Giải toán 12 trên máy tính

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

1
289
lượt xem
141
download

Giải toán 12 trên máy tính

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giải toán 12 trên máy tính tham khảo cung cấp đề thi máy tính qua các năm của các khôi. Với các bài tập để các bạn học sinh tham khảo, học tập, tài liệu này sẽ giúp cho các em học sinh có thể tự học, tự ôn tập, luyện tập và tự kiểm tra đánh giá năng lực tiếp thu kiến thức, nâng cao khả năng vận dụng kiến thức toán của mình vào giải toán trên máy tính. Chúc các bạn học tốt.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Giải toán 12 trên máy tính

  1. TS TrÇn V¨n Vu«ng Gi¶i to¸n 12 trªn m¸y tÝnh ®å s¬n – 2008 trªn 1. Gi¶i to¸n 12 trªn m¸y tÝnh cÇm tay
  2. 1.1. øng dông ®¹o hµm ®Ó kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè 1.1. Bµi to¸n 1.1.1. XÐt sù biÕn thiªn cña hµm sè y = x4 - 8x3 + 22x2 - 24x + 1. 1.1. 1.1. KQ: Hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng (1; 2) vµ (3; +∞), nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng (- ∞; 1) vµ (2; 3). 1.1. 1.2. Bµi to¸n 1.1.2. T×m gÇn ®óng gi¸ trÞ cùc ®¹i vµ cùc tiÓu cña hµm sè y = x4 -3x2 + 2x +1. KQ: yC§ ≈ 1,3481; yCT1 ≈ - 3,8481; yCT2 = 1. Bµi to¸n 1.1.3. T×m gÇn ®óng gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè 1.1. 1.3. y= x −1 + 5 − 2x . KQ: max y ≈ 2,1213; min y ≈ 1,2247. Bµi to¸n 1.1.4. T×m gÇn ®óng to¹ ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ hai hµm sè 1.1. 1.4 y 2 x2 − 2 x + 3 = x + 7x - 5 vµ y = . x−4 KQ: A(- 6,8715; - 5,8830), B(0,5760; - 0,6362), C(4,2955; 43,5198). Bµi to¸n 1.1.5. ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè 1.1. 1.5 y = x3 – 2x2 + 4x - 1 t¹i ®iÓm A(2; 7 ). KQ: y = 8x - 9. 1.1.6 Bµi to¸n 1.1.6. ViÕt ph−¬ng tr×nh c¸c tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè y = x3 - 4x2 + x - 2 ®i qua ®iÓm A(1; - 4). 1 − 17 x KQ: y = - 4x ; y = . 4 1.2. 1.2. Hµm sè luü thõa, hµm sè mò vµ hµm sè l«garit 82ln 5− 4lg 7 Bµi to¸n 1.2.1. TÝnh gÇn ®óng gi¸ trÞ cña biÓu thøc A = 1.2.1 2.1. . 5lg 8 + 9 ln 208 KQ: A ≈ 0,0136. Bµi to¸n 1.2.2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 32x + 5 = 3x + 2 + 2. 1.2.2 2.2. KQ: x = - 2. Bµi to¸n 1.2.3. Gi¶i gÇn ®óng ph−¬ng tr×nh 9x - 5×3x + 2 = 0. 1.2 KQ: x1 ≈ 1,3814; x2 ≈ - 0,7505. Bµi to¸n 1.2.4. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 32 −log3 x = 81x . 1.2 2
  3. 1 KQ: x = . 3 6 4 Bµi to¸n 1.2.5. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 1.2 + = 3. log 2 2 x log 2 x 2 1 KQ: x1 = 4; x2 = 3 . 2 Bµi to¸n 1.2.6. Gi¶i gÇn ®óng ph−¬ng tr×nh 8 log 2 x − 5log 2 x − 7 = 0 . 1.2.6. 2 KQ: x1 ≈ 2,4601; x2 ≈ 0,6269. 1.3 TÝc 1.3. TÝch ph©n vµ øng dông Bµi to¸n 1.3.1. TÝnh c¸c tÝch ph©n: 1.3 π 2 1 2 ∫ (4 x ∫x e ∫ x sin xdx . 2 3 2 3 x a) − 2 x + 3 x + 1)dx ; b) dx ; c) 1 0 0 95 KQ: a) ; b) 0,5; c) 1. 6 Bµi to¸n 1.3.2. TÝnh gÇn ®óng c¸c tÝch ph©n: 1.3 π 1 2 x 2 − 3x + 1 2 π x sin xdx a) ∫ dx ; b) ∫ x cos 2 xdx ; 2 c) ∫ 2 + cos . 0 x3 + 1 π 0 2 x 6 KQ: a) 0,1771; b) - 0,8185; c) 1,3673. 1.3 Bµi to¸n 1.3.3. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ c¸c hµm sè y = 2x2 + 5x - 2 vµ y = x3 + 2x2 - 2x + 4. KQ: S = 32,75. Bµi to¸n 1.3.4. TÝnh thÓ tÝch cña khèi trßn xoay t¹o thµnh khi quay h×nh ph¼ng 1.3. giíi h¹n bëi ®å thÞ c¸c hµm sè y = x2 + 5x - 1 vµ y = x3 + 4x2 + 5x - 5 quanh trôc hoµnh. 729 π KQ: V = . 35 1.4. Sè phøc Sè Bµi to¸n 1.4.1. TÝnh 1.4 3 + 2i 1 − i (1 + i )(5 − 6i ) a) + ; b) . 1 − i 3 − 2i (2 + i ) 2 3
  4. 23 + 63i 29 − 47i KQ: a) ; b) . 26 25 Bµi to¸n1.4.2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x2 - 6x + 58 = 0. to¸n1. 1.4 KQ: x1 = 3 + 7i ; x2 = 3 - 7i. Bµi to¸n 1.4.3. Gi¶i gÇn ®óng ph−¬ng tr×nh x3 - x + 10 = 0. 1.4 KQ: x1 ≈ - 2,3089; x2 ≈ 1,1545 + 1,7316i; x3 ≈ 1,1545 - 1,7316i. Bµi to¸n 1.4.4. Gi¶i gÇn ®óng ph−¬ng tr×nh 2x3 + 3x2- 4x + 5 = 0. 1.4 KQ: x1 ≈ - 2,62448; x2 ≈ 0,5624 + 0,7976i; x3 ≈ 0,5624 - 0,797i. 1.5 1.5. Ph−¬ng ph¸p to¹ ®é trong kh«ng gian Bµi to¸n 1.5.1. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua ba ®iÓm A(1; - 3; 2), 1.5 B(5; 6; 1), C(- 4; -7; 4). KQ: 14x - 3y + 29z - 81 = 0. Bµi to¸n 1.5.2. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ®i qua bèn ®iÓm A(2; 1; - 3), 1.5.2. B(3; 5; 6), C(5; - 4; -7), D(9; 0; 1). 159 577 355 2142 KQ: x 2 + y 2 + z 2 + x+ y− z− = 0. 13 13 13 13 Bµi to¸n 1.5.3. Cho tam gi¸c cã c¸c ®Ønh A(1; - 3; 2), B(5; 6; 0), C(- 4; -7; 5). 1.5 a) TÝnh gÇn ®óng ®é dµi c¸c c¹nh cña tam gi¸c. b) TÝnh gÇn ®óng c¸c gãc (®é, phót, gi©y) cña tam gi¸c. c) TÝnh gÇn ®óng diÖn tÝch tam gi¸c. KQ: a) AB ≈ 10,0499; BC ≈ 7,0711; CA ≈ 16,5831. KQ: b)  ≈ 1500 44’ 45”; B ≈ 120 1’ 38”; Ĉ ≈ 170 13’ 37”. c) S ≈ 17,3638. Bµi to¸n 1.5.4. Cho hai ®−êng th¼ng 1.5 2x − 3y + 6 = 0 4x + 5y − 10 = 0 d1 :  d2 :  5y + 7z − 3 = 0 x − y + z + 4 = 0 a) TÝnh gÇn ®óng gãc (®é, phót, gi©y) gi÷a hai ®−êng th¼ng ®ã. b) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm A(10; 2; 1) vµ vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng d2. c) T×m to¹ ®é giao ®iÓm M cña ®−êng th¼ng d1 vµ mÆt ph¼ng (P). 4
  5.  672 726 459  KQ: a) φ ≈ 620 23’ 0”; b) (P): 5x - 4y - 9z - 33 = 0; M  ; ;− .  139 139 139  Bµi to¸n 1.5.5. Cho h×nh tø diÖn cã c¸c ®Ønh A(1; - 2; 3), B(- 2; 4; - 5), 1.5 C(3; - 4; 7), D(5; 9; - 2). a) TÝnh tÝch v« h−íng cña hai vect¬ AB vµ AC . b) T×m tÝch vect¬ cña hai vect¬ AB vµ AC . c) TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn ABCD. KQ: a) AB . AC = - 50. b)  AB, AC  = (8; - 4; - 6). c) V = 3.   Bµi to¸n 1.5.6. Cho hai ®−êng th¼ng 1.5 x = 3 + 4t x = 1 − 2t   ∆ : y = −2 + 3t vµ d : y = 2 + 7t z = 5t z = −1 + t.   a) TÝnh gÇn ®óng gãc (®é, phót, gi©y) gi÷a hai ®−êng th¼ng ®ã. b) TÝnh gÇn ®óng kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng ®ã. KQ: a) φ ≈ 690 43’ 56”; b) 0,5334. trªn 2. Gi¶i to¸n 12 trªn m¸y vi tÝnh nhê phÇn mÒm Maple 8 PhÇn mÒm Maple ®−îc s¶n xuÊt ®Çu tiªn ë Cana®a c¸ch ®©y vµi thËp kû. HiÖn nay ®· cã phiªn b¶n Maple 11. Chóng ta sö dông phiªn b¶n Maple 8 ®−îc s¶n xuÊt n¨m 2002 v× nã cã dung l−îng thÝch hîp víi viÖc gi¶i to¸n phæ th«ng. §Ó sö dông ®−îc phÇn mÒm nµy sau khi ®· cµi ®Æt nã vµo m¸y tÝnh, cÇn ph¶i nhí c¸ch nhËp c¸c lÖnh vµ c¸c ký hiÖu to¸n häc. 2.1. øng dông ®¹o hµm ®Ó kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè 2.1.1. Cho hµm sè, tÝnh gi¸ trÞ cña hµm sè t¹i mét sè ®iÓm thuéc tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®ã, vÏ ®å thÞ cña hµm sè trªn mét h×nh ch÷ nhËt cña mÆt ph¼ng to¹ ®é CÊu tróc lÖnh cho hµm sè nh− sau: f : =x - > hµm sè; Ch÷ c¸i ký hiÖu cña hµm sè cã thÓ lµ ch÷ c¸i g, h, ϕ , ... chø kh«ng nhÊt thiÕt lµ ch÷ c¸i f. §èi sè còng kh«ng nhÊt thiÕt lµ x mµ cã thÓ lµ ch÷ c¸i bÊt kú kh¸c. T¹i vÞ trÝ cña “hµm sè” ta ph¶i nhËp biÓu thøc cña hµm sè cÇn cho. C¸c dÊu +, - ®−îc nhËp b×nh th−êng. DÊu nh©n ®−îc nhËp b»ng *. DÊu chia ®−îc nhËp b»ng /. Luü thõa ®−îc nhËp b»ng ^. 5
  6. NÕu ®· cho hµm sè f(x) th× cÊu tróc lÖnh yªu cÇu tÝnh gi¸ trÞ cña hµm sè t¹i ®iÓm a thuéc tËp x¸c ®Þnh cña nã lµ: f(a); NÕu ®· cho hµm sè f(x) th× cÊu tróc lÖnh vÏ ®å thÞ cña hµm sè trªn mét h×nh ch÷ nhËt cña mÆt ph¼ng to¹ ®é víi x tõ a ®Õn b vµ y tõ c ®Õn d nh− sau: plot(f(x),x =a .. b, y = c .. d); Bµi to¸n 2.1.1.1. Cho hµm sè y = x3 - 6x2 + 11x - 6. TÝnh gi¸ trÞ hµm sè t¹i x = 2, 2.1.1.1. π m, vµ vÏ ®å thÞ hµm sè ®ã víi x tõ - 5 ®Õn 5, y tõ - 5 ®Õn 5. 3 > f:=x->x^3-6*x^2+11*x-6; f := x → x 3 − 6 x 2 + 11 x − 6 > f(2); 0 > f(m); m 3 − 6 m 2 + 11 m − 6 > f(Pi/3); 1 3 2 2 11 π − π + π−6 27 3 3 > plot(f(x),x=-5..5,y=-5..5); Bµi to¸n 2.1.1.2. VÏ ®å thÞ cña hai hµm sè y = sin 2x vµ y = x4 - 3x2 + 2 trªn cïng 2.1.1.2. mét hÖ trôc to¹ ®é víi x tõ - 4 ®Õn 4 vµ y tõ - 2 ®Õn 6. > plot({sin(2*x),x^4-3*x^2+2},x=-4..4,y=-2..6); 6
  7. 2.1.2. T×m tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè cho b»ng biÓu thøc TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè cho b»ng biÓu thøc th−êng lµ tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh hoÆc hÖ bÊt ph−¬ng tr×nh nµo ®ã. 1 Bµi to¸n 2.1.2.1. T×m tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y = . 3 − x2 > solve(3-x^2>0,{x}); { − 3 < x, x < 3 } VËy tËp x¸c ®Þnh ®ã lµ D = (− 3; 3). 3x − 5 Bµi to¸n 2.1.2.2. T×m tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y = 2.1.2.2. x 2 − 3x + 2 + . 2x + 1 > solve({x^2-3*x+2>=0,2*x+1>0},{x}); -1 { < x, x ≤ 1 }, { 2 ≤ x } 2  1  VËy tËp x¸c ®Þnh ®ã lµ D =  − ;1 ∪ [ 2; ∞ ) .  2  2.1.3 2.1.3. T×m cùc trÞ cña hµm sè §Ó t×m cùc trÞ cña mét hµm sè, tr−íc hÕt ta ph¶i tÝnh ®¹o hµm cña hµm sè vµ t×m nghiÖm cña ®¹o hµm. CÊu tróc lÖnh cña ®¹o hµm nh− sau: diff(hµm sè, ®èi sè); T¹i vÞ trÝ cña “hµm sè” ta ph¶i nhËp biÓu thøc cña hµm sè. T¹i vÞ trÝ “®èi`sè” ta ph¶i nhËp ch÷ c¸i chØ ®èi sè. CÊu tróc lÖnh t×m nghiÖm cña ®¹o hµm (cña ®èi sè x) lµ: solve(®¹o hµm, {x}); T¹i vÝ trÝ cña ®¹o hµm ta ph¶i nhËp biÓu thøc cña ®¹o hµm hoÆc ký hiÖu % nÕu kÕt qu¶ tÝnh ®¹o hµm võa míi cã ë dßng trªn liÒn kÒ. 7
  8. Sau ®ã, cã thÓ tÝnh ®¹o hµm cÊp 2 vµ gi¸ trÞ cña ®¹o hµm cÊp 2 t¹i nghiÖm cña ®¹o hµm råi kÕt luËn vÒ cùc trÞ. CÊu tróc lÖnh cña ®¹o hµm cÊp 2 nh− sau: diff(hµm sè, ®èi sè, ®èi sè); hoÆc diff(hµm sè, ®èi sè$2); Bµi to¸n 2.1.3.1. T×m c¸c cùc trÞ cña hµm sè y = x4 -3x2 + 2x +1. 2.1.3.1. > f:=x->x^4-3*x^2+2*x+1; f := x → x 4 − 3 x 2 + 2 x + 1 > diff(f(x),x); 4 x3 − 6 x + 2 > solve(%,{x}); 1 3 1 3 { x = 1 }, { x = − + }, { x = − − } 2 2 2 2 > diff(f(x),x,x); 12 x 2 − 6 > g:=x->12*x^2-6; g := x → 12 x 2 − 6 > g(1); 6 > g(-1/2+1/2*3^(1/2)); 2  1 3  12  − +  2  −6   2  > simplify(%); 6−6 3 > g(-1/2-1/2*3^(1/2)); 2  1 3  12  − −  2  −6   2  > simplify(%); 6+6 3 > f(1); 1 > f(-1/2+1/2*3^(1/2)); 4 2  1 3  1 3 − +  2  − 3 − +  + 3  2    2  2   > simplify(%); 8
  9. 5 3 3 − + 4 2 > f(-1/2-1/2*3^(1/2)); 4 2  1 3  1 3 − −  2  − 3 − −  − 3  2    2  2   > simplify(%); 5 3 3 − − 4 2 Nh− vËy hµm sè ®· cho cã hai ®iÓm cùc tiÓu vµ mét ®iÓm cùc ®¹i. C¸c gi¸ trÞ cùc  1 3 5 3 3  1 3 5 3 3 tiÓu lµ f(1) = 1 vµ f  − −  2 2  f − +  2 2  =− − . Gi¸ trÞ cùc ®¹i lµ =− + .  4 2  4 2     Cã thÓ yªu cÇu vÏ ®å thÞ hµm sè nµy ®Ó thÊy c¸c cùc trÞ ®ã mét c¸ch trùc quan. > plot(x^4-3*x^2+2*x+1,x=-3..3,y=-4..2); 2.1.4. 2.1.4. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè CÊu tróc lÖnh t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè f(x) trªn ®o¹n [a; b] nh− sau: maximize(f(x),x = a .. b); CÊu tróc lÖnh t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè f(x) trªn ®o¹n [a; b] nh− sau: minimize(f(x),x = a .. b); T¹i vÞ trÝ f(x) ta ph¶i nhËp biÓu thøc cña hµm sè ®ã. a vµ b ph¶i lµ c¸c sè cô thÓ chø kh«ng ph¶i ch÷ c¸i dïng thay sè. Bµi to¸n 2.1.4.1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y = x + cos2x trªn ®o¹n [0; 1]. > maximize(x+cos(2*x),x=0..1); 9
  10. π 3 + 12 2 > minimize(x+cos(2*x),x=0..1); 1 + cos( 2 ) Bµi to¸n 2.1.4.2. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè 2.1.4.2 1.4.2. y = x − 1 + 5 − 2x . > > maximize(sqrt(x-1)+sqrt(5-2*x),x=1..5/2); 3 2 2 > minimize(sqrt(x-1)+sqrt(5-2*x),x=1..5/2); 6 2 2.1.5 2.1.5. T×m c¸c ®−êng tiÖm cËn cña ®å thÞ hµm sè x 3 − 2x 2 + 4x − 1 Bµi to¸n 2.1.5.1. T×m c¸c ®−êng tiÖm cËn cña ®å thÞ hµm sè y = 2.1.5 . x2 + x − 2 > (x^3-2*x^2+4*x-1)/(x^2+x-2)=convert((x^3-2*x^2+4*x- 1)/(x^2+x-2),parfrac,x); x3 − 2 x2 + 4 x − 1 25 2 =x−3+ + 2 x +x−2 3 (x + 2) 3 (x − 1) VËy ®å thÞ hµm sè nµy cã ba ®−êng tiÖm cËn x = - 2, x = 1 vµ y = x – 3. 2.1.6 2.1.6. T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ hai hµm sè §©y lµ viÖc gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh. Bµi to¸n 2.1.6.1. T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ hai hµm sè y = x2 + 7x - 5 vµ y 8 x 2 + 9 x − 11 = . x +1 > solve({y=x^2+7*x-5,y=(8*x^2+9*x-11)/(x+1)}); { y = 3, x = 1 }, { x = 2, y = 13 }, { x = -3, y = -17 } VËy to¹ ®é ba giao ®iÓm cña hai ®å thÞ ®· cho lµ A(1; 3), B(2; 13), C(- 3; - 17). Bµi to¸n 2.1.6.2. T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ hai hµm sè y = cosx vµ y = 2x. 2.1.6.2. > solve({y=cos(x),y=2*x}); { x = RootOf ( 2 _Z − cos( _Z ) ), y = 2 RootOf ( 2 _Z − cos( _Z ) ) } > evalf(%); { x = 0.4501836113, y = 0.9003672226 } 10
  11. VËy to¹ ®é gÇn ®óng (víi 4 ch÷ sè thËp ph©n) cña giao ®iÓm cña hai ®å thÞ ®· cho lµ A(0,4502; 0,9004). 2.1.7. 2.1.7. ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè t¹i mét ®iÓm trªn ®å thÞ ®ã hoÆc ®i qua ®iÓm nµo ®ã khi biÕt to¹ ®é cña ®iÓm ®ã Bµi to¸n 2.1.7.1. ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè y = x3 – 2x2 + 4x - 1 t¹i ®iÓm A(2; 7 ). > diff(x^3-2*x^2+4*x-1,x); 3 x2 − 4 x + 4 > g:=x->3*x^2-4*x+4; g := x → 3 x 2 − 4 x + 4 > g(2); 8 > expand(y=8*(x-2)+7); y=8x−9 Bµi to¸n 2.1.7.2. ViÕt ph−¬ng tr×nh c¸c tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè 3 2 y = x - 4x + x - 2 ®i qua ®iÓm A(1; - 4). > f:=x->k*(x-a)+b; f := x → k ( x − a ) + b > solve(f(1)=-4,{b}); { b = −k + k a − 4 } > g:=k->k*(x-a)-k+k*a-4; g := k → k ( x − a ) − k + k a − 4 > diff(x^3-4*x^2+x-2,x); 3 x2 − 8 x + 1 > solve({x^3-4*x^2+x-2=k*x-k-4,3*x^2-8*x+1=k}); 3 -17 {x = , k = }, { x = 1, k = -4 } , { x = 1, k = -4 } 2 4 > y=g(-17/4); 17 x 1 y=− + 4 4 > y=g(-4); y = −4 x 2.2. Hµm sè luü thõa, hµm sè mò vµ hµm sè l«garit 2.2.1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc, rót gän biÓu thøc (sè hoÆc ch÷) 11
  12. Bµi to¸n 2.2.1.1. Rót gän biÓu thøc A = 5+2 6 + 5−2 6 . > A:=sqrt(5+2*sqrt(6))+sqrt(5-2*sqrt(6)); A := 2 3 Bµi to¸n 2.2.1.2. Rót gän biÓu thøc B = 2 log4 8a − log8 3b . > B:=2^(ln(8*a)/ln(4)-ln(3*b)/ln(8));  ln( 8 a ) − ln( 3 b )     ln( 4 )  ln( 8 )  B := 2 > B:=simplify(%); ( 2/3 ) 2 2 a3 B := ( 1/3 ) 3b 2.2.2. 2.2.2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh mò Bµi to¸n 2.2.2.1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 32x + 5 = 3x + 2 + 2. > solve(3^(2*x+5)=3^(x+2)+2,{x});  2  ln  + π I     27   ln( 9 )   {x = − },  x =      ln( 3 )   ln( 3 )   > expand(%); ln( 9 ) {x = − } ln( 3 ) > evalf(%); { x = -1.999999999 } NÕu ta ®Æt Èn phô råi míi yªu cÇu m¸y gi¶i ph−¬ng tr×nh th× ta ®−îc nghiÖm ®óng: > solve(3*t^2=t+2,{t}); -2 { t = 1 }, { t = } 3 > solve(3^(x+2)=1,{x}); { x = -2 } Bµi to¸n 2.2.2.2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 9x - 5×3x + 2 = 0. 2.2. > solve(t^2-5*t+2,{t}); 5 17 5 17 {t = + }, { t = − } 2 2 2 2 > solve(3^x=5/2+1/2*17^(1/2),{x});  5 17   ln + 2    x =  2      ln( 3 )     12
  13. > solve(3^x=5/2-1/2*17^(1/2),{x});  5 17   ln − 2    x =  2      ln( 3 )     2.2.3. 2.2.3. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh mò  2 x + 3y = 7  Bµi to¸n 2.2.3.1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh  x 2.2.3.1. y  4 + 9 = 25.  > solve({2^x+3^y=7,4^x+9^y=25});        ln( 9 ) ln( −e _Z + 7 )                     RootOf _Z ln( 4 ) − ln( 2 ) ln −e  ln( 3 )     + 25      −e   + 7     y = ln ,   ln( 3 )           ln( 9 ) ln( −e _Z + 7 )                          + 25         RootOf _Z ln( 4 ) − ln( 2 ) ln −e ln( 3 )      ln( 9 ) ln −e     + 7            ln( 3 )   ln −e + 25       x= ln( 4 )    > evalf(%); { y = 1.261859507, x = 1.584962503 } > s:=2^x;t:=3^y; s := 2 x t := 3 y > solve({s+t=7,s^2+t^2=25}); ln( 4 ) ln( 4 ) ln( 3 ) { y = 1, x = }, { y = ,x= } ln( 2 ) ln( 3 ) ln( 2 ) 2.2.4. 2.2.4. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh mò Bµi to¸n 2.2.4.1. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh 4x - 3×2x + 2 > 0. 2.2.4. > solve(4^x-3*2^x+2>0,{x}); > t:=2^x; t := 2 x > solve(t^2-3*t+2>0,{x}); { x < 0 }, { 1 < x } 2.2.5. Gi¶i ph−¬ng tr×nh l«garit Bµi to¸n 2.2.5.1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh log2x + log4(2x) = 3. > solve(ln(x)/ln(2)+ln(2*x)/ln(4)=3,{x}); 13
  14.  ln( 2 ) ln( 32 )      ln( 8 )   {x = e } > simplify(%); ( 2/3 ) {x = 2 2 } Bµi to¸n 2.2.5.2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh log22 x + log2 (3x) = 5. > solve((ln(x)/ln(2))^2+ln(3*x)/ln(2)=5,{x}); > ( −1/2 ln( 2 ) + 1/2 21 ln( 2 )2 − 4 ln( 2 ) ln( 3 ) ) ( −1/2 ln( 2 ) − 1/2 21 ln( 2 )2 − 4 ln( 2 ) ln( 3 ) ) {x = e }, { x = e } > evalf(%); { x = 2.665541725 } , { x = 0.1875791309 } 2.2.6. Gi¶i ph−¬ng tr×nh hçn hîp Bµi to¸n 2.2.6.1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2x - log3 (2x) = 4. > solve(2^x-ln(2*x)/ln(3)=4,{x}); { x = RootOf ( 2 _Z ln( 3 ) − ln( 2 _Z ) − 4 ln( 3 ) ) } > evalf(%); { x = 2.444843682 } > plot(2^x-ln(2*x)/ln(3)-4,x=-1..3,y=-3..1); 2.3 2.3. Nguyªn hµm, tÝch ph©n vµ øng dông tÝ 2.3.1. TÝnh nguyªn hµm CÊu tróc cña lÖnh tÝnh nguyªn hµm cña mét hµm sè lµ: int (hµm sè, ®èi sè); 14
  15. Sau khi ghi ®Çy ®ñ lÖnh trªn, trong ®ã hµm sè ®−îc ghi b»ng mét biÓu thøc cô thÓ vµ ®èi sè ®−îc ghi b»ng mét ch÷ c¸i thÝch hîp, vµ Ên phÝm Enter th× kÕt qu¶ sÏ hiÖn ra nh−ng kh«ng kÌm theo h»ng sè tÝch ph©n. Bµi to¸n 2.3.1.1. TÝnh nguyªn hµm cña hµm sè (x2 - 2x + 3)4. > int((x^2-2*x+3)^4,x); 1 36 7 52 6 214 5 81 x + x 9 − x 8 + x − x + x − 78 x 4 + 108 x 3 − 108 x 2 9 7 3 5 NÕu muèn kÕt qu¶ hiÖn ra cã c¶ ký hiÖu cña nguyªn hµm ®ã th× cÇn söa l¹i cÊu tróc cña lÖnh mét chót: > Int((x^2-2*x+3)^4,x)=int((x^2-2*x+3)^4,x); ⌠ 4 1 36 7 52 6 214 5 ( x 2 − 2 x + 3 ) dx = 81 x + x 9 − x 8 + x − x + x − 78 x 4 + 108 x 3 − 108 x 2  9 7 3 5 ⌡ Bµi to¸n 2.3.1.2. TÝnh nguyªn hµm cña hµm sè (x2 + 2x - 1)e2x - 3. 2.3.1.2. > Int((x^2+2*x-1)*exp(2*x-3),x)=int((x^2+2*x-1)*exp(2*x- 3),x); ⌠( x 2 + 2 x − 1 ) e ( 2 x − 3 ) dx = 1 e ( 2 x − 3 ) ( 2 x − 3 ) 2 + e ( 2 x − 3 ) ( 2 x − 3 ) + 9 e ( 2 x − 3 )   ⌡ 8 8 > Int((x^2+2*x-1)*exp(2*x-3),x)=int((x^2+2*x-1)*exp(2*x- 3),x); ⌠( x 2 + 2 x − 1 ) e ( 2 x − 3 ) dx = 1 e ( 2 x − 3 ) ( 2 x − 3 ) 2 + e ( 2 x − 3 ) ( 2 x − 3 ) + 9 e ( 2 x − 3 )   ⌡ 8 8 2.3.2. TÝnh tÝch ph©n 2 Bµi to¸n 2.3.2.1. TÝnh ∫ (4 x 3 − 2 x 2 + 3 x + 1)dx . 2.3.2.1. 1 > Int(4*x^3-2*x^2+3*x+1,x=1..2)=int(4*x^3- 2*x^2+3*x+1,x=1..2); 2 ⌠ 4 x 3 − 2 x 2 + 3 x + 1 dx = 95  6 ⌡ 1 1 ∫ x e dx . 2 3 x Bµi to¸n 2.3.2.2. TÝnh 2.3.2.2. 0 > Int(x^3*exp(x^2),x=0..1)=int(x^3*exp(x^2),x=0..1); 1 ⌠ 3 (x2 ) 1 x e dx =   2 ⌡0 15
  16. π 2 Bµi to¸n 2.3.2.3. TÝnh 2.3.2.3. ∫ x sin xdx . 0 > Int(x*sin(x),x=0..pi/2)=int(x*sin(x),x=0..pi/2); π 2 ⌠ π 1 π  x sin( x ) dx = sin 2  − 2 π cos 2      ⌡0     1 2 x 2 − 3x + 1 Bµi to¸n 2.3.2.4. TÝnh 2.3.2. .2.4. ∫ x3 + 1 dx . 0 > Int((2*x^2-3*x+1)/(x^3+1),x=0..1)=int((2*x^2- 3*x+1)/(x^3+1),x=0..1); 1 ⌠ 2 x2 − 3 x + 1 2 3π   dx = − + 2 ln( 2 )  3 x +1 9  ⌡0 π 2 ∫x 2 Bµi to¸n 2.3.2.5. TÝnh 2.3.2.5. cos 2 xdx . π 6 >Int(x^2*cos(2*x),x=Pi/6..Pi/2)=int(x^2*cos(2*x),x=Pi/6..Pi/ 2); π 2 ⌠ x 2 cos( 2 x ) dx = − 7 π − 1 π 2 3 + 1 3  24 144 8 ⌡π 6 π x sin xdx Bµi to¸n 2.3.2.6. TÝnh 2.3.2.6. ∫ 2 + cos 0 2 x . >Int(x*sin(x)/(2+cos(x)^2),x=0..Pi)=int(x*sin(x)/(2+cos(x)^2 ),x=0..Pi); π π ⌠ x sin( x ) ⌠ x sin( x )  dx =    dx  2 + cos( x ) 2   2 + cos( x ) 2  ⌡0 ⌡0 > evalf(%); 1.367252148 = 1.367252148 π π x sin xdx π sin xdx NÕu ®æi biÕn sè t = π - x th× ta cã ∫ = ∫ . 0 2 + cos x 2 0 2 + cos 2 x 2 16
  17. >Int(x*sin(x)/(2+cos(x)^2),x=0..Pi)=int(Pi/2*sin(x)/(2+cos(x )^2),x=0..Pi); π ⌠ x sin( x ) 1  2  dx = arctan    2 + cos( x ) 2 2  2 π 2     ⌡0 2.3.3. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng nhê tÝch ph©n Bµi to¸n 2.3.3.1. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ c¸c hµm sè 2.3.3. .3.1. y = 2x + 5x - 2 vµ y = x3 + 2x2 - 2x + 4. 2 > f:=x->2*x^2+5*x-2; g:=x->x^3+2*x^2-2*x+4; f := x → 2 x 2 + 5 x − 2 g := x → x 3 + 2 x 2 − 2 x + 4 > solve(f(x)=g(x),{x}); { x = 1 } , { x = 2 } , { x = -3 } > S:=Int(abs(f(x)-g(x)),x=-3..2)=int(abs(f(x)-g(x)),x=- 3..2); 2 ⌠ −7 x + 6 + x 3 dx = 131 S :=  ⌡ 4 -3 2.3.4. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay nhê tÝch ph©n Bµi to¸n 2.3.4.1. TÝnh thÓ tÝch cña khèi trßn xoay t¹o thµnh khi quay h×nh ph¼ng 2.3. giíi h¹n bëi ®å thÞ c¸c hµm sè y = x2 + 5x - 1 vµ y = x3 + 4x2 + 5x - 5 quanh trôc hoµnh. > f:=x->x^2+5*x-1;g:=x->x^3+4*x^2+5*x-5; f := x → x 2 + 5 x − 1 g := x → x 3 + 4 x 2 + 5 x − 5 > solve(f(x)=g(x),{x}); { x = 1 } , { x = -2 } , { x = -2 } > V:=Int(Pi*(f(x)-g(x))^2,x=-2..1)=int(Pi*(f(x)-g(x))^2,x=- 2..1); 1 ⌠ 2 729 π V :=  π ( −3 x 2 + 4 − x 3 ) dx =  ⌡ 35 -2 2.4. 2.4. Sè phøc 2.4.1. 2.4.1. Rót gän c¸c biÓu thøc cã chøa sè phøc 17
  18. 3 + 2i 1 − i Bµi to¸n 2.4.1.1. TÝnh + . 1 − i 3 − 2i > (3+2*I)/(1-I)+(1-I)/(3-2*I); 23 63 + I 26 26 (1 + i )(5 − 6i ) Bµi to¸n 2.4.1.2. TÝnh 2.4.1.2. . (2 + i ) 2 > (1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2; 29 47 − I 25 25 2.4.2. 2.4.2. T×m m«®un vµ acgumen cña sè phøc (1 + i )(5 − 6i ) Bµi to¸n 2.4.2.1. T×m m«®un vµ acgumen cña sè phøc z = 2.4.2.1. . (2 + i ) 2 > abs((1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2); 122 5 > argument((1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2); 47  −arctan      29   2.4.3. 2.4.3. ChuyÓn ®æi sè phøc tõ d¹ng ®¹i sè sang d¹ng l−îng gi¸c hoÆc d¹ng mò Bµi to¸n 2.4.3.1. ChuyÓn ®æi sè phøc z = 1 + 3 i sang d¹ng l−îng gi¸c vµ d¹ng 2.4.3.1. mò. > 1+sqrt(3)*I=convert(1+sqrt(3)*I,polar); 1 + 3 I = polar 2,  π   3     π π π i Nh− vËy, ta cã 1 + 3 i = 2  cos + i sin  = 2e 3 .  3 3 (1 + i )(5 − 6i ) Bµi to¸n 2.4.3.2. ChuyÓn ®æi sè phøc z = 2.4.3.2 .2. sang d¹ng l−îng gi¸c vµ (2 + i ) 2 d¹ng mò. > convert( (1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2, polar );  122  47   polar  5 , −arctan  29        Nh− vËy, ta cã 47 122  47 47  122 − i arctan 29 z= cos arctan − i sin arctan  = e . 5   29 29  5 18
  19. 2.4.4. 2.4.4. Gi¶i ph−¬ng tr×nh trªn tËp hîp sè phøc Bµi to¸n 2.4.4.1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x2 - 6x + 58 = 0. 2.4.4.1 .1. > solve(x^2-6*x+58,{x}); { x = 3 + 7 I }, { x = 3 − 7 I } Bµi to¸n 2.4.4.2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x3 - x2 - 2x + 8 = 0. 2.4.4.2 .2. > solve(x^3-x^2-2*x+8,{x}); 3 1 3 1 { x = -2 }, { x = + I 7 }, { x = − I 7 } 2 2 2 2 Bµi to¸n 2.4.4.3. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x3 - x + 10 = 0. 2.4.4.3. .4.3 > solve(x^3-x+10,{x}); ( 1/3 ) ( 1/3 )     x = − ( 135 + 3 2022 ) 1 ,  x = ( 135 + 3 2022 )   − ( 1/3 )       3     6  ( 135 + 3 2022 )   1 + ( 1/3 ) 2 ( 135 + 3 2022 ) ( 1/3 ) 1  ( 135 + 3 2022 ) 1   + I 3 −  ,  x = +   ( 1/3 )    2   3      ( 135 + 3 2022 )   ( 1/3 ) ( 135 + 3 2022 ) 1 + 6 ( 1/3 ) 2 ( 135 + 3 2022 ) ( 1/3 ) 1  ( 135 + 3 2022 ) 1  − I 3 −  +  ( 1/3 )   2   3   ( 135 + 3 2022 )  > evalf(%); { x = -2.308907320 }, { x = 1.154453660 − 1.731557033 I } , { x = 1.154453660 + 1.731557033 I } Bµi to¸n 2.4.4.4. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x4 + 5x2- 36 = 0. 2.4. > solve(x^4+5*x^2-36,{x}); { x = -2 }, { x = 2 } , { x = 3 I }, { x = -3 I } Bµi to¸n 2.4.4.5. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x4 + x3 - 5x2 - 4 = 0. 2.4.4.5 .5. > solve(x^4+x^3-5*x^2-4,{x}); ( 1/3 )     x = − ( 324 + 12 633 ) { x = 2 },  4 − 1 ,  x =  −       6 ( 1/3 )      ( 324 + 12 633 )   ( 1/3 ) ( 324 + 12 633 ) 2 + −1 12 ( 1/3 ) ( 324 + 12 633 ) 19
  20. ( 1/3 ) 1  ( 324 + 12 633 ) 4   + I 3 −  +  ,  x =   ( 1/3 )    2   6      ( 324 + 12 633 )   ( 1/3 ) ( 324 + 12 633 ) 2 + −1 12 ( 1/3 ) ( 324 + 12 633 ) ( 1/3 ) 1  ( 324 + 12 633 ) 4  − I 3 −  +   2   6 ( 1/3 )     ( 324 + 12 633 )  > evalf(%); { x = 2. }, { x = -2.893289196 }, { x = -0.0533554020 − 0.8297035535 I } , { x = -0.0533554020 + 0.8297035535 I } 2.5 2.5. Ph−¬ng ph¸p to¹ ®é trong kh«ng gian 2.5.1. TÝnh tÝch v« h−íng, tÝch vect¬, gãc gi÷a hai vect¬ khi biÕt to¹ ®é cña chóng Bµi to¸n 2.5.1.1. Cho hai vec t¬ a = (3; 7; −5) vµ b = (4; −2;9) . a) TÝnh tÝch v« h−íng cña hai vect¬ a vµ b . b) T×m tÝch vect¬ cña hai vect¬ a vµ b . c) TÝnh gãc gi÷a hai vect¬ a vµ b . > a:=Vector([3,7,-5]);  3    7 a :=      -5   > b:=Vector([4,-2,9]);  4   b :=  -2      9   > a.b; -47 > with(LinearAlgebra):c:=CrossProduct(a,b);  53   c := -47     -34   > VectorAngle(a,b);  47 83 101  π − arccos      8383  > evalf(%); 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản