zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Giáo trình hướng dẫn phân tích các ứng dụng của hình học phẳng trong dạng đa phân giác p8

Chia sẻ: Fdsf Gfjy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

71
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trước hết biến hai đường tròn lồng nhau hai đường thẳng song song bằng cách biến điểm i th nh điểm ∞. Sau đó dùng phép tĩnh tiến v phép vi tự để điều chỉnh băng ngang th nh băng ngang đối xứng v có độ rộng thích hợp. Cuối cùng dùng phép quay để nhận được băng đứng. Ví dụ 6 Tìm h m giải tích w = f(z) biến hình bảo giác miền D = {| z |

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình hướng dẫn phân tích các ứng dụng của hình học phẳng trong dạng đa phân giác p8

h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 2. H m BiÕn Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k • Tr−íc hÕt biÕn hai ®−êng trßn lång nhau hai ®−êng th¼ng song song b»ng c¸ch biÕn ®iÓm i th nh ®iÓm ∞. Sau ®ã dïng phÐp tÜnh tiÕn v phÐp vi tù ®Ó ®iÒu chØnh b¨ng ngang th nh b¨ng ngang ®èi xøng v cã ®é réng thÝch hîp. Cuèi cïng dïng phÐp quay ®Ó nhËn ®−îc b¨ng ®øng. VÝ dô 6 T×m h m gi¶i tÝch w = f(z) biÕn h×nh b¶o gi¸c miÒn D = {| z | < 1} - [1/3, 1] th nh miÒn G = {| w | < 1}. • Tr−íc hÕt biÕn h×nh trßn víi l¸t c¾t [1/3, 1] th nh mÆt ph¼ng víi l¸t c¾t [-1, 5/3] b»ng phÐp biÕn h×nh Jucop. Sau ®ã thu gän l¸t c¾t th nh ®o¹n [-1, 1] b»ng phÐp tÜnh tiÕn v phÐp vi tù. Cuèi cïng dïng phÐp biÕn h×nh Jucop ng−îc. 1 -1 1/3 1 5/3 -1 1 1 ζ= (z + ) ω = 1 (w + 1 ) 2 z 2 w ω = 3 (ζ − 1 ) ζ(1) = 1, ζ(1/3) = 5/3 ω(-1) = -1, ω(5/3) = 1 4 3 LÊy tÝch c¸c phÐp biÕn h×nh w = ω + ω 2 − 1 = 3 (z + 1 ) − 1 + [ 3 (z + 1 ) − 1 ]2 − 1 8 24 8 24 B i tËp ch−¬ng 2 1. X¸c ®Þnh phÇn thùc, phÇn ¶o, module v argument cña c¸c h m sau ®©y. z+i 1 a. w = z3 b. w = 3 z d. w = z - c. w = z −1 z 2. BiÓu diÔn qua z v z c¸c h m sau ®©y. 2xy a. w = x2 - 1 b. w = x 2 + y2 + i y 8. w = x 3 + i y3 c. w = x + y2 2 3. Kh¶o s¸t tÝnh liªn tôc, liªn tôc ®Òu cña c¸c h m sau ®©y. z +1 Re z z a. w = b. w = lnx + iy c. w = d. w = z −1 z |z| Trang 40 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 2. H m BiÕnPhøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 4. Kh¶o s¸t ®iÒu kiÖn (C - R) v tÝnh gi¶i tÝch cña c¸c h m sau ®©y. 1 a. w = z3 b. w = zRez c. w = 2 d. w = z z z +1 5. §iÒu kiÖn Cauchy - Riemann a. T×m a, b, c ∈ 3 ®Ó h m f(z) = x + ay + i(bx + cy) gi¶i tÝch trªn ∀ | xy | tho¶ ®iÒu kiÖn (C - R) nh−ng kh«ng kh¶ vi t¹i z = 0 b. Chøng tá r»ng h m f(z) = c. Cho f(z) = u(r, ϕ) + iv(r, ϕ) víi z = reiϕ. ViÕt d¹ng l−îng gi¸c cña ®iÒu kiÖn (C - R) ∆w ∂u ∂v d. Cho w = u(x, y) + i v(x, y). Chøng minh r»ng nÕu ∃ lim Re th× ∃ = ∂x ∆z ∂x ∆z →0 6. T×m gãc quay v hÖ sè co cña phÐp biÕn h×nh w = f(z) t¹i ®iÓm z ∈ D. 1 a. w = z2 víi z = 1 + i , z = -3 + 4i b. w = 2 víi z = 1 - i, z = 1 + i z +1 7. ViÕt d¹ng ®¹i sè cña c¸c sè phøc sau ®©y. a. e1 + i b. Ln(1 + i) c. cos(2 + i) d. sin(2i) 1 h. (−1) i g. (1 - i)3 - 3i e. tg(2 - i) f. i i 8. Chøng minh c¸c c«ng thøc sau ®©y. a. cos(z + z’) = coszcosz’ - sinzsinz’ b. sin2z = 2sinzcosz 2tgz d. ch(2z) = ch2z - sh2z c. tg(2z) = 1 + tg 2 z 9. T×m ¶nh cña miÒn D qua phÐp biÕn h×nh w = f(z) a. w = z2 v D = {-π/2 < Imz < π/2} b. w = 2 + ez v D = {- π < Rez < π} c. w = cosz v D = {-π/2 < Imz < π/2} d. w = shz v D = {-π/2 < Rez < π/2} 10. Cho phÐp biÕn h×nh w = (1 + i)z - 1 a. T×m ¶nh cña ®o¹n th¼ng nèi hai ®iÓm z1 = i v z2 = -i b. T×m ¶nh cña ®−êng trßn | z - (1 + i) | = 2 c. T×m ¶nh cña tam gi¸c cã ®Ønh z0 = 0, z1 = 1 + i v z2 = 1 - i 1 11. T×m ¶nh cña c¸c ®−êng cong sau ®©y qua c¸c phÐp biÕn h×nh w = z a. x2 + y2 = 4 d. (x - 1)2 + y2 = 1 b. x = 1 c. y = x Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 41
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 2. H m BiÕn Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 12. T×m phÐp biÕn h×nh ph©n tuyÕn tÝnh a. BiÕn tam gi¸c cã c¸c ®Ønh 0, 1, i th nh tam gi¸c ®ång d¹ng cã c¸c ®Ønh 0, 2, 1+ i b. BiÕn c¸c ®iÓm -1, +∞, i t−¬ng øng th nh c¸c ®iÓm i, 1, 1 + i c. BiÕn ®iÓm i th nh -i v cã ®iÓm bÊt ®éng l 1 + 2i d. BiÕn h×nh trßn | z | < 1 th nh nöa mÆt ph¼ng Rew > 0 sao cho w(0) = 1, w’(1) = π/2 e. BiÕn h×nh trßn | z | < 1 th nh h×nh trßn | w - 1 | < 1 sao cho w(0) = 1/2, w(1) = 0 13. T×m phÐp biÕn h×nh biÕn c¸c miÒn sau ®©y th nh nöa mÆt ph¼ng trªn Imw > 0 a. Imz > 0, | z | < 2 b. Imz > 0, | z | < 2 d. | z | < 2, 0 < argz < π/3 e. | z | > 2, 0 < argz < π/4 f. | z | < 1, | z - i | 1, | z - i | < 1 h. | z | > 2, | z - 3 | > 1 i. 1 < Rez < 2 k. | z | < 1, 0 < argz < 2π j. Rez > 0, 0 < Imz < 2 l. Mçi trong bèn miÒn giíi h¹n bëi c¸c ®−êng trßn | z | = 1 v | z + 1 | = 1 n. (z) - (-∞, 1] ∪ [1, +∞) m. (z) - [-1, 1] p. (z) - { y = x, x ≥ 0 } o. (z) - [1 + i, 2 + 2i] q. {| z | > 1} - [i, +i∞) r. {| z | < 1} - [1/2, 1] Trang 42 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Ch−¬ng 3 TÝch Ph©n Phøc §1. TÝch ph©n phøc • Cho miÒn D ⊂ ∀, h m phøc f : D → ∀, z α f(z) = u(x, y) + iv(x, y) v tham sè cung tr¬n tõng khóc γ : [α, β] → D, t α γ(t) = x(t) + iy(t) TÝch ph©n β ∫ f (z)dz = ∫ f[γ(t )]γ ′(t )dt (3.1.1) α γ gäi l tÝch ph©n cña h m phøc f(z) däc theo tham sè cung γ. γ1 : [α1, β1] → D, s α γ1(s) Gi¶ sö l tham sè cung cïng h−íng víi γ. Tøc l cã phÐp ®æi tham sè b¶o to n h−íng ϕ : [α, β] α [α1, β1] víi ϕ’(t) > 0 v γ1(s) = γoϕ(t) Khi ®ã ta cã β1 β ∫ f[ γ(t )]γ ′(t )dt = (s)]γ ′ (s)ds ∫ f[γ 1 1 α α1 Suy ra tÝch ph©n cña h m phøc kh«ng phô thuéc v o líp c¸c tham sè cung cïng h−íng. KÝ hiÖu Γ = γ([α, β]) l ®−êng cong ®Þnh h−íng. TÝch ph©n ∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz (3.1.2) Γ γ gäi l tÝch ph©n cña h m phøc f(z) trªn ®−êng cong Γ. NÕu tÝch ph©n (3.1.1) tån t¹i h÷u h¹n th× h m f gäi l kh¶ tÝch trªn ®−êng cong Γ. §Þnh lý H m phøc f liªn tôc trªn ®−êng cong Γ tr¬n tõng khóc th× kh¶ tÝch. Chøng minh Gi¶ sö f : D → ∀ liªn tôc v Γ = γ([α, β]) víi γ : [α, β ] → D l tham sè cung tr¬n tõng khóc. Khi ®ã h m foγ(t)γ’(t) liªn tôc tõng khóc nªn kh¶ tÝch trªn ®o¹n [α, β]. • §Ó tÝnh tÝch ph©n phøc, thay γ’(t) = x’(t) + iy’(t) v foγ(t) = u[x(t), y(t)] + iv[x(t), y(t)] = u(t) + iv(t) v o c«ng thøc (3.1.1) råi t¸ch phÇn thùc, phÇn ¶o suy ra c«ng thøc sau ®©y. Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 43
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k β β ∫ f (z)dz = ∫ [u(t )x ′(t ) − v(t )y′(t )]dt + i ∫ [u(t )y′(t ) + v(t )x ′(t)]dt (3.1.3) Γ α α VÝ dô 1. TÝnh tÝch ph©n I = ∫ z Re zdz víi Γ l ®o¹n th¼ng [1, 2i] Γ 2i Tham sè ho¸ ®o¹n th¼ng [1, 2i] x = t, y = -2t + 2 víi t ∈ [1, 0] Suy ra γ’(t) = 1 - 2i, foγ (t) = t2 + i(-2t2 + 2t) 0 1 -3+ i 0 1 1 I = ∫ [t 2 + i(-2t 2 + 2 t )](1 - 2i )dt = ∫ (3t 2 − 4 t )dt + i ∫ (4 t 2 − 2 t )dt = 3 1 0 0 dz víi Γ l ®−êng trßn | z | = R ®Þnh h−íng d−¬ng ∫z 2. TÝnh tÝch ph©n I = n Γ Tham sè ho¸ ®−êng trßn Γ = (ab) γ(t) = Reit, t ∈ [0, 2π] a≡b Suy ra γ’(t) = iReit, foγ(t) = R-ne-int 2π I = iR 1− n ∫ e i (1− n ) t dt =  2 πi n =1 0 n ≠1  0 §2. C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n phøc • Trong môc n y ®Ó ®¬n gi¶n chóng ta xem c¸c h m f, g, ... l liªn tôc trªn miÒn D, cßn Γ = γ([α, β]) víi γ : [α, β] → D l ®−êng cong ®Þnh h−íng, tr¬n tõng khóc v n»m gän trong miÒn D. TÝch ph©n cña h m phøc cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y. 1. TuyÕn tÝnh NÕu c¸c h m f v g kh¶ tÝch trªn ®−êng cong Γ th× víi mäi sè phøc λ h m λf + g kh¶ tÝch trªn ®−êng cong Γ. ∫ [λf (z) + g(z)]dz = λ ∫ f (z)dz + ∫ g(z)dz (3.2.1) Γ Γ Γ Chøng minh Tõ gi¶ thiÕt suy ra h m [λfoγ(t) + goγ(t)]γ’(t) kh¶ tÝch trªn [α, β] β ∫ [λf (z) + g(z)]dz = ∫ [λfoγ(t ) + goγ(t )]γ ′(t)dt Γ α Trang 44 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.