Giáo trình hình thành ứng dụng phát triển mã nguồn nguyên lý sử dụng toán tử divergence p4
lượt xem 4
download
Tham khảo tài liệu 'giáo trình hình thành ứng dụng phát triển mã nguồn nguyên lý sử dụng toán tử divergence p4', công nghệ thông tin, kỹ thuật lập trình phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Giáo trình hình thành ứng dụng phát triển mã nguồn nguyên lý sử dụng toán tử divergence p4
- h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Tõ c«ng thøc (8.1.5) chóng ta cã −íc l−îng sau ®©y +∞ 1 2 t ) | e − s ds ≤ supD g(ξ) ∫ | g(x + 2as ∀ (x, t) ∈ H, | u(x, t) | ≤ π −∞ Tõ ®ã suy ra g = g1 - g2 = 0 ⇒ u = u1 - u2 = 0 || g || = || g 1 - g 2 || < δ ⇒ || u || = || u 1 - u 2 || < ε VËy b i to¸n cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh trªn H. ∂2u ∂u = 4 2 v u(x, 0) = xe-x VÝ dô Gi¶i b i to¸n ∂t ∂x -x H m g(x) = xe tho¶ m n ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý. Theo c«ng thøc (8.1.5) +∞ 1 t )2 t (s + 2 t )]e −( s + 2 e 4 t − x ds ∫ [(x − 8t ) + 4 u(x, t) = π −∞ +∞ +∞ 1 e 4 t − x (x − 8t ) ∫ e − σ dσ + 4 t ∫ σe − σ dσ víi σ = s + 2 t 2 2 = π −∞ −∞ 4t-x = (x - 8t)e §2. B i to¸n Cauchy kh«ng thuÇn nhÊt B i to¸n CP1b Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+ v h m f ∈ C(H, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t ∂x v ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = 0 §Þnh lý Cho h m f ∈ C(H, 3) ∩ B(D, 3) v h m v(x, τ, t) l nghiÖm cña b i to¸n CP1a tho¶ m n v(x, τ, 0) = f(x, τ). B i to¸n CP1b cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau ®©y ( ξ −x )2 +∞ f (ξ, τ) t t − 1 ∫ dτ ∫ 4a 2 ( t − τ) dξ u(x, t) = ∫ v(x, τ, t − τ)dτ = e (8.2.1) π t −τ 2a 0 −∞ 0 Chøng minh • Do h m f ∈ C(H, 3) ∩ B(D, 3) nªn h m v ∈ C2(H × 3+, 3). Do ®ã cã thÓ ®¹o h m tÝch ph©n (8.2.1) theo x hai lÇn, theo t mét lÇn. KiÓm tra trùc tiÕp . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 135
- h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ∂v ∂2v ∂u t t ∫ ∂t (x, τ, t − τ)dτ + v(x, t, 0) = a2 ∫ 2 (x, τ, t − τ)dτ + f(x, t) = ∂t 0 ∂x 0 ∂2u = a2 + f(x, t) v u(x, 0) = 0 ∂x 2 • TÝnh duy nhÊt v æn ®Þnh suy ra tõ b i to¸n CP1a. B i to¸n CP1 Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+ , c¸c h m f ∈ C(H, 3) v g ∈ C(D, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t ∂x v ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = g(x) • T×m nghiÖm cña b i to¸n CP1 d−íi d¹ng u(x, t) = ua(x, t) + ub(x, t) trong ®ã uα(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n CP1α KÕt hîp c¸c c«ng thøc (8.1.5) v (8.2.1) suy ra c«ng thøc sau ®©y. +∞ +∞ 1 t 2 2 ∫ g(x + 2a t s)e −s ds + ∫ dτ ∫ f (x + 2a τ s, t − τ)e −s ds u(x, t) = π −∞ −∞ 0 + ∞ g( ξ ) − ( ξ − x ) 2 2 (ξ −x ) +∞ f (ξ, t − τ) − 4a 2 τ t 1 dξ ∫ dξ + ∫ d τ ∫ 4a 2 t = (8.2.2) e e 2a π − ∞ t τ −∞ 0 §Þnh lý Cho c¸c h m f ∈ C(H, 3) ∩ B(D, 3) v g ∈ C(D, 3) ∩ B(D, 3). B i to¸n CP1 cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (8.2.2). ∂2u ∂u = a2 2 + 3t2 v u(x, 0) = sinx VÝ dô Gi¶i b i to¸n ∂t ∂x 2 H m f(x, t) = t , g(x) = sinx tho¶ m n ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý. Theo c«ng thøc (8.2.2) +∞ +∞ t 1 1 2 2 −s2 −s ∫ −∫∞3(t − τ) e ds dτ ∫ sin(x + 2a ts)e ds + u(x, t) = π 0 π −∞ • KÝ hiÖu +∞ 1 2 i ( x + 2 a ts ) e −s ds ∫e I(t) = π −∞ §¹o h m I(t), biÕn ®æi v sau ®ã tÝch ph©n tõng phÇn . Trang 136 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
- h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k +∞ +∞ − ia − ia a2 +∞ 2 2 2 i(x +2a d (e − s ) = e i ( x + 2a e −s i ( x + 2 a ts ) e −s ds ∫e ∫e ts ) ts ) I’(t) = - 2 πt − ∞ 2 πt π −∞ −∞ = - a2 I(t) víi I(0) = eix Gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n nhËn ®−îc 2 2 I(t) = e −a t eix = e −a t (cosx + i sinx) (8.2.3) T¸ch phÇn thùc, phÇn ¶o suy ra c¸c tÝch ph©n cÇn t×m. CÇn ghi nhËn kÕt qu¶ v ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n trªn ®Ó sö dông sau n y. • TÝnh trùc tiÕp tÝch ph©n +∞ t 1 2 −s2 ∫ −∫∞3(t − τ) e ds dτ = t 3 J(t) = π 0 Suy ra nghiÖm cña b i to¸n 2 u(x, t) = Im I(t) + J(t) = e − a t sinx + t3 NhËn xÐt B»ng c¸ch kÐo d i liªn tôc c¸c h m liªn tôc tõng khóc, c¸c c«ng thøc trªn vÉn sö dông ®−îc trong tr−êng hîp c¸c h m f v g cã ®¹o h m liªn tôc tõng khóc. §3. B i to¸n gi¶ Cauchy B i to¸n SP1a Cho c¸c miÒn D = 3+ , H = D × 3+ , c¸c h m f ∈ C(D, 3) v g ∈ C(D, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt 2∂ u ∂u 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 =a ∂t ∂x 2 v c¸c ®iÒu kiÖn u(x, 0) = g(x), u(0, t) = 0 • T− t−ëng chung ®Ó gi¶i b i to¸n SP l t×m c¸ch chuyÓn vÒ b i to¸n CP t−¬ng ®−¬ng. Gi¶ sö f1 v g1 t−¬ng øng l kÐo d i cña c¸c h m f v g lªn to n 3, cßn h m v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n Cauchy sau ®©y. 2∂ v ∂v 2 + f1(x, t) v u(x, 0) = g1(x) víi (x, t) ∈ 3 × 3+ =a ∂t ∂x 2 Theo c«ng thøc (8.2.2) , ta cã + ∞ g (ξ) − ( ξ − x ) 2 2 (ξ −x ) +∞ f1 (ξ, t − τ) − 4a 2 τ t 1 dξ ∫ dξ + ∫ dτ ∫ 4a 2 t 1 v(x, t) = e e 2a π − ∞ t τ −∞ 0 ThÕ v o ®iÒu kiÖn biªn . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 137
- h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k + ∞ g (ξ) − ξ 2 f1 (ξ, t − τ) − 4 a 2 τ 2 2 ξ +∞ t 1 dξ = 0 ∫ t dξ + ∫ dτ ∫ 1 v(0, t) = e e 4a t 2a π − ∞ τ −∞ 0 Suy ra c¸c h m f1 v g1 ph¶i l c¸c h m lÎ. Tøc l g( x ) x ≥ 0 f(x, t) x ≥ 0 f1(x, t) = - f(-x, t) x < 0 v g1(x) = - g(-x) x < 0 §Þnh lý Cho c¸c h m f ∈ C(H, 3) ∩ B(H, 3) v g ∈ C(D, 3) ∩ B(D, 3) tho¶ m n f(0, t) = 0 v g(0) = 0 B i to¸n SP1a cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc + ∞ g( ξ ) − ( ξ − x ) 2 ( ξ + x )2 1 − e 4a t − e 4a 2 t dξ + ∫ t 2 u(x, t) = 2a π 0 f (ξ, t − τ) − 4a 2 τ 2 2 (ξ −x ) (ξ+ x) +∞ t − dξ e + ∫ dτ ∫ − e 4a τ 2 (8.3.1) τ 0 0 ∂2u ∂u = a2 2 + 2xt víi (x, t) ∈ 3+×3+ VÝ dô Gi¶i b i to¸n ∂t ∂x u(x, 0) = sinx v u(0, t) = 0 Do c¸c h m f v g l h m lÎ nªn c¸c h m kÐo d i lÎ f1 = f v g1 = g. Thay v o c«ng thøc (8.2.2) v sö dông tÝch ph©n (8.2.3) , ta cã +∞ t +∞ 1 1 −s 2 2 τs)e − s dsdτ ∫ sin(x + 2a ∫ ∫ 2(t − τ)(x + 2a u(x, t) = t s)e ds + π π −∞ 0 −∞ +∞ 2 +∞ t 1 2 2(t − τ)dτ x ∫ e − s ds − a τ ∫ d(e −s ) ∫ = ImI(t) + π0 −∞ −∞ 2 = e −a t sinx + xt2 B i to¸n SP1b Cho c¸c miÒn D = 3+ , H = D × 3+ v h m h ∈ C(3+, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 víi (x, t) ∈ H0 ∂t ∂x v c¸c ®iÒu kiÖn u(x, 0) = 0, u(0, t) = h(t) §Þnh lý Cho h m h ∈ C(3+, 3) ∩ B(3+, 3). B i to¸n SP1b cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh . Trang 138 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
- h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k x¸c ®Þnh theo c«ng thøc x2 h ( t − τ) − 4 a 2 τ t x ∫ 3 / 2 e dτ u(x, t) = (8.3.2) 2a π 0 τ Chøng minh • Do h m h ∈ C(3+, 3) ∩ B(3+, 3) nªn tÝch ph©n (8.3.2) héi tô ®Òu H. Do ®ã cã thÓ ®¹o h m theo x hai lÇn, theo t mét lÇn. KiÓm tra trùc tiÕp x2 x2 ∂u h ( t − τ) − 4 a 2 τ h(t − τ) − 2 t t x2 1 ∫ τ3 / 2 ∫ τ 5 / 2 e 4 a τ dτ dτ - = e ∂x 2a π 4a 3 π 0 0 x2 x2 ∂2u −x h(t − τ) − 4a 2 τ h(t − τ) − 4a 2 τ t t x3 ∫ τ5 / 2 ∫ τ 7 / 2 e dτ dτ + 5 = e ∂x 2 4a 3 π 8a π 0 0 x2 x2 ∂u t − x h(0) − 4a 2 t x 1 ∫τ dh(t − τ) 4a 2 τ = e - e ∂t 3/2 3/2 2a π t 2a π 0 x2 −3 − 4a 2 τ t x2 x dτ = a2 u′xx ′ ∫ h(t − τ) 5 / 2 + 2 7 / 2 e = 2τ 4a τ 2a π 0 Theo c«ng thøc (8.3.2) ta cã u(x, 0) = 0 §æi biÕn tÝch ph©n (8.3.2) +∞ x2 x 2 2 ∫ )e −s ds h( t − s= , u(x, t) = 22 2a τ π 4a s x 2a t Suy ra u(0, t) = h(t) • TÝnh duy nhÊt v æn ®Þnh suy ra tõ c«ng thøc (8.3.2) v −íc l−îng tÝch ph©n. B i to¸n SP1 Cho c¸c miÒn D = 3+ , H = D × 3+ , c¸c h m f ∈ C(H, 3), g ∈ C(D, 3) v h ∈ C(3+, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t ∂x v c¸c ®iÒu kiÖn u(x, 0) = g(x), u(0, t) = h(t) • T×m nghiÖm cña b i to¸n SP1 d−íi d¹ng u(x, t) = ua(x, t) + ub(x, t) trong ®ã uα(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n SP1α KÕt hîp c¸c c«ng thøc (8.3.1) v (8.3.2), suy ra c«ng thøc sau ®©y. . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 139
- h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k + ∞ g( ξ ) − ( ξ − x ) 2 2 ( ξ + x )2 x dξ + x h(t − τ) e 4a 2 τ dτ t − 1 − e 4a 2 t − e 4a 2 t ∫ ∫ τ3 / 2 u(x, t) = 2a π 0 t 0 f (ξ, t − τ) − 4a 2 τ 2 2 (ξ −x ) (ξ+ x) +∞ t − dξ e + ∫ dτ ∫ − e 4a τ 2 (8.3.3) τ 0 0 §Þnh lý Cho f ∈ C(H, 3)∩ B(D, 3), g ∈ C(D, 3)∩ B(D, 3), h ∈ C(3+, 3)∩ B(3+, 3) tho¶ m n f(0, t) = 0 v g(0) = 0 B i to¸n SP1 cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (8.3.3) NhËn xÐt Ph−¬ng ph¸p trªn cã thÓ sö dông ®Ó gi¶i c¸c b i to¸n gi¶ Cauchy kh¸c. §4. B i to¸n hçn hîp thuÇn nhÊt B i to¸n HP1a Cho c¸c miÒn D = [0, l], H = D × [0, T] v h m g ∈ C(D, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 víi (x, t) ∈ H0 (8.4.1) ∂t ∂x ®iÒu kiªn ban ®Çu u(x, 0) = g(x) (8.4.2) v ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 (8.4.3) • T×m nghiÖm cña b i to¸n HP1a d¹ng t¸ch biÕn u(x, t) = X(x)T(t) ThÕ v o ph−¬ng tr×nh (8.4.1) v ®iÒu kiÖn biªn (8.4.3) ®−a vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n X”(x) + λX(x) = 0 (8.4.4) T’(t) + λa T(t) = 0 2 (8.4.5) X(0) = X(l) = 0 víi λ ∈ 3 (8.4.6) LËp luËn t−¬ng tù nh− b i to¸n HH1a, t×m nghiÖm riªng kh«ng tÇm th−êng cña hÖ ph−¬ng tr×nh (8.4.4) v (8.4.6), nhËn ®−îc hä nghiÖm riªng trùc giao trªn ®o¹n [0, l] 2 kπ kπ x víi Ak ∈ 3 v λk = , k ∈ ∠* Xk(x) = Aksin l l Thay v o ph−¬ng tr×nh (8.4.5) t×m ®−îc hä nghiÖm riªng ®éc lËp . Trang 140 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
- h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 2 kπa − t víi Bk ∈ 3, k ∈ ∠* l Tk(t) = Bk e Suy ra hä nghiÖm riªng ®éc lËp cña b i to¸n HP1 2 kπa kπ − t x víi ak = AkBk , k ∈ ∠* l uk(x, t) = Xk(x)Tk(t) = ak e sin l • T×m nghiÖm tæng qu¸t cña b i to¸n HP1 d¹ng chuçi h m 2 kπa kπ +∞ +∞ − t ∑u ∑a l u(x, t) = (x, t ) = e sin x (8.4.7) k k l k =1 k =1 Thay v o ®iÒu kiÖn ban ®Çu (8.4.2) kπ +∞ u(x, 0) = ∑ a k sin x = g(x) l k =1 NÕu h m g cã thÓ khai triÓn th nh chuçi Fourier th× kπ l 2 ak = ∫ g(x ) sin xdx (8.4.8) l0 l §Þnh lý Cho h m g ∈ C1(D, 3) tho¶ m n g(0) = g(l) = 0. Chuçi h m (8.4.7) víi c¸c hÖ sè ak tÝnh theo c«ng thøc (8.4.8) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n HP1a. Chøng minh • H m g theo gi¶ thiÕt tho¶ m n ®iÒu kiÖn Diriclet v do ®ã khai triÓn ®−îc th nh chuçi Fourier héi tô ®Òu trªn ®o¹n [0, l]. Do ®ã chuçi h m (8.4.7) víi c¸c hÖ sè ak tÝnh theo c«ng thøc (8.4.8) l héi tô ®Òu v cã thÓ ®¹o h m tõng tõ theo x hai lÇn, theo t mét lÇn trªn miÒn H. KiÓm tra trùc tiÕp thÊy r»ng chuçi h m (8.4.7) v c¸c chuçi ®¹o h m riªng cña nã tho¶ m n ph−¬ng tr×nh (8.4.1) v c¸c ®iÒu kiÖn (8.4.2), (8.4.3) • LËp luËn t−¬ng tù nh− b i to¸n CP1 suy ra tÝnh æn ®Þnh v duy nhÊt nghiÖm. ∂2u ∂u víi (x, t) ∈ [0, 1] × [0, T] VÝ dô Gi¶i b i to¸n = ∂t ∂x 2 u(x, 0) = x(1 - x) v u(0, t) = u(1, t) = 0 Theo c«ng thøc (8.4.8) ta cã k = 2n 0 1 − (-1) k l 8 ak = 2 ∫ x(1 − x) sin kπxdx = 4 = k = 2n + 1 kπ33 (2n + 1) 3 π 3 0 ThÕ v o c«ng thøc (8.4.7) suy ra nghiÖm cña b i to¸n 8 +∞ 1 u(x, t) = 3 ∑ 22 e −( 2 n +1) π t sin(2n + 1)πx π n =0 (2n + 1) 3 .Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 141
- h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k §5. B i to¸n hçn hîp kh«ng thuÇn nhÊt B i to¸n HP1b Cho c¸c miÒn D = [0, l], H = D × [0, T], c¸c h m f ∈ C(H, 3) v g ∈ C(D, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt 2∂ u ∂u 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 =a ∂t ∂x 2 ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = 0 v c¸c ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 • T×m nghiÖm b i to¸n HP1b d¹ng chuçi h m kπ +∞ ∑ T (t ) sin u(x, t) = (8.5.1) x k l k =1 Khai triÓn Fourier h m f(x, t) ®o¹n [0, l], thÕ v o b i to¸n HP1b 2 Tk (t ) + kπa Tk (t ) sin kπ x = kπ +∞ +∞ ∑ ′ l ∑f (t ) sin x k l l k =1 k =1 kπx kπ l +∞ 2 ∑T víi fk(t) = ∫ f (x, t ) sin dx v x =0 (0) sin k l0 l l k =1 §−a vÒ hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng 2 kπa ′ Tk (t) + Tk(t) = fk(t), Tk(0) = 0 (8.5.2) l Gi¶i hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh hÖ sè h»ng (8.5.2) t×m c¸c h m Tk(t) thÕ v o c«ng thøc (8.5.1) suy ra nghiÖm cña b i to¸n. §Þnh lý Cho h m f ∈ C(H, 3) ∩ C1(D, 3). Chuçi h m (8.5.1) víi c¸c h m Tk(t) x¸c ®Þnh bëi hÖ ph−¬ng tr×nh (8.5.2) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n HP1b. B i to¸n HP1 Cho c¸c miÒn D = [0, l], H = D × [0, T], c¸c h m f ∈ C(H, 3), g ∈ C(D, 3) v c¸c h m p, q ∈ C([0, T], 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂u ∂ 2u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t ∂x ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = g(x) v c¸c ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = p(t), u(l, t) = q(t) . Trang 142 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
- h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k • T×m nghiÖm b i to¸n HP1 d−íi d¹ng x u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) + p(t) + (q(t) - p(t)) (8.5.3) l Trong ®ã h m v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HP1a ∂2v ∂v = a2 2 ∂t ∂x x v(x, 0) = g(x) - p(0) - (q(0) - p(0)) = g1(x) l v(0, t) = v(l, t) = 0 (8.5.4) víi ®iÒu kiÖn biªn g1(0) = g1(l) = 0 ⇔ g(0) = p(0), g(l) = q(0) H m w(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HP1b ∂2w ∂2w ∂w x = a2 2 + f(x, t) - p’(t) - (q’(t) - p’(t)) = a2 2 + f1(x, t) ∂t ∂x ∂x l w(x, 0) = 0 w(0, t) = w(l, t) = 0 (8.5.5) • Gi¶i c¸c b i to¸n (8.5.4) v (8.5.5) t×m h m v(x, t) v h m w(x, t) thÕ v o c«ng thøc (8.5.3) suy ra nghiÖm cña b i to¸n. §Þnh lý Cho c¸c h m f ∈ C(H, 3) ∩ C1(D, 3), g ∈ C2(D, 3) v p, q ∈ C1([0, T], 3) tho¶ mn g(0) = p(0), g(l) = q(0) H m u(x, t) x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (8.5.3) víi h m v(x, t) v h m w(x, t) l nghiÖm cña c¸c b i to¸n (8.5.4) v (8.5.5) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n HP1. ∂2u ∂u = 4 2 víi (x, t) ∈ [0, 1] × [0, T] VÝ dô Gi¶i b i to¸n ∂t ∂x u(x, 0) = x v u(0, t) = 0, u(1, t) = e-t • T×m nghiÖm cña b i to¸n d−íi d¹ng u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) + xe-t víi h m v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HP1a víi g1(x) = 0 cßn h m w(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HP1b víi f1(x, t) = xe-t. B i to¸n HP1a cã nghiÖm v(x, t) = 0 Gi¶i b i to¸n HP1b 2(-1) k +1 − t 1 fk(t) = 2 e − t ∫ x sin kπxdx = e víi k ∈ ∠* kπ 0 Gi¶i hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng 2(-1) k +1 − t ′ Tk (t) + (2kπ)2Tk(t) = e , Tk(0) = 0 kπ . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 143
- h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k T×m ®−îc c¸c h m ( ) víi k ∈ ∠ 2(-1) k 2 e − ( 2 kπ ) t − e − t * Tk(t) = kπ(4 k π − 1) 22 Suy ra nghiÖm cña b i to¸n ( ) +∞ 2(-1) k ∑ 2 e −( 2 kπ) t − e − t sin kπx u(x, t) = xe-t + kπ(4 k 2 π 2 − 1) k =1 NhËn xÐt B»ng c¸ch kÐo d i liªn tôc, c¸c c«ng thøc trªn vÉn sö dông ®−îc trong tr−êng hîp c¸c h m f v g cã ®¹o h m liªn tôc tõng khóc. §6. B i to¸n Dirichlet trong h×nh trßn • XÐt to¸n tö vi ph©n Laplace trong mÆt ph¼ng ∂ 2u ∂ 2 u ∆u(x, y) = + ∂x2 ∂y2 §æi biÕn to¹ ®é cùc x = rcosϕ, y = rsinϕ Theo c«ng thøc ®¹o h m h m hîp ∂u ∂r ∂u ∂ϕ ∂u 1 ∂u ∂u = cos ϕ − sin ϕ + = ∂x ∂r ∂x ∂ϕ ∂x ∂r r ∂ϕ ∂u ∂r ∂u ∂ϕ ∂u 1 ∂u ∂u + = sin ϕ + cos ϕ = ∂y ∂r ∂y ∂ϕ ∂y ∂r r ∂ϕ ∂2u 2 ∂2u 2 ∂2u ∂u 1 ∂u 1 ∂ 2u = cos2ϕ 2 − cosϕsinϕ + 2 cosϕsinϕ + sin2ϕ + 2 sin2ϕ 2 ∂x2 ∂r∂ϕ r ∂ϕ r ∂r r ∂r ∂ϕ r ∂2u ∂2u 2 ∂2u 2 ∂u 1 ∂u 1 ∂2u = sin 2 ϕ 2 + cosϕsinϕ − 2 cosϕsinϕ + cos 2 ϕ + 2 cos 2 ϕ 2 ∂y2 ∂r∂ϕ r ∂ϕ r ∂r r ∂r ∂ϕ r Suy ra biÓu thøc to¹ ®é cùc cña to¸n tö Laplace ∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂ 2 u 1 ∂ ∂u 1 ∂ 2 u + +2 ∆u(r, ϕ) = r + = ∂r 2 r ∂r r ∂ϕ2 r ∂r ∂r r 2 ∂ϕ2 B i to¸n DE1a Cho miÒn D = [0, R] × [0, 2π] v h m g ∈ C([0, 2π], 3). T×m h m u ∈ C(D, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh Laplace ∆u(r, ϕ) = 0 víi (r, ϕ) ∈ D0 (8.6.1) v ®iÒu kiÖn biªn u(R, θ) = g(θ) (8.6.2) . Trang 144 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Giáo trình hình thành ứng dụng mô hình dịch vụ kết nối Internet thông qua cổng VNNic p4
10 p | 62 | 3
-
Giáo trình hình thành ứng dụng phân tích thuật toán có thành phần dữ liệu newdata p4
10 p | 57 | 3
-
Giáo trình hình thành ứng dụng mô hình dịch vụ kết nối Internet thông qua cổng VNNic p8
10 p | 70 | 3
-
Giáo trình hình thành ứng dụng phân tích các thành phần cơ bản cấu thành nên mạng máy tính p3
10 p | 89 | 2
-
Giáo trình hình thành ứng dụng phân tích các thành phần cơ bản cấu thành nên mạng máy tính p4
10 p | 83 | 2
-
Giáo trình hình thành ứng dụng Aethia Dbackup về cấu hình và vị trí server p2
10 p | 64 | 2
-
Giáo trình hình thành ứng dụng phân tích thuật toán có thành phần dữ liệu newdata p1
10 p | 58 | 2
-
Giáo trình hình thành ứng dụng phân tích thuật toán có thành phần dữ liệu newdata p2
10 p | 62 | 2
-
Giáo trình hình thành ứng dụng phân tích thuật toán có thành phần dữ liệu newdata p3
10 p | 55 | 2
-
Giáo trình hình thành ứng dụng phân tích các thành phần cơ bản cấu thành nên mạng máy tính p2
10 p | 84 | 2
-
Giáo trình hình thành ứng dụng phân tích các thành phần cơ bản cấu thành nên mạng máy tính p1
10 p | 74 | 2
-
Giáo trình hình thành ứng dụng mô hình dịch vụ kết nối Internet thông qua cổng VNNic p6
9 p | 58 | 2
-
Giáo trình hình thành ứng dụng mô hình dịch vụ kết nối Internet thông qua cổng VNNic p5
10 p | 65 | 2
-
Giáo trình hình thành ứng dụng mô hình dịch vụ kết nối Internet thông qua cổng VNNic p3
10 p | 74 | 2
-
Giáo trình hình thành ứng dụng mô hình dịch vụ kết nối Internet thông qua cổng VNNic p2
10 p | 59 | 2
-
Giáo trình hình thành ứng dụng Aethia Dbackup về cấu hình và vị trí server p4
10 p | 64 | 2
-
Giáo trình hình thành ứng dụng Aethia Dbackup về cấu hình và vị trí server p3
10 p | 72 | 2
-
Giáo trình hình thành ứng dụng phân tích thuật toán có thành phần dữ liệu newdata p5
10 p | 52 | 2
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn