Giáo trình giải tích cơ sở

Chia sẻ: Trần Bảo Quyên Quyên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

0
505
lượt xem
182
download

Giáo trình giải tích cơ sở

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình giải tích cơ sở - Không gian định chuẩn - Ánh xạ tuyến tính liên tục - Không gian Hilbert

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Giáo trình giải tích cơ sở

  1. GI I TÍCH (CƠ S ) Chuyên ngành: Gi i Tích, PPDH Toán Ph n 2. Không gian đ nh chu n Ánh x tuy n tính liên t c §3. Không gian Hilbert (Phiên b n đã ch nh s a) PGS TS Nguy n Bích Huy Ngày 27 tháng 3 năm 2005 I. Ph n lý thuy t 1 Tích vô hư ng, không gian Hilbert 1.1 Đ nh nghĩa Đ nh nghĩa 1 1. Cho không gian vectơ X trên trư ng s K (K = R ho c K = C).M t ánh x t X × X vào K, (x, y ) → x, y đư c g i là m t tích vô hư ng trên X n u nó th a mãn các đi u ki n sau: (a) x, x ≥ 0 ∀x ∈ X x, x = 0 ⇔ x = θ ∀x, y ∈ X (b) y , x = x, y ( y , x = x, y n u K = R), ∀x, x , y ∈ X (c) x + x , y = x, y + x , y ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ K (d) λx, y = λ x, y 1
  2. T các tính ch t i) - iv) ta cũng có: x, y + y = x, y + x, y , x, λy = λ x, y 2. N u ., . là m t tích vô hư ng trên X thì ánh x x → x, x là m t chu n trên X , g i là chu n sinh b i tích vô hư ng. 3. N u ., . là tích vô hư ng trên X thì c p(X, ., . ) g i là m t không gian ti n Hilbert (hay không gian Unita, không gian v i tích vô hư ng). S h i t , khái ni m t p m ,...,trong (X, ., . ) luôn đư c g n v i chu n sinh b i ., . . N u không gian đ nh chu n tương ng đ y đ thì ta nói (X, ., . ) là không gian Hilbert. 1.2 Các tính ch t 1. B t đ ng th c Cauchy - Schwartz: | x, y | ≤ x . y 2. x + y 2 + x − y 2 = 2( x 2 + y 2) (đ ng th c bình hành). 3. N u lim xn = a, lim yn = b thì lim xn, yn = a, b Ví d 1 1. Trong C [a, b] các hàm th c liên t c trên [a, b] thì ánh x b (x, y ) → x, y = x(t)y (t)dt a là m t tích vô hư ng. Không gian (C [a, b], ., . ) không là không gian Hilbert.(xây d ng ví d tương t ph n không gian met- ric) 2. Trong l2, v i x = {λk }, y = {αk }, ta đ nh nghĩa ∞ x, y = λk αk k =1 thì ., . là tích vô hư ng, (l2, ., . ) là không gian Hilbert. 2
  3. 2 S tr c giao 2.1 Đ nh nghĩa Đ nh nghĩa 2 Cho không gian v i tích vô hư ng (X, ., . ) và x, y ∈ X, φ = M ⊂ X . 1. Ta nói x tr c giao v i y (vi t x⊥y ) n u x, y 2. N u x⊥y ∀y ∈ M thì ta vi t x⊥M . Ta ký hi u M ⊥ = {x ∈ X : x ⊥ M } . 2.2 Các tính ch t 1. N u x ⊥ M thì x ⊥ M ( M ch không gian con sinh b i M) 2. N u x ⊥ yn ∀n ∈ N∗ và lim yn = y thì x ⊥ y . Suy ra n u x ⊥ M thì cũng có x ⊥ M . 3. M ⊥ là m t không gian con đóng. 4. N u x1, . . . , xn đôi n t tr c giao thì 2 2 + . . . + xn 2(đ ng th c Pythagore) x1 + . . . + xn = x1 Đ nh lý 1 (v phân tích tr c giao) N u M là m t không gian con đóng c a không gian Hilbert (X, ., . ) thì m i x ∈ X có duy nh t phân tích d ng y ∈ M, z ∈ M ⊥ x = y + z, (1) Ph n t y trong (1) g i là hình chi u tr c giao c a x lên M và có tính ch t x − y = inf x − y . y ∈M 3
  4. 3 H tr c chu n. Chu i Fourier 3.1 Đ nh nghĩa Cho không gian Hilbert (X, ., . ) 1. H {e1, e2, . . .} ⊂ X g i là m t h tr c chu n n u 0 n ui=j ei, ej = 1 n ui=j = 1 ∀n ∈ N∗ và Như v y, {en} là h tr c chu n n u en ei ⊥ ej (i = j ). 2. H tr c chu n {en} g i là đ y đ , n u nó có tính ch t sau: (x ⊥ en ∀n = 1, 2, . . .) ⇒ x = θ. 3. N u {en} là h tr c chu n thì chu i ∞ x, en · en g i là chu i n=1 Fourier c a ph n t x theo h chu n {en}. Đ nh lý 2 Cho {en} là h tr c chu n trong không gian Hilbert (X, ., . ) và {λn} là m t dãy s . Ta xét chu i ∞ λnen (2) n=1 Ta có: ∞ 2 n=1 |λn | < ∞. 1. Chu i (2) h i t khi và ch khi 2. Gi s chu i (2) h i t và có t ng x thì ∞ ∀n ∈ N∗ 2 |λn|2, x = x, en = λn n=1 4
  5. Đ nh lý 3 Chu i Fourier c a m i ph n t x ∈ X theo h tr c chu n {en} là h i t và ta có ∞ | x, en |2 ≤ x2 (b t d ng th c Bessel). n=1 Ý nghĩa c a h tr c chu n đ y đ đư c làm rõ trong đ nh lý sau. Đ nh lý 4 Cho {en} là h tr c chu n. Các m nh đ sau là tương đương: 1. H {en} đ y đ 2. ∞ ∀x ∈ X. x= x, en en, n=1 3. ∞ 2 | x, en |2 ∀x ∈ X x = (đ ng th c Parseval) n=1 II. Ph n Bài t p ∞ Bài t p 1 Trong không gian l1 các dãy s th c x = {λk }, k =1 |λk | < ∞ ta đ nh nghĩa ∞ λk · αk , x = {λk } ∈ l1, y = {αk } ∈ l1 x, y = k =1 1. Ch ng minh ., . là m t tích vô hư ng trên l1. 2. (l1, ., . ) không là không gian Hilbert. Gi i 5
  6. 1. Trư c tiên ta c n ki m tra x, y xác đ nh ∀x, y ∈ l1. Th t v y, vì lim αk = 0 nên {αk } b ch n: ∃M ∈ R, |αk | ≤ M ∀k ∈ N∗. Do đó ∞ ∞ |λk αk | ≤ M |λk | < ∞ k =1 k =1 và chu i đ nh nghĩa x, y h i t . Các đi u ki n c a tích vô hư ng d dàng ki m tra. 1 2. Chu n sinh b i ., . s là x = ( ∞ λ2 ) 2 , x = {λk }. k =1 k 1 1 Xét dãy {xn} ⊂ l1 v i xn = {1, 2 , . . . , n , 0, 0, . . .}. • Ta có {xn} là dãy Cauchy vì v i n > m: 1 1 xn − xm = {0, . . . , 0, , . . . , , 0, 0, . . .} m+1 n n 11 ⇒ xn − xm ) 2 −→ 0 (khi n, m → ∞) =( 2 k k =m+1 • Ta ch ng minh {xn} không h i t . Gi s trái l i t n t i a = {αk } ∈ l1 sao cho lim xn − a = 0. C đ nh k ∈ N∗, khi n ≥ k , ta có 1 | − αk | ≤ xn − a k ∀k ∈ N∗, vô lý vì dãy { k }k ∈ l1. 1 1 T đây ta có αk = k / V y l1 v i tích vô hư ng trên không là không gian Hilbert. Bài t p 2 Cho không gian Hilbert X và X0 là không gian con đóng c a X , A : X0 → Y là ánh x tuy n tính liên t c(Y là m t không gian đ nh chu n). Ch ng minh t n t i ánh x tuy n tính liên t c B : X → Y sao cho B (x) = A(x) ∀x ∈ X0, B = A 6
  7. Gi i • Ta đ nh nghĩa ánh x A như sau. Theo đ nh lý v phân tích tr c giao, m i x ∈ X có duy nh t phân tích ⊥ y ∈ X0, z ∈ X0 x = y + z, (3) và ta đ t B (x) := A(y ). Vì phân tích d ng (3) c a x ∈ X0 là x = x + θ nên ta có ngay B (x) = A(x) ∀x ∈ X0 • Ta ki m tra B là tuy n tính: v i x, x ∈ X, α, α ∈ K ta vi t phân tích (3) và ⊥ y ∈ X0, z ∈ X0 x =y +z, Khi đó: αx + α x = (αy + α y ) + (αz + α z ) ∈X0 ⊥ ∈X0 ⇒ B (αx + α x ) = A(αy + α y ) = αA(y ) + α A(y ) = αB (x) + α B (x ). • Ti p theo ta ch ng minh B liên t c và B = A . T (3) và đ nh lý Pythagore ta có x 2 = y 2 + z 2, do đó: A( y ) ≤ A · y B (x ) = (Do A liên t c) ⇒ B (x ) ≤ A · x , ∀x ∈ X V y B liên t c và B ≤ A . M t khác ta có: B = supx∈X, x =1 B (x) ≥ supx∈X0, B (x ) x =1 = supx∈X0, x =1 A(x) = A Vy B = A . 7
  8. Bài t p 3 Cho h tr c chu n {en} trong không gian Hilbert X . Xét dãy ánh x Pn :X −→ X n x ∈ X, n ∈ N∗. Pn (x ) = x, ek ek , k =1 1. Ch ng minh Pn(x) là hình chi u tr c giao c a x lên Xn := e1, . . . , en . 2. Gi s h {en} đ y đ . Ch ng minh limn→∞ ||Pn(x)−I (x)|| = 0 ∀x ∈ X nhưng ||Pn − I || 0(I : X → X là ánh x đ ng nh t) Gi i 1. Ta có: x = Pn(x) + (x − Pn(x)), Pn(x) ∈ Xn. ⊥ Do đó ch còn ph i ch ng minh x − Pn(x) ∈ Xn hay x − Pn(x) ⊥ Xn. Vì Xn sinh b i {e1, . . . , en} nên ch c n ch ng minh x − Pn(x) ⊥ ei ∀i = 1, . . . , n.Th t v y: n x−Pn(x), ei = x, ei − x, ek ek , ei = x, ei − x, ei = 0 k =1 2. – Do đ ng th c Parseval, ta có ∀x ∈ X : ∞ n x, ek · ek = lim x, ek · ek = lim Pn(x) x= n→∞ n→∞ k =1 k +1 –Đ t ∞ Qn(x) = I (x)−Pn(x) = x, ek ·ek , x ∈ X, n = 1, 2 . . . k =n+1 8
  9. Ta có Qn(x) tuy n tính và ∞ ||Qn(x)||2 = | x, ek |2 ≤ ||x||2 (bđt Bessel) k =n+1 ⇒ Qn liên t c, ||Qn|| ≤ 1 ||Qn (en+1 || M t khác, Qn(en+1) = en+1 và ||Qn|| ≥ = 1 nên ||en+1 || ta có ||Qn|| = 1 hay ||I − Pn|| = 1 Bài t p 4 Cho {en} là h tr c chu n trong không gian Hilbert X và {λn} là dãy s . 1. Gi s {λn} là dãy b ch n. Ch ng minh r ng ∞ λn x, en · en x∈X A( x ) = (4) n=1 là ánh x tuy n tính liên t c t X vào X và ||A|| = supn∈N∗ |λn| 2. Gi s chu i trong (4) h i t ∀x ∈ X . Ch ng minh {λn} là dãy b ch n. Gi i 1. Đ t M = supn∈N∗ |λn| Đ u tiên ta ki m tra A xác đ nh hay ch ng minh chu i trong (4) h i t . Ta có ∞ ∞ |λn x, en |2 ≤ M 2 | x, en |2 ≤ M 2 · ||x||2 (5) n=1 n=1 nên theo đ nh lý 2, chu i trong (4) h i t . D ki m tra A là ánh x tuy n tính. T đ nh lý 2 và (5) ta có 9
  10. ∞ 2 |λ x, en |2 ≤ M 2 · ||x||2 ∀x ∈ X ||A(x)|| = n=1 ⇒ A liên t c, ||A|| ≤ M M c khác ta có: và ||A(ek )|| ≤ ||A|| ∀k ∈ N∗ A(ek ) = λk ek nên ||A|| ≥ |λk | ∀k ∈ N∗. Do đó ||A|| ≥ M . V y ||A|| = M đpcm. 2. T gi thi t và đ nh lý 2, ta có ∞ |λn|2 · | x, en |2 < ∞ ∀x ∈ X. (6) n=1 N u {λn} không b ch n thì ta tìm đư c dãy con {λnk }k sao cho |λnk | > k (k ∈ N∗). Ta có ∞ ∞ ∞ 1 1 1 ≤ ⇒ ∃a := en (theo đ nh lý 2) λn k k |λnk |2 k2 k =1 k =1 k =1 Ta có 1 n u n = nk λnk a, en = n u n ∈ {n1, n2, . . .} 0 / do đó: ∞ ∞ 1 |λn|2 · | a, en |2 = |λnk |2 · =∞ |λnk |2 n=1 k =1 Ta g p mâu thu n v i (6). 10
Đồng bộ tài khoản