Giáo Trình Giải Tích 12

Chia sẻ: Phạm Tấn Lâm | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:35

0
434
lượt xem
101
download

Giáo Trình Giải Tích 12

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

1) Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số: a) y = f(x) = cosx b) y = f(x) = tại x0 = 0. 2) Cho hàm số y = f(x) = x33x2+1, có đồ thị (C). a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x)  0. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ bằng 3. 3) Cho (C) : y = f(x) = x4x2. a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) 0. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Giáo Trình Giải Tích 12

  1. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 1 - Soạn cho lớp LTĐH I. ĐẠO HÀM 1) Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số: |x | a) y = f(x) = cosx b) y = f(x) = tại x0 = 0. x+1 2) Cho hàm số y = f(x) = x3−3x2+1, có đồ thị (C). a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) ≤ 0. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ bằng 3. 3) Cho (C) : y = f(x) = x4x2. a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : 1. Tại điểm có hồnh độ bằng 2 . 2. Tại điểm có tung độ bằng 3. 3. Biết tiếp tuyến song song với d1 : y = 24x+2007 1 4. Biết tiếp tuyến vuông góc với d2 : y = x − 10. 24 4) Viết phương trình tiếp tuyến với (P): y = f(x) = x22x3 đi qua M1(5;3). 5) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):y=f(x)=x3 –3x+1 kẻ từ M(3;1). 4 6) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x2+ đi qua A(0;3). x−1 x −1 7) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x)= đi qua H(1;1). x+1 8) Tìm đạo hàm các hàm số x3 − 2x ax2 + bx+ c a) y = ( x3 – 3x + 2 ) ( x4 + x2 – 1 ) b) y = 2 c) y = x + x+1 px+ q 9) Tìm đạo hàm các hàm số : a) y = ( 5x3 + x2 – 4 )5 b) y = sin2 (cos 3x) c) y = ln3 x d) y = esinx f) y = ax +2x+1 (0< a ≠ 1) 2 e) y = e4x + 5 10) Tìm đạo hàm các hàm số : a) y= ln ( x + 1+ x2 ) b) y = log3 ( x2 – sin x ) x c) y = e – ln ( sin x) d) y = tg ( 2x+3) x e) y = tg2x . sinx f) y = tg 2 2 2 g) y = cotg ( 5x + x – 2 ) h) y = cotg x + cotg2x 11) Tính đạo hàm của hàm số x3 neáu < 0 x f(x) =  2 x neáu ≥ 0 x tại điểm x0 = 0 12) Tìm đạo hàm cấp n ( n nguyên dương) của các hàm số sau : a) y = lnx b) y = e Kx c) y = sin x d) y = cos x e) y = ln (x2 + x – 2 ) Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  2. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 2 - Soạn cho lớp LTĐH 13) Chứng minh rằng : 5 a) Với y= 3 + ( x ≠ 0), ta có xy’ + y = 3 x b) Với y = x sin x, ta có : xy – 2 ( y’ – sin x ) +xy” = 0 c) Với y = ( x +1 ) ex ta có : y’ – y = ex d) Với y= e sin x ta có : y’ cos x – ysin x – y” = 0 1 e) Với y = ln ta có xy’ + 1 = ey 1+ x 14) Chứng minh các đẳng thức đạo hàm: sin3 x + cos x3 a) Cho hàm số y = . Chứng minh rằng: y’' = y 1− sinx. cosx x b) Cho y = ln(sinx) . Chứng minh rằng : y’+y’’sinx+tg = 0 2 c) Cho y = e4x+2ex. Chứng minh rằng : y’’’13y’12y = 0 x− 3 d) Cho y = . Chứng minh rằng : 2(y’)2 = (y1)y’’ x+ 4 1 e) Cho y = − cotg3x + cotgx+ x + 3 + 7 . Chứng minh rằng: y’ = cotg4x 3 cos x 2 π π 15) Cho f(x) = . Chứng minh rằng : f ( ) − 3f '( ) = 3 1+ sin x 2 4 4 x2 ' 1 1 16) Cho f(x) = x.e− 2 . Chứng minh rằng : 2f ( ) = 3f ( ) 2 2 17) Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng: a) f(x) = cos x +sin x + x. b) f(x) = (x2+2x3)ex c) f(x) = sinx.ex d) f(x) = 3 sinx − cos + x x / 1 3 2 18) Giải bất phương trình f (x) < 0 với f(x) = x x + π . 3 1 19) Cho các hàm số f(x) = sin4x + cos4x; g(x) = cos4x 4 Chứng minh rằng : f ’(x) = g’(x), ∀x∈R 20) Tìm vi phân của mỗi hàm số sau tại điểm đã chỉ ra: π π a) f(x) = ln (sinx) tại x0 = . b) f(x) = x. cosx tại x0 = 4 3 21) Tìm vi phân của mỗi hàm số: sinx a) f(x) = x2 + 1 b) f(x) = x.lnx. c) f(x) = . x 22) Biết rằng ln 781 = 6,6606 , hãy tính gần đúng ln 782. Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  3. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 3 - Soạn cho lớp LTĐH II.SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 3 23) Tìm các điểm tới hạn của hàm số :y = f(x) = 3x+ + 5 . x 24) Xét tính đơn điệu của hàm số a) y = f(x) = x33x2+1. b) y = f(x) = 2x2x4. x− 3 x2 − 4x + 4 c) y = f(x) = . d) y = f(x) = . x+ 2 1− x e) y = f(x) = x+2sinx trên (π ; π). f) y = f(x) = xlnx. g) y = f(x) = 3 x2 (x − 5) . h) y= f(x) = x3−3x2. x2 − 3x + 3 i) y = f(x)= . j) y= f(x) = x4−2x2. x−1 k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2π]. 25) Cho hàm số y = f(x) = x33(m+1)x2+3(m+1)x+1. Định m để hàm số : a) Luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó. Kq:1 ≤ m ≤ 0 4 b) Nghịch biến trên khoảng (1;0). Kq: m ≤ − 3 1 c) Đồng biến trên khoảng (2;+∞ ). Kq: m ≤ 3 mx− 1 26) Định m∈Z để hàm số y = f(x) = đồng biến trên các khoảng xác định của x− m nó. Kq: m = 0 mx2 + 6x − 2 27) Định m để hàm số y = f(x) = nghịch biến trên nửa khoảng [1;+∞). x+ 2 14 Kq: m ≤ − 5 28) Chứng minh rằng : ex > 1+ x , ∀x > 0. 29) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác định (trên từng khoảng xác định) của nó : x2 − x − 1 a) y = x3−3x2+3x+2. b) y = . x−1 x−1 c) y = . 2x + 1 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  4. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 4 - Soạn cho lớp LTĐH x 3 30) Tìm m để hàm số y = − ( m − 1) x2 − ( m − 7) x : 3 a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó. b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (2;+∞) x2 − 2mx+ m + 2 31) Tìm m để hàm số : y = luôn đồng biến trên từng khoảng xác x− m định của nó. 2x2 + (1− m)x + m + 1 32) Tìm m để hàm số : y = luôn đồng biến trên khoảng (1;+∞). x− m Kq: m ≤ 3 − 2 2 33) Tìm m để hàm số y = x .(mx)m đồng biến trên khoảng (1;2). Kq: m≥ 3 2 34) Chứng minh rằng : x2 a) ln(x+1) < x , ∀ x > 0. b) cosx >1 , với x > 0 . 2 II. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU 35) Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng đạo hàm cấp 1: 3 ln x a) y = x3.b) y = 3x + + 5. c) y = x.ex. d) y = . x x 36) Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng đạo hàm cấp 2: ex a) y = sin2x với x∈[0; π ] b) y = x2lnx. c) y = . x 37) Xác định tham số m để hàm số y=x3−3mx2+(m2−1)x+2 đạt cực đại tại x=2. ( Đề thi TNTHPT 2004−2005) Kết quả : m=11 38) Định m để hàm số y = f(x) = x33x2+3mx+3m+4 a.Không có cực trị. Kết quả : m ≥ 1 b.Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m
  5. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 5 - Soạn cho lớp LTĐH 1 3 2 2 41) Cho hàm số y = f(x) = x mx +(m m+1)x+1. Có giá trị nào của m để hàm số đạt 3 cực tiểu tại x = 1 không? Hd và kq : Sử dụng đkc,đkđ. Không 1 3 2 42) Cho hàm số y = f(x) = x mx +(m+2)x1. Xác định m để hàm số: 3 a) Có cực trị. Kết quả: m 2 b) Có hai cực trị trong khoảng (0;+∞). Kết quả: m > 2 c) Có cực trị trong khoảng (0;+∞). Kết quả: m 2 43) Biện luận theo m số cực trị của hàm số y = f(x) = x4+2mx22m+1. Hd và kq : y’=4x(x2m)  m ≤ 0: 1 cực đại x = 0  m > 0: 2 cực đại x= ± m và 1 cực tiểu x = 0 x2 − x + m 44) Định m để đồ thị (C) của hàm số y = f(x) = có hai điểm cực trị nằm x+1 1 khác phía so với Ox. Kết quả : m > 4 45) Định m để hàm số y = f(x) = x36x2+3(m+2)xm6 có 2 cực trị và hai giá trị cực trị 17 cùng dấu. Kết quả : −
  6. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 6 - Soạn cho lớp LTĐH III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 52) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x22x+3. Kq: Min f(x) = f(1) = 2 R 53) Tìm giá trị lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x22x+3 trên [0;3]. Kq: Min f(x)=f(1)=2 và Max f(x)=f(3)=6. [ 0;3] [0;3] x2 − 4x + 4 54) Tìm giá trị lớùn nhất của hàm số y = f(x) = với x 0. Kết quả: Min y=f(1)= −3 ( 0;± ∞) x 62) Tìm GTLN, GTNN y=x–5+ 4− x2 . Kết quả: Max y = f ( 2) = 2 2 − 5 ; Min y = f (−2) = −7 [ −2;2] [ −2;2]  1  63) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=2x3+3x2−1 trên đoạn − ;1  2  Max y = f (1) = 4 Min y = f (0) = −1 Kết quả: [ −1;1] ; [ −1;1] 2 2 64) Tìm GTLN, GTNN của: a) y = x4-2x2+3. Kết quả: Min y=f(± 1)=2; Không có Max y R R b) y = x4+4x2+5. Kết quả: Min y=f(0)=5; Không có Max y R R 2 2 sinx − 1 7 c) y = . Kết quả: Min y= − ; Max y=1 cosx + 2 R 3 R Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  7. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 7 - Soạn cho lớp LTĐH x + 3x + 3 2 1 d) y = . Kết quả: Min y= ; Max y=3 x2 + x + 1 3 R R 3x + 1 9 65) Cho hàm số y = 2 . Chứng minh rằng : − ≤ y ≤ 1 x + x+ 2 7 x cosα − 2x + cosα 2 66) Cho hàm số y = α ∈ ( 0; π) . Chứng minh rằng : −1≤ y ≤ 1 x2 − 2x cosα + 1 Hướng dẫn:y’=0 ⇔ 2sin2α . x2−2sin2α =0 ⇔ x=−1 V x=1. Tiệm cận ngang: y=1 Dựa vào bảng biến thiên kết luận −1≤ y ≤ 1. 67) Định x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất : 1 y =f(x)= lg2x + 2 lg x + 2 Hướng dẫn và kết quả : Txđ: (0; +∞ ) . Đặt t= lg2x, t≥ 0, ⇒ hàm số 1 y=g(t)=t+ xác định trên [0; +∞), dùng đạo hàm đưa đến y’=0 ⇔ t+ 2 t=−3 ∉[0; +∞ ) V t=−1 ∉[0; +∞ ) ⇒ hàm số y=g(t) đồng biến trên 1 1 [0;+∞ ) ⇒ Min g(t) = g(0) = [ 0;+ ∞) ⇒ Min f(x) = f(1) = ( 0;+ ∞) 2 2 4 3 68) Tìm giá trị LN và giá trị NN của hàm số y=2sinx− sin x trên đoạn [0;π] 3 (Đề thi TNTH PT 2003−2004) Kết quả: Max f(x)=f(π /4)= f(3π /4)= 2 2 ; Min f(x)=f(0)=f(π )=0 [ 0;π ] [ 0;π ] 3 IV. TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 69) Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị các hàm số : x2 − x + 4 a) y = f(x) = x46x2+1 b) y = f(x) = x 70) Định m để đồ thị (Cm):y = f(x) = x33(m1)x2+m2x3 nhận I(1;1) làm điểm uốn. Kết quả: m = 2 . 71) Định m để đồ thị (Cm):y = f(x) = x46mx2+ 3 a) Có hai điểm uốn. Kết quả: m > 0 b) Không có điểm uốn. Kết quả: m ≤ 0 2x + 1 72) Chứng minh rằng đồ thị (C): y = 2 có 3 điểm uốn thẳng hàng. Viết x + x+1 phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn này. Hướng dẫn và kết quả: 1 −→ 1 −→ (C) có 3 điểm uốn A(2;1), B( ;0), C(1;1). AB = AC ⇒ A, B, C thẳng hàng. 2 2 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  8. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 8 - Soạn cho lớp LTĐH yC − yA 2 Đường thẳng d qua A, B, C qua C(1;1) có hệ số góc k = = nên có xC − xA 3 2 2 1 phương trình : y = k(x-xC)+yC = (x-1)+1⇔ y= x + . 3 3 3 73) Tìm điểm uốn và xét tính lồi, lõm của (C):y = f(x) =  23x+2 x Kết quả: Lõm trên các khoảng (∞;1) và (2; +∞). Lồi trên khoảng (1;2). Điểm uốn : I1(1;0) và I2(2;0) 74) a) Chứng minh rằng nếu (C): y = f(x) = ax 3+bx2+cx+d (a≠ 0) cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau thì điểm uốn của (C) nằm trên Ox. b) Tìm m để (C m):y = x33mx2+2m(m4)x+9m2m cắt trục hồnh tại 3 điểm cách đều nhau (có hồnh độ lập thành một cấp số cộng). Hướng dẫn và kết quả: a) Cho y = 0⇔ ax3+bx2+cx+d = 0 có 3 nghiệm x1, x2, x3, lập thành cấp số cộng ⇒ b b 2x2= x1+x3 ⇒ 3x2 = x1+x2+x3 = − ⇒ x2 = − . Vậy điểm uốn I(x2;0)∈Ox. a 3a b) Tìm I(m;m2m). Điều kiện cần : I∈Ox ⇒ m2m = 0 ⇒ m = 0 V m = 1. Điều kiện đủ : Chọn m = 1. 75) Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của (C) : x2 − x + 4 a) y=x3−3x2+2. b) y = . x+ 2 76) Chứng minh rằng đồ thị của các hàm số sau có phần lồi, lõm nhưng không có điểm uốn: x+1 1 a) y = . b) y = x + . x− 2 x 77) Tìm tham số để: a) (Cm) : y=x3−3x2+3mx+3m+4 nhận I(1;2) làm điểm uốn. b) (Ca,b) : y=ax3+bx2+x+1 nhận I(1;2) làm điểm uốn. c) Biện luận theo m số điểm uốn của (Cm) :y=x4+mx2+m−2 . 78) Tìm m để đồ thị (Cm):y = f(x) = x33x29x+m cắt Ox tại 3 điểm theo thứ tự có hồnh độ lập thành cấp số cộng. Kết quả : m = 11. 79) Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng (d): y = ax+b cắt đồ thị (C) : y=x33x29x+1 tại ba điểm phân biệt A, B, C và AB = BC. Hướng dẫn và kết quả : • Lập phương trình hồnh độ giao điểm : ax+b = x33x29x+1⇔ f(x) = x33x2(a+9)x+1b = 0.(1) • Điều kiện cần: Điểm uốn của đồ thị hàm số (1) là I(1;ab10)∈Ox ⇒ ab10 = 0 ⇒ a+b = 10. • Điều kiện đủ : a+b = 10 ⇒ f(x) = (x1).g(x) = 0 với ∆ g = 2 − b > 0 g(x) = x22x+b1. YCBT ⇔  ⇔ b
  9. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 9 - Soạn cho lớp LTĐH a+ b = −10 Kết luận :  b < 2 x+1 80) Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn của đồ thị (C):y= . x2 + 1 1 3 Kq:y = x + 4 4 81) Tìm m để (Cm):y = x33mx2+2m(m4)x+9m2m có điểm uốn : a) Nằm trên đường thẳng (d) : y = x. Kết quả : m = 0 V m = 2 . b) Đối xứng với M(3;6) qua gốc tọa độ O. Kết quả : m= 3 . c) Đối xứng với N(5;20) qua Ox. Kết quả : m= 5 . d) Đối xứng với P(7;42) qua Oy. Kết quả : m= 7 . V. TIỆM CẬN 82)Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số : 2x2 − 1 a) y = 2 . Kết quả: x = 1; x = 2 và y = 2 x − 3x + 2 x2 − x + 1 b) y = . Kết quả: x = 2 và y = x x+ 2 83) Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số : 2 a) y = 1+ e− x . Kết quả: y = 1 b) y = x2 + x + 1 . Kết quả: y = ± 1 x 84) Tìm các đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = x2 + 1 .Kết quả: y = ± x 85) Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số: y = 3 3x2 − x3 . Kết quả : y = x+1. x + ( m + 1) x + m + m 2 2 2 86) Cho (Cm ) : y = . x+1 a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thị (Cm). b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị (Cm) đi qua I(1;2). x+ 2 87)Tìm trên đồ thị (C):y = điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm x+1 cận là nhỏ nhất. x2 + 3x − 1 88) Lấy một điểm bất kỳ M∈(C):y = f(x) = . Chứng minh rằng tích các x− 2 9 khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) luôn không đổi. Kq: d1.d2= . 2 VI. KHẢO SÁT HÀM SỐ 89) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số: a) y = x3-3x+1 b) y = 3x2-x3 c) y = x3+3x−4 d) y = (1-x)3 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  10. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 10 - Soạn cho lớp LTĐH x 4 1 e) y = − x2 + f) y = x4+x2-2. 2 2 g) y=2x2−x4-1 h) y=x4-1 x+1 2x i) y = j) y = x−1 x+ 2 x2 4 k) y = l) y = x − 1− x−1 x+ 2 (x − 2)2 1 m) y = n) y = − x − 2 + 1− x x+ 2 VII.CÁC BÀI TỐN LIÊN HỆ ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 90) Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thị: x2 − 6x + 3 2m+ 3 a) (C): y = và d: y = x−m. Hd: Lý luận x= ≠ −2 x+ 2 8− m x+1 b) (H): y = và d: y= −2x+m. Hd: x=1 không là nghiệm phương trình hồnh độ x−1 giao điểm. 91) A.Vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3+3x2−2 B.Biện luận bằng đồ thị (C) số nghiệm của pt: x3+3x2−(m−2) = 0 1 92) Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y= x+3 và tiếp 4 xúc với đồ thị (C) hàm số y= −x3+3x2−4x+2. 93) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=x 3+3x2+1 biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ O. 94) Dùng đồ thị (C): y = x3−3x2+1 biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3−3x2 − 9x+1−m = 0. 95) Cho parabol (P): y=x2−2x+2 và đường thẳng d: y=2x+m. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) b) Biện luận theo m số điểm chung của d và (P). c) Khi d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn AB. x+1 96) Cho hàm số y = , có đồ thi (H). x−1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (H). b) Cho đường thẳng d: y= −2x+m. Giả sử d cắt (H) tại hai điểm M và N. Tìm tập hợp trung điểm I của MN. 97) Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số y=f(x)=x3−3x2+1 nhận điểm uốn của nó làm tâm đối xứng. 98) Cho hàm số y = x4−4x3−2x2+12x−1. a) Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số có trục đối xứng. b) Tìm các giao điểm của (C) với trục Ox. Hướng dẫn và kết quả: Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  11. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 11 - Soạn cho lớp LTĐH a)Dự đốn trục đối xứng của đồ thị (C) : Tìm đến y(3) và cho y(3) = 0 , tìm được nghiệm x=1 cũng là nghiệm của y’=0. Từ đó chứng minh x=1 là trục đối xứng của (C). b) Cho Y= 0, tìm được X= ± 4 ± 10 ⇒ y=0 và x =1 ± 4 ± 10 . x−3 99) Chứng minh rằng (C): y = có hai trục đối xứng. x+1 Hướng dẫn và kết quả: Tâm đối xứng là I(−1;1). Suy luận có hai đường phân giác y=−x và y = x+2 của các góc tạo bởi 2 tiệm cận là trục đ ối xứng c ủa (C). Chứng minh hai đường thẳng này là hai trục đối xứng của (C). x− 2 100) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C): y = . Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy x+ 2 suy ra đồ thị của các hàm số: x− 2 x− 2 a) (C1): y = f1(x) = b) (C2): y = f2(x) = x+ 2 x+ 2 x −2 x− 2 c) (C3): y = f3(x) = d) (C4): |y| = f4(x) = x +2 x+ 2 x− 2 x− 2 e) (C5): y = f5(x) = x + 2 f) (C6): |y| = f6(x) = x+ 2 101) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số : y = f(x) = x3−3x2+2. b) Từ đồ thị (C), suy ra đồ thị (C’): y = g(x) = | x| 3−3x2 +2. Từ đó biện luận theo m số nghiệm của phương trình: | x| 3−3x2 +1 − m = 0. 102) Chứng tỏ rằng (Cm): y=x2+(2m+1)x+m2−1 (1) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Xác định phương trình đường thẳng đó. Lời giải 1: 1. Dự đốn đường thẳng cố định: Cách 1: Chuyển (1) về phương trình m2+2xm+x2+x−1−y=0, phương trình này có ∆= (x)2−1.(x2+x−1−y)=0 ⇔ −x+1+y=0 ⇔ y= x−1 là đường thẳng cố định. Cách 2: Chuyển (1) về phương trình m2+2xm=−x2−x+1+y (2) Lấy đạo hàm 2 vế theo m: 2m+2x=0 ⇔ m=−x, thay trở lại (2):y=x−1 là đường thẳng cố định. 2. Chứng tỏ (Cm) tiếp xúc với đường thẳng cố định: ( Bắt đầu lời giải) Phương trình hồnh độ giao điểm của (Cm) và d:y=x−1 là: x2+(2m+1)x+m2−1=x−1 ⇔ x2+2mx+m2=0 ⇔ (x+m)2=0 ⇔ x=−m (nghiệm kép) Vậy (Cm) luôn tiếp xúc d:y=x−1. Chú ý: Chỉ có đường thẳng và đường bậc 2,mới có khái niệm “ 2 đường tiếp xúc nhau ⇔ phương trình hồnh độ giao điểm ( bậc 2 ) có nghiệm kép” . Trong các hàm số khác và hàm bậc nhất ta phải dùng hệ điều kiện tiếp xúc. Lời giải 2: Gọi d: y=ax+b là đường thẳng cố định. d tiếp xúc (Cm) khi và chỉ khi phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm kép với mọi m: x2+(2m+1)x+m2−1= ax+b⇔ x2+(2m+1−a) x+m2−b−1=0 có nghiệm kép với ∀ m Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  12. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 12 - Soạn cho lớp LTĐH ⇔ ∆ =(2m+1−a) −4.1(m −b−1)=0 với ∀ m⇔−4(a−1)m+(a−1)2+4b+4=0 với ∀ m 2 2 a − 1 = 0 a = 1 ⇔ ⇔ . (a-1) + 4b+ 4 = 0 b = −1 2 Vậy d:y=x−1 là đường thẳng cố định mà (Cm) luôn tiếp xúc. (3m+ 1)x − m2 + m 103) Chứng tỏ rằng (Cm): y= (1), m ≠ 0 luôn tiếp xúc với hai x+ m đường thẳng cố định. Xác định phương trình hai đường thẳng đó. 1. Dự đốn các đường thẳng cố định: Biến đổi (1) về phương trình bậc hai ẩn m: m2+(y−1−3x)m+(y−1)x=0 (2), đặt t=y−1 ta có phương trình: m2+(t−3x)m+tx=0(3) Phương trình (3) có ∆=0 ⇔ (t−3x)2−4tx=0 ⇔ t2−10xt+9x2=0⇔ t=9xV t=x. Thay t=y−1,suy ra hai đường thẳng d1:y=9x+1, d2:y=x+1 cố định tiếp xúc (Cm) 2. Chứng tỏ (Cm) tiếp xúc với d1, và tiếp xúc d2: ( Bắt đầu lời giải) • d1:y=9x+1 tiếp xúc (Cm) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:  (3m+ 1 x − m2 + m )  = 9x + 1  x+ m m  ⇔ (3x+m)2=0 ⇔ x= −  4m2 3 =9   (x + m) 2 m Vậy d1:y=9x+1 tiếp xúc (Cm) tại điểm có hồnh độ x= − (m ≠ 0). 3 • Tương tự : d2:y=x+1 tiếp xúc (Cm) tại điểm có hồnh độ x= m (m ≠ 0). 104) Chứng tỏ rằng (Cm): y=mx3−3(m+1)x2+x+1 luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định. Hướng dẫn giải: Tìm được (Cm) đi qua hai điểm cố định A(0;1) và B(3;−23) và tiếp tuyến của (Cm) tại A có phương trình y=x+1 là tiếp tuyến cố định. 105) Chứng tỏ rằng (dm): y=(m+1)x+m2−m luôn tiếp xúc với một parabol cố định. 1 3 1 Hướng dẫn giải: Dùng phương pháp 1, dự đốn (P):y= − x2 + x − là parabol cố 4 2 4 định và chứng tỏ (dm) tiếp xúc (P) tại x=1−2m. VIII.TÍCH PHÂN x + x− 3 2 106) Cho f(x)= , tìm A, B và C sao cho: (x − 1 3 ) A B C f(x)= + + . Kq: A= -1; B=3 và C=1 (x − 1)3 (x − 1)2 x − 1 x2 + x − 3 2) Từ đó tính ∫ (x − 1)3 dx x3 + x − 2 107) Tính ∫ (x − 2)3 dx Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  13. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 13 - Soạn cho lớp LTĐH (2x − 3)dx 108) Tính ∫x 2 − 3x + 2 3x dx 2 109) Tính ∫ 3 x −1 110) Tìm A, B , C để sinx−cosx+1= A(sinx+2cosx+3)+B(cosx−2sinx) +C 1 3 8 Kq: A= − ; B= − và C= 5 5 5 111) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: Hàm số Kết quả Hàm số Kết quả x+1 x 1 a) y= 2 x( + 1) +C c) y= tgx−cotgx+C x 3 sin2 x. cos x 2 x cos2x sinx+cosx+C b) y=2 sin2 x−sinx+C d) y= 2 cosx + sinx 112) Tìm nguyên hàm F(x) của f(x)= x3−x2+2x−1 biết rằng F(0) = 4. x 4 x3 2 Kết quả: F(x) = − +x −x+4 4 3 113) Tính đạo hàm của F(x) = x. l nx-x , rồi suy ra nguyên hàm của f(x)= l nx. Kết quả: F(x) = x. l nx-x+C x+1 A B 114) Tìm A và B sao cho với mọi x≠ 1 và x≠ 2 , ta có: = + x2 − 3x + 2 x − 2 x − 1 x+1 Từ đó, hãy tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) = 2 x − 3x + 2 3 x− 2 Kết quả: A=3; B= −2. F(x) = 3 l nx−2− l n + C= l n 2 x−1 +C (x − 1 2 ) 115) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả a) ∫ cotgx.dx l nsinx+C 1 l n l n x+C d) ∫ dx −cotgx−x+C x. ln x ∫ cotg x.dx 1 2 cosx+ 3 2 b) − e) ∫ e e +C 2 cosx+3 1 3 .sinxdx 2 c) ∫ sin x. cosxdx sin x+C 2 3 dx x f) ∫ sinx l ntg  2 +C 116) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả π x2 + 2 2 a) ∫ 1 3 − 2cotg2 x 11 3 − 15 3 dx 2x2 e) ∫ dx 1 π cos x 2 3 12 4 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  14. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 14 - Soạn cho lớp LTĐH π 3 x + 4x 2 3+ 2− 2 b) ∫ dx 1− sin3 x 4 x 4 f) ∫ dx 2 1 2 π sin2 x 6 c) ∫ | x − 1| dx 2 4− π π 1 −2 2 π 4 4 ∫ g) sin2 x cosxdx 3 ∫ 0 d) tg2 xdx 0 117) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả 1 π dx ln2 2 a) ∫ sinx 2 ln2 0 x+1 g) ∫ 1+ 3cosxdx 3 2 dx 1 0 b) ∫ π 3 1 (2x − 1)2 cos x 2 3 1 h) ∫ .dx 2 π sin x 2 4x + 2 1 c) ∫ dx 2ln3 6 0 x + x+1 2 π π ln 2 2 sinx + cosx ln( 3 +1) 4 i) ∫ .dx sinx − cosx ∫ d) tgxdx 0 π 3 5 1 0 ln 2 ex dx ln j) ∫ (2x − 1 x − x + 1.dx ) 2 e) ∫ x 4 0 e +3 1 0 π 2 e ln2 x 3 2 k) ∫ dx 3 x ∫ f) cos x.dx 3 1 0 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  15. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 15 - Soạn cho lớp LTĐH Giáo trình Giải tích 12 - Trang 16 - Soạn cho lớp LTĐH 118) Chứng minh rằng: 3π π 4 dx π 11 a) ≤ 4 ∫ 3 − 2sin2 x ≤ 2 π b) 54 2 ≤ ∫ ( x + 7 + 11− x )dx≤ 108 −7 4 119) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả π 4 1 a) ∫ sin2x.dx 0 2 e 1 + ln x 2 b) ∫ 1 x dx 3 (2 2 − 1) π 3 sin 3 xdx 1 c) ∫ cos 2 x 0 2 π 4 3π − 8 ∫ d) tg4 xdx 0 12 π 2 4 dx e) ∫ 3 π sin 4 x 4 1 3 ∫ 1 − xdx 4 3 f) 0 1 1 (2 2 − 1) g) ∫ x x + 1 dx 3 2 0 π 1 dx 3 3 h) ∫x 0 2 + x+1 1 2( e + 1 − 2) e x dx k) ∫ 0 1 + ex π 3 2 4 ∫ l) sinx cosxdx 3 0 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  16. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 16 - Soạn cho lớp LTĐH 120) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả 2 dx π m) ∫ Nhân tử số và mẫu số cho x.Kq: 2x x −1 2 12 3 9π n) ∫ 9 − x dx 2 −3 2 1 dx π o) ∫ 6 0 4− x 2 1 π p) ∫ x 1− x2 dx x=sint. Kq: 2 16 0 3 1 q) ∫ x2 + 1 dx 3+ ln(2 + 3) 2 0 1 1 − x2 3 3− π r) ∫ x2 dx 3 1 2 2e TS+ex−ex.Kq:l n 1 dx s) ∫ e+ 1 0 1+ ex π 2 dx 1 t) ∫ 1+ cosx 0 π 1 u) sinxdx 3 ∫ cos2 x 0 π π 2 sinx 4 v) ∫ 1+ cos x dx 0 2 1 ln4 x e 5 w) ∫ x dx 1 121) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả 1 e e2 + 1 a) ∫ xe 2x dx c) ∫ ln xdx 1 0 4 1 π π 2 π 4 xdx π ∫ b) ( x − 1) cos xdx 0 2 −2 d) ∫ cos2 x 0 4 − ln 2 Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  17. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 17 - Soạn cho lớp LTĐH π 1 1 π ∫ h) x ln(1 + x )dx 2 2 ln2− e) ∫ x sin x.cos xdx 0 8 0 2 π e2 − 1 i) ∫ (e + x )sin xdx +π e cos x e−2 ∫ (lnx) dx e 2 f) 0 1 π π 1 π e2 + 1 ∫ ln(1+ x 2 g) 2 )dx ln2−2+ j) ∫e x 2 sin xdx 0 2 0 122) Chứng minh rằng: π π 2 2 π −t a) ∫ f (sinx)dx =∫ f (cosx)dx 0 0 Hd: x= 2 b b b) ∫ f (x)dx = ∫ f (b − x)dx 0 0 Hd: x=b−t a 2 1a ∫ x f (x )dx = 2∫ xf(x)dx (a>0) 3 2 c) Hd: t=x2 0 0 π π 2 2 π −t d) ∫ f (tgx)dx =∫ f (cotgx)dx 0 0 Hd: x= 2 π π π x.sinx ∫ 1+ cos x dx 2 e) ∫ xf(sinx)dx = π∫ f (sinx)dx . Áp dụng, tính: 0 0 0 2 π Hướng dẫn: Lần 1, đặt x=π −t. Lần 2, để tính ∫ f (sinx)dx ta đặt x= π +s và kết π 2 2 π π x.sinx π2 sinx quả bài 118a). Tính 0 0 ∫ 1+ cos x dx = π ∫ 1+ cos x dx , đặt t=cosx, kq: 2 4 2 123) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số chẵn,liên tục trên đoạn [−a;a] (a>0) a a thì: ∫ f (x)dx = 2∫ f (x)dx. Hd: t=−x −a 0 124) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ, liên tục trên đoạn [−a;a] (a>0) thì: a ∫ f(x)dx =0. Hd: t=−x −a π 8 ∫x sin7 xdx=0 . Áp dụng bài 124). 6 125) Chứng minh rằng: π − 8 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  18. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 18 - Soạn cho lớp LTĐH 1 1 ∫e dx =2∫ ecosx dx. Áp dụng bài 123). cosx 126) Chứng minh rằng: −1 0 x −x 127) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ thì: ∫ f (t)dt = ∫ f (t)dt . Hd: t=−x a −a a 128) Chứng minh rằng ∫ sinx.f (cosx)dx =0 . Áp dụng bài 124) −a a a ∫ cosx.f (x )dx =2∫ cosx.f (x )dx . Áp dụng bài 123). 2 2 129) Chứng minh rằng −a 0 1 1 ∫x (1− x)n dx = ∫ xn (1− x)m dx . Hd:x=1−t m 130) Chứng minh rằng 0 0 131) Tính các tích phân sau: Tích phân Kết quả 2 a) ∫ ln(x + x + 1)dx 2 Hs lẻ: 0 −2 π 2 x + sinx π (1+ 3) b) ∫ dx 6 π 1+ cos x 6 15 ln 2 2 ln x − c) ∫ dx 256 64 1 x 5 ln 2 e ln d) ∫ x.e dx −x 2 0 e 2(e − 1) e) ∫ | ln x | dx e 1 e e ln 1 x 3 2 f) ∫ dx 0 x +1 2 π 6 2 7 g) ∫ 1- cosx.sinxdx 6 0 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  19. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 19 - Soạn cho lớp LTĐH Tích phân Kết quả ln 3 e dxx 2 −1 h) ∫0 (e + 1) x 3 0 3 4 − ∫ x(e + 3 x + 1)dx 2x k) 4e2 7 −1 π 4 x 1 π ( − ln 2) l) ∫ 1+ cos2x dx 0 4 2 π 1− 2sin2 x 4 ln 2 m) ∫ 1+ sin2x dx 0 2 3 1 5 dx ln n) ∫ x x2 + 4 4 3 5 2 1 15 ∫x 3 o) 1- x2 dx 0 ln 5 20 e2x p) ln 2 ∫ ex − 1 dx 3 2 1 q) ∫ | x - x |dx 2 1 0 u=x2, dv=?. 1 2 r) ∫ x e dx 3 x 2 1 2 0 (e + 3) e x2 + 1 4 s) ∫ .lnxdx l x 1 132) Cho In = ∫ x e .dx (n∈ N) n x 0 a) Tìm hệ thức liên hệ giữa In và In−1 (n≥1) 1 ∫ x e .dx . 3 x b) Áp dụng tính I3 = Kết quả: 6−2e 0 π 4 ∫ 133) Cho In = tgn x.dx (n∈ N ) 0 π a) Chứng minh rằng In > In+1. Hd: In>In+1,∀x∈(0; ) 4 b) Tìm hệ thức liên hệ giữa In+2 và In. Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
  20. Giáo trình Giải tích 12 - Trang 20 - Soạn cho lớp LTĐH π 4 1 1 ∫ Hướng dẫn: In+2 = tgn x( − 1 dx ⇒In + In+2= ). . 0 cos x 2 n+1 π 134) Tính In = ∫ cos x. cosnx.dx(nỴ N ) n 0 u = cos x n 1 1 π Hướng dẫn: đặt  , tìm được In= In−1=…= n−1 I1= n . dv = cosnxdx . 2 2 2 π 2 ∫ 135) Tính In = cos x.dx (nỴ N ) n 0 u = cos −1 x n n− 1 Hướng dẫn: đặt  , tìm được In= In−2. dv = cosx.dx n Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận : 1.3....( − 1) π n • n=2k ( n chẵn): In= 2.4...n . 2 2.4....( − 1) n • n=2k+1 ( n lẻ): In= 3.5...n π 2 ∫ 136) Cho In = sinn x.dx (nỴ N ) 0 n+ 1 a) Chứng minh rằng In+2 = In. n+ 2 b) Chứng minh rằng f(n) = (n+1).In.In+1 là hàm hằng. c) Tính In. Hướng dẫn: u = sinn+1 x a) Đặt  dv = sinx.dx π b) Chứng minh f(n+1)=f(n)⇒ f(n)=…=f(0)= 2 c) Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận : 1.3....( k − 1) π 2 • n=2k ( n chẵn): I2k= 2.4...2k . 2 2.4...2k • n=2k+1 ( n lẻ): I2k+1= 3.5...(2k + 1) 1 137)a) Tính I0 = ∫ (2x − 1).e x − x2 .dx , Kết quả: a= 0 0 1 b) Chứng minh rằng In = ∫ (2x − 1 2n+1 2 ) .ex− x .dx =0 Hd: b) Truy hồi. 0 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản