Giáo trình hình thành lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p6

Chia sẻ: phuoctam32

Định lý Cho các h m f ∈ C(H, 3) ∩ C1(D, 3), g ∈ C2(D, 3), h ∈ C1(D, 3) Giải các bài toán (7.8.4) v (7.8.5) tìm các h m v(x, t) v w(x, t) sau đó thế vào công thức (7.8.3) suy ra nghiệm của bài toán HH1. Định lý Cho các h m f ∈ C(H, 3) ∩ C1(D, 3), g ∈ C2(D, 3), h ∈ C1(D, 3)

Nội dung Text: Giáo trình hình thành lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p6

h a n g e Vi h a n g e Vi
XC XC
e e
F- F-
w w
PD




PD
er




er
!




!
W




W
O




O
N




N
y




y
bu




bu
to




to
k




k
lic




lic
C




C
w




w
m




m
w w
w




w
o




o
.c .c
Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng
.d o .d o
c u -tr a c k c u -tr a c k




∂2v
∂2v
= a2 2
∂t 2 ∂x
x
v(x, 0) = g(x) - p(0) - (q(0) - p(0)) = g1(x)
l
∂v x
(x, 0) = h(x) - p’(0) - (q’(0) - p’(0)) = h1(x)
∂t l
v(0, t) = v(l, t) = 0 (7.8.4)
víi c¸c ®iÒu kiÖn biªn
g1(0) = g1(l) = 0 ⇔ g(0) = p(0), g(l) = q(0)
h1(0) = h1(l) = 0 ⇔ h(0) = p’(0), h(l) = q’(0)

H m w(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HH1b
∂2w ∂2w ∂2w
x
= a2 2 + f(x, t) - p”(t) - (q”(t) - p”(t)) = a2 2 + f1(x, t)
∂t 2 ∂x ∂x
l
∂w
w(x, 0) = 0, (x, 0) = 0
∂t
w(0, t) = w(l, t) = 0 (7.8.5)

• Gi¶i c¸c b i to¸n (7.8.4) v (7.8.5) t×m c¸c h m v(x, t) v w(x, t) sau ®ã thÕ v o c«ng
thøc (7.8.3) suy ra nghiÖm cña b i to¸n HH1.

§Þnh lý Cho c¸c h m f ∈ C(H, 3) ∩ C1(D, 3), g ∈ C2(D, 3), h ∈ C1(D, 3) v c¸c h m p,
q ∈ C2([0,T], 3) tho¶ m n
g(0) = p(0), g(l) = q(0) v h(0) = p’(0), h(l) = q’(0)
H m u(x, t) x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (7.8.3) víi c¸c h m v(x, t) v w(x, t) l nghiÖm cña
c¸c b i to¸n (7.8.4) v (7.8.5) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n HH1.

∂2u
∂2u
víi (x, t) ∈ [0, 1] × [0, T]
VÝ dô Gi¶i b i to¸n = 4 2 + xt
∂t 2 ∂x
∂u
u(x, 0) = sinπx, (x, 0) = x v u(0, t) = 0, u(1, t) = t
∂t
• T×m nghiÖm cña b i to¸n d−íi d¹ng u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) + xt trong ®ã h m v(x, t)
l nghiÖm cña b i to¸n HH1a víi g1(x) = sinπx v h1(x) = 0 cßn h m w(x, t) l nghiÖm
cña b i to¸n HH1b víi f1(x, t) = xt.
Gi¶i b i to¸n HH1
1
ak = 2 ∫ sin πx sin kπxdx =  1 k = 1 v bk = 0 víi k ∈ ∠*
 0 k >1

0

Suy ra
v(x, t) = cos2πtsinπx


Trang 130 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi
XC XC
e e
F- F-
w w
PD




PD
er




er
!




!
W




W
O




O
N




N
y




y
bu




bu
to




to
k




k
lic




lic
C




C
w




w
m




m
w w
w




w
o




o
.c .c
Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng
.d o .d o
c u -tr a c k c u -tr a c k




Gi¶i b i to¸n HH2a
2(-1) k +1
1
fk(t) = 2t ∫ x sin kπxdx = t víi k ∈ ∠*

0

Gi¶i hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng
2(-1) k +1
T k′ (t ) + (2kπ)2Tk(t) =
′ ′
t , Tk(0) = 0, Tk (0) = 0

T×m ®−îc c¸c h m
(-1) k +1  
1
t − sin 2 kπt  víi k ∈ ∠*
Tk(t) =
2( kπ )  2 kπ
3

Suy ra nghiÖm cña b i to¸n
(-1) k +1 
+∞

1 1
∑ t − sin 2 kπt  sin kπx
u(x, t) = xt + cos2πtsinπx +
 2 kπ
2π 3 3

k
k =1



NhËn xÐt B»ng c¸ch kÐo d i liªn tôc c¸c h m liªn tôc tõng khóc, c¸c c«ng thøc trªn vÉn
sö dông ®−îc trong tr−êng hîp c¸c h m g v h cã ®¹o h m liªn tôc tõng khóc.




B i tËp ch−¬ng 7

• §−a vÒ chÝnh t¾c c¸c ph−¬ng tr×nh ®¹o h m riªng tuyÕn tÝnh cÊp 2 sau ®©y.
∂2u ∂2u
∂2u
1. +2 + 5 2 - 16u = 0
∂x∂y
∂x 2 ∂y
∂2u ∂2u
∂2u ∂u ∂u
2. -2 + +9 -9 + 9u = 0
∂x∂y ∂x ∂y
∂x ∂y
2 2


∂2u ∂2u
∂2u ∂u ∂u
3. 2 +3 + +7 -4 =0
∂x∂y ∂x ∂y
∂x 2 ∂y 2
∂2u ∂2u
∂2u ∂u
- cos2x 2 + sinx
4. - 2sinx =0
∂x∂y ∂y
∂x ∂y
2




• LËp b i to¸n ph−¬ng tr×nh VËt lý - To¸n tõ c¸c b i to¸n sau ®©y.
7. D©y rÊt m¶nh cã ®é d i l ®Æt trªn trôc Ox, mót x = 0 cè ®Þnh, mót x = l chuyÓn ®éng
theo qui luËt Asinωt, dao ®éng trong m«i tr−êng cã lùc c¸n tû lÖ víi vËn tèc, hÖ sè tû lÖ
l λ, ®é lÖch ban ®Çu l g(x), vËn tèc ban ®Çu l h(x). X¸c ®Þnh dao ®éng cña d©y?
8. §Üa rÊt máng ®ång chÊt b¸n kÝnh R ®Æt trong mÆt ph¼ng Oxy, mËt ®é nguån nhiÖt
trong tû lÖ víi kho¶ng c¸ch ®Õn t©m, nhiÖt ®é m«i tr−êng gi÷ ë nhiÖt ®é u0, nhiÖt ®é ban
®Çu l g(x, y). X¸c ®Þnh ph©n bè nhiÖt trªn ®Üa?


Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 131
h a n g e Vi h a n g e Vi
XC XC
e e
F- F-
w w
PD




PD
er




er
!




!
W




W
O




O
N




N
y




y
bu




bu
to




to
k




k
lic




lic
C




C
w




w
m




m
w w
w




w
o




o
.c .c
Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng
.d o .d o
c u -tr a c k c u -tr a c k




• Gi¶i b i to¸n Cauchy
∂2u ∂2u ∂u
= a2 2 ut=0 = ex, = e-x
9. t=0
∂t 2 ∂t
∂x
∂2u 2∂ u ∂u
2
+ te-x
10. =a ut=0 = sinx, = x + cosx
t=0
∂t ∂t
∂x
2 2


∂2u ∂2u ∂u
= a2 2 + tsinx
11. ut=0 = cosx, =x
t=0
∂t 2 ∂t
∂x
∂2u ∂2u ∂u
= a2 2 + tcosx
12. ut=0 = sinx, = 2x
t=0
∂t 2 ∂t
∂x

• Gi¶i b i to¸n gi¶ Cauchy
∂2u ∂2u ∂u
= a2 2 + te-x
13. ut=0 = sinx, = x, u(0, t) = 0
t=0
∂t 2 ∂t
∂x
∂2u ∂2u ∂u
= a2 2 + tsinx = sinx, u(0, t) = e-t
14. ut=0 = xcosx, t=0
∂t 2 ∂t
∂x
∂2u ∂2u ∂u ∂u
= a2 2 + xsinx = 3 x 2,
15. ut=0 = cosx, (0, t) = 0
t=0
∂t 2 ∂t ∂x
∂x
∂2u ∂2u ∂u ∂u
= a2 2 + xcosx
16. ut=0 = sinx, = cosx, (0, t) = 0
t=0
∂t 2 ∂t ∂x
∂x

• Gi¶i c¸c b i to¸n hçn hîp sau ®©y víi H = [0, l] × 3+
∂ 2u ∂u
∂2u
= a2 2
17. ut=0 = x(l - x), = 0 v u(0, t) = u(l, t) = 0

∂t t=0
∂t 2 ∂x
∂ 2u ∂u
∂2u
= a2 2
18. ut=0 = 0, = xsinx v u(0, t) = u(l, t) = 0

∂t t=0
∂t 2 ∂x
∂ 2u ∂u
∂2u
= a2 2
19. ut=0 = xcosx, = 0 v u(0, t) = t, u(l, t) = 0

∂t t=0
∂t 2 ∂x
∂ 2u ∂u
∂2u
= a2 2 + bshx
20. ut=0 = 0, = 0 v u(0, t) = u(l, t) = 0

∂t t=0
∂t 2 ∂x
∂ 2u ∂u
∂2u
= a2 2 + tcosx
21. ut=0 = sinx, = x v u(0, t) = 0, u(l, t) = t

∂t t=0
∂t 2 ∂x
∂ 2u ∂u
∂2u
= 0 v u(0, t) = 0, u(l, t) = Asinωt
= a2 2
22. ut=0 = 0, 
∂t t=0
∂t 2 ∂x
∂2u ∂2u
∂u ∂u
+ 2λ = a2 2
23. ut=0 = g(x), = h(x) v u(0, t) = u(l, t) = 0
t=0
∂t 2 ∂t ∂t
∂x



Trang 132 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi
XC XC
e e
F- F-
w w
PD




PD
er




er
!




!
W




W
O




O
N




N
y




y
bu




bu
to




to
k




k
lic




lic
C




C
w




w
m




m
w w
w




w
o




o
.c .c
.d o .d o
c u -tr a c k c u -tr a c k




Ch−¬ng 8

Ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt



§1. B i to¸n Cauchy thuÇn nhÊt

B i to¸n CP1a
Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+ v h m g ∈ C(D, 3).
T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt
∂2u
∂u
= a2 2 víi (x, t) ∈ H0 (8.1.1)
∂t ∂x
v ®iÒu kiÖn ban ®Çu
u(x, 0) = g(x) (8.1.2)

• T×m nghiÖm riªng bÞ chÆn cña b i to¸n CP1a d¹ng t¸ch biÕn
u(x, t) = X(x)T(t)
ThÕ v o ph−¬ng tr×nh (8.1.1) ®−a vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n
T’(t) + λa2T(t) = 0
X”(x) + λX(x) = 0
HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n trªn cã hä nghiÖm riªng bÞ chÆn
2
T(t) = e −( αa ) t v X(x) = A(α)cosαx + B(α)sinαx víi α ∈ 3+
Suy ra hä nghiÖm riªng bÞ chÆn cña b i to¸n CP1a
2
uα(x, t) = e −( αa ) t (A(α)cosαx + B(α)sinαx), α ∈ 3+
• T×m nghiÖm tæng qu¸t cña b i to¸n CP1a d¹ng tÝch ph©n suy réng
+∞ +∞
− ( αa ) 2 t
∫ u α (x, t )dα = ∫e [A(α) cos αx + B(α ) sin αx]dα
u(x, t) = (8.1.3)
0 0

ThÕ v o ®iÒu kiÖn ban ®Çu (8.1.2)
+∞

∫ [A(α) cos αx + B(α) sin αx]dα = g(x)
u(x, 0) =
0

NÕu h m g cã thÓ khai triÓn th nh tÝch ph©n Fourier th×
+∞ +∞
1 1
A(α) = ∫ g(ξ) cos(αξ )dξ v B(α) = ∫ g(ξ) sin(αξ )dξ
π −∞ π −∞
Thay v o c«ng thøc (8.1.3) v biÕn ®æi
+∞ +∞
1  − ( αa ) 2 t
∫∞ ∫ g(ξ) cos α(ξ − x)dξ e dα
u(x, t) =
π−  0 
 
§æi thø tù lÊy tÝch ph©n

Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 133
h a n g e Vi h a n g e Vi
XC XC
e e
F- F-
w w
PD




PD
er




er
!




!
W




W
O




O
N




N
y




y
bu




bu
to




to
k




k
lic




lic
C




C
w




w
m




m
w w
w




w
o




o
.c .c
Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt
.d o .d o
c u -tr a c k c u -tr a c k




+∞ +∞
1  − ( αa ) 2 t 
u(x, t) = ∫  ∫ e cos α(ξ − x)dα g(ξ)dξ (8.1.4)
π − ∞ 0 
 
• §æi biÕn β = αa t ⇒ dβ = a t dα
ξ−x
⇒ ξ = x + 2a t s, dξ = 2a t ds
s=
2a t
BiÕn ®æi tÝch ph©n bªn trong cña tÝch ph©n (8.1.4)
+∞ +∞
1 1
2
−β 2
− ( αa ) t
∫e ∫e
cos α(ξ − x)dα = cos 2sβ dβ =
I(s)
at0 at
0

§¹o h m I(s), sau ®ã tÝch ph©n tõng phÇn, nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh vi ph©n
+∞
π π −s 2
−β 2
∫ sin 2sβde ⇒ I(s) =
I’(s) = = -2sI(s) v I(0) = e
2 2
0

Thay v o tÝch ph©n (8.1.4) suy ra c«ng thøc sau ®©y.
( ξ − x )2
+∞ +∞
1 1 −
−s2
∫ g(x + 2a ∫ g(ξ)e dξ
4a 2t
u(x, t) = t s)e ds = (8.1.5)
π 2a πt
−∞ −∞



§Þnh lý Cho h m g ∈ C(D, 3) ∩ B(D, 3). B i to¸n CP1a cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh
x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (8.1.5)
Chøng minh
• Theo gi¶ thiÕt h m g liªn tôc v bÞ chÆn
2 2
∀ (x, t) ∈ H, ∀ s ∈ 3,  g(x + 2a t s) e −s  ≤ M e −s
Suy ra tÝch ph©n (8.1.5) bÞ chÆn ®Òu. Do ®ã cã thÓ lÊy giíi h¹n v ®¹o h m qua dÊu tÝch
ph©n theo x hai lÇn, theo t mét lÇn. KiÓm tra trùc tiÕp h m u(x, t) l nghiÖm cña ph−¬ng
tr×nh (8.1.1) tho¶ m n ®iÒu kiÖn ban ®Çu (8.1.2)
( ξ −x )2
+∞
∂u ξ−x −

∫ g( ξ ) 4a dξ
4a 2 t
= e
∂x πt
3 3/2
−∞

(ξ −x )2
+∞
−1 (ξ − x ) 2
∂2u  −
∫  4a πt 3 / 2 8a πt 5 / 2
g(ξ) 3 +5 dξ
e 4a 2 t
= 
∂x 2  
−∞

( ξ −x )2
+∞
−1 (ξ − x ) 2 ∂2u
∂u  −
∫  4a πt 3 / 2 8a πt 5 / 2
g(ξ) +3 dξ = a2
e 4a 2 t
= 
∂t ∂x 2
 
−∞

+∞
1 2
t s)e − s ds = g(x)
∫ g(x + 2a
lim u(x, t) = lim
t →0 +
π
t →0 +
−∞

∂2u
∂u
• NÕu ui l hai nghiÖm cña b i to¸n = a2 2 , u(x, 0) = gi
∂t ∂x
∂2u
∂u
= a2 2 , u(x, 0) = g1 - g2 = g
th× u = u1 - u2 l nghiÖm cña b i to¸n
∂t ∂x


Trang 134 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản