Giáo trình bản đồ học part 2

Chia sẻ: myxaodon10

Tham khảo tài liệu 'giáo trình bản đồ học part 2', khoa học tự nhiên, địa lý phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Giáo trình bản đồ học part 2

xxxxxxxxxxxxxxxxx Đã duyệt ngày 29/11/09xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

CHƯƠNG 2:
LÝ THUYẾT CHUNG VỀ PHÉP CHIẾU BẢN ĐỒ

2 .1. Lý thuyết chung về phép chiếu bản đồ
2 .1.1. Những khái niệm cơ bản về sự biểu thị bề mặt quả đất lên mặt
phẳng

Nhiệm vụ chủ yếu của toán bản đồ là nghiên cứu những vấn đề biểu thị bề
mặt thực dụng của trái đất được nhận là mặt elipxôit quay và trục ngắn trùng với
trục quay của trái đất. Trong một số trường hợp, bề mặt thực dụng được nhận là
mặt cầu.

Phép chiếu bản đồ là sự ánh x ạ bề mặt elipxôit hoặc mặt cầu trái đất trên
m ặt phẳng theo một quy luật xác định.

Q uy luật toán học đó xác định sự phụ thuộc hàm số giữa toạ độ địa lý
 ,  (hoặc toạ độ khác) của điểm trên mặt elipxôit hay mặt cầu trái đất và toạ độ

vuông góc x, y (hoặc toạ độ khác) của điểm tương ứng trên mặt phẳng.

Phương trình chung của phép chiếu bản đồ có dạng sau

x  f 1  ,  
(1)
y  f 2  ,  

Các hàm f1, f2 phải thoả mãn các điều kiện: đ ơn vị, liên tục hữu hạn
trong phạm vi của bề mặt cần biểu thị.

Tính chất của phép chiếu thì phụ thuộc vào tính chất và đặc trưng của các hàm
f1 và f2. Có vô số các hàm khác nhau, do đó tồn tại vô số các phép chiếu khác nhau.

Mỗi phép chiếu thì tương ứng với một mạng lưới bản đồ xác định (các
đ ường kinh tuyến và vĩ tuyến được vẽ trên mặt phẳng), đó chính là mạng lưới
cơ sở của các bản đồ cần thành lập.



23
Từ (1) nếu khử  sẽ nhận được các phương trình của đường kinh tuyến
trên mặt phẳng (bản đồ):
F1  x, y,    0

Tương tự, từ (1) nếu khử  nhận đ ược phương trình của vĩ tuyến:

F2  x, y,    0

Bề mặt elipxôit và mặt cầu đều không triển khai thành mặt phẳng được,
cho nên biểu thị các bề mặt đó lên mặt phẳng trong bất kỳ phép chiếu nào thì
cũng đều có biến dạng: biến dạng diện tích, biến dạng góc và biến dạng độ dài.
Nhưng có những phép chiếu mà không có biến dạng diện tích (gọi là phép chiếu
đồng diện tích) trên đó chỉ có biến dạng góc và biến dạng độ dài. Trên mọi phép
chiếu đều có biến dạng độ dài, biến dạng độ dài chỉ không tồn tại trên một số
đ iểm hoặc một số đường nào đó của mỗi phép chiếu. Những phép chiếu không
có biến dạng góc gọi là phương pháp đồng góc.

Để tìm hiểu và nghiên cứu về biến dạng của phép chiếu bản đồ trước hết
cần giới thiệu một số khái niệm cơ bản sau đây:

- Tỷ lệ chính: Mỗi bản đồ đều có tỷ lệ chính. Tỷ lệ chính đó là mức độ
thu nhỏ của bề mặt elipxôit hoặc mặt cầu trái đất khi biểu thị lên mặt phẳng. Tỷ
lệ chính thường được ghi trên b ản đồ. Tỷ lệ chính chỉ được đảm bảo ở tại
những điểm và những đường không có biến dạng độ dài. Khi nghiên cứu biến
d ạng của phép chiếu bản đồ thì tỷ lệ chính ta coi là 1:1

- T ỷ lệ độ dài cục bộ : là tỷ lệ giữa độ d ài d s ' của đoạn vô cùng bé trên
m ặt phẳng và độ d ài d s của đoạn vô cùng bé tương ứng trên m ặt elipxôit
h o ặc mặt cầu trái đất.
ds'
(2)

ds

- Biến dạng độ dài (  ) được đánh giá bằng hiệu số giữa tỷ lệ độ dài 
và 1, thường được biểu đạt bằng số phần trăm:

    1
hay là     1100 %
24
Rõ ràng là khi   1 , tức là d s '  d s thì   0 , tại đó không có biến dạng độ
dài.
- Tỷ lệ diện tích cục bộ: Đó là tỷ số giữa diện tích vô cùng bé dF’ trên
b ản đồ và diện tích vô cùng bé tương ứng trên mặt elipxôit hoặc mặt cầu:
dF '
(3)
P
dF
- Biến dạng diện tích: Là hiệu số của tỷ lệ diện tích P và 1, tức là:
vp= P -1; hay là vp = (P – 1 )100%
- Biến dạng góc ( U ) được tính bằng hiệu số giữa đại lượng góc (u’)
trên phép chiếu và đại lượng góc (u) trên mặt elipxôit hoặc mặt cầu:



2 .1.2. Tỷ lệ bản đồ và độ chính xác của bản đồ

Bản đồ là hình vẽ thu nhỏ toàn bộ hoặc một phần mặt đất lên giấy phẳng
theo một tỷ lệ nhất định. Để sử dụng bản đồ có hiệu quả cần phải nắm rõ tỷ lệ
b ản đồ và độ chính xác của nó.

1 - Tỷ lệ bản đồ:

Tỷ lệ bản đồ là tỷ số giữa độ d ài một đoạn thẳng trên b ản đồ với hình
chiếu nằm ngang tương ứng của nó ở ngoài thực điạ và được ký hiệu d ưới dạng
p hân số có tử số là 1, M được gọi là mẫu số tỷ lệ bản đồ: 1/M.

N ếu mẫu số tỷ lệ bản đồ càng nhỏ thì số tỷ lệ càng lớn và các yếu tố trên
m ặt đất được biểu thị càng chi tiết hơn. Ngược lại M càng lớn thì tỷ lệ bản đồ
càng nhỏ và mức độ biểu thị các đối tượng càng khái quát.

Đ ể tiện sử dụng, nội suy và tính toán, người ta thường chọn mẫu số tỷ lệ
bản đồ là một số chẵn. Ví dụ: 1/100.000, 1/50.000, 1/25.000, 1/10.000, 1/5000,...
Điều đó có nghĩa là: cứ 1 cm trên bản đồ sẽ tương ứng với độ dài nằm ngang là
M cm ngoài thực địa. Như vậy, khi biết tỷ lệ của bản đồ, biết chiều dài đo ạn
thẳng trên bản đồ sẽ tính được độ dài nằm ngang tương ứng ngoài thực địa. Ví
d ụ: có đoạn thẳng trên bản đồ tỷ lệ 1/10.000 là 4,75 cm, thì độ d ài nằm ngang
tương ứng ở thực địa là: 4,75cm x 10000 = 47500 cm = 475m.
25
N gược lại, biết độ d ài đoạn thẳng ở thực địa, biết tỷ lệ bản đồ sẽ tính
đ ược độ dài đoạn thẳng tương ứng trên bản đồ.

V í dụ, có đoạn thẳng nằm ngang ở thực địa là 175,5m, khi biểu thị lên
b ản đồ 1/5000 sẽ có độ dài tương ứng là: 175,5m/5000 = 0,0351m =3,51 cm

2 - Độ chính xác của bản đồ:

Độ chính xác của bản đồ chủ yếu phụ thuộc vào tỷ lệ bản đồ và thời gian đo vẽ
xây dựng bản đồ. Ngoài ra còn phụ thuộc vào các chất liệu làm bản đồ và phép chiếu
bản đồ... Ở đây chỉ đề cập đến độ chính xác của bản đồ phụ thuộc vào tỷ lệ bản đồ.

Q ua nghiên cứu thấy rằng: Mắt người chỉ có khả năng phân biệt đ ược
m ột độ d ài > 0,1mm, còn đối với độ dài  0,1mm thì mắt thường chỉ nhìn thấy
m ột điểm. Vì vậy, độ dài 0,1mm được chọn làm chỉ tiêu đánh giá độ chính xác
của bản đồ địa hình. Ví dụ, trên bản đồ địa hình 1/10.000 thì độ chính xác, xác
đ ịnh vị trí điểm là 0,1mm x 10000 = 1000mm =1m . tương ứng trên bản đồ
1 /25.000, 1/50.000, 1/100.000 sẽ có độ chính xác, xác định vị trí điểm là 2,5m;
5 m; 10m.

2 .1.3. Hình Elip biến dạng

Trong tiết này chúng ta sẽ tìm hiểu những vòng tròn vô cùng bé trên mặt
elipxôit được biểu thị như thế nào trên mặt phẳng.

Giả thiết trên mặt elipxôit có vòng tròn vô cùng
bé tâm A.Tâm A được biểu thị trên mặt phẳng là
điểm A’. Tại mỗi điểm A có các hướng với các góc
phương vị là  1 ,  2 ,  3 ,... tại điểm A’ trên mặt
phẳng thì các hướng đó được biểu thị thành các
hướng 1 ,  2 ,  3 .... Gọi tỷ lệ độ dài trên các hướng
nói trên là 1 ,  2 ,  3 ..... (hình 2.1).
H ình 2.1
Từ điểm A’ ta vẽ các hướng tạo với hướng kinh H ình Elip biến dạng
tuyến các góc 1 ,  2 ,  3 .... và trên các hướng đó ta lấy các đoạn có độ dài bằng trị số tỷ
lệ 1 ,  2 ,  3 .....


26
Nối các điểm cuối của các đoạn đó bằng đường cong, chúng ta được đường
cong đặc trưng cho sự thay đổi của tỷ lệ độ dài phụ thuộc vào phương hướng tại
điểm đã cho. Lấy A’ làm gốc tọa độ vuông góc (x,y) và gốc toạ độ cực  ,   ta có
các quan hệ:
x   cos; y   sin 
x y
cos  ; sin  
H ay là: (4 )
 
Thay các giá trị của cos và sin  từ (4) vào công thức tỷ lệ độ dài:
1 2 2
 P cos   Q sin 2  R sin 
2 1 1
1

chúng ta nhận được phương trình đường cong bậc hai:
2
P1 x 2  2Q1 xy  R1 y 2  1 (5)
Thay các giá trị của P1, Q 1, R1 với:
2

M f  e r 
2
2 2
2

Mf;
2

 M ;Q  
P R
1 1 2
1
e eh eh
Ta tìm được biệt thức của phương trình này là:
M 2 .r 2
2
Q1R1  Q1  2  0 (6)
h
Biệt thức là số dương, chứng tỏ rằng đường cong mà chúng ta đang xét chính là
đ ường elíp.

N hư vậy, hình tròn vô cùng bé tại mỗi điểm trên mặt elípxốit hoặc mặt
cầu được biểu thị thành hình elip tại điểm tương ứng trên mặt phẳng. Hình elíp
đó được gọi là hình elíp biến dạng. Các trục của hình elíp biến dạng thì trùng
với các phương hướng chính tại điểm đ ã cho, bán trục lớn có trị số độ d ài bằng
tỷ lệ độ dài lớn nhất a và bán trục bé bằng tỷ lệ độ d ài nhỏ nhất b.

Tại A’ lấy các hướng trục chính làm trục toạ độ vuông góc (x’, y’) (H ình
2 .2) thì p hương trình của hình elíp biến dạng được viết là:

x'2 y'2
 1 (7)
a2 b2
Tọa độ x’, y’ của giao điểm B của
đường elíp biến dạng với đường kinh tuyến
là:


27
Hình 2.2
x'  m. cos  0
(8)
y'  n.sin  0

Thay các giá trị x’, y’ từ (8) vào (7 ) ta có:
m 2 cos 2  0 m 2 sin 2  0
 1
a2 b2
tg 2  0
1
cos 2  0  ; sin 2  0 
V ì:
1  tg 2  0 1  tg 2  0

   
a 2 m 2  b 2 tg 2  0  b 2 a 2  m 2
Từ đó ta có:

a2  m2
b
tg 0 
V ậy: (9)
m2  b2
a

Đ ể ứng dụng các hình elíp biến dạng tại một điểm đã cho của phép chiếu,
chúng ta cần phải biết 6 đại lượng: m, n, a, b, ,  0 với:

m: Tỷ lệ độ dài theo hướng kinh tuyến
n: Tỷ lệ độ dài trên vĩ tuyến
a: Tỷ lệ độ d ài cực đại; b: Tỷ lệ độ dài cực tiểu.
θ: góc giữa hướng kinh tuyến và hướng vĩ tuyến trên phép chiếu
β0: Góc phương vị
Thông qua các hình elíp biến dạng đã dựng tại các điểm khác nhau của
p hép chiếu chúng ta có thể nhận xét bằng trực quan về biến dạng của phép
chiếu đó (hình 2.3).




H ình 2.3 ( H ình 5 trang 25 _BG bản đồ học)

2 .1.4. Khái niệm về tỷ lệ diện tích




28
Tỷ lệ diện tích là tỷ số giữa diện tích vô cùng bé trên mặt phẳng (bản đồ)
và diện tích vô cùng bé tương ứng trên m ặt elipxôit hoặc mặt cầu:
dF '
P
dF

Trong đó:

dF’- D iện tích vô cùng bé trên mặt phẳng

dF - Diện tích vô cùng bé trên mặt elipxôit
hoặc mặt cầu.

Trên mặt elipxôit ta lấy một hình thang

ABCD được giới hạn bởi các đoạn vô cùng bé

của kinh tuyến và vĩ tuyến (hình 2.4a)

D iện tích của nó sẽ là:

dF  ds m .ds n

H ình thang vô cùng bé đó được biểu thị trên
m ặtphẳng là hình tứ giác vô cùng bé A’B’C’D’

(Hình 2.4b). Diện tích của nó là:

dF '  ds' m .ds' n sin  Hình 2.4
Do đó tỷ lệ diện tích P sẽ là:
ds' .ds' .sin 
P m n  m.n. sin  (10)
ds' m .ds' n
H ay là P  m.n. cos  . Đối chiếu với:
a 2  b 2  m 2  n 2
P=a.b
 ta có:

ab  mn sin   mn cos 
Thay m, n, sin  với:
g
e h
m    0  ; n    900  ; sin  
M r eg
egh h
Ta có: (11)
P . . 
Mr e Mr
h
N hư vậy:  m.n sin   m.n cos   a.b
P
Mr
2 .1.5. Sự biểu thị đồng góc và đồng diện tích mặt Elipxoit trên mặt phẳng
29
Chúng ta đã biết rằng sự biểu thị mặt elipxôit hoặc mặt cầu trên mặt
p hẳng trong bất kỳ mọi phép chiếu thì đều có biến dạng diện tích và biến dạng
độ dài, các phép chiếu đó gọi là phép chiếu đồng góc.
N gược lại, cũng có những phép chiếu không có biến dạng diện tích mà
chỉ có biến dạng góc và độ dài. Các phép chiếu như vậy được gọi là phép chiếu
đồng diện tích. Không có những phép chiếu đảm bảo cho độ dài hoàn toàn
không có biến dạng, mà chỉ có những phép chiếu đảm bảo cho độ dài theo một
hướng nhất định nào đó tại mỗi đ iểm thì không có biến dạng mà thôi.

D ưới đây sẽ giới thiệu những nét cơ bản về các phép chiếu này, sự trình
b ày cụ thể xem thêm ở “Bài giảng Bản đồ học” - Trường ĐH Mỏ - Đ ịa chất.

1 - Các phép chiếu đồng góc

Trên phép chiếu đồng góc thì góc không có biến dạng, tức là   0 tại
m ọi điểm ; điều đó cũng có nghĩa tỷ lệ độ d ài lớn nhất bằng tỷ lệ độ dài nhỏ
nhất tức là tỷ lệ độ d ài không phụ thuộc vào phương hướng; các hình elíp biến
d ạng là hình tròn; phép chiếu đồng góc đảm bảo sự đồng dạng của các phần tử
vô cùng bé tương ứng trên mặt elipxôit và trên mặt phẳng.

H ệ phương trình vi phân của phép chiếu đồng góc là:

x r y

 
M
(12 )
y r x

 
M
K hi coi trái đất là mặt cầu bán kính R thì (12 ) sẽ trở thành:

x y
  cos 
 
(13)
y x
  cos 
 
2 - Các phép chiếu đồng diện tích

Trên các phép chiếu đồng diện tích thì diện tích không có biến dạng, tức
là tại mọi điểm thì tỷ lệ diện tích P là một hằng số, hằng số đó thường chọn là 1


30
h
P 1
Mr
x y x y
h  Mr

H ay là: (14)
   
x y x y
 R 2 cos 

Đối với mặt cầu, ta có: (15)
   

2 .1.6. Tính chuyển từ toạ độ địa lý ( ,  ) sang toạ độ cực mặt cầu (Z, a)

Trong nhiều trường hợp, bề mặt toán học của trái đất được nhận là mặt bán
kính R. Trên mặt cầu cũng thể hiện hệ toạ độ địa lý được tạo bởi các đường kinh
tuyến   const và các đường vĩ tuyến   const . Mạng lưới kinh, vĩ tuyến là
mạng lưới cơ sở.

Đ ể thiết lập và tính toán phép chiếu bản đồ, trong nhiều trường hợp,
ngoài

to ạ độ địa lý, người ta còn dùng hệ toạ độ
cực mặt cầu được tạo từ các vòng thẳng đứng
và các vòng đồng cao, mà vị trí của điện cực
Q của hệ thì được lựa chọn một cách thích
hợp đối với trường hợp cụ thể. Các vòng
thẳng đứng và các vòng đồng cao thì tương
H ình 2.5:
tự như các kinh tuyến và các vĩ tuyến của hệ
Toạ độ cực mặt cầu (z,a) của
to ạ độ điạ lý ( hình2.5). hệ nghiêng

Toạ độ địa lý của điểm cực Q của hệ toạ độ điểm cực cầu là  ,  . Tuỳ
thuộc vào vĩ độ  0 mà có các trường hợp khác nhau:

1- N ếu 0 0   0  90 0 thì là hệ toạ độ cực mặt cầu nghiêng.
2- N ếu   0 thì là hệ toạ độ cực mặt cầu ngang.
0


3- Nếu  0  90 0 thì là hệ tọa độ địa lý. Khi đó cực Q trùng với cực P của trái
đất.


31
Vị trí của điểm trong hệ toạ độ cực mặt cầu nghiêng hoặc ngang thì được xác
định bởi các toạ độ z và a, trong đó: z là khoảng thiên đỉnh, a là góc phương vị (
hình 2.5), hoặc cũng có thể được xác định theo toạ độ  ' , ' tương tự như toạ độ địa

lý (  '  90 0 ; '  a ).

G iả thiết trên mặt cầu có điểm A với toạ độ địa lý của nó là  ,  , chúng
ta hãy tìm công thức tính toạ độ cực mặt cầu (z, a) của điểm A khi đ ã biết toạ
độ  0 , 0 của điểm cực Q. Từ tam giác cân PQA với các cạnh PQ  90 0   0 ;

  0  l ;  PQA  a , ta có các
PA  90 0   ; QA  z và các góc  QPA 
q uan hệ:

cos z  sin  sin  0  cos  cos  0 cos(  0 )
sin z sin a  cos  sin(   0 ) (16 )
cos a sin z  sin  cos 0  cos  sin  0 cos(  0 )

Sau khi tính z theo công thức đầu, góc phương vị a nên tính theo công
thức dưới đây:

ctga  tgc0 cos ec(  0 )  sin  0 ctg (  0 )

Đối với hệ ngang ( 0  0) thì có các công thức sau đây:

cos z  cos cos(  0 )
(17 )
tga  ctg sin(  0 )

Mạng lưới toạ độ nào được biểu thị đơn giản nhất trên phép chiếu bản đồ
thì được gọi là mạng lưới chuẩn. Nếu mạng lưới này trùng với mạng lưới cơ sở
(tức là mạng lưới kinh, vĩ tuyến là phép chiếu thẳng, nếu trùng với mạng lưới của
hệ nghiêng thì là phép chiếu nghiêng, nếu trùng với mạng lưới của hệ toạ độ
ngang thì là phép chiếu ngang.

2 .2. Phân loại phép chiếu bản đồ

2 .2.1. Khái niệm

Bản đồ học đã tìm ra rất nhiều phép chiếu bản đồ. Việc phân loại các
p hép chiếu là rất quan trong đối việc học tập, nghiên cứu và sử dụng chúng. Có

32
nhiếu cách phân loại, ở đây chỉ trình bày 2 phương pháp phân loại thông dụng
nhất: phân loại theo tính chất biến dạng và phân loại theo mạng lưới kinh, vĩ
tuyến của phép chiếu thẳng (hay còn gọi là phép chiếu đứng).

A- Phân loại phép chiếu theo tính chất biến dạng:

Theo tính chất biến dạng thì các phép chiếu được phân thành 3 lo ại: các
p hép chiếu đồng góc, các phép chiếu đồng diện tích và các phép chiếu tự do.

1- Các phép chiếu đồng góc: Trên phép chiếu đồng góc thì góc không có
biến dạng (  0), tỉ lệ độ dài tại mỗi điểm không phụ thuộc vào phương hướng
(mnab). Trên các phép chiếu đồng góc thì tỷ lệ diện tích là:

P  a.b  a2  2
Hệ phương trình vi phân của các phép chiếu đồng góc là hệ (12) ở mục 2.1.5.
2 - Các phép chiếu đồng diện tích: Trong phép chiếu đồng diện tích thì
đ ảm bảo P là một trị số cố định tại mọi điểm, tức là:
h
 a.b  m.n. cos   const
P
Mr
1 1
thường lấy: P=1, K hi đó: a  ; b 
b a
Đ iều kiện biểu thị đồng diện tích được biểu đạt bởi phương trình (14).
K hi tính các trị số biến dạng góc lớn nhất  đối với các phép chiếu đồng
d iện tích thì dùng một trong hai công thức sau đây là tiện lợi nhất:
  ab
tg ( 45 0  )  a ho ặc là tg 
4 2 2
Trên các phép chiếu đồng diện tích, do biến dạng góc lớn cho nên các
hình dạng bị biến dạng nhiều.
3 - Các phép chiếu tự do: Các phép chiếu không thuộc nhóm đồng góc và
nhóm đồng diện tích thì gọi là phép chiếu tự do.
Trong số các phép chiếu tự do thì đáng chú ý các phép chiếu đồng khoảng
cách. Phép chiếu đồng khoảng cách là những phép chiếu giữ cho tỷ lệ độ dài không
đổi trên một trong các hướng chính tức là a = 1 hoặc b = 1. Khi đó, tỷ lệ diện tích là
P = b hoặc P = a.

33
Để tính trị số biến dạng góc  trong các phép chiếu tự do thường dùng công
thức:

 ab
sin 
2 ab
Các phép chiếu tự do rất đa dạng. Phép chiếu đồng khoảng cách thì có tính
chất trung gian giữa phép chiếu đồng góc và phép chiếu đồng diện tích về
phương diện trị số biến dạng. Có những phép chiếu tự do gầm với đồng diện
tích, có những phép chiếu gần với đồng góc… Vì vậy cách phân loại trên đây tuy
đơn giản, dễ hiểu nhưng không thuận lợi cho việc nghiên cứu các phép chiếu tự
do. Để khắc phục nhược điểm đó, theo tính chất biến dạng người ta ghép các
phép chiếu thành 7 nhóm theo sơ đồ sau đây:

(1)
(2) Các phép chiếu đồng diện tích
(3)
(4) Các phép chiếu đồng khoảng cách
(5)
(6) Các phép chiếu đồng góc
(7)
B- Phân loại các phép chiếu bản đồ theo hình dạng của các đường kinh
tuyến và vĩ tuyến trong mạng lưới chuẩn:

N hư ở phần trước đã chỉ rõ, trên một phép chiếu bản đồ mạng lưới toạ độ
nào đó (lưới toạ độ địa lý hoặc một số mạng lưới toạ độ cực mặt cầu) đ ược biểu
thị đơn giản nhất thì được gọi là mạng lưới chuẩn. Những phép chiếu mà mạng
lưới các đường kinh, vĩ tuyến địa lý được biểu thị trong mạng lưới chuẩn thì
gọi là phép chiếu thẳng (hay gọi là phép chiếu đứng).

Theo hình dạng của mạng lưới kinh vĩ tuyến trong mạng lưới chuẩn (tức là
của phép chiếu thẳng) thì các phép chiếu bản đồ được phân ra các loại sau đây:

1 - Các phép chiếu hình nón :

Trên các phép chiếu hình nón thẳng thì các kinh tuyến được biểu thị
thành những đường thẳng giao nhau tại một điểm dưới các góc tỷ lệ thuận với

34
hiệu số kinh độ tương ứng; các vĩ tuyến là những cung tròn có cùng tâm tại
giao điểm

của các kinh tuyến (hình 2.6 ).

Công thức toạ độ vuông góc của phép chiếu hình nón là:

  
  f  
Trong đó:   const
Trong tính toán các phép chiếu thì kinh độ 
đ ược x ác định theo kinh tuyến gốc là kinh tuyến trùng Hình 2.6: Phép chiếu hình nón
với trục tung x.
H àm f   đ ược xác định dựa trên điều kiện cho trước (điều kiện đồng
góc, điều kiện đồng diện tích hoặc điều kiện khác).

2 - Các phép chiếu hình trụ

Trên các phép chiếu hình trụ thẳng thì các kinh tuyến là những đ ường
thẳng song song, khoảng cách giữa các kinh tuyến tỷ lệ thuận với hiệu số kinh
độ tương ứng; các vĩ tuyến là những đường thẳng song so ng vuông góc với các

kinh tuyến (H ình 2.7).

Công thức toạ độ vuông góc của phép
chiếu hình trụ thẳng có dạng là:
x  f ( )
y  

Trong đó:   const , Hàm f ( ) được xác định
Hình 2.7:
theo những điều kiện cho trước. Phép chiếu hình trụ

3 - Các phép chiếu phương vị:

Trên các phép chiếu phương vị thẳng thì các kinh tuyến là những đ ường
thẳng giao nhau tại 1 điểm dưới các góc bằng hiệu số kinh độ tương ứng; các
đ iểm kinh tuyến là những vòng tròn có cùng tâm tại giao điểm của các kinh
tuyến (hình 2 .8). Công thức toạ độ cực của phép chiếu phương vị thẳng là:

35
 
  f ( )

H àm số f ( ) được xác định dựa trên những điều
kiện cho trước về tính chất biến dạng. Hàm
  f ( ) cũng được x ác định bằng phương pháp

hình học, đó là những trường hợp phép chiếu
Hình 2.8:
p hương vị phối cảnh.
Phép chiếu phương vị


4- Các phép chiếu hình nón giả:

Trên các phép chiếu hình nón giả thì các vĩ
tuyến là nh ững cung tròn đồng tâm, kinh tuyến
giữa là đường thẳng đi qua tâm của các kinh
tuyến; các kinh tuyến khác là những đường
cong đ ối xứng với nhau qua kinh tuyến giữa
H ình 2.9 Tr
(hình 2.9).
35_BG Bản đồ
Công thức toạ độ cực của phép chiếu hình nón giả có dạng:

  f1 ( )
  f 2 ( )

Mạng lưới của phép chiếu hình nón giả không trực giao nên đối với các
p hép chiều này không có trường hợp đồng góc.

5 - Phép chiếu hình trụ giả:

Trên các phép chiếu hình trụ giả thì các vĩ tuyến là những đường thẳng
song song, kinh tuyến giữa là đường thẳng vuông góc với các vĩ tuyến; các kinh
tuyến khác là những đường cong đối xứng với nhau qua kinh tuyến giữa (hình
2.10).

Các công thức tọa độ vuông góc của phép chiếu

36
hình trụ giả là :

x  f 1 ( )
y  f 2 ( ,  )

Mạng lưới kinh, vĩ tuyến của các phép
chiếu hình trụ giả thì không trực giao cho nên loại
H ình 2.10
phép chiếu này không có trường hợp đồng góc.
~H.13 Tr 36_BG BĐH

6 - Các phép chiếu nhiều hình nón:

Trong các phép chiếu nhiều hình nón thì các vĩ tuyến là những đ ường
cung tròn không cùng tâm, tâm của các vĩ tuyến ở trên kinh tuyến giữa là
đ ường thẳng; các kinh tuyến khác là những đường cong đối xứng với nhau qua
kinh tuyến giữa (hình 2.11).

N ếu lấy đường thẳng đi qua các tâm vĩ tuyến
làm trục tung thì các công thức cơ bản của
p hép chiếu nhiều hình nón có dạng là:

x c  f ( )
  f1 ( )
H ình 2.11
  f 2 ( ,  )
~ h.14 Tr 36_BG
Trong đó x c  f 1 ( ) chính là tung độ của tâm vĩ tuyến.

7 - Các phép chiếu cung tròn:

Trên các phép chiếu này, các vĩ tuyến là những cung tròn không cùng
tâm, tâm các vĩ tuyến ở trên kinh tuyến giữa là đường thẳng, các kinh tuyến
khác là những cung tròn đối xứng với nhau qua kinh tuyến giữa. Các công thức
to ạ độ vuông góc của phép chiếu này có d ạng:

x  f 1 ( ,  )
y  f 2 ( ,  )

Trước hết công thức trên phải thoả màn điều kiện là khi   const ta được
phương trình của đường tròn và khi   const thì cũng là phương trình của cung tròn.

37
Thực ra phép chiếu cung tròn là một dạng riêng của phép chiếu nhiều hình nón.

8 - Phép chiếu phương vị giả:

Trên phép chiếu phương vị giả thì các vĩ
tuyến là các vòng tròn đồng tâm, các kinh tuyến
là những đường cong, trừ hai kinh tuyến là
đường thẳng vuông góc với nhau và là hai trục
H ình 2.12 ~ H.15 Tr
đối xứng của phép chiếu (hình 2.12)
37 _BG BĐH
Các công thức của tọa độ cực của phép chiếu phương vị giả có dạng là:

  f1 ( )
  f 2 ( ,  )

9 - Các phép chiếu khác:

N goài 8 loại phép chiếu nói trên, còn có nhiều phép chiếu khác. Các
p hép chiếu này thu nhận được trên cơ sở biến đổi các phép chiếu đã có hoặc là
b ằng cách giải những điều kiện đã cho.

C- Phân loại các phép chiếu theo vị trí của mạng lưới chuẩn so với mạng lưới cơ sở:

Theo vị trí của mạng lưới chuẩn, phân ra 3 nhóm phép chiếu:

1 - Các phép chiếu thẳng: Trên các phép chiếu thẳng thì mạng lưới chuẩn
trùng với mạng lưới cơ sở, khi đó vĩ độ điểm cực Q của mạng lưới chuẩn là
 0  90 0 .
2 - Các phép chiếu ngang: Trên các phép chiếu này thì mạng lưới chuẩn
có điểm cực ở trên xích đ ạo địa lý  0  0 .
3- Các phép chiếu nghiêng: Trên các phép chiếu nghiêng thì vị trí điểm cực
của Q mạng lưới chuẩn là một điểm nào đó không thuộc hai trường hợp trên, tức là
0 0   0  90 0 .

N hư vậy đối với mỗi loại phép chiếu đã trình bày ở mục II thì đều bao
gồm các phép chiếu thẳng, các phép chiếu ngang và các phép chiếu nghiêng. Ví


38
d ụ, đối với loại phép chiếu hình trụ được phân ra: các phép chiếu trụ thẳng, các
p hép chiếu trụ ngang và các phép chiếu trụ nghiêng.

Trên các phép chiếu nghiêng hoặc ngang thì mạng lưới các vòng thẳng
đ ứng và các vòng đồng cao của hệ toạ độ cực mặt cầu nghiêng hoặc ngang mà
ta chọn sẽ được biểu thị trong mạng lưới chuẩn, tức là tương tự như các đường
kinh tuyến và các vĩ tuyến trên phép chiếu thẳng tương ứng.

2 .2.2. Các phép chiếu hình nón

a . Công thức chung của phép chiếu hình nón

Trên các phép chiếu hình nón thẳng thì các kinh tuyến được biểu thị
thành những đường thẳng giao nhau tại một điểm dưới các góc tỷ lệ thuận với
hiệu số kinh độ tương ứng, các vĩ tuyến là những cung tròn có cùng tâm tại
giao điểm của các kinh tuyến.

Lấy tâm của các vĩ tuyến làm gốc toạ độ
cực, lấy đường thẳng trùng với kinh tuyến giữa
làmtrục toạ độ cực và đồng thời làm trục tung
x của hệ toạ độ vuông góc (hình 2.13).

Công thức toạ độ cực có dạng:
Hình 2.13

  
(18 )
  f  

Trong đó:   const,0    1

 - góc ở cực

 - bán kính véctơ, đồng thời cũng là bán kính của vĩ tuyến vĩ độ 

trên phép chiếu

Công thức toạ độ vuông góc có dạng:

x  q   cos 
(19 )
y   sin 



39
Trong đó q   s là bán kính của vĩ tuyến giới hạn phía nam của lãnh thổ lập bản
đồ.

Từ (19 ), có các đạo hàm riêng:

d x
x
  cos    sin  ;
;
 d 
d  y
y
 sin    cos 
;
 d 

V à các đại lượng e và g là:
2 2 2
  
 x   y 
e
          
   
    
2 2
 x   y  2
g         
     

Từ đó, ta xác định được các công thức chung tính tỷ lệ độ dài theo các
hướng kinh tuyến và theo các hướng vĩ tuyến sẽ là:

d
e g 
m  và n  
M Md r r

Trên phép chiếu hình nón thẳng thì mạng lưới kinh vĩ tuyến trực giao
(   90 0 ) do đó các hướng kinh tuyến và vĩ tuyến đ òng thời cũng là phương
hướng chính. Tại mỗi điểm, các tỷ lệ độ dài m trên kinh tuyến và n trên vĩ
tuyến là các tỷ lệ độ d ài cực trị.

Công thức tính tỷ lệ diện tích:
P= m.n
 a b m  n
Công thức tính biến dạng góc: sin  
2 ab mn
 a
tg (150 
H ay là: )
b
4

Từ các công thức trên chúng ta nhận thấy, các đại lượng m, P và  thay
đổi chỉ phụ thuộc vào vĩ độ  . Điều đó chứng tỏ rằng các đường đồng biến
d ạng trùng với các vĩ tuyến trên phép chiếu.

40
Các phép chiếu hình nón thẳng được sử dụng rộng rãi để làm các bản đồ
tỷ lệ trung bình và nhỏ đối với những lãnh thổ dạng kéo dài theo hướng vĩ
tuyến.

b . Các phép chiếu hình nón đồng góc

Ta đã biết rằng, trên các phép chiếu đồng góc (   0 ) thì tỷ lệ độ dài tại
m ọi điểm không phụ thuộc vào phương hướng, tức là:   a  b  m  n . Hàm
f ( ) của phép chiếu hình nón đồng góc được xác định từ điều kiện m = n tức

là:

d 
 
Md r
d Md
H ay là:  
 r
Tích phân 2 vế của phương trình trên:
Md
ln    
r
 
a 1 e2 a cos 
Thay M  và r  cos   , ta có:
3 3
1  e  1  e 
2 2 2 2
2
sin  2
sin 
1  e d 2
ln    
1  e sin  cos 
2 2


1  e sin  d   e cos d
2 2
ln   
1  e sin  cos   1  e sin 
2 2 2 2




Đ ặt ký hiệu: e sin   sin 

 d d 
K hi đó : ln       e
cos 
 cos  

 

Sau khi tích phân ta có: ln    ln tg  450    e ln tg  450    ln K
   
2 2 
 


K
Do đó: 
U

Trong đó: K là hằng số tích phân, nó cũng chính là b ằng bán kính   o
của xích đạo trên phép chiếu.


41


tg  45 0  
2
U 
Và:


tg  45 0  
2


Đ ến đây có thể viết được toàn bộ các công thức của phép chiếu hình nón
thẳng đồng góc như sau:
1)   ;   const
K
2)  
U
3) x  q   cos 
(20 )
4) y   sin 
 K
5)m  n  
rU 
r
6) P  m 2
7 )  o

Đối với mặt cầu thì:

 

U  tg (45 0  ) và do đó   K .tg   45 0  
2
2 

Trong các công thức trên có 2 thông số  và K. Các thông số này ảnh
hưởng đến trị số biến dạng và phân bố biến dạng của phép chiếu. Để lựa chọn
đ ược các thông số thích hợp thì phải dựa trên cơ sở quy luật biến thiên của hàm

.
n
r

 d dr 
 d   d 
r 
dn
  
Từ hàm trên ta có: 2
d r
M dr d N cos 
d
  M sin 
 ; 
Mà :
d d d
r
dn  M
. sin    

V ậy:
d rr
dn
Gọi  0 là vĩ độ mà tại giá trị đó thì đạo hàm  0 , tức là:
d

 0 M 0
 dn 
sin  0     0
  .
 d  r0 r0
 0

42
Từ đó ta có: (21 )
  sin  0
Từ đạo hàm cấp hai
d 2 n  d   M  M

 sin     
 . .

d 2  d  r r rN


Thay    0 ta có:
 d 0n  0 M 0

  . 0
 d 2  r0 N0
 0


Do đó , tại vĩ độ  0 thì tỷ lệ độ dài no là nhỏ nhất.

Có nhiều phương pháp xác định các hằng số  và K. Dưới đây giới thiệu
3 phương án:

Phương án1: Xác định các thông số  và K sao cho trên vĩ độ  o cho
trước thì tỷ lệ độ dài là no= 1 và là nhỏ nhất.

V ì theo điều kiện đã cho,  o là vĩ độ mà tại đó tỷ lệ độ dài là nhỏ nhất, từ
công thức (21) ta có:

  sin  0

K rU
 1 ta có: K  0 0
Từ điều kiện n0 = 1, tức là n0  
r0 .U 0 
Theo phương án này thì trên phép chiếu hình nón đồng góc có một vĩ tuyến
chuẩn, tại mọi điểm trên đó hoàn toàn không có biến dạng, đó là vĩ tuyến có vĩ độ
 0 cho trước. Càng xa vĩ tuyến chuẩn, về cả 2 phía, thì biến dạng càng tăng.

Phương án 2: Xác định các thông số  và K sao cho trên các vĩ tuyến có
vĩ độ  1 và  2 cho trước thì có tỷ lệ độ dài là: n1 = n2 = 1.

Từ điều kiện n1  n 2 , tức là:

K K

 
r1U 1 r2U 2
r1U 1  r2U 2
lg r1  lg r2

Do đó :
lg U 2  lg U 1

43
Lại từ điều kiện n1  n2  1 ta rút ra:
r1U 1 r2U 2

K 
 
Theo phương án này thì trên phép chiếu hình nón đồng góc có hai vĩ
tuyến chuẩn, đó là các vĩ tuyến  1 và  2 đã cho. Trên vĩ tuyến chuẩn không có
b iến dạng, càng xa vĩ tuyến chuẩn thì biến dạng càng lớn. Trong phạm vi giữa
hai vĩ tuyến 1 và  2 thì trên vĩ tuyến có vĩ độ  0 (mà sin  0   ) có tỷ lệ độ
d ài nhỏ nhất nhưng đồng thời cũng là biến dạng lớn nhất trong phạm vi đó.

Phương án 3: Xác định các thông số  và K sao cho trên các vĩ tuyến
b iên  S và  N của lãnh thổ bản đồ thì có hai tỷ lệ độ dài bằng nhau và trị số
1
nghịch đảo tỷ lệ độ dài nhỏ nhất, tức là n S  n N 
n0

Từ điều kiện n S  n N tức là:

K K

rS .U S rN .U N

lg rS  lg rN

Ta rút ra :
lg U N  lg U S
1 1
Từ điều kiện n S  và n N  , ta có: n S n0  1 và n N n0  1
n0 n0
1 1
  
Do đó: K rS rN U S U 0  rN r0U N U 0
 
Theo phương án này thì trên phép chiếu cũng có 2 vĩ tuyến chuẩn. Vị trí
của các vĩ tuyến chuẩn phụ thuộc vào vị trí của các vĩ tuyến biên  S và  N .
Sự phân bố biến dạng trong phương án này thì cũng tương tự như ở p hương án
2.

Phép chiếu hình nón thẳng đồng góc thường đ ược dùng để thành lập các
b ản đồ tỷ lệ trung bình và nhỏ. Nó thích hợp nhất đối với những lãnh thổ có vĩ
độ trung bình và có dạng kéo dài theo hướng vĩ tuyến.

c. Các phép chiếu h ình nón thẳng đồng diện tích
44
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản