Giáo án toán - Logarit

Chia sẻ: linhtinhgia4

Củng cố cho học sinh các tính chất về hàm mũ, lũy thừa và logarit. Các công thức tính đạo hàm và giới hạn của các hàm số trên

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Giáo án toán - Logarit

Giáo án tự chọn 12 GV:Đinh Chí Vinh
Tiết:8 Ngaøy soaïn:
…/11/2008
Ngaøy dạy :
Tên bài
…/11/2008
LOGARIT.
I.Mục tiêu:
1. Về kiến thức:Củng cố cho học sinh các tính chất của hàm mũ, lũy thừa và logarit. Các công thức
tính giới hạn và đạo hàm của các hàm số trên.
2. Về kĩ năng: Nắm được các tính chất đơn giản như: tập xác định, biến thiên các hàm số mũ,
lũy thừa, logarit. Biết cách tính giới hạn, tìm đạo hàm, vẽ được đồ thị.
3.Về tư duy thái độ: Học sinh nghiêm túc tiếp thu, thảo luận, phát biểu , xây dựng.
II.Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
1. Giáo viên: phiếu học tập, bảng phụ.
2. Học sinh: Nắm vững kiến thức,đọc và chuẩn bị phần luyện tập.
III.Phương pháp: Đàm thoại, kết hợp thảo luận nhóm.
IV.Tiến trình bài học:
1.Kiểm tra bài cũ: (Họat động 1)
Câu hỏi 1: Nêu các công thức tính đạo hàm của hàm mũ, logarit
Câu hỏi 2: Nêu tính đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ, logrit
ln ( 1 + x ) =?
2
e3 x − 1
Câu hỏi 3: = ?, lim
lim
x2
3x
x→0 x→0


Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Tg
Gọi lần lượt 3 học sinh trả lời lần lượt trả lời câu hỏi
ln ( 1 + x 2 )
các câu hỏi.
e3 x − 1
=? =?
lim lim
x2
3x
x→0 x→0


2.Nội dung tiết học;
ln ( 1 + x 2 )
2 3 x+ 2
a/ lim e − e
Hoạt động 2: Tính giới hạn của hàm số: b/ lim
x→0 x x
x→0


Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Tg
GV phát phiếu học tập số 1 HS nhận phiếu:
-Tập trung thảo luận.
-Chia nhóm thảo luận -Cử đại diện nhóm lên giải,
-Đề nghị đại diện nhóm thực a.
hiện bài giải
e2 − e3x+2 e2 (1 − e3x )3
= lim
lim
x→0 x→0
x 3x
e3x − 1
= −3e 2 . lim = −3e 2
x→0 3x

- GV: đánh giá kết quả bài giải,
cộng điểm cho nhóm (nếu đạt)
Giáo án tự chọn 12 GV:Đinh Chí Vinh

) = lim ln ( 1+ x2 ) .x = 1.0 = 0
(
- Sửa sai, ghi bảng ln 1 + x 2
b. lim
x→0 x→0
x x2


Hoạt động 3: Tìm đạo hàm của các hàm số
ln ( 1 + x 2 )
a/ y = ( x − 1) e
2x
b/ y = (3x – 2) ln2x c/ y =
x
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Tg
GV phát phiếu học tập số 2,yêu Hsinh thảo luận nhóm ,nêu phát biểu :
(e )'=e ( e ) ' = u '( x)e
cầu hsinh nêu lại các công thức x x u(x) u(x
)
tìm đạo hàm
1 u '( x)
( ln u ( x) ) ' =
(ln x) ' =
-yêu cầu hsinh lên trình bày bài
x u ( x)
giải
a/ y’=(2x-1)e2x
GV kiểm tra lại và sửa sai
2 ( 3x − 2 ) ln x
- Đánh giá bài giải, cho điểm b/ y ' = 3ln 2 x +
x
ln( x 2 + 1)
2
c/ y ' = −
x2 + 1 x2
Họat động 4: Hàm số` nào dưới đây đồng biến, nghịch biến
1
x
x
π   
3 y = log 2 x
d/ y = log a x; a = 3
( )
b/ y = 
a/ y =  ÷ , ÷, c/ , 3− 2
 2+ 3
3 e


Hoạt động của GV Hoạt động củaHS
Tg
GVphát phiếu học với nội dung Hs:ghi nội dung phiếu học tập,thảo luận và cử đại
trên và cho HS thảo luận diện trình bày:
đồng biến: a/ và d/
GV nhận xét nghịch biến: b/ và c/
x
2
b/ y = log 2 x
Họat động: Vẽ đồ thị hàm số: a/ y =  ÷
3 3


Hoạt động của GV Hoạt động củaHS
Tg
Hs ghi câu hỏi vào vở bài tập
GV:phát phiếu học tập với nội -Thực hiện thảo luận
dung trên Cử đại diện học sinh lên bảng vẽ đồ thị.
10’ x
2
a. y =  ÷
3
f(x) f(x)=(2/3)^x




-Cho hsinh quan sát bảng phụ để 4



so sánh kết quả 3




2




1



x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
Giáo án tự chọn 12 GV:Đinh Chí Vinh


b. y = log 2 x
3
f(x) f(x)=ln(x)/ln(2/3)

4




2

-Cho hsinh quan sát bảng phụ để
so sánh kết quả x
-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5




-2




-4




3/Củng cố (2phút):
-Công thức tìm giới hạn của hàm số mũ, logarit
- Công thức tính đạo hàm
-Các tính chất liên quan đến hàm số mũ, logarit
-Vẽ đồ thị
4/Bài tập về nhà

5/Bổ sung:
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………


Tiết: 9-10 Ngaøy soaïn: …/ /
2008
Ngaøy dạy : …/ /
Tên bài
2008
Chuyên đề
PHƯƠNG TRÌNH , HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
I. Mục tiêu:
+ Về kiến thức:
- Nắm vững các phương pháp giải phương trình mũ và lôgarit.
- Nắm được cách giải hệ phương trình mũ và lôgarit.
+ Về kỹ năng:
- Biết vận dụng tính chất các hàm số mũ, hàm số lôgarit và hàm số luỹ
thừa để giải toán .
- Củng cố và nâng cao kỹ năng của học sinh về giải các phương trình .
hệ phương trình mũ và lôgarit.
+ Về tư duy và thái độ:
- Rèn luyện tư duy logic
- Cẩn thận , chính xác.
Giáo án tự chọn 12 GV:Đinh Chí Vinh
- Biết qui lạ về quen
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
+ Giáo viên: Giáo án , phiếu học tập
+ Học sinh: SGK, chuận bị bài tập, dụng cụ học tập.
III. Phương pháp: Gợi mở, giải quyết vấn đề, thảo luận nhóm.
IV. Tiến trình bài học:
1. Ổn định tổ chức: (2')
2. Kiểm tra bài cũ: (5')
- Nêu cách giải phương trình mũ và lôgarit cơ bản .
- Nêu các phương pháp giải phương trình mũ và lôgarit
- Bài tập : Giải phương trình log 2 (3 − x) + log 2 (1 − x ) = 3
HS Trả lời . GV: Đánh giá và cho điểm
3. Bài mới:
Tiết thứ 1 :
Hoạt động 1: Giải các pt : a / 7 log x − 5log x +1 = 3.5log x −1 − 13.7 log x −1
1 1
b / 3 log x + 2 + 3log x−
=x
4 4
2

Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Tg
- Chia 2 nhóm và cho các nhóm giải
Thảo luận nhóm
-
- Đề nghị đại diện 2 nhóm giải Đại diện của 2 nhóm lên bảng trình bày
-

- Cho HS nhận xét a) 7 log x − 5log x +1 = 3.5log x −1 − 13.7 log x −1
7 log x 5log x
= 3. + 5log x.5
⇔ 7 log x + 13.
- Nhận xét , đánh giá và cho điểm
7 5
KQ : S = {100}

1 1
x+ log 4 x −
b) 3log (1)
4
+3 =x
2 2

Đk : x > 0
a log a x = x ( x ) > 0 3 log 4 x
(1) ⇔ 3 .3 4 + = 4 log 4 x
log x

3
+3
log 4 x log 4 x
3.3
⇔ = 2 log 4 x
3
 log 3 
3
 
4
KQ : S = 4 2 
 
 
- Nhận xét
Hoạt động 2: Giải các pt : a / log x – 1 4 = 1 + log2(x – 1)
b / 5 log 2 ( − x ) = log 2 x 2
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Tg
- Hỏi:Dùng công thức nào để đưa 2 - Thảo luận nhóm
lôgarit về cùng cơ số ? 1
- TL: log a b =
- Nêu điều kiện của từng phương log b a
trình ? - 2 HS lên bảng giải
a. log x – 1 4 = 1 + log2(x – 1) (2)
Giáo án tự chọn 12 GV:Đinh Chí Vinh
x >1

⇔
Đk : 0 < x – 1 ≠ 1
- Chọn 1 HS nhận xét x ≠ 2
(2) ⇔ 2 log x −1 2 = 1 + log 2 ( x − 1)
2
= 1 + log 2 ( x − 1)

log 2 ( x − 1)
Đặt t = log2(x – 1) , t ≠ 0
- GV đánh giá và cho điểm
 5
KQ : S = 3, 
 4
b.
5 log 2 ( − x ) = log 2 x 2
KQ : S = {− 1;−2 25 }
- HS nhận xét

Hoạt động 3: Giải các pt : a / 4 ln x +1 − 6ln x − 2.3ln x + 2 = 0 b / 2 sin x + 4.2 cos x = 6
2 2 2



Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Tg
- Thảo luận nhóm
- Đề nghị đại diện 2 nhóm giải - Đại diện của 2 nhóm lên bảng trình bày
- Trả lời
- Gọi 1 hs nêu cách giải phương trình a.
Nhận xét : Cách giải phương trình 2
4 ln x +1 − 6ln x − 2.3ln x + 2 = 0
dạng Đk : x > 0
A.a2lnx +B(ab)lnx+C.b2lnx=0 pt ⇔ 4.4ln x − 6 ln x − 18.32.ln x = 0
2 ln x ln x
2 2
⇔ 4.  −  − 18 = 0
3 3
Chia 2 vế cho b hoặc a hoặc
2lnx 2lnx
ln x
ab để đưa về phương trình quen
lnx
2
Đặt t =   , t > 0
thuộc . 3
- Gọi học sinh nhận xét KQ : S = e −2
2 2
b. + 4.2 cos x = 6
2 sin x

2 2
⇔ 21−cos x + 4.2 cos x − 6 = 0
2
- Hỏi : có thể đưa ra điều kiện t như 2
⇔ cos 2 x + 4.2 cos x − 6 = 0
2
thế nào để chặt chẽ hơn ?
2
Đặt t = 2 cos x , t > 0
KQ : Phương trình có một họ nghiệm x =
- Nhận xét , đánh giá và cho điểm π
+ kπ , k ∈ Z
2
- Nhận xét
- TL : Dựa vào tính chất 0 ≤ cos 2 x ≤ 1
2
⇒ 1 ≤ 2 cos x ≤ 2
⇒1≤ t ≤ 2

x x
Hoạt động 4: Giải phương trình : 6 + 35 + 6 − 35 = 12
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Tg
- Gọi hs nêu cách giải phương trình - TL : Biến đổi
dựa vào nhận xét
Giáo án tự chọn 12 GV:Đinh Chí Vinh
1
x
6 + 35 . 6 − 35 = 1 6 − 35 = x
6 + 35
1
x

pt ⇔ 6 + 35 + = 12
x
6 + 35
x
Đặt t = 6 + 35 , t > 0
x x
 π  π
Hoạt động 5 : Giải các pt : a /  sin  +  cos  = 1 b / log2x + log5(2x + 1) = 2
 5  5
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Tg
- Thảo luận nhóm
- Đại diện của 2 nhóm lên bảng trình bày
a.
x x
 π  π
 sin  +  cos  = 1
- Đề nghị đại diện 2 nhóm giải
 5  5
- thay x = 2 vào pt được x = 2 là một nghiệm .
- Xét x > 2 không có giá trị nào của x là nghiệm của
pt .
- Xét x < 2 không có giá trị nào của x là nghiệm của
pt.
KQ : S = { 2}
b. log2x + log5(2x + 1) = 2
x > 0
⇔ x>0
Đk: 
2 x + 1 > 0
- thay x = 2 vào pt được x = 2 là một nghiệm .
- Xét x > 2 không có giá trị nào của x là nghiệm của
- Goị hs nhận xét pt .
- Xét x < 2 không có giá trị nào của x là nghiệm của
pt.
KQ : S = { 2}

- GV nhận xét , đánh giá và cho điểm - Nhận xét

Hoạt động 6 : Giải các pt : a / x4.53 = 5 log b / 3 x .2 x = 1
2
5
x



Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Tg
- Phát phiếu học tập 5 - Thảo luận nhóm
- Giải bài toán bằng phương pháp - TL : Phương pháp lôgarit hoá
nào ?
- Lấy lôgarit cơ số mấy ? - TL : a .Cơ số 5
b .Cơ số 3 hoặc 2
- Đại diện của 2 nhóm lên bảng trình bày
a. x4.53 = 5 log 5
x


Đk : 0 < x ≠ 1
1
pt ⇔ log 5 ( x 4 .5 3 ) = log x 5 ⇔ 4 log 5 x + 3 =
- Đề nghị đại diện 2 nhóm giải log 5 x
- Gọi hs nhận xét
1 1 
KQ : S =  ;5 4 
5 
Giáo án tự chọn 12 GV:Đinh Chí Vinh
x2
b. 3 .2 = 1
x


KQ : S = { 0;− log 2 3}
- Nhận xét , đánh giá và cho điểm .
- Nhận xét
3.2 x + 2.3 y = 2,75 log 5 x + log 5 7. log 7 y = 1 + log 5 2

Hoạt động 7 : Giải các hpt : a /  x b/ 
3 + log 2 y = log 2 5(1 + 3 log 5 x )
2 − 3 y = −0,75


Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Tg
- Thảo luận nhóm
- Đại diện của 2 nhóm lên bảng trình bày
x
3.2 + 2.3 = 2,75
y

a.  x
- Đề nghị đại diện 2 nhóm giải 2 − 3 y = −0,75


u = 2
x
- Gọi hs nhận xét
Đặt  u,v>0
v = 3 y

 x = −2
KQ: Nghiệm của hệ là 
y = 0
log 5 x + log 5 7. log 7 y = 1 + log 5 2
b. 
3 + log 2 y = log 2 5(1 + 3 log 5 x )
Đk : x , y > 0
- Nhận xét , đánh giá và cho điểm . log 5 x + log 5 y = log 5 5 + log 5 2
hpt ⇔ 
log 2 8 + log 2 y = log 2 5 + 3 log 2 x
log 5 xy = log 5 10
⇔
log 2 8 y = log 2 5 x
3


KQ : Hệ phương trình có nghiệm là :
x = 2

y = 5
- Nhận xét
3/Củng cố- dặn dò: Nhắc lại phương pháp giải các PT,Bpt,hệ PT mũ và Lôgarit
Bài tập về nhà :
1 . Tìm Tập nghiệm của phương trình log 2 x 2 = 4
log x −1 y = 2

2 . Giải hệ PT 
log1+ y ( 4 y + 2 x ) = 3

1
3 . Giải phương trình log 4 { 2 log 3 [1 + log 2 (1 + 3 log 2 x ) ]} =
2
x 11
3x −3 + 2 y = 4
3.3 + 2.4 =
y

4
4 . Giải các hpt : a.  b.  x −4 y
3 .2 = 1

3x + 4 y = 3


 22 y −6 x + 22.3x −3 x + 2 = 144
2


c. 
( )
log 3 x − y = 2
2

Giáo án tự chọn 12 GV:Đinh Chí Vinh
4/Bổ sung:
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………




Tiết: 11-12 Ngaøy soaïn: …/ /
2008
Ngaøy dạy : …/ /
Tên bài
2008
ÔN TẬP CHƯƠNG II
I/ Mục tiêu:
1. Kiến thức: Giúp HS hệ thống lại các kiến thức đã học và giải thành thạo các dạng bài tập
2. Kỹ năng: Nắm vững các tính chất của hàm số mũ và hàm số lôgarit bằng cách lồng ghép các
tính chất này vào việc giải các phương trình , hệ phương trình và bất phương trình mũ và
lôgarit .
3. Tư duy:Rèn luyện tư duy tổng hợp , phán đoán , và vận dụng linh hoạt các phương pháp giải
.
Thái độ : Cẩn thận chính xác trong suy nghĩ và hành động chính xác
II/ Chuẩn bị:
1. GV : Bài soạn của GV
GV soạn tóm tắt các kiến thức đã học trong toàn chương , rồi sử dụng đèn chiếu đưa lên bảng
( GV đưa tóm tắt kiến thức lên từng phần , gọi HS giải BT liên quan đến đâu thì chiếu đến đó , không
đưa hết để khỏi phân tán sự tập trung của HS theo từng Hoạt động)
Chuẩn bị các vật dụng cần thiết : đèn chiếu ( projector) , bảng phụ
2. HS : Soạn bài và ôn lại và hệ thống toàn bộ các kiến thức có trong chương
Giải các bài tập ở SGK và SBT
III/ Phương pháp : Gợi mở , vấn đáp thông qua các hoạt động của HS , kết hợp với phương tiện dạy
học đèn chiếu
IVTiến trình bài học:
1) Ổn định lớp:
2) Kiểm tra bài cũ:
3) Bài mới:
Ôn tập lý thuyết:

CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I) Các định nghĩa :
1) Luỹ thừa với số mũ 0 và nguyên âm :
1
a0 = 1 và a-n = n ( với a ≠ 0 và n ∈ N * )
a
2) luỹ thừa với số mũ hữu tỉ :
m m
n m ( Với a > 0 và r = , m ∈Z , n ∈ + )
Z*
a =a = an
n
3) Luỹ thừa với số mũ thực :
α
aα = lim(a rn ) ( với a > 0 , α ∈ R , rn ∈ Q và lim r n = )
4) Căn bậc n :
Khi n lẻ , b= n a ⇔ b n = a
Giáo án tự chọn 12 GV:Đinh Chí Vinh
b ≥ 0
a ⇔ n ( với a ≥ 0)
n
Khi n chẵn , b =
b =a

α = log a b ⇔aα = b(0 < a ≠1, b > 0)
5) Lôga rit cơ số a :
II) Các tính chất và công thức :
1) Luỹ thừa : Với các số a> 0 , b> 0 , α ; β tuỳ ý ta có:
α β α +β ; α ( a ) = a αβ
αβ
a .a = a β α −β ;
a :a = a
= a α .a β ; ( a : b) α = a α : b α
( a.b) α
2) Lôgarit: Với giả thiết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa , ta có ;
log a 1 = 0 log a a = 1

log a a b = b a log a b = b

log a (b.c) = log a b + log a c
1
b
log a ( ) = − log a c
=log a b −log a c ;
log a
c c
1
log a b α =α log a b log a n b =
( với α tuỳ ý ) ;
. log a b ; n ∈ *
N
n
log a x
, tức là log a b. log b a =
log b x = 1
log a b
1
log a α = log a b
b

α
∞)
3) Hàm số mũ : Liên tục trên TXĐ R , nhận mọi giá trị thuộc ( 0 ; +
Giới hạn tại vô cực :
+ ∞, khi : a > 1 0, khi : a > 1
lim a =  lim a x = 
;
0, khi : 0 < a < 1 + ∞, khi : 0 < a < 1
x →−∞
x→+ ∞




(a ) (e )
x/ /
= a x ln a =e x
x
Đạo hàm : ;

(e )
(a ) u/
/
= e u .u /
= a u .u / . ln a ;
u
với u = u(x)
Chiều biến thiên : Đồng biến trên R , nếu a > 1 , nghịch biến trên R
nếu 0 < a < 1
Đồ thị luôn cắt trục tung tại điểm ( o; 1) , nằm ở phía trên trục hoành và nhận trục hoành làm tiệm cận
ngang
4) Hàm số logarit y = logax :
Liên tục trên tập xác định ( 0 ; + ∞ ) , nhận mọi giá trị thuộc R
Giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực:
+ ∞, khi : a > 1 − ∞, khi : a > 1
lim log a x =  lim log a x = 
;
− ∞, khi : 0 < a < 1 + ∞, khi : 0 < a < 1
x →0 +
x→+ ∞

Đạo hàm :
1 1
(ln x ) 1
(log a x ) / (ln x ) / /
= = =
; ;
x
x ln a x
Giáo án tự chọn 12 GV:Đinh Chí Vinh
/
u
/
u
; ( ln u ) =
u/
(ln u )
( log a u ) / = / /
= Với u = u (x)
;
u
u ln a u
Sự biến thiên: đồng biến trên ( 0 ; + ∞ ) nếu a > 1 , nghịch biến trên ( 0; + ∞ ) nếu 0 < a < 1
Đồ thị luôn cắt trục hoành tại điểm ( 1; 0) , nằm ở bên phải trục tung và nhận trục tung làm tiệm cận
đứng
α
5) Hàm số luỹ thừa y = x
Liên tục trên TXĐ của nó
(x ) (u )
α/
= α.x α −1 α/
= α.u α−1 .u /
Đạo hàm : ;

( x) ( )
1 u/
/ /
=
n
=
n
u Với u = u (x)
( x > 0) ;
n n x n −1 nn u n −1

α α< 0
Đồng biến trên ( o ; + ∞ ) khi > 0 ; nghịch biến trên ( 0; + ∞ ) khi
6) Phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit :
ax = ⇔ =log a m; ( m > )
m x 0
log a x =m ⇔ =a m
x
ax < ⇔
0 và a > 1) ;
a x log a m
x ( m > 0 và 0 < a < 1) ;
log a x < m ⇔0 < x < a m ( a > 1) ; log a x < m ⇔x > a m ( 0 < a < 1)
Ôn tập bài tập:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Tg
HĐ1:Vận dụng các định nghĩa về luỹ thừa
để giải các bài tâp: HS nhắc lại các định nghĩa
Và giải bài tập:
GV Gọi 1 HS nhắc lại các định nghĩa về −q
p
2 3
  > 
luỹ thừa và đồng thời giải BT 1 Bài 1 So sánh a)
3 2
Cả lớp lắng nghe và bổ sung nếu có sai sót
. Kq : p < q
Sau đó GV đưa đinh nghĩa lên bảng chiếu
p −2 q
p
7 2
GV cho HS cả lớp nhận xét bài giải 1của
  0. Từ đó dể dàng giải được
x



HS thực hiện

94/ Giải các phương trình:
GV gọi HS giửi bài tập 7
( )
a) log 3 log 0,5 x − 3 log 0,5 x + 5 = 2
2
GV hướng dẫn :
a)Đặt ( log 0,5 x ) = t
1 
KQ : x ∈  , 2
16 

1 1
b) GV gợi ý về ĐKXĐ của phương trình:
b) log 2 ( x − 2) − = log 1 3 x − 5
x > 2 và biến đổi phương trình đã cho 6 3 8
thành
KQ : x ∈ { 3}

1
log 2 ( x − −
2)
6
1
1
(3 x − )2 =
log 2− 5
Từ đó giải được x =3 3
3
( t/m)
1 1 1
log 2 ( x −2) + log 2 ( 3 x −5 ) =
6 6 3
4/ Củng cố: Các kiến thức cơ bản của chương
Cách giải các dạng toán trên
5/Bổsung:
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản