Giải tích II

Chia sẻ: quangngoc368

Sách dùng cho sinh viên trường Đại học xây dựng và sinh viên trường đại học, cao đẳng kĩ thuật

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Giải tích II

 

  1. MôC LôC 1 Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè 3 1.1 Kh«ng gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 ChuÈn vµ kho¶ng c¸ch trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 L©n cËn, tËp ®ãng, tËp më vµ tËp bÞ chÆn . . . . . . . . . 4 1.1.3 Giíi h¹n cña d·y ®iÓm trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 ¸nh x¹, giíi h¹n vµ liªn tôc cña ¸nh x¹ . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Giíi h¹n cña ¸nh x¹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Giíi h¹n lÆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.3 Hµm liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1
  2. gi¶i tÝch II S¸ch dïng cho sinh viªn tr-êng §¹i häc x©y dùng vµ sinh viªn c¸c tr-êng §¹i häc, Cao ®¼ng kÜ thuËt 2
  3. Ch-¬ng 1 Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè 1.1 Kh«ng gian Rn 1.1.1 ChuÈn vµ kho¶ng c¸ch trong Rn Phï hîp víi kÝ hiÖu trong gi¸o tr×nh §¹i sè vµ Gi¶i tÝch I, trong s¸ch nµy ta kÝ hiÖu R lµ tËp c¸c sè thùc, Rn lµ kh«ng gian vÐc t¬ víi c¸c phÐp to¸n u + v = (u1 + v1, u2 + v2, · · · , un + vn ) αu = α(u1 , u2, ..., un) = (αu1 , αu2 , ..., αun) víi mäi α ∈ R, u = (u1 , u2, ..., un), v = (v1, v2, ..., vn) ∈ Rn . C¸c vÐc t¬ thuéc Rn , trong gi¸o tr×nh nµy cßn ®-îc gäi lµ c¸c ®iÓm trong kh«ng gian Rn vµ ngoµi c¸c kÝ hiÖu ta th-êng sö dông lµ c¸c ch÷ in ®Ëm nh- a, b, u, v, ... ta cßn kÝ hiÖu chóng b»ng c¸c ch÷ in hoa nh- M, N, A, B, ... Kh«ng gian Rn lµ kh«ng gian ¬clit víi tÝch v« h-íng u, v = u1 v1 + u2v2 + · · · + un vn . §é dµi cña vÐc t¬ u = (u1 , u2, ..., un) ∈ Rn , kÝ hiÖu |u|, ®-îc gäi lµ chuÈn trong kh«ng gian Rn |u| = u2 + u2 + · · · + u2 1 2 n ChuÈn cña vÐc t¬ u tÝnh theo c«ng thøc trªn cßn ®-îc gäi lµ chuÈn ¬clit trong Rn . Thùc chÊt chuÈn cña vÐc t¬ lµ mét ¸nh x¹ tõ Rn vµo R, nã cã c¸c tÝnh chÊt 3
  4. 4 Ch-¬ng I. Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè • Víi mäi u ∈ Rn , |u| 0, ®ång thêi |u| = 0 khi vµ chØ khi u = 0. • |λu| = |λ| · |u| víi mäi λ ∈ R mäi u ∈ Rn . • |u + v| |u| + |v| víi mäi u, v ∈ Rn (bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c). Chó ý r»ng ¸nh x¹ |x| : Rn → R ®-îc x¸c ®Þnh |x| = max |xi| x = (x1, x2 , ..., xn) 1 i n còng tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt trªn nh- chuÈn ¬clit, nã cßn ®-îc gäi lµ chuÈn max trong Rn . L-u ý r»ng ta cã thÓ cã nhiÒu chuÈn kh¸c nhau trªn kh«ng gian Rn , trong gi¸o tr×nh nµy ta h¹n chÕ chØ xÐt chuÈn ¬clit. §Ó x©y dùng kh¸i niÖm giíi h¹n, kh¸i niÖm c¬ b¶n cña gi¶i tÝch trªn Rn , còng nh- trong gi¶i tÝch I, ta cÇn kh¸i niÖm vÒ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt k× trong kh«ng gian Rn . Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm x = (x1 , x2, ..., xn), y = (y1 , y2, ..., yn) ∈ Rn ®-îc x¸c ®Þnh n d(x, y) = |x − y| = (xi − yi )2 i=1 Tõ c¸c tÝnh chÊt cña chuÈn, ta suy ra c¸c tÝnh chÊt cña kho¶ng c¸ch • Víi mäi x, y ∈ Rn , d(x, y) 0 vµ d(x, y) = 0 khi vµ chØ khi x = y. • d(x, y) = d(y, x) víi mäi x, y ∈ Rn . • d(x, z) d(x, y) + d(y, z) víi mäi x, y, z ∈ Rn (bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c). Chó ý kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm x, y ∈ Rn cã thÓ ®-îc x¸c ®Þnh th«ng qua chuÈn max d (x, y) = |x − y| = max |xi − yi |. 1 i n Kho¶ng c¸ch d còng tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt trªn. 1.1.2 L©n cËn, tËp ®ãng, tËp më vµ tËp bÞ chÆn §Þnh nghÜa 1.1.1 Gi¶ sö a lµ ®iÓm thuéc Rn , δ > 0 lµ sè thùc d-¬ng tuú ý. Ng-êi ta gäi tËp hîp Uδ (a) = {x ∈ Rn | |x − a| < δ} hoÆc {x ∈ Rn | d(x, a) < δ}
  5. 1.1 Kh«ng gian Rn 5 lµ l©n cËn b¸n kÝnh δ > 0 cña ®iÓm a ∈ Rn (hoÆc cßn gäi lµ h×nh cÇu më t©m a b¸n kÝnh δ). NÕu V ⊂ Rn vµ V chøa mét l©n cËn b¸n kÝnh δ > 0 nµo ®ã cña ®iÓm a th× V ®-îc gäi lµ l©n cËn cña a. Chó ý r»ng l©n cËn cña mét ®iÓm trong Rn còng cã thÓ ®-îc ®Þnh nghÜa th«ng qua chuÈn max. Ta dÔ dµng chøng minh ®-îc hÖ thèng c¸c l©n cËn cña mét ®iÓm lu«n nh- nhau cho dï nã ®-îc x¸c ®Þnh theo chuÈn nµo (chuÈn ¬clit hay chuÈn max) trong Rn . HiÓn nhiªn hîp hoÆc giao cña hai l©n cËn cña ®iÓm a còng lµ l©n cËn cña a. Hoµn toµn gièng nh- c¸c kh¸i niÖm t«p« trong R, ta cã thÓ nãi ®Õn ®iÓm tô, ®iÓm c« lËp, tËp ®ãng, tËp më trong kh«ng gian Rn . Gi¶ sö H ⊂ Rn lµ tËp con trong Rn . §iÓm a ∈ Rn ®-îc gäi lµ ®iÓm tô cña tËp H nÕu mäi l©n cËn cña a chøa v« h¹n c¸c phÇn tö cña H (®iÓm tô cña tËp H cã thÓ thuéc H còng cã thÓ kh«ng thuéc tËp H). DÔ dµng chøng minh a lµ ®iÓm tô cña tËp H khi vµ chØ khi mäi l©n cËn cña a chøa Ýt nhÊt mét phÇn tö kh¸c a thuéc H. Ch¼ng h¹n Uδ (a) lµ h×nh cÇu më t©m a b¸n kÝnh δ. Mäi ®iÓm x ∈ Rn tháa m·n tÝnh chÊt |x − a| = δ (hay d(x, a) = δ) lµ ®iÓm tô cña h×nh cÇu ®ã. H ⊂ Rn ®-îc gäi lµ tËp ®ãng trong Rn nÕu nã chøa mäi ®iÓm tô (nÕu cã) cña H. (Ta quy -íc tËp ∅ lµ tËp ®ãng). TËp hîp chØ gåm h÷u h¹n phÇn tö lµ tËp ®ãng, ®Æc biÖt tËp Bδ (a) = {x ∈ Rn | |x − a| δ} (hay {x ∈ Rn | d(x, a) δ}) lµ tËp ®ãng. Bδ (a) cßn ®-îc gäi lµ h×nh cÇu ®ãng t©m a b¸n kÝnh δ. Ta dÔ dµng chøng minh ®-îc • Hîp cña h÷u h¹n c¸c tËp ®ãng lµ tËp ®ãng. • Giao cña h÷u h¹n hoÆc v« h¹n c¸c tËp ®ãng còng lµ tËp ®ãng. §iÓm a ∈ H ®-îc gäi lµ ®iÓm c« lËp cña tËp H ⊂ Rn nÕu tån t¹i mét l©n cËn Uδ (a) cña a sao cho Uδ (a) ∩ H = {a}. §iÓm a ∈ Rn ®-îc gäi lµ ®iÓm biªn cña tËp H nÕu mét l©n cËn bÊt k× cña a ®Òu chøa Ýt nhÊt mét ®iÓm thuéc H vµ mét ®iÓm kh«ng thuéc H. §iÓm b ∈ Rn ®-îc gäi lµ ®iÓm ngoµi cña tËp H nÕu tån t¹i mét l©n cËn Uδ (b) cña b sao cho Uδ (b) ∩ H = ∅.
  6. 6 Ch-¬ng I. Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè §iÓm a ∈ A ®-îc gäi lµ ®iÓm trong cña tËp A ⊂ Rn nÕu tån t¹i mét l©n cËn Uδ (a) cña a sao cho l©n cËn Uδ (a) ®-îc chøa trong tËp A (Uδ (a) ⊂ A). TËp A ⊂ Rn ®-îc gäi lµ tËp më nÕu mäi phÇn tö cña A ®Òu lµ ®iÓm trong cña A. Nãi c¸ch kh¸c víi mçi a ∈ A tån t¹i mét l©n cËn Uδ (a) sao cho Uδ (a) ⊂ A. Ta quy -íc tËp ∅ lµ tËp më. H×nh cÇu më Uδ (a) = {x ∈ Rn | |x − a| < δ} (hay {x ∈ Rn | d(x, a) < δ}) lµ tËp më. Nh- vËy h×nh cÇu më lµ tËp më vµ ë vÝ dô trªn ta ®· biÕt h×nh cÇu ®ãng lµ tËp ®ãng. TËp hîp sau trong Rn viÕt d-íi d¹ng tÝch §Ò c¸c cña n kho¶ng H = (a1, b1) × (a2, b2 ) × · · · × (an , bn ) ai < bi , ai , bi ∈ R, ∀i = 1, 2, ..., n lµ tËp më vµ H ®-îc gäi lµ h×nh hép trong Rn . T-¬ng tù tÝch §Ò c¸c cña n ®o¹n th¼ng [a1, b1] × [a2, b2] × · · · × [an , bn ] ai < bi, ai , bi ∈ R, ∀i = 1, 2, ..., n lµ tËp ®ãng vµ ®-îc gäi lµ h×nh hép ®ãng trong Rn . Ta còng dÔ dµng chøng minh ®-îc • Giao cña h÷u h¹n c¸c tËp më lµ tËp më. • Hîp cña h÷u h¹n hoÆc v« h¹n c¸c tËp më còng lµ tËp më. Cuèi cïng ta cã ®Þnh lÝ sau, chøng minh t-¬ng tù nh- trong R §Þnh lÝ 1.1.1 PhÇn bï (trong Rn ) cña tËp më lµ tËp ®ãng vµ phÇn bï cña tËp ®ãng lµ tËp më. TËp A ⊂ Rn ®-îc gäi lµ bÞ chÆn (hay tËp giíi néi) trong Rn nÕu tËp ®ã ®-îc chøa trong mét h×nh cÇu nµo ®ã ⇔ A ®-îc chøa trong mét h×nh cÇu t©m 0 b¸n kÝnh K > 0, A ⊂ UK (0) . Nãi c¸ch kh¸c tån t¹i sè K > 0 sao cho |a| K víi mäi a ∈ A. 1.1.3 Giíi h¹n cña d·y ®iÓm trong Rn Còng nh- trong gi¶i tÝch hµm mét biÕn, giíi h¹n lµ kh¸i niÖm c¬ së ban ®Çu. Mäi vÊn ®Ò cña gi¶i tÝch ®Òu dùa trªn kh¸i niÖm giíi h¹n. §Ó thuËn tiÖn trong kÝ hiÖu vµ kh«ng g©y nhÇm lÉn, ta viÕt x(1), x(2), ..., x(k), ... hay {x(k)}∞ lµ d·y k=1 c¸c ®iÓm trong Rn .
  7. 1.1 Kh«ng gian Rn 7 §Þnh nghÜa 1.1.2 D·y {x(k) }∞ ⊂ Rn héi tô vµ cã giíi h¹n b»ng a ∈ Rn , kÝ hiÖu: k=1 lim x(k) = a hoÆc x(k) → a, k→∞ nÕu lim |x(k) − a| = 0. k→∞ Ta còng cã thÓ nãi ®Çy ®ñ h¬n x(k) → a khi k → ∞ nÕu cho tr-íc > 0 tuú ý, tån t¹i mét sè tù nhiªn n0 = n0 ( ) ∈ N (n0 phô thuéc vµo ) sao cho víi mäi k n0 ta cã: |x(k) − a| < . D·y {x(k)}∞ kh«ng héi tô ®-îc gäi lµ d·y ph©n k×. 1 §Þnh nghÜa trªn t-¬ng ®-¬ng víi kh¼ng ®Þnh mäi d·y ®iÓm (vÐc t¬) trong Rn cã giíi h¹n b»ng 0 khi vµ chØ khi chuÈn cña c¸c vÐc t¬ ®ã dÇn tíi 0. §Þnh nghÜa giíi h¹n cña d·y ®iÓm nªu trªn cã thÓ diÔn ®¹t theo ng«n ng÷ l©n cËn nh- sau: lim x(k) = a khi vµ chØ khi mét l©n cËn bÊt k× cña ®iÓm a chøa mäi k→∞ sè h¹ng cña d·y {x(k)}∞ trõ h÷u h¹n sè h¹ng ®Çu. k=1 Hoµn toµn gièng nh- trong tËp c¸c sè thùc R, ta cã thÓ chøng minh d·y ®iÓm {x(k)}∞ cã giíi h¹n duy nhÊt nÕu d·y héi tô. H¬n n÷a ®Þnh lÝ sau cho ta mèi k=1 liªn hÖ gi÷a giíi h¹n cña d·y ®iÓm vµ giíi h¹n tõng thµnh phÇn §Þnh lÝ 1.1.2 Víi mäi d·y {x(k)}∞ trong Rn (k) (k) (k) k=1 x(k) = (x1 , x2 , ..., xn ) (k) lim x(k) = (a1 , a2, ..., an) ⇔ lim xi = ai ∀i = 1, 2, ..., n k→∞ k→∞ Chøng minh. ThËt vËy, kÝ hiÖu a = (a1, a2, ..., an) vµ theo ®Þnh nghÜa cña chuÈn (k) (k) (k) |x(k) − a| = (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an )2 , suy ra (k) (k) |xi − ai | |x(k) − a| |x1 − a1| + · · · + |x(k) − an |. n Tõ bÊt ®¼ng thøc thø nhÊt, theo nguyªn lÝ kÑp vÒ giíi h¹n d·y sè nÕu lim x(k) = a k→∞ (k) suy ra lim xi = ai ∀i = 1, 2, ..., n. k→∞ n (k) Ng-îc l¹i theo bÊt ®¼ng thøc thø hai, |xi − ai| → 0 kÐo theo i=1 lim x(k) = a. k→∞
  8. 8 Ch-¬ng I. Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè §Þnh lÝ trªn kh¼ng ®Þnh viÖc t×m giíi h¹n cña d·y ®iÓm {x(k) }∞ trong Rn k=1 (k) t-¬ng ®-¬ng víi viÖc t×m giíi h¹n cña c¸c thµnh phÇn täa ®é xi cña x(k) . Do vËy ta cßn nãi sù héi tô cña d·y ®iÓm x(k) trong Rn lµ sù héi tô theo täa ®é. Nh- vËy giíi h¹n cña d·y ®iÓm trong Rn (nÕu tån t¹i giíi h¹n) lµ duy nhÊt vµ cã tÝnh chÊt tuyÕn tÝnh còng nh- d·y sè trong R lim (x(k) + y(k)) = lim x(k) + lim y(k) k→∞ k→∞ k→∞ (k) (k) lim α · x = α · lim x , ∀α ∈ R. k→∞ k→∞ Trong kh«ng gian Rn , c¸c vÊn ®Ò t-¬ng tù nh- nguyªn lÝ kÑp, giíi h¹n d·y sè ®¬n ®iÖu vµ bÞ chÆn trong R, kh«ng cã ý nghÜa v× c¸c ®iÓm trong Rn kh«ng ®-îc s¾p thø tù. Tuy nhiªn ta vÉn cã kh¸i niÖm d·y Cauchy. §Þnh nghÜa 1.1.3 D·y {x(k) }∞ ®-îc gäi lµ d·y Cauchy trong Rn nÕu cho tr-íc k=1 > 0 tuú ý, tån t¹i mét sè tù nhiªn n0 = n0( ) ∈ N (n0 phô thuéc vµo ) sao cho víi mäi k, m n0 ta cã: |x(k) − x(m) | < . Râ rµng d·y {x(k) }∞ lµ d·y Cauchy khi vµ chØ khi c¸c d·y thµnh phÇn k=1 (k) {xi }∞ , k=1 ∀i = 1, 2, ..., n còng lµ c¸c d·y Cauchy trong R. Do vËy theo ®Þnh lÝ 1.1.2 ta cã §Þnh lÝ 1.1.3 D·y {x(k)}∞ trong Rn héi tô khi vµ chØ khi nã lµ d·y Cauchy. k=1 Kh¸i niÖm vÒ d·y con cña mét d·y ®iÓm trong Rn kh«ng cã g× kh¸c víi d·y con trong R. §Þnh lÝ 1.1.4 (Bolzano) Mäi d·y giíi néi trong Rn ®Òu chøa mét d·y con héi tô. (k) Chøng minh. Gi¶ sö d·y {x(k)}∞ trong Rn lµ d·y bÞ chÆn. D·y sè {x1 }∞ k=1 k=1 (thµnh phÇn thø nhÊt cña {x(k) }) bÞ chÆn, theo ®Þnh lÝ Bolzano vÒ d·y sè, d·y ®ã (k ) chøa mét d·y con {x1 1 }∞=1 héi tô. k1 XÐt mét d·y con (víi c¸c chØ sè k1 võa ®-îc ph¸t hiÖn) cña d·y {x(k1 )}∞=1 . k1 Thµnh phÇn thø hai cña nã còng bÞ chÆn, ¸p dông ®Þnh lÝ Bolzano vÒ d·y sè, nã (k ) còng chøa mét d·y con {x2 2 }∞=1 héi tô. k2 Cø nh- vËy, sau n b-íc lÆp l¹i, ta ®-îc mét d·y con {x(kn )}∞ =1 cña d·y ®· cho kn ban ®Çu, mäi thµnh phÇn cña d·y con nµy ®Òu héi tô. Theo ®Þnh lÝ 1.1.2, d·y con ®ã héi tô trong Rn , ®.p.c.m.
  9. 1.2 ¸nh x¹, giíi h¹n vµ liªn tôc cña ¸nh x¹ 9 1.2 ¸nh x¹, giíi h¹n vµ liªn tôc cña ¸nh x¹ 1.2.1 Giíi h¹n cña ¸nh x¹ ¸nh x¹ f : A → Rm trong ®ã A ⊂ Rn ®-îc gäi lµ hµm vÐc t¬ n biÕn. Tr-êng hîp riªng m = 1, ¸nh x¹ f : A → R ®-îc gäi lµ hµm sè n biÕn, hay hµm thùc n biÕn sè. VÝ dô ¸nh x¹ f : R+ × R → R3, f (x, y) = ln x + y, sin(x2 + y 2), x − y 2 lµ hµm vÐc t¬ 2 biÕn nhËn c¸c gi¸ trÞ trong R3 . ¸nh x¹ π : R3 → R, π(x, y, z) = y lµ phÐp chiÕu lªn thµnh phÇn thø hai (trôc tung). π lµ hµm thùc ba biÕn sè. Tæng qu¸t h¬n πk : Rn → R, π(x1, x2, ..., xn) = xk , phÐp chiÕu lªn thµnh phÇn thø k, lµ hµm thùc n biÕn sè. Víi hµm vÐc t¬ n biÕn f : A → Rm , A ⊂ Rn fk = πk ◦ f ®-îc gäi lµ thµnh phÇn thø k cña f vµ hiÓn nhiªn f = (f1 , f2 , ..., fm). Hµm thµnh phÇn fk : A → R lµ hµm thùc n biÕn sè. §Þnh nghÜa 1.2.1 Cho hµm vÐc t¬ n biÕn f : A → Rm , a lµ mét ®iÓm tô cña A. Ta nãi giíi h¹n cña hµm f b»ng b ∈ Rm trong qu¸ tr×nh x → a, kÝ hiÖu lim f (x) = b nÕu x→a ∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho khi x tháa m·n 0 < |x − a| < δ th× |f (x) − b| < . Nãi c¸ch kh¸c víi l©n cËn Uε (b) tuú ý cña b, tån t¹i mét l©n cËn Uδ (a) cña a sao cho khi x ∈ Uδ (a) ∩ A vµ x = a ta lu«n cã f (x) ∈ Uε (b). Còng nh- giíi h¹n hµm thùc mét biÕn sè, ta dÔ dµng chøng minh §Þnh lÝ 1.2.1 NÕu hµm f cã giíi h¹n trong qu¸ tr×nh x → a khi ®ã giíi h¹n cña hµm lµ duy nhÊt. Chøng minh hoµn toµn nh- chøng minh nguyªn lÝ chuyÓn ®æi giíi h¹n gi÷a hµm thùc mét biÕn sè vµ d·y sè, ta cã ®Þnh lÝ t-¬ng tù
  10. 10 Ch-¬ng I. Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè §Þnh lÝ 1.2.2 §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tån t¹i giíi h¹n lim f (x) = b lµ víi mäi d·y x→a ®iÓm {x(k)}∞ → a, d·y gi¸ trÞ t-¬ng øng {f (x(k) )}∞ còng tån t¹i giíi h¹n. k=1 k=1 (Suy ra c¸c giíi h¹n ®ã ph¶i b»ng nhau vµ cïng b»ng b, lim f (x(k)) = b.) k→∞ Do hµm vÐc t¬ n biÕn f = (f1, f2 , ..., fm) lµ mét bé cã thø tù gåm m hµm thµnh phÇn, theo ®Þnh lÝ 1.1.2 lim f (x) = b ⇔ lim fi (x) = bi víi mäi i = 1, 2, ..., m x→a x→a trong ®ã c¸c sè thùc bi lµ c¸c thµnh phÇn täa ®é cña b = (b1 , b2, ..., bm) trong Rm . Tõ nhËn xÐt nµy, trong thùc hµnh viÖc t×m giíi h¹n hµm vÐc t¬ sÏ ®¬n gi¶n h¬n nÕu ®-a vÒ bµi to¸n t×m giíi h¹n c¸c hµm thµnh phÇn fi , chóng lµ c¸c hµm thùc n biÕn sè. Chó ý r»ng song song víi kÝ hiÖu lim f (x) = b, víi a = (a1, a2, ..., an) ng-êi ta x→a cßn sö dông kÝ hiÖu d-íi ®©y vÒ giíi h¹n hµm vÐc t¬ n biÕn trong qu¸ tr×nh x = (x1 , x2, ..., xn) → a = (a1, a2, ..., an) lim f (x1 , x2, ..., xn) = b. x1 →a1 x2 →a2 ··· xn →an Sö dông ®Þnh lÝ 1.2.2, ta dÔ dµng chøng minh giíi h¹n hµm vÐc t¬ cã tÝnh tuyÕn tÝnh lim (f + g)(x) = lim f (x) + lim g(x), lim (αf )(x) = α lim f (x) x→a x→a x→a x→a x→a Víi hµm thùc nhiÒu biÕn sè, còng sö dông ®Þnh lÝ 1.2.2 vµ c¸c kÕt qu¶ liªn quan tíi giíi h¹n d·y sè thùc cña gi¶i tÝch hµm mét biÕn, kh«ng mÊy khã kh¨n ®Ó chøng minh kh¼ng ®Þnh sau • Gi¶ thiÕt f, g lµ c¸c hµm thùc n biÕn sè, tån t¹i c¸c giíi h¹n h÷u h¹n lim f (x) = u, lim g(x) = v. Khi ®ã x→a x→a f (x) u lim f (x) · g(x) = u · v, lim = (v = 0). x→a x→a g(x) v • Nguyªn lÝ kÑp vÉn ®óng víi hµm sè nhiÒu biÕn sè u, v : Rn → R u(x) f (x) v(x), lim u(x) = lim v(x) = L ⇒ lim f (x) = L x→a x→a x→a
  11. 1.2 ¸nh x¹, giíi h¹n vµ liªn tôc cña ¸nh x¹ 11 • §Æc biÖt tÝch cña mét VCB vµ hµm giíi néi còng lµ VCB trong cïng mét qu¸ tr×nh. Cô thÓ h¬n, gi¶ thiÕt α, f : Rn → R, f lµ hµm bÞ chÆn t¹i mét l©n cËn nµo ®ã cña a vµ lim α(x) = 0, khi ®ã x→a lim α(x) · f (x) = 0. x→a L-u ý r»ng nÕu lim f (x) = 0, ta còng nãi hµm vÐc t¬ f (x) lµ VCB trong qu¸ tr×nh x→a x → a vµ kÝ hiÖu f (x) = o(x). Ng-êi ta còng ®-a vµo kh¸i niÖm vÒ d·y ®iÓm dÇn ra v« cïng còng nh- kh¸i niÖm giíi h¹n hµm khi biÕn tiÕn dÇn ra v« cïng §Þnh nghÜa 1.2.2 • Ta nãi d·y ®iÓm {x(k)} dÇn ra v« cïng nÕu d·y sè {|x(k)|}∞ tiÕn tíi v« cïng k=1 lim |x(k) | = +∞. k→∞ • Ta nãi giíi h¹n cña hµm f b»ng b ∈ Rm trong qu¸ tr×nh x dÇn ra v« cïng, kÝ hiÖu lim f (x) = b nÕu |x|→∞ ∀ > 0, ∃K > 0 sao cho khi x tháa m·n |x| > K th× |f (x) − b| < . HoÆc t-¬ng ®-¬ng víi nã, diÔn ®¹t theo ng«n ng÷ d·y, víi bÊt k× d·y ®iÓm {x(k)} dÇn ra v« cïng, d·y gi¸ trÞ hµm t-¬ng øng {f (x(k))} lu«n dÇn tíi b. (k) (k) NhËn xÐt r»ng d·y ®iÓm {x(k) = (x1 , ..., xn )} trong Rn dÇn ra v« cïng khi vµ n (k) (k) chØ khi d·y sè |xi | (hoÆc max |xi |) cã giíi h¹n b»ng v« cïng. i=1 1 i n Trong c¸c vÝ dô vÒ giíi h¹n hµm hai biÕn (hoÆc ba biÕn) qu¸ tr×nh x = (x, y) hoÆc x = (x, y, z) dÇn ra v« cïng th-êng ®-îc cho cô thÓ h¬n. Ch¼ng h¹n c¸c giíi h¹n d-íi ®©y ®-îc xÐt trong qu¸ tr×nh x tiÕn ra v« cïng theo c¸c d¹ng kh¸c nhau lim f (x, y) hoÆc x→x f (x, y) hoÆc x→x f (x, y, z) ... lim lim x→+∞ 0 0 y→−∞ y→∞ y→+∞ z→−∞ Giíi h¹n thø nhÊt ®-îc xÐt trong qu¸ tr×nh c¶ hai thµnh phÇn täa ®é x vµ y cïng tiÕn ra v« cïng: x tiÕn ®Õn +∞, y tiÕn ®Õn −∞. Giíi h¹n thø hai ®-îc xÐt trong qu¸ tr×nh y tiÕn ra v« cïng trong khi x → x0 . Giíi h¹n thø ba ®-îc xÐt trong qu¸ tr×nh x → x0 , ®ång thêi c¶ hai thµnh phÇn täa ®é y, z cïng tiÕn ra v« cïng.
  12. 12 Ch-¬ng I. Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè Ch¼ng h¹n trong gi¶i tÝch hµm mét biÕn ta ®· biÕt lim te−t = 0, suy ra t→+∞ lim (x + y)e−(x+y) = 0. x→+∞ y→+∞ Tuy nhiªn dÔ dµng chøng minh kh«ng tån t¹i giíi h¹n lim (x + y)e−x. x→+∞ y→+∞ VÝ dô 1.2.1 (VÒ giíi h¹n hµm vÐc t¬, hµm sè nhiÒu biÕn sè) 1. T×m giíi h¹n 2x4 + x − xy + y 4 lim x→1 y→0 x2 + y 2 L-u ý r»ng khi f lµ hµm thùc hai biÕn, thay v× viÕt lim f (x, y) ng-êi (x,y)→(a,b) ta quen sö dông kÝ hiÖu x→af (x, y) khi viÕt c¸c biÓu thøc giíi h¹n. §iÒu lim y→b ®ã ®«i khi còng x¶y ra víi c¶ c¸c hµm thùc ba biÕn sè. Quay l¹i vÝ dô trªn, hµm x2 + y 2 ë d-íi mÉu cña ph©n thøc tiÕn ®Õn 1, cßn biÓu thøc trªn tö cña ph©n thøc, 2x4 + x − xy + y 4 → 3 trong qu¸ tr×nh (x, y) → (1, 0). Theo c¸c nhËn xÐt ë trªn 2x4 + x − xy + y 4 lim = 3. x→1 y→0 x2 + y 2 2. Giíi h¹n 2 +y 2 ) lim (x + y)e−(x x→∞ =0 y→∞ khi x, y dÇn ra v« cïng. ThËt vËy 2 +y 2 ) 2 +y 2 ) 2 +y 2 ) lim (x + y)e−(x x→∞ = x→∞ xe−(x lim + x→∞ ye−(x lim y→∞ y→∞ y→∞ vµ mçi sè h¹ng cã giíi h¹n b»ng 0 khi x → ∞, y → ∞ 2 +y 2 ) |x| 2 +y 2 ) |y| 0 < xe−(x → 0, 0 < ye−(x → 0. ex2 ey2
  13. 1.2 ¸nh x¹, giíi h¹n vµ liªn tôc cña ¸nh x¹ 13 3. Giíi h¹n x + 2y lim(x + 2y) sin = 0. x→0 y→0 x2 + 2y 2 ThËt vËy lim(x + 2y) = 0, trong khi thõa sè thø hai lµ hµm bÞ chÆn x→0 y→0 | sin xx+2y2 | 2 +2y 1 trªn R2 . 4. Chøng minh kh«ng tån t¹i giíi h¹n xy lim . x→0 x2 + y 2 y→0 ThËt vËy, kÝ hiÖu f (x, y) = x2xy 2 lµ hµm cÇn t×m giíi h¹n. Chän d·y +y {an = (x , y )} lµ d·y ®iÓm tiÕn tíi 0 trªn ®-êng th¼ng y = x (ch¼ng (n) (n) h¹n x(n) = y (n) = n , khi ®ã d·y gi¸ trÞ hµm t-¬ng øng {f (an ) = 1 } lµ d·y 1 2 h»ng sè dÇn tíi 1 . 2 Chän d·y ®iÓm kh¸c {bn } tiÕn tíi 0 trªn ®-êng th¼ng y = 2x , khi ®ã d·y gi¸ trÞ hµm t-¬ng øng {f (bn ) = 2 } dÇn tíi 2 . 5 5 Nh- vËy giíi h¹n hai d·y sè lim f (an ) = lim f (bn ), theo ®Þnh lÝ 1.2.2, giíi n→∞ n→∞ h¹n hµm ®· cho kh«ng tån t¹i. 5. XÐt giíi h¹n hµm vÐc t¬ x4 y4 lim , x→0 y→0 x2 + y 2 x2 + y 2 ¸p dông ®Þnh lÝ 1.1.2, bµi to¸n ®-a vÒ t×m c¸c giíi h¹n thµnh phÇn x4 x4 x2 → 0 ⇒ lim =0 x2 + y 2 x→0 x2 + y 2 y→0 y4 y4 y2 → 0 ⇒ lim =0 x2 + y 2 x→0 x2 + y 2 y→0 4 4 VËy giíi h¹n hµm vÐc t¬ lim( x2x 2 , x2y 2 ) = (0, 0). +y +y x→0 y→0
  14. 14 Ch-¬ng I. Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè 6. T×m giíi h¹n x2 + (y − 1)2 + 1 − 1 A = lim x→0 y→1 x2 + (y − 1)2 Nh©n c¶ tö vµ mÉu víi biÓu thøc liªn hîp 1 1 A = lim = . x→0 y→1 x2 + (y − 1)2 + 1 + 1 2 1.2.2 Giíi h¹n lÆp Trong hµm sè nhiÒu biÕn cã mét kh¸i niÖm gäi lµ giíi h¹n lÆp. §Ó thuËn tiÖn ta xÐt hµm thùc hai biÕn f (x, y) x¸c ®Þnh trong l©n cËn ®iÓm M(x0, y0 ) (cã thÓ trõ ®iÓm M), giíi h¹n lÆp cña hµm ®-îc viÕt d-íi d¹ng lim lim f (x, y) , lim lim f (x, y) x→x0 y→y0 y→y0 x→x0 VÒ giíi h¹n lÆp thø nhÊt lim lim f (x, y) , biÓu thøc trong ngoÆc ®-îc hiÓu nh- x→x0 y→y0 lµ giíi h¹n hµm f (x, y) víi x lµ tham sè (x cè ®Þnh kh«ng biÕn thiªn) trong qu¸ tr×nh y → y0 f1 (x) = lim f (x, y). y→y0 Gi¶ thiÕt hµm f1 (x) x¸c ®Þnh t¹i l©n cËn ®iÓm x = x0 (cã thÓ trõ ®iÓm x0 ), khi ®ã giíi h¹n lÆp ®ang xÐt chÝnh lµ giíi h¹n hµm f1 trong qu¸ tr×nh x → x0 lim lim f (x, y) = lim f1(x). x→x0 y→y0 x→x0 T-¬ng tù ®èi víi giíi h¹n lÆp thø hai, nã ®-îc x¸c ®Þnh th«ng qua sù tån t¹i cña c¸c giíi h¹n f2 (y) = lim f (x, y) vµ lim lim f (x, y) = lim f2 (y). x→x0 y→y0 x→x0 y→y0 Víi hµm ba biÕn f (x, y, z) ta cã thÓ nh¾c ®Õn nhiÒu giíi h¹n lÆp kh¸c nhau. Ch¼ng h¹n mçi c¸ch ho¸n vÞ ba biÕn {x, y, z} t-¬ng øng víi mét giíi h¹n lÆp lim lim lim f (x, y, z), lim lim lim f (x, y, z), lim lim lim f (x, y, z), ... x→x0 y→y0 z→z0 y→y0 x→x0 z→z0 y→y0 z→z0 x→x0
  15. 1.2 ¸nh x¹, giíi h¹n vµ liªn tôc cña ¸nh x¹ 15 Ngoµi ra ta còng cßn gÆp c¸c giíi h¹n lÆp d¹ng lim lim f (x, y, z) hoÆc x→x0 z→z0 lim lim f (x, y, z), ... x→x0 y→y0 y→y0 z→z0 Mét c¸ch tæng qu¸t, xÐt hµm vÐc t¬ n + k biÕn f : D = A × B ⊂ Rn+k → Rm , A ⊂ Rn , B ⊂ Rk . Gi¶ sö M0 (a, b) lµ ®iÓm tô cña D. Víi mçi y ∈ B cè ®Þnh gi¶ thiÕt r»ng tån t¹i giíi h¹n g(y) = lim f (x, y). x→a NÕu tån t¹i tiÕp giíi h¹n lim g(y) = u ∈ Rm y→b trong qu¸ tr×nh y → b th× u ®-îc gäi lµ giíi h¹n lÆp cña f vµ kÝ hiÖu lim lim f (x, y) = u. y→b x→a T-¬ng tù ta cã thÓ nãi ®Õn giíi h¹n lÆp lim lim f (x, y) = v. x→a y→b C¸c giíi h¹n lÆp ®ã nãi chung kh«ng b»ng nhau. VÝ dô Cho hµm f : R+ × R+ → R x − y + x2 + y 2 f (x, y) = x+y Giíi h¹n lÆp thø nhÊt x − y + x2 + y 2 f1(x) = lim = 1 + x ⇒ lim lim f (x, y) = lim (1 + x) = 1. y→0+ x+y x→0+ y→0+ x→0+ Giíi h¹n lÆp thø hai cho ta kÕt qu¶ kh¸c giíi h¹n lÆp thø nhÊt x − y + x2 + y 2 f2 (y) = lim = −1 + y ⇒ lim lim f (x, y) = −1. x→0+ x+y y→0+ x→0+
  16. 16 Ch-¬ng I. Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè NhËn xÐt r»ng trong qu¸ tr×nh (x, y) → (0, 0) kh«ng tån t¹i giíi h¹n hµm x − y + x2 + y 2 lim f (x, y) = lim x→0 y→0 x→0 y→0 x+y (§Ó ph©n biÖt víi giíi h¹n lÆp, giíi h¹n ë trªn cña hµm f (x, y) trong qu¸ tr×nh (x, y) → (0, 0) cßn ®-îc gäi lµ giíi h¹n béi). ThËt vËy gi¸ trÞ cña hµm t¹i c¸c ®iÓm trªn ®-êng th¼ng y = kx (1 − k)x + (1 + k 2 )x2 1−k f (x, kx) = → khi x → 0. (1 + k)x 1+k Do vËy nÕu chän d·y ®iÓm {an } tiÕn tíi 0 trªn ®-êng th¼ng y = k1 x vµ chän d·y ®iÓm kh¸c {bn } tiÕn tíi 0 trªn ®-êng th¼ng y = k2 x, k1 = k2 , c¸c d·y gi¸ trÞ hµm t-¬ng øng {f (an )} vµ {f (bn )} dÇn tíi c¸c giíi h¹n kh¸c nhau, theo ®Þnh lÝ 1.2.2, giíi h¹n hµm lim f (x, y) kh«ng tån t¹i. x→0 y→0 Mèi liªn hÖ gi÷a giíi h¹n lÆp vµ giíi h¹n béi ®-îc thÓ hiÖn trong ®Þnh lÝ sau §Þnh lÝ 1.2.3 Cho hµm vÐc t¬ n + k biÕn f : D = A × B ⊂ Rn+k → Rm , A ⊂ Rn , B ⊂ Rk Gi¶ sö M0 (a, b) lµ ®iÓm tô cña D. NÕu tån t¹i giíi h¹n béi lim f (x, y) (x,y)→(a,b) ®ång thêi gi¶ thiÕt r»ng víi mçi y ∈ B tån t¹i giíi h¹n g(y) = lim f (x, y). x→a Khi ®ã tån t¹i giíi h¹n lÆp vµ giíi h¹n lÆp ®ã b»ng giíi h¹n béi lim lim f (x, y) = lim f (x, y) y→b x→a (x,y)→(a,b) Chøng minh. Ta chØ chøng minh cho tr-êng hîp hµm thùc 2 biÕn, c¸c tr-êng hîp kh¸c còng chøng minh t-¬ng tù, tuy cã khã kh¨n ®«i chót do kÝ hiÖu phøc t¹p h¬n.
  17. 1.2 ¸nh x¹, giíi h¹n vµ liªn tôc cña ¸nh x¹ 17 Gi¶ sö tån t¹i c¸c giíi h¹n lim f (x, y) = a, x→x0 lim f (x, y) = f1 (x) y→y0 y→y0 Ta sÏ chøng minh giíi h¹n lÆp lim lim f (x, y) = lim f1(x) tån t¹i vµ b»ng a. x→x0 y→y0 x→x0 ThËt vËy, víi ε > 0 tïy ý cho tr-íc, tån t¹i mét l©n cËn U cña (x0, y0 ) sao cho ∀(x, y) ∈ U, (x, y) = (x0 , y0) |f (x, y) − a| ε. Cho y → y0 trong bÊt ®¼ng thøc trªn, ta ®-îc |f1 (x) − a| ε, suy ra ®pcm. NhËn xÐt r»ng sù tån t¹i giíi h¹n hµm x→x f (x, y) kh«ng kÐo theo sù tån t¹i lim 0 y→y0 c¸c giíi h¹n lÆp. Ch¼ng h¹n xÐt vÝ dô sau, hµm 1 x sin y nÕu y = 0 f (x, y) = 0 nÕu y = 0 cã giíi h¹n béi limf (x, y) = 0 (tÝch cña mét VCB vµ hµm bÞ chÆn), nh-ng kh«ng x→0 y→0 tån t¹i giíi h¹n lÆp lim limf (x, y). (Do kh«ng tån t¹i lim sin 1 ). y x→0y→0 y→0 Tuy nhiªn phï hîp víi ®Þnh lÝ trªn lim limf (x, y) = 0. y→0x→0 1.2.3 Hµm liªn tôc §Þnh nghÜa 1.2.3 Cho hµm vÐc t¬ f : D → Rm , trong ®ã D ⊂ Rn . Ta nãi hµm f liªn tôc t¹i a ∈ D nÕu cho tr-íc mét l©n cËn bÊt k× V (f (a)) cña f (a), tån t¹i mét l©n cËn U (a) sao cho víi mäi x ∈ D ∩ U (a) ta cã f (x) ∈ V (f (a)) hay f (D ∩ U (a)) ⊂ V (f (a)). Ta nãi hµm f liªn tôc trªn miÒn D nÕu f liªn tôc t¹i mäi ®iÓm thuéc D. §iÓm a ∈ D ®-îc gäi lµ ®iÓm gi¸n ®o¹n cña f nÕu hµm f kh«ng liªn tôc t¹i ®ã. §Þnh nghÜa trªn hoµn toµn gièng nh- ®Þnh nghÜa hµm mét biÕn liªn tôc. NÕu a lµ ®iÓm c« lËp cña tËp D hiÓn nhiªn f liªn tôc t¹i a. Tr-êng hîp a ∈ D lµ
  18. 18 Ch-¬ng I. Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè ®iÓm tô cña D, ®Þnh nghÜa trªn còng cã nghÜa lµ giíi h¹n b»ng gi¸ trÞ thay thÕ cña hµm t¹i a lim f (x) = f (a). x→a ¸p dông nhËn xÐt ngay sau ®Þnh lÝ 1.2.2 vÒ sù t-¬ng ®-¬ng gi÷a giíi h¹n hµm vÐc t¬ vµ c¸c giíi h¹n thµnh phÇn ta cã kÕt qu¶ §Þnh lÝ 1.2.4 Cho hµm vÐc t¬ f = (f1 , f2, ..., fm) : D → Rm , D ⊂ Rn . • Hµm f liªn t¹i a ∈ D khi vµ chØ khi c¸c hµm thµnh phÇn fk liªn tôc t¹i a ∈ D víi mäi k = 1, 2, ..., m. • Hµm vÐc t¬ f liªn tôc trªn D khi vµ chØ khi c¸c hµm thµnh phÇn fk liªn tôc trªn D víi mäi k = 1, 2, ..., m. Tõ ®Þnh nghÜa vÒ hµm liªn tôc còng nh- tõ c¸c tÝnh chÊt giíi h¹n hµm vÐc t¬, hµm liªn tôc cã c¸c tÝnh chÊt sau (c¸ch chøng minh nh- ®· chøng minh trong gi¶i tÝch hµm thùc mét biÕn sè) • C¸c hµm f , g : D → Rm , D ⊂ Rn liªn tôc t¹i cïng mét ®iÓm a ∈ D. Khi ®ã c¸c hµm f + g, f − g, α · f , (α ∈ R) còng liªn tôc t¹i a. • NÕu f, g : D → R, D ⊂ Rn lµ c¸c hµm thùc n biÕn liªn tôc t¹i a ∈ D, khi ®ã hµm tÝch f.g liªn tôc t¹i a vµ hµm th-¬ng f còng liªn tôc t¹i a víi gi¶ g thiÕt g(a) = 0. • PhÐp hîp thµnh g ◦ f liªn tôc t¹i a nÕu hµm f liªn tôc t¹i a vµ g liªn tôc t¹i f (a). Còng nh- hµm sè mét biÕn sè, mét trong c¸c tÝnh chÊt rÊt quan träng cña hµm sè nhiÒu biÕn sè liªn tôc trªn mét miÒn ®ãng vµ giíi néi lµ ®Þnh lÝ sau §Þnh lÝ 1.2.5 Cho f : D → R lµ hµm liªn tôc trªn tËp D ®ãng vµ giíi néi trong Rn . Khi ®ã hµm f ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt trªn miÒn D. TËp ®ãng vµ giíi néi trong Rn còng ®-îc gäi lµ tËp comp¾c. Chøng minh. Tr-íc hÕt ta chøng minh hµm f bÞ chÆn trªn D. Gi¶ sö ng-îc l¹i, khi ®ã víi mçi k ∈ N ∗ tån t¹i x(k) ∈ D sao cho |f (x(k))| > k (hay lim |f (x(k) )| = k→∞ +∞). D·y {x(k)}∞ ⊂ D lµ d·y bÞ chÆn, theo ®Þnh lÝ Bolzano tån t¹i mét d·y con 1 {x(ki ) }∞ héi tô tíi a ∈ D (do D lµ tËp ®ãng). MÆt kh¸c f lµ hµm liªn tôc trªn i=1 D nªn còng liªn tôc t¹i a. VËy lim f (x(ki ) ) = f (a), i→∞
  19. 1.2 ¸nh x¹, giíi h¹n vµ liªn tôc cña ¸nh x¹ 19 m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt ph¶n chøng lim |f (x(k))| = +∞. k→∞ KÝ hiÖu M = supf (x). Ta sÏ chøng minh M lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm f x∈D trªn D. ThËt vËy tõ ®Þnh nghÜa vÒ cËn trªn ®óng, tån t¹i mét d·y {x(k)} ⊂ D tháa m·n lim f (x(k)) = M. k→∞ Còng theo ®Þnh lÝ Bolzano, d·y ®ã chøa mét d·y con {x(ki) }∞ héi tô tíi a ∈ D i=1 vµ lim f (x(ki ) ) = f (a) = M. i→∞ Chøng minh t-¬ng tù, hµm còng ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt trªn D. §Þnh nghÜa 1.2.4 TËp D ⊂ Rn ®-îc gäi lµ tËp liªn th«ng nÕu víi bÊt k× 2 ®iÓm a, b ∈ D tån t¹i mét hµm liªn tôc f : [0, 1] → D sao cho f (0) = a vµ f (1) = b. VÒ mÆt trùc gi¸c, tËp ¶nh cña hµm liªn tôc f : [0, 1] → D (f chiÕu ®o¹n [0, 1] vµo tËp D) lµ mét ®-êng cong liÒn nÐt trong D. Do vËy theo ®Þnh nghÜa trªn ta lu«n h×nh dung tËp liªn th«ng D lµ tËp cã tÝnh chÊt: gi÷a 2 ®iÓm bÊt k× lu«n tån t¹i mét ®-êng cong liÒn nÐt n»m trong D nèi 2 ®iÓm ®ã. HiÓn nhiªn tËp A trªn ®-êng th¼ng thùc lµ tËp liªn th«ng khi vµ chØ khi A lµ mét kho¶ng ®ãng hoÆc më hoÆc nöa ®ãng, nöa më (bÞ chÆn hoÆc kh«ng bÞ chÆn) trªn R. Nãi c¸ch kh¸c tËp liªn th«ng trªn ®-êng th¼ng thùc chØ cã thÓ lµ mét trong c¸c tËp sau (a, b), [a, b), (a, b], [a, b] hoÆc (−∞, a), (−∞, a], (b, +∞), [b, +∞). Ng-êi ta chøng minh ®-îc r»ng tËp ¶nh cña mét tËp liªn th«ng qua ¸nh x¹ liªn tôc còng lµ tËp liªn th«ng. Tr-êng hîp ®Æc biÖt nÕu hµm f : D → R liªn tôc trªn tËp liªn th«ng D ⊂ Rn , gi¸ trÞ hµm f tr¸i dÊu t¹i 2 ®iÓm a, b ∈ D nµo ®ã trong D: f (a) · f (b) < 0. Khi ®ã tån t¹i c ∈ D sao cho f (c) = 0.
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản