Giáo trình Đại số hiện đại (Phần 1: Đại số trừu tượng): Phần 1

Chia sẻ: Sơn Tùng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:62

Thêm vào BST

Báo xấu

636
lượt xem 98
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 cuốn sách giáo trình "Đại số hiện đại (Phần 1: Đại số trừu tượng)" cung cấp cho người học các kiến thức: Sơ lược về lý thuyết tập hợp (tập hợp và các phép toán trên tập hợp, ánh xạ, quan hệ, tập tương đương,...), nhóm (định nghĩa và ví dụ về nhóm, nhóm con, nhóm con chuẩn tắc,...). Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Đại số hiện đại (Phần 1: Đại số trừu tượng): Phần 1

\ 0 Á/ị, ^ o 2* I o --------------------------------------------------------------------------------------------- y íiria i B ộ S Á C H C A O H Ọ C V IỆ N T O Á N H Ọ C NGUYỄN T ự CƯỜNG GIÁO TRÌNH Ạ l S Ổ ' H I Ệ N Đ Ạ C õ ;iĩ Hà Nộ i NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
BỘ SÁCH CAO HỌC - VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN T ự CƯỜNG V iện T oán học Trung tủm Khoa học Tự nhiên và Cônạ lìíỊlìệ Qitổc íỊÍư GIÁO TRÌNH ĐẠI SÔ HIỆN ĐẠI • • • Phần I: Đại sô trừu tượng NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP G S T R Ầ N Đ Ứ C VÂN {Chú tịch) P G S P H A N H U Y K H Ả I { T h ư ký) GS HÀ HUY KHOÁI GS PHẠ M H Ữ U SÁCH G S N G Ô V IỆ T T R Ư N G G S H O À N G TỤ Y G S Đ Ỗ L O N G V ÂN
MỤC LỤC T rang M Ờ ĐAU ....................................................................................................................... 5 C h ư ơ n g I. S ơ L Ư Ợ C V Ê L Ý T H U Y Ế T T Ậ P H Ợ P ................................ 9 §1. T ậ p h ợp và các phép toán trên tậ p hợp ................................................ 9 §2 . Ánh x ạ ............................................................................................................. 11 §3. Q uan hệ .......................................................................................................... 12 §4. T ậ p hợp tư ơ n g đ ư ơ n g .............................................................................. 15 §5. Tiên đề chọn và các m ệnh đề tương đư ơng ...................................... 17 Bài tậ p .....................................................................................................................20 C h ư ơ n g II. N H Ó M 22 §1. Định nghĩa và ví dụ về nhóm .................................................................. 22 §2. Nhóm con, Định lý Lagrange .................................................................. 25 §3. Nhóm con chuẩn tắc ....................................................................................29 §4. Đồng cấu n h ó m ..............................................................................................31 §5. Phạm trù và hàm t ừ ....................................................................................36 §6 . Nhóm Abel hữ u hạn sinh ..........................................................................47 Bài tậ p ..................................................................................................................... 58 C h ư ơ n g III. V À N H , T R Ư Ờ N G V À V À N H Đ A T H Ứ C 63 §1 . Các định nghĩa và ví d ụ ............................................................................ 63 §2. Iđêan và đồng cấu vành ............................................................................ 67 §3. V ành giao h o á n .............................................................................................. 72 §4. Vành các p h ân th ứ c .................................................................................... 78 §5. Vành đ a th ứ c ................................................................................................. 83 §6 . V ành G a u ß ......................................................................................................... 87 Bài tậ p ...................................................................................................................... 92
i Giáo trình đ ạ i s ố h iệ n đ ạ i I * * C h ư ơ n g IV . M Ô Đ U N 97 §1. Các định nghĩa và ví dụ ............................................................................. 97 §2. Đồng c ấ u ......................................................................................................... 102 §3. T ổ ng v à tích trự c tiếp .......... .................................................................. 105 §4. Dãy hợp th àn h, Định lý J o rd a n -H ö ld e r-S c h n e id e r.......................... I l l §5. Tích ten x ơ ..................................................................................................... 116 §6 . Dãy khớp ....................................................................................................... 122 Bài tậ p .................................................................................................................... 129 C h ư ơ n g V. M Ô Đ U N T R Ê N V À N H G IA O H O Á N 133 §1. M ôđun nội x ạ ................................................................................................ 133 §2. M ở rộng cốt yếu v à bao nội x ạ ............................ ................................. 140 §3. M ôđun x ạ ảnh ............................................................................................. 146 §4. M ôđun N o e t h e r ............................................................................................. 153 §5. M ôđun A r t i n .................................................................................................. 159 §6 . P h â n tích m ô đ u n nội x ạ ........................................................................... 165 Bài tậ p .................................................................................................................... 169 T À I L I Ệ U T H A M K H Ả O ................................................................................ 173 C H Ỉ D Ẫ N T R A C Ứ U T Ừ K H Ó A .............................................................. 175
M Ờ ĐẦU Có thể nói lằ n g mọi ngành toán học hiện đại ngày nay trong qu á trình p h á t triển đ ều cần tới các cấu trúc đại số và t ấ t nhiên cả nhữ ng hiểu biết sâu sắc về các cấu trú c này. Điều nàv củng dễ hiểu, vì t a biết lằ n g hai đặc trư ng cơ bản n h ấ t của toán học là tính trừ u tư ợ n g và tính tổ ng quát, mà hai đặc tính này lại biểu hiện m ột cách rõ ràng n h ấ t trong đại số. Đã có rất nhiều sách về đại số của các tác giả Việt Nam hoặc dịch từ tiếng nước ngoài đưực x uất bàn ờ Việt Nam, trong số đó có nhiều quyển đ ã tr ở th à n h kinh điển và được sử dụng làm giáo trìn h giảng dạy, th a m khảo cho sinh viên học toán trên khắp th ế giới. Vì vậy, viết một giáo trình mới về đại số là m ột việc làm rất khó khàn, n h ấ t là khi tác giả không muốn rập khuôn hay sao chép lại từ ng phần các giáo trìn h đ ã có. Cuốn sách này đư ợc viết d ự a trê n các bài giảng về đại số cùa tác giả trong vòng 10 năm tr ờ lại đ âv cho học viên cao học và nghiên cứu sinh tại Viện Toán học và m ột số trư ờ n g đại học trong nước, cũng như các bài giảng trong 4 năm gần đây cho các lớp cử n h ân tài năng thuộc T rư ờn g Đại học Khoa học T ự nhiên, Đại học Quốc gia H à Nội. Nó đư ợc viết hướng tới hai mục tiêu: Mục tiêu đ ầ u tiên, giống như mọi giáo trìn h về đại số, là n h ằ m cung cấp các cấu trú c đại số cơ bản n h ấ t m à không đòi hỏi người đọc phải có b ất cứ kiến th ứ c chuẩn bị về đại số nào trư ớ c đó. ngoại tr ừ m ột chút yêu thích toán học. Mục tiêu th ứ hai cùa cuốn sách là trìn h bày các khái niệm, cấu trú c đại số dưới m ột ngôn ngữ tô n g qu át, thống n h ấ t với sự chú trọng nhiều h ơn các' tính phô dụng của các khái niệm. Nói cách khác, tá c giả m uốn người đọc nhận th ấ y các mối qu an hệ qu a lại giữa các khái niệm, cấu trú c đại số khác nhau và khuyến khích cho nh ữ ng t ư duy tổng quát, tr ừ u tư ợ n g h ơ n nữa. Do đó, giáo trìn h này đ ư ợ c viết theo phương pháp đi t ừ t r ừ u tư ợ n g đ ến cụ thè, là m ột việc làm trái với h ầu h ết các cuốn sách đại số trư ớ c đây. Bù lại, phương p h á p này cho phép t a có m ột cách nhìn tổ ng th ể hơn, r ú t ngắn đán g kế cách trìn h b ày vì dễ đàng đ ư a các cấu trú c khác n h a u vào tro n g một khái niệm và giúp người đọc làm quen với phương ph áp t ư duy hình th ứ c
6 Giáo trình đai s ổ hiên đai là phương pháp quan trọng n h ấ t trong đại số. Tuy nhiên đẽ giảm hớt tính hình thức, sau mỗi khái niệm tr ừ u tư ợ n g chúng tôi cố gắng đ ư a ra nhióu ví dụ khác nhau n h ằ m giúp cho người đọc dễ hình dung và tiếp nh ận ill rực khái niệm này. Sách bao gồm 5 chương. C hương I trìn h bày vắn t ắ t ve lý rh u y ết tậ p hợp, ánh xạ, các quan hê n h ằ m thố n g n h ấ t các ký hiệu tiện cho các chirưng tiếp theo. Trong chương II vé lý thuyết nhóm, chúng tòi bỏ qu a n h ư n g cấu trúc nửa nhóm, tiền nhóm m à đi ngay vào định nghĩa nhóm. C h ú n g tỏi củng bỏ qua phần lý th u vết nhóm h ữ u hạn mà (lành trìn h bày kỹ liưn vê cấu trú c nhóm Abel hữ u han sinh. K hái niêm p h ạm trù và hàrn tư cũn» đ ư ư c đ ư a vào chương này n h ằm phục vụ ngay cho cho việc định nghĩa các khái niệm quan trọng m ang tính phố d ụng của đại số trong suốt, giáo trin h một cách n h ấ t quán. Trong chương III về lý th u y ế t vành, có m ột chú ý là trono đ ịn h nghĩa một vành ta đòi hỏi sự tồn tại ph ần t ử đ ơ n vị. đ ây cũng là đ iề u m à nhiều giáo trình đại số khác không (lòi hổi. Lý do giải thích cho việc này là vì giáo trình đư ơc viết thiên nhiều hơn về vàn h giao hoán. C h ư ơ n g IV trìn h bày các định nghĩa và các khái niệm cơ bàn của lý th u y ế t m ô đ u n . cấu trú c quan trọng n h ấ t của đại số. Hai h à m t ừ q u an trọng n h ấ t của lý th u y ế t m oduli là hàm từ Hom và ten xơ cũng n h ư tín h ch ất đ ơ n giản đ ầ u tiên của chúng cũng được xét đ ến trong chương này. C hư ơ ng cuối cùng d à n