Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 8

Chia sẻ: LẠI THANH TÙNG | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:24

3
1.960
lượt xem
507
download

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 8

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 8

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 8

  1. Chủ đề 1: Những hằng đẳng thức đáng nhớ I/ Mục tiêu • HS sử dụng thành thạo 7 HĐT đáng nhớ vào giải 1 số bài toán khó. • Bồi dưỡng cho HS khả năng phán đoán, suy luận toán học, tư duy logic. • HS thấy được sự phong phú của toán học từ đó mà thích bộ môn toán. II/ Chuẩn bị: GV: Chọn lọc bài tập. HS: nắm chắc các HĐT III/ Tiến trình trên lớp: A/ Ổn định tổ chức: B/ Kiểm tra bài cũ: Viết công thức của 7 HĐT C/ Bài mới: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò 1/ Tính nhanh kết quả các biểu thức sau ? ta thấy biểu thức A có dạng HĐT nào A = 57 + 114. 43 + 43 2 2 = 57 + 2 . 57 . 43 + 43 = (57 + 43) = 100 = 10000 2 2 2 2 ? biểu thức B có chứa HĐT B = 5 4 . 3 4 − (15 2 − 1) (15 2 + 1) nào? Hãy KT ? = (5.4) 4 − (15 4 −1) =15 4 −15 4 + 1 =1 C = 50 2 − 49 2 + 48 2 − 47 2 + ... + 2 2 −12 ? Dùng tính chất kết hợp ta = ( 50 2 − 49 2 ) + (48 2 − 47 2 ) + ... + (2 2 −12 ) nên kết hợp như thế nào để = (50 - 49)(50 + 49) + (48 – 47)(48 + 47) + … + xuất hiện HĐT (2 + 1)(2 – 1) = 50 + 49 + 48 + 47 + … + 2 + 1 ? đây là dãy số tự nhiên từ 1 = (50 + 1) + (49 + 2) + … + (25 +26) đến 50 ở những lớp dưới ta = 51 . 25 = 1275 làm như thế nào. 2/ So sánh các số sau: a/ A = 1999 . 2001 và B = 2000 2 ? ta cần biến đổi số A,B ? A = (2000 – 1)(2000 + 1) = 2000 2 −1 B = 2000 2 Vậy A < B b/ C = (2 + 1)( 2 2 + 1) (2 4 + 1) ( 2 8 + 1) và D = 216 C đã có HĐT nào chưa? Nhân 2 vế của C với 2 – 1 ta được: (chưa) (2 – 1) C = (2 – 1) (2 + 1) ( 2 2 + 1) ( 2 4 + 1) (2 8 + 1) Ta có cách nào để C có HĐT? = (2 4 −1) (2 4 + 1) (28 + 1) = ( 2 8 + 1) (2 8 − 1) = 216 Vậy C < D
  2. 3/ Chứng minh các biểu thức sau luôn dưới dạng với mọi giá trị của x: ? tách 2 để xuất hiện HĐT ( a/ A = x 2 + 2 x + 2 A + B) 2 = ( x 2 + 2 x + 1) + 1 = ( x + 1) 2 + 1 > 0 với mọi x b/ B = x 2 − x + 1 2  11 3 = x −2 x + +  2 4 4 2  1 3 =  x −  + > 0 với mọi x  2 4 4/ Chứng minh các biểu thức sau luôn âm với mọi giá trị của x. a/ M = − x 2 + 2 x − 4 = − ( x 2 − 2 x + 4) = - [ ( x 2 − 2 x + 1) + 3 ] = - [ ( x −1) 2 + 3 < 0 với mọi x. b/ N = − 25 x 2 −10 x −1,5 = − (25 x 2 + 10 x + 1,5) = - [( 25 x 2 + 10 x + 1) + 0,5] = - [(5 x + 1) 2 + 0,5 < 0 với mọi x D Củng cố: • Chú ý 3 HĐT bậc 2 • ( A ± B) ≥ 0 ∀ giá trị của biến 2 E Hướng dẫn: • Xem các bài đã chữa để nắm phương pháp • Bài tập về nhà : 20 → 26 trang 19 SKT
  3. Chuyên đề 2: Phân tích đa thức thành nhân tử (Bằng phương pháp tổng quát) Mục tiêu: I. • Giúp học sinh hình thành công thức tổng quát để phán đoán việc phân tích đa thức bậc cao (n, 2n → n chẵn) • Rèn luyện vận dụng thành thạo công thức dễ dùng vào việc phân tích đa thức thành nhân tử. Chuẩn bị : II. GV: Nghiên cứu tài liệu HS: Ôn tập các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. III. Tiến trình lên lớp A. Ổn định tổ chức B. Kiểm tra: Xem vào giờ học C. Bài mới: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Phân tích đa thức một biến bậc 2 f ( x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 1/ Nhận xét Một đa thức bậc 2 luôn dương (luôn âm) với ? Có nhận xét gì về đa thức bậc hai f(x) > 0 mọi giá trị của biến thì không phân tích được. Chứng minh: giả sử f(x) phân tích được thì f(x) < 0 f(x) = (ax + b) (mx + n) b Với x = − → f(x) = 0 a Trái với giả thiết cho f(x) > 0 hoặc f(x) < 0 2/ Công thức f ( x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) b c =a ( x 2 + x+ ) a a b2 c b2 b = a ( x 2 + 2 x. + 2 + − 2 ) Giáo viên cho học sinh 2a 4 a a 4a phân tích đa thức bậc hai b − 4ac 2 b a [( x + ) 2 − ] >0 một biến 4a 2 2a Với ∀x Thì f(x) > 0 với mọi x nếu a > 0 f(x) < 0 với mọi x nếu a < 0 → Không phân tích được. • Nếu b − 4ac ≥ 0 → Có thể phân tích được 2 Chú ý:
  4. • Nếu b − 4ac là bình phương một số hữu 2 tỉ thì phân thức được dễ dàng. 2 • Nếu b − 4ac không là bình phương một số hữu tỉ thì không phân tích được ở lớp 8 3/ Áp dụng: Phân tích các đa thức sau: 3x 2 + 4 x + 5 1. − 7 x 2 − 5x + 1 2. − 5x 2 + 4 x − 7 3. 6 x 2 + 12 x + 6 4. Giáo viên cho học sinh − 15 x 2 + 13 x − 2 5. thảo luận đề cùng làm x − 7 x + 12 2 6. bài tập. 7. x 2 − 5 x − 14 8. 4 x 2 − 3 x − 1 Học sinh trình bày bài. 9. − 3x 2 − 4 x + 1 Học sinh khác nhận xét 7 2 bài của bạn. 10. 5 x 2 + x − 3 3 3 5 11. − x 2 + x + 1 2 2 Giáo viên chốt lại cách 12. x + 12 x + 11 2 làm. Nên dùng công thức 13. x 2 − 3x − 28 để phán đoán các đa 14. 4b 2 c 2 − (b 2 + c 2 − a 2 ) 2 thức có thể phân tích được. 15. x 2 − 9 x + 8 D. Củng cố: Vận dụng công thức để phán đoán các phân thức đa thức. E. Hướng dẫn: Xem lại các bài tập đã chữa.
  5. Chuyên đề 3: Quan hệ chia hết I/ Mục tiêu • Giúp học sinh nắm được quan hệ chia hết trong tập hợp đa thức • Rèn luyện kỹ năng tính toán chính xác, vận dụng linh hoạt các phương pháp. II/ Chuẩn bị: GV: Nghiên cứu tài liệu HS: Ôn luyện về phép nhân, phép chia đa thức. III/ Tiến trình trên lớp: A. Ổn định tổ chức B. Kiểm tra: Xen vào giờ học C. Bài mới Hoạt động của thầy Hoạt động của trò 1/ Chia 2 đa thức A(x) và B(x) luôn tồn tại 2 đa thức q(x) và Giáo viên giới thiệu cho học r(x) sao cho: sinh về phép chia A(x) = B(x)q(x) + r(x) (B(x) ≠ 0 r(x) = 0 →A(x) = B(x) q(x) ta nói A(x) chia hết cho B(x) đa thức cho đa r(x) ≠ 0 →A(x) có bậc nho hơn B(x) và phép chia có dư thức. Gồm phép 2/ Dùng đồng nhất thức (hệ số bất định) chia hết và phép chia có dư. n −1 f ( x) = a n x + a n −1 x + ... + a1 x + a 0 n g ( x) = bn x n + bn −1 x n −1 + ... + b1x + b0 a n = bn Sử dụng một số  a n −1 = bn −1 các phương pháp  có liên quan đến f(x) = g(x) → ....................... = phép chia a1 b1 = a0 b0 Ví dụ 1: x 4 + 4 ≥ 4 > 0 với ∀ x → vô nghiệm x 4 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4 − 4x 2 ( ) 2 = x 2 + 2 − 4x 2 = ( x 2 + 2 − 2 x) ( x 2 + 2 + 2 x ) Học sinh quan sát Vậy một đa thức bậc 4 dương (âm) với mọi x (không có giaó viên làm ví nghiệm) vẫn phân tích được. dụ mẫu. Ví dụ 2: x 4 + 6 x 3 + 11x 2 + 6 x + 1 Dùng hệ số bất định Ví dụ 3: x 4 + 2 x 3 + x 2 + x + 1 = ( x 2 + x) 2 + ( x + 1)
  6. 3/ Một số dạng đặc biệt a/ Dạng a 2 + b 2 (trong đó 2ab = k 2 ) a 2 + b 2 = a 2 + b 2 + 2ab − 2ab Giáo viên giới = ( a + b) − k 2 2 thiệu một số = (a + b + k )(a + b − k ) dạng đặc biệt b/ Dạng f(x) = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + k (Tổng hai số trong 4 số a,b,c,d bằng tổng 2 số còn lại) Yêu cầu học sinh Giả sử: a + b = c + d = m làm ví dụ f(x) =[(x+a)(x+b)][(x+c)(x+d)]+k = [ x 2 + ( a + b) x + ab ][ x 2 + (c + d ) x + cd ] + k Giáo viên gợi ý = [ x 2 + mx + ab][ x 2 + mx + cd ] + k cách làm Giáo viên giới 4/ Dạng x 3m +1 + x 3n + 2 + 1 (m, n là số tự nhiên) thiệu tiếp các Luôn chứa nhân tử x 2 + x + 1 dạng cơ bản ( x + a ) 4 + ( x + b) 4 + k 5/ Dạng Thế nào là đa a+b thức đối xứng Đặt y = x + 2 6/ Đa thức đối xứng • Hệ số của hạng tử bậc cao nhất và hạng tử tự do Giáo viên giới bằng nhau thiệu đa thức đối • Hệ số các hạng tử cách đều hạng tử đầu và cuối bằng xứng bậc lẻ, bậc nhau, chẵn. • Đa thức đối xứng (bậc lẻ đầy đủ) thì có tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc còn lại. (Nếu nghiệm = -1 thì phân tích được) Giáo viên cho học • Đa thức đối xứng (bậc chẵn đầy đủ) thì đặt ẩn phụ: sinh thao luận và 7/ Áp dụng giải các bài tập a/ Tìm a, b để x 4 + ax 2 + b chia hết cho x 2 − 3x + 2 trên lớp x 4 + ax 2 + b = ( x 2 − 3 x + 2) . g ( x) → = ( x − 1) ( x − 2) . g ( x) Cho học sinh lên bảng trình bày 4 → x + ax 2 + b chia hết cho (x-1) và (x-2) Theo Bơdu ta có f(1) = 0 và f(2) = 0 Học sinh khác → 1 + a + b = 0 và 16 + 4a + b = 0 nhận xét →a = -5, b = 4 b/ Tìm a, b để f(x) = x 3 + ax + b chia hết cho ( x −1) 2 ( x 3 + ax + b) : ( x − 1) 2 = (x + 2) + (a +3)x + b – d Muốn x 3 + ax + b chia hết cho ( x −1) 2 thì r = (a + 3)x + b – d = 0
  7. →(a + 3)x = 0 hay a = -3 Và b -2 =0 hay b = 2 c/ Tìm đa thức bậc 2 thỏa mãn f(x) – f(x- 1) = x. từ đó xuy ra công thức tính tổng 1+ 2 + 3 +…+ n - 1 + n Giáo viên chốt lại Cho n chia hêt cho m. chứng minh các làm D/ Củng cố: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Quy trình thực hiện phép chia đa thức. E/ Hướng dẫn về nhà Xem lại các bài tập đã chữa
  8. Chuyên đề 4: Phân tích đại số I/ Mục tiêu: • Giúp học sinh nắm chắc hơn khái niệm về phân thức, giá trị xác định được của phân thức, hai phân thức bằng nhau. • Rèn kỹ năng tính toán, trình bày khoa học sáng tạo với nhiều cách giải bài toán. • Giáo dục lòng say mê học môn toán cho HSG. II/ Chuẩn bị: GV: Nghiên cứu tài liệu tham khảo HS: Ôn luyện lý thuyết. III/ Tiến trình trên lớp A. Ổn định tổ chức B. Kiểm tra: Xen vào giờ học C. Bài mới: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò I/ Định nghĩa: Giáo viên cho học sinh ôn lại khái A 1/ Phân thức: (A, B là các đa thức, B ≠ 0) niệm phân thức, hai B 2/ Hai phân thức bằng nhau phân thức bằng nhau AC = Nếu AD = BC BD 3/ Tính chất cơ bản của phân thức Tính chất cơ bản A A . M A: N của phân thức. = = B B. M B: N II/ Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm điều kiện của biến để giá trị của đa thức xác định x 2 + 3x − 5 A= (x ≠ 0, x ≠ 5) x 2 − 5x Giáo viên cho hs làm x2 − 4 (mọi x thuộc R) B= 2 bài x + x +1 x3 + y 4 C = 2 2 (x ≠ y, x ≠ - y) x −y x3 + 6x 2 D= 3 (x ≠ - 2) x + 2x 2 + x + 2
  9. x 4 + x 3 + x +1 (với mọi x thuộc R) E= 4 3 x − x + 2 x 2 − x +1 3 x + x2 1 G= 3 (x ≠ 1, x ≠ - ) 4 x − 3x −1 2 2 Bài 2:Với giá trị nào của biền để giá trị của phân thức bằng 0 Hs làm bài trên bảng  x 2 −1 = 0 x 2 −1 a. → → x = -1 x −1  x −1 ≠ 0 x 4 + x 3 − x +1 b. 4 3 x + x + 3x 2 + 2 x + 2 Hs khác n x và bổ sung Ta có + x 4 + x 3 + 3x 2 + 2 x + 2 ≠ 0 = x 3 ( x + 1) + 2 x (2 x + 1) + ( x + 2) ≠ 0 = ( x + 2) ( x 2 + x + 1) ≠ 0 →x ≠ -2 + x 4 − x 3 − x +1= 0 ( x −1) 2 ( x 2 + x + 1) = 0 →x=1 Vậy x= 1 (thỏa mãn điều kiện) Bài 3: Tính giá trị biểu thức 5a − b 3b − 3a M = 2a + 5 − 2b − 5 (2a + 5 ≠ 0 và 2b – 5 ≠ 0) Biết 3a – b = 5 5a − b 3b − 3a → M = 2a + 5 − 2b − 5 2a + ( 3a − b ) 2b − ( 3a − b) − = 2a + 5 2b − 5 2a + 5 2b − 5 = 2a + 5 − 2b − 5 =1-1= 0 Bài 4/ Cho 2a 2 + 2b 2 = 5ab và b > a > 0 a −b Tính giá trị của phân thức P = a + b Ta có: 2a 2 + 2b 2 − 5ab = 0 → a (2a – b) – 2b (a – b) = 0 → (a – 2b) (2a – b) = 0 → a = 2b (không thỏa mãn) hoạc b = 2a (thỏa mãn)
  10. a − 2a −a −1 P = a + 2a = 3a = 3 Bài 5/ Với giá trị nào của x thì −2 a. Giá trị của biểu thức A = x + 1 > 0 Giáo viên chốt lại cách làm, giao bài −3 b. Giá trị của phân thức B = x + 2 < 0 tập cho học sinh làm x −3 c. Giá trị của phân thức C = 4 − x > 0 D. Củng cố Các kỹ năng biến đổi phân thức E. Hướng dẫn về nhà Xem lại các bài đã chữa.
  11. Chuyên đề 5: Rút gọn phân thức I. Mục tiêu: • Giúp học sinh nắm vững cách rút gọn phân thức và giải các bài tập liên quan • Phát huy tư duy cho học sinh qua việc phân tích đa thức thành nhân tử và sử dụng các phép biến đổi nhanh. • Học sinh thấy được thuận lợi của việc rút gọn. Chuẩn bị II. GV: Nghiên cứu tài liệu tham khảo HS: Ôn tập các kiến thức cơ bản III. Tiến trình trên lớp A. Ổn định tổ chức B. Kiểm tra: Xen vào giờ học C. Nội dung Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Tổng quát Học sinh ôn tập phần quy tắc rút gọn một A A: N = (nhân tử chung) (B, M, N ≠ đa thức 0 phân thức B B: N Bài 1: ( ) x 3 + y 3 + z 3 − 3 xyz ( x + y + z ) x 2 + y 2 + z 2 + xy − yz − xz = x+ y+ z x+ y+z = x 2 + y 2 + z 2 + xy − yz − xz x 2 + y 2 10 = tính giá trị của phân Bài 2/ Cho y > x > 0 và xy 3 x −y thức N = x + y Giáo viên cho học Cách 1: sinh thảo luận đề 2 cùng giải bài tập.  x − y  x 2 + y 2 − 2 xy 2 =  x + y  = x 2 + y 2 + 2 xy N    Cho học sinh lên
  12. bảng chữa bài. Học x 2 + y 2 10 10 = → x 2 + y 2 = xy Mặt khác: sinh khác nhận xét bổ xy 3 3 sung bài làm 10 10 xy − 2 xy ( − 2) xy 1 3 =3 = Vậy N 2 = 10 Với dạng tính giá trị xy + 2 xy  + 2  xy 10 4   của phân thức cần 3 3  lưu ý thay đổi giá trị Nhận xét: Do y > x > 0 → x - y < 0, x + y > 0 → N <0 khi đã biến đổi biểu 1 1 Vậy N = − =− thức. 4 2 Cách khác: 2 x + y2 10 Yêu cầu học sinh lên → 3x 2 + 3 y 2 −10 xy = 0 = xy 3 làm cách khác. Hay (x – 3y)(3x – y) = 0 Vì 0 < x < y < 3y nên y = 3x thoa mãn. x− y x − 3x − 2x 1 Vậy N = x + y = x + 3x = 4 x = − 2 2x 2 + 2 Bài 3: Cho Q = 4 x + 2x3 + 6x 2 + 2x + 5 Giáo viên cho học Rút gọn rồi tìm giá trị của x để phân thức có giá trị lớn sinh nghiên cứu đề nhất. 2 1 Q = ( x + 1) 2 + 4 ≤ 2 Học sinh thảo luận để giải bài tập Dấu bằng xảy ra khi x = -1 ? khi so sánh 2 phân Bài 4: Rút gọn phân thức sau: thức ta cần lưu ý bc − a 2 + ac − b 2 + ac − c 2 P= điều gì. a (bc − a 2 ) + c (ab − c 2 ) x 26 + x 24 + x 22 + ... + x 2 + 1 Giáo viên chốt vấn M = 24 20 16 x + x + x + ... + x 4 + 1 đề: lưu ý dùng các ( ) x 24 ( x 2 + 1) + x 20 x 2 + 1 + ... + x 2 + 1 2 phương pháp để phân = x +1 = x 24 + x 20 + x 16 + ... + x 4 + 1 tích đa thức thành nhân tử D. Củng cố Các phương pháp phân tích, quy tắc rút gọn phân thức và tính giá trị biểu thức. E. Hướng dẫn về nhà Xem lại các bài tập đã chữa.
  13. Chuyên đề 6: Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của phân thức Mục tiêu I. • Giúp học sinh nắm được phương pháp tìm GTNN, GTLN của phân thức đại số. • Rèn kỹ năng tìm được GTLN, GTNN của một phân thức có dạng đặc biệt. • Giáo dục thái độ nghiêm túc học tập. Chuẩn bị II. GV: Nghiên cứu tài liệu tham khảo HS: Đọc trước SGK, SBT, tài liệu tham khảo. III. Tiến trình trình trên lớp A. Ổn định tổ chức B. Kiểm tra: Xen vào giờ học C. Nội dung Hoạt động của thâỳ Hoạt động của trò I.Dạng phân thức có tử là một hằng số, GV giới thiệu các dạng thức mẫu là một đa thức bậc 2 (ngược lại) đặc biệt . 2 Bài 1: Tìm GTLN của x 2 − x + 1 2 28 2 ≤= A = x2 − x + 1 = (x − 1 )2 + 3 3 3 HS lên bảng làm. GV học sinh 2 44 khác bổ sungcho bạn 8 1 Max A = → x = 3 2 3 Bài 2: Tìm GTNN của B = 4 x − x 2 − 10 −3 −3 −3 3 1 B = 4 x − x 2 − 10 = x 2 − 4 x − 10 = ( x − 2) 2 + 6 ≥ 6 = − 2 1 tại x = -2 Min B = - 2 II. Phân thức có tử thức là một đa thức bậc 2,
  14. còn mẫu thức là bình phương của một nhị thức x 2 + x +1 Bài 3: Tìm GTNN của M = ( x − 1) 2 ĐK: ( x − 1) 2 ≠ 0 → x ≠ 1 HS thảo luận làm ví dụ. x 2 + x + 1 x 2 − 2 x +1+ 3x − 3 3 3 = =1+ + M= x − 1 ( x − 1) 2 ( x − 1) ( x − 1) 2 2 1 Đặt x − 1 = y để đưa M về đa thức bậc 2 1 1 11 M = 3 y 2 + 3 y + 1 = 3 ( y 2 + y + ) = 3( y + ) 2 + ≥ 3 2 44 1 1 1 1 GV yêu cầu HS làm các cách Min M = tại y = - hay x −1 = − 2 → x = -1 4 2 khác nhau. x 2 − x +1 Bài 4: Tìm GTLN, GTNN của Q = x 2 + x +1 GV cho HS tham khảo tài liệu, 3( x 2 − x + 1) 2 x 2 − 4 x + 2 x 2 + x +1 = + Q= sách phát triển toán 8, yêu cầu 3( x 2 + x + 1) 3( x 2 + x + 1) 3( x 2 + x + 1) HS làm tiếp các bài tập. 1 → Min Q = tại x=1 3 − 2 x − 4 x − 2 + 3 x 2 + 3 x + 3 − 2( x + 1) 2 2 =2 + 3≤ 3 Q= x2 + x +1 x + x +1 Max Q = 3 tại x = -1 Chú ý: Các trường hợp bất kỳ cần nắm vững GV chốt lại vấn đề: Lưu ý kiến thức. dùng các phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử D. Củng cố Phương pháp tìm GTNN, GTLN của một dạng phân thức đặc biệt . E. Hướng dẫn về nhà Xem lại các bài tập đã chữa Làm các bài tập.
  15. Chuyên đề 7: Chứng minh bất đẳng thức I. Mục tiêu • Giúp HS làm quen với các BĐT cần thiết phải sử dụng trong việc chứng minh cá BĐT. • Rèn kỹ năng biến đổi các biểu thức phức tạp trong việc chứng minh BĐT. • Phát huy tính sáng tạo cho HS dự trên cơ sở những quy tắc đã học. Nhân 2 số cùng dấu, khác dấu. Chuẩn bị II. GV: Nghiên cứu tài liệu, sưu tầm các BĐT HS: Ôn tập các quy tắc nhân dấu III. Tiến trình trên lớp: Ổn định tổ chức A. Kiểm tra: Xen vào giờ học. B. Bài mới C. Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Một số BĐT cần thiết 1/ Tổng của 2 số nghịch đảo nhau: xy + ≥ 2 (x, y là 2 số cùng dấu) yx 2/ BĐT Côsi Cho a, b, c là các số không âm Khi đó a+b ≥ ab Nêu dạng tổng quát 2 a+b+c 3 của BĐT côsi ≥ abc 3 Tổng quát: Trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng.
  16. Ta có: a1 + a 2 + ... + a n ≥ n a1 a 2 ...a n n Với điều kiện a1a 2 ...a n là các số không âm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a 2 = ... = a n 3/ BĐT bu nhi cốp ski Cho 2 bộ 3 số a, b, c và x, y, z Khi đó: ( a 2 + b 2 ) ( x 2 + y 2 ) ≥ (ax + by) 2 (a 2 + b 2 + c 2 ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ (ax + by + cz ) 2 Tổng quát: Tích của tổng các bình phương n của bộ số này và tổng các bình phương n số của bộ số kia lớn hơn hoặc bằng bình phương của một tổng n tích 2 số tương GV giới thiệu BĐT ứng của 2 bộ số đó. mới. Chứng minh: ( ) (a12 + a 2 + ... + a n ) b12 + b2 + ... + bn ≥ (a1b1 + ... + a n bn ) 2 2 2 2 2 Đặt A = a12 + a 22 + ... + a n2 GV hướng dẫn HS B = b12 + b22 + ... + bn2 chứng minh. C= a1b1 + ... + a n bn Ta phải chứng minh AB ≥ C 2 ? xét các trường hợp. Nếu A = 0 thì a1 = a 2 = ... = a n = 0 → BĐT được chứng minh. GV cho HS thảo luận Nếu B = 0 thì để cùng làm Nếu A, B ≠ 0 thì với mọi x ta có: (a1 x − b1 ) 2 ≥ 0 → a12 x 2 − 2a1b1 x + ... + b12 ≥ 0 (a 2 x − b2 ) 2 ≥ 0 → a 2 x 2 − 2a 2 b2 x + ... + b2 ≥ 0 2 2 ................................................................... (a n x − bn ) 2 ≥ 0 → a n x 2 − 2a n bn x + ... + bn2 ≥ 0 2 HS trình bày bài. HS Cộng từng vế n biểu thức ta có: khác nhận xét bài của (a12 + a 2 + ... + a n ) x 2 − 2(a1b1 + ... + a n bn ) x + (b12 + b2 + ... + bn ) ≥ 0 2 2 2 2 bạn Tức là Ax 2 − 2Cx + B ≥ 0 (1) C Vì (1) đúng với mọi x nên thay x = vào (1) A Ta có C2 C2 C2 − 2C. + B≥0→ B − ≥ 0 → AB − C 2 ≥ 0 → AB ≥ C 2 A. 2 A A A Xảy ra đẳng thức AB = C 2 → a1 x = b1 , a 2 x = b2 ,..., a n x = bn GV giới thiệu BĐT 4/ BĐT Trê bư sép Trê bư sếp
  17. Cho 2 dãy số sắp xếp theo thứ tự a ≥ b ≥ c và x ≤ y ≤ z. Chứng minh BĐT (a + b +c)(x + y + z) ≥ 3(ax + by + cz) GV chốt lại cách làm. D Củng cố: Các BĐT cần ghi nhớ để dùng E Hướng dẫn: Xem lại các bài tập đã chữa để vận dụng làm bài tập trong NC_PT toán 8 Chuyên đề 8 : Các bài toán về tứ giác I/ Mục tiêu • Hệ thống hóa các kiến thức đã học trong chương trình tứ giác (về định nghĩa, tính chất, dấu hiệu). • Vận dụng các kiến thức trên để giải các bài tập dạy tính toán, chứng minh, tìm điều kiện của hình. • Thấy được mối quan hệ giữa các tứ giác đã học, góp phần rèn luyện tư duy biện chứng cho hs. • Phát huy trí tuệ, óc sáng tạo cho hs. II/ Chuẩn bị: GV: Dụng cụ vẽ các hình, tham khảo tài liệu HS: Ôn tập lý thuyết III/ Tiến trình trên lớp A. Ổn định tổ chức B. Kiểm tra: Xen vào giờ học C. Bài mới: Hoạt động của thầy hoạt động của trò Tứ giác - hình thang GV cho HS ghi đề bài ˆˆ toán. Bài 1/ Tứ giác lồi ABCD có B + D =180 0 , CB = CD cmr AC là tia phân giác của góc A HS vẽ hình ghi GT_ ˆˆ B + D =180 0 KL. CB = CD ˆˆ A1 = A2 Yêu cầu HS nghiên Trên tia đối của tia DA lấy E sao cho DE = AB cứu tìm cách giải và ˆ Có B + ADC = 180 0 lên bảng chữa. EDC + ADC = 180 0 B = EDC
  18. ∆ ABC = ∆ EDC (cgc) ˆˆ GV bổ sung cách làm → A = E (1) 1 của HS Mà AC = EC → ∆ ACE cân tại C → A2 = E (2) Từ (1) và (2) → A1 = A2 Hay AC là tia phân giác của góc A Bài 2/ Cho ∆ ABC BC = a, Các trung tuyến BD, CE. Lấy các điểm M và N trên cạnh BC sao cho: MB =MN = GV cho HS nghiên cứu NC. Gọi I là giao điểm của AM, BD. Gọi K là giao tiếp bài tập điểm của AN và CE. Tính độ dài IK BC = a EA = EB DA = DC HS tìm cách giải BM = MN =NC → IK = ? DN // AM (tính chất đường trung bình) Mà BM = MN → IB = ID GV trao đổi với HS về Tương tự K là trung điểm CE cách giải. Hình thang BEDC có IK là đường trung bình (trung điểm 2 đường chéo) a a → IK = (BC – ED) : 2 = (a − ) : 2 = GV cho HS tiếp tục 2 4 nghiên cứu làm bài tập Bài 3/ CMR tứ giác lồi ABCD là hình thang cân nếu A= B, BC = AD ˆˆ A=B BC = AD Có ∆ ADB = ∆ BCA (cgc) → BD = AC Yêu cầu HS tìm cách → ∆ ACD = ∆ BDC (ccc) → ADC = BCD giải. → A +ADC = B + BCD hay a + ADC = 180 0 → DC // AB Vậy ABCD là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân) GV chốt lại cách giải các bài toán tứ giác. D Củng cố: Lưu ý các tính chất của tam giác, hình thang, hình thang cân. E Hướng dẫn: Xem lại các bài tập đã chữa Bài tập: CMR nếu M là giao điểm của các đường chéo của tứ giác lồi ABCD thì MA + MB +MC + MD nhỏ hơn chu vi nhưng lớn hơn nửa chu vi tứ giác.
  19. Chuyên đề 9: Các bài toán về hình bình hành – hình vuông I/ Mục tiêu: • Trên cơ sở nắm chắc kiến thức cơ bản về tứ giác, hình thang HS được ôn luyện về các bài toán tổng hợp • Phát huy trí tuệ cho HS thông qua về giải các bài tập về tứ giác đặc biệt: hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông. • Góp phần nâng cao tư duy và óc sáng tạo cho HS. II/ Chuẩn bị: GV: Dụng cụ vẽ các hình, tham khảo và nghiên cứu tài liệu. HS: ÔN tập lý thuyết chương I. II/ Tiến trình trên lớp. A. Ôn định tổ chức B. Kiểm tra: Xen vào giờ học. C. Bài mới Hoạt động của thầy hoạt động của trò Hình bình hành – hình chữ nhật – hình thoi – hình vuông GV cho HS ghi đề bài toán Bài 1:/ Cho hình vuông ABCD (A = D = 90 0 ) có 1 CD . Gọi H là hình chiếu của D trên AC. M là AB = HS vẽ hình ghi 2 GT_ KL trung điểm HC. CM BMD = 90 0 Hình thang ABCD Yêu cầu HS A=D DH ⊥ AC nghiên cứu tìm cách giải và lên MH = MC bảng chữa → BMB = 90 0 Gọi N là trung điểm của HD GV bổ sung cách
  20. Ta có MN là đường trung bình của ∆ HDC làm của HS 1 → MN // DC, MN = DC GV cho HS nghiên 2 1 cứu tiếp bài tập. Mặt khác AB // MN vì AB // DC, AB = CD ( gt ) 2 → AB = MN HS thảo luận tìm Vậy ABMN là hình bình hành (dấu hiệu) → AN // BM (1) cách giải và lên ∆ ADM có DH ⊥ AC , MN ⊥ AD → AN ⊥ DM (2) bảng chữa bài. Từ (1), (2) → BMD = 90 0 (dpcm) Bài 2/ Cho ∆ ABC cân tại A. từ một điểm D trên đáy BC, vẽ GV trao đổi với các đường thẳng vuông góc với BC, cắt các đường thẳng HS về cách giải AB, AC ở E, F. Vẽ các hình chữ nhật BDEH và CDFK CMR và bổ sung thêm A là trung điểm của HK . phần còn thiếu. ˆ ˆ Gọi O, I là tâm các hình chữ nhật CDFK, BDEH → B1 = D1 , ˆ ˆ C1 = D2 ( tính chất hình chữ nhật) ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Mà B1 = C1 → B1 = D1 = C1 = D2 Do đó: BE // DK, DH // CA → AIDO là hình bình hành → OA = IO Mặt khác HI = ID → OA = HI Ta có AO // IO → AH = IO (1) Tương tự ta có AK // IO → AK = IO (2) Từ (1)và (2) → A, H, K thẳng hàng Và AH = AK → A là trung điểm của HK (đpcm) GV cho HS tiếp Bài 3/ Cho ∆ ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi I, K thứ tục nghiên cứu tự là hình chiếu của H trên AB, AC. Gọi M là trung điểm làm bài tập. của BC, CMR AM ⊥ IK ˆ ∆ ABC, A = 90 0 AH ⊥ BC HI ⊥ AB HK ⊥ AC Yêu cầu HS tìm MB = MC cách giải → AM ⊥ IK Gọi O là giao điểm của AM, IK. Có AIHK là hình chữ nhật 1 GV chốt lại cách ∆ ABC vuông ở A, MA = MB = MC = BC → MAK = MCK 2 giải các bài toán. Mà OAK = OKA (OA = OK = OI = OH) → MKA + OKA = MCK + OAK = 90 0 → ANK = 90 0 hay AM ⊥ IK
Đồng bộ tài khoản