Giáo án toán cao cấp C

Chia sẻ: tranbaoquyen

Tài liêu "Giáo án toán cao cấp C" thuộc trường Đại học Công Nghiệp Tp.HCM do giảng viên Nguyễn Đức Phương biên soạn. Tài liệu dành cho học sinh sinh viên của các trường giúp các bạn ôn tập củng cố nâng cao kiên thức về toán đại cương. Chúc các bạn gặp nhiều may mắn

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Giáo án toán cao cấp C

BỘ CÔNG NGHIỆP
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM
----------∆0----------




GIÁO ÁN
TOÁN CAO CẤP C
(HỆ CAO ĐẲNG)




Niên khóa : 2005-2006
Giảng viên : NGUYỄN ĐỨC PHƯƠNG
Khoa : KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ CÔNG NGHIỆP ĐT 04
TRƯỜNG ĐH CÔNG NGHIỆP TP . HCM
KHOA : KHOA H ỌC CƠ BẢN
LỊCH GIẢNG DẠY
MÔN HỌC: Toán cc C… SỐ TIẾT…60
LỚP: CĐ.HỌC KỲ:I,NĂM HỌC:2005-2006
SỐ TIẾT/TUẦN: 05 SỐ TUẦN : 12
SỐ TIẾT
TUẦN SỐ NỘI DUNG BÀI GIẢNG-BÀI TẬP-THÍ NGHIỆM -THẢO LUẬN ĐỒ DÙNG HỌC TẬP SÁCH THAM KHẢO
Lý thuyết Thực hành Bài tập Kiểm tra
1 1.Số phức: Các phép tính cơ bản và dạng lương giác Giáo trình toán cao cấp của trường
3 2
Từ ngày: 3/10 2. Đạo hàm và vi phân hàm 1 biến biên soạn
đến: 9/10/05 3. Đạo hàm và vi phân hàm 2 biến
2 1. Cực trị hàm 1 biến
Từ ngày:10/10 2. Cực trị tự do và cực trị có điều kiện của hàm 2 biến 3 2
đến :16/10/05 3. Ứng dụng cực trị để giải các bài toán trong kinh tế
3 1. Tích phân xác đ ịnh
Từ ngày:7/11 2. Hai công thức tính tích phân 3 2
đến :13/11/05 3. Tích phân suy rộng loại 1
4 1. Tích phân suy rông loại 2
Từ ngày:14/11 2. Phương trình vi phân cấp 1: Biến phân ly, đảng cấp 3 2
đến :20/11/05 3. Phưonh trính tuyến tính cấp 1, Bernully
5 1. Phưong trình vi phân cấp 2.
Từ ngày:21/11 2. Hệ phương trình vi phân với hệ số hằng 3 2
đến :27/11/05 3. Định thức: Định nghĩa và công thức Laplace
6 1. Công thức Sarus
Từ ngày:28/11 2. Các tính chất của định thức 3 2
đến:4/12/05 3. Ma trận: Định nghĩa và các phép toán căn b ản
7 1. các phép bi ến đổi sơ cấp
Từ ngày:5/12 2. Kiểm tra giữa kỳ 2 2 1
đến:11/12/05 3, Ma trận bậc thang
8 1. Ma trận nghịch đảo.
Từ ngày:12/12 2. Không gian véc tơ: Định nghĩa, độc lập và phụ thuộc t.tính 3 2
đến: 18/12/05 3. Cơ sở của không gian véc tơ n chiều
9 1. Hệ phương trình tuyến tính: Tính chất nghiệm
Từ ngày:19/12 2. Phương pháp ma trận nghịch đảo 2 3
đến:25/12/05 3. Phương pháp Cramer
10 1. Phương pháp Gauss
Từ ngày:26/12 2. Biến đổi tọa độ khi đổi c ơ sở 3 2
đến:1/1/06 3. Phép bi ến đổi tuyến tính
11 1. Phép quay, phép tịnh tiến
Từ ngày:2/1 2. Đa thức đặc trưng 3 2
đến:8/1/06 3. Tr ị riêng và véc tơ riêng
12 1. Cách tìm véc tơ riêng ứng với trị riêng
Từ ngày:9/1 2.Thuật toán chéo hóa ma trận. 3 2
đến:15/1/06 3. Ôn tập
13
Từ ngày:
đến:
14
Từ ngày:
đến:
15
Từ ngày:
đến:
16
Từ ngày:
đến:
17
Từ ngày:
đến:



Khoa Trưởng bộ môn Ngày 05 tháng 09 năm 2005
Giảng viên
BỘ CÔNG NGHIỆP
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
TỔ TOÁN
--------------o0o--------------




CHƯƠNG TRÌNH
MÔN TOÁN CAO CẤP C
BẬC CAO ĐẲNG KINH TẾ




NĂM HỌC 2005 – 2006
CHƯƠNG TRÌNH TOÁN CAO CẤP C

(Mã môn học: 004DC210)

DÙNG CHO SINH VIÊN CAO ĐẲNG KINH TẾ

THỜI GIAN : 60 TIẾT

NỘI DUNG TỔNG QUÁT VÀ PHÂN BỐ THỜI GIAN


STT CHƯƠNG MỤC THỜI GIAN


Chương I Bổ túc số phức 2 tiết

Chương II Phép tính vi phân 8 tiết

Chương III Phép tính tích phân 6 tiết

Chương IV Phương trình vi phân 8 tiết

Chương V Định thức 5 tiết

Chương VI Ma trận 7 tiết

Chương VII Không gian tuyến tính 3 tiết

Chương VIII Hệ phương trình tuyến tính 7 tiết

Chương IX Phép biến đổi tuyến tính 6 tiết

Chương X Chéo hóa ma trận 8 tiết
Cộng 60 tiết




NỘI DUNG CHI TIẾT
1
CHƯƠNG I
BỔ TÚC SỐ PHỨC (2 tiết)

♦ Định nghĩa.
♦ Phép tính.
♦ Dạng lượng giác.

CHƯƠNG II
PHÉP TÍNH VI PHÂN (6 tiết)

♦ Đạo hàm cấp một và cấp cao của hàm một biến.
♦ Đạo hàm riêng cấp một và cấp cao, đạo hàm hợp của hàm hai biến.
♦ Vi phân của hàm một biến.
♦ Vi phân toàn phần của hàm hai biến.
♦ Ứng dụng
Cực trị của hàm một biến.
Cực trị tự do, cực trị có điều kiện của hàm hai biến.
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm.
Tính gần đúng.
Ứng dụng vào bài toán kinh tế.


CHƯƠNG III
PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (6 tiết)

♦ Tích phân bất định
Định nghĩa.
Tính chất.
♦ Hai phương pháp tính tích phân.
♦ Công thức đạo hàm cận trên, công thức Newton – Leibnitz.
♦ Tính chất và hai phương pháp tính tích phân xác định.
♦ Tích phân suy rộng.

CHƯƠNG IV
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (8 tiết)

♦ Phương trình vi phân cấp một


2
Định nghĩa, điều kiện tồn tại nghiệm.
Phương trình có biến phân ly được.
Phương trình đẳng cấp.
Phương trình tuyến tính cấp một.
Phương trình Bernoulli.
♦ Phương trình vi phân cấp hai
Định nghĩa, điều kiện tồn tại nghiệm.
Phương trình giảm cấp được.
Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng.
♦ Hệ phương trình vi phân, vi phân tuyến tính.

CHƯƠNG V
ĐỊNH THỨC (5 tiết)

♦ Định nghĩa và tính chất
Hoán vị và nghịch thế.
Định thức cấp n.
♦ Định lý Laplace.
♦ Cách tính.

CHƯƠNG VI
MA TRẬN (7 tiết)

♦ Định nghĩa.
♦ Phép tính.
♦ Định thức của ma trận vuông.
♦ Hạng của ma trận.

CHƯƠNG VII
KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH (3 tiết)

♦ Vector n chiều
Định nghĩa.
Sự phụ thuộc tuyến tính.
Hạng của vector.
♦ Không gian vector n chiều
Định nghĩa.
Định lý.


3
CHƯƠNG VIII
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (6 tiết)

♦ Khái niệm
Hệ phương trình tuyến tính.
Tính chất nghiệm.
Định lý Kronecker – Capelli.
♦ Phương pháp giải
Phương pháp ma trận nghịch đảo.
Phương pháp Cramer.
Phương pháp Gauss.

CHƯƠNG IX
PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH (6 tiết)

♦ Biến đổi tọa độ khi cơ sở thay đổi.
♦ Biến đổi tuyến tính.
♦ Phép biến đổi tuyến tính.
♦ Phép quay.
♦ Phép tịnh tiến.
♦ Liên hệ giữa các ma trận của phép biến đổi tuyến tính.

CHƯƠNG X
DẠNG SONG TUYẾN TÍNH – DẠNG TOÀN PHƯƠNG (8 tiết)

♦ Giá trị riêng, vector riêng
Định nghĩa.
Phương trình đặc trưng.
Giá trị riêng của ma trận đồng dạng.
♦ Chéo hóa ma trận
Chéo hóa ma trận vuông cấp n khi có n vector riêng đltt.
Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng.

------------------




TÀI LIỆU THAM KHẢO

4
1. G. N. Phichtengon, Cơ sở giải tích toán học, tập I – II – III, NXB
Giáo dục, 1977.
2. Hoàng Hữu Đường – Võ Đức Tôn – Nguyễn Thế Hoàn, Phương
trình vi phân, tập I – II, NXB ĐH và THCN, 1979.
3. Hoàng Xuân Sính, Đại số cao cấp, tập I, NXB Giáo dục, 1977.
4. Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác, Toán cao cấp, tập I, NXB ĐH
và THCN, 1984.
5. Nguyễn Thế Hoàn – Trần Văn Nhung, Bài tập phương trình vi phân,
NXB ĐH và THCN, 1979.
6. Tạ Văn Đỉnh – Vũ Long – Dương Thụy Vỹ, Bài tập toán cao cấp,
NXB ĐH và THCN.
7. Trần Văn Hạo, Đại số cao cấp, tập II, NXB Giáo dục, 1977.




Tp. HCM …/…/2005 Tp. HCM …/…/ 2005
Phê duyệt BGH Khoa Cơ Bản




TS. Nguyễn Phú Vinh




5
TOÁN C: HỆ CAO ĐẲNG
• GIÁO ÁN SỐ: 1 SỐ TIẾT: 5
• TÊN BÀI GIẢNG: Số phức, đạo hàm và vi phân hàm số thực.
• MỤC ĐÍCH:
_ Tính toán được các phép tính cơ bản, lũy thừa và căn số của số phức.
_ Tính được đạo hàm riêng và vi phân cấp hai hàm hai biến.
• NỘI DUNG CHI TIẾT:
TT Nội dung giảng dạy T.g Phương
Pháp
5’ Nêu và
§1 SỐ PHỨC
Định nghĩa: Tập hợp các số phức là: C = { z = a + ib : a, b ∈ R }, giải quyết
I
vấn đề
2
với i là đơn vị ảo cho bởi: i = -1
_ a: gọi là phần thực, ký hiệu là Re(z)
_ b: gọi là phần ảo, ký hiệu là Im(z)
_ Số phức liên hợp với z = a + ib là z = a − ib
_ Mô đun của z = a + ib là z = a 2 + b 2
Các phép toán trên số phức: Cho z1 = a1 + ib1; z2 = a2 + ib2 10’ Nêu và
II
giải quyết
Phép cộng : z1 ± z2 = a1 ± a2 + i ( b1 ± b2 )
i)
vấn đề
Phép nhân với số thực: cz1 = ca1 + icb1; c ∈ R
ii)
Phép nhân: z1.z2 = ( a1a2 − b1b2 ) + i ( a1b2 + a2b1 )
iii)
z z1.z2
( z2 ≠ 0 )
=
iv) Phép chia: ;
z z2 2
Ví dụ: Cho z = 3 + 4i; z = 5 − i .
z1 11 23
z1 + z2 = 8 + 3i; z1 − z2 = −2 + 5i; z1.z2 = 19 + 17i;
= +i
z2 26 26
15’ Đối thoại
III Biễu diễn hình học và lượng giác của số phức:
Cho số phức z = a + ib , đặt tương ứng z giữa sinh
y
với véc tơ OM = ( a, b ) gọi là biễu diễn viên và
giảng viên
hình học của số phức z.
_ Góc ϕ được gọi là Argument của z b M
_ z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) gọi là biễu diễn rϕ
lượng giác của số phức z. 0 a x
π π⎞

Ví dụ: z = 1 − i 3 = 2 ⎜ cos− + i sin − ⎟
3 3⎠

Định lý: z1 = r1 ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) ; z2 = r2 ( cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) . 15’ Giảng giãi
IV
và đối
z1.z2 = r1r2 ⎡cos (ϕ1 + ϕ2 ) + i sin (ϕ1 + ϕ2 ) ⎤
⎣ ⎦ thoại
z1 r1
= ⎡cos (ϕ1 − ϕ2 ) + i sin (ϕ1 − ϕ2 ) ⎤
z2 r2 ⎣ ⎦
n
Hệ quả: z n = ⎡ r ( cos nϕ + i sin nϕ ) ⎤ = r n ( cos nϕ + i sin nϕ )
⎣ ⎦
Ví dụ:
i) (1 + i ) = 212 (1 + i ) .
25


( )
12
ii) ⎡ 1 + i 3 ( 2 − 2i ) ⎤ = −230.
⎣ ⎦
Căn bậc n của số phức z: 15’ Giảng giãi
V
và đối
Định nghĩa: ω được gọi là 1 căn bậc n của số phức z nếu ω n = z .
thoại
Định lý: Cho z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) . Khi đó
ϕ + 2 kπ ϕ + 2 kπ ⎞
⎧⎛ ⎫
n
z = ⎨ n r ⎜ cos + i sin ⎟ : k = 0, n − 1⎬
⎩⎝ n n ⎠ ⎭
⎧ 3⎫
⎪1 ⎪
3 1
Vídụ: 3 −1 = ⎨ + i ; −1; − i ⎬
⎪2 2 2 2⎪
⎩ ⎭
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
Xét phương trình: ax + bx + c = 0; ( a ≠ 0; a, b, c ∈ C ) . Khi đó
−b + Δ
Nghiệm của phương trình: x = ( Δ là căn phức)
2a
Ví dụ: x 2 + 2 (1 + i ) x − 2i + 3 = 0
⎡ −1 − 2i ⎡ x = −2 − 3i
Δ = 4i − 3 = ⎢ ⇒⎢
⎣1 + 2i ⎣x = i
Bài tập giáo trình 30’
§2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
10’ Đối thoại
Định nghĩa: (đạo hàm cấp 1)
I
Cho hàm số y = f ( x) có miền xác định D ⊆ R; xo ∈ D. f được
f ( x ) − f ( xo )
gọi là có đạo hàm tại điểm xo nếu lim tồn tại hữu
x − xo
x→ x0

hạn và ký hiệu giá trị giới hạn trên là f ' ( x ) .
_ Ký hiệu Δy = f ( x ) − f ( xo ) là số gia của y.
Δy
_ Ký hiệu Δx = x − xo là số gia của x. Khi đó: f x' ( xo ) = lim
Δx→0 Δx
Các công thức đạo hàm:
i) ( f ± g ) = f ' ± g ' .
'


ii) ( f .g ) = f ' g + g ' f
'
'
f ' g − fg '
⎛f⎞
iii) ⎜ ⎟ =
g2
⎝g⎠
10’ Giảng giải
II Đạo hàm cấp cao:

) (n ∈N
( và đối
'
Định nghĩa: f ( ) = f ( )
n −1
)
n
thoại
n
(n)
∑ Cnk f ( k ) g ( n−k )
Công thức Leibnitz: ( fg ) =
k =0

( )
(10 )
Ví dụ: f = e x ; g = x 2 + 4 x. ( fg ) = e x x 2 + 22 x + 126 .
Bài tâp giáo trình 25’
§3.HÀM HAI BIẾN
15’ Nêu và
III Hàm hai biến
Định nghĩa 1: Hàm số hai biến thực là một qui tắc tương ứng mỗi giải quyết
cặp ( x; y ) ∈ D ⊆ R 2 với duy nhất số thực z ∈ R . Ký hiệu vấn đề

( ∀ ( x;y ) ∈ D ) .
z = f ( x; y )
D được gọi là tập xác địh của hàm hai biến f.
Ví dụ:
i) z = f ( x; y ) = 1 − x 2 − y 2 . D là hình tròn tâm 0 bán kính 1.
ii) z = f ( x; y ) = 1 − x − y .D là hình vuông tâm 0, các cạnh
song song với các trục tọa độ và chiều dài là 2.
Định nghĩa 2: Cho hàm số z = f ( x; y ) có miền xác định D ⊆ R2
( xo ; yo ) ∈ D. f được gọi là có đạo hàm riêng theo biến x (t.ư y)
tại điểm ( xo ; yo ) nếu:
f ( xo + h; yo ) − f ( xo ; yo ) ⎛ f ( xo ; yo + h ) − f ( xo ; yo ) ⎞
lim ⎜ t.u lim ⎟
h h
h →0 h →0
⎝ ⎠
tồn tại hữu hạn và ký hiệu giá trị giới hạn trên là :
⎛ ⎞
∂f ∂f
f x' ( xo ; yo ) = ( xo ; yo ) ⎜ t.u f y' ( xo ; yo ) = ( xo ; yo ) ⎟
∂x ∂y
⎝ ⎠
Chú ý: Nếu các biến x và y không có quan hệ với nhau khi lấy đạo Đối thoại
5’
hàm riêng theo biến nào thì coi biến còn lại như là hằng số.
Ví dụ: 10’ Sinh viên
3
h3 lên giải
i) f ( x; y ) = 3 x3 + y 3 ; f x' ( 0;0 ) = lim = 1.
h →0 h
ii) f ( x; y ) = e xy ; f x' = xe xy ; f y' = ye xy .
Định nghĩa 3: 10’ Giảng giãi
2 và đối
∂f ∂ ⎛ ∂f ⎞
Đạo hàm riêng cấp 2 theo biến x: f x''2 = =
i) ⎜ ⎟. thoại
∂x ⎝ ∂x ⎠
2
∂x
∂2 f ∂ ⎛ ∂f ⎞
''
Đạo hàm riêng cấp 2 theo biến y: f y 2 = =
ii) ⎜ ⎟.
∂y ⎝ ∂y ⎠
2
∂y
iii) Đạo hàm riêng cấp 2 theo biến x, y (t.ư y, x):
∂ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ⎞
∂2 f ∂2 f ∂ ⎛ ∂f ⎞
f x''y = ''
= ⎜ ⎟ ⎜ t.u f yx = =⎜⎟ ⎟
∂x∂y ∂y ⎝ ∂x ⎠ ⎜ ⎟
∂y∂x ∂x ⎝ ∂y ⎠
⎝ ⎠
Chú ý: f x''y ≠ f yx . Nhưng trong trường hợp các đạo hàm riêng của
''


chúng liên tục thì ta có f x''y = f yx .
''



10’ Nêu và
IV Vi phân hàm một biến:
Định nghĩa: Cho hàm y = f ( x ) , với miền xác định D. f được gọi giải quyết
vấn đề
là khả vi tại xo ∈ D. Nếu: Δy = AΔx + 0(Δx) . Trong đó A = f ' ( xo )
0(Δx)
= 0; AΔx = dy gọi là vi phân của f tại điểm xo
lim
Δx→0 Δx
Định lý: f khả vi tại điểm xo ⇔ A = f x' ( xo )
Ta viết: dy = f ' ( x)dx cho mọi x thuộc miên xác định của y’
10’ Nêu và
V Vi phân hàm hai biến:
Định nghĩa 1: Cho hàm z = f ( x; y ) , với miền xác định D. f được giải quyết
vấn đề
gọi là khả vi tại ( xo ; yo ) ∈ D. Nếu: Δz = AΔx + BΔy + 0(Δx; Δy ) .
0(Δx; Δy )
= 0; AΔx + BΔy = df gọi là vi
Trong đó : lim
( Δx;Δy )→(0;0) Δ 2 x + Δ 2 y

phân cấp 1 của f tại điểm ( xo ; yo ); A = f x' ( xo ; yo ); B = f y' ( xo ; yo );
Ta có: df ( xo ; yo ) = f x' ( xo ; yo ) dx + f y ( xo ; yo )dy
'


Ví dụ: f ( x; y ) = 2 x 2 + 4 xy; df = (4 x + 4 y )dx + 4 xdy; df (0;1) = 4dx.
Vi phân cấp cao: d n f = d (d n−1 f ) (∀n ∈ N ) . Đặc biệt
d 2 f = f x''2 dx 2 + f xy dxdy + f y 2 dy 2
'' ''

Bài tập giáo trình 30’

• TỔNG KẾT BÀI:
_ Các phép tính trên số phức.
_ Đạo hàm và vi phân hàm hai biến.
• RÚT KINH NGHIỆM: ………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
Ngày ... tháng ... năm 200
KHOA BỘ MÔN GIẢNG VIÊN
TOÁN C: HỆ CAO ĐẲNG
• GIÁO ÁN SỐ: 2 SỐ TIẾT: 5
• TÊN BÀI GIẢNG:Cực trị hàm số.
• MỤC ĐÍCH:
_ Tính toán và xác định được các điểm cực trị của hàm hai biến.
_Lập được mô hình toán trong bài toán kinh tế va tìm được sự tối ưu hóa..
• NỘI DUNG CHI TIẾT:
TT Nội dung giảng dạy T.g Phương Pháp
15' Đối thoại
I Ứng dụng cực trị hàm một biến trong bài toán kinh tế:
Bài toán: Tìm sản lượng cần sản xuất để xí nghiệp có lợi nhuận
tối đa khi biết hàm cầu QD và hàm tổng chi phí C.(Trang 58;59
Giáo trình )
Bài tập luyện tập: Giáo trình. 30' Hướng dẫn
5' nêu và giải
II Cực trị hàm hai biến:
quyết vấn đề
2.1 Cực trị không điều kiện:
Định lý 1 (Điều kiện cần) :Hàm số f ( x; y ) đạt cực trị tại điểm
( xo ; yo ) thì ( xo ; yo ) là nghiệm của hệ phương trình:
⎧∂f ∂f
(1)
⎨ = 0; = 0
⎩ ∂x ∂y
Điểm ( xo ; yo ) được gọi là điểm dừng của hàm f

Định lý 2(Điều kiện đủ): Giả sử ( xo ; yo ) là nghiệm của (1). Đặt 10' nêu và giải
quyết vấn đề
∂2 f ∂2 f ∂2 f
A= ;B = ; C = 2 ; Δ = B 2 − AC. Khi dó:
∂x 2 ∂x∂y ∂y
⎧Δ < 0;
⇒ ( xo ; yo ) là điểm cực tiểu của hàm f .

⎩ A( xo ; yo ) > 0
⎧Δ < 0;
⇒ ( xo ; yo ) là điểm cực đại của hàm f .

⎩ A( xo ; yo ) < 0
⎧Δ < 0;
⇒ ( xo ; yo ) không là điểm cực trị của hàm f

⎩ A( xo ; yo ) < 0
Trong trường hợp Δ = 0; ta phải dùng định nghĩa cực trị để xét
điểm ( xo ; yo ) có phải là điểm cực trị của hàm f hay không.
Ví dụ: Xét tính cực trị của các hàm số sau: 30' Đối thoại
i ) f ( x; y ) = x 3 + y 3 + 3 xy.
ii ) f ( x; y ) = x 4 + y 4 + 4 x 2 y 2 .
Giải
i): Giải hệ phương trình
⎧ ∂f
⎪ ∂x = 0 ⎧2
⎪3 x + 3 y = 0 ⎧ x = 0 ⎧ x = −1

⇔⎨ ⇔⎨ ∨⎨ ;
⎨ ∂f
⎩ y = 0 ⎩ y = −1 ;
⎪3 x + 3 y = 0
2

⎪ =0
⎪ ∂y

Δ = 9 − 18 xy; A = 3 x;
Δ(0;0) > 0 ⇒ (0;0) không là điểm cực trị.
Δ(−1; −1); A(−1; −1) = −3 < 0 ⇒ (−1; −1) là điểm cực đại
ii) Giải hệ phương trình:
⎧ ∂f
⎪ ∂x = 0 ⎧3
⎪4 x + 8 xy = 0 ⎧x = 0
2

⇔⎨ 3 ⇔⎨ ; Δ (0;0) = 0;
⎨ ∂f
⎩y = 0
⎪4 y + 8 x y = 0
2

⎪ =0
⎪ ∂y

∀( x; y ), x 2 + y 2 < 1;
f ( x; y ) − f ( x0 ; y0 ) = ( x 2 + y 2 ) 2 + 2 x 2 y 2 ≥ 0
Vậy điểm (0;0) là điểm cực tiểu.
Nêu và giải
2.2 Cực trị có điểu kiện: 5'
Tìm cực trị của hàm f (x;y), trong đó (x;y) bị rảng buộc điều quyết vấn đề
kiện ϕ ( x; y ) = 0.
Định lý 3 (Điều kiện cần) :Hàm số f ( x; y ) đạt cực trị tại điểm
( xo ; yo ) thì ( xo ; yo ) là nghiệm của hệ phương trình:
∂ϕ
⎧ ∂f
+λ =0
⎪ ∂x ∂x

∂ϕ
⎪ ∂f
⎨ +λ =0 (2)
∂y ∂y

⎪ϕ ( x; y ) = 0


Điểm ( xo ; yo ) được gọi là điểm dừng của hàm f.
Định lý 4: Giả sử ( x0 ; y0 ; λ ) là một nghiệm của (2): Đặt 10' Nêu và giải
quyết vấn đề
L( x; y ) = f ( x; y ) + λϕ ( x, y );
d 2 L = Adx 2 + 2 Bdxdy + Cdy 2
Với ϕ x dx + ϕ y dy = 0. Nếu
, ,


_ d 2 L( x0 ; y0 ) > 0 ⇒ ( x0 ; y0 ) là điểm cực tiểu.
_ d 2 L( x0 ; y0 ) < 0 ⇒ ( x0 ; y0 ) là điểm cực đại

_ d 2 L( x0 ; y0 ) đổi dấu thì ( x0 ; y0 ) không là điểm cực trị.
Ví dụ: Xét tính cực trị của các hàm số sau: 30' Đối thoại
i ) f ( x; y ) = 4 x − 3 y + 6; x 2 + y 2 = 1.
ii ) f ( x; y ) = x 2 y; x + y = 1.
Giải:
i) Hệ phương trình (2) có nghiệm:
⎡ 4 3 5
⎢x = 5 ; y = − 5 ;λ = − 2

⎢x = − 4 ; y = 3 ;λ = 5

⎣ 5 5 2
⎛ 5⎞
4 3 5
• ⎜ x = ; y = − ; λ = − ⎟ ; L( x; y ) = 6 + 4 x − 3 y − ( x 2 + y 2 − 1) ;
5 5 2⎠ 2

⎛ 3⎞
5 4
d 2 L = − (( dx 2 + dy 2 ) < 0 ⇒ ⎜ x = ; y = − ⎟ là điểm cực đại
2 5 5⎠

của hàm f .
⎛ 5⎞
4 3 5
• ⎜ x = − ; y = ; λ = ⎟ ; L( x; y ) = 6 + 4 x − 3 y + ( x 2 + y 2 − 1) ;
⎝ 5 5 2⎠ 2
⎛ 3⎞
5 4
d 2 L = (( dx 2 + dy 2 ) > 0 ⇒ ⎜ x = − ; y = ⎟ là điểm cực tiểu
2 ⎝ 5 5⎠
của hàm f .
ii) Hệ phương trình (2) có nghiệm:
⎡ x = 0; y = 1; λ = 0

⎢x = 2 ; y = 3 ;λ = 5
⎣ 3 5 2
⎛ 5⎞
2 3 4
• ⎜ x = ; y = ; λ = ⎟ ; L( x; y ) = x 2 y − ( x + y − 1) ;
⎝ 3 5 2⎠ 9
ϕ x dx + ϕ y dy = 0 ⇔ dx = − dy;
, ,


⎛ 2 3⎞ 2 8
d 2 L ⎜ ; ⎟ = dx 2 + dy 2 = −2dx 2 < 0.
⎝ 3 5⎠ 3 3
⎛ 2 3⎞
⇒ ⎜ ; ⎟ là điểm cực đại của hàm f.
⎝ 3 5⎠
• ( x = 0; y = 1; λ = 0 ) ; L( x; y ) = x 2 y;


d 2 L ( 0;1) = 2dx 2 > 0.
⇒ (0;1) là điểm cực tiểu của hàm f.
40' Cho sinh viên
2.3 Ứng dụng vào bài toán kinh tế:
i) Bài toán cho xí nghiệp sản xuất nhiều sản phẩm trong điều đọc giáo trình
kiện cạnh tranh hoàn hảo (trang 166, giáo trình) giảng viên
ii) Bài toán cho xí nghiệp sản xuất nhiều sản phẩm trong điều hướng dẫn
kiện sản xuất độc quyền.(trang 167; 168; 169; giáo trình).
Bài tập luyện tập: Giáo trình.

• TỔNG KẾT BÀI:(5')
_Các bước tìm cực trị tự do và cực trị ràng buộc.
_Cách thành lập hàm trong bài toán kinh tế.
• RÚT KINH NGHIỆM:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........................................................................
Ngày ... tháng ... năm 200
KHOA BỘ MÔN GIẢNG VIÊN
TOÁN C: HỆ CAO ĐẲNG
• GIÁO ÁN SỐ: 3 SỐ TIẾT: 5
• TÊN BÀI GIẢNG:Tích phân xác định và tích phân suy rộng
• MỤC ĐÍCH:
_ Tính được tích phân xác định bằng hai phương pháp từng phần và đổi biến,
_ Xác định được bản chất tích phân suy rộng loại 1.
• NỘI DUNG CHI TIẾT:
TT Nội dung giảng dạy T.g Phương Pháp
5' Đối thoại
I Tích phân xác định:
1.1 Định nghĩa: F được gọi là một nguyên hàm của hàm f nếu:
F ' ( x) = f ( x); ∀x ∈ D . Ký hiệu ∫ f ( x)dx = F ( x).
1.2 Bảng nguyên hàm: Giáo trình 5' Đối thoại
15' Đối thoại
1.3 Hai phương pháp tính nguyên hàm:
i) Đổi biến số:
∫ f ( x)dx = F ( x) ⇒∫ f [u( x)]u ( x)dx = ∫ f (u )du =F (u ).
,


Ví dụ: Tính ∫ (4 x 2 + 1)10 xdx.
Chú ý: Nếu x = ϕ (t ) có đạo hàm liên tục và có hàm ngược là
t = ϕ −1 ( x). Khi đó
∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ (t )dt.
,


dx
Ví dụ: I = ∫
( )
x 1+ 3 x
Giải: Đặt t = 6 x ⇔ x = t 6 ; I = 6 6 x − 6arctg 6 x + C
ii) Tích phân từng phần: 45' Đối thoại và
∫ udv = uv − ∫ vdu. hướng dẫn
sinh viên giải
Ví dụ:
i ) ∫ ( x + 3)e − x dx.

ii ) ∫ 2 x sin xdx.
ln x
iii ) ∫ dx.
x2
iv) ∫ e 2 x sin xdx.
10' Đối thoại
1.4 Tích phân xác định:
Định nghĩa: (Sinh viên đọc trong giáo trình).
Công thức Newton-Leibnitz: Cho f khả tích trên [a; b], và F là
một nguyên hàm của f . Khi đó
b

∫ f ( x)dx = F (a) − F (b).
a
40' Đối thoại và
Ví dụ:
hướng dẫn
1
dx
i) I = ∫ sinh viên giải
(x + 3x + 2 )
2
2
0

π
4
sin2 x
∫ 1 = sin
ii ) I = dx; u = sin 2 x ⇒ du = 2sin x cos xdx.
4
x
0

π4
x0
y0 12
1
2
du 1
∫ 1+ u
I= = arctg
2
2
0

⎧u = x
π4
⎧du = dx

x

iii ) J = ⇒⎨
dx; ⎨ dx
⎪ cos 2 x = dv ⎩v = tgx
2
cos x
0

π4
π 2
π4
∫ tgx = 4 − ln
J = xtgx o −
2
o

10' Nêu và giải
II Tích phân suy rộng loai 1:
2.1 Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên [a; ∞](t.u [−∞; b]), khả quyết vấn đề
⎛ ⎞
b
b
tích trên [a; b]; ∀b > a. Nếu lim ∫ f ( x)dx ⎜ t.u lim ∫ f ( x)dx ⎟ tồn
b →∞ a →−∞
⎝ ⎠
a a

tại hữu hạn thì ta nói giới hạn đó là tích phân suy rộng loại 1 của
f trên [a; ∞] ( t.u [−∞; b]) .Ký hiệu:
⎛ ⎞
∞ b
b b

∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx ⎜ t.u ∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx ⎟ .
b →∞ a →−∞
⎝ −∞ ⎠
a a a

Khi này ta nói tích phân hội tụ, trong trường hợp ngược lại ta nói
tích phân phân kỳ.
15' Đối thoại
Ví dụ:

1
i ) ∫ e −2 x dx =
2
0

dx
ii ) ∫ (a > 0).

a

Tích phân hội tụ khi α > 1 . phân kỳ khi α < 1.
15' Nêu và giải
2.2 Định lý:
i) Cho f là hàm liên tuc trên [a; ∞](t.u [−∞; b]), khi đó nếu quyết vấn đề
⎛b ⎞ ⎛b ⎞
∞ ∞

∫ f ( x) dx ⎜ −∞ f ( x) dx ⎟ hôi tụ thì ∫ f ( x)dx ⎜ −∞ f ( x)dx ⎟ hội tụ
∫ ∫
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
a a

ii) Cho f, g là hai hàm không âm liên tuc trên [ a; ∞](t.u [ −∞; b]),
với 0 ≤ f ≤ g , khi đó:
⎛b ⎞ ⎛b ⎞
∞ ∞

∫ f ( x)dx ⎜ ∫ f ( x)dx ⎟ phân kỳ ⇒ ∫ g ( x)dx ⎜ ∫ g ( x)dx ⎟ phân kỳ
⎝ −∞ ⎠ ⎝ −∞ ⎠
a a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞
∞ ∞
b b

∫ g ( x) dx ⎜ ∫ g ( x)dx ⎟ hội tụ ⇒ ∫ f ( x)dx ⎜ ∫ f ( x)dx ⎟ hội tụ
⎝ −∞ ⎠ ⎝ −∞ ⎠
a a

iii)Cho f, g là hai hàm không âm liên tuc trên [ a; ∞](t.u [−∞; b]),
với 0 ≤ f ≤ g . Đặt
f ( x) ⎛ f ( x) ⎞
k = lim ⎜ xlim ⎟.
g ( x) ⎝ →−∞ g ( x) ⎠
x →∞


⎛b ⎞


∫ g ( x)dx ⎜ ∫ g ( x)dx ⎟ hội tụ
_ k = 0:
⎝ −∞ ⎠
a

⎛ ⎞
∞ b
⇒ ∫ f ( x)dx ⎜ ∫ f ( x)dx ⎟ hội tụ
⎝ −∞ ⎠
a

⎛b ⎞ ⎛b ⎞
∞ ∞
_ 0 < k < ∞ : ∫ g ( x)dx ⎜ ∫ g ( x)dx ⎟ và ∫ f ( x)dx ⎜ ∫ f ( x)dx ⎟
⎝ −∞ ⎠ ⎝ −∞ ⎠
a a

cùng bản chất
⎛b ⎞

_ k = ∞ : ∫ g ( x)dx ⎜ ∫ g ( x)dx ⎟ phân kỳ
⎝ −∞ ⎠
a

⎛ ⎞
∞ b
⇒ ∫ f ( x)dx ⎜ ∫ f ( x)dx ⎟ phân kỳ
⎝ −∞ ⎠
a
15' Hướng dẫn
Ví dụ: Xét tính hội tụ của các tích phân sau:
sinh viên giải
∞ ∞
2x +1 dx
I =∫ 4 dx; J = ∫
x − 3x + 5 x + sin x + 1
0 0

Bài tập luyện tập: Sách giáo trình 45' Hướng dẫn
• TỔNG KẾT BÀI:(5')
_Hai phương pháp tính tích phân.
_ Cách áp dụng định lý tích phân suy rộng.
• RÚT KINH NGHIỆM: ………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………………...
Ngày ... tháng ... năm 200
KHOA BỘ MÔN GIẢNG VIÊN
TOÁN C: HỆ CAO ĐẲNG
• GIÁO ÁN SỐ: 4 SỐ TIẾT: 5
• TÊN BÀI GIẢNG: Tích phân suy rộng loại 2 và phương trình vi phân
• MỤC ĐÍCH:
_ Xác định được bản chất tích phân suy rộng loại 2.
_ Giải được phương trình vi phân cấp 1.
• NỘI DUNG CHI TIẾT:
TT Nội dung giảng dạy T.g Phương Pháp
10' Nêu và giải
III Tích phân suy rộng loai 2:
quyết vấn đề
2.1 Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên [a; b)(t.u (a; b]), khả
tích trên [a; b ' ]; ∀b' < b ( t.u[a , ; b]; ∀a , > a ) . Nếu
⎛ ⎞
b b
l' im− ∫ f ( x)dx ⎜ t.u lim+ ∫ f ( x)dx ⎟ tồn tại hữu hạn thì ta nói giới
b →b a →a
⎝ ⎠
a a

hạn đó là tích phân suy rộng loại 2 của f trên [a; b) ( (a; b]) .Ký
hiệu:
⎛ ⎞
b b b b

∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx ⎜ t.u ∫ f ( x)dx = lim+ ∫ f ( x)dx ⎟ .
− ,
b →b a →a
⎝ ⎠
a a a a

Khi này ta nói tích phân hội tụ, trong trường hợp ngược lại ta nói
tích phân phân kỳ.
15' Đối thoại
Ví dụ:
1
dx
i)∫
x
0
b
dx
ii ) ∫ (a > 0).
(b − x)α
a

Tích phân hội tụ khi α < 1 . phân kỳ khi α ≥ 1.
15' Nêu và giải
2.2 Định lý:
quyết vấn đề
i) Cho f là hàm liên tuc trên [a; b)(t.u (a; b]), khi đó nếu
b b

∫ ∫ f ( x)dx
f ( x) dx hôi tụ thì hội tụ
a a

ii) Cho f, g là hai hàm không âm liên tuc trên [ a; b)(t.u (a; b]),
với 0 ≤ f ≤ g , khi đó:
b b

∫ f ( x)dx phân kỳ ⇒ ∫ g ( x)dx phân kỳ
a a
b b

∫ g ( x)dx hội tụ ⇒ ∫ f ( x)dx hội tụ
a a

iii)Cho f, g là hai hàm không âm liên tuc trên [ a; b)(t.u ( a; b]),
với 0 ≤ f ≤ g . Đặt
f ( x) ⎛ f ( x) ⎞
k = lim ⎜ xlim+ ⎟.
g ( x) ⎝ →a g ( x) ⎠

x →b

b b

∫ g ( x)dx hội tụ ⇒ ∫ f ( x)dx
_ k = 0: hội tụ
a a
b b

∫ g ( x)dx và ∫ f ( x)dx
_ 0< k < ∞: cùng bản chất
a a
b b
_ k = ∞ : ∫ g ( x)dx phân kỳ ⇒ ∫ f ( x)dx phân kỳ
a a

Ví dụ: Xét tính hội tụ của các tích phân sau: 15' Hướng dẫn
1 1
tgx cos xdx sinh viên giải
I =∫ dx; J = ∫
x ln( x + 1) x sin x
0 0

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
15' Đối thoại
I Phương trình vi phân cấp 1
1.1 Khái niêm: Phương trình vi phân là phương trình có ẩn số là
hàm số được cho dưới dạng các đạo hàm hoặc vi phân của hàm
số đó.
Ví dụ:
i) y , = 4 x
ii ) y ,, + 4 y , − 5 y = 0
iii )(1 + x 2 )dx + 2 ydy = x.

25' Đối thoại
1.2 Phương trình biến phân ly:
Dạng toán: g ( y )dy = f ( x)dx.
∫ g ( y)dy = ∫ f ( x)dx.
Cách giải: Lấy tích phân hai vế
Ví dụ
i) y , = 4 x
⎛ 1⎞
ii ) xy , + y = y 2
⎜ y (1) = ⎟ .
2⎠

25' Đối thoại
1.3 Phương trình đẳng cấp:
⎛x⎞
Dạng toán: y , = ϕ ⎜ ⎟
⎝ y⎠

y
Cách giải: Đặt u = ⇒ y = ux ⇒ y , = u , x = u.
x
du dx
y , = ϕ (u ) ⇔ u , x + u = ϕ (u ) ⇒ = phương trình biến
ϕ (u ) − u x
phân ly.
Ví dụ
xy
i) y, + = +1
yx
x+ y
ii ) y , =
x− y
25' Đối thoại
1.4 Phương trình tuyến tính cấp 1,
Dạng toán: y , + p( x) y = q ( x)
q( x)
Cách giải: Tính A( x) = e ∫
− p ( x ) dx
; B( x) = ∫ dx.
A( x)
Nghiệm: y = A( x)[ B( x) + c]
Ví dụ
1 1
i) y , + y = e x y
x x
ii ) y + 2 y = e3 x
,




Phương trình Bernully: 25'
α
Dạng toán: y + p( x) y = q ( x) y (α ≠ 0,1)
,

1.5
Cách giải Đặt z = y1−α ⇒ z , = (1 − α ) y −α y , thế vào phương trình
đầu ta có: z , + (1 − α ) p ( x) z = (1 − α )q ( x) . Đây là phương trình
tuyến tính cấp 1 theo biến z.
Ví dụ
1
x
i ) y , + y = e 2 y ( y (0) = )
4
1 x
ii ) y , − y =
x y
65' Hướng dẫn
Bài tập luyện tập
• TỔNG KẾT BÀI:(5')
_ Cách áp dụng định lý tích phân suy rộng.
_ Các phương pháp giải phương trình vi phân cấp 1.
• RÚT KINH NGHIỆM: ………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………………...
Ngày ... tháng ... năm 200
KHOA BỘ MÔN GIẢNG VIÊN
TOÁN C: HỆ CAO ĐẲNG
• GIÁO ÁN SỐ: 5 SỐ TIẾT: 5
• TÊN BÀI GIẢNG: Phương trình vi phân cấp 2, hệ ph. trình vi phân, định thức
• MỤC ĐÍCH:
_ Giải được phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng.
_ Giải được hệ phương trình vi phân hệ số hằng
_ Nắm được định nghĩa của định thức.
• NỘI DUNG CHI TIẾT:
TT Nội dung giảng dạy T.g Phương Pháp
15' Nêu và giải
I Phương trình vi phân cấp 2 hệ số hằng
quyết vấn đề
,, ,
Dạng tổng quát: y + ay + by = f ( x) .
1.1 Phưong trình thuần nhất.
Dạng toán: y ,, + ay , + by = 0
Cách giải: Xét phương trình đặc trưng k 2 + ak + b = 0 (*).
i) Trường hợp (*) có hai nghiệm thực phân biệt k1 , k2 khi đó
nghiệm tổng quát : y = c1e k1 x + c2e k2 x (c1, c2 ∈ ) .
ii) Trường hợp (*) có nghiệm kép k1 = k2 = k khi đó nghiệm
tổng quát : y = (c1 + c2 x)e kx (c1 , c2 ∈ ) .
iii) Trường hợp (*) có hai nghiệm phức k1 = α + i β , k2 = α − i β
khi đó nghiệm tổng quát :
αx αx
y = c1e sin β x + c2e cosβ x. (c1, c2 ∈ ) .
ví dụ Giải các phương trình sau 25' Hướng dẫn
sinh viên giải
,, ,
i ) y − 3 y + 2 y = 0.
ii ) y ,, + 4 y , + 4 y = 0, y (0). = 3, y , (0) = 1.
iii ) y ,, + 2 y , + 2 y = 0.
Giải. Nghiệm là
i ) y = c1e x + c2 e2 x .
ii) Nghiệm tổng quát: y = c1e −2 x + c2 xe−2 x .
Nghiệm riêng: y = 3e −2 x + 7 xe −2 x .
iii ) y = e − x (c1 cos x + c2 sin x)(c1, c2 ∈ ).
15' Nêu và giải
1.2 Phưong trình không thuần nhất.
quyết vấn đề.
,, ,
Dạng toán: y + ay + by = f ( x)( f ( x) ≠ 0).
Cách giải. Viết nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất.
y ,, + ay , + by = 0 là y = c1 y1 + c2 y2 , Với y1, y2 xác định tùy
theo trường hợp cụ thể trong phần trên. Khi đó, nghiệm tổng
quát là: y = c1 ( x) y1 + c2 ( x) y2 . Trong đó c1 ( x), c2 ( x) là các hàm
số thực được xác định bởi hệ
⎧c1 ( x) y1 + c2 ( x) y2 = 0
, ,

.
⎨, , , ,
c1 ( x) y1 + c2 ( x) y2 = f ( x)


Ví dụ. Giải các phương trình sau 35' Hướng dẫn
sinh viên giải
i ) y ,, − 4 y , + 3 y = xe3 x .
ii ) y ,, + 2 y , + y = x + 1.
iii ) y ,, − 2 y , + 2 y = sin x.
Đối thoại
II Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng 5'
giữa sinh
Dạng toán:
viên và
⎧ x, = a1 x + b1 y

( a1, a2 , b1, b2 ∈ ; x = x(t ); y = (t ) ) . giảng viên
⎨,
y = a2 x + b2 y


Có nhiều cách giải. Ở đây ta chỉ xét giải theo phương pháp khử.
Xét ví dụ sau
Ví dụ Giải hệ phương trình Nêu và giả
15'
quyết vấn
⎧ x = 3x + 2 y
,
(1)

⎨,
⎪ y = 2x + 3y (2)

Từ phương trình (2), ta có
y '' = 3 x '+ 2 y '
⇒ y '' = 3(2 x + 3 y ) + 2 y '
⇒ y '' = 6 x + 9 y + 2 y '
⇒ y ''− 4 y '− 5 y = 0
⇒ y = c1e −t + c2e5t
1
( y '− 2 y ) = −c1e−t + c2e5t .
Thay vào phương trình (2) ta có x =
3
⎧ y = c1e −t + c2 e5t

(c , c ∈ )
Tóm lại nghiện cua hệ là ⎨
5t 1 2
−t
⎪ x = −c1e + c2 e .

10' Nêu và giải
III Định thức.
3.1 Định nghĩa. Cho A là bảng số thực vuông. quyết vấn đề
⎛ a11 … a1n ⎞
⎜ ⎟
A= ⎜ ⎟
⎜a ann ⎟
⎝ n1 ⎠
Định thức của A ký hiệu là det(A) hoặc A là một số thực được
định nghĩa theo qui tắc như sau.
∗ Định thức cấp 1.
a = a.
∗ Định thức cấp 2.
ab
= ad − bc.
cd

∗ Định thức cấp n (n > 2).
Đặt A(i j ) là bảng số thu được từ bảng số A bằng cách bỏ
đi dòng i cột j. Khi dó, nếu cố định i (hoặc j) lại, ta định nghĩa
n n
A = ∑ (−1) n aij A(i j ) = ∑ (−1) n aij A(i j )
i =1 j =1
10' Nêu và giải
Ví dụ.
quyết vấn đề
123
12
= −2; 4 5 6 = 0;
34
789
90' Hướng dẫn
Bài tập luyện tâp.
_ Bài tập 8 (a, b, c, d, e, f, g) giáo trình. sinh viên giải
_ Giải các hệ phương trình
⎧ x, + 3 x + y = 0 ⎧ x, − 2 y = 1
⎪ ⎪
⎪ ⎪
a ) ⎨ y , − x + y = 0 b) ⎨ y , + 2 x = t
⎪ x(0) = y (0) = 1 ⎪ x(0) = y (0) = 0
⎪ ⎪
⎩ ⎩
⎧ x, − y = 0 ⎧ x , + 3 x − 4 y = 9e 2 t
⎪ ⎪
⎪ ⎪
c) ⎨ y , − x = d ) ⎨ y , + 2 x − 3 y = 3e2t
⎪ x(0) = y (0) = 1 ⎪ x(0) = 2; y (0) = 0
⎪ ⎪
⎩ ⎩
⎧ x, − 2 x − 4 y = cos t


e) ⎨ y , + x + 2 y = sin t
⎪ x(0) = y (0) = 0



• TỔNG KẾT BÀI:(5')
_ Phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2.
_ Phương pháp giải hệ phương trình vi phân hệ số hằng.

• RÚT KINH NGHIỆM: ………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………………...
Ngày ... tháng ... năm 200
KHOA BỘ MÔN GIẢNG VIÊN
TOÁN C: HỆ CAO ĐẲNG
• GIÁO ÁN SỐ: 6 SỐ TIẾT: 5
• TÊN BÀI GIẢNG: Định thức(tt). Ma trận
• MỤC ĐÍCH:
_ Áp dụng được công thức Sarus và các tính chất định thức để tính định thức.
_ Tính toán được các phép toán trên ma trận.
• NỘI DUNG CHI TIẾT:
TT Nội dung giảng dạy T.g Phương Pháp
I Công thức Sarus. Viết thêm hai cột đầu vào định thức 15' Đối thoại giữa
sinh viên và
a11 a12 a13 a11 a12
giảng viên
A = a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
Giá trị định thức cấp 3 bằng tổng của tích các đường chéo chính
trừ tổng của tích các đường chéo phụ. Cụ thể
A = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a21a32 a13
− (a13a22 a31 + a23a32 a11 + a21a12 a33 )
Ví dụ Tính định thức Nêu và giải
5'
quyết vấn đề
1 −2 4
5 = 1 − 40 + 24 − 16 − 10 + 6 = −35.
3 1
4 2 1
Nêu và giải
II Các tính chất của định thức 15'
Tính chất 1. Nếu có một dòng (t.ư cột) mà tất cả các phần tử quyết vấn đề
trên đó đều bằng 0 thì giá trị định thức bằng 0.
Tính chất 2. Nếu có hai dòng (t.ư cột) tương ứng tỉ lệ thì giá trị
định thức bằng 0.
Tính chất 3. Nếu hoán vị hai dòng (t.ư cột) thì giá trị định thức
đổi dấu
Tính chất 4. Nhân một dòng (t.ư cột) cho một số và cộng vào
dòng (t.ư cột) thì giá trị định thức không đổi
Tính chất 5. Nếu định thức có dạng tam giác trên hoặc tam giác
dưới thì giá trị định thức bằng tích các phần tử trên
đường chéo chính.
Nêu và giải
Ví dụ. 30'
quyết vấn đề
10 00
= = 0.
i)
20 22
1 −2 3 1 − 2 3
ii ) 3 −6 9 = 3 8 9 = 0.
217216
−2 3
12
=−
iii ) .
−2 3 12
1 2 2d1 + d3 1 2
= 7.
iv)
−2 3 07
122
v) 0 −2 3 = 1× −2 × 4 = −8.
004
Nêu và giải
III Ma trận. 15'
3.1 Định nghĩa. Ma trận là bảng số có hình chữ nhật có dạng như quyết vấn đề
sau:
⎛ a11 … a1n ⎞
⎜ ⎟
A= ⎜ ⎟
⎜a amn ⎟
⎝ m1 ⎠
Ta còn ký hiệu A = (aij ) . Với ký hiệu này ta ngầm hiểu phần tử
aij là phần tử nằm ở dòng i cột j.
_ Tập hợp các ma trận có m dòng n cột với các hệ số thực, ký
hiệu là M m×n ( ) . Tập hợp các ma trận vuông với hệ số thực, có
số dòng bằng số cột và bằng n, ký hiệu là M n ( )
_ Ma trận m dòng n cột mà có các phần tử là 0 gọi là ma trận
không. Ký hiệu là 0m×n
_ Tập hợp các phần tử sắp thứ tự {a11 , a22 ,… , ann } của ma trận
A ∈ M n ( ) được gọi là đường chéo chính của ma trận A.
_ Ma trận vuông A cấp n ( nghĩa là số dòng bằng số cột bằng n)
mà có các hệ số nằm ngoài đường chéo chính bằng 0 được gọi là
ma trận chéo. Nếu tập hợp được sắp thứ tự các phần tử nằm trên
đường chéo của ma trận A là {a1 , a2 ,… , an }. Ta ký hiệu
A = diag{a11, a22 … , ann }
_ Nếu A là ma trận chéo cấp n có các phần tử trên đường chéo
chính bằng được gọi là ma trận đơn vị cấp n, Ký hiệu là I n .
_ Cho A ∈ M m×n ( ) ma trận chuyển vị của A ký hiệu là
AT = (cij ) ∈ M n×m ( ) . với cij = a ji với mọi i, j
Nêu và giải
3.2 phép toán trên ma trận. 5'
i) Phép cộng hai ma trận. Cho A = (aij ) ∈ M m×n ( ) và quyết vấn đề

() ()
B = bij ∈ M m×n ( ) ta định nghĩa A ± B = cij ∈ M m×n ( ) với
cij = aij ± bij
Ví dụ.
−1⎞
⎛1 2 ⎛ 2 1 0⎞
A=⎜ ⎟; B = ⎜ ⎟;
⎝0 3 1⎠ ⎝ 3 2 4⎠
3 −1 ⎞ ⎛ − 1 − 1 −1 ⎞
⎛3 5'
A+ B = ⎜ ⎟; A − B = ⎜ ⎟
⎝ −3 1 −3 ⎠
⎝3 5 5⎠
vô hướng. Cho A = (aij ) ∈ M m×n ( ) và α ∈
ii) Phép nhân
ta định nghĩa phép nhân vô hướng : α . A = (cij ) ∈ M m×n ( )
Ví dụ.
⎛ 2 −4 ⎞ ⎛ − 4 8 ⎞
(−2). ⎜ ⎟=⎜ ⎟
⎝ −2 3 ⎠ ⎝ 4 − 6 ⎠

() Nêu và giải
10'
iii) Phép nhân hai ma trận. Cho A = aij ∈ M m×n ( ) và
quyết vấn đề
()
B = bij ∈ M n× p ( ) , khi đó phép nhân hai ma trận A và B ký
hiệu là AB được định nghĩa: A.B = (cij ) ∈ M m× p ( ) cho bởi
n
cij = ∑ aik bkj.
k =1


Nêu và giải
Ví dụ. 15'
quyết vấn đề
⎛ 2 4 0⎞
⎛ −5 21 37 ⎞
⎛1 2 3 4 ⎞ ⎜ ⎟
3 3 5⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A = ⎜ 0 2 3 −1⎟ ; B = ⎜ ; AB = ⎜ 13 7 7 ⎟
⎜ 1 1 1⎟
⎜4 3 5 1 ⎟ ⎜ 18 32 26 ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ −4 2 6 ⎠
Chú ý. Trong phép nhân ma trận, A.B không chắc bằng BA.
105' Giảng viên
Bài tập luyện tập.
a) Cho hướng dẫn
sinh viên giải
⎛ 1 3 4⎞ ⎛3 1 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A = ⎜ −2 4 5 ⎟ ; B = ⎜ 5 2 1 ⎟ .
⎜ 3 2 1⎟ ⎜3 3 4⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Tính: AB; BA; 2 A + 3B; A ; B ; AB ; BA ;
b) Bài tập trang 101, 102, 115 giáo trình
• TỔNG KẾT BÀI:(5')
_ Các tính chất của định thức
_ Các phép toán trên ma trận
• RÚT KINH NGHIỆM: ………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………………...
Ngày ... tháng ... năm 200
KHOA BỘ MÔN GIẢNG VIÊN
TOÁN C: HỆ CAO ĐẲNG
• GIÁO ÁN SỐ: 7 SỐ TIẾT: 5
• TÊN BÀI GIẢNG: Ma trận bậc thang, hạng của ma trận, kiểm tra giữa kỳ
• MỤC ĐÍCH:
_ Nắm và thực hiện được các phép biến đổi sơ cấp
_Tìm được hạng của ma trận.
• NỘI DUNG CHI TIẾT:
TT Nội dung giảng dạy T.g Phương Pháp
15' Nêu và giải
I Phép biến đổi sơ cấp
Cho ma trận A ∈ M m×n ( ) , các phép biến đổi sau đây gọi là quyết vấn đề
phép biến đổi sơ cấp trên dòng của A.
i) Hoán vị hai dòng của ma trận A.
ii) Nhân một dòng của ma trận A cho một số thực khác không.
iii) Nhân một dòng cho một số sau đó cộng vào dòng khác.
Ma trân A' nhận được qua các bước biến đổi sơ cấp được gọi là
ma trận tương đương với ma trận A. Ký hiệu A ~ A ' .
10' Nêu và giả
Ví dụ.
⎛ −2 0 ⎞ ⎛ −2 0 ⎞ quyết vấn đề
⎛ 1 2⎞ ⎛0 4⎞
⎜ ⎟ d1 ↔ d2 ⎜ ⎟ d 2 :=−2 d2 ⎜ ⎟ d1:=− d 2 + d1 ⎜ ⎟
⎝ −2 0 ⎠ ⎝ −2 − 4 ⎠ ⎝ −2 −4 ⎠
⎝ 1 2⎠
10' Nêu và giải
II Hạng của ma trận
Cho ma trận A ∈ M m×n ( ) . Liệt kê tất cả các định thức con quyết vấn đề
khác 0 của A. Trong tất cả các định thức con này cấp lớn nhất
của chúng đựoc gọi là hạng ma trận. Ký hiệu là r ( A)
10' Nêu và giải
Ví dụ
quyết vấn đề
⎛ 2 3 4⎞
1
⎜ ⎟
A=⎜ 3 4 5 1 ⎟
⎜ − 2 − 4 −6 −8 ⎟
⎝ ⎠
Tất cảc các định thức con cấp 3 của A đều bằng 0, trong khi đó
có một định thức con cấp 2 khác 0. Do đó r ( A) = 2.
20' Nêu và giải
III Ma trận bậc thang.
quyết vấn đề
Định nghĩa
Cho ma trận A ∈ M m×n ( ) ta định nghĩa
i) Dòng thứ i của A được gọi là dòng 0 nếu tất cả các phần tử
trên dòng đó đều bằng 0.
Ví dụ
⎛ 1 −2 1 ⎞
⎜ ⎟
A = ⎜0 0 0⎟
⎜ 3 2 4⎟
⎝ ⎠
dòng thứ 2 của ma trận A là dòng 0.
ii) A được gọi là ma trận bậc thang nếu sau khi loại bỏ các dòng
0 thì với mỗi dòng bất kỳ số phần tử 0 bên trái của nó phải lớn
hơn số phần tử 0 bên trái của dòng đứng trước nó
Ví dụ
⎛1 2 3⎞ ⎛ 0 2 3⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A = ⎜ 0 −1 5 ⎟ ; B = ⎜ 0 0 5 ⎟
⎜0 0 0⎟ ⎜ 0 0 3⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
A là ma trận bậc thang trong khi đó B không là ma trận bậc thang
20' Nêu và giải
Định lý.
i) Mọi ma trận qua phép biến đổi sơ cấp đều trở thành ma trận quyết vấn đề
bậc thang.
ii) Cho A ∈ M m×n ( ) , gọi A' là ma trận bậc thang nhận được từ
A qua các phép biến đổi sơ cấp. Khi đó số dòng khác 0 của A'
bằng đúng r ( A).
iii) Hạng của ma trận không thay đổi qua các phép biến đổi sơ
cấp.
Ví dụ
⎛1 2 3⎞ ⎛ 1 2 3⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A = ⎜ −2 −4 −6 ⎟ pbdsc ⎜ 0 0 1 ⎟ ⇒ r ( A) = 2.
⎜1 2 2⎟ ⎜0 0 0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Kiểm tra giữa kỳ. Với các nội dung 45' Kiểm tra viết
II
1) Số phức
2) Bài toán kinh tế.
3) Tích phân suy rộng.
4) Phương trình vi phân.
Bài tập luyện tập. Giáo trình với các mục tiêu sau 90' Hướng dẫn
II
1) Dùng phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận về ma trận bậc thang. sinh viên, đối
2) Tìm hạng ma trận bằng hai phương pháp. thoại
3) Sửa đề kiểm tra
• TỔNG KẾT BÀI:(5')
_ Phép biến đổi sơ cấp..
_ Hai phương pháp tìm hạng ma trận
• RÚT KINH NGHIỆM: ………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………………...
Ngày ... tháng ... năm 200
KHOA BỘ MÔN GIẢNG VIÊN
TOÁN C: HỆ CAO ĐẲNG
• GIÁO ÁN SỐ: 8 SỐ TIẾT: 5
• TÊN BÀI GIẢNG: Ma trận nghịch đảo, không gian véc tơ
• MỤC ĐÍCH:
_ Tìm được ma trận nghịch đảo bằng hai phương pháp.
_ Xác định được hệ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính và cơ sở trong n .
• NỘI DUNG CHI TIẾT:
TT Nội dung giảng dạy T.g Phương Pháp
15' Nêu và giải
I Ma trận nghịch đảo
Định nghĩa. Cho A ∈ M n ( ) , ma trận A được gọi là ma trận quyết vấn đề
khả nghịch nếu tồn tại ma trận B ∈ M n ( ) sao cho
AB = BA = I n . Khi đó ta nói B là ma trận khả nghịch của ma
trận A và hý hiệu: B = A−1 .
Ví dụ.
−1
⎛ 2 5 ⎞ ⎛ 3 −5 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 2 5 ⎞ ⎛ 3 −5 ⎞
⎟=⎜ ⎟⇒⎜ ⎟ =⎜
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ 1 3 ⎠ ⎝ −1 2 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 1 3 ⎠ ⎝ −1 2 ⎠
Định lý về sự khả nghịch. Cho A ∈ M n ( )
A khả nghịch ⇔ det( A) = n ⇔ r ( A) = n.

15' Nêu và giải
II Ma trận phụ trợ
Định nghĩa . Cho A ∈ M n ( ) ma trận phụ trợ của A ký hiệu là quyết vấn đề
adj ( A) = (cij )T ∈ M n ( ) . trong đó cij = (−1)i + j A(i j )
Ví dụ
⎛ 1 0 −1 ⎞ ⎛ 1 −1 1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A = ⎜ 2 1 0 ⎟ ⇒ adj ( A) = ⎜ −2 0 −2 ⎟
⎜ −1 1 1 ⎟ ⎜ 3 −1 1 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Định lý. Cho A ∈ M n ( ) , khi đó
A.adj ( A) = adj ( A). A = A I n
15' Nêu và giải
III Hai phương pháp tìm ma trận nghich đảo
Phương pháp 1. Cho A là ma trận khả nghịch . Tìm ma trận phụ quyết vấn đề
adj ( A)
trợ adj ( A) , khi đó: A−1 =
A
Ví dụ.
⎛ 1 0 −1⎞ ⎛ 1 −1 1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A = ⎜ 2 1 0 ⎟ ; adj ( A) = ⎜ −2 0 −2 ⎟ ; A = −2
i)
⎜ −1 1 1 ⎟ ⎜ 3 −1 1 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 1 −1 1 ⎞
1⎜ ⎟
−1
A = − ⎜ −2 0 −2 ⎟ .
2⎜ ⎟
⎝ 3 −1 1 ⎠
1 ⎛ d −c ⎞
⎛a b ⎞ −1
ii) A = ⎜ ⎟⇒ A = ⎟.

ad − bc ⎝ −b a ⎠
⎝c d⎠
ta có thể coi ví dụ này như là một công thức.
15' Nêu và giải
Phương pháp 2.
Lập ( A I n ) pbdsc ( I n A ') khi đó A' là ma trận khả nghịch của ma quyết vấn đề
trận A.
Ví dụ.
⎛ 1 2 3 1 0 0⎞ ⎛1 0 0 1 4 −3 4 1 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A = ⎜ −1 4 5 0 1 0 ⎟ bdsc ⎜ 0 1 0 − 3 2 −3 2 2⎟
⎜ 0 5 6 0 0 1⎟ ⎜0 0 1 5 4 5 4 −3 2⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 1 4 −3 4 1 2 ⎞
−1 ⎜ ⎟
A = ⎜ − 3 2 −3 2 2⎟
⎜54 5 4 −3 2⎟
⎝ ⎠

15' Nêu và giải
II Không gian vectơ
2.1 Định nghĩa. Tập hợp V khác ∅ được gọi là không gian vectơ quyết vấn đề
thực nếu trên V xác định phép toán cộng trong và phép nhân
ngoài với thỏa 8 tiên đề sau:
∀x, y, z ∈ V ; ∀α , β ∈
i )( x + y ) + z = x + ( y + z )
ii ) x + y = y + x
iii )∃0 ∈ V , x + 0 = 0 + x = x
iv)∀x ∈ V , ∃! x ' ∈ Vx + x ' = x '+ x = 0
v)α ( β x) = (αβ ) x
vi )(α + β ) x = α x + β x
vii )α ( x + y ) = α x + α y
viii )1.x = x.
ký hiệu (V , )
10' Đối thoại với
Ví dụ
i) Tập hợp các số phức là không gian vectơ thực với phép sinh viên
cộng trên và phép nhân ngoài với
ii) Tập hợp M m×n ( ) với phép cộng và phép nhân vô hướng với
số thực.
{ }
iii) Trên tập hợp n = ( x1 , x2 ,… , xn ) : xi ∈ , i = 1, n ta định
nghĩa phép cộng trong và phép nhân ngoài như sau.
n
, ∀α ∈
∀(a1, a2 ,… , an ), (b1, b2 ,… , bn ) ∈
(a1 , a2 ,… , an ) + (b1 , b2 ,… , bn ) = (a1 + b1, a2 + b2 ,… , an + bn )
α (a1, a2 ,… , an ) = (α a1, α a2 ,… , α an )
khi đó n là không gian vectơ thực và được gọi tắt là không
gian n
2.2 Không gian con. Cho không gian vectơ (V , ) tập con W ⊆ V 10' Nêu và giải
quyết vấn đề
được gọi là không gian con của V nếu W và hai phép toán cảm
sinh trên V là một không gian vectơ. Một cách tương đương W là
không con của không gian vectơ (V , ) nếu W ⊆ V , W ≠ ∅ và
∀u, v ∈ V , ∀α ∈ ta có u + v ∈ W , α u ∈ W .
Ví dụ Tập ( , ) là không gian con của ( , ) với phép công
và phép nhân số thực.
Chú ý: Trong chương trình ta chỉ xét không gian n
III Cô sôû trong khoâng gian n
3.1 Ñoäc laäp tuyeán tính vaø phuï thuoäc tuyeán tính.
10’ giaûng giaûi
_ Cho khoâng gian n , taäp con {u1 , u2 ,… , um } ⊆ n ñöôïc goïi
m
∑ α i ui = 0 ta suy ra
laø ñoäc laäp tuyeán tính neáu töø ñieàu kieän
i =1
α1 = α 2 = … = α m = 0 (αi ∈ )
_ Taäp con {u1 , u2 ,… , um } ⊆ n khoâng ñoäc laäp tuyeán tính
ñöôïc goïi laø phuï thuoäc tuyeán tính
Ñònh lyù. Cho β = {u1, u2 ,… , um } ⊆ n . Laäp 5’
⎛ u1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ u2 ⎟
⎟ ∈ M n (R) .
A =⎜
⎜ ⎟
⎜u ⎟
⎝ m⎠
_ β laø ñoäc laäp tuyeán tính ⇔ r ( A) = m
_ β laø phuï thuoäc tuyeán tính ⇔ r ( A) ≠ m
3.2 Cô sôû giaûng giaûi
5’
, taäp con β = {u1 , u2 ,… , um } ⊆
n n
_ Cho khoâng gian ñöôïc
goïi laø moät cô sôû cuûa khoâng gian n neáu thoûa hai ñieàu kieän
sau:
ñoái thoaïi
i) m = n.
5’
ii) β ñoäc laäp tuyeán tính.
Nhaän xeùt.
_ Vôùi β = {u1 , u2 ,… , un } ⊆ n , laäp ma traän doøng
⎛ u1 ⎞
⎜⎟
⎜u ⎟
A = ⎜ 2 ⎟ ∈ M n (R) .
⎜⎟
⎜u ⎟
⎝ n⎠
khi ñoù: β ñoäc laäp tuyeán tính ⇔ det A ≠ 0
⇔ r(A) = n
_ Vôùi ∀ i = 1, n , goïi ei = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . ,0) (1 ôû vò trí
thöù i) khi ñoù deã thaáy taäp β0 = {e1, e2, . . . , en} laø moät cô sôû
cuûa n , β0 ñöôïc goïi laø cô sôû chính taéc cuûa n .
Ví duï Cho 10’ Nêu và giải
β = {u1 = (1, 2,3); u2 = (0,1,0); u3 = (0,1, 4)} quyết vấn đề

⎛ u1 ⎞ ⎛ 1 2 3 ⎞ ⎛ 1 2 3 ⎞
laäp
A = ⎜ u2 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟ ~ ⎜ 0 1 0 ⎟
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ u ⎟ ⎜ 0 1 4⎟ ⎜ 0 0 4⎟
⎝ 3⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
r ( A) = 3 ⇒ β là cơ sở
Baøi taäp luyeän taäp. Baøi taäp saùch giaùo trình. 90' Hướng dẫn
• TỔNG KẾT BÀI:(5')
_ Hai phương pháp tìm ma trận nghịch đảo
_ Cách xác định cơ sở.
• RÚT KINH NGHIỆM: ………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………………...
Ngày ... tháng ... năm 200
KHOA BỘ MÔN GIẢNG VIÊN
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản