Giáo trình Điện động lực học - Đoàn Thế Ngô Vinh

Chia sẻ: Nguyễn Thị Ngọc Lựu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:101

Thêm vào BST

Báo xấu

274
lượt xem 89
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Điện động lực học nghiên cứu các hiện tượng điện từ có xét đến cáu trúc phân tử, nguyên tử của môi trường vật chất và tính gián đoạn của các điện tích. Ở đây dựa trên hệ phương trình Maxwell - Lorentz để khảo sát. Giáo trình có 7 chương: Các phương trình cơ bản của trường điện từ, Trường điện từ tĩnh, Trường điện từ dừng, Trường điện từ chuẩn dừng, Sóng điện từ, Tương tác giữa điện tích và điện trường, Điện môi và từ môi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Điện động lực học - Đoàn Thế Ngô Vinh

ĐOÀN TH NGÔ VINH Giáo trình ĐI N Đ NG L C H C Vinh, 2010
M cl c Gi i thi u 1 1 Các phương trình cơ b n c a trư ng đi n t 2 1.1 Các khái ni m cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Trư ng đi n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Các đ i lư ng đi n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Đi n tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.4 Dòng đi n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Đ nh lu t Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Đ nh lu t Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 D ng vi phân c a đ nh lu t tĩnh đi n Gauss . . . . . . . . 5 1.3 Đ nh lu t dòng toàn ph n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1 Đ nh lu t b o toàn đi n tích . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.2 Dòng đi n d ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.3 D ng vi phân c a đ nh lu t dòng toàn ph n . . . . . . . . 7 1.4 Nguyên lý v tính liên t c c a t thông . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Đ nh lu t c m ng đi n t Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Đ nh lu t Ohm và đ nh lu t Joule – Lentz . . . . . . . . . . . . . 9 1.6.1 D ng vi phân c a đ nh lu t Ohm . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6.2 D ng vi phân c a đ nh lu t Joule – Lentz . . . . . . . . . 9 1.7 H phương trình Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.7.1 H phương trình Maxwell d ng vi phân . . . . . . . . . . 10 1.7.2 H phương trình Maxwell d ng tích phân . . . . . . . . . 10 1.7.3 Ý nghĩa và đi u ki n áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.8 Năng lư ng c a trư ng đi n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.9 Xung lư ng c a trư ng đi n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.10 Các đi u ki n biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.10.1 Đi u ki n biên c a véctơ B . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.10.2 Đi u ki n biên c a véctơ D . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.10.3 Đi u ki n biên c a véctơ E . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.10.4 Đi u ki n biên c a véctơ H . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Trư ng đi n t tĩnh 17 2.1 Các phương trình c a trư ng đi n t tĩnh . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 Đ nh nghĩa trư ng đi n t tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Các phương trình c a trư ng đi n t tĩnh . . . . . . . . . 17 2.2 Th vô hư ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.1 Trư ng đi n tĩnh trong môi trư ng đ ng ch t. Th vô hư ng 18 i
2.2.2 Phương trình vi phân c a th vô hư ng . . . . . . . . . . 18 2.3 Đi n th c a m t h đi n tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.1 Đi n th c a m t đi n tích đi m . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.2 Đi n th c a h n đi n tích đi m . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.3 Đi n th c a m t h đi n tích phân b liên t c . . . . . . 20 2.3.4 Đi n th c a m t lư ng c c đi n . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4 V t d n trong trư ng đi n tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.1 V t d n trong trư ng đi n tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.2 Đi n dung c a m t v t d n cô l p . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.3 H s đi n dung và h s c m ng c a h v t d n . . . . 22 2.5 Đi n môi đ t trong trư ng đi n tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5.1 S phân c c c a đi n môi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5.2 Th vô hư ng t i m i đi m trong đi n môi . . . . . . . . 24 2.5.3 M i liên h gi a đ c m đi n môi và h s đi n môi . . . 25 2.6 Năng lư ng c a trư ng đi n tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6.1 Bi u di n năng lư ng c a trư ng đi n tĩnh qua th vô hư ng 26 2.6.2 Năng lư ng c a m t h đi n tích đi m . . . . . . . . . . . 26 2.6.3 Năng lư ng c a m t h v t d n tích đi n . . . . . . . . . 27 2.6.4 Năng lư ng c a h đi n tích đ t trong đi n trư ng . . . . 27 2.7 L c tác d ng trong trư ng đi n tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Trư ng đi n t d ng 29 3.1 Các phương trình c a trư ng đi n t . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.1 Trư ng đi n t d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.2 Các phương trình c a trư ng đi n t d ng . . . . . . . . 29 3.2 Các đ nh lu t cơ b n c a dòng đi n không đ i . . . . . . . . . . . 30 3.2.1 Đ nh lu t Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2.2 Đ nh lu t Joule – Lentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.3 Đ nh lu t Kirchhoff th nh t . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.4 Đ nh lu t Kirchhoff th hai . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3 Th vectơ. Đ nh lu t Biot – Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3.1 Th vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3.2 Phương trình vi phân c a th vectơ . . . . . . . . . . . . 33 3.3.3 Đ nh lu t Biot – Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.4 T trư ng c a dòng nguyên t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.5 T môi trong t trư ng không đ i . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.5.1 S t hóa c a t môi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.5.2 Th véctơ c a t trư ng khi có t môi . . . . . . . . . . . 37 3.5.3 M i liên h gi a đ c m t và đ t th m . . . . . . . . . 39 3.6 Năng lư ng c a t trư ng d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.6.1 Bi u di n năng lư ng c a t trư ng d ng qua th véctơ . 39 3.6.2 Năng lư ng c a h dòng d ng. H s t c m và h s h c m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.7 L c tác d ng trong t trư ng d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.7.1 L c c a t trư ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.7.2 L c t tác d ng lên dòng nguyên t . . . . . . . . . . . . 42 3.7.3 Năng lư ng c a dòng nguyên t đ t trong t trư ng ngoài 44 3.7.4 Mômen l c tác d ng lên dòng nguyên t . . . . . . . . . 44 ii
4 Trư ng đi n t chu n d ng 45 4.1 Các phương trình c a trư ng chu n d ng . . . . . . . . . . . . . 45 4.1.1 Các đi u ki n chu n d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1.2 Các phương trình c a trư ng chu n d ng . . . . . . . . . 46 4.1.3 Th véctơ và th vô hư ng c a trư ng đi n t chu n d ng 47 4.1.4 Các phương trình vi phân c a th . . . . . . . . . . . . . 47 4.2 Các m ch chu n d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2.1 H dây d n có c m ng đi n t . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2.2 M ch đi n có đi n dung và t c m . . . . . . . . . . . . . 48 4.2.3 Các ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.3 Hi u ng m t ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.4 Năng lư ng c a các m ch chu n d ng . . . . . . . . . . . . . . . 54 5 Sóng đi n t 56 5.1 Các phương trình c a trư ng đi n t bi n thiên nhanh . . . . . . 56 5.1.1 Các phương trình c a trư ng bi n thiên nhanh . . . . . . 56 5.1.2 Th vô hư ng và th vectơ c a trư ng đi n t bi n thiên nhanh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.1.3 Phương trình vi phân c a th vô hư ng và th vectơ . . 57 5.1.4 Nghi m c a phương trình th . Th tr . . . . . . . . . . . 58 5.2 S b c x c a lư ng c c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.2.1 Đ nh nghĩa lư ng c c b c x . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.2.2 Th vô hư ng c a lư ng c c b c x . . . . . . . . . . . . 60 5.2.3 Th véctơ c a lư ng c c b c x . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2.4 Đi n t trư ng c a dao đ ng t tuy n tính . . . . . . . . 61 5.2.5 Tính ch t đi n t trư ng c a dao đ ng t tuy n tính . . . 63 5.2.6 Lư ng c c b c x tu n hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.3 Trư ng đi n t t do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.3.1 Các phương trình c a trư ng đi n t t do . . . . . . . . 64 5.3.2 Sóng đi n t ph ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.4 Sóng đi n t ph ng đơn s c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.5 Sóng đi n t trong ch t d n đi n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.6 S ph n x và khúc x sóng đi n t . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.6.1 Đi u ki n biên đ i v i các véctơ sóng . . . . . . . . . . . . 68 5.6.2 Các đ nh lu t ph n x và khúc x sóng đi n t . . . . . . 69 5.6.3 H s ph n x và khúc x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6 Tương tác gi a đi n tích và đi n t trư ng 73 6.1 Các phương trình cơ b n c a thuy t electron . . . . . . . . . . . 73 6.1.1 Đ c đi m c a đi n đ ng l c h c vĩ mô và vi mô . . . . . . 73 6.1.2 Các phương trình cơ b n c a thuy t electron . . . . . . . 73 6.2 M i quan h gi a đi n đ ng l c h c vĩ mô và vi mô . . . . . . . 75 6.2.1 Giá tr trung bình c a hàm s . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.2.2 Phép l y trung bình đi n t trư ng . . . . . . . . . . . . . 75 6.2.3 Phép l y trung bình m t đ dòng đi n . . . . . . . . . . . 76 6.2.4 Phép l y trung bình m t đ đi n tích . . . . . . . . . . . 76 6.2.5 M i quan h gi a các phương trình Maxwell và các phương trình Maxwell – Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.3 Chuy n đ ng c a đi n tích t do trong trư ng đi n t . . . . . . 78 iii
6.3.1 Phương trình chuy n đ ng c a đi n tích trong trư ng đi n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6.3.2 Chuy n đ ng c a đi n tích trong trư ng tĩnh đi n . . . . 78 6.3.3 Chuy n đ ng c a đi n tích trong t trư ng d ng . . . . . 79 6.4 Chuy n đ ng c a electron trong nguyên t đ t vào t trư ng ngoài 81 6.4.1 nh hư ng c a t trư ng ngoài lên dao đ ng và b c x c a nguyên t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.4.2 Chuy n đ ng ti n đ ng c a electron . . . . . . . . . . . . 82 7 Đi n môi và t môi 85 7.1 S phân c c c a đi n môi trong đi n trư ng . . . . . . . . . . . . 85 7.1.1 S phân c c c a các đi n môi có phân t không c c . . . 85 7.1.2 S phân c c c a các đi n môi có phân t có c c . . . . . 87 7.1.3 Nh n xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.2 Thuy t c đi n v tán s c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.2.1 Hi n tư ng tán s c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.2.2 Hi n tư ng tán s c thư ng và tán s c d thư ng . . . . . 90 7.3 Ngh ch t và thu n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.3.1 Ngh ch t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.3.2 Thu n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 7.4 Thuy t c đi n v s t t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 iv
Gi i thi u Đi n đ ng l c là h c thuy t v trư ng đi n t và s liên h gi a nó v i đi n tích và dòng đi n. Đi n đ ng l c h c c đi n đư c xét theo hai quan đi m vĩ mô và vi mô. Đi n đ ng l c h c vĩ mô nghiên c u các hi n tư ng đi n t không quan tâm t i tính gián đo n c a các đi n tích và c u trúc phân t , nguyên t c a môi trư ng v t ch t. Các v t th đư c coi là các môi trư ng liên t c, và đi n tích cũng đư c coi là phân b liên t c trong không gian. Đi n đ ng l c h c vĩ mô d a trên h phương trình Maxwell, đư c xem như m t tiên đ t ng quát, t đó b ng suy lu n logic và b ng phương pháp ch ng minh toán h c ch t ch đ rút ra các k t lu n khác v các hi n tư ng đi n t . Đi n đ ng l c h c vi mô nghiên c u các hi n tư ng đi n t có xét đ n c u trúc phân t , nguyên t c a môi trư ng v t ch t và tính gián đo n c a các đi n tích. đây d a trên h phương trình Maxwell – Lorentz đ kh o sát. Phương pháp này cho phép gi i thích đư c cơ c u và hi u đư c b n ch t c a nhi u hi n tư ng đi n t mà đi n đ ng l c h c vĩ mô ch có th mô t v m t hình th c. Đi n đ ng l c h c vi mô có quan h v i đi n đ ng l c h c vĩ mô qua vi c l y trung bình các đ i lư ng đi n t vi mô đ nh n đư c các đ i lư ng đi n t vĩ mô tương ng. Trong giáo trình này ph n đi n đ ng l c h c vĩ mô đư c trình bày trong năm chương đ u Chương 1 Các phương trình cơ b n c a trư ng đi n t . Chương 2 Trư ng đi n t tĩnh. Chương 3 Trư ng đi n t d ng. Chương 4 Trư ng đi n t chu n d ng. Chương 5 Sóng đi n t . ph n đi n đ ng l c h c vi mô đư c trình bày trong hai chương cu i Chương 6 Tương tác gi a đi n tích và đi n trư ng. Chương 7 Đi n môi và t môi. Đ h c đư c h c ph n này ngư i h c ph i đư c trang b các ki n th c cơ s như toán cao c p đ c bi t là gi i tích véctơ, đi n đ i cương, cơ h c đ i cương, cơ h c lý thuy t. M c dù đã có r t nhi u c g ng nhưng ch c giáo trình này s không tránh kh i các h n ch . Tác gi chân thành c m ơn các ý ki n đóng góp t đ c gi đ giáo trình này ngày càng đư c hoàn thi n hơn. M i ý ki n xin g i v Đoàn Th Ngô Vinh, Khoa V t lý, Đ i h c Vinh, ho c email: doanvinhdhv@gmail.com TP Vinh, tháng 9 năm 2010. Đoàn Th Ngô Vinh 1
Chương 1 Các phương trình cơ b n c a trư ng đi n t 1.1 Các khái ni m cơ b n 1.1.1 Trư ng đi n t Trư ng đi n t là kho ng không gian v t lý trong đó có t n t i l c đi n và l c t . T i m i đi m c a trư ng đi n t đư c đ c trưng b i b n véctơ: véctơ cư ng đ đi n trư ng E, véctơ c m ng đi n (còn g i là véctơ đi n d ch) D, véctơ cư ng đ t trư ng H, véctơ c m ng t B. B n véctơ này là nh ng hàm c a t a đ và th i gian, chúng không bi n thiên m t cách b t kỳ mà tuân theo nh ng quy lu t nh t đ nh, nh ng quy lu t đó đư c mô t dư i d ng các phương trình Maxwell mà ta s nghiên c u trong chương này. 1.1.2 Các đ i lư ng đi n t Các đ i lư ng véctơ E, D, H và B nói chung là các hàm c a t a đ và th i gian, chúng xác đ nh m i quá trình đi n t trong chân không cũng như trong môi trư ng v t ch t. Đ i v i môi trư ng đ ng hư ng ta có: D = εE (1.1) B = µH (1.2) Trong đó ε và µ tương ng là h s đi n th m và h s t th m c a môi trư ng, các h s này nói chung là nh ng hàm c a t a đ , th i gian và cư ng đ c a trư ng đi n t . Tuy nhiên đ đơn gi n ch xét trư ng h p ε và µ là các h ng s . Trong h đơn v SI các đ i lư ng trên có đơn v và th nguyên như sau: E Vm−1 [m.kg.s−3 .A−1 ] D Cm−2 [m−2 .s.A] H Am−1 [m−1 .A] B T [kg.s−2 .A−1 ] ε Fm−1 [m−3 .kg−1 .s4 .A2 ] µ Hm−1 [m.kg.s2 .A−2 ] 2
GIÁO TRÌNH ĐI N Đ NG L C H C 3 Trong chân không ε0 = 4π 9.10−9 Fm−1 ; µ0 = 4π.10−7 Hm−1 . Th c nghi m 1 ch ng t r ng ε0 µ0 = c1 , c là v n t c ánh sáng trong chân không1 . Ngoài ra 2 ngư i ta còn đ nh nghĩa: ε µ ε = ; µ = ε0 µ0 là h s đi n môi t đ i và h s t th m t đ i c a môi trư ng. Chúng là nh ng đ i lư ng không có th nguyên. 1.1.3 Đi n tích Trong đi n đ ng l c h c vĩ mô đi n tích đư c coi là phân b liên t c trong không gian. N u đi n tích phân b liên t c trong m t th tích V nào đó, ta đ nh nghĩa m t đ đi n tích kh i t i m i đi m là: ∆q ρ = lim (1.3) ∆V →0 ∆V Trong đó ∆V là th tích nh b t kỳ bao quanh đi m quan sát, ∆q là lư ng đi n tích ch a trong th tích đó. Đơn v m t đ đi n tích kh i Cm−3 . N u đi n tích phân b liên t c trên m t m t S nào đó ta đ nh nghĩa m t đ đi n tích m t t i m i đi m là: ∆q σ = lim (1.4) ∆S→0 ∆S trong đó ∆S là di n tích nh b t kỳ bao quanh đi m quan sát, ∆q là đi n tích có trong ∆S. Đơn v c a m t đ đi n tích m t là Cm−2 . Đ i v i đi n tích đi m thì đi n tích t p trung t i m t đi m, m t đ đi n tích b ng d n t i vô cùng t i nơi có đi n tích đi m. Khi đó ta có th bi u di n m t đ đi n tích dư i d ng hàm Delta2 . ρ= qi δ (r − ri ) (1.5) ri là bán kính véctơ c a đi n tích còn r là bán kính véctơ c a đi m quan sát. Do các đ nh nghĩa trên, giá tr c a đi n tích nguyên t có th vi t: dq = ρ dV (1.6) dq = σ dS (1.7) 1.1.4 Dòng đi n Trong đi n đ ng l c h c vĩ mô dòng đi n cũng đư c xem là phân b liên t c trong không gian và đó là dòng chuy n d i có hư ng c a các đi n tích. N u dòng đi n phân b liên t c trong th tích nào đó, ta đ nh nghĩa m t đ dòng đi n kh i j t i m i đi m b ng h th c: ∆I j = lim (1.8) ∆S→0 ∆S 1v n t c ánh sáng trong chân không x p x 3.108 ms−1 2 Hàm Delta δ (r − r ) = ∞ (r = ri ) i 0 (r = ri )
4 ĐOÀN TH NGÔ VINH trong đó ∆I là cư ng đ dòng đi n ch y qua m t nh b t kỳ ∆S ch a đi m quan sát và vuông góc v i phương c a dòng đi n t i đi m quan sát. Phương và chi u c a véctơ j trùng v i phương và chi u c a dòng đi n t i đi m quan sát. Đơn v c a m t đ dòng đi n là Am−2 . N u dòng đi n đư c phân b liên t c trên m t m t b t kỳ nào đó. Ta đ nh nghĩa m t đ dòng đi n m t i t i m i đi m b ng h th c: ∆I |i| = lim (1.9) ∆l→0 ∆l trong đó ∆I là cư ng đ dòng đi n m t ch y qua m t đo n b t kỳ ∆l ch a đi m quan sát và vuông góc v i dòng đi n t i đi m quan sát. Phương, chi u c a véctơ i trùng v i phương và chi u c a dòng đi n t i đi m quan sát. Do các đ nh nghĩa trên, giá tr c a dòng đi n nguyên t là: dI = j dS = jn dS = jdS cos α (1.10) dI = i dl = in dl = idl cos α (1.11) α là góc h p b i véctơ j (ho c véctơ i ) v i pháp tuy n n c a dS (ho c dl ). 1.2 Đ nh lu t Coulomb 1.2.1 Đ nh lu t Coulomb L c tác d ng gi a hai đi n tích đi m q và q đ t trong môi trư ng đ ng nh t có h s đi n th m ε cho b i 1 qq F = (1.12) 4πε r2 r là kho ng cách gi a hai đi n tích Trên cơ s lý thuy t trư ng tương tác gi a hai đi n tích đi m q và q có th gi i thích: (a) đi n tích đi m q t o ra quanh nó đi n trư ng có cư ng đ đi n trư ng 1 q r E= (1.13) 4πε r2 r r là bán kính véctơ tính t đi n tích q đ n đi m tính trư ng (b) đi n tích đi m q đ t trong đi n trư ng ch u tác d ng c a l c F =qE (1.14) Có th coi (1.14) là cách bi u di n khác c a đ nh lu t Coulomb, nó phù h p v i nguyên lý tác d ng g n, đúng cho m i trư ng h p và không ph thu c vào nguyên nhân gây ra đi n trư ng E. Còn (1.12) phù h p v i nguyên lý tác d ng xa, bi u di n tương tác t c th i gi a hai đi n tích và ch đúng trong trư ng h p các đi n tích chuy n đ ng ch m và kho ng cách gi a chúng không l n l m. Theo (1.13) cư ng đ đi n trư ng ph thu c vào phân b đi n tích trong không gian và h s đi n th m c a môi trư ng. Đ thu n ti n tính toán ngư i
GIÁO TRÌNH ĐI N Đ NG L C H C 5 ta đưa vào véctơ c m ng đi n hay véctơ đi n d ch theo (1.1). Đ i v i đi n tích đi m q ta có 1 q r D= (1.15) 4π r2 r Véctơ c m ng đi n ch ph thu c vào phân b đi n tích trong không gian mà không ph thu c tính ch t c a môi trư ng. 1.2.2 D ng vi phân c a đ nh lu t tĩnh đi n Gauss Gi s trong m t kín S có m t lư ng đi n tích q. Theo đ nh lu t tĩnh đi n Gauss ta có N= D dS = q (1.16) S N là thông lư ng c a véctơ c m ng đi n D g i qua m t kín S. Ta có q = dq = V ρ dV nên (1.16) tr thành D dS = ρ dV S V M t khác S D dS = V divD dV nên V divD dV = V ρ dV . Do m t S và th tích V do nó bao b c đư c ch n b t kỳ nên divD = ρ (1.17) đó là d ng vi phân c a đ nh lu t tĩnh đi n Gauss. T (1.17) n u trong th tích V nào đó mà ρ = 0 thì thông lư ng c a véctơ c m ng đi n g i qua m t kín S bao th tích V b ng không, nghĩa là đư ng s c c a véctơ D không b t đ u và cũng không k t thúc trong V . T i nh ng đi m có ρ = 0 thì đư ng s c c a véctơ D b t đ u (ρ > 0) ho c k t thúc (ρ < 0) t i đó. Như v y m t đ đi n tích ρ là ngu n c a véctơ D 1.3 Đ nh lu t dòng toàn ph n 1.3.1 Đ nh lu t b o toàn đi n tích Xét th tích V không đ i đư c gi i h n b i m t kín S không đ i, trong đó ch a đi n tích q = V ρ dV . Gi s đi n tích trong V thay đ i theo th i gian, trong đơn v th i gian nó bi n đ i m t lư ng dq d ∂ρ = ρ dV = dV dt dt V V ∂t Đi n tích đư c b o toàn nên ph i có dòng đi n tích (dòng đi n) ch y qua m t kín S. Dòng đi n ch y vào n u đi n tích trong V tăng, ch y ra n u đi n tích trong V gi m. Xét nguyên t m t dS trên m t kín S. Trong đơn v th i gian đi n lư ng ch y qua dS (chính là cư ng đ dòng đi n ch y qua dS) là dI = ρv dS = j dS. V i v là v n t c c a đi n tích t i dS. Do đó j = ρv (1.18)
6 ĐOÀN TH NGÔ VINH Đi n lư ng ch y qua m t kín S trong đơn v th i gian là I= dI = ρv dS = j dS S S Do chi u dương c a m t S hư ng t trong ra ngoài nên cư ng đ dòng đi n là dương khi ch y t trong ra ngoài và âm khi ch y t ngoài vào trong. Đ nh lu t b o toàn đi n tích vi t d ng dq = −I dt ∂ρ dV = − j dS V ∂t S ∂ρ M t khác S j dS = V divj dV do đó V ∂t dV = − V divj dV . Do th tích V b t kỳ nên ta có ∂ρ = −divj ∂t ∂ρ divj + =0 (1.19) ∂t T i m t đi m nào đó đi n tích bi n đ i theo th i gian thì ph i có dòng đi n ch y t i đi m đó ho c t đi m đó ch y đi. (1.19) là d ng vi phân c a đ nh lu t b o toàn đi n tích, còn g i là phương trình liên t c. 1.3.2 Dòng đi n d ch Đ i v i dòng đi n không đ i thì m t đ đi n tích t i m i đi m không ph thu c vào th i gian do đó (1.19) tr thành divj = 0, nghĩa là đư ng s c c a véctơ j khép kín, không có đi m đ u và không có đi m k t thúc. Đ i v i dòng đi n bi n đ i divj = ∂ρ = 0. Đư ng s c c a véctơ j không ∂t khép kín mà xu t phát ho c k t thúc nh ng nơi có m t đ đi n tích bi n đ i theo th i gian. Xét m t m ch đi n có t đi n, đ i v i dòng đi n không đ i đư ng s c c a nó khép kín nên dòng đi n không đ i không th ch y trong m ch này. Còn dòng đi n bi n đ i có th ch y qua m ch này, đư ng s c c a nó b t đ u và k t thúc hai b n t đi n, nơi có đi n tích thay đ i theo th i gian. Do véctơ j liên quan t i s chuy n đ ng c a đi n tích nên g i nó là m t đ dòng đi n d n. Gi a hai b n t không có đi n tích chuy n đ ng nên không có dòng đi n d n, nhưng dòng đi n v n ch y trong m ch. Do đó c n gi thi t t n t i quá trình nào đó gi a hai b n t tương đương v i s có m t c a dòng đi n d n. Ngư i ta nói gi a hai b n t t n t i dòng đi n d ch. Nó có nhi m v khép kín dòng đi n d n trong m ch. Ta tìm bi u th c c a dòng đi n d ch. Đ o hàm (1.17) theo th i gian đư c div ∂ D = ∂ρ = −divj hay ∂t ∂t ∂D div +j =0 (1.20) ∂t ∂D T (1.20) ta có ∂t có th nguyên như c a j (th nguyên m t đ dòng đi n). ∂D ∂D Do đó ∂t g i là véctơ m t đ dòng đi n d ch. ∂t + j là véctơ có đư ng s c khép kín và g i là véctơ m t đ dòng toàn ph n.
GIÁO TRÌNH ĐI N Đ NG L C H C 7 Như v y trư ng c a dòng đi n toàn không có ngu n, nghĩa là các đư ng s c c a dòng toàn ph n ph i là nh ng đư ng khép kín ho c đi ra vô c c. Do đó, nơi nào các đư ng s c c a dòng đi n d n gián đo n thì các đư ng s c c a dòng đi n d ch n i ti p ngay v i chúng. M c dù dòng đi n d n và dòng đi n d ch có tên g i “dòng đi n” như nhau, nhưng chúng là nh ng khái ni m v t lý khác nhau. Đ c trưng t ng quát duy nh t c a chúng là ch là chúng đã gây ra t trư ng như nhau. Dòng đi n d ch và dòng đi n d n có b n ch t v t lý hoàn toàn khác nhau. Dòng đi n d n tương ng v i s chuy n đ ng c a các đi n tích, còn dòng đi n d ch tương ng v i s bi n thiên c a cư ng đ đi n trư ng và không liên quan đ n s chuy n đ ng c a đi n tích hay b t c h t v t ch t nào khác. 1.3.3 D ng vi phân c a đ nh lu t dòng toàn ph n Đ i v i dòng đi n không đ i đ nh lu t dòng toàn ph n3 đư c phát bi u “Lưu thông cư ng đ t trư ng quanh đư ng cong kín L b ng t ng đ i s các dòng đi n xuyên qua đư ng cong kín đó ”. D ng toán h c H dl = I (1.21) L I là t ng đ i s các dòng đi n xuyên qua đư ng cong kín, chi u dương c a đư ng cong h p v i chi u dương dòng đi n theo quy t c v n nút chai (Hình 1.1). Ta có I= j dS S Hình 1.1: H dl = rotH dS L S do đó (1.21) vi t l i rotH dS = j dS S S Do m t S là b t kỳ nên rotH = j (1.22) (1.22) là d ng vi phân c a đ nh lu t dòng toàn ph n đ i v i dòng đi n không đ i. Đ i v i dòng bi n đ i ngoài dòng đi n d n còn có dòng đi n d ch. Dòng đi n d ch này cũng gây ra xung quanh nó m t t trư ng xoáy như dòng di n d n b ng nó. Vì v y (1.22) c n t ng quát hoá d ng ∂D rotH = j + (1.23) ∂t (1.23) là d ng vi phân c a đ nh lu t dòng toàn ph n, nó có ý nghĩa v t lý: gi ng như dòng đi n d ch s bi n thiên c a đi n trư ng theo th i gian cũng sinh ra t trư ng xoáy. 3Đ nh lý Ampere
8 ĐOÀN TH NGÔ VINH 1.4 Nguyên lý v tính liên t c c a t thông Đư ng s c t trư ng là liên t c nghĩa là nó không có đi m xu t phát và đi m k t thúc. Xét m t kín S b t kì thì s đư ng s c đi vào m t S ph i b ng s đư ng s c đi ra kh i m t S. Nghĩa là t ng đ i s các đư ng s c xuyên qua m t kín S b ng 0. Hay φ= B dS = 0 (1.24) S (1.24) bi u di n nguyên lý v tính liên t c c a t thông Ta có S B dS = V divB dV = 0 nên divB = 0 (1.25) (1.25) là d ng vi phân c a nguyên lý v tính liên t c c a t thông. So sánh (1.25) v i (1.17) d dàng th y đư c s khác nhau gi a đi n trư ng và t trư ng. Đư ng s c c a véctơ D không liên t c, ngu n c a nó là các đi n tích t do. Còn đư ng s c c a véctơ B là liên t c. 1.5 Đ nh lu t c m ng đi n t Faraday Xét di n tích S b t kỳ gi i h n b i đư ng cong kín L. N u t thông qua S bi n thiên theo th i gian thì trên L xu t hi n su t đi n đ ng c m ng. dφ E =− (1.26) dt E là su t đi n đ ng c m ng xu t hi n trên đư ng cong kín L. Chi u dương c a L và chi u dương c a m t S ch n theo quy t c v n nút chai. D u tr ch chi u c a su t đi n đ ng c m ng. φ là thông lư ng c a véctơ c m ng t B qua m t S, đư c tính theo (1.24). M t khác su t đi n đ ng c m ng b ng công l c đi n F d ch chuy n đi n tích dương b ng đơn v d c theo L đúng m t vòng. F = q E = (+1)E nên E= F dl = E dl L L Do đó (1.26) tr thành d E dl = − B dS (1.27) L dt S Áp d ng đ nh lý Stokes ta có ∂B rotE dS = − dS S S ∂t Do S b t kì nên ∂B rotE = − (1.28) ∂t N u t trư ng bi n thiên theo th i gian thì nó s gây ra m t đi n trư ng xoáy. (1.28) là d ng vi phân c a đ nh lu t c m ng đi n t Faraday.
GIÁO TRÌNH ĐI N Đ NG L C H C 9 1.6 Đ nh lu t Ohm và đ nh lu t Joule – Lentz 1.6.1 D ng vi phân c a đ nh lu t Ohm Đ nh lu t Ohm đ i v i đo n dây d n có d ng ∆ϕ = IR (1.29) ∆ϕ là hi u đi n th hai đ u dây, R là đi n tr c a dây và I là cư ng đ dòng đi n ch y qua dây. G i λ l là đi n d n su t ta có R = λS , l và S là chi u dài và Hình 1.2: ti t di n c a dây. Xét m t đi m P trong lòng v t d n t i đó có cư ng đ đi n trư ng E. L y hình tr vô cùng nh bao quanh P sao cho đư ng sinh song song v i E, chi u dài và ti t di n hình tr là ∆l và ∆S (Hình 1.2). Hình tr vô cùng nh nên trong đó có th coi E, I, λ là không đ i. Áp d ng đ nh lu t Ohm cho đo n dây hình tr . ∆l ∆ϕ = IR = I λ∆S M t khác I = j∆S; ∆ϕ = E∆l, nên ta có j = λE hay j = λE (1.30) (1.30) là d ng vi phân c a đ nh lu t Ohm. 1.6.2 D ng vi phân c a đ nh lu t Joule – Lentz Đ nh lu t Joule – Lentz đ i v i đo n dây d n có d ng ∆Q = I 2 R∆t (1.31) ∆Q là nhi t lư ng to ra trên dây trong th i gian ∆t. Xét m t đi m P trong lòng v t d n t i đó có véctơ m t đ dòng đi n j. Xét hình tr vô cùng bé bao quanh đi m P tương t như m c trư c trong đó có th coi j, λ là không đ i. Ta có 2 1 ∆l ∆V ∆t ∆Q = (j∆S) ∆t = j 2 λ ∆S λ ∆Q j2 V i ∆V là th tích hình tr nh , g i q = ∆V.∆t = λ là nhi t lư ng to ra trên m t đơn v th tích trong m t đơn v th i gian q = jE (1.32) (1.32) là d ng vi phân c a đ nh lu t Joule – Lentz
10 ĐOÀN TH NGÔ VINH 1.7 H phương trình Maxwell 1.7.1 H phương trình Maxwell d ng vi phân ∂B rotE = − (1.33) ∂t ∂D rotH = j+ (1.34) ∂t divD = ρ (1.35) divB = 0 (1.36) 1.7.2 H phương trình Maxwell d ng tích phân d E dl = − B dS (1.37) L dt S d H dl = I + D dS (1.38) L dt S D dS = q (1.39) S B dS = 0 (1.40) S Các phương trình Maxwell trên cùng v i các phương trình liên h D = εE B = µH t o thành h đ các phương trình Maxwell 1.7.3 Ý nghĩa và đi u ki n áp d ng Các phương trình (1.33) và (1.37) di n t đ nh lu t c m ng đi n t Faraday, các phương trình (1.34) và (1.38) di n t đ nh lu t dòng toàn ph n. Các phương trình trình trên còn di n t m i quan h gi a đi n trư ng và t trư ng: đi n trư ng bi n thiên theo th i gian sinh ra t trư ng xoáy và ngư c l i t trư ng bi n thiên theo th i gian cũng sinh ra đi n trư ng xoáy. Các phương trình (1.35) và (1.39) di n t đ nh lu t tĩnh đi n Gauss, chúng cũng cho bi t đư ng s c c a véctơ c m ng đi n xu t phát ho c k t thúc đi n tích Các phương trình (1.36) và (1.40) có nghĩa là đư ng s c c a véctơ c m ng t không có đi m xu t phát ho c k t thúc, chúng khép kín ho c đi xa vô t n H đ các phương trình Maxwell cho phép xác đ nh đư c tr ng thái c a trư ng đi n t m t cách đơn giá. Đi u ki n áp d ng • Các v t th đ ng yên ho c chuy n đ ng ch m trong đi n t trư ng. • ε; µ không ph thu c th i gian và các véctơ đ c trưng cho t trư ng. • Trong đi n t trư ng không có nam châm vĩnh c u ho c s t t .
GIÁO TRÌNH ĐI N Đ NG L C H C 11 1.8 Năng lư ng c a trư ng đi n t Th c nghi m cho bi t mu n t o ra trư ng đi n t c n tiêu t n m t năng lư ng nh t đ nh. Ngư c l i trư ng đi n t cũng có kh năng cung c p năng lư ng (ví d nhi t năng...). Ta s kh o sát v m t lý thuy t đi n t trư ng có năng lư ng không và năng lư ng c a trư ng đi n t đư c b o toàn như th nào. N u trư ng đi n t có năng lư ng thì năng lư ng đó s phân b liên t c trong không gian v i m t đ năng lư ng w. Nói chung w là hàm c a to đ và th i gian. Năng lư ng trư ng đi n t trong th tích V b t kỳ là W = w dV V Gi s năng lư ng trư ng đi n t đư c b o toàn thì nó ph i tuân theo m t đ nh lu t có d ng toán h c là phương trình liên t c. Đ t P là véctơ m t đ dòng năng lư ng thì ta ph i vi t đư c phương trình đ nh lu t b o toàn năng lư ng d ng ∂w + divP = 0 (1.41) ∂t Xu t phát t h phưng trình Maxwell ta s tìm l i (1.41). Ta có ∂B ∂B rotE = − ⇔ HrotE + H =0 ∂t ∂t ∂D ∂D rotH = j + ⇔ −ErotH + E + j.E = 0 ∂t ∂t C ng t ng v hai phương trình trên ta có ∂B ∂D HrotE − ErotH + H +E + j.E = 0 ∂t ∂t M t khác HrotE − ErotH = div[E × H ]; ∂D ∂E 1 ∂(εE 2 ) 1 ∂ E = εE = = (E D ); ∂t ∂t 2 ∂t 2 ∂t ∂B ∂(µH) 1 ∂(µH 2 ) 1 ∂ H =H = = (B H ) ∂t ∂t 2 ∂t 2 ∂t Do đó ∂ ED + BH + div[E × H ] + j E = 0 (1.42) ∂t 2 Ba s h ng v trái (1.42) ph i có cùng m t th nguyên. Th nguyên s h ng th ba là năng lư ng m t đ năng lư ng = (th tích).(th i gian) th i gian Vì v y hai s h ng đ u cũng ph i có th nguyên như v y, do đó:
12 ĐOÀN TH NGÔ VINH S h ng 1 (E D + H B ) ph i có th nguyên m t đ năng lư ng. Ta g i 2 1 w= ED + H B (1.43) 2 là m t đ năng lư ng trư ng đi n t S h ng [E × H ] ph i có th nguyên (m t đ năng lư ng).(đ dài) = (m t đ năng lư ng).(v n t c) th i gian ngư i ta g i nó là véctơ m t đ dòng năng lư ng, còn g i là véctơ Umôp - Poynting P = [E × H ] (1.44) Phương trình (1.42) tr thành ∂w + divP + j E = 0 (1.45) ∂t L y tích phân theo th tích b t kì V d w dV + divP dV + j E dV = 0 dt V V V dW + P dS + Q = 0 (1.46) dt S N u năng lư ng đi n t trư ng trong V bi n thiên theo th i gian thì ph i có dòng năng lư ng ch y qua m t kín S bao th tích V và ph i có nhi t lư ng Joule – Lentz to ra trên V N u ch có đi n t trư ng, không có dòng đi n (j = 0) ∂w + divP = 0 (1.47) ∂t T i m t đi m b t kì, n u m t đ năng lư ng đi n t trư ng thay đ i theo th i gian thì ph i có m t dòng năng lư ng t nơi khác ch y đ n ho c t đi m đó ch y đi. Như v y năng lư ng c a trư ng đi n t đư c b o toàn, nó đư c chuy n t nơi này đ n nơi khác ho c chuy n hóa thành nhi t lư ng Joule – Lentz. 1.9 Xung lư ng c a trư ng đi n t Xét v t có th tích V b t kỳ mang đi n tích tương tác v i trư ng đi n t , ngoài ra không có tương tác nào khác. L c Lorentz tác d ng lên nguyên t th tích dV mang đi n tích ρ dV chuy n đ ng v i v n t c v trong đi n t trư ng dF = ρE dV + [(ρv dV ) × B ] Đ nh nghiã m t đ l c Lorentz dF f= = ρE + [ρv × B ] (1.48) dV
GIÁO TRÌNH ĐI N Đ NG L C H C 13 ∂D Đ ý ρv = j = rotH − ∂t ; ρ = divD nên ∂D f = E divD + rotH − ×B ∂t M t khác divB = 0; rotE = − ∂ B ∂t ∂ ∂D ∂B ∂D [D × B ] = ×B + D× = × B + [rotE × D ] ∂t ∂t ∂t ∂t ∂D ∂ − × B = [rotE × D ] − [D × B ] ∂t ∂t do đó ∂ f = E divD + H divB + [rotE × D ] + [rotH × B ] − [D × B ] (1.49) ∂t Chi u (1.49) lên tr c Ox ∂ fx = Ex divD + Hx divB + [rotE × D ]x + [rotH × B ]x − [D × B ]x (1.50) ∂t D th y 4 s h ng đ u c a v ph i (1.50) là dive c a véctơ X 1 X Ex Dx + Hx Bx − (E.D + H.B); Ey Dy + Hx By ; Ex Dz + Hx Bz 2 (1.50) vi t l i ∂ fx = divX − [D × B ]x (1.51) ∂t 1 Trong chân không [D × B ] = ε0 µ0 [E × H ] = c2 [E × H ] nên l c tác d ng lên th tích V theo phương Ox d 1 Fx = fx dV = divX dV − [E × H ]x dV V V dt V c2 Áp d ng đ nh lý Ostrogradsky – Gauss d 1 fx dV + [E × H ]x dV = X dS (1.52) V dt V c2 S Ch n S là m t bao toàn b đi n t trư ng và đi n tích. Trên m t S đó E = D = B = H = 0, do đó (1.52) tr thành d 1 fx dV + [E × H ]x dV = 0 (1.53) V dt V c2 Tương t khi chi u (1.49) lên tr c Oy và Oz d 1 fy dV + [E × H ]y dV = Y dS (1.54) V dt V c2 S d 1 fz dV + [E × H ]z dV = Z dS (1.55) V dt V c2 S
14 ĐOÀN TH NGÔ VINH V i các vectơ Y và Z cho b i 1 Y Ey Dx + Hy Bx ; Ey Dy + Hy By − (E D + H B); Ey Dz + Hy Bz 2 1 Z Ez Dx + Hz Bx ; Ez Dy + Hz By ; Ez Dz + Hz Bz − (E D + H B) 2 Ch n S là m t bao toàn b đi n t trư ng và đi n tích d 1 fy dV + [E × H ]y dV = 0 (1.56) V dt V c2 d 1 fz dV + [E × H ]z dV = 0 (1.57) V dt V c2 (1.53), (1.56) và (1.57) vi t g p l i d ng m t phương trình véctơ d 1 f dV + [E × H ] dV = 0 (1.58) V dt V c2 G i Gh là xung lư ng toàn ph n c a các h t đi n tích trong V d Gh = F = f dV dt V (1.58) tr thành d 1 Gh + [E × H ] dV =0 dt V c2 hay 1 −− −→ Gh + [E × H ] dV = const (1.59) V c2 Đ t 1 Gt = [E × H ] dV (1.60) c2 V thì nó ph i có th nguyên xung lư ng, ngư i ta g i nó là xung lư ng c a trư ng đi n t trong th tích V . (1.59) có th vi t l i −− −→ Gh + Gt = const (1.61) Đ i v i h cô l p ch có đi n t trư ng tương tác v i các đi n tích thì xung lư ng t ng c ng c a các h t tích đi n và xung lư ng c a trư ng đi n t là đ i lư ng không đ i. 1.10 Các đi u ki n biên Các phương trình Maxwell ch áp d ng đư c trong môi trư ng v t ch t liên t c, trong đó đ i lư ng ε, µ là các h ng s ho c là hàm c a to đ nhưng bi n thiên liên t c t đi m này sang đi m khác. Trong trư ng h p nh ng môi trư ng không liên t c, t i m t gi i h n gi a chúng đ i lư ng ε, µ bi n đ i không liên t c và các véctơ E, D, B, H cũng bi n đ i không liên t c. Các phương trình xác đ nh s bi n thiên c a các véctơ đó t i các m t gi i h n g i là các đi u ki n biên. 1.10.1 Đi u ki n biên c a véctơ B
GIÁO TRÌNH ĐI N Đ NG L C H C 15 Xét m t đi m P b t kì m t phân cách hai môi trư ng 1 và 2, quy ư c pháp tuy n m t phân cách hư ng t môi trư ng 1 sang môi trư ng 2. L y m t m t hình tr vô cùng nh chưa đi m P có tr c song song v i pháp tuy n t i P , đáy S1 n m trong môi trư ng 1 và đáy S2 n m trong môi trư ng 2 (Hình 1.3). Ta có Hình 1.3: B dS = B1 dS 1 + B2 dS 2 + B dS = 0 S S1 S2 Sxq Do hình tr vô cùng nh nên có th coi véctơ B là không đ i trên các m t đáy, và gi i n i trên m t xung quanh. B1 dS 1 + B2 dS 2 + B dS = −B1n S1 + B2n S2 + BSxq = 0 S1 S2 Sxq Cho chi u cao hình tr h → 0 thì S1 → S0 ; S2 → S0 ; Sxq → 0 khi đó B2n S0 − B1n S0 = 0 B2n − B1n = 0 (1.62) D ng véctơ n.(B2 − B1 ) = 0 (1.63) 1.10.2 Đi u ki n biên c a véctơ D L p lu n tương t như đ i v i véctơ B, ta có S D dS = q, v i q là đi n tích trong hình tr . D dS = D 1 dS 1 + D2 dS 2 + D dS = −D1n S1 + D2n S2 + DSxq = q S S1 S2 Sxq Cho chi u cao hình tr h → 0 thì D2n S0 −D1n S0 = qm hay D2n −D1n = qm . S0 qm Do = σ nên S0 D2n − D1n = σ (1.64) D ng véctơ n.(D2 − D1 ) = σ (1.65) σ là m t đ đi n tích m t t i m t phân cách 1.10.3 Đi u ki n biên c a véctơ E Xét m t đi m P b t kì m t phân cách hai môi trư ng 1 và 2, pháp tuy n c a m t phân cách t i P là n hư ng t môi trư ng 1 sang môi trư ng 2. τ là véctơ là ti p tuy n t i P . Xét hình ch nh t vô cùng nh ch a đi m P n m trong m t ph ng Hình 1.4: t o b i n và τ . Hai c nh l1 và l2 c a hình ch nh t song song v i m t phân