Giáo trình hình thành lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p6

Chia sẻ: Fewte Dsafw | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

0
50
lượt xem
11
download

Giáo trình hình thành lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p6

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Định lý Cho các h m f ∈ C(H, 3) ∩ C1(D, 3), g ∈ C2(D, 3), h ∈ C1(D, 3) Giải các bài toán (7.8.4) v (7.8.5) tìm các h m v(x, t) v w(x, t) sau đó thế vào công thức (7.8.3) suy ra nghiệm của bài toán HH1. Định lý Cho các h m f ∈ C(H, 3) ∩ C1(D, 3), g ∈ C2(D, 3), h ∈ C1(D, 3)

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Giáo trình hình thành lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p6

  1. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ∂2v ∂2v = a2 2 ∂t 2 ∂x x v(x, 0) = g(x) - p(0) - (q(0) - p(0)) = g1(x) l ∂v x (x, 0) = h(x) - p’(0) - (q’(0) - p’(0)) = h1(x) ∂t l v(0, t) = v(l, t) = 0 (7.8.4) víi c¸c ®iÒu kiÖn biªn g1(0) = g1(l) = 0 ⇔ g(0) = p(0), g(l) = q(0) h1(0) = h1(l) = 0 ⇔ h(0) = p’(0), h(l) = q’(0) H m w(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HH1b ∂2w ∂2w ∂2w x = a2 2 + f(x, t) - p”(t) - (q”(t) - p”(t)) = a2 2 + f1(x, t) ∂t 2 ∂x ∂x l ∂w w(x, 0) = 0, (x, 0) = 0 ∂t w(0, t) = w(l, t) = 0 (7.8.5) • Gi¶i c¸c b i to¸n (7.8.4) v (7.8.5) t×m c¸c h m v(x, t) v w(x, t) sau ®ã thÕ v o c«ng thøc (7.8.3) suy ra nghiÖm cña b i to¸n HH1. §Þnh lý Cho c¸c h m f ∈ C(H, 3) ∩ C1(D, 3), g ∈ C2(D, 3), h ∈ C1(D, 3) v c¸c h m p, q ∈ C2([0,T], 3) tho¶ m n g(0) = p(0), g(l) = q(0) v h(0) = p’(0), h(l) = q’(0) H m u(x, t) x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (7.8.3) víi c¸c h m v(x, t) v w(x, t) l nghiÖm cña c¸c b i to¸n (7.8.4) v (7.8.5) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n HH1. ∂2u ∂2u víi (x, t) ∈ [0, 1] × [0, T] VÝ dô Gi¶i b i to¸n = 4 2 + xt ∂t 2 ∂x ∂u u(x, 0) = sinπx, (x, 0) = x v u(0, t) = 0, u(1, t) = t ∂t • T×m nghiÖm cña b i to¸n d−íi d¹ng u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) + xt trong ®ã h m v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HH1a víi g1(x) = sinπx v h1(x) = 0 cßn h m w(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HH1b víi f1(x, t) = xt. Gi¶i b i to¸n HH1 1 ak = 2 ∫ sin πx sin kπxdx =  1 k = 1 v bk = 0 víi k ∈ ∠*  0 k >1  0 Suy ra v(x, t) = cos2πtsinπx Trang 130 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  2. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Gi¶i b i to¸n HH2a 2(-1) k +1 1 fk(t) = 2t ∫ x sin kπxdx = t víi k ∈ ∠* kπ 0 Gi¶i hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng 2(-1) k +1 T k′ (t ) + (2kπ)2Tk(t) = ′ ′ t , Tk(0) = 0, Tk (0) = 0 kπ T×m ®−îc c¸c h m (-1) k +1   1 t − sin 2 kπt  víi k ∈ ∠* Tk(t) = 2( kπ )  2 kπ 3  Suy ra nghiÖm cña b i to¸n (-1) k +1  +∞  1 1 ∑ t − sin 2 kπt  sin kπx u(x, t) = xt + cos2πtsinπx +  2 kπ 2π 3 3  k k =1 NhËn xÐt B»ng c¸ch kÐo d i liªn tôc c¸c h m liªn tôc tõng khóc, c¸c c«ng thøc trªn vÉn sö dông ®−îc trong tr−êng hîp c¸c h m g v h cã ®¹o h m liªn tôc tõng khóc. B i tËp ch−¬ng 7 • §−a vÒ chÝnh t¾c c¸c ph−¬ng tr×nh ®¹o h m riªng tuyÕn tÝnh cÊp 2 sau ®©y. ∂2u ∂2u ∂2u 1. +2 + 5 2 - 16u = 0 ∂x∂y ∂x 2 ∂y ∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u 2. -2 + +9 -9 + 9u = 0 ∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂y 2 2 ∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u 3. 2 +3 + +7 -4 =0 ∂x∂y ∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂2u ∂2u ∂2u ∂u - cos2x 2 + sinx 4. - 2sinx =0 ∂x∂y ∂y ∂x ∂y 2 • LËp b i to¸n ph−¬ng tr×nh VËt lý - To¸n tõ c¸c b i to¸n sau ®©y. 7. D©y rÊt m¶nh cã ®é d i l ®Æt trªn trôc Ox, mót x = 0 cè ®Þnh, mót x = l chuyÓn ®éng theo qui luËt Asinωt, dao ®éng trong m«i tr−êng cã lùc c¸n tû lÖ víi vËn tèc, hÖ sè tû lÖ l λ, ®é lÖch ban ®Çu l g(x), vËn tèc ban ®Çu l h(x). X¸c ®Þnh dao ®éng cña d©y? 8. §Üa rÊt máng ®ång chÊt b¸n kÝnh R ®Æt trong mÆt ph¼ng Oxy, mËt ®é nguån nhiÖt trong tû lÖ víi kho¶ng c¸ch ®Õn t©m, nhiÖt ®é m«i tr−êng gi÷ ë nhiÖt ®é u0, nhiÖt ®é ban ®Çu l g(x, y). X¸c ®Þnh ph©n bè nhiÖt trªn ®Üa? Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 131
  3. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k • Gi¶i b i to¸n Cauchy ∂2u ∂2u ∂u = a2 2 ut=0 = ex, = e-x 9. t=0 ∂t 2 ∂t ∂x ∂2u 2∂ u ∂u 2 + te-x 10. =a ut=0 = sinx, = x + cosx t=0 ∂t ∂t ∂x 2 2 ∂2u ∂2u ∂u = a2 2 + tsinx 11. ut=0 = cosx, =x t=0 ∂t 2 ∂t ∂x ∂2u ∂2u ∂u = a2 2 + tcosx 12. ut=0 = sinx, = 2x t=0 ∂t 2 ∂t ∂x • Gi¶i b i to¸n gi¶ Cauchy ∂2u ∂2u ∂u = a2 2 + te-x 13. ut=0 = sinx, = x, u(0, t) = 0 t=0 ∂t 2 ∂t ∂x ∂2u ∂2u ∂u = a2 2 + tsinx = sinx, u(0, t) = e-t 14. ut=0 = xcosx, t=0 ∂t 2 ∂t ∂x ∂2u ∂2u ∂u ∂u = a2 2 + xsinx = 3 x 2, 15. ut=0 = cosx, (0, t) = 0 t=0 ∂t 2 ∂t ∂x ∂x ∂2u ∂2u ∂u ∂u = a2 2 + xcosx 16. ut=0 = sinx, = cosx, (0, t) = 0 t=0 ∂t 2 ∂t ∂x ∂x • Gi¶i c¸c b i to¸n hçn hîp sau ®©y víi H = [0, l] × 3+ ∂ 2u ∂u ∂2u = a2 2 17. ut=0 = x(l - x), = 0 v u(0, t) = u(l, t) = 0  ∂t t=0 ∂t 2 ∂x ∂ 2u ∂u ∂2u = a2 2 18. ut=0 = 0, = xsinx v u(0, t) = u(l, t) = 0  ∂t t=0 ∂t 2 ∂x ∂ 2u ∂u ∂2u = a2 2 19. ut=0 = xcosx, = 0 v u(0, t) = t, u(l, t) = 0  ∂t t=0 ∂t 2 ∂x ∂ 2u ∂u ∂2u = a2 2 + bshx 20. ut=0 = 0, = 0 v u(0, t) = u(l, t) = 0  ∂t t=0 ∂t 2 ∂x ∂ 2u ∂u ∂2u = a2 2 + tcosx 21. ut=0 = sinx, = x v u(0, t) = 0, u(l, t) = t  ∂t t=0 ∂t 2 ∂x ∂ 2u ∂u ∂2u = 0 v u(0, t) = 0, u(l, t) = Asinωt = a2 2 22. ut=0 = 0,  ∂t t=0 ∂t 2 ∂x ∂2u ∂2u ∂u ∂u + 2λ = a2 2 23. ut=0 = g(x), = h(x) v u(0, t) = u(l, t) = 0 t=0 ∂t 2 ∂t ∂t ∂x Trang 132 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  4. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Ch−¬ng 8 Ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt §1. B i to¸n Cauchy thuÇn nhÊt B i to¸n CP1a Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+ v h m g ∈ C(D, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 víi (x, t) ∈ H0 (8.1.1) ∂t ∂x v ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = g(x) (8.1.2) • T×m nghiÖm riªng bÞ chÆn cña b i to¸n CP1a d¹ng t¸ch biÕn u(x, t) = X(x)T(t) ThÕ v o ph−¬ng tr×nh (8.1.1) ®−a vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n T’(t) + λa2T(t) = 0 X”(x) + λX(x) = 0 HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n trªn cã hä nghiÖm riªng bÞ chÆn 2 T(t) = e −( αa ) t v X(x) = A(α)cosαx + B(α)sinαx víi α ∈ 3+ Suy ra hä nghiÖm riªng bÞ chÆn cña b i to¸n CP1a 2 uα(x, t) = e −( αa ) t (A(α)cosαx + B(α)sinαx), α ∈ 3+ • T×m nghiÖm tæng qu¸t cña b i to¸n CP1a d¹ng tÝch ph©n suy réng +∞ +∞ − ( αa ) 2 t ∫ u α (x, t )dα = ∫e [A(α) cos αx + B(α ) sin αx]dα u(x, t) = (8.1.3) 0 0 ThÕ v o ®iÒu kiÖn ban ®Çu (8.1.2) +∞ ∫ [A(α) cos αx + B(α) sin αx]dα = g(x) u(x, 0) = 0 NÕu h m g cã thÓ khai triÓn th nh tÝch ph©n Fourier th× +∞ +∞ 1 1 A(α) = ∫ g(ξ) cos(αξ )dξ v B(α) = ∫ g(ξ) sin(αξ )dξ π −∞ π −∞ Thay v o c«ng thøc (8.1.3) v biÕn ®æi +∞ +∞ 1  − ( αa ) 2 t ∫∞ ∫ g(ξ) cos α(ξ − x)dξ e dα u(x, t) = π−  0    §æi thø tù lÊy tÝch ph©n Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 133
  5. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k +∞ +∞ 1  − ( αa ) 2 t  u(x, t) = ∫  ∫ e cos α(ξ − x)dα g(ξ)dξ (8.1.4) π − ∞ 0    • §æi biÕn β = αa t ⇒ dβ = a t dα ξ−x ⇒ ξ = x + 2a t s, dξ = 2a t ds s= 2a t BiÕn ®æi tÝch ph©n bªn trong cña tÝch ph©n (8.1.4) +∞ +∞ 1 1 2 −β 2 − ( αa ) t ∫e ∫e cos α(ξ − x)dα = cos 2sβ dβ = I(s) at0 at 0 §¹o h m I(s), sau ®ã tÝch ph©n tõng phÇn, nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh vi ph©n +∞ π π −s 2 −β 2 ∫ sin 2sβde ⇒ I(s) = I’(s) = = -2sI(s) v I(0) = e 2 2 0 Thay v o tÝch ph©n (8.1.4) suy ra c«ng thøc sau ®©y. ( ξ − x )2 +∞ +∞ 1 1 − −s2 ∫ g(x + 2a ∫ g(ξ)e dξ 4a 2t u(x, t) = t s)e ds = (8.1.5) π 2a πt −∞ −∞ §Þnh lý Cho h m g ∈ C(D, 3) ∩ B(D, 3). B i to¸n CP1a cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (8.1.5) Chøng minh • Theo gi¶ thiÕt h m g liªn tôc v bÞ chÆn 2 2 ∀ (x, t) ∈ H, ∀ s ∈ 3,  g(x + 2a t s) e −s  ≤ M e −s Suy ra tÝch ph©n (8.1.5) bÞ chÆn ®Òu. Do ®ã cã thÓ lÊy giíi h¹n v ®¹o h m qua dÊu tÝch ph©n theo x hai lÇn, theo t mét lÇn. KiÓm tra trùc tiÕp h m u(x, t) l nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (8.1.1) tho¶ m n ®iÒu kiÖn ban ®Çu (8.1.2) ( ξ −x )2 +∞ ∂u ξ−x − ∫ g( ξ ) 4a dξ 4a 2 t = e ∂x πt 3 3/2 −∞ (ξ −x )2 +∞ −1 (ξ − x ) 2 ∂2u  − ∫  4a πt 3 / 2 8a πt 5 / 2 g(ξ) 3 +5 dξ e 4a 2 t =  ∂x 2   −∞ ( ξ −x )2 +∞ −1 (ξ − x ) 2 ∂2u ∂u  − ∫  4a πt 3 / 2 8a πt 5 / 2 g(ξ) +3 dξ = a2 e 4a 2 t =  ∂t ∂x 2   −∞ +∞ 1 2 t s)e − s ds = g(x) ∫ g(x + 2a lim u(x, t) = lim t →0 + π t →0 + −∞ ∂2u ∂u • NÕu ui l hai nghiÖm cña b i to¸n = a2 2 , u(x, 0) = gi ∂t ∂x ∂2u ∂u = a2 2 , u(x, 0) = g1 - g2 = g th× u = u1 - u2 l nghiÖm cña b i to¸n ∂t ∂x Trang 134 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản