intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

Giáo trinh Kỹ thuật thuỷ khí part 3

Chia sẻ: Awtaf Csdhhs | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

250
lượt xem
103
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mặt cắt ướt là mặt cắt vuông góc với véctơ vận tốc của dòng chảy, ký hiệu trong công thức là ω, trong bản vẽ là1-1,b-b,…, đơn vị là m2 • Chu vi −ớt là đoạn tiếp xúc giữa chất lỏng và thành giới hạn dòng chảy, ký hiệu χ, đơn vị là m • Bán kính thuỷ lực: R = ω π .r 2 r , ví dụ tiết diện tròn R = = χ 2π .r 2

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Giáo trinh Kỹ thuật thuỷ khí part 3

  1. Kỹ thuật thuỷ khí -------------------------------------------------------------------------------------------- (H. 3-3) • MÆt c¾t −ít lµ mÆt c¾t vu«ng gãc víi vÐct¬ vËn tèc cña dßng ch¶y, ký hiÖu trong c«ng thøc lµ ω, trong b¶n vÏ lµ1-1,b-b,…, ®¬n vÞ lµ m2 • Chu vi −ít lµ ®o¹n tiÕp xóc gi÷a chÊt láng vµ thµnh giíi h¹n dßng ch¶y, ký hiÖu χ, ®¬n vÞ lµ m ω π .r 2 r • B¸n kÝnh thuû lùc: R = , vÝ dô tiÕt diÖn trßn R = = χ 2π .r 2 • L−u l−îng lµ l−îng chÊt láng ch¶y qua ω trong 1 ®¬n vÞ thêi gian, -L−u l−îng thÓ tich: ký hiÖu lµ Q: Q = ∫ udω §¬n vÞ ®o Q: m3/s ω -L−u l−îng träng l−îng: : ký hiÖu lµ G: G = ∫ γ .u.dω §¬n vÞ ®o G: N/s, KG/s ω Trong tr−êng hîp xÐt chuyÓn ®éng theo ®−êng cong kÝn trong mÆt ph¼ng (H.3-4): Q = ∫ u n ds s ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chương3. Động học chất lỏng - 33 -
  2. Kỹ thuật thuỷ khí -------------------------------------------------------------------------------------------- Γ = ∫ us .ds - gäi lµ l−u sè vËn tèc. s Víi 1 cung AB: S B B ΓAB = ∫ (u s .d s ) = ∫ u. cos α .ds A A B B = ∫ u s .ds = ∫ (u x .dx + u y .dy ) A dS un B A A us u ds – tiÕp tuyÕn t¹i mét ®iÓm nµo ®ã cña AB H.3-4 Q VËn tèc trung b×nh cña tiÕt diÖn −ít: v = ω Q=v.ω Suy ra: 3. §−êng dßng, Dßng nguyªn tè. §−êng dßng lµ ®−êng cong trªn ®ã vÐct¬ vËn tèc cña mçi ®iÓm trïng víi tiÕp tuyÕn víi ®−êng cong t¹i ®iÓm ®ã. Tõ ®Þnh nghÜa suy ra: - C¸ch vÏ ®−êng dßng lµ vÏ ®−êng cong tiÕp tuyÕn víi c¸c vÐc t¬ vËn tèc t¹i mét thêi ®iÓm trong kh«ng gian. - Ph−¬ng tr×nh ®−êng dßng trong chuyÓn ®éng dõng: tõ ®Þnh nghÜa ta xÐt chuyÓn ®éng dõng vËn tèc trïng ph−¬ng víi dÞch chuyÓn dS r r r i j k r u // d s → u ∧ ds = 0.. → u x uz = 0 uy dx dy dz tõ ®ã: dx dy dz = = (3-1) ux u y uz ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chương3. Động học chất lỏng - 34 -
  3. Kỹ thuật thuỷ khí -------------------------------------------------------------------------------------------- Chó ý: T¹i mçi ®iÓm trong kh«ng gian, ë mçi thêi ®iÓm chØ ®i qua mét ®−êng dßng, nghÜa lµ c¸c ®−êng dßng kh«ng c¾t nhau. u1 u2 u d 3 H.3-4 CÇn ph©n biÖt quÜ ®¹o víi ®−êng dßng: Quü ®¹o ®Æc tr−ng cho sù biÕn thiªn vÞ trÝ cña phÇn tö chÊt láng theo thêi gian, cßn ®−êng dßng biÓu diÔn ph−¬ng vËn tèc cña c¸c phÇn tö chÊt láng t¹i mét thêi ®iÓm. Trong chuyÓn ®éng dõng th× chóng trïng nhau. C¸c ®−êng dßng tùa lªn mét vßng kÝn v« cïng nhá ta ®−îc mét èng dßng. ChÊt láng ch¶y ®Çy trong èng gäi lµ dßng nguyªn tè. ChÊt láng kh«ng thÓ xuyªn qua èng dßng. 4. Hµm dßng vµ thÕ vËn tèc. §Ó ®¬n gi¶n, ta kh¶o s¸t chuyÓn ®éng trong mÆt ph¼ng xy. Tõ ph−¬ng dx dy = tr×nh ®−êng dßng: , ux uy ®−a vµo hµm ψ(x,y) vµ ϕ(x,y) sao cho tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chương3. Động học chất lỏng - 35 -
  4. Kỹ thuật thuỷ khí -------------------------------------------------------------------------------------------- ∂ψ ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ux = = ;u y = − = ∂y ∂x ∂x ∂y Ta cã: ∂ψ ∂ψ dy = dψ = 0 − u y dx + u x dy = 0. − hay − : dx + ∂x ∂y Do ®ã ph−¬ng tr×nh ®−êng dßng cã d¹ng: ψ = const = C. gäi ψ lµ hµm dßng; T−¬ng tù, ta cã ϕ = const biÓu diÔn hä ®−êng ®¼ng vËn tèc,gäiϕ lµ thÕ vËn tèc. Tõ ®Þnh nghÜa cña ψ vµ ϕ ta ®−îc: ∂ψ ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ + =0 ∂x ∂x ∂y ∂y §ã lµ ®iÒu kiÖn trùc giao cña c¸c ®−êng dßng vµ ®−êng thÕ vËn tèc hay goi lµ ®iÒu kiÖn C«si-Riªman. §Ó thÊy râ ý nghÜa vËt lý cña ψ vµ ϕ, tõ ®Þnh nghÜa cña l−u sè vËn tèc ë trªn: ⎛ ∂ϕ ∂ϕ ⎞ B B B B = ∫ u s ds = ∫ (u x dx + u y dy ) = ∫ ⎜ ⎜ ∂x dx + ∂y dy ⎟ = ∫ dϕ = ϕ ( B ) − ϕ ( A) ΓAB ⎟ A⎝ ⎠A A A T−¬ng tù: ⎛ ∂ψ ∂ψ ⎞ B B B B = ∫ u n ds = ∫ (u x dx − u y dy ) = ∫ ⎜ ⎜ ∂x dx + ∂y dy ⎟ = ∫ dψ = ψ ( B ) − ψ ( A) Q AB ⎟ A⎝ ⎠A A A nghÜa lµ hiÖu c¸c gi¸ trÞ hµm dßng t¹i hai ®iÓm nµo ®ã b»ng l−u l−¬ng chÊt láng ch¶y qua èng dßng giíi h¹n bëi hai ®−êng dßng ®i qua hai ®iÓm ®ã. 5. §−êng xo¸y, èng xo¸y. ChuyÓn ®éng quay cña mçi phÇn tö chÊt láng xung quanh mét trôc quay tøc thêi ®i qua nã ®−îc gäi lµ chuyÓn ®éng xo¸y. Vect¬ v©n tèc gãc quay trong chuyÓn ®éng xo¸y: ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chương3. Động học chất lỏng - 36 -
  5. Kỹ thuật thuỷ khí -------------------------------------------------------------------------------------------- 1 Ω= rot u 2 ChuyÓn ®éng kh«ng xo¸y hay chuyÓn ®éng thÕ khi: rot u = 0 T−¬ng tù nh− kh¸i niÖm vÒ ®−êng dßng vµ èng dßng, ë ®©y ta cã kh¸i niÖm vÒ ®−êng xo¸y vµ èng xo¸y. NÕu cho tr−íc tr−êng vËn tèc, tõ biÓu thøc trªn ta cã thÓ x¸c ®Þnh tr−êng vect¬ vËn tèc gãc Ω . §−êng cong tiÕp xóc víi vect¬ vËn tèc gãc gäi lµ ®−êng xo¸y. TËp hîp c¸c ®−êng xo¸y bao quanh mét ph©n tè diÖn tÝch dω nµo ®ã gäi lµ èng xo¸y. ChÊt láng ch¶y ®Çy trong èng xo¸y gäi lµ sîi xo¸y. C−êng ®é cña èng xo¸y: i = ∫ rotnu.dω ω dx dy dz = = Ph−¬ng tr×nh ®−êng xo¸y: Ωx Ωy Ωz ♣ 3.3. §Þnh lý cosi – hemhon (®Þnh lý hemhon 1) Hay lµ ®Þnh lý c¬ b¶n cña ®éng häc chÊt láng. §Þnh lý vÒ sù biÕn d¹ng cña ph©n tè chÊt láng. Theo c¬ häc lý thuyÕt, ®èi víi vËt r¾n, vËn tèc t¹i M b»ng vËn tèc tÞnh tiÕn t¹i 0 céng víi vËn tèc quay cña M quanh 0 (H.3-5): u M = u o + u MO u MO = Ω ∧ r u0 ω r O M H.3-5 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chương3. Động học chất lỏng - 37 -
  6. Kỹ thuật thuỷ khí -------------------------------------------------------------------------------------------- §èi víi chÊt láng, mäi thÓ tÝch bÊt kú nµo ®ã ®Òu bÞ biÕn d¹ng trong qu¸ tr×nh chuyÓn ®éng. V× vËy kh¶o s¸t vËn tèc cña mét ph©n tè chÊt láng ph¶i thªm vµo thµnh phÇn vËn tèc biÕn d¹ng u bd : u = u o + Ω ∧ r + u bd §ã lµ nét dung cña ®Þnh lý Hemhon 1. u bd cña ph©n tè chÊt láng t¹i M cã thÓ viÕt d−íi d¹ng ma trËn: S = S v& - tenx¬ vËn tèc biÕn d¹ng, víi c¸c & thµnh phÇn 1 ⎛ ∂u i ∂u j ⎞ ⎜ ⎟ ; i,j = 1,2,3 S v& = + 2 ⎜ ∂x j ∂xi ⎟ & ⎝ ⎠ Ngoµi ra, cßn cã c¸c ®Þnh lý vÒ chuyÓn ®éng xo¸y sau ®©y: §Þnh lý Hemhon 2: §Þnh lý b¶o toµn xo¸y. §Þnh lý Stèc: §Þnh lý vÒ sù liªn hÖ gi÷a c−êng ®é cña èng xo¸y vµ l−u sè vËn tèc: i = Γ. C«ng thøc Bi« - Xava: T×m ph©n bè vËn tèc c¶m øng quanh sîi xo¸y ®· biÕt. ♣ 3.4. Ph−¬ng tr×nh liªn tôc §©y lµ mét d¹ng cña ®Þnh luËt b¶o toµn khèi l−îng: Khèi l−îng m cña dm =0 hÖ c« lËp kh«ng thay ®æi trong suèt qu¸ tr×nh chuyÓn ®éng: dt 1. D¹ng tæng qu¸t (hay lµ d¹ng ¬le) Trong m«i tr−êng chÊt láng chuyÓn ®éng ta t−ëng t−îng t¸ch ra mét ΔV = dxdydz (H.3-6). ph©n tè h×nh hép cã thÓ tÝch Theo ®Þnh luËt b¶o toµn khèi l−îng: d ( ρΔV ) =0 dt ρ = ρ ( x, y, z, t ) khèi l−îng riªng cña chÊt láng ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chương3. Động học chất lỏng - 38 -
  7. Kỹ thuật thuỷ khí -------------------------------------------------------------------------------------------- 1 dρ 1 dΔV + =0 LÊy ®¹o hµm: ρ dt ΔV dt y ∂u x ux + dx ux ∂x H.3-6 1 2 x O z dΔV lµ vËn tèc biÕn d¹ng t−¬ng ®èi cña thÓ tÝch ph©n tè chÊt láng, dt ®−îc x¸c ®Þnh nh− lµ tæng hîp cña c¸c biÕn d¹ng dµi thµnh phÇn theo ba ph−¬ng x,y,z. ux . XÐt theo ph−¬ng x, vËn tèc mÆt 1: ∂u ⎛ ⎞ ⎜ u x + x dx ⎟ vËn tèc mÆt 2: ⎝ dx ⎠ ThÓ tÝch cña ph©n tè chÊt láng thay ®æi theo h−íng trôc x mét l−îng dt tuyÖt ®èi sau thêi gian b»ng: ∂u ∂u ⎛ ⎞ ⎜ u x + x dx ⎟dydzdt − u x dydzdt = x dxdydzdt ∂x ∂x ⎝ ⎠ t−¬ng tù cho hai ph−¬ng y,z, vµ tæng biÕn d¹ng theo ba ph−¬ng sÏ lµ: ∂u y ∂u z ⎛ ∂u ⎞ d ΔV = ⎜ x + ⎟dxdydzdt + ⎜ ∂x ⎟ ∂y ∂z ⎝ ⎠ 1 dΔV ∂u x ∂u y ∂u z = + + vµ ΔV dt ∂x ∂y ∂z ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chương3. Động học chất lỏng - 39 -
  8. Kỹ thuật thuỷ khí -------------------------------------------------------------------------------------------- 1 dρ ∂u x ∂u y ∂u z + + + =0 VËy ρ dt ∂x ∂y ∂z §ã chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh liªn tôc d¹ng tæng qu¸t. Cã thÓ viÕt d−íi d¹ng gän h¬n: 1 dρ + div.u = 0 ρ dt ∂ρ + div ( ρ u ) = 0 hay lµ: (3-1) ∂t ∂ρ div( ρ u ) = 0 =0 Trong chuyÓn ®éng dõng: nªn ∂t §èi víi chÊt láng kh«ng nÐn ®−îc (`ρ = const) ta ®−îc: div.u = 0 Cã thÓ chøng minh ph−¬ng tr×nh liªn tôc gän h¬n b»ng c¸c c«ng thøc vµ biÕn ®æi tÝch ph©n. 2. §èi víi dßng nguyªn tèvµ toµn dßng ch¶y. • §èi víi dßng nguyªn 2 tè: dω 2 u2 2 Kh¶o s¸t ®èi víi chÊt láng 1 u1 trong dßng nguyªn tè gi÷a dω1 1 hai mÆt c¾t 1-1 vµ 2-2. Gi¶ thiÕt chuyÓn ®éng dõng, chÊt láng kh«ng nÐn ®−îc. dm1 = ρu1dω1 dt Sau thêi gian dt l−îng chÊt láng: - ®i vµo 1-1: dm2 = ρu2dω2dt - ®i ra 2-2: Theo ®Þnh luËt b¶o toµn khèi l−îng: ρu1dω1 = ρu2dω2 u1dω1 = u2dω2 = dQ = Const → • §èi víi toµn dßng: v1ω1 = v2ω2 = Const ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chương3. Động học chất lỏng - 40 -
  9. Kỹ thuật thuỷ khí -------------------------------------------------------------------------------------------- hay lµ: Q1 = Q2 = Const, nghÜa lµ, trong dßng ch¶y dõng cña chÊt láng kh«ng nÐn ®−îc, l−u l−îng qua mäi mÆt c¾t ®Òu b»ng nhau, suy ra v©n tèc tû lÖ nghÞch víi tiÕt diÖn. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chương3. Động học chất lỏng - 41 -
  10. Kỹ thuật thuỷ khí ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- ch−¬ng IV ®éng lùc häc chÊt láng Trong ch−¬ng nµy ta nghiªn cøu c¸c quy luËt chuyÓn ®éng cña chÊt láng d−íi t¸c dông cña lùc vµ nh÷ng øng dông cña nã. §Ó tiÕt kiÖm thêi gian, ta kh¶o s¸t chÊt láng thùc tr−íc, sau ®ã suy ra cho chÊt láng lý t−ëng. § 4.1. ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña chÊt láng thùc. 1.d¹ng øng suÊt. Trong chÊt láng thùc chuyÓn ®éng, ¸p suÊt thuû ®éng vÉn h−íng vµo mÆt t¸c dông (gièng nh− ¸p suÊt thuû tÜnh, ch−¬ng 2), nh−ng kh«ng chØ h−íng theo ph¸p tuyÕn, mµ nã lµ tæng cña thµnh phÇn øng suÊt ph¸p tuyÕn, ký hiÖu lµ p, vµ thµnh phÇn øng suÊt tiÕp τ do lùc nhít g©y ra (xem (1-1)). z ∂τ xy τ xy + dx dy ∂x τ xy ∂p xx p xx + p xx dx τ xz ∂x ∂τ xz dz τ xz + dx ∂x dx O x mF y H.4-1 §Ó thµnh lËp ®−îc ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng, ta tiÕn hµnh gièng nh− khi thµnh lËp ph−¬ng tr×nh ¥le tÜnh (2-3). Trong m«i tr−êng chuyÓn ®éng, ta kh¶o s¸t mét ph©n tè h×nh hép chÊt láng víi vËn tèc u (h×nh 4-1). ë ®©y, lùc mÆt gåm ¸p lùc P ,vµ lùc Chương4-Động lực học chất lỏng 42
  11. Kỹ thuật thuỷ khí ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- m F t¸c dông lªn khèi chÊt láng cã thÓ t¸ch ra ®−îc lùc qu¸n tÝnh ma s¸t T. Lùc khèi du F qt = − m . dt Theo nguyªn lý §al¨mbe, ta cã ®iÒu kiÖn c©n b»ng: r m F + P + T + F qt = 0 XÐt h×nh chiÕu c¸c lùc lªn trôc x (h×nh 4-1) VÒ lùc mÆt: øng suÊt nh©n víi diÖn tÝch dydz: pxx -øng suÊt ph¸p(do ¸p su©t). øng suÊt tiÕp: τxy τ n»m trong mÆt ph¼ng ⊥Ox ; chØ sè x: chiÕu τ lªn Oy; chØ sè y: t−¬ng øng víi øng suÊt tiÕp τxz du Fqt,x=-ρ.dx.dy.dz. Lùc qu¸n tÝnh: dt (m F)x=ρ.dx.dy.dz.X. Lùc khèi: ∑x = (mF)x+ Tx- Px+Fqt,x= 0 VËy ∂τ xy ∂τ xz ⎛ ∂p ⎞ du Hay lµ: ρ .dx.dy.dz. X + ⎜ xx + ⎟ . dx.dy.dz − ρ . .dx.dy.dz = 0 + ⎜ ∂x ⎟ ∂y ∂z ⎝ ⎠ dt Sau khi ®¬n gi¶n cho ρ.dx.dy.dz, ta ®−îc: 1 ⎛ ∂pxx ∂τ xy ∂τ xz ⎞ dux ⎜ ⎟= X+ + + ρ ⎜ ∂x ∂z ⎟ dt ; ∂y ⎝ ⎠ 1 ⎛ ∂τ yx ∂p yy ∂τ yz ⎞ du y ⎜ ⎟= Y+ + + ρ ⎜ ∂x ∂z ⎟ dt T−¬ng tù cho trôc y vµ z: ; (4-1) ∂y ⎝ ⎠ 1 ⎛ ∂τ zx ∂τ zy ∂pzz ⎞ duz ⎜ ⎟= Z+ + + ρ ⎜ ∂x ∂z ⎟ dt ; ∂y ⎝ ⎠ (4-1) lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña chÊt láng thùc d¹ng øng suÊt. Cã thÓ chøng minh: τxy=τü; τxz=τzx; τzy=τyz; 2. ph−¬ng tr×nh navie-stèc: Chương4-Động lực học chất lỏng 43
  12. Kỹ thuật thuỷ khí ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hai «ng Navie (ng−êi Ph¸p) vµ Stokes (ng−êi Anh) ®· viÕt hÖ ph−¬ng tr×nh (4-1) d−íi d¹ng kh¸c, tiÖn sö dông, dùa trªn c¸c gi¶ thuyÕt vÒ øng suÊt, vµ ph−¬ng tr×nh ®ã ®−îc mang tªn hai «ng.Víi c¸c gi¶ thuyÕt sau: 1. ¸p suÊt thuû ®éng p t¹i mét ®iÓm lµ trung b×nh céng cña c¸c ¸p suÊt ph¸p tuyÕn lªn ba mÆt vu«ng gãc víi nhau qua ®iÓm ®ã: ( pxx + p yy + pzz ) 1 p=− (4-2) 3 Cã dÊu trõ v× chän chiÒu d−¬ng lµ chiÒu kÐo gi·n phÇn tö chÊt láng. 2. øng suÊt ph¸pcña chÊt láng nhít ®ång chÊt ®· lµm xuÊt hiÖn c¸c øng suÊt ph¸p bæ sung σ ∂u x 2 σ xx = 2μ − μ .divu ; pxx = − p + σ xx ; víi ∂x 3 ∂u y 2 p yy = − p + σ yy σ yy = 2μ − μ.divu (4-3) ∂y 3 ∂u z 2 pzz = − p + σ zz σ zz = 2μ − μ .divu ∂z 3 3. øng suÊt tiÕp: Theo Newton: øng suÊt tiÕp g©y ra bëi lùc nhít tû lÖ víi c¸c vËn tèc biÕn d¹ng du τ =μ t−¬ng øng. Trong mÆt ph¼ng ta cã (1-1): dy ⎛ ∂u y ∂u ⎞ τ xy = μ ⎜ ⎜ ∂x + ∂y ⎟ ; x Trong kh«ng gian: ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ∂u x ∂u z ⎞ τ xz = μ ⎜ + ⎟ (4-4) ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎛ ∂u ∂u ⎞ τ yz = μ ⎜ ⎜ ∂z + ∂y ⎟ y z ⎟ ⎝ ⎠ Thay c¸c biÓu thøc (4-2) – (4-4) vµo (4-1) vµ sau mét sè phÐp biÕn ®æi phøc t¹p, ta ®−îc ph−¬ng tr×nh Navie – Stèc: 1 ∂p 1∂ du x =X− + v.Δu x + v divu ρ ∂x 3 ∂x dt 1 ∂p 1∂ du y =Y − + v.Δu y + v divu (4-5) ρ ∂y 3 ∂y dt Chương4-Động lực học chất lỏng 44
  13. Kỹ thuật thuỷ khí ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 ∂p 1∂ du z =Z− + v.Δu z + v divu ρ ∂z 3 ∂z dt Hay viÕt d−íi d¹ng vÐct¬: () du 1 v = F − gradp + v.Δu + grad divu (4-6) ρ dt 3 Δ- to¸n tö Laplas; ν=μ/ρ ®é nhít ®éng häc. Trong ®ã Mét sè nhËn xÐt: ρ = const → div.u = 0 nªn ph−¬ng tr×nh - §èi víi chÊt láng kh«ng nÐn ®−îc: (4-6) mÊt ®i sè h¹ng cuèi cïng: du 1 = F − gradp + v.Δu (4-7) ρ dt Nh− vËy 3 ph−¬ng tr×nh (4-7) vµ ph−¬ng tr×nh liªn tôc divu = 0 ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh 4 Èn: ux, uy, uz vµ p, cã nghÜa m« h×nh to¸n lµ kÝn. - Khi ν = 0, nghÜa lµ chÊt láng lý t−ëng, ta ®−îc: du 1 = F − gradp (4-8) ρ dt - ChÊt láng kh«ng chuyÓn ®éng (ë tr¹ng th¸i tÜnh): u = 0 , hay chuyÓn ®éng th¼ng du = 0 , nªn (4-8) cã d¹ng: F − 1 gradp = 0 ®Òu: ρ dt §ã chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh ¥le tÜnh (2-4) § 4.2. ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña chÊt láng lý t−ëng 1. d¹ng ¬le: §ã chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh (4-8), hay cßn gäi lµ ph−¬ng tr×nh ¥le ®éng. 1 du F− gradp = (4-8) ρ dt 2. d¹ng l¨mb¬- gr«mªca: Ph−¬ng tr×nh ¥le ®éng (4-8) biÓu diÔn chuyÓn ®éng tæng qu¸t cña chÊt láng. Chương4-Động lực học chất lỏng 45
  14. Kỹ thuật thuỷ khí ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- §Ó thÊy râ h¬n nh÷ng d¹ng chuyÓn ®éng riªng biÖt nh− chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn, quay, biÕn d¹ng, L¨mb¬ - Gr«mªca ®· biÕn ®æi vÒ d¹ng sau ®©y. Nh¾c l¹i: 2Ω = rot u Ta xÐt ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu xuèng trôc ox cña (4-8) ∂u 1 ∂p ∂u x ∂u ∂u ∂u ∂u X− = + ux x + u y x + uz x ± u y y ± uz z ρ ∂x ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x ∂u y ⎛ ∂u x ∂u y ⎞ 1 ∂p ∂u x ⎛ ∂u x ∂u z ⎞ ⎛ ∂u x ∂u z ⎞ + ⎜ ux ⎜ ∂x + u y ∂x + u z ∂x ⎟ + u y ⎜ ∂y − ∂x ⎟ + u z ⎜ ∂z − ∂x ⎟ X− = ⎟ ⎜ ⎟ ρ ∂x ∂t ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ∂p ∂u x ∂ ⎛ u 2 ⎞ +⎜ ⎟ − 2Ω z v + 2 w Ω y X− = ∂x ⎜ 2 ⎟ ρ ∂x ∂t ⎝ ⎠ hay lµ: 1 ∂p ∂u x ∂ ⎛ u 2 ⎞ ⎟ = 2(Ω y u z − Ω z u y ) −⎜ X− − ρ ∂x ∂t ∂x ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ T−¬ng tù: 1 ∂p ∂u y ∂ ⎛ u 2 ⎞ ⎟ = 2(Ω z u x − Ω x u z ) −⎜ Y− − ρ ∂y ∂t ∂y ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ∂p ∂u z ∂ ⎛ u 2 ⎞ ⎟ = 2(Ω x v − Ω y u ) −⎜ Z− − ρ ∂z ∂t ∂z ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ hay viÕt d−íi d¹ng vÐct¬: ⎛ u 2 ⎞ ∂u F − grad ⎜ p + ⎟ − = 2Ω ∧ u (4-9) ⎜ 2 ⎟ ∂t ⎝ ⎠ §ã lµ ph−¬ng tr×nh L¨mb¬ - Gr«mªca. ∂P 1 ∂p ∂P 1 ∂p ∂P 1 ∂p dp §Æt P = ∫ = = = lµ hµm ¸p suÊt: ; ; ρ ∂x ρ ∂x ∂y ρ ∂y ∂z ρ ∂z NÕu lùc khèi lµ hµm cã thÕ, ta ®−a vµo hµm thÕ U ∂U ∂U ∂U X =− Y =− Z =− ∂x ∂y ∂z Khi ®ã ph−¬ng tr×nh (4-9) ®−îc viÕt d−íi d¹ng: Chương4-Động lực học chất lỏng 46
  15. Kỹ thuật thuỷ khí ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- ⎛ ⎞ ∂u u2 − grad ⎜U + P + ⎟− ⎟ ∂t = 2Ω ∧ u ; (4-10) ⎜ ⎝ ⎠ 2 § 4.3. TÝch ph©n ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña chÊt láng lý t−ëng 1. TÝch ph©n c«si – lagr¨ngi¬: ( ) ⎛∂ ⎞ XÐt chuyÓn ®éng thÕ Ω = 0 vµ kh«ng dõng ⎜ ≠ 0 ⎟ .Khi ®ã tån t¹i hµm thÕ vËn ⎝ ∂t ⎠ tèc ϕ: gradϕ = u Do ®ã ph−¬ng tr×nh (4-10) cã d¹ng: u 2 ∂ϕ ⎞ ⎛ grad ⎜U + P + ⎟=0 + (4-10’) ⎜ ∂t ⎟ ⎝ ⎠ 2 Suy ra biÓu thøc trong dÊu ngoÆc kh«ng phô thuéc vµo to¹ ®é mµ chØ phô thuéc vµo thêi gian: u 2 ∂ϕ = C (t ) U +P+ + (4-11) ∂t 2 §ã lµ tÝch ph©n C«si – Lagr¨ngi¬. NÕu lùc khèi chØ lµ träng lùc, trôc oz h−íng lªn: Z=-g; -U=-gz X=Y=0; Khi ®ã (4-11) cã d¹ng: u 2 ∂ϕ = C (t ) gz + P + + ∂t 2 Nh− vËy cã hai Èn: P, ϕ nªn thªm ph−¬ng tr×nh liªn tôc divu = 0 →Δϕ = 0 2. TÝch ph©n BÐc nu li. ∂ = 0 . Khi ®ã ph−¬ng tr×nh (4-10) viÕt d−íi d¹ng h×nh XÐt chuyÓn ®éng dõng: ∂t chiÕu cã d¹ng: ∂⎛ ⎞ ⎟ = 2(Ω y u z − Ω z u y ); u2 ⎜U + P + − ∂x ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 Chương4-Động lực học chất lỏng 47
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2