GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT THỐNG KÊ - ĐH Bách Khoa Đà Nẵng

Chia sẻ: minhhai20789

Lý thuyết thống kê xác suất là bộ môn toán học nghiên cứu tính qui luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Các khái niệm đầu tiên của xác suất do các nhà toán học tên tuổi Pierre Fermat (1601- 1665) và Blaise Pascal (1623 - 1662) xây dựng vào giữa thế kỷ 17, Lí thuyết xác suất là ngành toán học chuyên nghiên cứu xác suất.

Bạn đang xem 20 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT THỐNG KÊ - ĐH Bách Khoa Đà Nẵng

L I NÓI ð U

Lý thuy t xác su t là b môn toán h c nghiên c u tính qui lu t c a các hi n
tư ng ng u nhiên.
Các khái ni m ñ u tiên c a xác su t do các nhà toán h c tên tu i Pierre Fermat
(1601-1665) và Blaise Pascal (1623-1662) xây d ng vào gi a th k 17, d a trên vi c
nghiên c u các qui lu t trong các trò chơi may r i. Do s h n ch c a trình ñ toán h c
ñương th i, nên su t m t th i gian dài các trò chơi may r i v n là cơ s duy nh t cho
các khái ni m và phương pháp c a lí thuy t xác su t v i công c ch y u là phép tính
t h p và s h c sơ c p. Hi n nay, tuy lí thuy t xác su t ñã có n n t ng toán h c ñ s ,
nhưng các phương pháp "ngây thơ" ban ñ u ñó v n còn tác d ng, ñ c bi t ñ i v i các
ngành khoa h c th c nghi m.
Vi c gi i quy t các bài toán n y sinh trong lí thuy t sai s và ño lư ng ñã ñem
l i bư c phát tri n m i cho lí thuy t xác su t. Các nhà toán h c Jacob Bernoulli (1654-
1705), A.Moivre (1667-1754), Laplace (1749-1827), Gauss (1777-1855), Poisson
(1781-1840) ñã có công lao x ng ñáng phát tri n lí thuy t xác su t b ng phương pháp
gi i tích.
T gi a th k 19 ñ n ñ u th k 20, s phát tri n c a lí thuy t xác su t g n li n
v i tên tu i các nhà toán h c Nga như Bunhiac pxki (1804-1889), Trebưsep (1821-
1894), Markov (1856-1922) và Liapunov (1857-1918).
Trong quá trình phát tri n m nh m c a c a lí thuy t xác su t, v n ñ xây d ng
m t cơ s toán h c ch t ch tr thành c p thi t. S ra ñ i c a lí thuy t t p h p và ñ
ño ñã cung c p công c toán h c gi i quy t v n ñ này, và vinh quang xây d ng lí
thuy t xác su t tiên ñ thu c v nhà toán h c Nga Kolmogorov (1929).
S ra ñ i c a th ng kê toán h c b t ngu n t các v n ñ th c ti n và d a trên
nh ng thành t u c a lí thuy t xác su t. Các thí nghi m trong các ngành khoa h c khác
nhau như v t lý, hóa h c, sinh h c, y h c, ... ph thu c vào nhi u y u t ng u nhiên
như con ngư i, môi trư ng,... Do ñó k t qu th c nghi m thư ng là các ñ i lư ng ng u
nhiên.
Có th ñ nh nghĩa th ng kê toán h c là ngành khoa h c v các phương pháp
t ng quát x lý các k t qu th c nghi m. Cùng v i s phát tri n c a lí thuy t xác su t,
th ng kê toán h c ñã có bư c ti n nhanh, v i s ñóng góp c a các nhà toán h c như
Gantơn (1822-1911), Pi cxơn (1857-1936), Cramer, Fisher, Von Neuman, ... Th ng kê
toán h c ñã có các ng d ng hi u qu trong nhi u lĩnh v c khoa h c, công ngh , kinh
t và xã h i khác nhau như v t lí, hóa h c, cơ h c, sinh v t, y h c, d báo, khí tư ng,
th y văn, vô tuy n, ñi n t , ngôn ng h c, xã h i h c, ...
Có th nói lí thuy t xác su t và th ng kê toán h c ñã tr thành ki n th c cơ s
không th thi u c a m i k sư tương lai.
Giáo trình ñư c biên so n l n ñ u nên ch c ch n còn nhi u khi m khuy t. Tác
gi chân thành c m ơn nh ng ý ki n ñóng góp quý báu c a ñ c gi ñ giáo trình ngày
m t hoàn thi n.
Xin chúc các b n thành công!

ðà n ng 1/2005
Tác gi .
CHƯƠNG 0
GI I TÍCH K T H P
I. T P H P
1. CÁC KHÁI NI M CƠ B N
• ð nh nghĩa: Khái ni m t p h p là khái ni m n n t ng cho toán h c cũng như ng
d ng c a nó. T p h p là khái ni m nguyên thu không ñ nh nghĩa chính xác d a
trên các khái ni m khác. T p h p ñư c coi là k t h p các ñ i tư ng có cùng b n
ch t (thu c tính, d u hi u ) chung nào ñó.
T p h p thư ng ñư c ký hi u b ng các ch cái A, B, C , ... Các ph n t c a
t p h p ký hi u b ng các ch thư ng a, b, c,...
ð ch x là ph n t c a t p h p X ta vi t :
x ∈ X (ñ c : x thu c X )

ð ch x không ph i là ph n t c a X ta vi t :
x ∉ X (ñ c : x không thu c X )

T p không có ph n t g i là t p r ng và ký hi u ∅.

• Bi u di n t p h p:
Có hai cách bi u di n t p h p như sau
(i) Li t kê các ph n t :
+ Ví d
A = { a, b, c }
X = { x1, x2, ... , xn }

(ii) Bi u di n t p h p b ng cách mô t tính ch t :
+ Ví d
C = { n | n là s ch n }
Y = { x | x là nghi m phương trình x2 + 2x - 5 = 0 }

• L c lư ng t p h p:
S ph n t c a t p A, ký hi u là |A|, g i là l c lư ng c a t p A.
N u |A| < ∞ , ta nói A là t p h u h n, n u |A| = ∞ , ta nói A là t p vô h n.
Trong chương trình này ta gi thi t các t p h p là h u h n.

• Quan h bao hàm: Cho hai t p A, B.
N u m i ph n t thu c A cũng thu c B ta nói A là t p con c a B và ký hi u
A⊂B

N u A không ph i t p con c a B ta ký hi u
A⊄B

N u A ⊂ B và B ⊂ A ta nói A b ng B và ký hi u
A=B

N u A ⊂ B , A ≠ ∅ và B ≠ A, thì ta nói A là t p con th c s c a B.
+ Ví d
(i) T p r ng ∅ có l c lư ng b ng 0, |∅| = 0. V i m i t p A, ∅ ⊂ A.
(ii) Cho ña th c P(x). Ký hi u S = {x | P(x) = 0}. S là t p h u h n.
(iii) Ký hi u
N là t p s t nhiên, N = {0, 1, 2, … };
Q là t p s h u t ; R là t p só th c.
Ta có N ⊂ Q ⊂ R.


Bây gi ta xét t p h u h n A. Ký hi u t p t t c t p con c a A là P(A)

• ð nh lý 1. N u |A| = n , thì |P(A)| = 2n
Ch ng minh. Quy n p theo n.


2. CÁC PHÉP TOÁN T P H P

Cho các t p A, B, X1, X2, ... , Xn ( n ∈ N ) là các t p con c a t p “vũ tr ” U
nào ñó. Ta ñ nh nghĩa các phép toán sau.

+ Phép hi u: Hi u c a A và B, ký hi u A \ B là t p:

A\B = {xx ∈A & x∉ B}

+ Ph n bù: Ph n bù c a A (trong U ) là t p

A=U\A

+ Phép h p: H p c a A và B, ký hi u A ∪ B là t p

A ∪ B = { x | x ∈ A ho c x ∈ B }

Tương t , h p c a X1, X2, ... , Xn là t p

n
= {x | ∃k,1 ≤ k ≤ n, x ∈ X k }
∪X i
i =1



+ Phép giao: Giao c a A và B, ký hi u A ∩ B là t p

A∩B = {xx ∈A & x∈ B}

Tương t , giao c a X1, X2, ... , Xn là t p
n
= {x | ∀k,1 ≤ k ≤ n, x ∈ X k }
∩X i
i =1
+ Tích ð -các

- Tích ð -các c a hai t p A, B là t p

A x B = { (a,b) a ∈ A & b ∈ B }

- Tích ð -các c a các t p X1, X2, ... , Xn là t p

X1x X2 x ... x Xn = { (x1, x2, ... , xn)  x1∈ X1 & x2 ∈ X2 & ... & xn ∈ Xn }

+ Phân ho ch:
- N u A ∩ B = ∅, ta nói A và B r i nhau.

- N u các t p X1, X2, ... , Xn tho

A = X1 ∪ X2 ∪ ... ∪ Xn

và chúng r i nhau t ng ñôi m t, ta nói { X1, X2, ... , Xn } là m t phân ho ch c a t p
h p A.

• ð nh lý 1. Gi s { X1, X2, ... , Xn } là m t phân ho ch c a t p S. Khi ñó

S= X1+ X2 + ... + Xn 
Ch ng minh. Hi n nhiên.


• ð nh lý 2. Cho các t p A, B, C trong t p vũ tr U, khi ñó ta có :
(i) Lu t k t h p :
(A∪B)∪C = A∪(B ∪C)
(A∩B)∩C = A∩(B ∩C)

(ii) Lu t giao hoán :
A∪B = B ∪ A
A∩B = B ∩A

(iii) Lu t phân b :
A ∪ ( B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
A ∩ ( B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

(iv) Lu t ñ i ng u De Morgan:

A∪ B = A∩ B A∩ B = A∪ B
&

n n n n

∪ Xi = ∩ Xi & ∩ Xi = ∪ Xi
i =1 i =1 i =1 i =1


Ch ng minh. (bài t p).
• ð nh lý 3 (v l c lư ng t p h p).
L c lư ng t p con:
(i)
A ⊂ B ⇒ |A| ≤ |B|

L c lư ng c a h p
(ii)
A ∪ B = A+ B − A ∩ B 

(iii) Nguyên lý bù tr Poincaré:

n 
n
Ak = ∑ (− 1) ∑≤iAi≤1 n∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aim 
m −1
∪ m =1  
1≤ i1 ≤ i 2 ≤... m
k =1



(iv) L c lư ng tích ð -các

X1x X2 x ... x Xn = X1. X2 . ... . Xn 

(v) L c lư ng tương ñương:


|A| = |B| T n t i song ánh t A vào B.

Ch ng minh. (bài t p).
II. GI I TÍCH K T H P
1. BÀI TOÁN GI I TÍCH K T H P

Trong th c t ta thư ng g p bài toán sau: Cho m t t p h u h n X. Các ph n
t c a X ñư c ch n và ghép theo quy lu t nào ñó. Hãy tính s nhóm t o thành.
Ngành toán h c nghiên c u các bài toán lo i này g i là Gi i tích k t h p.

• Ví d : Công ty phát hành sách bán sách thông qua h th ng hi u sách. Gi s có
12 ñ u sách và các ñ u sách ký hi u là 1, 2, …, 12. Có 3 khách hàng ñ n hi u sách
ñ t mua, m i ngư i 1 quy n. G i x1, x2, x3 l n lư t là quy n sách mà khách hàng
th nh t, th hai, th ba ñ t mua ( x1, x2, x3 ∈ {1, 2, … , 12 } ).

H i có bao nhiêu b ( x1, x2, x3 ) ?

K t qu bài toán ñ m này ph thu c vào vi c ai giao sách: hi u sách hay công
ty.

(i) Trư ng h p 1:
Ngư i giao sách là hi u sách và các khách hàng ñ t mua các ñ u sách khác
nhau.
Khi ñó hi u sách c n bi t th t c a b ( x1, x2, x3 ). S b ( x1, x2, x3 ) s là
12.11.10 = 1320

(ii) Trư ng h p 2:
Ngư i giao sách là hi u sách và các khách hàng có th ñ t mua các ñ u sách
gi ng nhau.
Khi ñó hi u sách c n bi t th t c a b ( x1, x2, x3 ) và x1, x2, x3 có th gi ng
nhau . S b ( x1, x2, x3 ) s là
123 = 1728

(iii) Trư ng h p 3:
Ngư i giao sách là công ty và các khách hàng ñ t mua các ñ u sách khác
nhau.
Khi ñó công ty không c n bi t th t c a b ( x1, x2, x3 ). S b ( x1, x2, x3 ) s

12.11.10 / 1.2.3 = 1320 / 6 = 220

(iv) Trư ng h p 4:
Ngư i giao sách là công ty và các khách hàng có th ñ t mua các ñ u sách
gi ng nhau.
Khi ñó công ty không c n bi t th t c a b (x1, x2, x3 ) và x1, x2, x3 có th
gi ng nhau. S b ( x1, x2, x3 ) s g m các trư ng h p sau:
+ Trư ng h p 3 ngư i cùng ñ t mua 1 ñ u sách:
có 12 kh năng.

+ Trư ng h p 3 ngư i cùng ñ t mua 2 ñ u sách:
có C(12,2). 2 = 132 kh năng ( C(n, k) là s t h p ch p k c a n ph n
t ).
+ Trư ng h p 3 ngư i cùng ñ t mua 3 ñ u sách:
có 220 kh năng.

T ng c ng s b (x1, x2, x3 ) là

12 + 132 + 220 = 364


CÁC K T H P CƠ B N
2.

a) Nguyên lý nhân:
Xét bài toán gi i tích k t h p trên. Ta gi s m i nhóm k t h p các ph n t
c a t p X ñư c xây d ng qua k bư c:

Bư c 1 có n1 kh năng
Bư c 2 có n2 kh năng
...
Bư c k có nk kh năng

Khi ñó s nhóm k t h p là
n1.n2. . . . . nk


b) Ch nh h p

+ ð nh nghĩa: M t ch nh h p ch p k c a n ph n t là m t b có th t g m k thành
ph n l y t n ph n t ñã cho. Các thành ph n không ñư c l p l i.

ñư c xây d ng qua k bư c k ti p như
M t ch nh h p ch p k c a n có th
sau :
Ch n thành ph n ñ u : có n kh năng.
Ch n thành ph n th hai : có n - 1 kh năng.
...
: có n - k + 1 kh năng.
Ch n thành ph n th k

Như v y, theo nguyên lý nhân, s t t c ch nh h p không l p ch p k c a n
ph n t là

n!
A(n, k ) = n(n − 1)...(n − k + 1) =
(n − k )!

+ Ví d 1:
Tính s hàm ñơn ánh t t p X có k ph n t ñ n t p Y có n ph n t .
Gi i : M i hàm ñơn ánh t X vào Y tương ng v i m t ch nh h p không
l p ch p k c a n ph n t c a Y. Như v y s c n tìm là

A(n, k) = n.(n-1).....(n-k+1).
+ Ví d 2:
m c trư c. Trong trư ng h p 1, m i b (x1, x2, x3) là m t
Quay l i ví d
ch nh h p ch p 3 c a 12. V y s b là

A(12, 3) = 12.11.10 = 1320

c) Ch nh h p l p
+ ð nh nghĩa: M t ch nh h p l p ch p k c a n ph n t là m t b có th t g mk
thành ph n l y t n ph n t ñã cho. Các thành ph n có th ñư c l p l i.

M t ch nh h p l p ch p k c a n có th xem như m t ph n t c a tích ð -các
Xk, v i X là t p n ph n t . Như v y s t t c các ch nh h p l p ch p k c a n là: nk

t p X có k ph n t ñ n t p Y có n ph n t .
+ Ví d 1: Tính s hàm t
M i hàm t X vào Y tương ng v i m t b có th t k thành ph n c a n
ph n t c a Y, các ph n t có th l p l i . Như v y s hàm t X vào Y là nk .

+ Ví d 2:
m c trư c. Trong trư ng h p 2, m i b (x1, x2, x3) là m t
Quay l i ví d
ch nh h p l p ch p 3 c a 12. V y s b là

123 = 1728

d) Hoán v
+ ð nh nghĩa : M t hoán v c a n ph n t là m t cách s p x p th t các ph n t ñó.
Hoán v có th coi như trư ng h p riêng c a ch nh h p không l p ch p k c a n
trong ñó k = n. Ta có s hoán v là

P(n) = n!

+ Ví d : Có 6 ngư i x p thành hàng ngang ñ ch p nh. H i có th b trí bao nhiêu
ki u khác nhau ?
Gi i: M i ki u nh là m t hoán v c a 6 ngư i. V y s ki u nh là 6! = 720.

e) T h p
+ ð nh nghĩa: M t t h p ch p k c a n ph n t là m t b không k th t g m k
thành ph n khác nhau l y t n ph n t ñã cho. Nói cách khác ta có th coi m t t
h p ch p k c a n ph n t là m t t p con có k ph n t c a n ph n t ñó.
G i s t h p ch p k c a n ph n t là C(n,k) ta có :

A(n,k) = C(n,k) * k!

Suy ra
n!
C(n,k) =
k!.(n − k )!

+ Ví d 1: Có n ñ i bóng thi ñ u vòng tròn. Ph i t ch c bao nhiêu tr n ñ u bóng
t tc ?
Gi i : M i tr n ng v i m t t h p ch p 2 c a n. V y có C(n,2) tr n ñ u.
+ Ví d 2:
m c trư c. Trong trư ng h p 3, m i b (x1, x2, x3) là m t t
Quay l i ví d
h p ch p 3 c a 12. V y s b là

12! 12.11.10
= = 220
C(12, 3) =
3!.(12 − 3)! 1.2.3

+ H qu : Tích k s t nhiên liên ti p chia h t k!
Ch ng minh. Vì C(n,k) = (n-k+1).(n-k+2).....n / k! là s nguyên.


3. CÁC K T H P NÂNG CAO
a) Hoán v l p
+ Ví d : Có 3 viên bi ñ , 2 viên bi xanh và 4 viên bi tr ng. H i có bao nhiêu cách
s p các viên bi trên theo hàng ngang.

Ta có t t c 9 ch tr ng ñ x p các viên bi. Ta có C(9,3) kh năng x p 3
viên bi ñ , C(6,2) kh năng x p 2 viên bi xanh, còn l i 1 kh năng x p các viên bi
tr ng. Theo nguyên lý nhân ta có

9! 6! 9!
=
C(9,3).C(6,2) = .
3!.6! 2!.4! 3!.2!.4!

cách x p.

+ ð nh nghĩa: Hoán v l p là hoán v trong ñó m i ph n t ñư c n ñ nh m t s l n
l p l i cho trư c.

+ ð nh lý: Gi s t p S có n ph n t , trong ñó có n1 ph n t ki u 1, n2 ph n t ki u
2, ..., nk ph n t ki u k. Khi ñó s các hoán v n ph n t c a S là

C n (n1 , n 2 ,..., n k ) =
n!
n1!.n2 !...n k !

b) T h p l p
+ Ví d : Gi s ta có 3 ñ u sách : Toán, Tin, Lý và m i ñ u sách có ít nh t 6 b n
photocopy. H i có bao nhiêu cách ch n ra 6 quy n.
Gi i: Bài toán ñ t ra là ch n 6 ph n t , không k th t và cho phép l p l i.
M i cách ch n ñư c xác ñ nh duy nh t b i s lư ng c a m i lo i sách. Như v y ta
có th bi u di n m i cách ch n như sau
Toán Tin Lý
xxx | xx | x

trong ñó 6 d u x ch quy n sách ch n và 2 d u | ch phân cách gi a các lo i
sách. Như v y m i cách ch n tương ñương v i t h p ch p 2 (d u |) t 8 ph n
t . Ta có s cách ch n là C(8,2) = 28.

+ ð nh nghĩa: T h p l p ch p k t n ph n t là m t nhóm không phân bi t th t
g m k ph n t trích t n ph n t ñã cho, trong ñó các ph n t có th ñư c l p l i.
+ ð nh lý: Gi s X có n ph n t . Khi ñó s t h p l p ch p k t n ph n t c a X
là: C(k + n - 1, n - 1) = C(k + n - 1, k).

+ Ví d :
m c 1. Trong trư ng h p 4, m i b (x1, x2, x3) là m t t h p
Quay l i ví d
ch p 3 c a 12. V y s b là

C(3 + 12 − 1, 3) = C(14, 3) = 14.13.12 / 1.2.3 = 364

+ Ví d : Phương trình: x1 + x2 + x3 + x4 = 10

có bao nhiêu b nghi m nguyên không âm ?
Gi i : M i b i nghi m nguyên không âm c a phương trình tương ng 1-1
v i m t cách ch n 10 ph n t , trong ñó ph n t ki u i l p l i xi l n, i=1,…,4. V y
s b nghi m là s t h p l p ch p 10 c a 4. V y ta có s nghi m là

C(10 + 4 -1 , 4 - 1) = C(13, 3) = 286

c) T h p l p t ng quát

+ ð nh nghĩa: T h p l p t ng quát ch p k t n ph n t là nhóm không phân bi t
th t g m k ph n t trích t n ph n t ñã cho, trong ñó ph n t th i l p l i không
quá ki l n (i=1,…,n), v i k1 + … + kn ≥ k.
+ Công th c: G i Ω là t p h p t t c các t h p l p ch p k t n ph n t . Ta có
|Ω | = C(k + n − 1, k).

Ký hi u Ai , i = 1, … n, là s t h p l p trong Ω có ph n t th i l p l i hơn ki
l n.
Như v y t p h p t h p l p t ng quát là
n
Ω\ ∪A i
i =1


Suy ra s t h p l p t ng quát là

n 
C n (k1 ,..., k n ) = C (k + n − 1, k ) + ∑ (− 1) ∑i Ani1 ∩ ... ∩ Aim 
m
k

m =1  
1≤ i1 ≤...≤ m ≤



Ai1 ∩ ... ∩ Aim sau khi lo i ki1 + 1 ph n t th i1, … ,
M t khác m i ph n t c a
kim + 1 ph n t th im, là m t t h p l p ch p k− ( ki1 + ki2 + ... + kim + m).
Như v y ta có

Ai1 ∩ ... ∩ Aim = C (n − 1 + k − (ki1 + ... + kim + m), n − 1))
Suy ra
n 
Cn (k1,...,k n) = C (k + n − 1, k ) + ∑ (−1) m ∑ C (n − 1 + k − (ki1 + ... + kim + m), n − 1))
k

m =1  
1≤ i1 ≤ ...≤ i m ≤ n




+ Ví d : Cho 1 bi ñ , 2 bi xanh và 3 bi vàng. Tính s t h p ch p 3 c a các viên bi
trên.
M i t h p là m t t h p l p ch p 3 c a 3 ph n t bi ñ , bi xanh và bi vàng,
trong ñó bi ñ l p không quá 1 l n, bi xanh l p không quá 2 l n, bi vàng l p không
quá 3 l n. V y s t h p là

C3 (1,2,3) = C (3 − 1 + 3,3 − 1) −
3


[C (3 − 1 + (3 − 1 − 1),3 − 1) + C (3 − 1 + (3 − 2 − 1),3 − 1) + C (3 − 1 + (3 − 3 − 1),3 − 1)] + 0 =
C (5,2) − C (3,2) − C (2,2) − C (1,2) = 10 − 3 − 1 = 6

4. H S NH TH C

a) Các tính ch t cơ b n

V i m i n, k ∈ N, k ≤ n.
(i) C(n,k) = C(n,n-k)
C(n,0) = C(n,n) = 1

(ii) Công th c tam giác Pascal
C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)

(iii) Công th c gi m b c
k.C(n,k) = n.C(n-1,k-1)

b) Nh th c Newton
V i n ∈ N, x, y ∈ C ta có
(x+y)n = C(n,0).xn + C(n,1).xn-1.y +...+ C(n,n-1).x.yn-1 + C(n,n).yn

+ H qu nh th c Newton:

C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n) = 2n
(i)
(s các t p con c a n ph n t là 2n )

C(n,0) - C(n,1) + ... + (-1)nC(n,n) = 0
(ii)

[n ] [ n2−1 ]
2

∑ C (n,2 j ) = ∑ C (n,2 j + 1) = 2n-1
(iii)
j =0 j =0

(s t p con ch n b ng s t p con l ).

c) Công th c Vandermonde
Cho a,b,n ∈ N. Ta có
n

∑ C (a, k ).C (b, n − k ) = C (a + b, n)
k =0

CM. G i E là t p có a+b ph n t , A, B ⊂ E r i nhau, A có a ph n t và B có
b ph n t . Khi ñó m i t h p ch p n c a các ph n t trong E là m t k t h p c a m t
t h p ch p k c a các ph n t trong A và t h p ch p n−k c a các ph n t trong B.
T ñó suy ra công th c.

Áp d ng công th c cho a = b = n suy ra
• H qu : V i n ∈ N ta có
n

∑ C ( n, k ) = C ( 2 n, n )
2

k =0
CHƯƠNG I
S KI N VÀ XÁC SU T
I. PHÉP TH VÀ S KI N

1. ð nh nghĩa
• Phép th là s th c hi n m t b ñi u ki n xác ñ nh, có th là m t thí nghi m c
th , quan sát ño ñ c hay thu th p d li u v m t hi n tư ng nào ñó.

• S ki n c a phép th là m t k t c c x y ra nào ñó c a phép th . M t phép th có
th có nhi u s ki n.

+ Ví d
(i) Gieo m t ñ ng ti n là phép th . Hai s ki n có th x y ra là xu t hi n m t
s p, ho c xu t hi n m t ng a.
(ii) Gieo m t con xúc s c là phép th . Các k t c c sau là các s ki n c a
phép th :
- Xu t hi n m t 1 ch m
- Xu t hi n m t 2 ch m
- Xu t hi n m t 3 ch m
- Xu t hi n m t 4 ch m
- Xu t hi n m t 5 ch m
- Xu t hi n m t 6 ch m
- Xu t hi n m t có s ch m l
- Xu t hi n m t có s ch m ch n
(iii) Quan sát ghi nh n tu i th c a m t chi ti t máy, hay c a m t lo i bóng
ñèn, là m t phép th . S ki n c a nó có th là giá tr b t kỳ trong kho ng [0,+∞),
ho c m t kho ng (a,b) ⊂ [0,+∞) nào ñó mà tu i th rơi vào.

•S ki n sơ c p
Trong các s ki n ta th y, có s ki n là k t h p c a các s ki n khác, ch ng
h n như s ki n xu t hi n m t có s ch m l ví d (ii) là h p c a ba s ki n xu t
hi n m t 1 ch m, m t 3 ch m và m t 5 ch m.

Nh ng s ki n không th phân chia ra các s ki n nh hơn g i là s ki n sơ
c p, ví d như s ki n xu t hi n m t 1 ch m, 2 ch m,..., m t 6 ch m ví d (ii).

• Không gian các s ki n sơ c p c a phép th là t p h p t t c các s ki n sơ c p
c a phép th ñó, thư ng ký hi u là Ω .

+ Ví d . Không gian các s ki n sơ c p c a phép th gieo con xúc s c là

Ω = {ωi  i = 1, 2, . . . , 6 }

v i ωi , i=1,...,6, là s ki n xu t hi n m t có i ch m.

Bây gi ta cho Ω là không gian s ki n sơ c p c a phép th α. D th y r ng,
m i s ki n A c a phép th α là t p con c a Ω.
ki n, ñư c ñ nh nghĩa
Các s ki n c a phép th t o thành không gian s
chính xác như sau.

• Không gian s ki n. Cho không gian s ki n sơ c p Ω c a phép th α. Cho B là
σ−ñ i s trên Ω, t c B tho
(i) Ω ⊂ B; (ii) A ∈ B ⇒ A ∈ B; (iii) Ai ∈ B ⇒ ∪ Ai ∈ B
i
Khi ñó B g i là m t không gian s ki n c a phép th α.

S ki n ∅ không bao gi x y ra, g i là s ki n b t kh .
S ki n Ω luôn x y ra, g i là s ki n t t y u.
S ki n ng u nhiên là s ki n khác ∅ và Ω.

2. Quan h và phép tính s ki n
Cho phép th α v i không gian s ki n B, A, B ∈ B.
• S ki n A g i là s ki n riêng c a s ki n B, ký hi u A ⊂ B, n u s ki n A xu t
hi n kéo theo s ki n B cũng xu t hi n.

• S ki n A g i là tương ñương s ki n B, ký hi u A = B, n u A ⊂ B và B ⊂ A.

• S ki n t ng c a s ki n A và s ki n B, ký hi u A ∪ B, là s ki n x y ra khi và ch
khi x y ra s ki n A ho c s ki n B.

• S ki n tích c a s ki n A và s ki n B, ký hi u A ∩ B hay A.B, là s ki n x y ra
khi và ch khi x y ra s ki n A và s ki n B.

Tương t ta ñ nh nghĩa s ki n t ng và s ki n tích c a nhi u s ki n

n n

∪A ∩A
,
i i
i =1 i =1



• S ki n hi u c a s ki n A ñ i v i s ki n B, ký hi u A \ B , là s ki n x y ra khi
và ch khi x y ra s ki n A và không x y ra s ki n B.

• S ki n ñ i l p c a s ki n A l à s ki n A = Ω \ A .

• A và B g i là xung kh c n u A ∩ B = ∅.

• T p h p các s ki n { A1, . . . , An } g i là nhóm ñ y ñ các s ki n n u chúng
xung kh c t ng c p m t và t ng c a chúng là s ki n t t y u Ω .

+ Ví d . Xét phép th gieo con xúc x c. Các s ki n xu t hi n m t i ch m ωi ,
i=1,…,6, t o thành nhóm ñ y ñ các s ki n.
N u ta ký hi u A là s ki n xu t hi n m t l và B là s ki n xu t hi n m t
ch n thì {A, B} cũng là nhóm ñ y ñ các s ki n.
II. XÁC SU T

1. Khái ni m xác su t
Quan sát các s ki n ng u nhiên ta th y kh năng xu t hi n c a chúng không
gi ng nhau. T ñó n y sinh v n ñ ño lư ng kh năng xu t hi n c a s ki n ng u
nhiên. M i s ki n A ñư c gán m t s không âm P(A) ñ ño kh năng xu t hi n
ñư c g i là xác su t c a s ki n.

• ð nh nghĩa. Cho không gian s ki n B c a phép th α. Ánh x P : B → [0; 1] g i
là xác su t trên B, n u
(i) P(Ω ) = 1
(ii) V i m i t p s ki n {Ai | i ∈ I } ⊂ B , I là t p ch s h u h n ho c vô h n, t ng ñôi
m t xung kh c ta có

 
P ∪ Ai  = ∑ P( Ai )
 
 i∈I  i∈I

Khi ñó (Ω, B, P) g i là không gian xác su t.

• Trư ng h p Ω = {ω1, . . . , ωn } là không gian s ki n r i r c h u h n.
+ M nh ñ .
T p h p t t c t p con c a Ω, ký hi u P(Ω), là không gian s ki n.

+ ð nh lý. Cho Ω là không gian s ki n sơ c p h u h n.
Cho P là xác su t trên P(Ω). Ký hi u pi = P(ωi), ∀i=1,…,n. Khi ñó ta có

pi ≥ 0, ∀ i = 1, … , n
(i)
n

∑p =1
(ii) i
i =1


Ngư c l i, M i t p { pi | i = 1, . . . , n } tho (i), (ii) xác ñ nh m t xác su t trên
P(Ω) v i
P(A) = ∑pi , ∀A∈ P(Ω)
ωi∈A
+ Ví d : Cho Ω = { ωi | i = 1, … , 6 } là không gian s ki n sơ c p c a phép th gieo
xúc x c, trong ñó ωi là s ki n xu t hi n m t i. Khi ñó t p { pi = 1/6 | i=1,…,6} xác
ñ nh m t xác su t trên P(Ω ).

2. Các tính ch t c a xác su t
Cho không gian xác su t (Ω, B, P) c a phép th nào ñó. Khi ñó
P(∅) = 0
(i)
(ii) P( A ) = 1 − P(A)
A⊂B ⇒
(iii) P( B \ A ) = P(B) − P(A)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P( A ∩ B)
(iv)
n n
P ∪ Ak  = ∑ (− 1) ∑≤P(nAi1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aim )
m −1
 
(v)
 k =1  m =1 1≤i1 ≤ i2 ≤... im ≤


ñ nh nghĩa. Tính ch t (v) ch ng
Ch ng minh. Các tính ch t (1)-(iv) suy ra t
minh b ng quy n p.

3. Cách tính xác su t trong trư ng h p ñ ng kh năng
a) Trư ng h p s ki n sơ c p h u h n
• ð nh nghĩa. Cho không gian s ki n sơ c p Ω = {ω1, . . . , ωn } c a phép th nào
ñó. Ta nói Ω ñ ng kh năng n u các s ki n sơ c p có xác su t như nhau:

P(ωi) = P(ωj) , ∀i, j = 1,…, n

Khi ñó, t tính ch t xác su t, ta có:
P(ωi) = 1/n ∀i = 1, . . . , n
(i)
∀A ⊂ Ω
(ii) P(A) = |A|/n
trong ñó |A| là l c lư ng c a t p A.
Nói cách khác

S k t c c thu n l i s ki n A
P(A) =
S k t c c ñ ng kh năng

+ Ví d
(i) Gieo m t xúc x c hoàn toàn ñ i x ng. Tính xác su t
(a) xu t hi n m t 6 ch m
(b) xu t hi n m t b i c a 3
Gi i
G i A là s ki n xu t hi n m t 6 ch m, B là s ki n xu t hi n m t b i c a 3.
S s ki n sơ c p ñ ng kh năng là 6, s k t c c thu n l i s ki n A là 1, s
k t c c thu n l i s ki n B là 2. V y
P(A) = 1/6 và P(B) = 2/6 = 1/3

(ii) Trong thùng có a qu c u tr ng, b qu c u ñen gi ng h t nhau. L y ng u nhiên n
qu ( n ≤ a + b). Tính xác su t rút ñư c k qu c u tr ng.
Gi i.
M i k t c c c a phép th (rút n qu c u) là m t t h p ch p n c a (a+b) ph n
t . Như v y s k t c c ñ ng kh năng là C(a+b, n).
G i Ak là s ki n rút ñư c k qu c u tr ng. Như v y nh ng k t c c rút ñư c
k qu c u tr ng và n − k qu c u ñen là thu n l i cho s ki n Ak. S k t c c này là
C(a,k)*C(b,n-k).
V y xác su t c a s ki n rút k qu c u tr ng là
C (a, k ).C (b, n − k )
P(Ak) =
C (a + b, n)

n

∑ P( A ) = 1
T tính ch t suy ra
k
k =0
H qu : công th c de Vandermonde
n

∑ C (a, k ).C (b, n − k ) = C (a + b, n)
k =0
(iii) Gi thi t gi ng ví d (ii). Tính xác su t rút ñư c ít nh t 1 qu c u tr ng.
Gi i.
G i A là s ki n rút ñư c ít nh t 1 qu c u tr ng. Khi ñó s ki n bù c a A, t c
A , là s ki n c n qu c u ñư c rút ñ u ñen. S k t c c thu n l i A là C(b, n), nên
xác su t s ki n A là C(b,n)/C(a+b,n).
Suy ra xác su t s ki n A là
P(A) = 1 − P( A ) = 1 − C(b,n)/C(a+b,n).

b) Trư ng h p s ki n sơ c p vô h n
• ð nh nghĩa. Cho không gian xác su t (Ω, B, P), |Ω| = ∞. Gi thi t m:B→R+ là ánh
x ñ nh nghĩa trên B tho
(i) 0 < m(Ω ) < ∞
(ii) V i m i t p s ki n {Ai | i ∈ I } ⊂ B , I là t p ch s h u h n ho c vô h n, t ng ñôi
m t xung kh c ta có
 
m ∪ Ai  = ∑ m( Ai )
 
 i∈I  i∈I
Ánh x m g i là ñ ño trên B.

Ta nói Ω ñ ng kh năng n u xác su t c a m i s ki n trong B t l v i ñ
ño c a nó.

Khi ñó, t tính ch t xác su t, ta có:

P(A) = m(A)/m(Ω) ∀A ⊂ Ω
Nói cách khác

ð ño mi n k t c c thu n l i s ki n A
P(A) =
ð ño mi n k t c c ñ ng kh năng

• ð ño hình h c.
- ð ño c a ño n th ng hay ñư ng cong là ñ dài.
- ð ño c a mi n ph ng hay mi n cong là di n tích.
- ð ño c a v t th là th tích.


+ Ví d :
(i) ðư ng dây ñi n tho i ng m n i ba tr m A, B và C (xem hình). B ng nhiên liên l c
gi a A và C b ng t do ñ t dây. Hãy tính xác su t dây ñ t trong ño n dây t A ñ n
B. Bi t r ng dây ñ ng ch t, ño n AB dài 400 m và ño n BC dài 600m.

A 400m B 600m
C
Gi i.
Rõ ràng kh năng dây ñ t t i m i ñi m b t kỳ là như nhau. Như v y xác su t
dây ñ t trong m t ño n t l v i ñ dài c a ño n dây ñó. Suy ra xác su t dây ñ t
trong ño n AC là
400/(400 + 600) = 0.4

(ii) Hai ngư i A và B h n g p nhau t i m t ñ a ñi m xác ñ nh trong kho ng t 0 ñ n 1
gi . Ngư i ñ n trư c s ch t i ña 20 phút, n u ngư i kia chưa ñ n thì s b ñi.
Tính xác su t h g p nhau. Bi t r ng m i ngư i có th ñ n ch h n vào th i ñi m
b t kỳ trong kho ng th i gian trên v i kh năng như nhau.
Gi i.
G i x là th i ñi m ñ n ch h n c a A và y là th i ñi m ñ n ch h n c a B
(tính ra phút). M i k t c c ñ ng kh năng là m t c p (x,y), 0 ≤ x,y ≤ 60. T p không
gian s ki n sơ c p Ω s là hình vuông
y
Ω = {(x,y) | 0 ≤ x, y ≤ 60} 60

Mi n k t c c thu n l i cho hai ngư i g p nhau
là ph n hình vuông ch n gi a hai ñư ng th ng B
y=x+20 và y=x−20 (xem hình bên)
20
B = {(x,y) | 0 ≤ x, y ≤ 60 và |x−y| ≤ 20}

0 20 60 x

Suy ra xác su t hai ngư i g p nhau là di n tích B chia cho di n tích Ω, t c là

(602 − 402)/602 = 5/9


4. T n su t
Trong th c t có nh ng phép th không có s s ki n sơ c p ñ ng kh năng.
Ch ng h n như phép th b n m t viên ñ n vào bia. Khi ñó s ki n b n trúng bia và
s ki n b n không trúng bia không th coi là ñ ng kh năng.
Trong nh ng trư ng h p như th này ngư i ta s d ng khái ni m t n su t.
• ð nh nghĩa. Cho A là s ki n c a phép th . Gi s phép th ñư c l p l i n l n và
s ki n A xu t hi n m l n. T s m/n g i là t n su t xu t hi n s ki n A trong lo t n
phép th . Ngư i ta ñã ch ng minh
m
 → P( A)

n n →∞
Vì v y trong th c t , khi n ñ l n, ngư i ta coi P(A) = m/n.

+ Ví d . Nhà toán h c Laplace ñã th ng kê t n su t sinh con trai các thành ph l n
châu Âu là 22/43 = 0.512.
III. XÁC SU T CÓ ðI U KI N

1. Khái ni m xác su t có ñi u ki n
Cho không gian xác su t (Ω , B, P), B ∈ B có P(B) > 0. V i m i s ki n A ∈ B,
xác su t ñ A xu t hi n v i gi thi t s ki n B x y ra g i là xác su t có ñi u ki n c a
s ki n A v i ñi u ki n B.

+ Ví d . Ngư i ta ñi u tra các gia ñình có hai con thì th y t l sinh con trai con gái
b ng nhau. Vì v y 4 kh năng sau có xác su t b ng ¼:

(T,T), (T,G), (G,T), (G,G)

trong ñó T ký hi u con trai, G ký hi u con gái và trong các c p trên anh ho c chi
ñ ng trư c, em ñ ng sau.
Gi s ngư i ta gõ c a m t nhà có hai con, và có bé gái ra m c a (t c gia
ñình có bé gái). Hãy tính xác su t ñ ñ a bé còn l i là con trai.
Không gian s ki n sơ c p là

Ω = { (T,T), (T,G), (G,T), (G,G) }

G i A là s ki n gia ñình có 1 trai và 1 gái. Ta có P(A) = ½.
Nhưng v i ñi u ki n gia ñình có bé gái thì các s ki n sơ c p ñ ng kh năng


Ω’ = { (T,G), (G,T), (G,G) }

và có 2 k t c c thu n l i cho A là (T,G) và (G,T). V y v i ñi u ki n gia ñình có bé
gái thì xác su t c n tìm c a A là P’(A) = 2/3.

Bây gi ta ký hi u B là s ki n gia ñình có con gái. Ta nói P’(A) là xác su t có
ñi u ki n c a A ñ i v i B và ký hi u là P(A/B).

Ký hi u
là s k t c c ñ ng kh năng
n
nX là s k t c c thu n l i s ki n X, X ∈ B.

Ta có
n A. B n A. B : n P ( A.B )
P( A / B ) = = =
nB nB : n P( B )

T ñó ta ñi ñ n ñ nh nghĩa sau
• ð nh nghĩa. Cho không gian xác su t (Ω, B, P), B ∈ B có P(B) > 0. V i m i
s ki n A ∈ B, ta ñ nh nghĩa xác su t có ñi u ki n c a s ki n A v i ñi u ki n B là
ñ i lư ng
P( A.B)
P ( A / B) =
P( B)
Ta d dàng th y r ng ñ nh nghĩa này tho mãn các tiên ñ xác su t và ánh x .
Vy
P(•, B) : A P(A/B) cũng là xác su t trên không gian s ki n B.

B ng qui n p ta d dàng ch ng minh ñ nh lý sau
• ð nh lý nhân xác su t. Cho các s ki n A1,…, An. Khi ñó

P(A1.A2…..An) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1.A2)…..P(An/A1…..An-1)



2. S ki n ñ c l p
Cho không gian xác su t (Ω, B, P), A, B ∈ B.
• S ki n A g i là ñ c l p v i s ki n B n u k t qu c a s ki n B không nh hư ng
ñ n xác su t c a s ki n A.
Hi n nhiên là n u P(A)=0 ho c P(B)=0 thì s ki n A ñ c l p v i B và B cũng
ñ c l p v i A.
N u P(A) ≠ 0 và P(B) ≠ 0 thì, theo ñ nh nghĩa,
A ñ c l p v i B ⇔ P(A/B) = P(A) ⇔ P(A.B) = P(A).P(B)

B ñ c l p v i A ⇔ P(B/A) = P(B) ⇔ P(A.B) = P(A).P(B)

K t h p các k t qu trên ta có

Tính ñ c l p có tính ch t tương h , t c là A ñ c l p v i B thì B cũng ñ c l p
v i A và

A và B ñ c l p v i nhau ⇔ P(A.B) = P(A).P(B)

Bây gi ta cho các s ki n Ai ∈ B, i=1,…,n.
• Các s ki n A1,…, An g i là ñ c l p t ng ñôi, n u

∀ i,j ∈ {1,…,n}, i≠j ⇒ Ai, Aj ñ c l p
• Các s ki n A1,…, An g i là ñ c l p tương h , n u m i s ki n Ak, k=1,…,n, ñ c
l p v i tích nhóm b t kỳ các s ki n còn l i.

T ñ nh lý nhân xác su t suy ra

• ð nh lý. Các s ki n A1,…, An ñ c l p tương h khi và ch khi
 
∀ I ⊂ {1,…,n}, P ∩ Ai  = ∏ P ( Ai )
 
 i∈I  i∈I
+ Ghi chú. V i n>2, khái ni m ñ c l p tương h m nh hơn ñ c l p t ng ñôi.
Xét ví d ñi u tra gia ñình hai con trên. G i
là s ki n gia ñình có 1 trai, 1 gái.
A
là s ki n gia ñình có con gái ñ u
B
là s ki n gia ñình có con trai th
C
Ta có: P(A) = P(B) = P(C) = ½
Và: P(A.B) = P(B.C) = P(C.A) = ¼
V y A, B, C ñ c l p t ng ñôi.
Nhưng A, B, C không ñ c l p tương h vì
P(A.B.C) = ¼ ≠ P(A).P(B).P(C) = 1/8

• ð nh lý. N u A, B ñ c l p thì các c p s ki n (A, B ), ( A ,B) và ( A , B ) cũng ñ c
l p.
Ch ng minh. Ta có
P(A, B ) = P(A \ A.B) = P(A) − P(A.B)
= P(A) − P(A).P(B) = P(A).(1 − P(B)) = P(A).P( B )
⇒ A và B ñ c l p.
ð i v i các c p còn l i cũng ch ng minh tương t .

T ñ nh lý trên và b ng qui n p suy ra
• ð nh lý. Cho A1,…, An là các s ki n ñ c l p tương h . Khi ñó các s ki n B1,…,
Ai ∀i=1,…,n, cũng ñ c l p tương h
Bn , trong ñó Bi là Ai ho c

+ Ví d .
(i) M t thùng ñ ng n s n ph m, trong ñó có m ph ph m (m 0 là h ng s .
Lu t này g i là lu t phân ph i xác su t Poisson , ký hi u là P(λ).

• Bi n ng u nhiên ñ c l p. Hai bi n ng u nhiên X và Y trên cùng không gian xác su t
g i là ñ c l p, n u lu t phân ph i c a X không ph thu c giá tr c a Y và ngư c l i.
2. Hàm phân ph i xác su t

• ð nh nghĩa. Cho bi n ng u nhiên X (r i r c ho c liên t c) trên không gian xác su t
(Ω, B, P). Hàm phân ph i xác su t c a X là hàm

F(x) = P( X ≤ x), ∀x∈R

Ta xét trư ng h p bi n ng u nhiên r i r c.
• Cho bi n ng u nhiên r i r c X có lu t xác su t

{(xi , pi) | i=1, … , n}

T ñ nh nghĩa suy ra hàm phân ph i F(x) ñư c xác ñ nh theo công th c sau


∑p
F(x) = P( X ≤ x ) = i
xi ≤ x


Như v y hàm phân ph i là hàm gián ño n b c thang có bư c nh y pk t i
x=xk , k=1,…,n, và là hàm liên t c ph i.

+ Ví d : Xét lu t nh th c B(3, ½). Ta có

p0 = 1/8 , p1 = p2 = 3/8 , p3 = 1/8

V y hàm phân ph i là

,x < 0
0
 1 ,0 ≤ x < 1
8

F ( x) =  1 ,1 ≤ x < 2
2
7 2 ≤ x < 3
8
3≤ x
1

ð th c a hàm phân ph i như sau




1
7/8



½
1/8


0 1 2 3
• Tính ch t. Cho hàm phân ph i F(x) c a bi n ng u nhiên X. Khi ñó
(i) F(x) không gi m trên R
lìm F ( x) = 0
(ii) lìm F ( x ) = 1 và
x → −∞
x → +∞
(iii) F(x) liên t c ph i trên R
(iv) N u X là bi n ng u nhiên r i r c v i lu t xác su t

{(xi , pi) | i=1, … , n}

thì hàm phân ph i F(x) ñư c xác ñ nh theo công th c sau


∑p
F(x) = i
xi ≤ x

P( X=x ) = F(x) − lìm F (t )
t → x −0


Ghi chú: T (i) và (ii) suy ra
0 ≤ F(x) ≤ 1 , ∀ x ∈ R


3. Các tham s ñ c trưng

a) Kỳ v ng.
Cho bi n ng u nhiên r i r c X v i lu t xác su t

{(xi , pi) | i ∈ I}

Kỳ v ng c a X, ký hi u E(X), là giá tr xác ñ nh b i công th c

∑x p
E(X) = i i
i∈ I


Trong trư ng h p t p ch s I vô h n thì chu i ph i h i t tuy t ñ i.

+ Ví d .
(i) Phân ph i Bernoulli.
Cho A là s ki n c a phép th α có xác su t P(A) = p. G i X là bi n ng u
nhiên ch s l n xu t hi n s ki n A trong 1 l n th c hi n phép th α. Lu t phân ph i
c a X là
{(1,p), (0,1−p)}

Vy
E(X) = 1.p + 0.(1−p) = p


(ii) Cho X là bi n ng u nhiên có lu t phân ph i nh th c B(n,p)
{(k, C(n,k).pk.(1−p)n−k | k=0, 1, …, n}

S d ng ñ ng th c

k.C(n,k) = n.C(n−1,k−1), ∀n,k∈N, n≥ k

ta có
n n

∑ kC (n, k ). p k (1 − p)n − k = ∑ kC (n, k ). p k (1 − p)n − k =
E(X) =
k =0 k =1


n −1
n
= ∑ n.C (n − 1, k − 1). p k (1 − p ) n − k = n. p.∑ C (n − 1, h). p h (1 − p) n −1− h = n. p
k =1 h =0


(iii) Cho bi n ng u nhiên X có lu t phân ph i xác su t Poisson P(λ)

λk
{(k, e- λ . | k = 0,1,2,....}
k!
Ta có
λk λk −1 λh
∞ ∞ ∞

∑ k .e −λ . = ∑ λ .e −λ . = λ .e −λ ∑ = λ.e −λ .e λ = λ
E(X) =
(k − 1)!
k! h!
k =0 k =1 h =0




(iv) Cho X là bi n ng u nhiên có lu t phân ph i xác su t r i r c vô h n

 

 
1
 k = 1,2,...
 k,
 k.(k + 1) 
 

 

Ta có
∞ ∞
1 1
1
∑ k (k + 1) k =1  k k + 1  = 1
= ∑ −

k =1


nhưng
∞ ∞
1 1
∑ k k (k + 1) = ∑ k + 1 = +∞
k =1 k =1


Chu i trên phân kỳ nên X không có kỳ v ng.

• ð nh lý. Cho X là bi n ng u nhiên r i r c c a phép th α có lu t phân ph i xác su t
{(xi , pi) | i ∈ I}

Gi s X có kỳ v ng E(X) và ánh x ϕ:R R . Khi ñó ϕ(X) cũng là bi n ng u
nhiên c a phép th α. N u ϕ(X) có kỳ v ng thì
∑ϕ ( x ). p
E[ϕ(X)] = i i
i ∈I
CM. Suy ra tr c ti p t ñ nh nghĩa.

• Tính ch t. Cho X, Y là các bi n ng u nhiên, C là h ng. Khi ñó
(i) E(C) = C
(ii) E(C.X) = C.E(X)
(iii) E(X + Y) = E(X) + E(Y)
(iv) N u X, Y là các bi n ng u nhiên ñ c l p, thì
E(X.Y) = E(X).E(Y)

b) Mode.
• ð nh nghĩa. Cho bi n ng u nhiên X v i lu t phân ph i xác su t

{(xi , pi) | i ∈ I}

Mode c a X là tr c a X có xác su t c c ñ i, ký hi u M(X).

+ Ví d . Cho bi n ng u nhiên X có lu t phân ph i xác su t nh th c B(n,p). Ký hi u

Pn(k) = P(X=k) = C(n,k).pk.qn−k (q=1−p)
Ta có
Pn (k + 1) C ( n, k + 1). p k +1.q n − k −1 k!.(n − k )! p n − k p
n!
= = =
n−k
( k + 1)!.(n − k − 1)! q k +1 q
k
Pn ( k ) C ( n, k ). p .q n!

T ñó suy ra

Pn(k+1) > Pn(k) ⇔ (n−k).p > (k+1).q
⇔ n.p − k.p > (k+1)(1−p)
⇔ n.p − k.p > −k.p −p + k + 1
⇔ k < n.p − q


Pn(k+1) = Pn(k) k = n.p − q

Pn(k+1) < Pn(k) k > n.p − q

Ta th y khi k tăng t 0 ñ n n, hàm Pn(k) tăng ñ n c c ñ i r i gi m d n. V y
N u n.p − q ≥ 0 là s nguyên thì Pn(k) ñ t c c ñ i t i

k0 = n.p − q và k0 + 1 = np − q + 1 = n.p + p

N u n.p − q > 0 không nguyên thì Pn(k) ñ t c c ñ i t i

k0 = n.p − q (x là s nguyên nh nh t l n hơn x)

N u n.p − q < 0 thì Pn(k) ñ t c c ñ i t i k0 = 0.

c) Phương sai và ñ l ch quân phương.
• ð nh nghĩa. Cho bi n ng u nhiên X v i lu t phân ph i xác su t
{(xi , pi) | i ∈ I}

∑ (x − a ) . p 2
và kỳ v ng E(X) = a. Gi thi t chu i h i t . Khi ñó t ng c a chu i g i
i i
i∈I
là phương sai c a X và ký hi u là D(X), t c là

∑ (x − a ) . p
2
= E(X−a)2
D(X) = i i
i∈I


N u X có phương sai D(X) thì ñ i lư ng

σ ( X ) = D( X )

g i là ñ l ch quân phương c a bi n ng u nhiên X.

• Công th c Koenig−Huyghens.
D(X) = E(X2) − [E(X)]2
CM.
D(X) = E(X−a)2 = E(X2 − 2.a.X + a2)

= E(X2) −2E(X).E(X) + E(X)2 = E(X2) − [E(X)]2

+ Ví d .
(i) Tính phương sai c a bi n ng u nhiên X có lu t phân ph i nh th c B(n,p)
(q=1−p).
Ta có

n

∑k .C (n, k ). p k .q n − k
2
2
E(X ) =
k =0
n

∑ k.n. p.C (n − 1, k − 1). p k −1
.q ( n−1)−( k −1)
= (áp d ng k.C(n,k) =
k =1
n.C(n−1,k−1))

n −1

∑ (h + 1).C (n − 1, h). p .q ( n −1) − h
h
= n. p. (h = k − 1)
h =0


n −1 n −1
= n. p.∑ h.C (n − 1, h). p .q + n. p.∑ C (n − 1, h). p h .q ( n −1) − h
h ( n −1) − h

h =0 h=0


= n.p.E(X’) + n.p.1

trong ñó X’ có lu t nh th c B(n−1,p). V y

E(X2) = n.p.(n−1).p + n.p = n.(n−1).p2 + n.p
Theo công th c Koenig−Huyghens suy ra

D(X) = n.(n−1).p2 + n.p − (n.p)2 = n.p.q

ð l ch quân phương cu X là

σ ( X ) = n. p.q

(ii) Tính phương sai c a bi n ng u nhiên X có lu t phân ph i Poisson tham s λ > 0,
P(λ).
Ta có

λk λk −1 λh
∞ ∞ ∞

∑ k 2 .e −λ = e −λ .λ.∑ k = e − λ .λ.∑ (h + 1)
E(X2) = (h=k−1)
(k − 1)!
k! h!
k =1 k =1 h=0



=
λ λh
∞ ∞
h
λ.∑ h.e − λ + λ .e − λ .∑ = λ .E ( X ) + λ.e − λ .eλ = λ.λ + λ = λ2 + λ
h! h!
h =0 h=0


Theo công th c Koenig−Huyghen suy ra

D(X) = λ2 + λ − λ2 = λ

ð l ch quân phương cu X là

σ (X ) = λ

• Tính ch t. Cho X, Y là các bi n ng u nhiên, C là h ng. Khi ñó
(i) D(C) = 0
(ii) D(C.X) = C2.D(X)
(iii) σ(C.X) = |C|.σ(X)
(iv) N u X, Y là các bi n ng u nhiên ñ c l p, thì
D(X + Y) = D(X) + D(Y)

CM
= E(X + Y)2 − [E(X + Y)]2 = E(X2 + 2X.Y + Y2) − [E(X) + E(Y)]2
(iv) D(X + Y)
= E(X2) − [E(X)]2 + E(Y2) − [E(Y)]2 + 2.E(X.Y) −
2.E(X).E(Y)
= D(X) + D(Y) (vì E(X.Y) = E(X).E(Y))

• H qu . Cho X1, …, Xn là các bi n ng u nhiên ñ c l p có cùng phương sai D. Ký
hi u

1n
∑ Xi
X=
n i =1
Khi ñó
() D
DX =
n
CM
() 1 n  1n
D X = D ∑ X i  = 2 ∑ D( X i ) = 2 n.D =
1 D
 n i =1  n i =1 n n

d) Mômen
Cho bi n ng u nhiên X, a ∈ R, k ∈ N.
• Mômen c p k ñ i v i a c a X là giá tr

νk(a) = E[(X − a)k]

• Mômen g c c p k c a X là giá tr

νk = νk(0) = E(Xk)

Mômen g c c p 1 c a X là kỳ v ng E(X) (n u t n t i).

• Mômen trung tâm c p k c a X, v i ñi u ki n X có kỳ v ng, là giá tr

µk = νk(E(X)) = E[(X − E(X))k]

Mômen trung tâm c p 2 c a X là phương sai D(X) (n u t n t i).

• ð nh lý. Cho r, s ∈ N , r ≤ s, và bi n ng u nhiên r i r c X. Khi ñó, n u t n t i
mômen g c c p s c a X, thì t n t i mômen g c c p r c a X.
CM
Gi s lu t phân ph i xác su t c a X là

{(xi , pi) | i ∈ I}

∑x
Vì νs t n t i nên chu i s
pi h i t . Ta có
i
i∈ I


( )
∑ x .p ≤ ∑ x pi ≤ ∑ 1 + xis .pi
r r
i i i
i∈I i∈ I i∈I

, n u |xi| ≥ 1 và xir ≤ 1 , n u |xi| ≤ 1 ).
(vì xir ≤ xis
Suy ra

∑ x .p ≤ ∑ p + ∑ x . pi < ∞
r s
i i i i
i∈I i∈I i∈I
i



∑x r
pi h i t tuy t ñ i.
Cu i cùng ta suy ra i
i∈ I
ðpcm
• H qu . Cho r, s ∈ N , r ≤ s, và bi n ng u nhiên r i r c X. Khi ñó, n u t n t i
mômen g c c p s c a X, thì t n t i mômen c p r t i a ∈ R b t kỳ c a X.
CM
S d ng ñ nh lý và ñ ng th c sau

 
n r
γ k (a ) = E[(X - a) r ] = E ∑ C(n, k).(-1)r -i .a r − i x i  = ∑ C(n, k).(-1)r -i .a r − i .E(X i )
 i=0  i =0



• Mômen trung tâm c p 3.

= E[X − E(X)]3 = E[X3 − 3.X2.E(X) + 3.X.E(X)2 − E(X)3 ] =
µ3
= ν3 − 3.ν1ν2 + 3.ν13 − ν13 = ν3 − 3.ν1ν2 + 2.ν13

Bây gi ta gi thi t r ng X ñ i x ng qua E(X), t c X có lu t phân ph i

{(xi, pi) | i = −∞ , … , −2, −1, 1, 2, … , +∞ }

trong ñó
pi = p−i và xi − ν1 = −(x−i − ν1) , ∀i = 1, 2, … , ∞

Khi ñó m i mômen trung tâm c p l ñ u b ng 0.

Mômen µ3 ñ c trưng cho tính b t ñ i x ng c a bi n ng u nhiên ñ i v i kỳ
v ng. N u µ3 > 0 thì phân ph i l ch v bên ph i kỳ v ng, n u µ3 < 0 thì phân ph i
l ch v bên trái kỳ v ng.

ð i lư ng
µ3
s3 =
σ3
g i là h s b t ñ i x ng c a bi n ng u nhiên X.

• Mômen trung tâm c p 4.

= E[X − E(X)]4 = E[X4 − 4.X3.E(X) + 6.X2.E(X)2 − 4.X.E(X)3 + E(X)4 ] =
µ3
= ν4 − 4.ν3ν1 + 6.ν12.ν2 − 4.ν13.ν1 + ν14 = ν4 − 4.ν3ν1 + 6.ν12.ν2 − 3.ν14

4. M t s lu t phân ph i quan tr ng

a) Lu t phân ph i ñ u r i r c U(1,n).
• ð nh nghĩa. Bi n ng u nhiên X g i là tuân theo lu t phân ph i ñ u U(1,n) n u có
phân ph i
{(k, 1/n) | k =1, 2, …, n}

• Kỳ v ng và phương sai:
n2 − 1
n +1
E(X) = & D(X) =
12
2
CM
1 n(n + 1) n + 1
n
1 1n
∑ n n k =1 n 2 = 2
k. = ∑ k =
E(X) =
k =1



1 n 2 (n + 1) 2 1 n(n + 1)(2.n + 1) (n + 1) 2 n 2 − 1
∑k − 4 = n − =
D(X) = E(X2) − E(X)2 =
n k =1 6 4 12


+ Ví d . Trong thùng có n qu c u, trong ñó có 1 qu c u ñen. Ngư i ta l y ng u
nhiên t ng qu c u ra kh i thùng (không b l i vào thùng) cho ñ n khi l y ñư c qu
c u ñen. G i X là bi n ng u nhiên có giá tr b ng s qu c u l y ra. Xác ñ nh lu t
phân ph i c a X.
Gi i.
Mi n giá tr c a X là 1, 2, …, n.
G i Ai là s ki n qu c u ñen ñư c rút ra l n th i, i=1,2,…,n. V i m i
k=1,2,…,n ta có
( )
= P A1. A2 ..... Ak −1. Ak
P(X=k)

( )( )( ) ( )( )
P A1 P A2 / A1 P A3 / A1 A2 .....P Ak −1 / A1 A2 .....Ak −2 P Ak / A1 A2 .....Ak −1
=

n −1 n − 2 n − k +1 1 1
=
.....
=
n n −1 n − k + 2 n − k +1 n

V y X có phân ph i ñ u U(1,n).


b) Phân ph i Bernoulli B(1,p).
• ð nh nghĩa. bi n ng u nhiên X g i là tuân theo lu t phân ph i Bernoulli B(1,p),
0
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản