Giáo trình Cơ học lý thuyết: Phần 1

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:129

Thêm vào BST

Báo xấu

122
lượt xem 18
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nôi dung cuốn sách trình bày các kiến thức về tĩnh học, động học và động lực học; hướng dẫn giải quyết các bài toán thông thường trong kỹ thuật xây dựng, đặc biệt là phần tĩnh học có hướng dẫn phương pháp xử lý bài toán phẳng. Giáo trình gồm 2 phần, mời các bạn cùng tham khảo phần 1 sau đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Cơ học lý thuyết: Phần 1

BỘ■ XÂY DỰNG ■ GIÁO TRÌNH Cơ HỌC LÝ THUYẾT (Tái bản) NHÀ XUẨT BẢN XÂY DỰNG HÀ NỔI - 2011
LỜI NÓI ĐẦU Cơ học lý th u yết là môn khoa học cơ sở nghiên cứu chuyển động cơ học của vật rắn và thiết lập các quy luật tổng quát các chuyền động đó. N ội d u n g tài liệu này gôm có ba p h ần: tĩnh học, động học và động lực học. Đ ây là tập hợp các bài giảng của các tác giả sau ba n ă m g iả n g dạy th ử n g h iệm cho các sinh viên cao đ ẳng xây dựng. Đ ể p h ụ c vụ cho đối tượng học tập trong chương trinh 60 tiết , các tác g iả đã sắp xếp nội d u n g m ột cách ngắn gọn, chi tiết, bao gồm nhữ ng vấn đề cơ bản và thiết th ự c . Đê tạo đ iều kiện cho các sinh viên kh á giỏi mở rộng kiến th ứ c, trong p h ầ n cuối có th êm hai chương 4 và 5. N h ằ m g iúp người học g iả i quyết các bài toán th ô n g thường trong k ĩ thuật xây dựng , đặc biệt là p h ầ n tĩn h học , các tác g iả đã đi sâu hướng dẫn phương p h á p x ử lý bài toán p h ẳ n g . Đ ể g iú p sin h viên tự ôn tập, sau mỗi p hần củ câu hỏi tự kiểm tra và các bài tập thực h à n h . N ộ i d u n g tài liệu là m ột p h à n của chương trin h cơ học lý th u yế t được g iả n g d ạ y trong các trường đại học k ĩ th u ậ t . Do đó, việc n ắ m vữ ng nội d u n g tài liệu này sẽ tạo điều kiện cho người học ng h iên cứu tiếp chương trin h đ ạ i học m ột cách th u ậ n lợi (được bố su n g thêm các bài toán k h ô n g g ia n và p h ầ n cơ g iả i tích). T à i liệu do P G S .T S . P han Văn Cúc và ThS. N guyễn T rọng biên soạn theo yêu cầu của Trường Cao đấng X ây dựng Sô' 1 thuộc Bộ X â y dựng. Các tác g iả x in chăn thành cám ơn G S .T S N guyễn T h ú c A n và nhiều đông nghiệp đã có những ỷ kiến đóng góp quý báu . Tác g iả hy vọng, trong lúc chưa có m ột chương trình chuân cho các trường cao đ ắ n g k ĩ th u ậ t, tài liệu này sẽ là tài liệu tham khảo đ ể giảng dạy và học tập cho sin h viên cao đ ắ n g n g à n h xây dựng nói riêng và các trường cao đ ả n g k ĩ th u ậ t, đồng thời g iú p người học bước đầu nghiên cứu các bài toán cơ học. R ấ t m o n g sự q uan tăm và đóng gớp ý kiến của cấc độc g iả cho tài liệu này. X in chăn th à n h cám ơn. Các tác giả 3
PHẨIM LÝ THUYẾT Phần thứ nhất TĨNH HỌC Tĩnh học (hay tĩnh học vật rắn) là phần đầu của cơ học lý thuyết, khảo sát sự cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của một hệ lực đã cho. Hai bài toán cơ bản trong phần này là: khảo sát tác dụng của hệ lực lên vật rắn và tìm điều kiện cân bằng đ ể giải quyết các bài toán kỹ thuật. Phương pháp nghiên cứu trong phần tĩnh học là phương pháp tiên đề kết hợp phương pháp mô hình. Các kết quả nghiên cứu trong tĩnh học sẽ được áp dụng để giải thích các hiện tượng thực tế, đồng thời làm cơ sở ban đầu để học các môn sức bền vật liệu, cơ học kết cấu và các môn học khác. Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM C ơ BẢN - HỆ TIÊN ĐỂ TĨNH HỌC I. CÁC KHÁI NIỆM C ơ BẢN 1. Vật rán tuyệt đối Mô hình nghiên cứu vật thể trong cơ học lý thuyết được biểu diễn dưới hai dạng mô hình: chất điểm và hệ chất điểm. Chất điểm là điểm hình học mang khối lượng. H ệ chất điểm (cơ hệ) là tập hợp các chất điểm, trong đó vị trí và chuyển động của chất điểm bất kỳ phụ thuộc vào những chất điểm còn lại. Chất điểm và hệ chất điểm trong cơ học lý thuyết là các khái niệm có tính chất tương đối, phụ thuộc vào đối tượng và mục đích nghiên cứu. Nhiều vật thể có kích thước lớn nhưng có thể bỏ qua so với đoạn đường chuyển động (như quả đất có kích thước rất lớn nhưng lại quá nhỏ so với quỹ đạo trong Thái dương hệ) cũng có thể coi là chất điểm. V ật rắn tuyệt đối là một cơ hệ, trong đó khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ thuộc hệ luôn không đổi. Trong thực tế không có vật rắn tuyệt đối. Trong những điều kiện có tác động khác nhau, vật thể sẽ có những biến dạng khác nhau. Tuy nhiên khi độ biến dạng khá bé, với 5
sai số cho phép, thì có thể bo qua biến dạng. Mặt khác, coi vật là rắn tuyệt đôi nhằm đơn giản hoá tính toán trong xấp xì thứ nhất. Bài toán có kê đến biến dạng sẽ được kháo sát trong các môn học sức bển vật liệu và cơ học kết cấu. Từ nay về sau, để đơn qian. gọi tắt vật rắn tuyệt đối là vật rắn. Bài toán được nghiên cứu Ưong ch ư ơn g trình n à v cũ n g chỉ được giớ i hạn giải quyết bài toán đối với chất đ iếm vật rắn và hệ vật rắn. Hệ vật rắn là tập hợp các vật rắn được liên hệ chặt chẽ với nhau thông qua các liên kết và thoa mãn điều kiện cơ hệ. 2. Lực Đ ịn h nghĩa: lực là s ố đo sự tác dụng tương hổ giữa các vật thể. Lực được đặc trưng bởi ba yếu tố: điểm đặt, hướng (phương, chiều) và cường độ (trị số) của lực. Lực được biểu diễn bằng véctơ lực: gốc véctơ biểu diễn điểm đặt lực, hướng véctơ biểu diễn hướng của lực, độ dài véctơ biểu diễn cường độ của lực, giá véctơ lực được gọi là đường tác dụng của lực, ký Hình 1 1 1 h iệ u A (h ìn h 1-1-1). K ý h iệ u lự c b ằ n g m ộ t c h ữ cái trên có d ấ u v é c tơ : F , p , Đơn vị: N, kN ... 3. Trạng thái cân bàng Chuyển động là sự thay đổi vị trí của vật rắn theo thời gian so với một vật khác được chọn làm mốc nghiên cứu. Vật được chọn làm mốc nghiên cứu được gọi là hệ quy chiếu. Đê tính toán, thường gắn vào hệ quy chiếu một hệ trục tọa độ. Trạng thái cân bânẹ của vật rắn là trạnạ thái clứiiíỊ yên của nó so với một hệ quy chiếu được chọn. Chú ý: • Một vật rắn cân bằng thì từng chất điểm thuộc vật cũng cân bằng và neược lại. Kết luận này cũng được áp dụng cho một hệ vật rắn bất kỳ: một hệ vật rắn cân bằng thì từng vật rắn thuộc hệ cũng ở trạng thái cân bằng. • Trạng thái cân bằng và chuyển động của vật thể mang tính chất tương đối, nó có thê là cân bằng đối với hệ quy chiếu nàv nhưng lại là chuyển động so với hệ quy chiếu khác. 4. Một số định nghĩa - Hệ lực là lập hợp các lực tác dụng lên vật rắn: ký hiệu (F,,F-,,...FnJ; - Hai hê. lưc . đươc • nói là tươne
Hệ lực ÍF|,F),...Fnì tương đương với hệ lực (Pị, P7,...Pm) được ký hiệu: (F„F2...Fn) ~ (Pị, P2,...Pm); Hai hệ lực tương đương khống phải là hai tập họp trùng nhau, mà chúng khác nhau cả về mỗi phần tử lẫn số lượng các phần tử. Hai hệ lực này chỉ có điểm chung là tác dụng cơ học như nhau. - Hợp lực là một lực tương đương với hệ lực đã cho: R ~ (F i ,F2,...F„); - Hệ lực cân b ằ n g là hệ lực tư ơ n g đương với không (0): (F i ,F2,...F„) ~ 0 ; H ệ lực cân b ằ n g k h ô n g phải là tập hợp r ỗ n g , nó c ó ít n h ấ t hai p h ầ n tử. Khi rác d ụ n g một hệ lực cân bằng lên vật rắn cân bằng thì trạng thái cân bằng của vậtrắn không bị phá vỡ. Cũng từ định nghĩa hệ lực cân bằng, thay cho việc khảo sát trạngthái cânbằng của vật rắn, người ta lại khảo sát trạng thái cân bằng của hệ lực đang tác dụng lên nó. - Ngẫu lực - hệ hai lực song song ngược chiều, có trị số bằng nhau và không cùng đường tác dụng: (F i,F 2 ) với F| = - F ị . Mặt phảng chứa hai lực được gọi là mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực. Khoảng cách d giữa hai đường tác dụng của ngẫu lực được gọi là cánh tay đòn của ngẫu lực (hình 1-1-2). Nsẫu lực có tác dụng làm vật chuyển động quay. II. CÁC TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC 1. Tiên đề 1 (hai lực cân bằng) Điều kiện cần vù đủ đ ể vật rắn cân bằng dưới tác dụng của hai lực là hai lực ấy cùng cường độ, cùng dường tác dụng và ngược chiểu. Đây là hệ lực cân bằng đơn giản nhất chỉ gồm có hai lực ÍFi,F 2 j ~ 0, trong đó Fi = —F2 (hình 1-1-3). Từ tiên đề 1, rõ ràng ngẫu lực là hệ lực không cân bằng. 2. T i ê n đ ề 2 (th ê m v à b ớ t h ai lự c c â n b ằ n g ) Tác dụng của hệ lực lên vật rắn không thay đổi nếu thêm vào hay bó 7 đi hai lực cân bằng. 7
ỊFi,F2,F3...Fn, P i , P 2 ) ~ Í F i , F 2 , F 3 ...Fn trong đó đã bớt hai lực cân bằng ( P |, P 2 j~0. ỊF i,F2,...F„)~(F i ,F 2,...F„,R i,R2), trong đó đã thêm hai lực cân bằng ỊR u R tỊ-O. T ừ tiê n đ ể 2, su y ra: H ệ quả: Tác dụng của lực lên một vật rắn không thay đổi nếu trượt lực trên đường tác dụng của nó. Thật vậy, giả sử tại A có tác dung lực F . Tại điểm B trên đường tác dụng của F thêm hai lực (F ,F " )~ 0 , trong đó F' = F và F" = —F. Theo tiên đề 2: (F) ~ (F,F',F")~(F') vì (F ,F ")~0. Lực F'chỉ khác lực F là được đặt tại điểm B, hay trượt lực từ A đến B trên đường tác dụng của nó (hình 1-1-4). Chú ý: hệ quả này chỉ được sử dụng đê chứng minh lý thuyết hệ lực. 3. Tiên đề 3 (hình bình hành lực) Hai lực dặt tại củng một điểm tương đương với một lực cùng đặt tại điểm ấy và đưực xác định bằng đường chéo hình bình hành vẽ từ hai lực d ã cho: (F|,Ẹ>) ~R . hay: F, + F2 = R . (1-1-1) Theo định nghĩa: R là hợp lực của hai lực Fị và F, (hình I-l-5a). Tiên đề 3 làm cơ sở cho việc tìm họp lực của n lực (Fl,F,,Fv ..Fn)dặt tại cùng một điểm o (hình I-1-5Ò): từ đẩu mút của F, vẽ Fỉ //Ẹ, thì R' = Fj +FÓ = Fj +Fo là hợp lực của F,,Fo; nếu từ ngọn Fị vẽ F3 / / F3 thì R" = Fj+Ft +Fj = F |+ F t+ F 3 là hợp lực của Fj,F,,F3 ; ... Một cách tổng quát: R = F , + F 2 + F 3 + ... + Fn = I F k . (1 -1 -2 ) k=! Chứ ý: Chỉ số k trong dấu tổng cùa tài liệu này đều đi từ 1 đến n. Để thuận tiện, từ nay n về sau, ký hiệu được thay thế bằng ký hiệu k=i Cũng từ tiên đề 3, có thể phân tích một lực thành hai hay ba lực theo các phương cho trước. Như cho lực F đặt tại o , hai phương Ox và Oy (hình I-l-5c). Từ đầu ngọn của F vẽ hai đường song song với Ox và Oy sẽ được hai lực thành phần Fx và Fy . 8
3) b) c) Hình 1-1-5 Hai tiên đề 2 và 3 được gọi là hai phép biến đổi . cơ bản, nó giúp chứng minh trong phần lý thuyết và F' giải nhiều bài toán cơ học. Ví dụ, ta dễ dàng chứng N. minh ba lực đồng phẳng, cân bằng thì đường tác dụng R / \ o____________________ của chúng gặp nhau tại một điểm (đồng quy): cho ba lự c đồng phẳng và cân bằng (F1,Ft,F3) ~ 0 (hình 1-1-6). ?2 xr Giả thiết hai lực F],F, có đường tác dụng gặp nhau tại o . Trượt hai lực này về o. Theo tiên đề 3 sẽ có H ìn h 1-1-6 R = F| + F ,. Kết quả (F|,F2,F3) ~ (R,F3) ~ 0. Rõ ràng, theo tiên đề 1, lực F3 có đường tác dụng đi qua điểm o , nghĩa là đường tác dụng của ba lực vừa nêu gặp nhau tại điểm o . Trường hợp đặc biệt, ba lực này có thể song song nhau, điểm đồng quy của ba lực ờ vô cùng (co). 4. T i ê n đ ề 4 (tá c d ụ n g v à p h ả n tá c d ụ n g ) Những lực do hai vật tác dụng lên nhau có cùng đường tác dụng, ngược chiều và có trị sô' bảng nhau. Ta viết được F a = - F b (hình 1-1-7). Hình 1-1-7 Chú ỷ: hai lực này không phải là hai lực cân bằng vì chúng được đặt lên hai vật khác nhau. 5. Tiên đề 5 (hoá rắn) o Vật biến dạng cân bằng thì khi rắn lại nó vẫn càn bằng. Như dây AB cân bằng bởi hai lực Fi và (hình I-l-8a), nếu thay dây bằng vật rắn (hình I-l-8b) b) thì vật này cũng sẽ càn bằng bởi hai lực đã cho. H ình 1-1-8 9
Tiên đề 5 cho phép áp dụng điều kiện cân bằng của vật rắncho vật biến dạng. Chú ý: Điều ngược lại của tiên đề 5 không phải lúc nào cũng đúng. Hay nói cách khác, những điều kiện cân bằng của vật rắn chỉ là những điều kiện cần (nhưng không đủ) của vật biến dạng cân bằng. 6. Tiên đề 6 (giải phóng liên kết) - Vật tự do - vật có thể di chuyển từ vị trí đang khảo sát ______ ^_____ ______ đến các vị trí lân cận. N iỉ t Phảnlưc - Vât không tư do - vật có di chuyển ít nhất theo một p h ư ơ n g n ào đ ó bị c á n trớ. N h ư vật A đ ặ t lên n ền đ ất B thì A di c h u y ế n đi x u ố n g bị c ả n trớ (h ìn h 1-1-9). ro - Vậi khảo sát - vật cán xem xét trạng thái cân bằng Áp lực hay chuyển động (như vật A). Hình 1-1-9 - Liên kết - những điều kiện ràng buộc cản trở chuyển động của vât kháo sát. - Vật liên kết: vật tạo ra các cản trở chuyển động của vật khảo sát (như nền B). - Lực liên kết - lực xuất hiện tại các licn kết. Lực licn kết được phân ra: + Phản lưc liên kết (phản lực) là lực của vật liôn kết tác dụng lên vật khảo sát (N ), được đặt lên vật khảo sát, hướng ngược vứi chiều di chuyển hị cản trở. + Ap lực là lực của vật khào sát tác dụng lên vật liên kết (N') và đặt lèn vật liên kết. Áp lực và phản lực thoả mãn tiên đề 4: N = - N ' , nó thường là ẩn số của các bài to án càn bằng. - Các lực khác tác dụng lên vật khảo sát được gọi là lực hoạt động. Tiên đề 6: Vật chịu liên kết cân bằng được coi là vật tự do cân bằng nếu thay liên kết bằng phàn lực liên kết tương ứnẹ. Chú V Các tiên đề từ 1 đến 5 được phát biểu cho vật tự do, tiên đề 6 đặt cơ sở cho vitệc giải bài toán vật rắn chịu liên kết. CÁC LIÊN KẾT THƯỜNG GẤP a) Liên kết tựa bao gồm vật nàv tựa lên vật khác (hình 1-1-10): với giả thiết mặt tiựa rắn và nhẵn, phản lực hướng theo pháp tuyến chung mặt tiếp xúc, ngược vớ i chiểu di chuyển bị cán trờ. 10
y / / //.// yiỉ\R n T o X //m/z 1-1-10 Hình 1-1-11 Hình 1-1-12 b) Liên kết dây mềm (hình 1-1*-1 1): giả thiết dây 2 bỏ qua trọng lượng, phản lực hướng dọc theo dây và đặt tại điếm buộc. c) Liên kết bản lề trụ (hình 1-1-12): gồm trục lồng vào khuỷu trục. Phản lực đi qua tâm trục và nằm trong mặt phẳng (xy) vuông góc với trục bản lề, có Y y phương chiều chưa xác định (thường được phân tích / / / thành hai thành phần X,Y theo hai trục x,y). Quả càu d) Liên kết bản lề cầu (hình 1-1-13): gồm quả cầu / xoay đươc trong hốc cầu. Phản lưc đi qua tâm cầu, có phương chiều chưa xác định (thường được phân Hình 1-1-13 tích thành ba thành phần X,Ỹ,Z theo ba trục X, y và z). Chú ý: hai liên kết bản lề cẩu và lề trụ trong bài toán phẳng đếu được quan niệm, trục 7. vuông góc với mặt phẳng hình vẽ nên các phản lực đều được phân ra hai thành phần X, Y theo hai trục X và y. e) Liên kết thanh (hình 1-1-14): gồm thanh không trọng lượng, không có lực tác dụng lên thanh và hai đầu liên kết bản lề. Theo tiên để 1, phản lực, nằm trên đường thẳng nối trục hai bản lồ. H ríí rr\ ( í i n h d.£%/4 i /4 A p jg Ả H ình 1-1-14 Hình 1-1-15 Trong kỹ thuật, các liên kết bản lề và liên kết tựa được thể hiện qua gối cố định (A) và gối di động (B) (hình 1-1-15). Muốn vẽ phản lực tại gối cố định và gối di động phải cân cứ vào các liên kết tương ứng.
III. KHÁI NIỆM VỀ MÔMEN L ự c 1. Mômen của một lực đối với một điểm C h o lự c F đ ặ t tạ i A v à đ iể m o . G ọ i O A = r - v éctơ đ ịn h vị c ủ a đ iể m A; từ 0 vẽ đường vuông góc với đường tác dụng của lực F , OH =d - cánh tay đòn của F đối với điểm o (hình I-l-16a). H ìn h 1-1-16 Định nghĩa: mômen của lực F đổi với điểm o là một dại lượng véc tơ bằng tích cố hướng giữa ĩ vù F : m0(F) = r A F (1-1-3) Véctơ m0(F) vuông góc \ ới mặt phẳng chứa điểm o và lực F, có chiều sao cho khi nhìn từ ngọn của m0(F) thấy F hướng quanh o ngược chiều kim đồng hồ và có độ dài: IĨ10 (F) = r x F s i n a = F x d m0(F) = 0 khi d = 0 hay F đi qua điểm lấy mômen o. Tính chất của mômen của một lực đối với một điểm: M ô m e n của lực đối với một điểm nói chung thay đổi khi th a y đổi điểm lấy mômen. Như khi thay đổi điểm lấy mômen từ o sang O' (hình I-1-16b), m0(F) = r A F = (OO' + r') a F = 0 0 ' A F + r' A F = 0 0 ' A F + m(y(F). m0(F) = OO' a F+ rh0-( F ). (1-1-4) Để m0(F) = m0.(F) thì ÕÕ; a F = 0, tức là 0 = 0' và Õ Ỡ //F 12
2. M ôm en của m ột lực đối với m ột trục m A(F) Cho F đặt tại A và trục A. Qua A dựng mp 71 X A . Điểm o là eiao của trục A với mặt phẳng 71. Phân tích lực F thành hai thành phần: F 2 song song với trục A, Fi nằm tro n g m ặt p h ẳn g n (h ìn h 1-1-17). N h ư vậy, chi có th àn h phán lực Fi làm vật chuyển động quay quanh trục A. Từ o vẽ đường vuông cóc với đường tác dụng của F| được c á n h ta y đ ò n d c ủ a Fi đ ố i với đ iể m o . Đ ịn h m g h ĩa : M ô m e n của lực F đ ổ i với trự c A là m ỏ m en đ ụ i s ố của lực F I d ố i với đ iể m o tro n g m ặ t phẳng n: mA(F) = m0(F) = ±F1d, (1-1-5) trong đó mỏmen lấy dấu cộng (+) khi nhìn từ ngọn trục A thấy F (hay Fi) hướng quanh trục A ngược chiều kim đồng hồ và lấy dấu trừ (-) trong trường hợpngược lại. Mômcn của một lực đối với một trục bằng 0 khi lực F song songhay cắt trục À. Fi = 0 mA(F) = 0 -»< -> F và A đổng phẳng d =0 3. Quan hệ giữa mômen của một lực đối với một điểm m0(F) và mó men của một lực đôi với một trục mA(F) Giữa mômen của một lực đối với một trục và véctơ mômen của lực đối với điểm bất kỳ trên trục ấy có mối quan hệ: m A( F ) = m 0 (F ) COSỴ, (1 -1 -8 ) Định lý: Mỏmeiỉ cùa m ột lực dôi với một trục hằng hình chiếu lên trục ấy của véctơ m ỏm en lực đối với điểm bất kỳ trên trục. Nhờ định ]ý này, để tính m0(F) ta chuyển qua tính mômen các lực đối với các trục: m0(F )-> m 0(F){mx(F),my(F),mz(F)} 1V10(F)| = y [m x(F)J2 + [ m y(F)]2 + [ m z(F)] 13
2. M ôm en của ngẫu lực Cho ngẫu lực (F ,-F Ị , chọn điểm o và tính tổng mômen -F hai lực của ngẫu lực với điểm o (hình 1-1-18). m0(F) + m0(-F) = ÕÃ A F -Q B A F = (Õ Ã -Õ B ) A F = BA a F . Đ ịnh nghĩa: V é c tơ m ô m e n n g ẫ u lực được xác định theo công thức: ni = BA a F (1-1-9) Véctơ mômen ngẫu lực vuông góc với mặt phẳng ngẫu iực, có chiều sao cho khi nhìn từ ngọn của m thấy ngẫu lực quay ngược chiều kim đồng hồ, độ dài của véctơ m sẽ bằng: m = BA .sincx = F.d Từ định nghĩa m, dễ nhận ra: véctơ m là véctơ tự do và mômen của ngẫu lực đối với điểm bất kỳ không phụ thuộc vào điểm lấy mổmen. Cũng từ cách biểu diễn ngẫu lực bằng véctơ mômen ngẫu lực rn nên có thể rút ra: hai ngẫu lực có các véctơ môm en bằng nhau s ẽ có tác dụng tương dương. Muốn tổng hợp các ngẫu lực tâ chỉ cẩn tổiìg họp cấc vếetơ mòinen ngẫu lực: M = ữiị+m,+... + mn = ^ i ĩ i k ■ (1-1-10) Ngẫu lực có các tính chất sau đây: a) Tác dụng của ngẫu lực lẽn vat rắn không thay đổi nếu dời ngẫu lựcđến mặt phẳng song song với nó. b) Có thể dời ngẫu lực trong mặt phẳng tác dụng thì tác dụng của ngẫu lực lên vật rắn không thay đổi. c) Có thể thay đổi tuỳ ý trị số của lực và cánh tay đòn của ngẫu lực nhưngvẫn giữ nguyên mômen thì tác dụng của ngẫu lực lên vật rắn không thay đổi. 3. Định lý dời lực song song Khi dời song song lực F từ A đến 0 thì tác dụng của lực không thay đổi nếu thêm vào một ngẫu lực có véctơ môm en bằng véctơ mômen của lực F đặt tại A đối với điểm O: m = mữ ( F) . F F',ni = m 0 (F)] (1-1-11) 14
Thật vậy, giả sử tại A có lực F tác dụng. Tại o thêm tu- — hai lực F' và F với (F\ F") ~ 0, trong đó F' = F , F" = - F (hình 1-1-19). Kết quả F~(F,F',F")~ 0 _ A F ,(F,F ) . Hệ lực mới gồm lực F' và ngẫu lực (F,F") , / ] có mômen m = m()(F) = OA A F . n Từ định lý dời lực song song, ta có thể chuyển một lực và một ngẫu lực có F i m về một lực. H ìn h 1-1-19 Cliú ý: Với bài toán có các lực và mặt phẳng tác dụng của các ngẫu lực cùng nằm trong một mật phẳng, nếu chọn hệ trục Oxyz sao cho Oxy nằm trong mặt phẳng các lực thì trục z sẽ vuông góc với mặt phẳng ấy. Khi đó các véctơ mỏmen lực và véctơ mômen ngẫu lực đều song song với trục z. Trong những trường hợp như vậy, ta có thể dùng khái niệm inômen đại số để biểu diễn các khái niệm mômen: mômen của một lực đối với một điểm thuộc mặt phẳng Oxy, mômen của một lực đối với một trục song song với trục z và ìnỏnen của ngẫu lực. * Mômen của lực F đối với điểm o là mômen đại số m0 (F) = ±Fd, (1-1-12) trong đó: d - cánh tay đòn của lực F đối với điểm o , mônen lấy dấu cộng (+) khi lực hướng quanh o ngược chiều kim đồng hồ và lấy dấu trừ (-) trong trường hợp ngược lại (hình I-l-20a). * Mômen của ngẫu lực là mômen đại số m = ±F.d, (1-1-13) trong đó: mômen lấy dấu cộng (+) khi ngẫu lực quay ngược chiều kim đồng hồ và lấy dấu trừ (-) trong trường hợp ngược lại. i i- F n ............ . 1 ..... . B 0 r a) b) H ìn h 1-1-20 Đ ịn h lý: Tổng môm en hai lực của ngẫu lực đối với điểm bất kỳ nằm trong mặt phẳng tác dụng bâng môm en đại s ố của ngẫu lực. 15
Thật vậy, cho ngẫu lực (F,-F) có cánh tav đòn d (hình I-l-20b). Lấy điểm o bất kỳ trong mặt phẳng tác dụng, thì: m0(F) + m0(-F) = OA.F-OB.F = (OA-OB).F = F.d = m Cũng do các ngẫu lực có cùnc mặt phẳng tác dụns, các mksong song nhau nên phép hợp ngẫu lực (1-1-10) sẽ trử thành phép cộng đại số: M = mI + m + m n = y mk (1-1-14) * Mômen của một lực đối với một trục z vuông sóc vớimật phắng chứa các lực được tính như mômen của một lực đối với một điểm. Chương 2 LÝ THUYẾT HỆ L ự c PHANG Hệ lực phẳng là hệ gồm các lực phân bố bất kỳ trong một mặt phẳng. Trong bài toán hệ lực phẳng sẽ nghiên cứu hai vấn dề: thu gọn hệ lực plìầng vổ một tâm và tìm điều kiện cân bằng của hệ lực đó. I. THU GỌN HỆ L ự c PHANG VH một tâm VÉCTƠ chính v à MÔMEN ch ín h 1. Phương pháp thu gọn - Cho h ệ lực p h ẳ n g ( F j . R , Ì - 3...F n ) , (hình 1 -2 -1 ì - C h ọ n đ iể m o n ằ m trong m ặ t p h à n g h ệ lự c làm tâm thu " 011. - D ời s o n g s o n g c á c lự c v ề tâ m o . T h e o đ ịn h ly dời lực soim s o n s (1-1-1 1), ta có: F,\m. = m n (F.) F2~ [Fộ,m2 = m 0 (F2)], F ',m k = m 0 (Fk) ư~> 0 F,Pm n = m o ( F ..)]- Hình 1-2-1 16
Kết quả có hệ lực đồng quy: (Fj,F2 ,F3 ,...F^) đặt tại o và hệ ngẫu lực với các mômen (m],m2,m 3,...mn) . Theo tiên đề 3, thay hệ lực đồng quy bằng một lực tổng hợp: r ' = f ; + f '+ ... f;; = x f '= X F k Theo cách hợp các ngẫu lực, thay hệ ngẫu lực mk bằng một ngẫu lực tổng hợp theo công thức (1-1-14): M q = in, +rrii +...mn = Z mk • 2. Kết quả thu gọn Gọi: R' = X F k (1-2-1) là véctơ chính của hệ lực đã cho và: M o = I m k = 2 > o ( F k) (1-2-2) là ìnỏmen chính của hệ lực đã cho đối với tâm thu gọn. K ết quả: Trong trường hợp tổn q quát, khi thu gọn hệ lực phẳng về m ột tâm được một lực vù m ột ngẫu lực. Lực này được xác định bầng véctơ chính của hệ lực và ngẫu lực cỏ Iiiòmcn bầììạ m ỏ m en cliín h c ù a hệ lực d ã ch o đ ố i với tâm thu qọn: (F,,F2,Fv ..Fn)~ (R',M0 ) (1-2-3) Chú ỷ: + R' không phụ thuộc vào tâm thu gọn (vì luôn bằng te ng hình học các lực đã cho); còn M q nói chung phụ thuộc vào tâm thu gọn, vì nếu thu £,on về o được (R,M q ), còn ihu oọn về O, sẽ được (R |,M 0 ) , mà theo định lý dời lực theo phương song song (1.1.11) thì (R |) ~ ỊR,m0 (R| )J. Kết quả: 'R,M 0 ] ~ [ R 1,M 0 | ] ~ [ R , M 0 l,m 0 (R1) ] ^ ( M 0 )~ Ị M 0 l,m0 (R1)]. Lượng biến thiên mômen chính bằng m0 ( R |) : M0 = M 0 l + m 0 (R,). (1-2-4) + Mômen chính M q được xác định theo công thức (1-2-2), véctơ chính được xác định qua hai hình chiếu R '|R x , Rý Ị : R'x=SXk ; r ; (1-2-5) 17
Trị số và phương chiều của R' được tính theo công thức: I-------- 7---------- 77 R' R'v R' = J( V R' ) -t-(R! ) ; x -• coscx = K pR ' cosB = R ' ỊR? ' ■ trong đó: Fk {Xk,Yk} , còn a,p là cóc eiữa R' vói hai trực tọa độ x,y. 3. Các dạng chuẩn. Định lý Va-ri-nhông Trong trường hợp tổng quát, khi thu gọn hệ lực phẳng về một tâm được một lực và một nqẫu lực. Tuy nhiên, tuỳ thuộc vào sự tổn tại của R' và M0 , có thế xảy ra các trươnu hợp sau đây: a) R ' = 0 v à M q = 0 , —» (F 1, F 1,F 3,...F n ) ~ 0: h ệ lực đ ã ch o cân b ằng. b) R '= 0 và Mq * 0 > (F| ,Fi,F 3 ,...Fn) ~ M0 : hệ lực đã cho tương đương với một ngẫu lực. Trong trường hợp này, M0 không phụ thuộc vào tâm o vì theo (1-2-4) mo (R') = 0. c) R' * 0: hệ lực đã cho bao giờ cũng có hợp lực. oH o- -tỏ Ổ 0' + Nếu Mo = 0 thì hợp lực R' đặt tại tâm thu gọn; + Nếu Mq ^ 0 thì theo định lý H ình 1-2-2 dời lực song song, ta biến đổi M, ( r ',Mc)) ~(R',R,Rff)~ (R ) với R" = -R ',R = R' và d = —9., hơp lực đặt tại O' (hình 1-2-2). Đ ịnh lý Va-ri-nhông: Khi hệ lực có hợp lực, môrnen cùa hợp lực đối với điểm o bứt kỳ bằng tổng mômen các lực ỉ hành phần đối với cùmỊ điểm ấy. Thật vậy, theo công thức d = —— suy ra: Mq = d.R = m()(R). (a) Mặt khác: M0 = X mo ( ĩ \ ) - (b) So sánh (a) và (b), có kết quả: m0 (R) = £ m 0 (Fk). (1 -2-6) 8
4. Ví dụ thu gọn Cho đập nước có trọng lượng các phần Q ,=12000kN , Q2 =6000kN và các áp lực nước p, = 8000kN và Pt = 5 2 0 0 k N tá c dụng ( h ìn h 1 -2 -3 ). Thu gọn hệ lực đã cho về tâm o . Cho H = 4 m , h = 2 ,4 m , a = 5m , b = 1 0 m , tga = 5/12 . B ù i giải: H ìn h 1-2-3 Thu gọn hệ lực về tâm o là phải xác dịnh R { R ; = I X k, R ; = I Y kỊ và MD = E m0 (Fk); R'x = P2 cosa - p, = -3 2 0 0 k N ; Rý = -Q | - Q, - Pt sin a = -2 0000k N ; Ma = PịH - Q ị —+ Q t ———-B> cosa.h + p9 s in a [ b - a - h .t g a ] = 8480kNm . '2 i 3 Vây hợp lực các lực đã cho có các hình chiếu trên hai trục tọa độ: R'A = 3200kN ; R'y = 20000kN . Phương trình đường tác dụng của hợp lực: M0 -x R y +y.R'x = 0 , hay: 1 25x-20y + 53 = 0. II. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG CỦA HỆ L ự c PHẲNG 1. Điều kiện cân bằng tổng quát Đ ịnh lý: Điều kiện cần và đủ đ ể hệ lực phẳng cân bằng là véctơ chính và mômen cliíiìh đ ề u b ằ n g kh ô n g : R' = 0 và M0 = 0 . (1-2-7) Điều kiện cần là hiển nhiên. Điều kiện đủ: R' = 0 và M0 = 0 thì hệ lực đã cho cân bằng. Thậtvậy, nếu giả thiết hệ lực đã cho không cân bằng, theo điểm b, c của mục 3, phần I của chương này, hệ lực sẽ tương đương với một ngẫu lực hay hợp lực. Điều này trái với giả thiết. 19
2. Các dạng phương trìn h cân bằng a) Dạng 1 (cơ bản): R' = 0 và M0 = 0 khi và chỉ khi R'K=0; Rý = 0 và M0 = 0. Kết quả: x x k = 0 ; Z Y k = 0 ; I m o (Fk) = 0. (1-2-8) Đ ịnh lý: Điều kiện cần và đủ dê hệ lực phang cân bân lị là lổriíỊ hình chiếu các lực lên liai trục tọa độ và tổng m óm en cức lực dổi với điểm bất kỳ déỉi bcìnq không. b) D ạ n g 2: Đ ịn h lý: Đ iều kiện c ầ n và du d ể hệ lực p h a n g cán bânq là tổng m ỏ m en các lực đổi với hai điểm A, B bất kỳ và tổng hình chiếu các lực lên một trục không vuông góc với doụn A B đ ề u b ằ n g không. Z m A(Fk) = 0 ; I m B(Fk) = 0 ; z x k =0 (1-2-9) trong đó: trục X không vuông góc với đoạn AB. Điều kiện cần trong (1-2-9) là hiến nhiên. Điều kiện clú được chứng minh như sau: G iả th iế t h ệ lự c đ ã c h o th o a rn ãn đ ié u k iện (1-2-9): M ^ ) = 0 và M ị 5 -= V 1n J ( ỉ ' Y ) = ( ) Theo tính chất biến thiên niòmen chính (1-2-4): M a = M b + m Ai R B) = 0 - > M a - M b - m A( R B) = 0 . Nếu Rg ^ 0 thì nó phải nằm trên dường AB. Lúc đó nếu chiếu R r lèn trục X khónịi v u ô n g g ó c với A B th ì R Bv = ^ x k ^ 0 - V ậ y m u ố n R B = 0 thì y x k = 0 . C òn n ế u R B = 0 thì m ô m e n c h ín h k h ô n g p h ụ th u ộ c v ào tâm thu g ọ n : M A = M B = M (). K ết quá, các phương trình (1-2-9) thoả mãn thì R =0; M() = 0. c) Dạn 2 3: Ngoài các phương trình dạng (1-2-8) và (1-2-9) có thể clùnụ ba phương trình mômen đế viết các phương trình cân bằng: Z m A(Fk) = C ; X n iB(Fk) = 0 ; I m c (Fk) = 0, (1-2-10) trong đó: ba điểm A, B và c khône thẳns hàng. Chú Ý:Nếu trong bài toán có mómen M tác dung, trong phương trìnhmômen sẽ có thêm thànhphần M, như trong các phương trình dạng (1-2-8) được viết như sau: ỵ mo (Fk) + M = 0. 20
3. Các phương trình cân bằng của các hệ lực phảng đặc biêt a) Hệ lực phẳng đồng quy: gồm các lực có đường tác dụnggặpnhautạimộtđiểm. Nếu chọn điểm đồng quy làm tâm thu gọn, thì phương trìnhXrn0 (Fk)trong(1-2-8) tự thoả mãn. Vậy kết quả, hệ lực đồng quy có hai phương trình cân bằng: z x k =0 ; Z Y k =0. (1 -2 -1 1 ) b) Hệ lực phẳng song song: gồm các lực có đường tác dụng song song nhau. Nếu chọn trục y song song với các lực thì phương trình tư thoả mãn. Vậy đối với hê lực phẳng song song chỉ có hai phương trình cân bằng: I Y k = 0 ; I m o (Fk) = 0 . (1-2-12) hoặc: X m A(Fk) = 0 ; £ m B(Fk) = 0 (1-2-13) trong đó: đoạn AB không song song với các lực. 4. Các ví dụ Ví dụ ỉ : Hai thanh AC và BC không trọng lượng nối với nhau và với tường bằng các bản lề A, B và c. Tại c có treo vật nặng p (hình 1-2-4). Tìm lực của hai thanh AC và BC lác dựng vào bản lề c . Bài giúi: Khảo sát bản lề (nút) c và vật nặng p. Các lực tác dụng: trọng lượng p, phản lực của hai thanh AC và BC tác dụng lên c là p,,p, . Điều kiện để bản lề c cân bằng: (P,P„P2) ~ 0 . Đ â y là hệ lực đ ồ n g q u y. Chọn trục X nằm ngang và trục y thẳng đứng, ta có hai phương trình cân bằng: £ X k = P ọ S Ìn a -P , = 0 ; H ìn h 1-2-4 V Yk = P2 co s a - p = 0 . Từ hai phương trình này, ta có: Pị = Ptga , p2 = cosa Ví dụ 2: Cho thanh AB đồng chất nặng Q = 200N liên kết với tường thẳng đứng bằng bản lề A và gối di động c. Trên thanh có tác dụng ngẫu lực với mômen M = 50Nm và tại 21