intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Giáo trình hình thành ứng dụng phát triển mã nguồn nguyên lý sử dụng toán tử divergence p4

Chia sẻ: Dfsaf Fasrew | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST
Báo xấu
46
lượt xem 4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'giáo trình hình thành ứng dụng phát triển mã nguồn nguyên lý sử dụng toán tử divergence p4', công nghệ thông tin, kỹ thuật lập trình phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình hình thành ứng dụng phát triển mã nguồn nguyên lý sử dụng toán tử divergence p4

  1. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Tõ c«ng thøc (8.1.5) chóng ta cã −íc l−îng sau ®©y +∞ 1 2 t ) | e − s ds ≤ supD  g(ξ)  ∫ | g(x + 2as ∀ (x, t) ∈ H, | u(x, t) | ≤ π −∞ Tõ ®ã suy ra g = g1 - g2 = 0 ⇒ u = u1 - u2 = 0 || g || = || g 1 - g 2 || < δ ⇒ || u || = || u 1 - u 2 || < ε VËy b i to¸n cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh trªn H. ∂2u ∂u = 4 2 v u(x, 0) = xe-x VÝ dô Gi¶i b i to¸n ∂t ∂x -x H m g(x) = xe tho¶ m n ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý. Theo c«ng thøc (8.1.5) +∞ 1 t )2 t (s + 2 t )]e −( s + 2 e 4 t − x ds ∫ [(x − 8t ) + 4 u(x, t) = π −∞ +∞ +∞   1 e 4 t − x  (x − 8t ) ∫ e − σ dσ + 4 t ∫ σe − σ dσ  víi σ = s + 2 t 2 2 =   π   −∞ −∞ 4t-x = (x - 8t)e §2. B i to¸n Cauchy kh«ng thuÇn nhÊt B i to¸n CP1b Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+ v h m f ∈ C(H, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t ∂x v ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = 0 §Þnh lý Cho h m f ∈ C(H, 3) ∩ B(D, 3) v h m v(x, τ, t) l nghiÖm cña b i to¸n CP1a tho¶ m n v(x, τ, 0) = f(x, τ). B i to¸n CP1b cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau ®©y ( ξ −x )2 +∞ f (ξ, τ) t t − 1 ∫ dτ ∫ 4a 2 ( t − τ) dξ u(x, t) = ∫ v(x, τ, t − τ)dτ = e (8.2.1) π t −τ 2a 0 −∞ 0 Chøng minh • Do h m f ∈ C(H, 3) ∩ B(D, 3) nªn h m v ∈ C2(H × 3+, 3). Do ®ã cã thÓ ®¹o h m tÝch ph©n (8.2.1) theo x hai lÇn, theo t mét lÇn. KiÓm tra trùc tiÕp . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 135
  2. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ∂v ∂2v ∂u t t ∫ ∂t (x, τ, t − τ)dτ + v(x, t, 0) = a2 ∫ 2 (x, τ, t − τ)dτ + f(x, t) = ∂t 0 ∂x 0 ∂2u = a2 + f(x, t) v u(x, 0) = 0 ∂x 2 • TÝnh duy nhÊt v æn ®Þnh suy ra tõ b i to¸n CP1a. B i to¸n CP1 Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+ , c¸c h m f ∈ C(H, 3) v g ∈ C(D, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t ∂x v ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = g(x) • T×m nghiÖm cña b i to¸n CP1 d−íi d¹ng u(x, t) = ua(x, t) + ub(x, t) trong ®ã uα(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n CP1α KÕt hîp c¸c c«ng thøc (8.1.5) v (8.2.1) suy ra c«ng thøc sau ®©y. +∞ +∞ 1  t 2 2  ∫ g(x + 2a t s)e −s ds + ∫ dτ ∫ f (x + 2a τ s, t − τ)e −s ds  u(x, t) =   π  −∞  −∞ 0  + ∞ g( ξ ) − ( ξ − x )  2 2 (ξ −x ) +∞ f (ξ, t − τ) − 4a 2 τ t 1 dξ  ∫ dξ + ∫ d τ ∫ 4a 2 t = (8.2.2) e e 2a π  − ∞ t  τ   −∞ 0 §Þnh lý Cho c¸c h m f ∈ C(H, 3) ∩ B(D, 3) v g ∈ C(D, 3) ∩ B(D, 3). B i to¸n CP1 cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (8.2.2). ∂2u ∂u = a2 2 + 3t2 v u(x, 0) = sinx VÝ dô Gi¶i b i to¸n ∂t ∂x 2 H m f(x, t) = t , g(x) = sinx tho¶ m n ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý. Theo c«ng thøc (8.2.2) +∞  +∞  t 1 1 2 2 −s2 −s ∫  −∫∞3(t − τ) e ds dτ ∫ sin(x + 2a ts)e ds + u(x, t) = π 0  π   −∞ • KÝ hiÖu +∞ 1 2 i ( x + 2 a ts ) e −s ds ∫e I(t) = π −∞ §¹o h m I(t), biÕn ®æi v sau ®ã tÝch ph©n tõng phÇn . Trang 136 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  3. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k +∞ +∞ − ia − ia a2 +∞ 2 2 2 i(x +2a d (e − s ) = e i ( x + 2a e −s i ( x + 2 a ts ) e −s ds ∫e ∫e ts ) ts ) I’(t) = - 2 πt − ∞ 2 πt π −∞ −∞ = - a2 I(t) víi I(0) = eix Gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n nhËn ®−îc 2 2 I(t) = e −a t eix = e −a t (cosx + i sinx) (8.2.3) T¸ch phÇn thùc, phÇn ¶o suy ra c¸c tÝch ph©n cÇn t×m. CÇn ghi nhËn kÕt qu¶ v ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n trªn ®Ó sö dông sau n y. • TÝnh trùc tiÕp tÝch ph©n  +∞  t 1 2 −s2 ∫  −∫∞3(t − τ) e ds dτ = t 3 J(t) =   π 0  Suy ra nghiÖm cña b i to¸n 2 u(x, t) = Im I(t) + J(t) = e − a t sinx + t3 NhËn xÐt B»ng c¸ch kÐo d i liªn tôc c¸c h m liªn tôc tõng khóc, c¸c c«ng thøc trªn vÉn sö dông ®−îc trong tr−êng hîp c¸c h m f v g cã ®¹o h m liªn tôc tõng khóc. §3. B i to¸n gi¶ Cauchy B i to¸n SP1a Cho c¸c miÒn D = 3+ , H = D × 3+ , c¸c h m f ∈ C(D, 3) v g ∈ C(D, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt 2∂ u ∂u 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 =a ∂t ∂x 2 v c¸c ®iÒu kiÖn u(x, 0) = g(x), u(0, t) = 0 • T− t−ëng chung ®Ó gi¶i b i to¸n SP l t×m c¸ch chuyÓn vÒ b i to¸n CP t−¬ng ®−¬ng. Gi¶ sö f1 v g1 t−¬ng øng l kÐo d i cña c¸c h m f v g lªn to n 3, cßn h m v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n Cauchy sau ®©y. 2∂ v ∂v 2 + f1(x, t) v u(x, 0) = g1(x) víi (x, t) ∈ 3 × 3+ =a ∂t ∂x 2 Theo c«ng thøc (8.2.2) , ta cã  + ∞ g (ξ) − ( ξ − x )  2 2 (ξ −x ) +∞ f1 (ξ, t − τ) − 4a 2 τ t 1  dξ  ∫ dξ + ∫ dτ ∫ 4a 2 t 1 v(x, t) = e e 2a π  − ∞ t  τ   −∞ 0 ThÕ v o ®iÒu kiÖn biªn . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 137
  4. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k  + ∞ g (ξ) − ξ 2 f1 (ξ, t − τ) − 4 a 2 τ  2 2 ξ +∞ t 1  dξ  = 0 ∫ t dξ + ∫ dτ ∫ 1 v(0, t) = e e 4a t  2a π  − ∞ τ  −∞ 0 Suy ra c¸c h m f1 v g1 ph¶i l c¸c h m lÎ. Tøc l  g( x ) x ≥ 0 f(x, t) x ≥ 0 f1(x, t) =   - f(-x, t) x < 0 v g1(x) = - g(-x) x < 0   §Þnh lý Cho c¸c h m f ∈ C(H, 3) ∩ B(H, 3) v g ∈ C(D, 3) ∩ B(D, 3) tho¶ m n f(0, t) = 0 v g(0) = 0 B i to¸n SP1a cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc  + ∞ g( ξ )  − ( ξ − x ) 2  ( ξ + x )2 1 −   e 4a t − e 4a 2 t  dξ + ∫ t  2 u(x, t) =  2a π 0     f (ξ, t − τ)  − 4a 2 τ 2 2 (ξ −x ) (ξ+ x) +∞ t −  dξ  e + ∫ dτ ∫ − e 4a τ 2 (8.3.1)   τ  0 0 ∂2u ∂u = a2 2 + 2xt víi (x, t) ∈ 3+×3+ VÝ dô Gi¶i b i to¸n ∂t ∂x u(x, 0) = sinx v u(0, t) = 0 Do c¸c h m f v g l h m lÎ nªn c¸c h m kÐo d i lÎ f1 = f v g1 = g. Thay v o c«ng thøc (8.2.2) v sö dông tÝch ph©n (8.2.3) , ta cã +∞ t +∞ 1 1 −s 2 2 τs)e − s dsdτ ∫ sin(x + 2a ∫ ∫ 2(t − τ)(x + 2a u(x, t) = t s)e ds + π π −∞ 0 −∞  +∞ 2 +∞  t 1 2 2(t − τ)dτ x ∫ e − s ds − a τ ∫ d(e −s )  ∫ = ImI(t) +   π0  −∞  −∞ 2 = e −a t sinx + xt2 B i to¸n SP1b Cho c¸c miÒn D = 3+ , H = D × 3+ v h m h ∈ C(3+, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 víi (x, t) ∈ H0 ∂t ∂x v c¸c ®iÒu kiÖn u(x, 0) = 0, u(0, t) = h(t) §Þnh lý Cho h m h ∈ C(3+, 3) ∩ B(3+, 3). B i to¸n SP1b cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh . Trang 138 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  5. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k x¸c ®Þnh theo c«ng thøc x2 h ( t − τ) − 4 a 2 τ t x ∫ 3 / 2 e dτ u(x, t) = (8.3.2) 2a π 0 τ Chøng minh • Do h m h ∈ C(3+, 3) ∩ B(3+, 3) nªn tÝch ph©n (8.3.2) héi tô ®Òu H. Do ®ã cã thÓ ®¹o h m theo x hai lÇn, theo t mét lÇn. KiÓm tra trùc tiÕp x2 x2 ∂u h ( t − τ) − 4 a 2 τ h(t − τ) − 2 t t x2 1 ∫ τ3 / 2 ∫ τ 5 / 2 e 4 a τ dτ dτ - = e ∂x 2a π 4a 3 π 0 0 x2 x2 ∂2u −x h(t − τ) − 4a 2 τ h(t − τ) − 4a 2 τ t t x3 ∫ τ5 / 2 ∫ τ 7 / 2 e dτ dτ + 5 = e ∂x 2 4a 3 π 8a π 0 0 x2 x2 ∂u t − x h(0) − 4a 2 t x 1 ∫τ dh(t − τ) 4a 2 τ = e - e ∂t 3/2 3/2 2a π t 2a π 0 x2  −3  − 4a 2 τ t x2 x dτ = a2 u′xx ′ ∫ h(t − τ) 5 / 2 + 2 7 / 2 e =  2τ  4a τ 2a π 0   Theo c«ng thøc (8.3.2) ta cã u(x, 0) = 0 §æi biÕn tÝch ph©n (8.3.2) +∞ x2 x 2 2 ∫ )e −s ds h( t − s= , u(x, t) = 22 2a τ π 4a s x 2a t Suy ra u(0, t) = h(t) • TÝnh duy nhÊt v æn ®Þnh suy ra tõ c«ng thøc (8.3.2) v −íc l−îng tÝch ph©n. B i to¸n SP1 Cho c¸c miÒn D = 3+ , H = D × 3+ , c¸c h m f ∈ C(H, 3), g ∈ C(D, 3) v h ∈ C(3+, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t ∂x v c¸c ®iÒu kiÖn u(x, 0) = g(x), u(0, t) = h(t) • T×m nghiÖm cña b i to¸n SP1 d−íi d¹ng u(x, t) = ua(x, t) + ub(x, t) trong ®ã uα(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n SP1α KÕt hîp c¸c c«ng thøc (8.3.1) v (8.3.2), suy ra c«ng thøc sau ®©y. . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 139
  6. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k  + ∞ g( ξ )  − ( ξ − x ) 2  2 ( ξ + x )2 x dξ + x h(t − τ) e 4a 2 τ dτ t − 1 −   e 4a 2 t − e 4a 2 t ∫ ∫ τ3 / 2 u(x, t) = 2a π  0 t      0  f (ξ, t − τ)  − 4a 2 τ 2 2 (ξ −x ) (ξ+ x) +∞ t −  dξ  e + ∫ dτ ∫ − e 4a τ 2 (8.3.3)  τ   0 0 §Þnh lý Cho f ∈ C(H, 3)∩ B(D, 3), g ∈ C(D, 3)∩ B(D, 3), h ∈ C(3+, 3)∩ B(3+, 3) tho¶ m n f(0, t) = 0 v g(0) = 0 B i to¸n SP1 cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (8.3.3) NhËn xÐt Ph−¬ng ph¸p trªn cã thÓ sö dông ®Ó gi¶i c¸c b i to¸n gi¶ Cauchy kh¸c. §4. B i to¸n hçn hîp thuÇn nhÊt B i to¸n HP1a Cho c¸c miÒn D = [0, l], H = D × [0, T] v h m g ∈ C(D, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 víi (x, t) ∈ H0 (8.4.1) ∂t ∂x ®iÒu kiªn ban ®Çu u(x, 0) = g(x) (8.4.2) v ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 (8.4.3) • T×m nghiÖm cña b i to¸n HP1a d¹ng t¸ch biÕn u(x, t) = X(x)T(t) ThÕ v o ph−¬ng tr×nh (8.4.1) v ®iÒu kiÖn biªn (8.4.3) ®−a vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n X”(x) + λX(x) = 0 (8.4.4) T’(t) + λa T(t) = 0 2 (8.4.5) X(0) = X(l) = 0 víi λ ∈ 3 (8.4.6) LËp luËn t−¬ng tù nh− b i to¸n HH1a, t×m nghiÖm riªng kh«ng tÇm th−êng cña hÖ ph−¬ng tr×nh (8.4.4) v (8.4.6), nhËn ®−îc hä nghiÖm riªng trùc giao trªn ®o¹n [0, l] 2 kπ  kπ  x víi Ak ∈ 3 v λk =   , k ∈ ∠* Xk(x) = Aksin l l Thay v o ph−¬ng tr×nh (8.4.5) t×m ®−îc hä nghiÖm riªng ®éc lËp . Trang 140 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  7. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 2  kπa  − t víi Bk ∈ 3, k ∈ ∠* l Tk(t) = Bk e Suy ra hä nghiÖm riªng ®éc lËp cña b i to¸n HP1 2  kπa  kπ − t x víi ak = AkBk , k ∈ ∠* l uk(x, t) = Xk(x)Tk(t) = ak e sin l • T×m nghiÖm tæng qu¸t cña b i to¸n HP1 d¹ng chuçi h m 2  kπa  kπ +∞ +∞ − t ∑u ∑a l u(x, t) = (x, t ) = e sin x (8.4.7) k k l k =1 k =1 Thay v o ®iÒu kiÖn ban ®Çu (8.4.2) kπ +∞ u(x, 0) = ∑ a k sin x = g(x) l k =1 NÕu h m g cã thÓ khai triÓn th nh chuçi Fourier th× kπ l 2 ak = ∫ g(x ) sin xdx (8.4.8) l0 l §Þnh lý Cho h m g ∈ C1(D, 3) tho¶ m n g(0) = g(l) = 0. Chuçi h m (8.4.7) víi c¸c hÖ sè ak tÝnh theo c«ng thøc (8.4.8) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n HP1a. Chøng minh • H m g theo gi¶ thiÕt tho¶ m n ®iÒu kiÖn Diriclet v do ®ã khai triÓn ®−îc th nh chuçi Fourier héi tô ®Òu trªn ®o¹n [0, l]. Do ®ã chuçi h m (8.4.7) víi c¸c hÖ sè ak tÝnh theo c«ng thøc (8.4.8) l héi tô ®Òu v cã thÓ ®¹o h m tõng tõ theo x hai lÇn, theo t mét lÇn trªn miÒn H. KiÓm tra trùc tiÕp thÊy r»ng chuçi h m (8.4.7) v c¸c chuçi ®¹o h m riªng cña nã tho¶ m n ph−¬ng tr×nh (8.4.1) v c¸c ®iÒu kiÖn (8.4.2), (8.4.3) • LËp luËn t−¬ng tù nh− b i to¸n CP1 suy ra tÝnh æn ®Þnh v duy nhÊt nghiÖm. ∂2u ∂u víi (x, t) ∈ [0, 1] × [0, T] VÝ dô Gi¶i b i to¸n = ∂t ∂x 2 u(x, 0) = x(1 - x) v u(0, t) = u(1, t) = 0 Theo c«ng thøc (8.4.8) ta cã k = 2n 0 1 − (-1) k l  8 ak = 2 ∫ x(1 − x) sin kπxdx = 4 = k = 2n + 1 kπ33  (2n + 1) 3 π 3  0 ThÕ v o c«ng thøc (8.4.7) suy ra nghiÖm cña b i to¸n 8 +∞ 1 u(x, t) = 3 ∑ 22 e −( 2 n +1) π t sin(2n + 1)πx π n =0 (2n + 1) 3 .Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 141
  8. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k §5. B i to¸n hçn hîp kh«ng thuÇn nhÊt B i to¸n HP1b Cho c¸c miÒn D = [0, l], H = D × [0, T], c¸c h m f ∈ C(H, 3) v g ∈ C(D, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt 2∂ u ∂u 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 =a ∂t ∂x 2 ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = 0 v c¸c ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 • T×m nghiÖm b i to¸n HP1b d¹ng chuçi h m kπ +∞ ∑ T (t ) sin u(x, t) = (8.5.1) x k l k =1 Khai triÓn Fourier h m f(x, t) ®o¹n [0, l], thÕ v o b i to¸n HP1b   2  Tk (t ) +  kπa  Tk (t )  sin kπ x = kπ +∞ +∞ ∑ ′  l  ∑f (t ) sin x  k l l   k =1   k =1 kπx kπ l +∞ 2 ∑T víi fk(t) = ∫ f (x, t ) sin dx v x =0 (0) sin k l0 l l k =1 §−a vÒ hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng 2  kπa  ′ Tk (t) +   Tk(t) = fk(t), Tk(0) = 0 (8.5.2) l Gi¶i hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh hÖ sè h»ng (8.5.2) t×m c¸c h m Tk(t) thÕ v o c«ng thøc (8.5.1) suy ra nghiÖm cña b i to¸n. §Þnh lý Cho h m f ∈ C(H, 3) ∩ C1(D, 3). Chuçi h m (8.5.1) víi c¸c h m Tk(t) x¸c ®Þnh bëi hÖ ph−¬ng tr×nh (8.5.2) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n HP1b. B i to¸n HP1 Cho c¸c miÒn D = [0, l], H = D × [0, T], c¸c h m f ∈ C(H, 3), g ∈ C(D, 3) v c¸c h m p, q ∈ C([0, T], 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂u ∂ 2u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t ∂x ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = g(x) v c¸c ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = p(t), u(l, t) = q(t) . Trang 142 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  9. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k • T×m nghiÖm b i to¸n HP1 d−íi d¹ng x u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) + p(t) + (q(t) - p(t)) (8.5.3) l Trong ®ã h m v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HP1a ∂2v ∂v = a2 2 ∂t ∂x x v(x, 0) = g(x) - p(0) - (q(0) - p(0)) = g1(x) l v(0, t) = v(l, t) = 0 (8.5.4) víi ®iÒu kiÖn biªn g1(0) = g1(l) = 0 ⇔ g(0) = p(0), g(l) = q(0) H m w(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HP1b ∂2w ∂2w ∂w x = a2 2 + f(x, t) - p’(t) - (q’(t) - p’(t)) = a2 2 + f1(x, t) ∂t ∂x ∂x l w(x, 0) = 0 w(0, t) = w(l, t) = 0 (8.5.5) • Gi¶i c¸c b i to¸n (8.5.4) v (8.5.5) t×m h m v(x, t) v h m w(x, t) thÕ v o c«ng thøc (8.5.3) suy ra nghiÖm cña b i to¸n. §Þnh lý Cho c¸c h m f ∈ C(H, 3) ∩ C1(D, 3), g ∈ C2(D, 3) v p, q ∈ C1([0, T], 3) tho¶ mn g(0) = p(0), g(l) = q(0) H m u(x, t) x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (8.5.3) víi h m v(x, t) v h m w(x, t) l nghiÖm cña c¸c b i to¸n (8.5.4) v (8.5.5) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n HP1. ∂2u ∂u = 4 2 víi (x, t) ∈ [0, 1] × [0, T] VÝ dô Gi¶i b i to¸n ∂t ∂x u(x, 0) = x v u(0, t) = 0, u(1, t) = e-t • T×m nghiÖm cña b i to¸n d−íi d¹ng u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) + xe-t víi h m v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HP1a víi g1(x) = 0 cßn h m w(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HP1b víi f1(x, t) = xe-t. B i to¸n HP1a cã nghiÖm v(x, t) = 0 Gi¶i b i to¸n HP1b 2(-1) k +1 − t 1 fk(t) = 2 e − t ∫ x sin kπxdx = e víi k ∈ ∠* kπ 0 Gi¶i hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng 2(-1) k +1 − t ′ Tk (t) + (2kπ)2Tk(t) = e , Tk(0) = 0 kπ . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 143
  10. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k T×m ®−îc c¸c h m ( ) víi k ∈ ∠ 2(-1) k 2 e − ( 2 kπ ) t − e − t * Tk(t) = kπ(4 k π − 1) 22 Suy ra nghiÖm cña b i to¸n ( ) +∞ 2(-1) k ∑ 2 e −( 2 kπ) t − e − t sin kπx u(x, t) = xe-t + kπ(4 k 2 π 2 − 1) k =1 NhËn xÐt B»ng c¸ch kÐo d i liªn tôc, c¸c c«ng thøc trªn vÉn sö dông ®−îc trong tr−êng hîp c¸c h m f v g cã ®¹o h m liªn tôc tõng khóc. §6. B i to¸n Dirichlet trong h×nh trßn • XÐt to¸n tö vi ph©n Laplace trong mÆt ph¼ng ∂ 2u ∂ 2 u ∆u(x, y) = + ∂x2 ∂y2 §æi biÕn to¹ ®é cùc x = rcosϕ, y = rsinϕ Theo c«ng thøc ®¹o h m h m hîp ∂u ∂r ∂u ∂ϕ ∂u 1 ∂u ∂u = cos ϕ − sin ϕ + = ∂x ∂r ∂x ∂ϕ ∂x ∂r r ∂ϕ ∂u ∂r ∂u ∂ϕ ∂u 1 ∂u ∂u + = sin ϕ + cos ϕ = ∂y ∂r ∂y ∂ϕ ∂y ∂r r ∂ϕ ∂2u 2 ∂2u 2 ∂2u ∂u 1 ∂u 1 ∂ 2u = cos2ϕ 2 − cosϕsinϕ + 2 cosϕsinϕ + sin2ϕ + 2 sin2ϕ 2 ∂x2 ∂r∂ϕ r ∂ϕ r ∂r r ∂r ∂ϕ r ∂2u ∂2u 2 ∂2u 2 ∂u 1 ∂u 1 ∂2u = sin 2 ϕ 2 + cosϕsinϕ − 2 cosϕsinϕ + cos 2 ϕ + 2 cos 2 ϕ 2 ∂y2 ∂r∂ϕ r ∂ϕ r ∂r r ∂r ∂ϕ r Suy ra biÓu thøc to¹ ®é cùc cña to¸n tö Laplace ∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂ 2 u 1 ∂  ∂u  1 ∂ 2 u + +2 ∆u(r, ϕ) = r  + = ∂r 2 r ∂r r ∂ϕ2 r ∂r  ∂r  r 2 ∂ϕ2 B i to¸n DE1a Cho miÒn D = [0, R] × [0, 2π] v h m g ∈ C([0, 2π], 3). T×m h m u ∈ C(D, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh Laplace ∆u(r, ϕ) = 0 víi (r, ϕ) ∈ D0 (8.6.1) v ®iÒu kiÖn biªn u(R, θ) = g(θ) (8.6.2) . Trang 144 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2