h cho việc trìn h bày cấu trú c m ột số lớp m ô đ u n đặc biệt quan trọ n g như m ô đ u n nội xạ. m ó đ u n xạ ảnh, m ỏ đu n N oether và A rtin trê n vành giao hoán. N hư vậy. hai chương cuối của giáo trìn h cỏ th ể xom nliư là m ột sir chuấn bị kiến th ứ c khời (Táu cho nhữ ng đọc giả có Ý đ ịn h tiếp tục đi sâu vào nghiên cứu các n g àn h quan trọng cùa đ ại số n h ư Lý th u y ế t m ô đ u n trê n vành kết hợp. Đại số đồng điều hay Đại số giao hoán. Cuối mỏi chương cù a cuốn sách đ ều có phần bài tậ p đ ư ợ c chọn lọc. Các bài tậ p này không chỉ đò’ người đọc giải n h ằm t ự kiêm tr a sự tiếp th u n h ữ n g điều đã học, m à nhiên bài tậ p là những bô sung hay m ờ lộn g kiến th ứ c chưa có tro n g sách. Vì vậy. sẽ th ự c sự có ích nếu người đọc giải đ ư ợ c nhiều bài tập. Cuốn sách này đ ư ợ c viết ra với mục đích có thè dùng làm giáo trìn h đại số cho cho các lớp cao học hoặc dùng làm sách th a m khảo cho n h ữ n g sinh viên học về các ngành to á n lý th u y ế t và nghiên cứu sinh. T uy Ìiliiõn. vì các
M ờ đầu 7 khái niệm đều đư ợ c định nghĩa từ đầu, nên nó cũng có th ể bô ích cho nhữ n g ai muốn học thêm vồ đại số. Với mong muốn giúp cho đọc giả nhận được nhiều kiến th ứ c về đại số đại cương bằng m ột ngón ngữ hiện đại trong một cuốn sách nhỏ là m ột việc làm khó trá n h khỏi có nhiều th iếu sót. Vì vậy, tác già mong muốn nhận đ ư ợ c những nhận xét, góp ý của các đồng nghiệp và đọc giả về những th iếu sót của cuốn sách này. Tác giả xin chân th à n h cảm ƠI1 PGS. TSKH. Lê T uấn Hoa đ ã đọc kỹ toàn bộ bản th ảo và đóng góp nhi'éu V kiến quý báu để cuốn sách đư ợc tố t hơn. Tác giả xin chân th à n h cảm ơn GS. vs Nguyễn Văn Đạo đ ã quan tâ m đ ến hộ sách cao học của Viện Toán học, cám ơn Hội đồng Khoa học T ự nhién và Nhà x u ấ t bản Đại học Quốc gia Hà Nội đ ã giúp đ ỡ đê' cuốn sách đ ư ợ c x u ất bản. T á c g iả
Chương I s ơ LƯỢC v'Ẻ • l ý t h u y ế t t ậ• p h ợ• p Troiif> cliinnif* 111Ữ (lầu này. (hún g ta sò trình bày một cách sơ lưực về tậ p hợp. ánh xạ và quan hẹ. n h àm mục đích llumg nliất các ký liiộu và thuật ngữ (lược (lùm; troiifi, suốt hài J>iãii}ỉ, này. Phần cuối cua chương hàn về các dạng ti r a n t (hrưii" khác nhau n ia t it'll đe chọn. Vì chưa tìm th ấ y tài liệu tie n s Yii'l nào có rliứiiu, minh đầy d ù cho các tư ơng (lương này. nôn chúng ta sẽ dư a ra mọt clnrnti, minh đè bạn đọc tham kliào thêm. (¡1. T âp h ơ p v à các p h ép to á n trên tâ p h ơ p 1 . 1 . Đ in h n g h ĩ a . Tập hợp là một khái niệm cơ bản cùa toán học. nhưng lại là một khái niệm khỏng đ ư ợ c (lịnh nghĩa. Một cách trự c quail, ta có t lie liiru một tạp hợp n h ư là sự tụ tậ p những vật. những đối tư ợ n g hay nhữ ng kliiíi Ìiiẹm toán học ... đ ư ợ c xác định bùi một hay nhiều tính chất chung. Ta thườn» sư (lụng các chữ cái La tinh .4. 13. c ........V. Y. z hoặc chữ cái Hy Lạp co nlnr I . n . A . ... đè chi một tậ p liựp. Các vạt cùa một tạ p hợp X gọi là các phần tư của tậ p hợp đó. Một phần từ ./• cùa tạp lìcrp A' (linrc ký hiệu là .(• G A’. Nốu tất cà các Ị)hần tư cùa một tậ p hơp X đéu là phần tư cùa mọt tậ p litrp V t 111 ta nói tạ p lu/Ị) A’ là một tạ p hợp con của tậ p h ạ p y và ký hiệu là A ç V hay V D -V. T n rờ n g h ạ p X ç V và )' ç X thì ta nói rầiiíị tậ p hợp X hàn» tậ p lurp V và ký hiệu là -V = V. Nếu X ç V và X Ỷ till -V đ ư ợ c gọi là tậ p hợp coil thự c sự cua )' và ký hiệu là A' c V. Xác định một tạ p h ạ p là xác clịnh tất cà các phần từ cùa 11Ó. Có nhiêu cách đổ xác (lịnh một tạ p hợp. Đơn giàn nhất là liệt kè tấ t cà các p h ầ n tứ cùi» tạp hợp đó và (le trong liai (làu 111ÓC Cách thõng dụ ng th ứ liai là mo là một tậ p h ạ p qua các tính chất (lặc tn ru g của các p h ần t ử của tậ p hợp đó. C h ản g hạn ta viết À' = {.;■ I P{.v)} d ể nói rằng X là tậ p h ợp gồm t ấ t cả các phần từ .r tlioà m àn m ệnh (Tó P(.r).
10 Giáo trình đại s ổ hiện đại T ậ p hợp không ch ứ a m ộ t phần t ử nào đư ợc gọi là tập h ợp ròng v à ký hiẽu là 0 . 1.2. C á c p h é p t o á n t r ê n t â p h ơ p 1) Hợp. Hợp củ a hai tậ p hợp X và Y. ký hiệu A' u 1 . là tậ p h ạ p đ u ự c xác đ ịn h bởi X u y = {x I X € X hoặc X € Y ) . 2) Giao. G iao củ a hai tậ p hợp X v à Y. ký hiệu X n Y. là tậ p h ợ p đ ư ợ c xác định bời X n Y = {x \ X e X v à x e Y } . 3) Tích Descartes. Tích Descartes của hai tậ p hợp X và Y. ký hiệu X X là tậ p hợp đ ư ợ c xác đ ịn h bời X x Y = {z = ( x , y ) \ x e X , y e Y } . 4) Hiệu. Hiệu củ a hai tậ p hựp X v à Y. ký hiệu X \ Y. là tậ p h ợ p dược xác địn h bời X \ Y = {x \ X £ X v à X ị Y } . 1 .3 ệ C h ú ý . Các phép to á n hợp, giao, tích D escartes h o àn to à n có thố 111Ờ rộng cho m ột họ tù y ý các tậ p h ợp {(X ,) I i £ /} . ờ đ â y I là m ột tậ p chi số nào đó. Khi đó t a xác định: Ị J X i = {.r I 3 i e L x e X i } . iei f ] x t = { x I X e X i. Vi € /} . ieĩ = {c = {Xi)i£i I ẽ X i . Vi € /} . i€7 Đặc biệt, t a hay viết x n để ký hiệu cho tích D escartes củ a n - lần tậ p h ợp X .
Chư (nụì I. S ơ lược về lý thuyết tập hợp 11 §2. Á n h xa Cùng với khái niệm tậ p hợp. ánh xạ thuộc vào mòt trong Iihửng khái niệm vơ bán n h ấ t của toán học. 2.1. Đ i n h n g h ĩ a , (i) Một ánh xạ I' : X ----- ) ’ từ tạ p h ạ p X đ ến tậ p hợp V là một phép tinrng ứng mỗi một phần từ X G X duy nhất một ph an tư /'(.;•) G } ■T ậ p hợp X đ ư ợ c gọi là tậ p nguồn cua ánh xạ /’ và tậ p h ợp Y gọi là tậ p đích cua ánh xạ /’. (ii) /’ : X — • Y đ ư ợ c gọi là đ ơ n ánh liến với hai phần từ x , x ' G X tù y ý m à /'(./■) = f(x '), suy ra X = x '. Đặc biệt khi X c Y t h ì đ ơ n á n h /' : X — *Y x á c đ ị n h h ờ i /'(.;■) = v . r 6 À" đ ư ợ c gọi là phép nhúng tự n h iê n và ký hiệu là À' — ) (iii) /’ : X — * V d ư ợ c gọi là toàn ánh nếu với mỗi phần từ tù y ý ụ G Y luôn tồn tại ít nhất mọt Ịihần từ X £ X sao cho f(.r) = Ị/. (iv) /’ : X ---- - V đ ư ơ c gọi là song ánh nếu /’ vừa là (l z đưự c xác định hởi, h( x) = g( f ( x ) ) . \ / x G X là ánh xạ hợp thành cùa hai ánh xạ f. g và ký hiệu là lì = q o f. 2.2. C h ú ý. (a) Cho ánh xạ f : X — > Y và A là một tậ p hợp con củ a X . Ta gọi tập hợp /( .4 ) c Y xác định bời f { A ) = ị f ( x ) € y I X e A ) là ảnh của /1 qua ánh xạ /. Vây ánh xạ /’ là toàn ánh khi và chi khi f { X ) — Y. (1)) Cho B là m ột tậ p con tùy ý của y. ta gọi tậ p h ợp c X. đ ư ợ c xác đ ịn h bời = {.?• E X Ị /(.;■) G B }. là n g h ịc h ả n h c ù a D qua ánh xạ [. Bây giừ. già sử f là m ột song ánh. Khi đó, vì f ( X ) = Y. ta luôn có thè xay dựna, đ ư ợ c một ánh xạ. / nlnr sau: với y G Y tù y ý. tồn tại ./• e -V s a o c h o /(.;■) = ỵ. ta xác địnli f ~ x{ ỵ ) = X. D ự a \'ào t í n h đ ơ n á n h cùa [ la dỗ clnrn” minh dư ự c rằn g /’ 1 đư ợc xác định như trên là một ánh xạ . gọi là á n h xạ niỊirợc cua f. Khi đó ta thấy ngay rằng f~l o f = 1 Y và / o /■ 1 = l v . (V đ ày 1 V d ư ợ c ký hiệu cho ánh xạ đồng n hất trên tậ p hợp X . I ứ c 1 V (.;■) = .(■. v.c E -V.
12 Giáo trình đại s ổ hiện dại 2.3. BỔ đ ề . Cho f : X — > Y và q : X — » z là ¡lai ánh xạ giữ:ì các tập hợp. K hi đó các đicu kiện sau đ â y là tương đương: (i) Tồn tại m ộ t ánh xạ h : Y — ♦ z sao cho g = h o Ị . . (ii) Với các phần từ XI , X 2 G X t ù y ý. neu f ( x i) = ™ y(-r i) = 9{x 2 )- Chứng minh. (/) = > (li) : Già sừ /(./■ 1) = T ừ g — h o f til M1V ra g(d-1 ) = /ỉ o /(.(•]) = / ỉ ( / U i ) ) = h{f(.r->)) = h o /(.!■>) = f/(■'■-') • (Ü) = > (i): Xét tư ơ n g ứng h : Y I— > z đ ư ợ c xác định ülur Sein: - Nếu y 6 f { X ) . tứ c tồn tại X G X sao cho f ( x ) — ỊJ. khi (ló ta đạt h{y) = g(x). - Nến y ị f ( X ) . ta chọn m ột phần t ử : e Z cố đ ịn h rồi d ặ t /?(H() cho f o h = ly . (iii) f là song ánh khi và chi khi tòn tại hai ánh xạ q : y —- X và h : Y — > X sao cho g o f = l ỵ và f o h = l y . Chứng minh củ a đ ịn h lý dễ dàng đ ư ợ c suy ra t ừ Bô đ ề (2.3). chúng tôi xem như là m ột bài tậ p đ ơ n giản cho người đọc. §3. Q uan hê Trong tiết này t a sẽ xét hai loại quan hệ hai ngòi q u a n trọ n g Iihất. đ ó là quan hệ tư ơ n g đ ư ơ n g và q u a n hệ th ứ tự. 3 ẵl . Đ i n h n g h ĩ a . C ho X là một tậ p hợp. Ta nói rằn g o là mọt q u a n hộ n-ngôi trên X Iiếu Í2 là một tậ p con của tích Descartes .V". Đặc biẹt. khi n là m ột quail hệ 2-ngôi trê n X . thay vì viết (ci.b) e n người ta viết là HÍV>.
Chương I. S ơ lược ve lý thuyết tập hợp 13 3.2. V í d u . Trên tậ p hợp N t ấ t cà các số tự nhiên t a xác định quail hệ 2 -iißöi O Iiliir s a u : 1 ) O — ị{r)ị.n>) G N “ I đcu là những số chẵn}. Ta nhận th ấ y raus, từ Iiịíhh) suy ru r iìíh iị. nhưng lú h i là không điíng với mọi số lè n. Trong trư ờ n g h) G N 2 I ri] chia hết cho 7?2 }- Ta dễ nhận th ấ y rằn g nQĩi vtVi moi II G N . nhưng từ ĩ) ịíìiì '2 nói chung không suy ra v¿íiri\. Vậy trong t n r à n g lurp này quan hộ 2 -ngói íì là phán xạ nlnrng không là đối xứng. ■i) ỉ ì = {(il \ . n>) € N " I ưức số clnuig 1Ứ11 n h ấ t (/í 1. /ỉ 2 ) / 1} u {(1. 1)}. Rõ làng quan họ liai ngôi mới này là phàn xạ và đối xứng, nhưng từ lìịÍ Ì 7>2 và nói filling kliỏng suy ra ri.ịíhiiị (2fì(j và 6 0 3 nhưng ta không có 2Í23). Ta nới (jua.il hệ liai ngòi trong ví clụ này là Ị)hàn xạ. đối xứng như ng không là hắc call. Dẻ th ấ y ran g các quan hệ liai ngôi trong các ví dụ (1) v à (2) đồu là hac cầu. Ví dụ 3.2 cho ta th ấ y có rất nhiều quan hệ hai ngôi th ú vị trên m ộ t tậ p hợp cho tnrức. Sau đ ày chúng ta sẽ đ ư a ra hai loại quan hệ đặc biệt quan trọng trong dại số. 3 . 3 Ỗ Đ i n h n g h ĩ a . Một quan hệ 2-ngỏi ũ trẽn tậ p hợp X đ ư ợ c gọi là quan Ilf lirtnụ/ dưi/iụ/. nếu 11Ó tlioà mãn các tính chất sau. (i) Phàn .rạ: .tíì.r. v.r G X . (ii) Dối TỨmy. .VÍÌỊ/ = > fjQ.r. V./-,// G X . (iii) Bắc rầu: -I'íifj. fjílz ==> ẳríìz. v . r . y . z G X . Khi quail hộ tmrnji, đ m n i ” íì đ ã d ư ợ c xác đ ịnh trên À”, thay vì viết x í ìụ Iigưừi t a t h i n n i e , v i ế t ./• ~ Ị/. 3.4. C h ú ý . C ho rỉ là m ột quan hộ tư ơ n g đ ư ư n g trên tậ p hợp X và X Ễ X . l a gọi tậ p hợp íì(.r) = {ị/ e X I y ~ X } là lớ]') tư ơ n g đmniíỉ, cùa X theo quan hộ tư ơ n g đ ư ơ n g ÇI. Dỗ th ấ y rằng- - íì(.v) Ỷ V1 Ễ í?(.r). - l ù . Y «(■*•) = -Ỹ. - V.r. í/ G À \ hoặc í ì ự ) = í ì (y) hoặc í ì (x) n f l (y) = 0. T h ậ t vậy, nếu c e íì(.r) n V.(Ị/). ta suy la c ~ X và z ~ y. Do quan hệ f) có tính dối
14 Cilio Il ình đai so hiên đai xứng và bắc cầu, nên X ~ Ị). Điều này chứng tỏ hoặc íì(.r) = H(y) hoặc Í2(.r) n Í2(y) = 0. v.ỉ.ắ. y € X. Vậy ta n h ận đưựC' m ột p h â n hoạch của A' qua các lcVp tư ơ n g đ ir a n g í ?(./•). T ậ p hợp t ấ t cà các lớp tư ư n g đ ư ơ n g này đ ư ợ c ký hiệu là x / í ì và gọi là tậ p hợp th ư ơ n g của X q u a qua.il hệ tư ơ n g đ ư ơ n g Í2. Hơn n ữ a t a có th e xác định m ột ánh xạ 7T : X — * X / Q . 7r(.r) = Q (.r)ếV.r e X và gọi 11Ó là ánh xạ chính tắc sinh ìxri qu an hệ tư ơ n g đ ư ơ n g Q. 3 .5 . Đ i n h n g h ĩ a . M ột quail hệ ã2-njỉ;ói Q trên m ột tậ p hự p X (lược «ọi là quan hệ thú tụ bộ phận n ếu q u a n hệ đó là p h à n xạ. l)ắ(ề cầu và ph(in đói rứiiỊi (nghĩa là, từ x i l y . y í ì x = > X = y, v.r. y € X ) . Khi trên tậ p h ợ p X có m ột quail hệ t h ứ tự hộ ph ận Q thì ta nói X là m ột tập hợp đ ư ợ c sắp thú tự bời íì. T h ô n g th ư ờ n g người ta d ù n g ký hiệu < d ể chì một (ịuan hệ t h ứ t ự bộ pliận. Hai phần tử x. y e X đirợc »,ọi là so s á n h đ ư ợ c đối với qu an hệ t h ứ t ự bộ ph ận < nếu hoặc .V < ỊJ hoặc y < r . Clio A là m ột tậ p h ợ p COI1 cùa tậ p hợp X và X e X . Ta nói rằ n g là một cận d ư ớ i (cận trên) của tậ p .4 tro n g tậ p X nếu .r < a (« < x ) . \/a G .1. Đạc biệt, một ])hần từ X e X được gọi là phần từ c ực đại ( c ự c t i ê u )
C hư ơng I. S ơ lược, vê lý thuyết tập hợp 15 3) Quail hệ t h ứ t ự th ô n g th ư ờ n g trên tậ p hợp t ấ t cả các số t ự Iihiên N là m ột quan hệ th ứ t ự tu y ế n tính, hơn n ữ a nó là m ột quan hệ th ứ t ự tốt. §4* T â p h ơ p tư ơ n g đ ư ơ n g 4 .1 . Đ i n h n g h ĩ a . Hai tậ p h ợ p X v à Y đ ư ợ c gọi là tư ơn g đ ư ơ n g , ký hiệu là X ~ Y . nếu tồn tại m ột song ánh / : X — ♦ Y. Khi đó t a cũng nói rằ n g X và Y có cùng lực lượng. 4.2. C h ú ý Ệ Rõ ràn g q u a n hệ “tậ p hợp A' tư ơ n g đ ư ơ n g với tậ p hợp Y " th oả m ã n các tín h ch ất sau: - P h ả n xạ: X ~ X , vì l ỵ : X — > X là m ột song' ánh. - Đối xứng: X ~ Y = > Y ~ X , vì / -1 : Y — > X cũng là m ột song ánh. - Bắc cầu: X ~ Y, Y ~ z = > X ~ z , vì, từ / : X — Y và g : Y — > z là song ánh, suy ra h = g o f : X — » z cũng là m ộ t song ánh. Vậy. nếu cho m ột họ các tậ p hợp E nào đó thì q u an hệ ~ xác đ ịn h trên E là m ột qu an hệ tư ơ n g đ ư ơ n g theo nghĩa của (3.3). 4.3 . BỔ đ ề . P h é p lấ v tích Descartes và h ợp là bào toàn tính tư ơ n g đương. Nghĩa là, neu X ~ X \ và Y ~ Y\ thì các m ện h đề sau là đúng. (i) X X Y ~ X i X Yi. (ii) Girl thiết, th e m rằ ng X n Y = X \ n Y] — 0 thì X u Y ~ X \ u Fj. Chứng minh. T h eo giả th iế t, tồn tại các song ánh / : X — » X i v à g : Y — > y ị. Ta xây d ự n g n h ữ n g á n h x ạ mới n h ư sau: ộ ; X X y — * X i X Y ị , ộ { x . y ) = ( f ( x ) , g ( y ) ) , V x 6 X , V y e Y. f ( z ) , nếu 2 G X , X uy X i u Yi, ip(z) = g{z). nếu 2 e Y. Dỗ kiểm t r a th ấ y r ằ n g 0, ọ là nh ữ n g song ánh, bố đề đ ư ợ c chứ ng minh. □ 4.4 . C h ú ý . Một cách tư ơ n g t ự t a có th ể chứng m inh m ệnh đ ề tổ n g q u á t của Bô đề 4.3 cho nhiều tậ p h ợ p như sau: Cho (Xi)iç' j v à (> '),£ /. là hai họ các tậ p hợp với I là m ộ t tậ p chì số nào đó (có th ể có vô hạn p h ầ n tử ). Giả sư rằng X ị ~ y ị. V/ € / . Khi đó II a i£l!Ị' ¿6 /
IG ^ẽni() i n n fl dại so bien dại i€l i€í 4.5 . Đ i n h lý C a i i t o r - B e r n s t e i n . Cho X . Y lả hai tập hạp. s ế u X tư ưng đ ư ơ n g vói m ộ t rập h ợ p con cûa Y và Y rương d ư ơ n g với m ộ t tậ p Ììơp con cùa X Thì X rư ơ n g đ ư ơ n g với y. Chứnq minh. T heo giã th iết, tồn tại A’i ç A’ và )'i ç V sao cho A"i ~ Y. V] — X . Giã sử f : V ---- -V] là một soiiq ánh. Đật A’ . = 1 ). \~1 y A' ~~ Vi. 1 — X-2 - suy ra A" — A’_>. Vậy. tồn tại một so n s failli g : X — - A ). Đặt A'o = -V và qu a còng tlil'rc tru y chứng -Y„+ 1 = , - D 2. Bảy giờ ta dẻ th ấ y các tậ p h ọ p A". A l có thẻẽ biểu dien đ ư ợ c n h ư sau X — D L D \ u [|A 1 A ọ ) L ( A 3 \ A 4 ) u (Ar, \ A o )...]. A 1 — D ^ D2 w !(A ] A 2 ) o (A :ị A 4 ) u (A 5 \ A ())...]. Lai đãt Dị — (- \ 1 A 2 ì w I A'-i A jí J (A.i \ A (j) u... .
Chư ơn g I. S ơ tược ve. tý thuyct tập hợp 17 ta nhặn được À' = Dị u {D u £>:()• A'| = D-2 u { D u D :i). Một lầ.11 nữa. áp dụn g C hú ý (4.4) và (**) ta suy ra. X ~ A 1. Theo giã th iết bail đ ầu thì A'l ~ Y. Vậy A” ~ Y v à định lý đ ư ợ c chứng m inh hoàn toàn. □ §5. T iên đ ề ch o n v à các m ên h đ ề tư ơ n g đ ư ơ n g Tiên đề sau đ â y giữ m ột vai trò r ấ t quan trọng trong lý th u y ế t tậ p hợp. đặc biệt là cho việc nghiên cứu cẻác tậ p h ạ p vó hạn. 5.1. T i ê n đ ề c h o n . Clio X là m ộ t tập ìiợp tù y ý. KÌ 1 Ĩ dó luôn tồ 11 tụi m ộ t chill xạ ự} : 2a — ' À' stio cho ự>(A) e A . \ / A ç X . A ^ 0. Ả n h xạ ọ đ ư ợ c gọi là ánh xụ cìiọn trôn tập h ạ p X . Trong m ột thời gian dài trư ớ c (lảy. rất nhiều nhà toán li(ểic m uốn xem tiên đề chọn như là m ột đ ịn h lý và cố gắng chứng minh 11Ỏ. Việc này đ ã đ ư a đ ến nhữ ng tra n h cãi lâu (lài, đặc biệt đ ã đ ặ t ra cho logic to á n và lý th u y ế t tậ p hợp nh ữ ng v ấ n đ ề lấ t khó kh ăn và qua .11 trọng. Mãi đ ế n khi người ta nh ận ra làng, có nliiồu đ ịn h lý cơ b àn của toán học chỉ có thê chứng m inh d ư ợ c chặt chõ nếu người ta cõng n h ận tiên đề chọn như là mọt tien đồ. Và h(rn nữa. chúng CÒ11 tư ơ n g đ ư a n g với tiên đề chọn. P h á t hiện sau cùng này đ ã chấm d ứ t mọi tra n h cãi x u n g q u an h việc công nhộn tiên đồ chọn hay không. Sau đ ây ta sẽ đ ư a ra m ộ t số đ ịn h lý quan trọng trong lý th u y ế t tậ p lic/p tư ơ n g đ ư ơ n g với tiên đ ề chọn. ——------- ------— Clio .V là một tậ p h ợ p đ ư ợ c sắp th ư M M Q Ç M k p m v A H a X (lược gọi là một xích của X . nếu A với quan ĨRIÍNGTẲMỌGiiIỆU 1ỢỊ) X lập th à n h mót tậ p hự]) (hrợc sắp tiivến till 1. Một x í c h .1 cùa m ộ t t ậ p licrỊ) đ ư ợ c sTtp HrtT-Ht V rìir
IX Gián trình đại s ố hiện đại (iv) (BỔ đ ề T e i c h m i i l l e r - T u k e y ) Cho X là m ột tập hợp và Ằ' In một họ không rỗng những tập h ợp con của X có tính chất: m ột tập hợp con .4 cùa X thuộc ràn họ X khi và. chi khi mọi tập hợp con. hữu hạn phán từ cũn A thuộc X. K h i đó X chán ít nhất m ộ t phần tủ rụcả đại theo quan hệ bao hàm trong tập hợp. Chúng minh. Ta sẽ chứ ng m inh đ ịn h lý theo lược đồ san đây: Tiên đ e chọn = > ( i ) = > (ii) = > ( i i i ) = > ( i v ) = 4> tiên đề chọn. Tiên đê chọn = > (i): T rư ớc hết ta địn h nghĩa m ột vài th u ậ t ngữ mới. can thiết cho chứng minh. Một tậ p h ợ p con B của một tậ p h ợ p đ ư ợ c sắp hoàn toàn A đ ư ợ c gọi là m ột đoạn củ a A. nếu với b G B tùy Ý. th ì {x € A I X < b} C B . Bây giờ. giã sử B là m ột đ o ạ n của A v à B Ỷ A. Vì A \ B ^ 0. tồn tại phần tử cực tiểu b tro ng t ậ p h ợ p này. T a dễ d àn g suy ra B = { x E A \ X < b và X ^ b}. Khi đó t a nói đ o ạ n B đ ư ợ c sinh bời b tro n g tậ p h ợ p A và ký hiệu B = [.4.6]. T rớ lại chứng m inh đ ịn h lý. Clio X là m ộ t tậ p h ợ p tù y ý. T heo tiên đề chọn t a có một á n h xạ *p xác đ ịn h trê n tậ p h ợ p t ấ t cả các bộ p h ậ n của X . sao cho với mỗi tậ p h ợ p con khác rỗng Y củ a X xác đ ịn h m ột p h ầ n t ử >p{Y) G V. Ta gọi m ột tậ p h ợp coil A của X là tốt. nếu nó là m ột tậ p h ợ p đ ư ợ c sắp th ứ tự tốt và với mọi p h ầ n tử a G Ả luôn có a = ¿(X\[A.a}). Rõ ràng luôn tồn tạ i tậ p h ợ p coil tố t trong X . vì là m ột tậ p hợp con tố t của À'. H ưn n ử a. ta n h ậ n th ấ y rằ n g mọi tậ p h ợ p con tố t đ êu có p h ần tử cực tiể u là ^p(X). Vậy. nếu A. D là hai tậ p h ạ p tố t của X thì chúng có ít n h ấ t m ộ t đ o ạ n chung là { ^ (X )} . Đặt c là h ợ p củ a tấ t cà các đoạn chung của hai tậ p h ợ p này. Dễ th ấ y rằ n g c là m ột đ o ạ n chung của cả hai tậ p h ợ p A v à D. G iả sử rằ n g c không trù n g với cả A v à D. Vì c là tạ p h ợp tố t của hai tậ p h ợ p A v à B. nên theo nh ận xét ờ p h ầ n đ ầ u chứ ng minh c — [A. i p{X \ C)] = [B. ifi(X \ C)\. Vậy C ' = c u {- p( X \ C )} là m ột đ o ạn chung cùa A và B chứa th ự c sự đ o ạ n c . Điều này m â u th u ẫ n vói tín h cực đại cua c . Vậy. tro n g hai tậ p h ự p tố t --1 và B phải có m ộ t tậ p h ạ p là đ o ạ n cùa tá p hợp kia. Bây giừ với ký hiệu D là hợp cua tấ t ca các tạ p h ạ p coil tốt của À', ta.sẽ ch ứ ng m in h D cũng là m ột tậ p hợp con tốt cùa X . T liạt vậy. nếu a. b là hai Ị)hần t ử tù y ý cù a D. thì a. b phải n ằ m tro n g hai tậ p h ạ p COI1 tố t A. B cùa -V. suy ra chúng thuộc vào tậ p h ạ p lớn hơn. ch ẳng h ạn là A. Khi
Chĩcơng I. S ơ lượ c về lý thuyết tập hợp 19 đó t a xác định (I < b trê n D khi và chi khi a < b theo qu an hệ th ứ t ự toàn phần trên .4. Rõ là n g cách xác định này làm D trờ th à n h m ột tậ p h ợ p đ ư ợ c sắp tuy ến tính. G iả sữ D không phải đ ư ợ c sắp tốt. tứ c tồn tại m ột tậ p hợp con không rỗng E c D sao cho trong E không có ph ần t ử cực tiếu. T ừ đ ây SUY ra [E. x] củng là m ột tậ p h ợp không có phần t ừ cực tiểu với m ỗi X e E cho trước. Điều này m â u th u ẫ n , vì [E..r] luôn n ằm trong m ộ t tậ p h ợ p con tốt cùa X . Vậy D là m ột tậ p hợp đ ư ợ c sắp th ứ tự tốt. Hơn nữa. nếu » 6 0 thì u phái n ằm tron g m ộ t tậ p hợp con tốt .4 nào đó. Do đó ta nhận đ ư ạ c a = ự { X \ [-4.a]) = ^(-Y \ [D.a]). Điồu này chứng m inh rằ n g D là một tậ p hợp con tốt của X . Già sư D Ỷ X . Khi đó tậ p hợp D' = D u { ^ ( A '\ D) } sẽ là một tậ p hợp con tố t chứa th ự c sự D. K ết luận này m â u th u ẫ n với cácli xảy dự ng của D. Vậy D — X . tứ c tậ p hợp A’ đ ã đ ư ợ c sắ p t h ứ t ự tốt. (ị) = > (//): C ho A là m ột xích của tậ p hợp đ ư ợ c sắp t h ứ tự bộ p h ậ n X . Nếu .4 = X ta không CÒ11 gì đ ê chứng m inh nữa. Trái lại. nếu B = X \ A ^ 0. dựa vào (i) t a có th ể giả th iết trên B có m ột th ứ t ự đ ư ợ c sắp tố t. C h ú Ý rằn g th ứ tự Iiày hoàn to à n độc lập với th ứ t ự bộ ph ận của X h ạn chế trê n B. Ta sẽ ph ân hoạch B th à n h hai tậ p hợp con C . D như sau: P h ầ n t ư cực tiểu b E B sẽ thuộc c neu b so sánh đ ư ợ c với mọi phần từ của .4. CÒ11 ngược lại ta cho b G D. C ho .ỉ’ là một p h ần t ử tùy ý cùa D và già sử r a n g mọi phần từ của [#../■] đ ã biết tlniộc c hay D rồi. Khi đó. ta chơ .V E c nếu ./■ so sánh đ ư ợ c với mọi p h a n t ừ cùa .4 và với mọi p h ần tir của (theo q u a n hệ th ứ tự bộ p h ận cùa À'), ngược lại thì ta cho X G D. Xót tậ p hợp .4' = .4 u c . Rõ ràn» .4' là một xích của X và là m ột xích cực đ ại chứa A. vì mỗi p h ầ n t ử cùa D khòng so sán h đ ư ợ c ít nhất với một ph ần t ừ của c . (//) = > (Hi): Clio .V là một p h ần từ tù y Ý của tậ p h ợ p đ ư ợ c sáp bộ p h ậ n A'. Nếu .r là cực đ ại thì m ệnh đề đ ư ợ c chứng minh xong. Già sư .V không phải là phần từ cực đại. Khi đó. theo (ii). xích gồm một p h ầ n tư {.;■} phải n ằ m trong một xích cực đ ại Ả nào đ ó cùa .v. T heo già th iết tồn tại một t ận trên I) cùa .4. tứ c tì < b.Va G -4. N ếu b không phải là p h ần t ừ cực đại. tồn tại m ột phần t ừ c Ỷ b sao c-lio b < c. T ừ đ ây suy ra a < c.Va 6 .4. V ậy A u {c} là một xích mới th ự c sự d u r a .1. Điều này m àu th u ầ n với tín h cực đ ại của .4. do đó I) là một p h ần t ư cực dại cua A\
20 Guio trình đại s ố hiện dại (i.ii) = > (ir): Clio À' là một tậ p hợp đ ư ợ c sắp th ứ t ự bộ p h ận và ì ' một tậ p hợp các tậ p hợp coil của X th o à m ãn giả th iế t cùa (iv). C h ú ý lằ n g . với quail hệ bao hàm C trờ th à n h m ột tậ p hợp đ ư ợ c sắp th ứ t ự hộ phận. Đé chứng minh trong X có m ột ph ần t ư cực đại t a chỉ call cluing m inh rail", mọi xích trong X đ'óu có cận trên trong X. Bây giờ gọi V là hạ]) của tấ t cá các tập hự]) trong một xích cua X. Rõ làng V là một cận tròn của xích này trong tạ p liap 2 a . Việc CÒ11 lại cùa ta là ( 111 ra V E X. Gia sư {/•]....../•„ } 1Ì1 mót tạ p hợp con. hữ u hạn nào đó ( lia V. Do mỗi r, thuộc vào m ột tạ]) h ạ p .1, nào dó trong xích ta đ a n g xét. liên tồn tại một tậ p hợp. chằng hạn A \ . d u r a tấ t cà những tậ p CÒ11 lại. Suy ra { Tiên đ f chọn: Clio A” là một tậ p hợp tùy ý. Xét tậ p hợp .1' mà tấ t cà các phần tư của nỏ là n h ữ n g tậ p hự p con cùa, X th o ả m ãn tiỏii de chọn. Rõ ràng tậ p hợp này là. không rỗng, vì mọi tậ p hợp coil, hữ u hạn ph ần tứ của X đ ều thuộc X. hơn n ử a X là m ột tậ p hợp đ ư ợ c sắ p th ứ t ự bộ phận theo quan hộ hao hàm . v ấ n đề CÒ11 lại là chứng m inh X G X. T h ậ t vậy. cho r = ( A s ) một xích tù y ý (ệù a X. Đ ặt Ả = u.s-4.s. Vì A s thoã m ãn t it'll (Té chọn nên trên I1Ó tồn tại án h xạ chọn ly0 H. Khi đó t a xác đ ịn h trê n A một á n h xạ -p sao cho trên mỏi A s 11Ó trù n g với Rõ là n g là m ột án h xạ chọn của A . Vậy A E Ằ' là m ọt cận trê n của xích r trong X. Sừ (lụng tính chất này với chứng minh hoàn to à n tư ơ n g t ự n h ư trong (iii) = > (iv) ta suy ra trong Ằ' có ít nhất một p h ầ n tư cực đại r . Giã sử V / X . tứ c tồn tại mọt phần tứ ./■ G -V \ V. T ừ dây suy ra ngay rằn« r u {./■} e Điều này m áu tim an với tính cực dại của r . Vạy V — X v à đ ịn h lý đ ư ợ c chứng minh đ ầy đù. □ B ài tâ p 1) Clio X v à {A,},(Z¡ là n h ữ n g tậ p hợp. C h ứ n g m inh các công th ứ c sau đáy: (i). X \ ( n i € ỉ A ẻ) = Ui € l ( X \ A â). (li). X \ (U,e /.4,) = n i6 /(A' \ .4,). 2) Cho f : X — * ) là m ột ánh xạ và c . D là hai tậ p h ạ p coil cẻùa Y. C h ử n g minh các tính chất sau là đúng. (i). j - l ( C U Ũ ) = , r 1( C ) U / - 1(D). (ii). f ~ l { c n D) = f - ]( C ) n f - l (D). (iii). . / - ' ( } • \ C ) = x \ f - ! (C’).