Vui lòng download xuống để xem tài liệu đầy đủ.

Giải tích II

Chia sẻ: | Ngày: | Loại File: pdf | 19 trang

0
1.076
lượt xem
99
download

Sách dùng cho sinh viên trường Đại học xây dựng và sinh viên trường đại học, cao đẳng kĩ thuật

Giải tích II
Nội dung Text

  1. MôC LôC 1 Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè 3 1.1 Kh«ng gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 ChuÈn vµ kho¶ng c¸ch trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 L©n cËn, tËp ®ãng, tËp më vµ tËp bÞ chÆn . . . . . . . . . 4 1.1.3 Giíi h¹n cña d·y ®iÓm trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 ¸nh x¹, giíi h¹n vµ liªn tôc cña ¸nh x¹ . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Giíi h¹n cña ¸nh x¹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Giíi h¹n lÆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.3 Hµm liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1
  2. gi¶i tÝch II S¸ch dïng cho sinh viªn tr-êng §¹i häc x©y dùng vµ sinh viªn c¸c tr-êng §¹i häc, Cao ®¼ng kÜ thuËt 2
  3. Ch-¬ng 1 Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè 1.1 Kh«ng gian Rn 1.1.1 ChuÈn vµ kho¶ng c¸ch trong Rn Phï hîp víi kÝ hiÖu trong gi¸o tr×nh §¹i sè vµ Gi¶i tÝch I, trong s¸ch nµy ta kÝ hiÖu R lµ tËp c¸c sè thùc, Rn lµ kh«ng gian vÐc t¬ víi c¸c phÐp to¸n u + v = (u1 + v1, u2 + v2, · · · , un + vn ) αu = α(u1 , u2, ..., un) = (αu1 , αu2 , ..., αun) víi mäi α ∈ R, u = (u1 , u2, ..., un), v = (v1, v2, ..., vn) ∈ Rn . C¸c vÐc t¬ thuéc Rn , trong gi¸o tr×nh nµy cßn ®-îc gäi lµ c¸c ®iÓm trong kh«ng gian Rn vµ ngoµi c¸c kÝ hiÖu ta th-êng sö dông lµ c¸c ch÷ in ®Ëm nh- a, b, u, v, ... ta cßn kÝ hiÖu chóng b»ng c¸c ch÷ in hoa nh- M, N, A, B, ... Kh«ng gian Rn lµ kh«ng gian ¬clit víi tÝch v« h-íng u, v = u1 v1 + u2v2 + · · · + un vn . §é dµi cña vÐc t¬ u = (u1 , u2, ..., un) ∈ Rn , kÝ hiÖu |u|, ®-îc gäi lµ chuÈn trong kh«ng gian Rn |u| = u2 + u2 + · · · + u2 1 2 n ChuÈn cña vÐc t¬ u tÝnh theo c«ng thøc trªn cßn ®-îc gäi lµ chuÈn ¬clit trong Rn . Thùc chÊt chuÈn cña vÐc t¬ lµ mét ¸nh x¹ tõ Rn vµo R, nã cã c¸c tÝnh chÊt 3
  4. 4 Ch-¬ng I. Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè • Víi mäi u ∈ Rn , |u| 0, ®ång thêi |u| = 0 khi vµ chØ khi u = 0. • |λu| = |λ| · |u| víi mäi λ ∈ R mäi u ∈ Rn . • |u + v| |u| + |v| víi mäi u, v ∈ Rn (bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c). Chó ý r»ng ¸nh x¹ |x| : Rn → R ®-îc x¸c ®Þnh |x| = max |xi| x = (x1, x2 , ..., xn) 1 i n còng tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt trªn nh- chuÈn ¬clit, nã cßn ®-îc gäi lµ chuÈn max trong Rn . L-u ý r»ng ta cã thÓ cã nhiÒu chuÈn kh¸c nhau trªn kh«ng gian Rn , trong gi¸o tr×nh nµy ta h¹n chÕ chØ xÐt chuÈn ¬clit. §Ó x©y dùng kh¸i niÖm giíi h¹n, kh¸i niÖm c¬ b¶n cña gi¶i tÝch trªn Rn , còng nh- trong gi¶i tÝch I, ta cÇn kh¸i niÖm vÒ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt k× trong kh«ng gian Rn . Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm x = (x1 , x2, ..., xn), y = (y1 , y2, ..., yn) ∈ Rn ®-îc x¸c ®Þnh n d(x, y) = |x − y| = (xi − yi )2 i=1 Tõ c¸c tÝnh chÊt cña chuÈn, ta suy ra c¸c tÝnh chÊt cña kho¶ng c¸ch • Víi mäi x, y ∈ Rn , d(x, y) 0 vµ d(x, y) = 0 khi vµ chØ khi x = y. • d(x, y) = d(y, x) víi mäi x, y ∈ Rn . • d(x, z) d(x, y) + d(y, z) víi mäi x, y, z ∈ Rn (bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c). Chó ý kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm x, y ∈ Rn cã thÓ ®-îc x¸c ®Þnh th«ng qua chuÈn max d (x, y) = |x − y| = max |xi − yi |. 1 i n Kho¶ng c¸ch d còng tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt trªn. 1.1.2 L©n cËn, tËp ®ãng, tËp më vµ tËp bÞ chÆn §Þnh nghÜa 1.1.1 Gi¶ sö a lµ ®iÓm thuéc Rn , δ > 0 lµ sè thùc d-¬ng tuú ý. Ng-êi ta gäi tËp hîp Uδ (a) = {x ∈ Rn | |x − a| < δ} hoÆc {x ∈ Rn | d(x, a) < δ}
  5. 1.1 Kh«ng gian Rn 5 lµ l©n cËn b¸n kÝnh δ > 0 cña ®iÓm a ∈ Rn (hoÆc cßn gäi lµ h×nh cÇu më t©m a b¸n kÝnh δ). NÕu V ⊂ Rn vµ V chøa mét l©n cËn b¸n kÝnh δ > 0 nµo ®ã cña ®iÓm a th× V ®-îc gäi lµ l©n cËn cña a. Chó ý r»ng l©n cËn cña mét ®iÓm trong Rn còng cã thÓ ®-îc ®Þnh nghÜa th«ng qua chuÈn max. Ta dÔ dµng chøng minh ®-îc hÖ thèng c¸c l©n cËn cña mét ®iÓm lu«n nh- nhau cho dï nã ®-îc x¸c ®Þnh theo chuÈn nµo (chuÈn ¬clit hay chuÈn max) trong Rn . HiÓn nhiªn hîp hoÆc giao cña hai l©n cËn cña ®iÓm a còng lµ l©n cËn cña a. Hoµn toµn gièng nh- c¸c kh¸i niÖm t«p« trong R, ta cã thÓ nãi ®Õn ®iÓm tô, ®iÓm c« lËp, tËp ®ãng, tËp më trong kh«ng gian Rn . Gi¶ sö H ⊂ Rn lµ tËp con trong Rn . §iÓm a ∈ Rn ®-îc gäi lµ ®iÓm tô cña tËp H nÕu mäi l©n cËn cña a chøa v« h¹n c¸c phÇn tö cña H (®iÓm tô cña tËp H cã thÓ thuéc H còng cã thÓ kh«ng thuéc tËp H). DÔ dµng chøng minh a lµ ®iÓm tô cña tËp H khi vµ chØ khi mäi l©n cËn cña a chøa Ýt nhÊt mét phÇn tö kh¸c a thuéc H. Ch¼ng h¹n Uδ (a) lµ h×nh cÇu më t©m a b¸n kÝnh δ. Mäi ®iÓm x ∈ Rn tháa m·n tÝnh chÊt |x − a| = δ (hay d(x, a) = δ) lµ ®iÓm tô cña h×nh cÇu ®ã. H ⊂ Rn ®-îc gäi lµ tËp ®ãng trong Rn nÕu nã chøa mäi ®iÓm tô (nÕu cã) cña H. (Ta quy -íc tËp ∅ lµ tËp ®ãng). TËp hîp chØ gåm h÷u h¹n phÇn tö lµ tËp ®ãng, ®Æc biÖt tËp Bδ (a) = {x ∈ Rn | |x − a| δ} (hay {x ∈ Rn | d(x, a) δ}) lµ tËp ®ãng. Bδ (a) cßn ®-îc gäi lµ h×nh cÇu ®ãng t©m a b¸n kÝnh δ. Ta dÔ dµng chøng minh ®-îc • Hîp cña h÷u h¹n c¸c tËp ®ãng lµ tËp ®ãng. • Giao cña h÷u h¹n hoÆc v« h¹n c¸c tËp ®ãng còng lµ tËp ®ãng. §iÓm a ∈ H ®-îc gäi lµ ®iÓm c« lËp cña tËp H ⊂ Rn nÕu tån t¹i mét l©n cËn Uδ (a) cña a sao cho Uδ (a) ∩ H = {a}. §iÓm a ∈ Rn ®-îc gäi lµ ®iÓm biªn cña tËp H nÕu mét l©n cËn bÊt k× cña a ®Òu chøa Ýt nhÊt mét ®iÓm thuéc H vµ mét ®iÓm kh«ng thuéc H. §iÓm b ∈ Rn ®-îc gäi lµ ®iÓm ngoµi cña tËp H nÕu tån t¹i mét l©n cËn Uδ (b) cña b sao cho Uδ (b) ∩ H = ∅.
  6. 6 Ch-¬ng I. Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè §iÓm a ∈ A ®-îc gäi lµ ®iÓm trong cña tËp A ⊂ Rn nÕu tån t¹i mét l©n cËn Uδ (a) cña a sao cho l©n cËn Uδ (a) ®-îc chøa trong tËp A (Uδ (a) ⊂ A). TËp A ⊂ Rn ®-îc gäi lµ tËp më nÕu mäi phÇn tö cña A ®Òu lµ ®iÓm trong cña A. Nãi c¸ch kh¸c víi mçi a ∈ A tån t¹i mét l©n cËn Uδ (a) sao cho Uδ (a) ⊂ A. Ta quy -íc tËp ∅ lµ tËp më. H×nh cÇu më Uδ (a) = {x ∈ Rn | |x − a| < δ} (hay {x ∈ Rn | d(x, a) < δ}) lµ tËp më. Nh- vËy h×nh cÇu më lµ tËp më vµ ë vÝ dô trªn ta ®· biÕt h×nh cÇu ®ãng lµ tËp ®ãng. TËp hîp sau trong Rn viÕt d-íi d¹ng tÝch §Ò c¸c cña n kho¶ng H = (a1, b1) × (a2, b2 ) × · · · × (an , bn ) ai < bi , ai , bi ∈ R, ∀i = 1, 2, ..., n lµ tËp më vµ H ®-îc gäi lµ h×nh hép trong Rn . T-¬ng tù tÝch §Ò c¸c cña n ®o¹n th¼ng [a1, b1] × [a2, b2] × · · · × [an , bn ] ai < bi, ai , bi ∈ R, ∀i = 1, 2, ..., n lµ tËp ®ãng vµ ®-îc gäi lµ h×nh hép ®ãng trong Rn . Ta còng dÔ dµng chøng minh ®-îc • Giao cña h÷u h¹n c¸c tËp më lµ tËp më. • Hîp cña h÷u h¹n hoÆc v« h¹n c¸c tËp më còng lµ tËp më. Cuèi cïng ta cã ®Þnh lÝ sau, chøng minh t-¬ng tù nh- trong R §Þnh lÝ 1.1.1 PhÇn bï (trong Rn ) cña tËp më lµ tËp ®ãng vµ phÇn bï cña tËp ®ãng lµ tËp më. TËp A ⊂ Rn ®-îc gäi lµ bÞ chÆn (hay tËp giíi néi) trong Rn nÕu tËp ®ã ®-îc chøa trong mét h×nh cÇu nµo ®ã ⇔ A ®-îc chøa trong mét h×nh cÇu t©m 0 b¸n kÝnh K > 0, A ⊂ UK (0) . Nãi c¸ch kh¸c tån t¹i sè K > 0 sao cho |a| K víi mäi a ∈ A. 1.1.3 Giíi h¹n cña d·y ®iÓm trong Rn Còng nh- trong gi¶i tÝch hµm mét biÕn, giíi h¹n lµ kh¸i niÖm c¬ së ban ®Çu. Mäi vÊn ®Ò cña gi¶i tÝch ®Òu dùa trªn kh¸i niÖm giíi h¹n. §Ó thuËn tiÖn trong kÝ hiÖu vµ kh«ng g©y nhÇm lÉn, ta viÕt x(1), x(2), ..., x(k), ... hay {x(k)}∞ lµ d·y k=1 c¸c ®iÓm trong Rn .
  7. 1.1 Kh«ng gian Rn 7 §Þnh nghÜa 1.1.2 D·y {x(k) }∞ ⊂ Rn héi tô vµ cã giíi h¹n b»ng a ∈ Rn , kÝ hiÖu: k=1 lim x(k) = a hoÆc x(k) → a, k→∞ nÕu lim |x(k) − a| = 0. k→∞ Ta còng cã thÓ nãi ®Çy ®ñ h¬n x(k) → a khi k → ∞ nÕu cho tr-íc > 0 tuú ý, tån t¹i mét sè tù nhiªn n0 = n0 ( ) ∈ N (n0 phô thuéc vµo ) sao cho víi mäi k n0 ta cã: |x(k) − a| < . D·y {x(k)}∞ kh«ng héi tô ®-îc gäi lµ d·y ph©n k×. 1 §Þnh nghÜa trªn t-¬ng ®-¬ng víi kh¼ng ®Þnh mäi d·y ®iÓm (vÐc t¬) trong Rn cã giíi h¹n b»ng 0 khi vµ chØ khi chuÈn cña c¸c vÐc t¬ ®ã dÇn tíi 0. §Þnh nghÜa giíi h¹n cña d·y ®iÓm nªu trªn cã thÓ diÔn ®¹t theo ng«n ng÷ l©n cËn nh- sau: lim x(k) = a khi vµ chØ khi mét l©n cËn bÊt k× cña ®iÓm a chøa mäi k→∞ sè h¹ng cña d·y {x(k)}∞ trõ h÷u h¹n sè h¹ng ®Çu. k=1 Hoµn toµn gièng nh- trong tËp c¸c sè thùc R, ta cã thÓ chøng minh d·y ®iÓm {x(k)}∞ cã giíi h¹n duy nhÊt nÕu d·y héi tô. H¬n n÷a ®Þnh lÝ sau cho ta mèi k=1 liªn hÖ gi÷a giíi h¹n cña d·y ®iÓm vµ giíi h¹n tõng thµnh phÇn §Þnh lÝ 1.1.2 Víi mäi d·y {x(k)}∞ trong Rn (k) (k) (k) k=1 x(k) = (x1 , x2 , ..., xn ) (k) lim x(k) = (a1 , a2, ..., an) ⇔ lim xi = ai ∀i = 1, 2, ..., n k→∞ k→∞ Chøng minh. ThËt vËy, kÝ hiÖu a = (a1, a2, ..., an) vµ theo ®Þnh nghÜa cña chuÈn (k) (k) (k) |x(k) − a| = (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an )2 , suy ra (k) (k) |xi − ai | |x(k) − a| |x1 − a1| + · · · + |x(k) − an |. n Tõ bÊt ®¼ng thøc thø nhÊt, theo nguyªn lÝ kÑp vÒ giíi h¹n d·y sè nÕu lim x(k) = a k→∞ (k) suy ra lim xi = ai ∀i = 1, 2, ..., n. k→∞ n (k) Ng-îc l¹i theo bÊt ®¼ng thøc thø hai, |xi − ai| → 0 kÐo theo i=1 lim x(k) = a. k→∞
  8. 8 Ch-¬ng I. Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè §Þnh lÝ trªn kh¼ng ®Þnh viÖc t×m giíi h¹n cña d·y ®iÓm {x(k) }∞ trong Rn k=1 (k) t-¬ng ®-¬ng víi viÖc t×m giíi h¹n cña c¸c thµnh phÇn täa ®é xi cña x(k) . Do vËy ta cßn nãi sù héi tô cña d·y ®iÓm x(k) trong Rn lµ sù héi tô theo täa ®é. Nh- vËy giíi h¹n cña d·y ®iÓm trong Rn (nÕu tån t¹i giíi h¹n) lµ duy nhÊt vµ cã tÝnh chÊt tuyÕn tÝnh còng nh- d·y sè trong R lim (x(k) + y(k)) = lim x(k) + lim y(k) k→∞ k→∞ k→∞ (k) (k) lim α · x = α · lim x , ∀α ∈ R. k→∞ k→∞ Trong kh«ng gian Rn , c¸c vÊn ®Ò t-¬ng tù nh- nguyªn lÝ kÑp, giíi h¹n d·y sè ®¬n ®iÖu vµ bÞ chÆn trong R, kh«ng cã ý nghÜa v× c¸c ®iÓm trong Rn kh«ng ®-îc s¾p thø tù. Tuy nhiªn ta vÉn cã kh¸i niÖm d·y Cauchy. §Þnh nghÜa 1.1.3 D·y {x(k) }∞ ®-îc gäi lµ d·y Cauchy trong Rn nÕu cho tr-íc k=1 > 0 tuú ý, tån t¹i mét sè tù nhiªn n0 = n0( ) ∈ N (n0 phô thuéc vµo ) sao cho víi mäi k, m n0 ta cã: |x(k) − x(m) | < . Râ rµng d·y {x(k) }∞ lµ d·y Cauchy khi vµ chØ khi c¸c d·y thµnh phÇn k=1 (k) {xi }∞ , k=1 ∀i = 1, 2, ..., n còng lµ c¸c d·y Cauchy trong R. Do vËy theo ®Þnh lÝ 1.1.2 ta cã §Þnh lÝ 1.1.3 D·y {x(k)}∞ trong Rn héi tô khi vµ chØ khi nã lµ d·y Cauchy. k=1 Kh¸i niÖm vÒ d·y con cña mét d·y ®iÓm trong Rn kh«ng cã g× kh¸c víi d·y con trong R. §Þnh lÝ 1.1.4 (Bolzano) Mäi d·y giíi néi trong Rn ®Òu chøa mét d·y con héi tô. (k) Chøng minh. Gi¶ sö d·y {x(k)}∞ trong Rn lµ d·y bÞ chÆn. D·y sè {x1 }∞ k=1 k=1 (thµnh phÇn thø nhÊt cña {x(k) }) bÞ chÆn, theo ®Þnh lÝ Bolzano vÒ d·y sè, d·y ®ã (k ) chøa mét d·y con {x1 1 }∞=1 héi tô. k1 XÐt mét d·y con (víi c¸c chØ sè k1 võa ®-îc ph¸t hiÖn) cña d·y {x(k1 )}∞=1 . k1 Thµnh phÇn thø hai cña nã còng bÞ chÆn, ¸p dông ®Þnh lÝ Bolzano vÒ d·y sè, nã (k ) còng chøa mét d·y con {x2 2 }∞=1 héi tô. k2 Cø nh- vËy, sau n b-íc lÆp l¹i, ta ®-îc mét d·y con {x(kn )}∞ =1 cña d·y ®· cho kn ban ®Çu, mäi thµnh phÇn cña d·y con nµy ®Òu héi tô. Theo ®Þnh lÝ 1.1.2, d·y con ®ã héi tô trong Rn , ®.p.c.m.
  9. 1.2 ¸nh x¹, giíi h¹n vµ liªn tôc cña ¸nh x¹ 9 1.2 ¸nh x¹, giíi h¹n vµ liªn tôc cña ¸nh x¹ 1.2.1 Giíi h¹n cña ¸nh x¹ ¸nh x¹ f : A → Rm trong ®ã A ⊂ Rn ®-îc gäi lµ hµm vÐc t¬ n biÕn. Tr-êng hîp riªng m = 1, ¸nh x¹ f : A → R ®-îc gäi lµ hµm sè n biÕn, hay hµm thùc n biÕn sè. VÝ dô ¸nh x¹ f : R+ × R → R3, f (x, y) = ln x + y, sin(x2 + y 2), x − y 2 lµ hµm vÐc t¬ 2 biÕn nhËn c¸c gi¸ trÞ trong R3 . ¸nh x¹ π : R3 → R, π(x, y, z) = y lµ phÐp chiÕu lªn thµnh phÇn thø hai (trôc tung). π lµ hµm thùc ba biÕn sè. Tæng qu¸t h¬n πk : Rn → R, π(x1, x2, ..., xn) = xk , phÐp chiÕu lªn thµnh phÇn thø k, lµ hµm thùc n biÕn sè. Víi hµm vÐc t¬ n biÕn f : A → Rm , A ⊂ Rn fk = πk ◦ f ®-îc gäi lµ thµnh phÇn thø k cña f vµ hiÓn nhiªn f = (f1 , f2 , ..., fm). Hµm thµnh phÇn fk : A → R lµ hµm thùc n biÕn sè. §Þnh nghÜa 1.2.1 Cho hµm vÐc t¬ n biÕn f : A → Rm , a lµ mét ®iÓm tô cña A. Ta nãi giíi h¹n cña hµm f b»ng b ∈ Rm trong qu¸ tr×nh x → a, kÝ hiÖu lim f (x) = b nÕu x→a ∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho khi x tháa m·n 0 < |x − a| < δ th× |f (x) − b| < . Nãi c¸ch kh¸c víi l©n cËn Uε (b) tuú ý cña b, tån t¹i mét l©n cËn Uδ (a) cña a sao cho khi x ∈ Uδ (a) ∩ A vµ x = a ta lu«n cã f (x) ∈ Uε (b). Còng nh- giíi h¹n hµm thùc mét biÕn sè, ta dÔ dµng chøng minh §Þnh lÝ 1.2.1 NÕu hµm f cã giíi h¹n trong qu¸ tr×nh x → a khi ®ã giíi h¹n cña hµm lµ duy nhÊt. Chøng minh hoµn toµn nh- chøng minh nguyªn lÝ chuyÓn ®æi giíi h¹n gi÷a hµm thùc mét biÕn sè vµ d·y sè, ta cã ®Þnh lÝ t-¬ng tù
  10. 10 Ch-¬ng I. Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè §Þnh lÝ 1.2.2 §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tån t¹i giíi h¹n lim f (x) = b lµ víi mäi d·y x→a ®iÓm {x(k)}∞ → a, d·y gi¸ trÞ t-¬ng øng {f (x(k) )}∞ còng tån t¹i giíi h¹n. k=1 k=1 (Suy ra c¸c giíi h¹n ®ã ph¶i b»ng nhau vµ cïng b»ng b, lim f (x(k)) = b.) k→∞ Do hµm vÐc t¬ n biÕn f = (f1, f2 , ..., fm) lµ mét bé cã thø tù gåm m hµm thµnh phÇn, theo ®Þnh lÝ 1.1.2 lim f (x) = b ⇔ lim fi (x) = bi víi mäi i = 1, 2, ..., m x→a x→a trong ®ã c¸c sè thùc bi lµ c¸c thµnh phÇn täa ®é cña b = (b1 , b2, ..., bm) trong Rm . Tõ nhËn xÐt nµy, trong thùc hµnh viÖc t×m giíi h¹n hµm vÐc t¬ sÏ ®¬n gi¶n h¬n nÕu ®-a vÒ bµi to¸n t×m giíi h¹n c¸c hµm thµnh phÇn fi , chóng lµ c¸c hµm thùc n biÕn sè. Chó ý r»ng song song víi kÝ hiÖu lim f (x) = b, víi a = (a1, a2, ..., an) ng-êi ta x→a cßn sö dông kÝ hiÖu d-íi ®©y vÒ giíi h¹n hµm vÐc t¬ n biÕn trong qu¸ tr×nh x = (x1 , x2, ..., xn) → a = (a1, a2, ..., an) lim f (x1 , x2, ..., xn) = b. x1 →a1 x2 →a2 ··· xn →an Sö dông ®Þnh lÝ 1.2.2, ta dÔ dµng chøng minh giíi h¹n hµm vÐc t¬ cã tÝnh tuyÕn tÝnh lim (f + g)(x) = lim f (x) + lim g(x), lim (αf )(x) = α lim f (x) x→a x→a x→a x→a x→a Víi hµm thùc nhiÒu biÕn sè, còng sö dông ®Þnh lÝ 1.2.2 vµ c¸c kÕt qu¶ liªn quan tíi giíi h¹n d·y sè thùc cña gi¶i tÝch hµm mét biÕn, kh«ng mÊy khã kh¨n ®Ó chøng minh kh¼ng ®Þnh sau • Gi¶ thiÕt f, g lµ c¸c hµm thùc n biÕn sè, tån t¹i c¸c giíi h¹n h÷u h¹n lim f (x) = u, lim g(x) = v. Khi ®ã x→a x→a f (x) u lim f (x) · g(x) = u · v, lim = (v = 0). x→a x→a g(x) v • Nguyªn lÝ kÑp vÉn ®óng víi hµm sè nhiÒu biÕn sè u, v : Rn → R u(x) f (x) v(x), lim u(x) = lim v(x) = L ⇒ lim f (x) = L x→a x→a x→a
  11. 1.2 ¸nh x¹, giíi h¹n vµ liªn tôc cña ¸nh x¹ 11 • §Æc biÖt tÝch cña mét VCB vµ hµm giíi néi còng lµ VCB trong cïng mét qu¸ tr×nh. Cô thÓ h¬n, gi¶ thiÕt α, f : Rn → R, f lµ hµm bÞ chÆn t¹i mét l©n cËn nµo ®ã cña a vµ lim α(x) = 0, khi ®ã x→a lim α(x) · f (x) = 0. x→a L-u ý r»ng nÕu lim f (x) = 0, ta còng nãi hµm vÐc t¬ f (x) lµ VCB trong qu¸ tr×nh x→a x → a vµ kÝ hiÖu f (x) = o(x). Ng-êi ta còng ®-a vµo kh¸i niÖm vÒ d·y ®iÓm dÇn ra v« cïng còng nh- kh¸i niÖm giíi h¹n hµm khi biÕn tiÕn dÇn ra v« cïng §Þnh nghÜa 1.2.2 • Ta nãi d·y ®iÓm {x(k)} dÇn ra v« cïng nÕu d·y sè {|x(k)|}∞ tiÕn tíi v« cïng k=1 lim |x(k) | = +∞. k→∞ • Ta nãi giíi h¹n cña hµm f b»ng b ∈ Rm trong qu¸ tr×nh x dÇn ra v« cïng, kÝ hiÖu lim f (x) = b nÕu |x|→∞ ∀ > 0, ∃K > 0 sao cho khi x tháa m·n |x| > K th× |f (x) − b| < . HoÆc t-¬ng ®-¬ng víi nã, diÔn ®¹t theo ng«n ng÷ d·y, víi bÊt k× d·y ®iÓm {x(k)} dÇn ra v« cïng, d·y gi¸ trÞ hµm t-¬ng øng {f (x(k))} lu«n dÇn tíi b. (k) (k) NhËn xÐt r»ng d·y ®iÓm {x(k) = (x1 , ..., xn )} trong Rn dÇn ra v« cïng khi vµ n (k) (k) chØ khi d·y sè |xi | (hoÆc max |xi |) cã giíi h¹n b»ng v« cïng. i=1 1 i n Trong c¸c vÝ dô vÒ giíi h¹n hµm hai biÕn (hoÆc ba biÕn) qu¸ tr×nh x = (x, y) hoÆc x = (x, y, z) dÇn ra v« cïng th-êng ®-îc cho cô thÓ h¬n. Ch¼ng h¹n c¸c giíi h¹n d-íi ®©y ®-îc xÐt trong qu¸ tr×nh x tiÕn ra v« cïng theo c¸c d¹ng kh¸c nhau lim f (x, y) hoÆc x→x f (x, y) hoÆc x→x f (x, y, z) ... lim lim x→+∞ 0 0 y→−∞ y→∞ y→+∞ z→−∞ Giíi h¹n thø nhÊt ®-îc xÐt trong qu¸ tr×nh c¶ hai thµnh phÇn täa ®é x vµ y cïng tiÕn ra v« cïng: x tiÕn ®Õn +∞, y tiÕn ®Õn −∞. Giíi h¹n thø hai ®-îc xÐt trong qu¸ tr×nh y tiÕn ra v« cïng trong khi x → x0 . Giíi h¹n thø ba ®-îc xÐt trong qu¸ tr×nh x → x0 , ®ång thêi c¶ hai thµnh phÇn täa ®é y, z cïng tiÕn ra v« cïng.
  12. 12 Ch-¬ng I. Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè Ch¼ng h¹n trong gi¶i tÝch hµm mét biÕn ta ®· biÕt lim te−t = 0, suy ra t→+∞ lim (x + y)e−(x+y) = 0. x→+∞ y→+∞ Tuy nhiªn dÔ dµng chøng minh kh«ng tån t¹i giíi h¹n lim (x + y)e−x. x→+∞ y→+∞ VÝ dô 1.2.1 (VÒ giíi h¹n hµm vÐc t¬, hµm sè nhiÒu biÕn sè) 1. T×m giíi h¹n 2x4 + x − xy + y 4 lim x→1 y→0 x2 + y 2 L-u ý r»ng khi f lµ hµm thùc hai biÕn, thay v× viÕt lim f (x, y) ng-êi (x,y)→(a,b) ta quen sö dông kÝ hiÖu x→af (x, y) khi viÕt c¸c biÓu thøc giíi h¹n. §iÒu lim y→b ®ã ®«i khi còng x¶y ra víi c¶ c¸c hµm thùc ba biÕn sè. Quay l¹i vÝ dô trªn, hµm x2 + y 2 ë d-íi mÉu cña ph©n thøc tiÕn ®Õn 1, cßn biÓu thøc trªn tö cña ph©n thøc, 2x4 + x − xy + y 4 → 3 trong qu¸ tr×nh (x, y) → (1, 0). Theo c¸c nhËn xÐt ë trªn 2x4 + x − xy + y 4 lim = 3. x→1 y→0 x2 + y 2 2. Giíi h¹n 2 +y 2 ) lim (x + y)e−(x x→∞ =0 y→∞ khi x, y dÇn ra v« cïng. ThËt vËy 2 +y 2 ) 2 +y 2 ) 2 +y 2 ) lim (x + y)e−(x x→∞ = x→∞ xe−(x lim + x→∞ ye−(x lim y→∞ y→∞ y→∞ vµ mçi sè h¹ng cã giíi h¹n b»ng 0 khi x → ∞, y → ∞ 2 +y 2 ) |x| 2 +y 2 ) |y| 0 < xe−(x → 0, 0 < ye−(x → 0. ex2 ey2
  13. 1.2 ¸nh x¹, giíi h¹n vµ liªn tôc cña ¸nh x¹ 13 3. Giíi h¹n x + 2y lim(x + 2y) sin = 0. x→0 y→0 x2 + 2y 2 ThËt vËy lim(x + 2y) = 0, trong khi thõa sè thø hai lµ hµm bÞ chÆn x→0 y→0 | sin xx+2y2 | 2 +2y 1 trªn R2 . 4. Chøng minh kh«ng tån t¹i giíi h¹n xy lim . x→0 x2 + y 2 y→0 ThËt vËy, kÝ hiÖu f (x, y) = x2xy 2 lµ hµm cÇn t×m giíi h¹n. Chän d·y +y {an = (x , y )} lµ d·y ®iÓm tiÕn tíi 0 trªn ®-êng th¼ng y = x (ch¼ng (n) (n) h¹n x(n) = y (n) = n , khi ®ã d·y gi¸ trÞ hµm t-¬ng øng {f (an ) = 1 } lµ d·y 1 2 h»ng sè dÇn tíi 1 . 2 Chän d·y ®iÓm kh¸c {bn } tiÕn tíi 0 trªn ®-êng th¼ng y = 2x , khi ®ã d·y gi¸ trÞ hµm t-¬ng øng {f (bn ) = 2 } dÇn tíi 2 . 5 5 Nh- vËy giíi h¹n hai d·y sè lim f (an ) = lim f (bn ), theo ®Þnh lÝ 1.2.2, giíi n→∞ n→∞ h¹n hµm ®· cho kh«ng tån t¹i. 5. XÐt giíi h¹n hµm vÐc t¬ x4 y4 lim , x→0 y→0 x2 + y 2 x2 + y 2 ¸p dông ®Þnh lÝ 1.1.2, bµi to¸n ®-a vÒ t×m c¸c giíi h¹n thµnh phÇn x4 x4 x2 → 0 ⇒ lim =0 x2 + y 2 x→0 x2 + y 2 y→0 y4 y4 y2 → 0 ⇒ lim =0 x2 + y 2 x→0 x2 + y 2 y→0 4 4 VËy giíi h¹n hµm vÐc t¬ lim( x2x 2 , x2y 2 ) = (0, 0). +y +y x→0 y→0
  14. 14 Ch-¬ng I. Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè 6. T×m giíi h¹n x2 + (y − 1)2 + 1 − 1 A = lim x→0 y→1 x2 + (y − 1)2 Nh©n c¶ tö vµ mÉu víi biÓu thøc liªn hîp 1 1 A = lim = . x→0 y→1 x2 + (y − 1)2 + 1 + 1 2 1.2.2 Giíi h¹n lÆp Trong hµm sè nhiÒu biÕn cã mét kh¸i niÖm gäi lµ giíi h¹n lÆp. §Ó thuËn tiÖn ta xÐt hµm thùc hai biÕn f (x, y) x¸c ®Þnh trong l©n cËn ®iÓm M(x0, y0 ) (cã thÓ trõ ®iÓm M), giíi h¹n lÆp cña hµm ®-îc viÕt d-íi d¹ng lim lim f (x, y) , lim lim f (x, y) x→x0 y→y0 y→y0 x→x0 VÒ giíi h¹n lÆp thø nhÊt lim lim f (x, y) , biÓu thøc trong ngoÆc ®-îc hiÓu nh- x→x0 y→y0 lµ giíi h¹n hµm f (x, y) víi x lµ tham sè (x cè ®Þnh kh«ng biÕn thiªn) trong qu¸ tr×nh y → y0 f1 (x) = lim f (x, y). y→y0 Gi¶ thiÕt hµm f1 (x) x¸c ®Þnh t¹i l©n cËn ®iÓm x = x0 (cã thÓ trõ ®iÓm x0 ), khi ®ã giíi h¹n lÆp ®ang xÐt chÝnh lµ giíi h¹n hµm f1 trong qu¸ tr×nh x → x0 lim lim f (x, y) = lim f1(x). x→x0 y→y0 x→x0 T-¬ng tù ®èi víi giíi h¹n lÆp thø hai, nã ®-îc x¸c ®Þnh th«ng qua sù tån t¹i cña c¸c giíi h¹n f2 (y) = lim f (x, y) vµ lim lim f (x, y) = lim f2 (y). x→x0 y→y0 x→x0 y→y0 Víi hµm ba biÕn f (x, y, z) ta cã thÓ nh¾c ®Õn nhiÒu giíi h¹n lÆp kh¸c nhau. Ch¼ng h¹n mçi c¸ch ho¸n vÞ ba biÕn {x, y, z} t-¬ng øng víi mét giíi h¹n lÆp lim lim lim f (x, y, z), lim lim lim f (x, y, z), lim lim lim f (x, y, z), ... x→x0 y→y0 z→z0 y→y0 x→x0 z→z0 y→y0 z→z0 x→x0
  15. 1.2 ¸nh x¹, giíi h¹n vµ liªn tôc cña ¸nh x¹ 15 Ngoµi ra ta còng cßn gÆp c¸c giíi h¹n lÆp d¹ng lim lim f (x, y, z) hoÆc x→x0 z→z0 lim lim f (x, y, z), ... x→x0 y→y0 y→y0 z→z0 Mét c¸ch tæng qu¸t, xÐt hµm vÐc t¬ n + k biÕn f : D = A × B ⊂ Rn+k → Rm , A ⊂ Rn , B ⊂ Rk . Gi¶ sö M0 (a, b) lµ ®iÓm tô cña D. Víi mçi y ∈ B cè ®Þnh gi¶ thiÕt r»ng tån t¹i giíi h¹n g(y) = lim f (x, y). x→a NÕu tån t¹i tiÕp giíi h¹n lim g(y) = u ∈ Rm y→b trong qu¸ tr×nh y → b th× u ®-îc gäi lµ giíi h¹n lÆp cña f vµ kÝ hiÖu lim lim f (x, y) = u. y→b x→a T-¬ng tù ta cã thÓ nãi ®Õn giíi h¹n lÆp lim lim f (x, y) = v. x→a y→b C¸c giíi h¹n lÆp ®ã nãi chung kh«ng b»ng nhau. VÝ dô Cho hµm f : R+ × R+ → R x − y + x2 + y 2 f (x, y) = x+y Giíi h¹n lÆp thø nhÊt x − y + x2 + y 2 f1(x) = lim = 1 + x ⇒ lim lim f (x, y) = lim (1 + x) = 1. y→0+ x+y x→0+ y→0+ x→0+ Giíi h¹n lÆp thø hai cho ta kÕt qu¶ kh¸c giíi h¹n lÆp thø nhÊt x − y + x2 + y 2 f2 (y) = lim = −1 + y ⇒ lim lim f (x, y) = −1. x→0+ x+y y→0+ x→0+
  16. 16 Ch-¬ng I. Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè NhËn xÐt r»ng trong qu¸ tr×nh (x, y) → (0, 0) kh«ng tån t¹i giíi h¹n hµm x − y + x2 + y 2 lim f (x, y) = lim x→0 y→0 x→0 y→0 x+y (§Ó ph©n biÖt víi giíi h¹n lÆp, giíi h¹n ë trªn cña hµm f (x, y) trong qu¸ tr×nh (x, y) → (0, 0) cßn ®-îc gäi lµ giíi h¹n béi). ThËt vËy gi¸ trÞ cña hµm t¹i c¸c ®iÓm trªn ®-êng th¼ng y = kx (1 − k)x + (1 + k 2 )x2 1−k f (x, kx) = → khi x → 0. (1 + k)x 1+k Do vËy nÕu chän d·y ®iÓm {an } tiÕn tíi 0 trªn ®-êng th¼ng y = k1 x vµ chän d·y ®iÓm kh¸c {bn } tiÕn tíi 0 trªn ®-êng th¼ng y = k2 x, k1 = k2 , c¸c d·y gi¸ trÞ hµm t-¬ng øng {f (an )} vµ {f (bn )} dÇn tíi c¸c giíi h¹n kh¸c nhau, theo ®Þnh lÝ 1.2.2, giíi h¹n hµm lim f (x, y) kh«ng tån t¹i. x→0 y→0 Mèi liªn hÖ gi÷a giíi h¹n lÆp vµ giíi h¹n béi ®-îc thÓ hiÖn trong ®Þnh lÝ sau §Þnh lÝ 1.2.3 Cho hµm vÐc t¬ n + k biÕn f : D = A × B ⊂ Rn+k → Rm , A ⊂ Rn , B ⊂ Rk Gi¶ sö M0 (a, b) lµ ®iÓm tô cña D. NÕu tån t¹i giíi h¹n béi lim f (x, y) (x,y)→(a,b) ®ång thêi gi¶ thiÕt r»ng víi mçi y ∈ B tån t¹i giíi h¹n g(y) = lim f (x, y). x→a Khi ®ã tån t¹i giíi h¹n lÆp vµ giíi h¹n lÆp ®ã b»ng giíi h¹n béi lim lim f (x, y) = lim f (x, y) y→b x→a (x,y)→(a,b) Chøng minh. Ta chØ chøng minh cho tr-êng hîp hµm thùc 2 biÕn, c¸c tr-êng hîp kh¸c còng chøng minh t-¬ng tù, tuy cã khã kh¨n ®«i chót do kÝ hiÖu phøc t¹p h¬n.
  17. 1.2 ¸nh x¹, giíi h¹n vµ liªn tôc cña ¸nh x¹ 17 Gi¶ sö tån t¹i c¸c giíi h¹n lim f (x, y) = a, x→x0 lim f (x, y) = f1 (x) y→y0 y→y0 Ta sÏ chøng minh giíi h¹n lÆp lim lim f (x, y) = lim f1(x) tån t¹i vµ b»ng a. x→x0 y→y0 x→x0 ThËt vËy, víi ε > 0 tïy ý cho tr-íc, tån t¹i mét l©n cËn U cña (x0, y0 ) sao cho ∀(x, y) ∈ U, (x, y) = (x0 , y0) |f (x, y) − a| ε. Cho y → y0 trong bÊt ®¼ng thøc trªn, ta ®-îc |f1 (x) − a| ε, suy ra ®pcm. NhËn xÐt r»ng sù tån t¹i giíi h¹n hµm x→x f (x, y) kh«ng kÐo theo sù tån t¹i lim 0 y→y0 c¸c giíi h¹n lÆp. Ch¼ng h¹n xÐt vÝ dô sau, hµm 1 x sin y nÕu y = 0 f (x, y) = 0 nÕu y = 0 cã giíi h¹n béi limf (x, y) = 0 (tÝch cña mét VCB vµ hµm bÞ chÆn), nh-ng kh«ng x→0 y→0 tån t¹i giíi h¹n lÆp lim limf (x, y). (Do kh«ng tån t¹i lim sin 1 ). y x→0y→0 y→0 Tuy nhiªn phï hîp víi ®Þnh lÝ trªn lim limf (x, y) = 0. y→0x→0 1.2.3 Hµm liªn tôc §Þnh nghÜa 1.2.3 Cho hµm vÐc t¬ f : D → Rm , trong ®ã D ⊂ Rn . Ta nãi hµm f liªn tôc t¹i a ∈ D nÕu cho tr-íc mét l©n cËn bÊt k× V (f (a)) cña f (a), tån t¹i mét l©n cËn U (a) sao cho víi mäi x ∈ D ∩ U (a) ta cã f (x) ∈ V (f (a)) hay f (D ∩ U (a)) ⊂ V (f (a)). Ta nãi hµm f liªn tôc trªn miÒn D nÕu f liªn tôc t¹i mäi ®iÓm thuéc D. §iÓm a ∈ D ®-îc gäi lµ ®iÓm gi¸n ®o¹n cña f nÕu hµm f kh«ng liªn tôc t¹i ®ã. §Þnh nghÜa trªn hoµn toµn gièng nh- ®Þnh nghÜa hµm mét biÕn liªn tôc. NÕu a lµ ®iÓm c« lËp cña tËp D hiÓn nhiªn f liªn tôc t¹i a. Tr-êng hîp a ∈ D lµ
  18. 18 Ch-¬ng I. Hµm sè nhiÒu biÕn sè, hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè ®iÓm tô cña D, ®Þnh nghÜa trªn còng cã nghÜa lµ giíi h¹n b»ng gi¸ trÞ thay thÕ cña hµm t¹i a lim f (x) = f (a). x→a ¸p dông nhËn xÐt ngay sau ®Þnh lÝ 1.2.2 vÒ sù t-¬ng ®-¬ng gi÷a giíi h¹n hµm vÐc t¬ vµ c¸c giíi h¹n thµnh phÇn ta cã kÕt qu¶ §Þnh lÝ 1.2.4 Cho hµm vÐc t¬ f = (f1 , f2, ..., fm) : D → Rm , D ⊂ Rn . • Hµm f liªn t¹i a ∈ D khi vµ chØ khi c¸c hµm thµnh phÇn fk liªn tôc t¹i a ∈ D víi mäi k = 1, 2, ..., m. • Hµm vÐc t¬ f liªn tôc trªn D khi vµ chØ khi c¸c hµm thµnh phÇn fk liªn tôc trªn D víi mäi k = 1, 2, ..., m. Tõ ®Þnh nghÜa vÒ hµm liªn tôc còng nh- tõ c¸c tÝnh chÊt giíi h¹n hµm vÐc t¬, hµm liªn tôc cã c¸c tÝnh chÊt sau (c¸ch chøng minh nh- ®· chøng minh trong gi¶i tÝch hµm thùc mét biÕn sè) • C¸c hµm f , g : D → Rm , D ⊂ Rn liªn tôc t¹i cïng mét ®iÓm a ∈ D. Khi ®ã c¸c hµm f + g, f − g, α · f , (α ∈ R) còng liªn tôc t¹i a. • NÕu f, g : D → R, D ⊂ Rn lµ c¸c hµm thùc n biÕn liªn tôc t¹i a ∈ D, khi ®ã hµm tÝch f.g liªn tôc t¹i a vµ hµm th-¬ng f còng liªn tôc t¹i a víi gi¶ g thiÕt g(a) = 0. • PhÐp hîp thµnh g ◦ f liªn tôc t¹i a nÕu hµm f liªn tôc t¹i a vµ g liªn tôc t¹i f (a). Còng nh- hµm sè mét biÕn sè, mét trong c¸c tÝnh chÊt rÊt quan träng cña hµm sè nhiÒu biÕn sè liªn tôc trªn mét miÒn ®ãng vµ giíi néi lµ ®Þnh lÝ sau §Þnh lÝ 1.2.5 Cho f : D → R lµ hµm liªn tôc trªn tËp D ®ãng vµ giíi néi trong Rn . Khi ®ã hµm f ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt trªn miÒn D. TËp ®ãng vµ giíi néi trong Rn còng ®-îc gäi lµ tËp comp¾c. Chøng minh. Tr-íc hÕt ta chøng minh hµm f bÞ chÆn trªn D. Gi¶ sö ng-îc l¹i, khi ®ã víi mçi k ∈ N ∗ tån t¹i x(k) ∈ D sao cho |f (x(k))| > k (hay lim |f (x(k) )| = k→∞ +∞). D·y {x(k)}∞ ⊂ D lµ d·y bÞ chÆn, theo ®Þnh lÝ Bolzano tån t¹i mét d·y con 1 {x(ki ) }∞ héi tô tíi a ∈ D (do D lµ tËp ®ãng). MÆt kh¸c f lµ hµm liªn tôc trªn i=1 D nªn còng liªn tôc t¹i a. VËy lim f (x(ki ) ) = f (a), i→∞
  19. 1.2 ¸nh x¹, giíi h¹n vµ liªn tôc cña ¸nh x¹ 19 m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt ph¶n chøng lim |f (x(k))| = +∞. k→∞ KÝ hiÖu M = supf (x). Ta sÏ chøng minh M lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm f x∈D trªn D. ThËt vËy tõ ®Þnh nghÜa vÒ cËn trªn ®óng, tån t¹i mét d·y {x(k)} ⊂ D tháa m·n lim f (x(k)) = M. k→∞ Còng theo ®Þnh lÝ Bolzano, d·y ®ã chøa mét d·y con {x(ki) }∞ héi tô tíi a ∈ D i=1 vµ lim f (x(ki ) ) = f (a) = M. i→∞ Chøng minh t-¬ng tù, hµm còng ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt trªn D. §Þnh nghÜa 1.2.4 TËp D ⊂ Rn ®-îc gäi lµ tËp liªn th«ng nÕu víi bÊt k× 2 ®iÓm a, b ∈ D tån t¹i mét hµm liªn tôc f : [0, 1] → D sao cho f (0) = a vµ f (1) = b. VÒ mÆt trùc gi¸c, tËp ¶nh cña hµm liªn tôc f : [0, 1] → D (f chiÕu ®o¹n [0, 1] vµo tËp D) lµ mét ®-êng cong liÒn nÐt trong D. Do vËy theo ®Þnh nghÜa trªn ta lu«n h×nh dung tËp liªn th«ng D lµ tËp cã tÝnh chÊt: gi÷a 2 ®iÓm bÊt k× lu«n tån t¹i mét ®-êng cong liÒn nÐt n»m trong D nèi 2 ®iÓm ®ã. HiÓn nhiªn tËp A trªn ®-êng th¼ng thùc lµ tËp liªn th«ng khi vµ chØ khi A lµ mét kho¶ng ®ãng hoÆc më hoÆc nöa ®ãng, nöa më (bÞ chÆn hoÆc kh«ng bÞ chÆn) trªn R. Nãi c¸ch kh¸c tËp liªn th«ng trªn ®-êng th¼ng thùc chØ cã thÓ lµ mét trong c¸c tËp sau (a, b), [a, b), (a, b], [a, b] hoÆc (−∞, a), (−∞, a], (b, +∞), [b, +∞). Ng-êi ta chøng minh ®-îc r»ng tËp ¶nh cña mét tËp liªn th«ng qua ¸nh x¹ liªn tôc còng lµ tËp liªn th«ng. Tr-êng hîp ®Æc biÖt nÕu hµm f : D → R liªn tôc trªn tËp liªn th«ng D ⊂ Rn , gi¸ trÞ hµm f tr¸i dÊu t¹i 2 ®iÓm a, b ∈ D nµo ®ã trong D: f (a) · f (b) < 0. Khi ®ã tån t¹i c ∈ D sao cho f (c) = 0.
Đồng bộ tài khoản