu tån t¹i mét l©n cËn
Uδ (a) cña a sao cho Uδ (a) ∩ H = {a}.
§iÓm a ∈ Rn ®-îc gäi lµ ®iÓm biªn cña tËp H nÕu mét l©n cËn bÊt k× cña a
®Òu chøa Ýt nhÊt mét ®iÓm thuéc H vµ mét ®iÓm kh«ng thuéc H. §iÓm b ∈ Rn
®-îc gäi lµ ®iÓm ngoµi cña tËp H nÕu tån t¹i mét l©n cËn Uδ (b) cña b sao cho
Uδ (b) ∩ H = ∅.
6 Ch-¬ng I. Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè


§iÓm a ∈ A ®-îc gäi lµ ®iÓm trong cña tËp A ⊂ Rn nÕu tån t¹i mét l©n cËn
Uδ (a) cña a sao cho l©n cËn Uδ (a) ®-îc chøa trong tËp A (Uδ (a) ⊂ A).
TËp A ⊂ Rn ®-îc gäi lµ tËp më nÕu mäi phÇn tö cña A ®Òu lµ ®iÓm trong cña
A. Nãi c¸ch kh¸c víi mçi a ∈ A tån t¹i mét l©n cËn Uδ (a) sao cho Uδ (a) ⊂ A.
Ta quy -íc tËp ∅ lµ tËp më.

H×nh cÇu më
Uδ (a) = {x ∈ Rn | |x − a| < δ} (hay {x ∈ Rn | d(x, a) < δ})
lµ tËp më.
Nh- vËy h×nh cÇu më lµ tËp më vµ ë vÝ dô trªn ta ®· biÕt h×nh cÇu ®ãng lµ tËp
®ãng.
TËp hîp sau trong Rn viÕt d-íi d¹ng tÝch §Ò c¸c cña n kho¶ng
H = (a1, b1) × (a2, b2 ) × · · · × (an , bn ) ai < bi , ai , bi ∈ R, ∀i = 1, 2, ..., n
lµ tËp më vµ H ®-îc gäi lµ h×nh hép trong Rn .
T-¬ng tù tÝch §Ò c¸c cña n ®o¹n th¼ng
[a1, b1] × [a2, b2] × · · · × [an , bn ] ai < bi, ai , bi ∈ R, ∀i = 1, 2, ..., n
lµ tËp ®ãng vµ ®-îc gäi lµ h×nh hép ®ãng trong Rn .
Ta còng dÔ dµng chøng minh ®-îc
• Giao cña h÷u h¹n c¸c tËp më lµ tËp më.
• Hîp cña h÷u h¹n hoÆc v« h¹n c¸c tËp më còng lµ tËp më.
Cuèi cïng ta cã ®Þnh lÝ sau, chøng minh t-¬ng tù nh- trong R
§Þnh lÝ 1.1.1 PhÇn bï (trong Rn ) cña tËp më lµ tËp ®ãng vµ phÇn bï cña tËp
®ãng lµ tËp më.
TËp A ⊂ Rn ®-îc gäi lµ bÞ chÆn (hay tËp giíi néi) trong Rn nÕu tËp ®ã ®-îc
chøa trong mét h×nh cÇu nµo ®ã ⇔ A ®-îc chøa trong mét h×nh cÇu t©m 0
b¸n kÝnh K > 0, A ⊂ UK (0) . Nãi c¸ch kh¸c tån t¹i sè K > 0 sao cho |a| K
víi mäi a ∈ A.


1.1.3 Giíi h¹n cña d·y ®iÓm trong Rn
Còng nh- trong gi¶i tÝch hµm mét biÕn, giíi h¹n lµ kh¸i niÖm c¬ së ban ®Çu.
Mäi vÊn ®Ò cña gi¶i tÝch ®Òu dùa trªn kh¸i niÖm giíi h¹n. §Ó thuËn tiÖn trong
kÝ hiÖu vµ kh«ng g©y nhÇm lÉn, ta viÕt x(1), x(2), ..., x(k), ... hay {x(k)}∞ lµ d·y
k=1
c¸c ®iÓm trong Rn .
1.1 Kh«ng gian Rn 7


§Þnh nghÜa 1.1.2 D·y {x(k) }∞ ⊂ Rn héi tô vµ cã giíi h¹n b»ng a ∈ Rn , kÝ hiÖu:
k=1

lim x(k) = a hoÆc x(k) → a,
k→∞

nÕu lim |x(k) − a| = 0.
k→∞
Ta còng cã thÓ nãi ®Çy ®ñ h¬n x(k) → a khi k → ∞ nÕu cho tr-íc > 0 tuú
ý, tån t¹i mét sè tù nhiªn n0 = n0 ( ) ∈ N (n0 phô thuéc vµo ) sao cho víi mäi
k n0 ta cã:
|x(k) − a| < .
D·y {x(k)}∞ kh«ng héi tô ®-îc gäi lµ d·y ph©n k×.
1

§Þnh nghÜa trªn t-¬ng ®-¬ng víi kh¼ng ®Þnh mäi d·y ®iÓm (vÐc t¬) trong Rn cã
giíi h¹n b»ng 0 khi vµ chØ khi chuÈn cña c¸c vÐc t¬ ®ã dÇn tíi 0.
§Þnh nghÜa giíi h¹n cña d·y ®iÓm nªu trªn cã thÓ diÔn ®¹t theo ng«n ng÷ l©n
cËn nh- sau: lim x(k) = a khi vµ chØ khi mét l©n cËn bÊt k× cña ®iÓm a chøa mäi
k→∞
sè h¹ng cña d·y {x(k)}∞ trõ h÷u h¹n sè h¹ng ®Çu.
k=1
Hoµn toµn gièng nh- trong tËp c¸c sè thùc R, ta cã thÓ chøng minh d·y ®iÓm
{x(k)}∞ cã giíi h¹n duy nhÊt nÕu d·y héi tô. H¬n n÷a ®Þnh lÝ sau cho ta mèi
k=1
liªn hÖ gi÷a giíi h¹n cña d·y ®iÓm vµ giíi h¹n tõng thµnh phÇn

§Þnh lÝ 1.1.2 Víi mäi d·y {x(k)}∞ trong Rn
(k) (k) (k)
k=1 x(k) = (x1 , x2 , ..., xn )
(k)
lim x(k) = (a1 , a2, ..., an) ⇔ lim xi = ai ∀i = 1, 2, ..., n
k→∞ k→∞


Chøng minh. ThËt vËy, kÝ hiÖu a = (a1, a2, ..., an) vµ theo ®Þnh nghÜa cña chuÈn

(k) (k) (k)
|x(k) − a| = (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an )2 ,

suy ra
(k) (k)
|xi − ai | |x(k) − a| |x1 − a1| + · · · + |x(k) − an |.
n

Tõ bÊt ®¼ng thøc thø nhÊt, theo nguyªn lÝ kÑp vÒ giíi h¹n d·y sè nÕu lim x(k) = a
k→∞
(k)
suy ra lim xi = ai ∀i = 1, 2, ..., n.
k→∞
n
(k)
Ng-îc l¹i theo bÊt ®¼ng thøc thø hai, |xi − ai| → 0 kÐo theo
i=1

lim x(k) = a.
k→∞
8 Ch-¬ng I. Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè



§Þnh lÝ trªn kh¼ng ®Þnh viÖc t×m giíi h¹n cña d·y ®iÓm {x(k) }∞ trong Rn
k=1
(k)
t-¬ng ®-¬ng víi viÖc t×m giíi h¹n cña c¸c thµnh phÇn täa ®é xi cña x(k) . Do
vËy ta cßn nãi sù héi tô cña d·y ®iÓm x(k) trong Rn lµ sù héi tô theo täa ®é. Nh-
vËy giíi h¹n cña d·y ®iÓm trong Rn (nÕu tån t¹i giíi h¹n) lµ duy nhÊt vµ cã tÝnh
chÊt tuyÕn tÝnh còng nh- d·y sè trong R

lim (x(k) + y(k)) = lim x(k) + lim y(k)
k→∞ k→∞ k→∞
(k) (k)
lim α · x = α · lim x , ∀α ∈ R.
k→∞ k→∞


Trong kh«ng gian Rn , c¸c vÊn ®Ò t-¬ng tù nh- nguyªn lÝ kÑp, giíi h¹n d·y sè
®¬n ®iÖu vµ bÞ chÆn trong R, kh«ng cã ý nghÜa v× c¸c ®iÓm trong Rn kh«ng ®-îc
s¾p thø tù. Tuy nhiªn ta vÉn cã kh¸i niÖm d·y Cauchy.
§Þnh nghÜa 1.1.3 D·y {x(k) }∞ ®-îc gäi lµ d·y Cauchy trong Rn nÕu cho tr-íc
k=1
> 0 tuú ý, tån t¹i mét sè tù nhiªn n0 = n0( ) ∈ N (n0 phô thuéc vµo ) sao cho
víi mäi k, m n0 ta cã:
|x(k) − x(m) | < .
Râ rµng d·y {x(k) }∞ lµ d·y Cauchy khi vµ chØ khi c¸c d·y thµnh phÇn
k=1
(k)
{xi }∞ ,
k=1 ∀i = 1, 2, ..., n
còng lµ c¸c d·y Cauchy trong R. Do vËy theo ®Þnh lÝ 1.1.2 ta cã
§Þnh lÝ 1.1.3 D·y {x(k)}∞ trong Rn héi tô khi vµ chØ khi nã lµ d·y Cauchy.
k=1

Kh¸i niÖm vÒ d·y con cña mét d·y ®iÓm trong Rn kh«ng cã g× kh¸c víi d·y con
trong R.
§Þnh lÝ 1.1.4 (Bolzano) Mäi d·y giíi néi trong Rn ®Òu chøa mét d·y con héi tô.
(k)
Chøng minh. Gi¶ sö d·y {x(k)}∞ trong Rn lµ d·y bÞ chÆn. D·y sè {x1 }∞
k=1 k=1
(thµnh phÇn thø nhÊt cña {x(k) }) bÞ chÆn, theo ®Þnh lÝ Bolzano vÒ d·y sè, d·y ®ã
(k )
chøa mét d·y con {x1 1 }∞=1 héi tô.
k1
XÐt mét d·y con (víi c¸c chØ sè k1 võa ®-îc ph¸t hiÖn) cña d·y {x(k1 )}∞=1 . k1
Thµnh phÇn thø hai cña nã còng bÞ chÆn, ¸p dông ®Þnh lÝ Bolzano vÒ d·y sè, nã
(k )
còng chøa mét d·y con {x2 2 }∞=1 héi tô.
k2
Cø nh- vËy, sau n b-íc lÆp l¹i, ta ®-îc mét d·y con {x(kn )}∞ =1 cña d·y ®· cho
kn
ban ®Çu, mäi thµnh phÇn cña d·y con nµy ®Òu héi tô. Theo ®Þnh lÝ 1.1.2, d·y con
®ã héi tô trong Rn , ®.p.c.m.
1.2 ¸nh x¹, giíi h¹n vµ liªn tôc cña ¸nh x¹ 9


1.2 ¸nh x¹, giíi h¹n vµ liªn tôc cña ¸nh x¹
1.2.1 Giíi h¹n cña ¸nh x¹
¸nh x¹ f : A → Rm trong ®ã A ⊂ Rn ®-îc gäi lµ hµm vÐc t¬ n biÕn. Tr-êng hîp
riªng m = 1, ¸nh x¹ f : A → R ®-îc gäi lµ hµm sè n biÕn, hay hµm thùc n biÕn
sè.

VÝ dô ¸nh x¹ f : R+ × R → R3, f (x, y) = ln x + y, sin(x2 + y 2), x − y 2 lµ hµm
vÐc t¬ 2 biÕn nhËn c¸c gi¸ trÞ trong R3 .
¸nh x¹ π : R3 → R, π(x, y, z) = y lµ phÐp chiÕu lªn thµnh phÇn thø hai (trôc
tung). π lµ hµm thùc ba biÕn sè.
Tæng qu¸t h¬n πk : Rn → R, π(x1, x2, ..., xn) = xk , phÐp chiÕu lªn thµnh phÇn
thø k, lµ hµm thùc n biÕn sè.
Víi hµm vÐc t¬ n biÕn f : A → Rm , A ⊂ Rn

fk = πk ◦ f

®-îc gäi lµ thµnh phÇn thø k cña f vµ hiÓn nhiªn f = (f1 , f2 , ..., fm). Hµm thµnh
phÇn fk : A → R lµ hµm thùc n biÕn sè.

§Þnh nghÜa 1.2.1 Cho hµm vÐc t¬ n biÕn f : A → Rm , a lµ mét ®iÓm tô cña
A. Ta nãi giíi h¹n cña hµm f b»ng b ∈ Rm trong qu¸ tr×nh x → a, kÝ hiÖu
lim f (x) = b nÕu
x→a


∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho khi x tháa m·n 0 < |x − a| < δ th× |f (x) − b| < .

Nãi c¸ch kh¸c víi l©n cËn Uε (b) tuú ý cña b, tån t¹i mét l©n cËn Uδ (a) cña a sao
cho khi x ∈ Uδ (a) ∩ A vµ x = a ta lu«n cã f (x) ∈ Uε (b).

Còng nh- giíi h¹n hµm thùc mét biÕn sè, ta dÔ dµng chøng minh

§Þnh lÝ 1.2.1 NÕu hµm f cã giíi h¹n trong qu¸ tr×nh x → a khi ®ã giíi h¹n cña
hµm lµ duy nhÊt.

Chøng minh hoµn toµn nh- chøng minh nguyªn lÝ chuyÓn ®æi giíi h¹n gi÷a hµm
thùc mét biÕn sè vµ d·y sè, ta cã ®Þnh lÝ t-¬ng tù
10 Ch-¬ng I. Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè


§Þnh lÝ 1.2.2 §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tån t¹i giíi h¹n lim f (x) = b lµ víi mäi d·y
x→a
®iÓm {x(k)}∞ → a, d·y gi¸ trÞ t-¬ng øng {f (x(k) )}∞ còng tån t¹i giíi h¹n.
k=1 k=1
(Suy ra c¸c giíi h¹n ®ã ph¶i b»ng nhau vµ cïng b»ng b, lim f (x(k)) = b.)
k→∞

Do hµm vÐc t¬ n biÕn f = (f1, f2 , ..., fm) lµ mét bé cã thø tù gåm m hµm thµnh
phÇn, theo ®Þnh lÝ 1.1.2
lim f (x) = b ⇔ lim fi (x) = bi víi mäi i = 1, 2, ..., m
x→a x→a

trong ®ã c¸c sè thùc bi lµ c¸c thµnh phÇn täa ®é cña b = (b1 , b2, ..., bm) trong Rm .
Tõ nhËn xÐt nµy, trong thùc hµnh viÖc t×m giíi h¹n hµm vÐc t¬ sÏ ®¬n gi¶n h¬n
nÕu ®-a vÒ bµi to¸n t×m giíi h¹n c¸c hµm thµnh phÇn fi , chóng lµ c¸c hµm thùc
n biÕn sè.
Chó ý r»ng song song víi kÝ hiÖu lim f (x) = b, víi a = (a1, a2, ..., an) ng-êi ta
x→a
cßn sö dông kÝ hiÖu d-íi ®©y vÒ giíi h¹n hµm vÐc t¬ n biÕn trong qu¸ tr×nh
x = (x1 , x2, ..., xn) → a = (a1, a2, ..., an)

lim f (x1 , x2, ..., xn) = b.
x1 →a1
x2 →a2
···
xn →an

Sö dông ®Þnh lÝ 1.2.2, ta dÔ dµng chøng minh giíi h¹n hµm vÐc t¬ cã tÝnh
tuyÕn tÝnh
lim (f + g)(x) = lim f (x) + lim g(x), lim (αf )(x) = α lim f (x)
x→a x→a x→a x→a x→a

Víi hµm thùc nhiÒu biÕn sè, còng sö dông ®Þnh lÝ 1.2.2 vµ c¸c kÕt qu¶ liªn quan
tíi giíi h¹n d·y sè thùc cña gi¶i tÝch hµm mét biÕn, kh«ng mÊy khã kh¨n ®Ó
chøng minh kh¼ng ®Þnh sau
• Gi¶ thiÕt f, g lµ c¸c hµm thùc n biÕn sè, tån t¹i c¸c giíi h¹n h÷u h¹n
lim f (x) = u, lim g(x) = v. Khi ®ã
x→a x→a

f (x) u
lim f (x) · g(x) = u · v, lim = (v = 0).
x→a x→a g(x) v

• Nguyªn lÝ kÑp vÉn ®óng víi hµm sè nhiÒu biÕn sè u, v : Rn → R

u(x) f (x) v(x), lim u(x) = lim v(x) = L ⇒ lim f (x) = L
x→a x→a x→a
1.2 ¸nh x¹, giíi h¹n vµ liªn tôc cña ¸nh x¹ 11


• §Æc biÖt tÝch cña mét VCB vµ hµm giíi néi còng lµ VCB trong cïng mét
qu¸ tr×nh. Cô thÓ h¬n, gi¶ thiÕt α, f : Rn → R, f lµ hµm bÞ chÆn t¹i mét
l©n cËn nµo ®ã cña a vµ lim α(x) = 0, khi ®ã
x→a


lim α(x) · f (x) = 0.
x→a


L-u ý r»ng nÕu lim f (x) = 0, ta còng nãi hµm vÐc t¬ f (x) lµ VCB trong qu¸ tr×nh
x→a
x → a vµ kÝ hiÖu f (x) = o(x).
Ng-êi ta còng ®-a vµo kh¸i niÖm vÒ d·y ®iÓm dÇn ra v« cïng còng nh- kh¸i
niÖm giíi h¹n hµm khi biÕn tiÕn dÇn ra v« cïng

§Þnh nghÜa 1.2.2
• Ta nãi d·y ®iÓm {x(k)} dÇn ra v« cïng nÕu d·y sè {|x(k)|}∞ tiÕn tíi v« cïng
k=1
lim |x(k) | = +∞.
k→∞
• Ta nãi giíi h¹n cña hµm f b»ng b ∈ Rm trong qu¸ tr×nh x dÇn ra v« cïng, kÝ
hiÖu lim f (x) = b nÕu
|x|→∞


∀ > 0, ∃K > 0 sao cho khi x tháa m·n |x| > K th× |f (x) − b| < .

HoÆc t-¬ng ®-¬ng víi nã, diÔn ®¹t theo ng«n ng÷ d·y, víi bÊt k× d·y ®iÓm {x(k)}
dÇn ra v« cïng, d·y gi¸ trÞ hµm t-¬ng øng {f (x(k))} lu«n dÇn tíi b.
(k) (k)
NhËn xÐt r»ng d·y ®iÓm {x(k) = (x1 , ..., xn )} trong Rn dÇn ra v« cïng khi vµ
n
(k) (k)
chØ khi d·y sè |xi | (hoÆc max |xi |) cã giíi h¹n b»ng v« cïng.
i=1 1 i n
Trong c¸c vÝ dô vÒ giíi h¹n hµm hai biÕn (hoÆc ba biÕn) qu¸ tr×nh x = (x, y)
hoÆc x = (x, y, z) dÇn ra v« cïng th-êng ®-îc cho cô thÓ h¬n. Ch¼ng h¹n c¸c
giíi h¹n d-íi ®©y ®-îc xÐt trong qu¸ tr×nh x tiÕn ra v« cïng theo c¸c d¹ng kh¸c
nhau
lim f (x, y) hoÆc x→x f (x, y) hoÆc x→x f (x, y, z) ...
lim lim
x→+∞ 0 0
y→−∞ y→∞ y→+∞
z→−∞

Giíi h¹n thø nhÊt ®-îc xÐt trong qu¸ tr×nh c¶ hai thµnh phÇn täa ®é x vµ y
cïng tiÕn ra v« cïng: x tiÕn ®Õn +∞, y tiÕn ®Õn −∞.
Giíi h¹n thø hai ®-îc xÐt trong qu¸ tr×nh y tiÕn ra v« cïng trong khi x → x0 .
Giíi h¹n thø ba ®-îc xÐt trong qu¸ tr×nh x → x0 , ®ång thêi c¶ hai thµnh phÇn
täa ®é y, z cïng tiÕn ra v« cïng.
12 Ch-¬ng I. Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè



Ch¼ng h¹n trong gi¶i tÝch hµm mét biÕn ta ®· biÕt lim te−t = 0, suy ra
t→+∞

lim (x + y)e−(x+y) = 0.
x→+∞
y→+∞

Tuy nhiªn dÔ dµng chøng minh kh«ng tån t¹i giíi h¹n

lim (x + y)e−x.
x→+∞
y→+∞


VÝ dô 1.2.1 (VÒ giíi h¹n hµm vÐc t¬, hµm sè nhiÒu biÕn sè)

1. T×m giíi h¹n
2x4 + x − xy + y 4
lim
x→1
y→0
x2 + y 2

L-u ý r»ng khi f lµ hµm thùc hai biÕn, thay v× viÕt lim f (x, y) ng-êi
(x,y)→(a,b)
ta quen sö dông kÝ hiÖu x→af (x, y) khi viÕt c¸c biÓu thøc giíi h¹n. §iÒu
lim
y→b
®ã ®«i khi còng x¶y ra víi c¶ c¸c hµm thùc ba biÕn sè.
Quay l¹i vÝ dô trªn, hµm x2 + y 2 ë d-íi mÉu cña ph©n thøc tiÕn ®Õn 1, cßn
biÓu thøc trªn tö cña ph©n thøc, 2x4 + x − xy + y 4 → 3 trong qu¸ tr×nh
(x, y) → (1, 0). Theo c¸c nhËn xÐt ë trªn
2x4 + x − xy + y 4
lim = 3.
x→1
y→0
x2 + y 2

2. Giíi h¹n
2 +y 2 )
lim (x + y)e−(x
x→∞
=0
y→∞

khi x, y dÇn ra v« cïng. ThËt vËy
2 +y 2 ) 2 +y 2 ) 2 +y 2 )
lim (x + y)e−(x
x→∞
= x→∞ xe−(x
lim + x→∞ ye−(x
lim
y→∞ y→∞ y→∞

vµ mçi sè h¹ng cã giíi h¹n b»ng 0 khi x → ∞, y → ∞
2 +y 2 ) |x| 2 +y 2 ) |y|
0 < xe−(x → 0, 0 < ye−(x → 0.
ex2 ey2
1.2 ¸nh x¹, giíi h¹n vµ liªn tôc cña ¸nh x¹ 13


3. Giíi h¹n
x + 2y
lim(x + 2y) sin = 0.
x→0
y→0
x2 + 2y 2

ThËt vËy lim(x + 2y) = 0, trong khi thõa sè thø hai lµ hµm bÞ chÆn
x→0
y→0
| sin xx+2y2 |
2 +2y 1 trªn R2 .

4. Chøng minh kh«ng tån t¹i giíi h¹n
xy
lim .
x→0 x2 + y 2
y→0


ThËt vËy, kÝ hiÖu f (x, y) = x2xy 2 lµ hµm cÇn t×m giíi h¹n. Chän d·y
+y
{an = (x , y )} lµ d·y ®iÓm tiÕn tíi 0 trªn ®-êng th¼ng y = x (ch¼ng
(n) (n)

h¹n x(n) = y (n) = n , khi ®ã d·y gi¸ trÞ hµm t-¬ng øng {f (an ) = 1 } lµ d·y
1
2
h»ng sè dÇn tíi 1 .
2
Chän d·y ®iÓm kh¸c {bn } tiÕn tíi 0 trªn ®-êng th¼ng y = 2x , khi ®ã d·y
gi¸ trÞ hµm t-¬ng øng {f (bn ) = 2 } dÇn tíi 2 .
5 5
Nh- vËy giíi h¹n hai d·y sè lim f (an ) = lim f (bn ), theo ®Þnh lÝ 1.2.2, giíi
n→∞ n→∞
h¹n hµm ®· cho kh«ng tån t¹i.

5. XÐt giíi h¹n hµm vÐc t¬

x4 y4
lim ,
x→0
y→0
x2 + y 2 x2 + y 2

¸p dông ®Þnh lÝ 1.1.2, bµi to¸n ®-a vÒ t×m c¸c giíi h¹n thµnh phÇn

x4 x4
x2 → 0 ⇒ lim =0
x2 + y 2 x→0 x2 + y 2
y→0


y4 y4
y2 → 0 ⇒ lim =0
x2 + y 2 x→0 x2 + y 2
y→0

4 4
VËy giíi h¹n hµm vÐc t¬ lim( x2x 2 , x2y 2 ) = (0, 0).
+y +y
x→0
y→0
14 Ch-¬ng I. Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè


6. T×m giíi h¹n
x2 + (y − 1)2 + 1 − 1
A = lim
x→0
y→1
x2 + (y − 1)2

Nh©n c¶ tö vµ mÉu víi biÓu thøc liªn hîp
1 1
A = lim = .
x→0
y→1
x2 + (y − 1)2 + 1 + 1 2


1.2.2 Giíi h¹n lÆp
Trong hµm sè nhiÒu biÕn cã mét kh¸i niÖm gäi lµ giíi h¹n lÆp. §Ó thuËn tiÖn ta
xÐt hµm thùc hai biÕn f (x, y) x¸c ®Þnh trong l©n cËn ®iÓm M(x0, y0 ) (cã thÓ trõ
®iÓm M), giíi h¹n lÆp cña hµm ®-îc viÕt d-íi d¹ng

lim lim f (x, y) , lim lim f (x, y)
x→x0 y→y0 y→y0 x→x0


VÒ giíi h¹n lÆp thø nhÊt lim lim f (x, y) , biÓu thøc trong ngoÆc ®-îc hiÓu nh-
x→x0 y→y0
lµ giíi h¹n hµm f (x, y) víi x lµ tham sè (x cè ®Þnh kh«ng biÕn thiªn) trong qu¸
tr×nh y → y0
f1 (x) = lim f (x, y).
y→y0

Gi¶ thiÕt hµm f1 (x) x¸c ®Þnh t¹i l©n cËn ®iÓm x = x0 (cã thÓ trõ ®iÓm x0 ), khi
®ã giíi h¹n lÆp ®ang xÐt chÝnh lµ giíi h¹n hµm f1 trong qu¸ tr×nh x → x0

lim lim f (x, y) = lim f1(x).
x→x0 y→y0 x→x0


T-¬ng tù ®èi víi giíi h¹n lÆp thø hai, nã ®-îc x¸c ®Þnh th«ng qua sù tån t¹i
cña c¸c giíi h¹n

f2 (y) = lim f (x, y) vµ lim lim f (x, y) = lim f2 (y).
x→x0 y→y0 x→x0 y→y0


Víi hµm ba biÕn f (x, y, z) ta cã thÓ nh¾c ®Õn nhiÒu giíi h¹n lÆp kh¸c nhau.
Ch¼ng h¹n mçi c¸ch ho¸n vÞ ba biÕn {x, y, z} t-¬ng øng víi mét giíi h¹n lÆp

lim lim lim f (x, y, z), lim lim lim f (x, y, z), lim lim lim f (x, y, z), ...
x→x0 y→y0 z→z0 y→y0 x→x0 z→z0 y→y0 z→z0 x→x0
1.2 ¸nh x¹, giíi h¹n vµ liªn tôc cña ¸nh x¹ 15


Ngoµi ra ta còng cßn gÆp c¸c giíi h¹n lÆp d¹ng

lim lim f (x, y, z) hoÆc
x→x0 z→z0
lim lim f (x, y, z), ...
x→x0 y→y0
y→y0 z→z0


Mét c¸ch tæng qu¸t, xÐt hµm vÐc t¬ n + k biÕn

f : D = A × B ⊂ Rn+k → Rm , A ⊂ Rn , B ⊂ Rk .

Gi¶ sö M0 (a, b) lµ ®iÓm tô cña D. Víi mçi y ∈ B cè ®Þnh gi¶ thiÕt r»ng tån t¹i
giíi h¹n
g(y) = lim f (x, y).
x→a

NÕu tån t¹i tiÕp giíi h¹n
lim g(y) = u ∈ Rm
y→b

trong qu¸ tr×nh y → b th× u ®-îc gäi lµ giíi h¹n lÆp cña f vµ kÝ hiÖu

lim lim f (x, y) = u.
y→b x→a


T-¬ng tù ta cã thÓ nãi ®Õn giíi h¹n lÆp

lim lim f (x, y) = v.
x→a y→b


C¸c giíi h¹n lÆp ®ã nãi chung kh«ng b»ng nhau.

VÝ dô Cho hµm f : R+ × R+ → R

x − y + x2 + y 2
f (x, y) =
x+y

Giíi h¹n lÆp thø nhÊt

x − y + x2 + y 2
f1(x) = lim = 1 + x ⇒ lim lim f (x, y) = lim (1 + x) = 1.
y→0+ x+y x→0+ y→0+ x→0+


Giíi h¹n lÆp thø hai cho ta kÕt qu¶ kh¸c giíi h¹n lÆp thø nhÊt

x − y + x2 + y 2
f2 (y) = lim = −1 + y ⇒ lim lim f (x, y) = −1.
x→0+ x+y y→0+ x→0+
16 Ch-¬ng I. Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè


NhËn xÐt r»ng trong qu¸ tr×nh (x, y) → (0, 0) kh«ng tån t¹i giíi h¹n hµm

x − y + x2 + y 2
lim f (x, y) = lim
x→0
y→0
x→0
y→0
x+y

(§Ó ph©n biÖt víi giíi h¹n lÆp, giíi h¹n ë trªn cña hµm f (x, y) trong qu¸ tr×nh
(x, y) → (0, 0) cßn ®-îc gäi lµ giíi h¹n béi). ThËt vËy gi¸ trÞ cña hµm t¹i c¸c
®iÓm trªn ®-êng th¼ng y = kx

(1 − k)x + (1 + k 2 )x2 1−k
f (x, kx) = → khi x → 0.
(1 + k)x 1+k

Do vËy nÕu chän d·y ®iÓm {an } tiÕn tíi 0 trªn ®-êng th¼ng y = k1 x vµ chän d·y
®iÓm kh¸c {bn } tiÕn tíi 0 trªn ®-êng th¼ng y = k2 x, k1 = k2 , c¸c d·y gi¸ trÞ
hµm t-¬ng øng {f (an )} vµ {f (bn )} dÇn tíi c¸c giíi h¹n kh¸c nhau, theo ®Þnh lÝ
1.2.2, giíi h¹n hµm lim f (x, y) kh«ng tån t¹i.
x→0
y→0

Mèi liªn hÖ gi÷a giíi h¹n lÆp vµ giíi h¹n béi ®-îc thÓ hiÖn trong ®Þnh lÝ sau

§Þnh lÝ 1.2.3 Cho hµm vÐc t¬ n + k biÕn

f : D = A × B ⊂ Rn+k → Rm , A ⊂ Rn , B ⊂ Rk

Gi¶ sö M0 (a, b) lµ ®iÓm tô cña D. NÕu tån t¹i giíi h¹n béi

lim f (x, y)
(x,y)→(a,b)


®ång thêi gi¶ thiÕt r»ng víi mçi y ∈ B tån t¹i giíi h¹n

g(y) = lim f (x, y).
x→a

Khi ®ã tån t¹i giíi h¹n lÆp vµ giíi h¹n lÆp ®ã b»ng giíi h¹n béi

lim lim f (x, y) = lim f (x, y)
y→b x→a (x,y)→(a,b)


Chøng minh. Ta chØ chøng minh cho tr-êng hîp hµm thùc 2 biÕn, c¸c tr-êng
hîp kh¸c còng chøng minh t-¬ng tù, tuy cã khã kh¨n ®«i chót do kÝ hiÖu phøc
t¹p h¬n.
1.2 ¸nh x¹, giíi h¹n vµ liªn tôc cña ¸nh x¹ 17


Gi¶ sö tån t¹i c¸c giíi h¹n

lim f (x, y) = a,
x→x0
lim f (x, y) = f1 (x)
y→y0
y→y0


Ta sÏ chøng minh giíi h¹n lÆp lim lim f (x, y) = lim f1(x) tån t¹i vµ b»ng a.
x→x0 y→y0 x→x0
ThËt vËy, víi ε > 0 tïy ý cho tr-íc, tån t¹i mét l©n cËn U cña (x0, y0 ) sao cho
∀(x, y) ∈ U, (x, y) = (x0 , y0)

|f (x, y) − a| ε.

Cho y → y0 trong bÊt ®¼ng thøc trªn, ta ®-îc |f1 (x) − a| ε, suy ra ®pcm.

NhËn xÐt r»ng sù tån t¹i giíi h¹n hµm x→x f (x, y) kh«ng kÐo theo sù tån t¹i
lim
0
y→y0
c¸c giíi h¹n lÆp. Ch¼ng h¹n xÐt vÝ dô sau, hµm
1
x sin y nÕu y = 0
f (x, y) =
0 nÕu y = 0

cã giíi h¹n béi limf (x, y) = 0 (tÝch cña mét VCB vµ hµm bÞ chÆn), nh-ng kh«ng
x→0
y→0
tån t¹i giíi h¹n lÆp lim limf (x, y). (Do kh«ng tån t¹i lim sin 1 ).
y
x→0y→0 y→0
Tuy nhiªn phï hîp víi ®Þnh lÝ trªn lim limf (x, y) = 0.
y→0x→0



1.2.3 Hµm liªn tôc
§Þnh nghÜa 1.2.3 Cho hµm vÐc t¬ f : D → Rm , trong ®ã D ⊂ Rn . Ta nãi hµm f
liªn tôc t¹i a ∈ D nÕu cho tr-íc mét l©n cËn bÊt k× V (f (a)) cña f (a), tån t¹i mét
l©n cËn U (a) sao cho víi mäi x ∈ D ∩ U (a) ta cã

f (x) ∈ V (f (a)) hay f (D ∩ U (a)) ⊂ V (f (a)).

Ta nãi hµm f liªn tôc trªn miÒn D nÕu f liªn tôc t¹i mäi ®iÓm thuéc D.
§iÓm a ∈ D ®-îc gäi lµ ®iÓm gi¸n ®o¹n cña f nÕu hµm f kh«ng liªn tôc t¹i ®ã.

§Þnh nghÜa trªn hoµn toµn gièng nh- ®Þnh nghÜa hµm mét biÕn liªn tôc. NÕu
a lµ ®iÓm c« lËp cña tËp D hiÓn nhiªn f liªn tôc t¹i a. Tr-êng hîp a ∈ D lµ
18 Ch-¬ng I. Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè


®iÓm tô cña D, ®Þnh nghÜa trªn còng cã nghÜa lµ giíi h¹n b»ng gi¸ trÞ thay thÕ
cña hµm t¹i a
lim f (x) = f (a).
x→a

¸p dông nhËn xÐt ngay sau ®Þnh lÝ 1.2.2 vÒ sù t-¬ng ®-¬ng gi÷a giíi h¹n hµm
vÐc t¬ vµ c¸c giíi h¹n thµnh phÇn ta cã kÕt qu¶
§Þnh lÝ 1.2.4 Cho hµm vÐc t¬ f = (f1 , f2, ..., fm) : D → Rm , D ⊂ Rn .
• Hµm f liªn t¹i a ∈ D khi vµ chØ khi c¸c hµm thµnh phÇn fk liªn tôc t¹i a ∈ D
víi mäi k = 1, 2, ..., m.
• Hµm vÐc t¬ f liªn tôc trªn D khi vµ chØ khi c¸c hµm thµnh phÇn fk liªn tôc trªn
D víi mäi k = 1, 2, ..., m.
Tõ ®Þnh nghÜa vÒ hµm liªn tôc còng nh- tõ c¸c tÝnh chÊt giíi h¹n hµm vÐc
t¬, hµm liªn tôc cã c¸c tÝnh chÊt sau (c¸ch chøng minh nh- ®· chøng minh trong
gi¶i tÝch hµm thùc mét biÕn sè)
• C¸c hµm f , g : D → Rm , D ⊂ Rn liªn tôc t¹i cïng mét ®iÓm a ∈ D. Khi
®ã c¸c hµm f + g, f − g, α · f , (α ∈ R) còng liªn tôc t¹i a.
• NÕu f, g : D → R, D ⊂ Rn lµ c¸c hµm thùc n biÕn liªn tôc t¹i a ∈ D, khi
®ã hµm tÝch f.g liªn tôc t¹i a vµ hµm th-¬ng f còng liªn tôc t¹i a víi gi¶
g
thiÕt g(a) = 0.
• PhÐp hîp thµnh g ◦ f liªn tôc t¹i a nÕu hµm f liªn tôc t¹i a vµ g liªn tôc
t¹i f (a).
Còng nh- hµm sè mét biÕn sè, mét trong c¸c tÝnh chÊt rÊt quan träng cña
hµm sè nhiÒu biÕn sè liªn tôc trªn mét miÒn ®ãng vµ giíi néi lµ ®Þnh lÝ sau
§Þnh lÝ 1.2.5 Cho f : D → R lµ hµm liªn tôc trªn tËp D ®ãng vµ giíi néi trong
Rn . Khi ®ã hµm f ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt trªn miÒn D.
TËp ®ãng vµ giíi néi trong Rn còng ®-îc gäi lµ tËp comp¾c.

Chøng minh. Tr-íc hÕt ta chøng minh hµm f bÞ chÆn trªn D. Gi¶ sö ng-îc l¹i,
khi ®ã víi mçi k ∈ N ∗ tån t¹i x(k) ∈ D sao cho |f (x(k))| > k (hay lim |f (x(k) )| =
k→∞
+∞). D·y {x(k)}∞ ⊂ D lµ d·y bÞ chÆn, theo ®Þnh lÝ Bolzano tån t¹i mét d·y con
1
{x(ki ) }∞ héi tô tíi a ∈ D (do D lµ tËp ®ãng). MÆt kh¸c f lµ hµm liªn tôc trªn
i=1
D nªn còng liªn tôc t¹i a. VËy
lim f (x(ki ) ) = f (a),
i→∞
1.2 ¸nh x¹, giíi h¹n vµ liªn tôc cña ¸nh x¹ 19


m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt ph¶n chøng lim |f (x(k))| = +∞.
k→∞
KÝ hiÖu M = supf (x). Ta sÏ chøng minh M lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm f
x∈D
trªn D. ThËt vËy tõ ®Þnh nghÜa vÒ cËn trªn ®óng, tån t¹i mét d·y {x(k)} ⊂ D
tháa m·n
lim f (x(k)) = M.
k→∞

Còng theo ®Þnh lÝ Bolzano, d·y ®ã chøa mét d·y con {x(ki) }∞ héi tô tíi a ∈ D
i=1

lim f (x(ki ) ) = f (a) = M.
i→∞

Chøng minh t-¬ng tù, hµm còng ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt trªn D.

§Þnh nghÜa 1.2.4 TËp D ⊂ Rn ®-îc gäi lµ tËp liªn th«ng nÕu víi bÊt k× 2 ®iÓm
a, b ∈ D tån t¹i mét hµm liªn tôc f : [0, 1] → D sao cho f (0) = a vµ f (1) = b.

VÒ mÆt trùc gi¸c, tËp ¶nh cña hµm liªn tôc f : [0, 1] → D (f chiÕu ®o¹n [0, 1]
vµo tËp D) lµ mét ®-êng cong liÒn nÐt trong D. Do vËy theo ®Þnh nghÜa trªn ta
lu«n h×nh dung tËp liªn th«ng D lµ tËp cã tÝnh chÊt: gi÷a 2 ®iÓm bÊt k× lu«n tån
t¹i mét ®-êng cong liÒn nÐt n»m trong D nèi 2 ®iÓm ®ã. HiÓn nhiªn tËp A trªn
®-êng th¼ng thùc lµ tËp liªn th«ng khi vµ chØ khi A lµ mét kho¶ng ®ãng hoÆc
më hoÆc nöa ®ãng, nöa më (bÞ chÆn hoÆc kh«ng bÞ chÆn) trªn R. Nãi c¸ch kh¸c
tËp liªn th«ng trªn ®-êng th¼ng thùc chØ cã thÓ lµ mét trong c¸c tËp sau

(a, b), [a, b), (a, b], [a, b] hoÆc (−∞, a), (−∞, a], (b, +∞), [b, +∞).

Ng-êi ta chøng minh ®-îc r»ng tËp ¶nh cña mét tËp liªn th«ng qua ¸nh x¹ liªn
tôc còng lµ tËp liªn th«ng. Tr-êng hîp ®Æc biÖt nÕu hµm f : D → R liªn tôc trªn
tËp liªn th«ng D ⊂ Rn , gi¸ trÞ hµm f tr¸i dÊu t¹i 2 ®iÓm a, b ∈ D nµo ®ã trong
D: f (a) · f (b) < 0. Khi ®ã tån t¹i c ∈ D sao cho f (c) = 0.
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản