Giải toán bằng phương pháp tọa độ

Chia sẻ: trungtran2

Giải toán bằng phương pháp tọa độ I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình.

Nội dung Text: Giải toán bằng phương pháp tọa độ

PhÇn I

Ph−¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng



Bµi 1

VÐct¬ vµ täa ®é trong mÆt ph¼ng


I − Nh¾c l¹i lý thuyÕt (nh÷ng ®iÒu c¬ b¶n cÇn n¾m)

1. HÖ trôc täa ®é §Òc¸c vu«ng gãc

HÖ thèng hai trôc täa ®é Ox, Oy chung gèc O, vu«ng gãc víi nhau
®−îc gäi lµ mét hÖ trôc täa ®é §Òc¸c vu«ng gãc trong mÆt ph¼ng. Ta
th−êng kÝ hiÖu lµ Oxy hay {O, e1, e2} , ë ®ã e1, e2 lµ c¸c vÐct¬ ®¬n vÞ
®Þnh h−íng c¸c trôc Ox, Oy t−¬ng øng. Trôc Ox ®−îc gäi lµ trôc hoµnh.
Trôc Oy ®−îc gäi lµ trôc tung (xem h×nh vÏ).

2. Täa ®é cña vÐct¬ vµ cña ®iÓm. Cho hÖ trôc täa ®é Oxy, a lµ mét
vect¬ trong mÆt ph¼ng, khi ®ã cã duy nhÊt ®iÓm M sao cho OM = a.
Ph©n tÝch vÐct¬ OM theo hai vÐct¬ e1, e2 ta cã :

OM = OM1 + OM 2 = a1 e1 + a 2 e2 .

Ta gäi cÆp sè cã thø tù (a1, a2) lµ täa ®é cña vÐct¬ a trong hÖ trôc täa
®é Oxy, vµ viÕt a(a1, a 2 ) hay a = {a1, a 2} .

Víi ®iÓm N thuéc mÆt ph¼ng, täa ®é cña vÐct¬ ON ®−îc gäi lµ täa ®é
cña ®iÓm N.

Nh− vËy N(x, y) nÕu vµ chØ nÕu ON = xe1 + ye2 .

3. BiÓu thøc täa ®é cña c¸c phÐp to¸n trªn vÐct¬.

a) NÕu M(x1, y1), N(x2, y2) th× MN(x2 − x1, y2 − y1 ).

b) a (a1, a 2 ), b(b1, b2 ) , k lµ sè thùc th× :

1
a ± b(a1 ± b1, a 2 ± b2 )

k.a(ka1, ka 2 ).

c) Ta gäi tÝch v« h−íng cña hai vÐc t¬ a, b lµ mét sè thùc, kÝ hiÖu

a . b , ®−îc x¸c ®Þnh bëi a . b = a . b . cos(a, b) , ë ®ã (a, b) lµ gãc t¹o bëi
hai vÐc t¬ a vµ b.

NÕu a(a1, a 2 ), b(b1, b2 ) th× a . b = a1b1 + a 2 b2 . Khi b = a , ta cã
2 2
a.a = a = a 2 2
= a1 + a 2 . Tõ ®ã a = a1 + a 2
2
2 ; t−¬ng tù

b = b1 + b2 . Nh− vËy, khi a ≠ 0, b ≠ 0 :
2
2


a.b a1b1 + a 2 b2
cos(a, b) = = .
2
a b a1 + a2
2
2
b1 + 2
b2

4. Chia ®o¹n th¼ng theo tû sè cho tr−íc

Cho hai ®iÓm A, B vµ mét sè k ≠ 1. §iÓm M ®−îc gäi lµ chia ®o¹n AB
theo tû sè k nÕu MA = kMB . Gi¶ sö A(x1, y1), B(x2, y2) vµ M(x, y) th×
dÔ dµng tÝnh ®−îc :

x1 − kx 2 y − ky2
x= ,y= 1 .
1− k 1− k

NhËn xÐt :

a) Khi k = −1, ta cã MA = −MB , nghÜa lµ M lµ trung ®iÓm cña AB.
x + x2 y + y2
Khi ®ã x = 1 ,y= 1 . Nh− vËy, täa ®é trung ®iÓm cña mét
2 2
®o¹n th¼ng b»ng trung b×nh céng c¸c täa ®é t−¬ng øng cña hai ®Çu mót
cña ®o¹n th¼ng ®ã.

b) NÕu a = k.b mµ b ≠ 0 , th×

a
a cïng h−íng víi b khi vµ chØ khi k ≥ 0, khi ®ã k = .
b

a
NÕu a, b ng−îc h−íng th× k < 0, khi ®ã k = − .
b

2
c) Bèn ®iÓm A, B, M, N ®−îc gäi lµ mét hµng ®iÓm ®iÒu hßa nÕu M
vµ N chia ®o¹n AB theo hai tû sè ®èi nhau. NghÜa lµ nÕu MA = kMB th×
NA = − kNB .

II − LuyÖn tËp

1. §Ò thi §¹i häc LuËt Hµ Néi (1998)

Cho h×nh thang c©n ABCD, ®¸y AD vµ BC, gãc BAD = 30o . §Æt
AB = a, AD = b. H·y biÓu diÔn vÐc t¬ BC, CD, AC, BD theo a, b.

Lêi gi¶i :

KÎ BD1 // CD, D1 ∈ AD.

Ta cã : CD = BD1 = AD1 − AB = AD1 − a = k.b − a, k =
o
AD1 2AH 2. AB . cos 30 a. 3
= = = .
AD b b b

3 a
Nh− vËy CD = .b − a.
b

DÔ thÊy BD = AD − AB = b − a.

 b − 3 a 
AC = AD + DC = a + 
 b

 b 

b − 3 a
BC = .b ;
b

2. §Ò thi häc viÖn kü thuËt mËt m· (n¨m 1999)

Gäi AD lµ ®−êng ph©n gi¸c trong cña gãc A cña tam gi¸c ABC. H·y
biÓu diÔn AD theo AB vµ AC .

Lêi gi¶i.

§Æt AB = a, AC = b. Theo tÝnh chÊt cña ®−êng ph©n gi¸c, ta cã :




3
DB AB
= . Nh−ng AD lµ ®−êng ph©n gi¸c trong, nªn DB vµ DC
DC AC
ng−îc h−íng. V× vËy :

AB a
DB = − .DC = − .DC.
AC b

a a a
⇒ AB − AD = − .(AC − AD) = .AD − .AC .
b b b

b .a + a .b
⇒ AD =
a.b

3. Cho tam gi¸c ABC cã c¸c gãc A, B, C. Dïng ph−¬ng ph¸p vÐc t¬,
h·y chøng minh :

3
cosA + cosB + cosC ≤ .
2

DÊu b»ng xÈy ra khi vµ chØ khi tam gi¸c ABC ®Òu.

Lêi gi¶i

Chän e1, e2 , e3 lÇn l−ît lµ c¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ cïng h−íng víi c¸c vÐc
t¬ AB, BC, CA.

Ta cã (e1, e2 , e3 )2 ≥ 0

2 2 2
hay : e1 + e2 + e3 + 2(e1 e2 + e2 e3 + e3 e1 ) ≥ 0.

2 2 2
Nh−ng e1 = e2 = e3 = 1.

e1.e2 = cos(Π − B) = − cos B

e2 .e3 = cos(Π − C) = − cos C

e3 .e1 = cos(Π − A) = − cos A

Nh− vËy : 3 − 2(cosA + cosB + cosc) ≥ 0



4
3
hay cosA + cosB + cosC ≤ .
2

DÊu b»ng xÈy ra khi vµ chØ khi e1 + e2 + e3 = 0 , hay tam gi¸c ABC
®Òu.

4. øng dông vÐc t¬ ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc : Cho a1, a2, ..., an ;
b1, b2, ..., bn lµ 2n sè tïy ý. H·y chøng minh

2 2
n  n   n 
∑ a2
k + b2
k ≥  ∑ a k  +  ∑ bk 
   
k =1  k =1   k =1 

n
Lêi gi¶i. §Æt O(0, 0), Mk(ak, bk), k = 1, 2, ..., n. Ta cã : ∑ OM k cã
k =1
täa ®é lµ (a1 + ... + an, b1 + ... + bn). Theo tÝnh chÊt cña vÐc t¬, ta cã :

n n
∑ OM k ≤ ∑ OM k
k =1 k =1


2 2
 n   n  n
hay  ∑ a k  +  ∑ b k  ≤ ∑ a 2 + b2
    k k
 k =1   k =1  k =1


III − Bµi tËp tù gi¶i

1. §Ò thi §¹i häc giao th«ng vËn t¶i (1998)

Cho h×nh thang c©n ABCD, AB // CD. §Æt
o
AB = a, AD = b, BAD = 60 . H·y biÓu diÔn vÐc t¬ BC theo a vµ b .
T×m quan hÖ gi÷a ®é dµi a vµ b ®Ó AC ⊥ BD.

3 +1
§¸p sè : a = b .
2

2. Cho ABCD lµ h×nh b×nh hµnh, m lµ mét sè d−¬ng. LÊy ®iÓm M sao
cho DC = m.DM . LÊy ®iÓm N sao cho DB = (m + 1)DN . Chøng minh
r»ng khi m thay ®æi, ®−êng th¼ng MN lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh.

3. Cho tam gi¸c ABC, ®Æt a = BC, b = CA vµ c = AB. Chøng minh
r»ng

5
a.IA + b.IB + c.IC = 0, ë ®ã I lµ t©m vßng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC.

4. Cho ba ®iÓm A, B, C kh«ng th¼ng hµng. A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3,
y3). Chøng minh r»ng diÖn tÝch tam gi¸c ABC cã thÓ tÝnh theo c«ng thøc
:

x − x1 x3 − x1
dt(∆ABC) = gtt® 2
y2 − y1 y3 − y1

ë ®ã : gtt® lµ viÕt t¾t cña "gi¸ trÞ tuyÖt ®èi".

5. C¸c ®Ò 65, 101, 104 c©u h×nh häc Va, bé ®Ò thi tuyÓn sinh. Nhµ
xuÊt b¶n Gi¸o dôc, 1996.




6
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản