Giải tích số (Bài giảng tóm tắt)

Chia sẻ: Phuc Phuc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:74

1
238
lượt xem
102
download

Giải tích số (Bài giảng tóm tắt)

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các loại sai số: Trên thực tế khi đo một đại lượng hoặc xác định một đại lượng mà ta ký hiệu là a*, thông thường không xác định được giá trị đúng mà chỉ biết được giá trị gần đúng a. Vậy ta đã gặp phải sai số.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Giải tích số (Bài giảng tóm tắt)

  1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT KHOA TOÁN - TIN HỌC GIẢI TÍCH SỐ (Baøi giaûng toùm taét) NGƯỜI BIÊN SOẠN LÊ MINH LƯU Ñaø Laït 2009
  2. Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Ch-¬ng 1 Lý thuyÕt sai sè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.1 C¸c lo¹i sai sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Quy t¾c thu gän sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Ch÷ sè ch¾c, kh«ng ch¾c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Hai bµi to¸n vÒ sai sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Sai sè c¸c phÐp to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Ch-¬ng 2 XÊp xØ tèt nhÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1 XÊp xØ tèt nhÊt trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 XÊp xØ tèt nhÊt trong kh«ng gian c¸c hµm liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 XÊp xØ tèt nhÊt trong kh«ng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ch-¬ng 3 XÊp xØ hµm b»ng ®a thøc néi suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1 Bµi to¸n néi suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 3.2 Gi¶i hÖ ®¹i sè tuyÕn tÝnh ®Ó x¸c ®Þnh ®a thøc néi suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3 Ph-¬ng ph¸p néi suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.4 Tr-êng hîp c¸c mèc néi suy c¸ch ®Òu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 3.5 Sai sè cña p-¬ng ph¸p néi suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.6 Chän mèc néi suy tèi -u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 Ch-¬ng 4 TÝnh gÇn ®óng ®¹o hµm vµ tÝch ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1 Dïng néi suy Lagrange tÝnh gÇn ®óng ®¹o hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2 TÝnh gÇn ®óng tÝch ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Ch-¬ng 5 Gi¶i ph-¬ng tr×nh phi tuyÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.1 Ph-¬ng ph¸p ®å thÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.2 Ph-¬ng ph¸p chia ®«i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.3 Ph-¬ng ph¸p lÆp ®¬n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 5.4 Ph-¬ng ph¸p d©y cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.5 Ph-¬ng ph¸p tiÕp tuyÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.6 Gi¶i ®a thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.7 Gi¶i hÖ hai ph-¬ng tr×nh phi tuyÕn b»ng ph-¬ng ph¸p lÆp ®¬n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 Ch-¬ng 6 Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.1 Mét vµi kh¸i niÖm cÇn thiÕt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
  3. Gi¶i tÝch sè 2 6.2 Ph-¬ng ph¸p Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.3 Ph-¬ng ph¸p c¨n sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.4 Ph-¬ng ph¸p lÆp ®¬n gi¶i hÖ ®¹i sè tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.5 Ph-¬ng ph¸p Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.6 Ph-¬ng ph¸p Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.7 Ph-¬ng ph¸p Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Ch-¬ng 7 Gi¶i gÇn ®óng ph-¬ng tr×nh vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 7.1 Ph-¬ng ph¸p xÊp xØ liªn tiÕp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 7.2 Ph-¬ng ph¸p chuçi nguyªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7.3 Ph-¬ng ph¸p Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 7.4 Ph-¬ng ph¸p Euler c¶i tiÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7.5 Ph-¬ng ph¸p Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
  4. Gi¶i tÝch sè 3 Ch-¬ng 1 Lý ThuyÕt Sai Sè 1.1 C¸c lo¹i sai sè Trªn thùc tÕ khi ®o mét ®¹i l-îng hoÆc x¸c ®Þnh mét ®¹i l-îng mµ ta ký hiÖu lµ a∗ , th«ng th-êng kh«ng x¸c ®Þnh ®-îc gi¸ trÞ ®óng mµ chØ biÕt ®-îc gi¸ trÞ gÇn ®óng a. VËy ta ®· gÆp ph¶i sai sè. Cã nhiÒu lo¹i sai sè: 1. Sai sè thùc sù: §¹i l-îng := |a − a∗ | gäi lµ sai sè thùc sù cña a. 2. Sai sè tuyÖt ®èi: NÕu biÕt a ≥ 0 sao cho a− a ≤ a∗ ≤ a + a th× a gäi lµ sai sè tuyÖt ®èi cña a. 3. Sai sè t-¬ng ®èi: §¹i l-îng a δa := |a| gäi lµ sai sè t-¬ng ®èi cña a. 1.2 Qui t¾c thu gän sè Gi¶ sö ta cã sè gÇn ®óng a ®-îc viÕt d-íi d¹ng thËp ph©n a = ±(βp 10p + ... + βj 10j + ... + βp−s 10p−s ) trong ®ã βj ∈ {0, 1, 2, ..., 9}, βp > 0. Ta muèn thu gän sè a ®Õn hµng thø j. Gäi sè a lµ sè thu gän ®Õn hµng thø j cña sè a vµ phÇn vøt bá lµ µ. §Æt: a = βp 10p + ... + βj+1 10j+1 + β j 10j . Trong ®ã: β j b»ng βj + 1 nÕu 0, 5 × 10j < µ < 10j vµ b»ng βj nÕu 0 ≤ µ < 0, 5 × 10j . Tr-êng hîp µ = 0.5 × 10j th× β j = βj nÕu βj ch½n vµ β j = βj + 1 nÕu βj lÎ. Nh- vËy sai sè thu gän lµ ®¹i l-îng Γa ≥ 0 tháa |a − a| ≤ Γa .
  5. Gi¶i tÝch sè 4 Do a = ±(βp 10p + ... + βj 10j + µ), a = ±(βp 10p + ... + βj 10j + β j 10j ), ta cã |a − a| = |(βj − β j ) × 10j + µ| < 0.5 × 10j . VÝ dô: Sè π 3, 1415 3, 142 3, 14. Chó ý 1. Sai sè tuyÖt ®èi kh«ng ®Æc tr-ng cho ®é chÝnh x¸c cña phÐp ®o mµ chØ cho phÐp ta h×nh dung ®-îc ®é gÇn nhau gi÷a gi¸ trÞ ®óng vµ gi¸ trÞ gÇn ®óng. 2. Sai sè tuyÖt ®èi cïng thø nguyªn víi ®¹i l-îng ®o. 3. Sai sè t-¬ng ®èi ®Æc tr-ng cho ®é chÝnh x¸c cña phÐp ®o vµ kh«ng cã thø nguyªn. 4. Sau khi thu gän sè th× sai sè tuyÖt ®èi t¨ng lªn. Gäi a∗ lµ gi¸ trÞ ®óng, a lµ gi¸ trÞ gÇn ®óng vµ gäi a lµ sè sau khi thu gän cña a th× |a∗ − a| ≤ |a∗ − a| + |a − a| ≤ a + Γa . 1.3 Ch÷ sè ch¾c vµ kh«ng ch¾c Gi¶ sö cã sè gÇn ®óng a viÕt ë d¹ng a = ±(βp 10p + ... + βj 10j + ... + βp−s 10p−s ). Víi sai sè tuyÖt ®èi cña a lµ a . Cho sè 0 < ω ≤ 1. NÕu a ≤ ω × 10i th× ch÷ sè βi gäi lµ ch÷ sè ch¾c, ng-îc l¹i ch÷ sè βi gäi lµ ch÷ sè kh«ng ch¾c. Ch÷ sè ch¾c víi ω = 1 gäi lµ ch¾c theo nghÜa réng. Ch÷ sè ch¾c víi ω = 0, 56 gäi lµ ch¾c theo nghÜa hÑp. Chó ý: • NÕu βi lµ ch÷ sè ch¾c th× βj , ∀j ≥ i còng lµ ch÷ sè ch¾c. • NÕu βi kh«ng ch¾c th× βj , ∀j ≤ i còng kh«ng ch¾c. • Mét ch÷ sè lµ ch¾c sau khi thu gän sè cã thÓ nã kh«ng cßn lµ ch¾c. • Trong kü thuËt, ng-êi ta th-êng dïng ω = 1 vµ nÕu ch÷ sè lµ ch¾c th× sau thu gän nã vÉn lµ ch¾c (0, 56 ≤ ω ≤ 1). • Khi tÝnh to¸n, ta th-êng gi÷ l¹i c¸c ch÷ sè ch¾c vµ lÊy phô thªm tõ 1 ®Õn 2 ch÷ sè kh«ng ch¾c vµ cã ký hiÖu riªng ®Ó chØ c¸c ch÷ sè kh«ng ch¾c nµy.
  6. Gi¶i tÝch sè 5 • Sai sè t-¬ng ®èi cña mét sè kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ dÊu phÈy cña nã (dÊu chÊm thËp ph©n). 1.4 Hai bµi to¸n vÒ sai sè XÐt sè gÇn ®óng viÕt ë d¹ng thËp ph©n a = ±(βp 10p + βp−1 10p−1 + ... + βp−s 10p−s ). Cã hai bµi to¸n ®Æt ra: Bµi to¸n 1: BiÕt sè ch÷ sè ch¾c cña a lµ γa , t×m sai sè t-¬ng ®èi δa cña a. Gäi a0 lµ sè a mµ sau khi dêi dÊu phÈy sao cho ch÷ sè ch¾c cuèi ë hµng ®¬n vÞ vµ toµn ch÷ sè ch¾c. Ta cã βp × 10γa −1 ≤ a0 ≤ (βp + 1) × 10γa −1 ≤ 10γa . VËy 1 1 ≤ δa ≤ . (βp + 1) × 10γa −1 βp × 10γ1 −1 NÕu kh«ng biÕt βp th× lÊy 1 1 ≤ δa ≤ s−1 . 10s 10 Bµi to¸n 2: BiÕt sai sè t-¬ng ®èi lµ δa , t×m sè ch÷ sè ch¾c γa . Gi¶ sö biÕt δa > 0, ta viÕt δa = λ10−m víi 0.1 < λ < 1 vµ m lµ sè nguyªn. §Æt am lµ sè a nh-ng dêi dÊu chÊm thËp ph©n sao cho am cã m + 1 ch÷ sè tr-íc dÊu chÊm thËp ph©n. Ta cã: am ≤ (βp + 1) × 10m , suy ra a = am δam = am δa = am λ10−m ≤ λ(βp + 1). Bëi v× 0, 2 < λ(βp + 1) ≤ 10. VËy cã hai tr-êng hîp x¶y ra a. NÕu λ(βp + 1) ≤ 1 th× am ≤ 1 vµ am cã m + 1 ch÷ sè ch¾c. b. NÕu λ × (βp + 1) > 1 th× am ≤ 10 vµ am cã m ch÷ sè ch¾c.
  7. Gi¶i tÝch sè 6 λ Cuèi cïng ta cã thÓ kÕt luËn, nÕu δa = 10m , 0.1 < λ ≤ 1 vµ λ(βp + 1) ≤ 1 th× a cã m + 1 ch÷ sè ch¾c, ng-îc l¹i a cã m ch÷ sè ch¾c. 1.5 Sai sè c¸c phÐp to¸n Gi¶ sö ph¶i t×m ®¹i l-îng y theo c«ng thøc y = f (x1 , x2 , ..., xn ). Gäi x∗ , y ∗ , i = 1, 2, ..., n vµ xi , y, i = 1, 2, ..., n lµ c¸c gi¸ trÞ ®óng vµ gÇn ®óng. NÕu f i kh¶ vi liªn tôc ta cã |y − y ∗ | = |f (x1 , ..., xn ) − f (x∗ , ..., x∗ )| 1 n n |∂f (x1 , ..., θi , ..., xn )| = |xi − x∗ |, i i=1 ∂xi ë ®©y θi ∈ [xi , x∗ ], i i = 1, 2, ..., n. Ta cã thÓ coi (do f kh¶ vi liªn tôc vµ x∗ kh¸ gÇn xi ), i ∂f (x1 , ..., θi , ..., xn ) ∂f (x1 , ..., xn ) . ∂xi ∂xi Do ®ã n ∂f (x1 , ..., xn ) y = xi , i=1 ∂xi vµ n y ∂ ln f (x1 , ..., xn ) δy = = xi . |y| i=1 ∂xi a. Sai sè phÐp tÝnh céng, trõ: n y = f (x1 , x2 ..., xn ) = xi , i=1 n ∂f (x1 , x2 ..., xn ) =1⇒ y = xi . ∂xi i=1 Gi¶ sö xm = maxi=1,n { xi }, vµ ch÷ sè ch¾c cuèi cña xm ë hµng thø k, ( xm = 10k ). Ta cã: y ≥ xm = 10k . Do ®ã khi lµm phÐp céng, trõ nªn qui trßn c¸c xi ®Õn møc gi÷ l¹i 1 hoÆc 2 ch÷ sè bªn ph¶i hµng thø k. Chó ý: Khi trõ hai sè gÇn nhau cÇn lÊy c¸c sè víi nhiÒu ch÷ sè ch¾c v× khi trõ hai sè gÇn nhau kÕt qu¶ mÊt chÝnh x¸c.
  8. Gi¶i tÝch sè 7 b. Sai sè phÐp to¸n nh©n, chia: Gi¶ sö x1 , ..., xp y= = f (x1 , ..., xp , ..., xn ). xp+1 , ..., xn Khi ®ã p n ln y = ln xi − ln xj i=1 j=p+1 suy ra n δy = δxi . i=1 NÕu δxm = maxi=1,n {δxi } vµ sè ch÷ sè ch¾c cña xm lµ k th× δy ≥ δxm vµ sè ch÷ sè ch¾c cña y kh«ng v-ît qu¸ k. V× vËy khi lµm phÐp to¸n nh©n, chia ta chØ cÇn lÊy k + 1 hoÆc k + 2 ch÷ sè lµ ®ñ. c. Sai sè phÐp lòy thõa, khai c¨n vµ nghÞch ®¶o: Cho y = xα , α ∈ R, d ln y δy = x = |α|δx. dx • NÕu α > 1 th× δy > δx tøc lµ phÐp lòy thõa lµm gi¶m ®é chÝnh x¸c. • NÕu 0 < α < 1 th× δy < δx tøc lµ phÐp khai c¨n lµm t¨ng ®é chÝnh x¸c. • NÕu α = −1 th× δy = δx vµ phÐp nghÞch ®¶o cã ®é chÝnh x¸c kh«ng ®æi.
  9. Gi¶i tÝch sè 8 Ch-¬ng 2 XÊp XØ Tèt NhÊt 2.1. XÊp xØ tèt nhÊt trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn Gi¶ sö X lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn. L ⊂ X lµ ®a t¹p tuyÕn tÝnh ®ãng cña X vµ f ∈ X. Bµi to¸n ®Æt ra h·y t×m phÇn tö f ∗ ∈ L sao cho: f − f ∗ = inf g−f . g∈L §Þnh lý 2.1.1 NÕu L lµ kh«ng gian con h÷u h¹n chiÒu cña X th× víi mäi f ∈ X lu«n tån t¹i f ∗ ∈ L tháa f − f ∗ = inf g − f . g∈L (PhÇn tö f ∗ gäi lµ phÈn tö xÊp xØ tèt nhÊt f trªn L). Chøng minh: XÐt Ω = {g ∈ L : g ≤ 2 f } ⊂ L. DÔ thÊy Ω lµ tËp ®ãng, giíi néi trong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu nªn Ω lµ Compact. XÐt hµm φ(g) := f − g . Ta cã |φ(g) − φ(h)| = | f − g − f − h | ≤ (f − g) − (f − h) = h − g . Do φ lµ hµm liªn tôc trªn tËp Compact Ω nªn hµm φ ®¹t cùc tiÓu trªn Ω. Tõ ®ã ∃f ∗ ∈ Ω : φ(f ∗ ) = min φ(g). g∈Ω MÆt kh¸c: NÕu g ∈ L \ Ω tøc lµ g kh«ng thuéc Ω th× g−f ≥ g − f >2 f − f = f = f −θ (ë ®©y θ chØ phÇn tö kh«ng cña kh«ng gian X). Bëi vËy ∀g ∈ L\Ω, th× g−f > f −θ , tøc lµ inf g−h ≥ f −θ . g∈L\Ω Suy ra f − f ∗ = min f −g g∈Ω
  10. Gi¶i tÝch sè 9 ≤ f −θ ≤ inf g−h . g∈L\Ω Do ®ã f − f ∗ = min f −g . g∈L §Þnh lý ®-îc chøng minh. Chó ý: Sinh viªn cã thÓ tham kh¶o mét chøng minh kh¸c sau ®©y khi (trong ®Þnh lý trªn) ®· biÕt c¬ së cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh L ®Ó thÊy râ h¬n ý nghÜa vÊn ®Ò. Gi¶ sö {g1 , g2 , ..., gn } lµ c¸c phÇn tö ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong X. §Æt (bao tuyÕn tÝnh cña c¸c phÇn tö {g1 , g2 , ..., gn } trong X) n £{g1 , g2 , ..., gn } := { ai gi , ai ∈ R}. i=1 DÔ thÊy £{g1 , g2 , ..., gn } lµ kh«ng gian con tuyÕn tÝnh h÷u h¹n chiÒu trong X. §Æt L = £{g1 , g2 , ..., gn }. XÐt phiÕn hµm n F0 (c) := ci gi , c = (c1 , c2 , ..., cn ) ∈ Rn . i=1 1 KÝ hiÖu | c |= ( n c2 ) 2 vµ ®Æt K = {c ∈ Rn , | c |= 1} th× K ⊂ Rn lµ tËp compact i=1 i trong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu. Do F0 (c) lµ hµm liªn tôc trªn tËp compact nªn ®¹t cùc tiÓu t¹i c0 ∈ K tøc lµ 0 ≤ m := F0 (c0 ) = min F0 (c). c∈K Bëi m kh«ng thÓ lµ 0 v× m = 0 th× F0 (c0 ) = n c0i gi = 0, tøc lµ c0i = 0, ∀i. §iÒu i=1 nµy kÐo theo | c0 |= 0 lµ m©u thuÉn (v× c0 ∈ K). XÐt hµm n F (c) = ci gi − f . i=1 NÕu f ∈ L th× lÊy f ∗ = f . NÕu f kh«ng thuéc L th× inf F (c) = α > 0; c∈Rn n n F (c) = ci gi − f ≥ ci gi − f i=1 i=1 n ci =| c | gi − f . i=1 |c|
  11. Gi¶i tÝch sè 10 ci ci ci §Æt c = ( |c| , |c| , ..., |c| ) th× | c |= 1, tøc lµ c ∈ K. Tõ trªn ta cã F (c) =| c | F0 (c)− f ≥m|c|− f . DÔ thÊy r»ng m | c | − f → ∞ khi | c |→ ∞. Theo ®Þnh nghÜa giíi h¹n, tån t¹i M > 0, ∀c ∈ Rn , | c |> M th× F (c) > α + 1. Bëi qu¶ cÇu ®ãng B(0, M ) := {c ∈ Rn , | c |≤ M } lµ tËp compact trong Rn . H¬n n÷a F (c) lµ hµm liªn tôc nªn nã ®¹t cùc trÞ trªn B(0, M ). Tøc lµ tån t¹i c ∈ B(0, M ) sao cho F (ˆ) = α. LÊy ˆ c n f∗ = ci gi , ˆ i=1 dÔ thÊy f ∗ lµ phÇn tö xÊp xØ tèt nhÊt f trong L. VÝ dô: XÐt X = L2 [0, 1]. xÐt hÖ hµm {g0 = x0 , g1 = x1 , g2 = x2 , ..., gn = xn }. §Æt n L := £{g1 , g2 , ..., gn } = ai xi , ai ∈ R} i=0 lµ tËp c¸c ®a thøc thùc bËc kh«ng qu¸ n vµ L lµ kh«ng gian con h÷u h¹n chiÒu cña L2 [0, 1]. Theo §Þnh lý 2.1.1 víi mäi f ∈ L2 [0, 1] lu«n tån t¹i ®a thøc bÆc kh«ng qu¸ n lµ Q∗ sao cho n f − Q∗ L2 [0,1] = min f − g L2 [0,1] . n g∈L Tøc lµ 1 1 1 2 1 2 |f (x) − Q∗ (x)|2 dx n = min 2 |f (x) − g(x)| dx . 0 g∈L 0 §Þnh nghÜa 2.1.2 Kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn X ®-îc gäi lµ låi chÆt (ngÆt) nÕu ∀x, y ∈ X, x = y = 1, x + y = 2, th× x = y. §Þnh lý 2.1.3 NÕu X lµ kh«ng gian låi chÆt vµ L lµ kh«ng gian con h÷u h¹n chiÒu cña X th× phÇn tö xÊp xØ tèt nhÊt f ∗ lµ duy nhÊt. Chøng minh: §Æt = min f −g , g∈L
  12. Gi¶i tÝch sè 11 cã hai tr-êng hîp x¶y ra 1) Tr-êng hîp = 0 ⇒ f ∈ L vµ f ∗ = f . Tøc f ∗ lµ duy nhÊt. ∗ ∗ ∗ ∗ 2) Tr-êng hîp = 0 th× f ∈ L vµ > 0. Gi¶ thiÕt ph¶n chøng, tån t¹i f1 vµ f2 , f1 = f2 / ®Òu lµ xÊp xØ tèt nhÊt f . Khi ®ã ∗ f − f1 = , ∗ f − f2 = . Ta cã: ∗ ∗ ∗ ∗ f1 + f2 f − f1 f − f2 ≤ f− ≤ + 2 2 2 = + = . 2 2 Suy ra ∗ ∗ f1 + f2 f− = . 2 (f ∗ +f ∗ ) Tõ ®ã phÇn tö 1 2 2 còng lµ phÇn tö xÊp xØ tèt nhÊt f trªn L. B©y giê ta xÐt hai phÇn tö trong X lµ f −f1 vµ f −f2 . DÔ kiÓm tra r»ng 2 2 ∗ ∗ f − f1 f − f2 = = 1, vµ h¬n n÷a ∗ ∗ ∗ ∗ f − f1 f − f2 2f − (f1 + f2 ) + = ∗ ∗ f1 +f1 f− ∗ ∗ 2 2 f1 + f2 2. =2 = f− = = 2. 2 Bëi X lµ låi chÆt nªn ∗ ∗ f − f1 f − f2 ≡ . ∗ ∗ VËy f1 = f2 vµ ®Þnh lý ®-îc chøng minh. Chó ý: a. NÕu X lµ låi chÆt th× víi hai ®iÓm kh¸c nhau trªn mÆt cÇu ®¬n vÞ, ®o¹n th¼ng nèi hai ®iÓm ®ã kh«ng cã ®iÓm chung nµo kh¸c víi mÆt cÇu trõ chÝnh hai ®iÓm nµy (ý nghÜa h×nh häc cña kh«ng gian låi chÆt). b. Kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu Rn vµ kh«ng gian Hilbert lµ låi chÆt. c. Kh«ng gian C[0,1] (kh«ng gian c¸c hµm liªn tôc trªn ®o¹n [0, 1]) kh«ng låi chÆt. ThËt vËy, chØ cÇn lÊy phÇn tö y1 (x) = 1, y2 (x) = x, ta cã y1 , y2 ∈ C[0,1] vµ y1 = 1, y2 = 1. H¬n n÷a, dÔ thÊy y1 + y2 = maxx∈[0,1] |1 + x| = 2 nh-ng y1 = y2 , vËy kh«ng gian
  13. Gi¶i tÝch sè 12 C[0,1]] kh«ng låi chÆt. d. NÕu tån t¹i phÇn tö xÊp xØ tèi nhÊt f ∗ cña f ta ®Æt f − f ∗ := En(f ). 2.2 XÊp xØ tèt nhÊt trong kh«ng gian c¸c hµm liªn tôc C[a,b] Ký hiÖu C[a,b] lµ kh«ng gian c¸c hµm liªn tôc trªn [a, b] vµ L lµ tËp mäi ®a thøc bËc kh«ng qu¸ n. §Þnh lý 2.2.1 (Wallee' - Poussin) Gi¶ sö f ∈ C[a,b] vµ Qn ∈ L. NÕu tån t¹i n + 2 ®iÓm ph©n biÖt a ≤ x0 < x1 < ... < xn+1 ≤ b, sao cho sign{(−1)i (f (xi ) − Qn (xi ))} = const, i = 0, 1, 2, ..., n + 1, th× := min |f (xi ) − Qn (xi )| ≤ En (f ), i=0,n+1 ë ®©y En (f ) := minQ∈L f −Q . Chøng minh: NÕu: µ := min |f (xi ) − Qn (xi )| = 0, i=0,n+1 th× ®Þnh lý lµ hiÓn nhiªn. NÕu µ > 0 ta chøng minh b»ng ph¶n chøng. Gi¶ sö ng-îc l¹i En (f ) < µ = min |f (xi ) − Qn (xi )|. i=0,n+1 XÐt P ∈ L lµ xÊp xØ tèt nhÊt f trªn L. Khi ®ã: f − P = En (f ) < min |f (xi ) − Qn (xi )|. i=0,n+1 Ta cã |P (xi ) − f (xi )| ≤ P − f < min |f (xi ) − Qn (xi )| i ≤ |Q(xi ) − f (xi )|. Suy ra sign[Q(xi ) − P (xi )] = sign{[Q(xi ) − f (xi )] + [f (xi ) − P (xi )]}
  14. Gi¶i tÝch sè 13 = sign[Q(xi ) − f (xi )], i = 0, 1, 2, ..., n + 1. Tõ ®ã ®a thøc bËc n lµ (Qn − P ) ®æi dÊu n + 2 lÇn trªn [a, b] nªn nã cã Ýt nhÊt (n + 1) nghiÖm, vËy Qn (x) ≡ P (x). XÐt µ = min |f (xi ) − Qn (xi )| > max |f (x) − Qn (x)| i=0,n+1 x∈[a,b] ≥ min |f (xi ) − Qn (xi )| = µ. i=0,n+1 §iÒu nµy lµ m©u thuÉn vµ ®Þnh lý ®-îc chøng minh. §Þnh lý sau ®©y lµ kh¸ quan träng vÒ phÇn tö xÊp xØ tèt nhÊt trong C[a,b] v× r»ng ngoµi viÖc nã chØ ra ®-îc phÇn tö xÊp xØ tèt nhÊt cña f liªn tôc mµ nã cßn cho ta c¸ch x¸c ®Þnh ®a thøc xÊp xØ tèt nhÊt Qn (x). §Þnh lý 2.2.2 (Chebyshev) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó Qn lµ ®a thøc bËc kh«ng qu¸ n xÊp xØ tèt nhÊt cña f ∈ C[a,b] lµ tån t¹i (n + 2) ®iÓm ph©n biÖt, a ≤ x0 < x1 < ... < xn+1 ≤ b, sao cho f (xi ) − Qn (xi ) = α(−1)i f −Q , i = 0, 1, 2, ..., n + 1, α = ±1. (Víi α = 1 hoÆc α = −1 vµ kh«ng phô thuéc vµo i. D·y ®iÓm {xi }n+1 ®-îc gäi lµ d·y i=0 ®iÓm Chebyshev.) §Þnh lý nµy cã chøng minh kh¸ phøc t¹p. Chøng minh chi tiÕt sinh viªn cã thÓ t×m trong c¸c tµi liÖu tham kh¶o. D-íi ®©y chØ tr×nh bµy ng¾n gän ®Ó ng-êi ®äc h×nh dung ý t-ëng vµ kü thuËt cña ph-¬ng ph¸p chøng minh. a. §iÒu kiÖn ®ñ: §Æt ν = f − Qn , µ = min |f (xi ) − Qn (xi )|. i=0,n+1 Tõ gi¶ thiÕt vµ §Þnh lý Wallee'-Poussin ta cã ν = µ = min |f (xi ) − Qn (xi )| i ≤ En(f ) ≤ f − Qn = µ. VËy En(f ) = f − Qn .
  15. Gi¶i tÝch sè 14 Tøc lµ Qn lµ ®a thøc xÊp xØ tèt nhÊt f . b. §iÒu kiÖn cÇn. Ta x©y dùng n + 2 ®iÓm Chebyshev nh- sau ν = f − Qn = En(f ). §Æt g = f − Qn vµ lÊy y0 = a, y1 = min{y : g(y) = ν}. Kh«ng mÊt tæng qu¸t, xem g(y1 ) = ν. y2 = min {y : g(y) = −ν}; y∈[y1 ,b] .................................. ym = min {y : g(y) = (−1)m ν}. y∈[ym−1 ,b] Nh- vËy ta ®· x©y dùng ®-îc d·y {yn }m b»ng quy n¹p. NÕu m < n + 2 th× b»ng c¸ch n=0 x©y dùng c¸c d·y phï hîp ng-êi ta chøng minh ®-îc r»ng tr-êng hîp nµy kh«ng x¶y ra. VËy m ≥ n + 2. Khi ®ã ta chØ cÇn lÊy {y0 , y1 , ..., yn+1 } lµm d·y ®iÓm Chebyshev vµ §Þnh lý ®-îc chøng minh. Ta ®· biÕt kh«ng gian C[a,b] kh«ng låi chÆt nªn vÊn ®Ò ®Æt ra lµ liÖu ®Þnh lý duy nhÊt vÒ phÇn tö xÊp xØ tèt nhÊt cßn ®óng trong C[a,b] kh«ng? C©u tr¶ lêi lµ vÉn ®óng. §iÒu ®ã ®-îc chØ ra trong ®Þnh lý sau: §Þnh lý 2.2.3 §a thøc xÊp xØ ®Òu tèt nhÊt cña f ∈ C[a,b] trªn L lµ duy nhÊt. Chøng minh: Gi¶ sö Pn ∈ L, Qn ∈ L ®Òu lµ c¸c ®a thøc xÊp xØ tèt nhÊt cña f vµ Pn = Qn . XÐt ®a thøc Pn + Qn ∈ L, 2 ta cã P n + Qn En (f ) ≤ −f 2 1 1 ≤ f − Pn + f − Qn 2 2 1 1 = En (f ) + En (f ) = En (f ). 2 2 VËy Pn + Qn − f = En (f ). 2
  16. Gi¶i tÝch sè 15 §iÒu nµy suy ra ®a thøc Pn +Qn còng lµ ®a thøc xÊp xØ tèt nhÊt f trªn L. Gi¶ sö d·y 2 {xi }n+1 lµ d·y Chebyshev øng víi Pn +Qn th× i=0 2 Pn (xi ) + Qn (xi ) − f (xi ) = En (f ), i = 0, 1, 2, ..., n + 1. 2 Bëi vËy 2En (f ) = |P (xi ) − f (xi ) + Q(xi ) − f (xi )| ≤ |P (xi ) − f (xi )| + |Q(xi ) − f (xi )| ≤ P −f + Q − f = 2En (f ). Tõ ®ã, |P (xi ) − f (xi )| = |Q(xi ) − f (xi )| = En (f ), ∀i. Suy ra P (xi ) − f (xi ) = λi (Q(xi ) − f (xi )), λi = ±1. Ta cã, 2En (f ) = |P (xi ) − f (xi ) + λi (P (xi ) − f (xi ))| = (1 + λi )|P (xi ) − f (xi )|. Suy ra 1 + λi = 2 tøc lµ λi = 1. Cuèi cïng ta cã: Pn (xi ) − f (xi ) = Qn (xi ) − f (xi ), ∀i ⇒ Pn (xi ) = Qn (xi ), ∀i. Bëi Pn (x) vµ Qn (x) lµ c¸c ®a thøc bËc n trïng nhau trªn n + 2 ®iÓm nªn Pn (x) = Qn (x) vµ ®Þnh lý ®-îc chøng minh. §Þnh lý 2.2.4 XÊp xØ tèt nhÊt cña mét hµm ch¼n (lÎ) còng lµ mét hµm ch¼n (lÎ). Chøng minh: Gi¶ sö f lµ ch¼n th× khi thay x bëi −x ta nhËn ®-îc | f (−x) − f ∗ (−x) |=| f (x) − f ∗ (−x) |≤ En (f ), ∀x. Tõ ®ã f ∗ (−x) còng lµ xÊp xØ tèt nhÊt f . Bëi phÇn tö xÊp xØ tèt nhÊt lµ duy nhÊt ta suy ra f ∗ (x) = f ∗ (−x), ∀x. Tøc lµ f ∗ lµ hµm ch½n. a. XÊp xØ ®a thøc bËc kh«ng Q0 (x) Cho f ∈ C[a, b]. H·y t×m ®a thøc bËc kh«ng Q0 (x) xÊp xØ tèt nhÊt hµm liªn tôc f trªn ®o¹n [a, b]. §Æt m := min f (x), M := max f (x). x∈[a,b] x∈[a,b] Khi ®ã m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b].
  17. Gi¶i tÝch sè 16 M +m Bëi Q0 (x) lµ ®a thøc bËc kh«ng tøc lµ hµm h»ng nªn ta lÊy Q0 (x) = 2 vµ chØ ra r»ng ®a thøc nµy chÝnh lµ ®a thøc xÊp xØ tèt nhÊt f (x). Ta cã M −m M −m − ≤ f (x) − Q0 (x) ≤ , 2 2 vËy M −m | f (x) − Q0 (x) |≤ , ∀x ∈ [a, b]. 2 Gi¶ sö f (x0 ) = m, f (x1 ) = M, x0 , x1 ∈ [a, b]. DÔ thÊy r»ng x0 vµ x1 lµ d·y ®iÓm Chebyshev bëi M −m f (x0 ) − Q0 (x0 ) = − , 2 M −m f (x1 ) − Q0 (x1 ) = . 2 Theo §Þnh lý Chebyshev, Q0 lµ xÊp xØ tèt nhÊt cña f trªn [a, b]. b. XÊp xØ tèt nhÊt ®a thøc bËc mét Q1 (x) XÐt hµm f (x) låi liªn tôc trªn [a, b]. NÕu f (x) lµ tuyÕn tÝnh th× ®a thøc xÊp xØ tèt nhÊt còng lµ f (x). Gi¶ sö f (x) kh«ng lµ hµm tuyÕn tÝnh vµ Q1 (x) = px + q lµ ®a thøc xÊp xØ tèt nhÊt f (x). §Æt U (x) := f (x) − (px + q) th× U (x) còng lµ hµm låi nªn ®¹t cùc trÞ t¹i ®iÓm c ∈ [a, b] duy nhÊt. Theo §Þnh lý Chebyshev th× cã ba ®iÓm Chebyshev lu©n phiªn, vËy hai ®iÓm ®Çu vµ cuèi ph¶i lµ a vµ b. §iÓm cßn l¹i lµ ®iÓm c ∈ (a, b) mµ t¹i ®ã U (x) ®¹t cùc trÞ. Ta cã U (a) = f (a) − (pa + q) = α f − Q1 , U (c) = f (c) − (pc + q) = −α f − Q1 , U (b) = f (b) − (pb + q) =α f − Q1 ; α = ±1. Tõ U (b) − U (a) = f (b) − f (a) − p(b − a) = 0. Suy ra f (b) − f (a) p= . b−a §Ó tÝnh q ta xÐt 0 = U (a) + U (c) = f (a) − (pa + q) + f (c) − (pc + q)
  18. Gi¶i tÝch sè 17 = f (a) + f (c) − p(a + c) − 2q. VËy f (b) − f (a) 2q = f (a) + f (c) − (a + c) b−a Suy ra f (a) + f (c) (f (b) − f (a))(a + c) q= − . 2 2(b − a) Cuèi cïng ta dÔ kiÓm tra r»ng ®a thøc Q1 (x) = px + q tháa c¸c ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý Chebyshev. 2.3 XÊp xØ tèt nhÊt trong kh«ng gian Hilbert XÐt kh«ng gian Hilbert H vµ {ei }∞ lµ hÖ trùc chuÈn ®Çy ®ñ, tøc lµ i=1 < ei , ej >= δij , i, j ∈ N vµ Span(ei ) = H. Víi mçi x ∈ H lËp tæng Fourier n Sn := ci ei , i=1 ë ®©y ci :=< x, ei > lµ hÖ sè Fourier cña x. Víi mçi n ∈ N, 2 2 2 0 ≤ x − Sn = x −2 < Sn , x > + Sn n 2 = x − c2 . i i=1 VËy n c2 ≤ x i 2 , ∀n ∈ N. i=1 n 2 §iÒu nµy chØ ra chuçi i=1 ci héi tô vµ cã bÊt ®¼ng thøc Bessel ∞ c2 ≤ x i 2 . i=1 Chóng ta ®· biÕt lµ chuçi Fourier ∞ ci ei héi tô vµ h¬n n÷a x = ∞ ci ei . i=1 i=1 B©y giê, gi¶ sö H0 lµ mét kh«ng gian con ®ãng cña kh«ng gian Hilbert H vµ x ∈ H. Bµi to¸n ®Æt ra lµ t×m h0 ∈ H0 sao cho x − h0 = inf x − h0 = d(x, H0 ). h∈H0
  19. Gi¶i tÝch sè 18 Gi¶ sö h0 = arg minh∈H0 x − h0 vµ cè ®Þnh phÇn tö h ∈ H0 bÊt kú. Víi α ∈ R xÐt hµm 2 F (α) := x − h0 + αh . §¹o hµm cña F lµ 2 F (α) = 2 < x − x0 , h > +2α h . Râ rµng r»ng 2 F (0) = min F (α) = x − h0 . α∈R Bëi vËy F (0) = 0, tøc lµ < x − h0 , h >= 0 víi mäi h ∈ H0 . §iÒu nµy chØ ra phÇn tö x − h0 trùc giao víi H0 , (x − h0 )⊥H0 . H¬n n÷a, h0 = arg min x − h0 . h∈H0 Thùc vËy víi mäi h ∈ H0 , ta cã 2 2 x−h = (x − h0 ) + (h0 − h) 2 2 2 = x − h0 + h0 − h ≥ x − h0 . Tøc lµ h0 = arg minh∈H0 x − h0 . DÊu b»ng chØ x¶y ra khi vµ chØ khi h = h0 . DÔ thÊy r»ng nÕu kh«ng gian H0 cã sè chiÒu h÷u h¹n th× phÇn tö xÊp xØ tèt nhÊt h0 = arg minh∈H0 x − h0 tån t¹i vµ duy nhÊt.
Đồng bộ tài khoản