Giáo trình môn Sức bền vật liệu

Chia sẻ: cuong09n2

Sức bền vật liệu là môn học kỹ thuật cơ sở, nghiên cứu tính chất chịu lực của vật liệu để đề ra phương pháp tính về độ bền, độ cứng và độ ổn định của các bộ phận công trình, gọi chung là vật thể - chịu các tác động khác nhau như tải trọng, sự thay đổi nhiệt độ và chế tạo không chính xác, nhằm thỏa mãn yêu cầu an toàn và tiết kiệm vật liệu.

Bạn đang xem 20 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Giáo trình môn Sức bền vật liệu

SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


3.3. BIEÁN DAÏNG CUÛA THANH CHÒU KEÙO HAY NEÙN ÑUÙNG TAÂM .................................. 29 
MUÏC LUÏC
3.3.1. Bieán daïng doïc .................................................................................................... 29 
CHÖÔNG 1: MÔÛ ÑAÀU, CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN .......................................... 7  3.3.2. Bieán daïng ngang ................................................................................................ 30 
3.4. ÑAËC TRÖNG CÔ HOÏC CUÛA VAÄT LIEÄU ..................................................................... 30 
1.1. NHIEÄM VUÏ, ÑOÁI TÖÔÏNG NGHIEÂN CÖÙU VAØ ÑAËC ÑIEÅM CUÛA SBVL ........................... 7 
3.4.1. Khaùi nieäm ........................................................................................................... 30 
1.1.1. Nhieäm vuï moân hoïc: .............................................................................................. 7 
3.4.2. Thí nghieäm keùo vaät lieäu deûo (theùp)..................................................................... 31 
1.1.2. Ñoái töôïng nghieân cöùu cuûa moân hoïc: .................................................................... 7 
3.4.2.1. Maãu thí nghieäm: .......................................................................................... 31 
1.1.3. Ñaëc ñieåm moân hoïc: .............................................................................................. 8 
3.4.2.2. Thí nghieäm .................................................................................................. 31 
1.1.4. Caùc taøi lieäu tham khaûo .......................................................................................... 8 
3.4.2.3. Phaân tích keát quaû ........................................................................................ 31 
1.1.5. Hình Daïng Vaät Lieäu. ............................................................................................. 8 
σ −ε
3.4.2.4. Bieåu ñoà (bieåu ñoà quy öôùc)............................................................... 32 
1.2. NGOAÏI LÖÏC. ................................................................................................................ 9 
3.4.3. Thí nghieäm keùo vaät lieäu doøn ............................................................................... 33 
1.2.1. Theo tính chaát chuû ñoäng vaø bò ñoäng: .................................................................... 9 
3.4.4. Thí nghieäm neùn vaät lieäu deûo ............................................................................... 33 
1.2.2. Theo hình thöùc phaân boá........................................................................................ 9 
3.4.5. Thí nghieäm neùn vaät lieäu doøn ............................................................................... 33 
1.2.3. Theo tính chaát taùc duïng. ....................................................................................... 9 
3.5. ÖÙNG SUAÁT CHO PHEÙP – HEÄ SOÁ AN TOAØN – BA BAØI TOAÙN CÔ BAÛN .................... 34 
1.2.4. Theo khaû naêng nhaän bieát. .................................................................................. 10 
3.5.1. Öùng suaát cho pheùp: ............................................................................................ 34 
1.3. LIEÂN KEÁT VAØ PHAÛN LÖÏC LIEÂN KEÁT ........................................................................ 10 
3.5.2. Heä soá an toaøn: .................................................................................................... 34 
1.4. CAÙC DAÏNG CHÒU LÖÏC VAØ BIEÁN DAÏNG CÔ BAÛN. ................................................... 12 
3.5.3. Ba baøi toaùn cô baûn: ............................................................................................ 34 
1.5. CAÙC GIAÛ THIEÁT TRONG BAØI TOAÙN SBVL:.............................................................. 13 
3.6. MOÄT SOÁ HIEÄN TÖÔÏNG PHAÙT SINH KHI VAÄT LIEÄU CHÒU LÖÏC ................................ 35 
1.5.1. Giaû thieát veà sô ñoà tính. ....................................................................................... 13 
3.6.1. Hieän töôïng bieán cöùng ........................................................................................ 35 
1.5.2. Giaû thieát veà vaät lieäu. ........................................................................................... 13 
3.6.2. Hieän töôïng sau taùc duïng ................................................................................... 35 
1.5.3. Giaû thieát veà bieán daïng vaø chuyeån vò ................................................................... 14 
3.7. KHAÙI NIEÄM VEÀ SÖÏ TAÄP TRUNG ÖÙNG SUAÁT ............................................................ 37 
CAÙC VAÁN ÑEÀ SINH VIEÂN CAÀN NAÉM VÖÕNG ÔÛ CHÖÔNG 1 ............................................. 15 
3.8. BAØI TOAÙN SIEÂU TÓNH ................................................................................................ 37 
CHÖÔNG 2: LYÙ THUYEÁT NOÄI LÖÏC – ÖÙNG SUAÁT ........................................ 16  CAÙC VAÁN ÑEÀ SINH VIEÂN CAÀN NAÉM VÖÕNG ÔÛ CHÖÔNG 3 ............................................. 38 

2.1. KHAÙI NIEÄM VEÀ NOÄI LÖÏC – PHÖÔNG PHAÙP KHAÛO SAÙT – ÖÙNG SUAÁT .................. 16  CHÖÔNG 4 : TRAÏNG THAÙI ÖÙNG SUAÁT ......................................................... 39 
2.2. CAÙC THAØNH PHAÀN VAØ CAÙCH XAÙC ÑÒNH NOÄI LÖÏC ................................................ 17 
4.1. KHAÙI NIEÄM TRAÏNG THAÙI ÖÙNG SUAÁT TAÏI 1 ÑIEÅM................................................... 39 
2.3. BIEÅU ÑOÀ NOÄI LÖÏC ..................................................................................................... 19 
4.1.1. Traïng thaùi öùng suaát ............................................................................................ 39 
2.4. LIEÂN HEÄ VI PHAÂN GIÖÕA NOÄI LÖÏC VAØ TAÛI TROÏNG PHAÂN BOÁ ................................ 23 
4.1.2. Bieåu dieãn traïng thaùi öùng suaát ............................................................................. 39 
2.4.1. Thanh thaúng: ...................................................................................................... 23 
4.1.2.a. Phöông phaùp nghieân cöùu ............................................................................ 39 
2.4.2. Thanh cong: ........................................................................................................ 24 
4.1.2.b. Quy öôùc daáu............................................................................................... 40 
2.5. CAÙCH VEÕ BIEÅU ÑOÀ THEO NHAÄN XEÙT ..................................................................... 24 
4.1.3. Ñònh luaät ñoái öùng cuûa öùng suaát tieáp ................................................................... 41 
2.5.1. Caùch aùp duïng nguyeân lyù coäng taùc duïng ............................................................ 24 
4.1.4. Maët chính, phöông chính vaø öùng suaát chính. Phaân loaïi traïng thaùi öùng suaát ....... 42 
2.5.2. Caùch veõ theo töøng ñieåm. .................................................................................... 24 
4.2. TRAÏNG THAÙI ÖÙNG SUAÁT PHAÚNG ............................................................................ 43 
2.6. TOÙM TAÉT NHAÄN XEÙT ................................................................................................ 25 
4.2.1. Caùch bieåu dieãn ................................................................................................... 43 
CAÙC VAÁN ÑEÀ SINH VIEÂN CAÀN NAÉM VÖÕNG ÔÛ CHÖÔNG 2 ............................................. 26 
4.2.2 Öùng suaát treân maët caét nghieâng. Phöông phaùp giaûi tích ....................................... 43 
CHÖÔNG 3 : KEÙO – NEÙN ÑUÙNG TAÂM ........................................................... 27  4.2.3. Öùng suaát chính vaø öùng suaát tieáp cöïc trò .............................................................. 45 
4.2.3.a. ÖÙùng suaát chính vaø phöông chính ................................................................ 45 
3.1. KHAÙI NIEÄM................................................................................................................. 27 
4.2.3.b. Öùng suaát tieáp cöïc trò .................................................................................... 46 
3.1.1. Giaû thuyeát maët caét ngang phaúng ........................................................................ 27 
4.2.4. Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät: .................................................................................... 47 
3.1.2. Giaû thuyeát veà caùc thôù doïc .................................................................................. 28 
4.2.4.a. Traïng thaùi öùng suaát phaúng ñaëc bieät: ........................................................... 47 
3.2. ÖÙNG SUAÁT TREÂN MAËT CAÉT NGANG ....................................................................... 28 

Trang 1 - 177 Trang 2 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


CHÖÔNG 8 : XOAÉN THUAÀN TUÙY ................................................................. 105 
4.2.4.b. Traïng thaùi tröôït thuaàn tuùy ........................................................................... 47 
4.2.5. Bieåu dieãn hình hoïc traïng thaùi öùng suaát. Voøng troøn Morh.................................... 47 
8.1. KHAÙI NIEÄM............................................................................................................... 105 
4.2.5.a. Voøng troøn Morh öùng suaát .......................................................................... 47 
8.1.1. Ñònh nghóa ........................................................................................................ 105 
4.2.5.b. ÖÙng suaát treân maët caét nghieâng. .................................................................. 48 
8.1.2. Bieåu ñoà Noäi Löïc ................................................................................................ 105 
4.3. LIEÂN HEÄ ÖÙNG SUAÁT VAØ BIEÁN DAÏNG: ÑÒNH LUAÄT HOOKE .................................... 48 
8.2. XOAÉN THANH THAÚNG TIEÁT DIEÄN TROØN ............................................................... 106 
4.3.1. Lieân heä öùng suaát phaùp vaø bieán daïng daøi ............................................................ 48 
8.2.1. Thí nghieäm vaø nhaän xeùt .................................................................................... 106 
4.3.2. Lieân heä giöõa öùng suaát tieáp vaø bieán daïng goùc ..................................................... 50 
8.2.2. Caùc giaû thieát ..................................................................................................... 107 
CAÙC VAÁN ÑEÀ SINH VIEÂN CAÀN NAÉM VÖÕNG ÔÛ CHÖÔNG 4 ............................................. 52 
8.2.3. Coâng thöùc öùng suaát tieáp ................................................................................... 107 
CHÖÔNG 5 : ÑAËC TRÖNG HÌNH HOÏC CUÛA MAËT CAÉT NGANG ................... 53  8.2.4. Coâng thöùc tính bieán daïng khi xoaén ................................................................... 109 
8.2.5. Ñieàu kieän beàn – ñieàu kieän cöùng ........................................................................ 110 
5.1. KHAÙI NIEÄM................................................................................................................. 53 
8.3. XOAÉN THANH THAÚNG TIEÁT DIEÄN CHÖÕ NHAÄT ...................................................... 110 
5.2. MOÂMEN TÓNH. TROÏNG TAÂM ..................................................................................... 53 
8.4. TÍNH LOØ XO XOAÉN HÌNH TRUÏ COÙ BÖÔÙC NGAÉN ................................................... 111 
5.3. MOÂMEN QUAÙN TÍNH, BAÙN KÍNH QUAÙN TÍNH ......................................................... 58 
8.5. BAØI TOÙAN XOAÉN SIEÂU TÓNH ................................................................................... 111 
5.3.1. Moâmen quaùn tính ................................................................................................ 58 
CAÙC VAÁN ÑEÀ SINH VIEÂN CAÀN NAÉM VÖÕNG ÔÛ CHÖÔNG 8 ........................................... 113 
5.3.2. Heä truïc quaùn tính chính trung taâm (QTCTT) ....................................................... 59 
CHÖÔNG 9 : THANH CHÒU LÖÏC PHÖÙC TAÏP ............................................... 114 
5.3.3. Baùn kính quaùn tính.............................................................................................. 60 
5.4. MOÂMEN QUAÙN TÍNH CHÍNH TRUNG TAÂM CUÛA 1 SOÁ HÌNH ÑÔN GIAÛN. ................ 60 
9.1. KHAÙI NIEÄM............................................................................................................... 114 
5.4.1. Hình chöõ nhaät ..................................................................................................... 60 
9.1.1. Ñònh nghóa ........................................................................................................ 114 
5.4.2. Hình tam giaùc ..................................................................................................... 61 
9.1.2. Phaïm vi nghieân cöùu .......................................................................................... 114 
5.4.3. Hình troøn – Hình vaønh khaên ................................................................................ 61 
9.2. UOÁN XIEÂN ................................................................................................................ 115 
5.5. COÂNG THÖÙC CHUYEÅN TRUÏC SONG SONG ............................................................ 62 
9.2.1. Ñònh nghóa: ....................................................................................................... 115 
5.6. COÂNG THÖÙC XOAY TRUÏC ........................................................................................ 63 
9.2.2. Öùng suaát phaùp .................................................................................................. 116 
CAÙC VAÁN ÑEÀ SINH VIEÂN CAÀN NAÉM VÖÕNG ÔÛ CHÖÔNG 5 ............................................. 66 
9.2.3. Ñöôøng trung hoøa vaø bieåu ñoà öùng suaát .............................................................. 117 
CHÖÔNG 6: UOÁN NGANG PHAÚNG THANH THAÚNG ..................................... 67  9.2.4. Öùng suaát phaùp cöïc trò vaø ñieàu kieàn beàn ............................................................ 118 
9.2.5. Ñoä voõng cuûa daàm khi uoán xieân ......................................................................... 119 
6.1. KHAÙI NIEÄM CHUNG ................................................................................................... 67 
9.3. UOÁN COÄNG KEÙO HAY NEÙN .................................................................................... 120 
6.2. UOÁN THUAÀN TUÙY ...................................................................................................... 69 
9.3.1. Ñònh nghóa ........................................................................................................ 120 
6.3. UOÁN NGANG PHAÚNG ................................................................................................ 80 
9.3.2. Coâng thöùc öùng suaát phaùp ................................................................................. 120 
6.4. KIEÅM TRA BEÀN ......................................................................................................... 86 
9.3.3. Ñöôøng trung hoøa vaø bieåu ñoà öùng suaát phaùp ..................................................... 121 
CAÙC VAÁN ÑEÀ SINH VIEÂN CAÀN NAÉM VÖÕNG ÔÛ CHÖÔNG 6 ............................................. 94 
9.3.4. Öùng suaát phaùp cöïc trò vaø ñieàu kieàn beàn ............................................................ 122 
CHÖÔNG 7 : CHUYEÅN VÒ DAÀM CHÒU UOÁN.................................................... 95  9.3.5. Thanh chòu keùo hay neùn leäch taâm .................................................................... 123 
9.3.6. Loõi tieát dieän ....................................................................................................... 124 
7.1. KHAÙI NIEÄM CHUNG ................................................................................................... 95 
9.4. UOÁN COÄNG XOAÉN ................................................................................................... 128 
7.2. PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN ÑÖÔØNG ÑAØN HOÀI ........................................................... 97 
9.4.1. Ñònh nghóa: ....................................................................................................... 128 
7.3. LAÄP PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG ÑAØN HOÀI BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN ....... 98 
9.4.2. Thanh tieát dieän chöõ nhaät:.................................................................................. 128 
7.4. PHÖÔNG PHAÙP THOÂNG SOÁ BAN ÑAÀU .................................................................... 99 
9.4.3. Tieát dieän troøn: ................................................................................................... 129 
7.5. PHÖÔNG PHAÙP TAÛI TROÏNG GIAÛ TAÏO (ÑOÀ TOAÙN)................................................ 102 
9.5. THANH CHÒU LÖÏC TOÅNG QUAÙT: ............................................................................ 130 
7.6. PHÖÔNG PHAÙP NHAÂN BIEÅU ÑOÀ ............................................................................ 103 
9.5.1. Ñònh nghóa: ....................................................................................................... 130 
7.7. BAØI TOAÙN SIEÂU TÓNH .............................................................................................. 103 
9.5.2. Thanh tieát dieän chöõ nhaät ................................................................................... 131 
CAÙC VAÁN ÑEÀ SINH VIEÂN CAÀN NAÉM VÖÕNG ÔÛ CHÖÔNG 7 ........................................... 104  9.5.3. Thanh thanh tieát dieän troøn: ............................................................................... 132 

Trang 3 - 177 Trang 4 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


CAÙC VAÁN ÑEÀ SINH VIEÂN CAÀN NAÉM VÖÕNG ÔÛ CHÖÔNG 9 ........................................... 133  12.5.1. Khaùi nieäm ....................................................................................................... 161 
12.5.2. Phöông trình vi phaân dao ñoäng cöôõng böùc cuûa heä 1 baäc töï do ...................... 163 
CHÖÔNG 10: OÅN ÑÒNH CUÛA THANH THAÚNG CHÒU NEÙN ........................... 134 
12.5.3. Dao ñoäng töï do ............................................................................................... 164 
10.1. KHAÙI NIEÄM VEÀ SÖÏ OÅN ÑÒNH CUÛA TRAÏNG THAÙI CAÂN BAÈNG ............................. 134  12.5.4. Dao ñoäng töï do coù caûn ................................................................................... 164 
10.2. LÖÏC TÔÙI HAÏN CUÛA THANH THAÚNG CHÒU NEÙN ÑUÙNG TAÂM ............................... 136  12.5.5. Dao ñoäng cöôõng böùc coù caûn .......................................................................... 165 
12.5.6. HIeän töôïng coäng höôûng .................................................................................. 167 
10.2.1. Thanh lieân keát khôùp 2 ñaàu: ............................................................................. 136 
12.6. PHÖÔNG PHAÙP THU GOÏN KHOÁI LÖÔÏNG ............................................................ 169 
10.2.2. Thanh coù caùc lieân keát khaùc............................................................................ 137 
10.2.3. ÖÙùng suaát tôùi haïn ............................................................................................. 138  12.7. VA CHAÏM CUÛA HEÄ MOÄT BAÄC TÖÏ DO. .................................................................. 171 
10.2.4. Giôùi haïn duøng cuûa coâng thöùc Euler ................................................................ 138  12.7.1. Va chaïm ñöùng. ............................................................................................... 171 
10.3 OÅN ÑÒNH NGOAØI MIEÀN ÑAØN HOÀI ........................................................................... 142  12.7.2. Va chaïm ngang: ............................................................................................. 175 
10.3.1. YÙÕ nghóa ........................................................................................................... 142  CAÙC VAÁN ÑEÀ SINH VIEÂN CAÀN NAÉM VÖÕNG ÔÛ CHÖÔNG 12 ......................................... 176 
10.3.2. Coâng thöùc thöïc nghieäm Iasinski ..................................................................... 142 
10.3.3. Coâng thöùc lí thuyeát moâñun tieáp tuyeán............................................................. 143 
10.4 PHÖÔNG PHAÙP THÖÏC HAØNH TÍNH OÅN ÑÒNH THANH CHÒU NEÙN ....................... 144 
10.4.1. Phöông phaùp tính ........................................................................................... 144 
10.4.2. Choïn maët caét ngang vaø vaät lieäu hôïp lí ............................................................ 146 
10.5 XAÙC ÑÒNH LÖÏC TÔÙI HAÏN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP NAÊNG LÖÔÏNG ........................ 148 
10.5.1. Khaùi nieäm ....................................................................................................... 148 
10.5.2. Phöông phaùp naêng löôïng xaùc ñònh löïc tôùi haïn ............................................... 148 
CAÙC VAÁN ÑEÀ SINH VIEÂN CAÀN NAÉM VÖÕNG ÔÛ CHÖÔNG 10 ......................................... 149 

CHÖÔNG 11: UOÁN NGANG VAØ UOÁN DOÏC ÑOÀNG THÔØI ............................. 150 
11.1. ÑAËC ÑIEÅM BAØI TOAÙN ............................................................................................ 150 
11.2. PHÖÔNG PHAÙP CHÍNH XAÙC ................................................................................ 150 
11.3. PHÖÔNG PHAÙP GAÀN ÑUÙNG ................................................................................. 151 
11.4. ÖÙNG SUAÁT VAØ KIEÅM TRA BEÀN ............................................................................ 152 
11.5. THANH COÙ ÑOÄ CONG BAN ÑAÀU .......................................................................... 153 
11.5.1. AÛnh höôûng cuûa ñoä cong ban ñaàu ................................................................... 153 
11.5.2. Xaùc ñònh löïc tôùi haïn baèng thöïc nghieäm thanh lieân keát khôùp 2 ñaàu ................ 154 
11.6. COÄT CHÒU NEÙN LEÄCH TAÂM ................................................................................. 155 
CAÙC VAÁN ÑEÀ SINH VIEÂN CAÀN NAÉM VÖÕNG ÔÛ CHÖÔNG 11 ......................................... 158 

CHÖÔNG 12 : TAÛI TROÏNG ÑOÄNG ............................................................... 159 
12.1. KHAÙI NIEÄM............................................................................................................. 159 
12.1.1. Taûi troïng ñoäng ................................................................................................ 159 
12.1.2. Phöông phaùp nghieân cöùu ............................................................................... 159 
12.2. THANH CHUYEÅN ÑOÄNG VÔÙI GIA TOÁC LAØ HAÈNG SOÁ.......................................... 159 
12.3. CHUYEÅN ÑOÄNG QUAY VÔÙI VAÄN TOÁC KHOÂNG ÑOÅI ............................................ 161 
12.4. KHAÙI NIEÄM CHUNG VEÀ BAÄC TÖÏ DO .................................................................... 161 
12.5. DAO ÑOÄNG CUÛA HEÄ ÑAØN HOÀI MOÄT BAÄC TÖÏ DO ................................................ 161 

Trang 5 - 177 Trang 6 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


1.1.3. Ñaëc ñieåm moân hoïc:
Ñeå ñaûm baûo söï tin caäy cuûa caùc phöông phaùp tính, moân hoïc keát hôïp chaët cheõ nghieân
CHÖÔNG 1: MÔÛ ÑAÀU, CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN cöùu thöïc nghieäm vaø suy luaän lyù thuyeát. nghieân cöùu thöïc nghieäm nhaèm phaùt hieän ra tính
chaát öùng xöû cuûa caùc vaät lieäu vaø caùc daïng chòu löïc khaùc nhau, laøm cô sôû ñeà xuaát caùc giaû
thuyeát ñôn giaûn hôn ñeå xaây döïng lyù thuyeát.
1.1. NHIEÄM VUÏ, ÑOÁI TÖÔÏNG NGHIEÂN CÖÙU VAØ ÑAËC ÑIEÅM CUÛA SBVL
Vì vaäy, lyù thuyeát söùc beàn vaät lieäu mang tính gaàn ñuùng vaø neáu quaù trình suy dieãn
caøng nhieàu thì söï baùo caøng coù khaû naêng sai leäch nhieàu hôn. Trong nhieàu tröôøng hôïp,
1.1.1. Nhieäm vuï moân hoïc:
ngöôøi ta phaûi laøm thí nghieäm treân moâ hình coâng trình thu nhoû tröôùc khi xaây döïng
Söùc beàn vaät lieäu laø moân hoïc kyõ thuaät cô sôû, nghieân cöùu tính chaát chòu löïc cuûa vaät lieäu
hoaëc thöû taûi coâng trình tröôùc khi ñöa vaøo söû duïng.
ñeå ñeà ra phöông phaùp tính veà ñoä beàn, ñoä cöùng vaø ñoä oån ñònh cuûa caùc boä phaän coâng
trình, goïi chung laø vaät theå - chòu caùc taùc ñoäng khaùc nhau nhö taûi troïng, söï thay ñoåi nhieät Thoâng thöôøng, khi kích thuôùc cuûa vaät theå lôùn hôn thì khaû naêng chòu löïc cuõng taêng vaø
ñoä vaø cheá taïo khoâng chính xaùc, nhaèm thoûa maõn yeâu caàu an toaøn vaø tieát kieäm vaät lieäu. do ñoù ñoä an toaøn cuõng ñöôïc naâng cao; tuy nhieân vaät lieäu phaûi duøng nhieàu hôn neân naëng
neà vaø toán keùm hôn. Kieán thöïc cuûa moân söùc beàn vaät lieäu giuùp giaûi quyeát hôïp lyù maâu
Muïc ñích cuûa moân hoïc naøy laø xaây döïng caùc khaùi nieäm vaø phöông phaùp tính, coù khaû
thuaãn giöõa yeâu caàu an toaøn vaø tieát kieäm vaät lieäu.
naêng döï baùo tröôùc veà tình traïng chòu löïc cuûa vaät theå caàn thieát keá. Ñeà ra caùc phöông
phaùp tính toaùn sao cho caùc boä phaän cuûa coâng trình ñaûm baûo 3 ñieàu kieän:
1.1.4. Caùc taøi lieäu tham khaûo
+ Beàn
1. Söùc Beàn Vaät Lieäu – Ñoã Kieán Quoác (chuû bieân)
+ Cöùng 2. Söùc Beàn Vaät Lieäu – Nguyeãn Y Toâ (chuû bieân)
+ Oån ñònh Trang web tham khao: http://emweb.unl.edu/NEGAHBAN/Em325/intro.html
Döôùi taùc duïng cuûa ngoaïi löïc
1.1.5. Hình Daïng Vaät Lieäu.
+ Beàn: Caáu kieän khoâng bò ñöùt vôõ vaø neáu xuaát hieän veát nöùt thì vaãn naèm trong phaïm vi
Caùc vaät theå ñöôïc söû duïng trong kyõ thuaät ñöôïc chia ra laøm 3 loaïi cô baûn:
cho pheùp döôùi tac duïng cuûa ngoaïi löïc
+ Khoái: laø nhöõng vaät theå coù kích thöôùc theo 3 phöông töông ñöông. Ví duï: ñe ñaäp,
+ Cöùng: Caáu kieän khoâng bò bieán daïng quaù lôùn laøm aûnh höôûng ñeán söï laøm vieäc bình
moùng maùy…
thöôøng cuûa coâng trình döôùi taùc duïng cuûa ngoaïi löïc
+ Taám vaø voû: laø nhöõng vaät theå moûng coù kích thöôùc theo 1 phöông raát nhoû so vôùi 2
+ Oån ñònh: Döôùi taùc duïng cuûa ngoaïi löïc, boä phaän cuûa coâng trình khoâng bò thay ñoåi
phöông coøn laïi; taám coù daïng phaúng, voû coù daïng cong. Ví duï: saøn nhaø…
hình daùng ban ñaàu cuûa chuùng.
+ Thanh: laø nhöõng vaät theå hình daïng daøi coù kích thöôùc theo 1 phöông raát lôùn so vôùi 2
1.1.2. Ñoái töôïng nghieân cöùu cuûa moân hoïc: phöông coøn laïi. Ñaây laø loaïi vaät theå ñöôïc söû duïng roäng raõi trong thöïc teá: thanh daøn caàu,
coät ñieän, truïc maùy…
- Cô lyù thuyeát: ñoái töôïng nghieân cöùu laø vaät theà raén tuyeät ñoái (chæ xeùt ñeán söï caân baèng
löïc maø khoâng keå ñeán bieán daïng) Tuøy theo truïc thanh thaúng, cong, gaõy khuùc (phaúng hay khoâng gian maø goïi laø thanh
thaúng, thanh cong hay khung ( phaúng, khung khoâng gian).
- SBVL: ñoái töôïng nghieân cöùu laø vaät raén thöïc (BT, gaïch ñaù, goã, theùp..) döôùi taùc duïng
cuûa ngoaïi löïc, chuùng bò bieán daïng




Trang 7 - 177 Trang 8 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


+ Löïc tónh laø löïc bieán ñoåi chaäm hoaëc khoâng thay ñoåi theo thôøi gian, vì vaäy gaây ra gia
1.2. NGOAÏI LÖÏC.
toác chuyeån ñoäng raát beù coù theå boû qua khi xeùt caân baèng. Aùp löïc ñaát leân töôøng chaén,
Ngoaïi löïc laø löïc taùc ñoäng töø moâi tröôøng hoaëc vaät theå beân ngoaøi leân vaät theå ñang xeùt. troïng löôïng cuûa caùc coâng trình laø löïc tónh…
Ñaây laø loaïi taùc ñoäng quan troïng vaø thöôøng gaëp trong thöïc teá. Ngoaïi löïc ñöôïc phaân loaïi
+ Löïc ñoäng laø löïc thay ñoåi nhanh theo thôøi gian, gaây ra chuyeån ñoäng coù gia toác lôùn.
theo nhieàu caùch khaùc nhau.
vôùi löïc ñoäng caàn xeùt ñeán söï tham gia cuûa löïc quaùn tính..
1.2.1. Theo tính chaát chuû ñoäng vaø bò ñoäng: Trong SBVL, caûû hai loaïi löïc naøy ñeàu ñöôïc xeùt tôùi.
Ngoaïi löïc ñöôïc phaân ra taûi troïng vaø phaûn löïc. Taûi troïng laø nhöõng löïc chuû ñoäng, nghóa
1.2.4. Theo khaû naêng nhaän bieát.
laø coù theå bieát tröôùc veà vò trí, phöông vaø ñoä lôùn. Taûi troïng laø “ ñaàu vaøo” cuûa baøi toaùn,
Ngoaïi löïc ñöôïc phaân ra taûi troïng tieàn ñònh hoaëc ngaãu nhieân.
thöôøng ñöôïc qui ñònh bôûi caùc qui phaïm thieát keá hoaëc ñöôïc tính toaùn theo kích thöôùc cuûa
vaät theå. Phaûn löïc laø nhöõng löïc thuï ñoäng (phuï thuoäc vaøo taûi troïng) phaùt sinh taïi vò trí lieân + Taûi troïng tieàn ñònh laø taûi troïng bieát tröôùc ñöôïc giaù trò hoaëc qui luaät thay ñoåi theo
keát vaät theå ñang xeùt vôùi caùc vaät theå xung quanh noù. thôøi gian. Troïng löôïng cuûa 1 coâng trình hoaëc aùp löïc ñaát leân töôøng chaén laø caùc taûi troïng
tieàn ñònh.

+ Taûi troïng ngaãu nhieân laø taûi troïng chæ bieát ñöôïc caùc ñaëc tröng xaùc suaát thoáng keâ
nhö giaù trò trung bình, ñoä leäch chuaån.




1.2.2. Theo hình thöùc phaân boá.
Ngoaïi löïc ñöôïc phaân ra löïc taäp trung vaø löïc phaân boá.

+ Löïc taäp trung: laø löïc taùc duïng taïi 1 ñieåm cuûa vaät theå. Trong thöïc teá khi ñieän tích
truyeàn löïc beù thì ngöôøi ta coi nhö truyeàn löïc qua 1 ñieåm ñeå ñôn giaûn hoùa söï phaân tích.
1.3. LIEÂN KEÁT VAØ PHAÛN LÖÏC LIEÂN KEÁT
Ví duï: Troïng löôïng moät chieác xe oâ toâ truyeàn xuoáng maët caàu ñöôïc thay baèng caùc löïc
taäp trung ñaët taïi troïng taâm cuûa dieän tích tieáp xuùc giöõa caùc baùnh xe vaø maët caàu, hoaëc Moät thanh muoán duy trì hình daïng, vò trí ban ñaàu khi chòu taùc ñoäng cuûa ngoaïi löïc thì
phaûn löïc taïi maët tieáp xuùc cuûa goái töïa cuõng ñöôïc thay baèng löïc taäp trung. noù phaûi ñöôïc lieân keát vôùi vaät theå khaùc hoaëc vôùi ñaát. Tuøy theo tính chaát ngaên caûn chuyeån
ñoäng maø ngöôøi ta ñöa ra caùc sô ñoà lieân keát. Thöôøng laø goái töïa di ñoäng, goái coá ñònh hay
+ Löïc phaân boá laø löïc taùc duïng treân 1 dieän tích, moät theå tích hay 1 ñöôøng cuûa vaät theå.
ngaøm.
Löïc troïng tröôøng laø 1 ví duï cuûa löïc phaân boá theå tích vì noù taùc ñoäng leân moïi ñieåm cuûa
trong vaät theå.

Cöôøng ñoä cuûa löïc phaân boá theå tích coù thöù nguyeân laø löïc/ theå tích.

Cöôøng ñoä cuûa löïc phaân boá dieän tích coù thöù nguyeân laø löïc/ dieän tích.

Cöôøng ñoä cuûa löïc phaân boá treân 1 chieàu daøi coù thöù nguyeân laø löïc/ chieàu daøi.

1.2.3. Theo tính chaát taùc duïng.
Ngoaïi löïc ñöôïc phaân ra löïc tónh vaø löïc ñoäng. Döôùi ñaây ta noùi ñeán 3 loaïi lieân keát phaúng thöôøng gaëp :
Trang 9 - 177 Trang 10 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2



∑ X = 0 ; ∑Y = 0 ; ∑ Z = 0 ; ∑ M ∑M ∑M
a. Goái di ñoäng (khôùp di ñoäng): = 0; = 0; =0
X Y Z

Goái di ñoäng laø loaïi lieân keát cho pheùp thanh quay chung quanh moät khôùp vaø coù theå di
1.4. CAÙC DAÏNG CHÒU LÖÏC VAØ BIEÁN DAÏNG CÔ BAÛN.
ñoäng theo moät phöông naøo ñoù. Lieân keát haïn cheá söï di chuyeån cuûa thanh theo phöông
vuoâng goùc vôùi phöông di ñoäng, vì vaäy theo phöông naøy lieân keát seõ phaùt sinh moät phaûn
Trong thöïc teá, söï chòu löïc cuûa 1 thanh coù theå phaân tích ra caùc daïng chòu löïc cô baûn
löïc laøm caûn trôû söï di ñoäng cuûa thanh. Sô ñoà goái di ñoäng ñöôïc bieåu dieãn nhö treân hình
goàm: keùo, neùn, xoaén, caét vaø uoán nhö hình 1.8 minh hoïa. Truïc thanh khi chòu keùo hoaëc
veõ.
neùn seõ giaõn daøi hay co ngaén; khi chòu uoán seõ bò cong ñi, coøn thanh chòu xoaén thì truïc
b. Goái coá ñònh (khôùp coá ñònh)
thanh vaãn thaúng nhöng ñöôøng sinh treân beà maët trôû thaønh ñöôøng xoaén truï. Khi chòu caét 2
Goái coá ñònh laø loaïi lieân keát chæ cho pheùp thanh quay chung quanh moät khôùp, coøn haïn
phaàn cuûa thanh coù xu höôùng tröôït ñoài vôùi nhau. Ôû caùc chöông sau, caùc daïng chòu löïc cô
cheá moïi di chuyeån thaúng khaùc cuûa thanh. Vì vaäy taïi lieân keát ñoù seõ xuaát hieän moät phaûn
baûn naøy seõ ñöôïc laàn löôït ñöôïc nghieân cöùu.
löïc coù phöông baát kyø, phaûn löïc naøy ñöôïc chia ra 2 thaønh phaàn: thaønh phaàn naèm ngang
Neáu töôûng töôïng taùch 1 phaân toá hình hoäp töø 1 thanh chòu löïc thì söï bieán daïng cuûa noù
vaø thaønh phaàn thaúng ñöùng.
trong tröôøng hôïp toång quaùt coù theå phaân tích ra 2 thaønh phaàn cô baûn, goàm bieán daïng daøi
c. Ngaøm:
vaø bieán daïng goùc.
Ngaøm laø loaïi lieân keát khoâng cho pheùp thanh quay hoaëc di chuyeån baát cöù theo phöông
Phaân toá treân chæ thay ñoåi chieàu daøi, khoâng thay ñoåi goùc. Chieàu daøi dx ban ñaàu cuûa
naøo. Taïi ngaøm seõ phaùt sinh moät momen phaûn löïc M choáng laïi söï quay cuûa thanh vaø moät
phaân toá bò giaõn daøi hay co ngaén 1 löôïng Δdx . Bieán daïng daøi töông ñoái theo phöông x, kí
phaûn löïc theo phöông baát kyø choáng laïi söï di chuyeån cuûa thanh theo phöông ñoù. Phaûn Δdx
hieäu laø ε X , ñöôïc ñònh nghóa bôûi tæ so Δdx vaø dx : ε x =
löïc naøy cuõng ñöôïc taùch laøm hai thaønh phaàn : thaønh phaàn naèm ngang vaø thaønh phaàn dx
thaúng ñöùng.
Tóm lại:

+ Goái di ñoäng chæ ngaên caûn 1 chuyeån ñoäng thaúng vaø phaùt sinh 1 phaûn löïc V theo
phöông cuûa lieân keát.

+ Goái coá ñònh ngaên caûn chuyeån vò thaúng theo phöông baát kì vaø phaùt sinh phaûn löïc
cuõng theo phöông ñoù. Phaûn löïc thöôøng ñöôïc phaân tích ra thaønh 2 thaønh phaàn V vaø H.

+ Ngaøm ngaên caûn baát kì chuyeån vò thaúng naøo vaø chuyeån vò xoay. Phaûn löïc thöôøng
ñöôïc phaân tích ra 3 thaønh phaàn V, H vaø M.

Caùc thaønh phaàn phaûn löïc ñöôïc xaùc ñònh töø ñieàu kieän caân baèng tình hoïc. baøi toaùn
phaúng coù ba phöông trình caân baèng ñoäc laäp, ñöôïc thieát laäp ôû caùc daïng khaùc nhau nhö
sau:

∑ X = 0 ; ∑ Y = 0 ; ∑ M = 0 (x,y khoâng thaúng haøng)
1. O


∑ M = 0 ; ∑ M = 0 ; ∑ M = 0 (A,B,C khoâng thaúng haøng) Phaân toá treân chæ coù theå thay ñoåi goùc, khoâng thay ñoåi chieàu daøi. Ñoä thay ñoåi cuûa goùc
2. A B C
vuoâng ban ñaàu goïi laø bieán daïng goùc hay bieán daïng tröôït, kí hieäu laø γ
∑ X = 0 ; ∑ M = 0 ; ∑ M = 0 (AB khoâng vuoâng goùc vôùi x)
3. A B


Baøi toaùn khoâng gian coù 6 phöông trình caân baèng ñoäc laäp.


Trang 11 - 177 Trang 12 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


Vaät lieäu ñoàng nhaát nghóa laø tính chaát cô hoïc taïi moïi ñieåm trong vaät theå laø nhö nhau,
vaät lieäu ñaúng höôùng nghóa laø tính chaát cô hoïc taïi moät ñieåm theo caùc phöông ñeàu gioáng
nhau. Tính chaát cô hoïc ñöôïc ñaëc tröng bôûi caùc haèng soá vaät lieäu nhö moâ ñun ñaøn hoài, heä
soá bieán daïng hoâng, giôùi haïn ñaøn hoài.. thöïc ra caáu truùc vi moâ cuûa vaät lieäu thaät khoâng
hoaøn toaøn ñoàng nhaát vaø ñaúng höôùng, nhöng söï saép xeáp cuûa chuùng thöôøng laø ngaãu
nhieân theo moïi höôùng, neân neáu vaät theå coù kích thöôùc ñuû lôùn thì giaû thieát treân noùi chung
Khi vaät theå bò bieán daïng, caùc ñieåm trong vaät theå noùi chung bò thay ñoåi vò trí. Ñoä chaáp nhaän ñöôïc. caùc ñaëc tröng cô hoïc cuûa vaät lieäu duøng trong thöïc tieãn ñeàu mang yù
chuyeån dôøi töø vò trí cuõ sang vò trí môùi cuûa 1 ñieåm goïi laø chuyeån vò daøi. Goùc hôïp bôûi vò trí nghóa trung bình cho 1 theå tích vaät lieäu ñuû lôùn, khoâng xeùt tôùi caáu truùc vi moâ cuûa vaät lieäu
cuûa 1 ñoaïn thaúng tröôùc vaø trong khi bieán daïng cuûa vaät theå ñöôïc goïi laø chuyeån vò goùc. thaät taïi töøng ñieåm. Vì vaäy öùng suaát vaø bieán daïng tìm ñöôïc taïi 1 ñieåm cuõng coù yù nghóa
trung bình. Tuy nhieân coù nhöõng vaät lieäu coù caáu truùc dò höôùng roõ reät nhö goã, vaät lieäu
1.5. CAÙC GIAÛ THIEÁT TRONG BAØI TOAÙN SBVL: composite neàn nhöïa sôïi thuûy tinh coù ñònh höôùng… thì caàn thieát xeùt tæ mó ñeán caáu truùc vaät
lieäu khi phaân tích baøi toaùn cô hoïc.
Khi giaûi baøi toaùn SVBL, ngöôøi ta chaáp nhaän 1 soá giaû thieát nhaèm ñôn giaûn hoùa vaán ñeà
Moïi vaät theå thaät seõ coù thay ñoåi hình daùng döôùi taùc duïng cuûa ngoaïi löïc. tính chaát ñaøn
nhöng coá gaéng ñaûm baûo söï chính xaùc caàn thieát phuø hôïp vôùi yeâu caûàu thöïc teá. Caùc giaû
hoài cuûa vaät theå laø khaû naêng khoâi phuïc laïi hình daïng ban ñaàu cuûa noù khi ngoaïi löïc thoâi
thieát naøy lieân quan ñeán sô ñoà hình hoïc cuûa vaät theå, tính chaát cuûa vaät lieäu vaø tính chaát
taùc duïng. neáu quan heä giöõa ngoaïi löïc vaø bieán daïng laø baäc nhaát, thì vaät lieäu ñöôïc goïi la
bieán daïng, chuyeån vò cuûa vaät theå.
ñaøn hoài tuyeán tính.
1.5.1. Giaû thieát veà sô ñoà tính.
Ñoái vôùi caùc vaät lieäu, quan heä öùng suaát vaø bieán daïng cho ñeán khi bò phaù hoaïi noùi
chung laø nhöõng ñöôøng cong. Neáu giôùi haïn bieán daïng trong 1 phaïm vi ñuû beù thì quan
heä naøy laø 1 ñöôøng thaúng (chaúng haïn ñoái vôùi theùp ) hoaëc coù theå saáp xæ baèng 1 ñöôøng
thaúng. Giaû thieát vaät lieäu ñaøn hoài tuyeán tính laøm giaûm bôùt söï phöùc taïp cuûa baøi toaùn SBVL.

1.5.3. Giaû thieát veà bieán daïng vaø chuyeån vò
Khi tính toaùn, ngöôøi ta thay vaät theå baèng sô ñoà tính. Ví duï: thanh chòu taûi troïng baûn
Khi chòu taùc ñoäng ngoaøi, vaät theå coù bieán daïng vaø chuyeån vò beù. Vì vaäy, coù theå khaûo
thaân ñöôïc thay baèng sô ñoà treân.
saùt söï caân baèng cuûa vaät theå hoaëc caùc boä phaän cuûa noù treân hình daïng ban ñaàu.
1.5.2. Giaû thieát veà vaät lieäu.
Giaû thieát naøy xuaát phaùt töø ñieàu kieän cöùng cuûa caùc vaät theå ñöôïc söû duïng trong thöïc teá
Vaät lieäu ñöôïc coi laø lieân tuïc, ñoàng nhaát, ñaúng höôùng vaø ñaøn hoài tuyeán tính. kó thuaät. ñieàu kieän cöùng ñoøi hoûi bieán daïng vaø chuyeån vò lôùn nhaát trong vaät theå phaûi naèm
trong 1 giôùi haïn töông ñoái nhoû. Giaû thieát bieán daïng beù vaø ñaøn hoài tuyeán tính thöôøng ñi
Ta töôûng töôïng laáy 1 phaân toá bao quanh 1 ñieåm trong vaät theå. Neáu cho phaân toá beù
vôùi nhau. Khi bieán daïng lôùn thì vaät lieäu thöôøng theå hieän tính chaát ñaøn hoài phi tuyeán hoaëc
tuøy yù maø vaãn chöùa vaät lieäu thì ta noùi vaät lieäu lieân tuïc taïi ñieåm ñoù. Giaû thieát veà söï lieân tuïc
ñaøn deûo vaø baøi toaùn trôû neân phöùc taïp hôn raát nhieàu.
cuûa vaät lieäu laøm cô sôû ñeå xaây döïng khaùi nieäm öùng suaát vaø bieán daïng taïi 1 ñieåm, cho
pheùp söû duïng caùc pheùp tính cuûa toaùn giaûi tích nhö giôùi haïn, vi phaân, tích phaân… Khi vaät theå coù chuyeån vò beù vaø vaät lieäu ñaøn hoài tuyeán tính thì coù theå aùp nguyeân lyù

coäng taùc duïng nhö sau:
Vaät lieäu lieân tuïc laø moâ hình toaùn hoïc cuûa vaät lieäu thaät, coù caùc ñaëc tröng cô hoïc
gioáng nhö caùc ñaëc tröng vó moâ (xaùc ñònh treân 1 theå tích vaät lieäu ñuû lôùn) töông öùng vôùi vaät Moät ñaïi löôïng do nhieàu nguyeân nhaân ñoàng thôøi gaây ra seõ baèng toång ñaïi löôïng do
lieäu thaät. Trong thöïc teá, ngay caûû vôùi vaät lieäu ñöôïc coi laø hoaøn haûo nhaát nhö kim loaïi thì taùc ñoäng cuûa caùc nguyeân nhaân rieâng leõ.
cuõng coù caáu truùc vi moâ (chaúng haïn, töø möùc ñoä maïng tinh theå trôû ñi) khoâng lieân tuïc theo
nghóa toaùn hoïc. Giaû thieát naøy giuùp cho SBVL traùnh ñöôïc vieäc khaûo saùt caáu truùc vi moâ
cuûa vaät lieäu thaät, laø vieäc raát phöùc taïp, thaäm chí khoâng laøm ñöôïc.

Trang 13 - 177 Trang 14 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2




CHÖÔNG 2: LYÙ THUYEÁT NOÄI LÖÏC – ÖÙNG SUAÁT

2.1. KHAÙI NIEÄM VEÀ NOÄI LÖÏC – PHÖÔNG PHAÙP KHAÛO SAÙT – ÖÙNG
SUAÁT
Nguyeân lyù coäng taùc duïng bieán baøi toaùn phöùc taïp thaønh caùc baøi toaùn ñôn giaûn neân
• Xeùt 1 vaät theå chòu taùc duïng cuûa 1 heä löïc vaø ôû traïng thaùi caân baèng. Tröôùc khi taùc
deã giaûi quyeát hôn. Vì vaäy noù thöôøng ñöôïc söû duïng trong SBVL. duïng löïc, giöõa caùc phaân töû cuûa vaät theå luoân toàn taïi caùc löïc töông taùc giöõ cho vaät theå coù
hình daùng nhaát ñònh. Döôùi taùc duïng cuûa ngoaïi löïc, caùc phaân töû cuûa vaät theå coù khuynh
CAÙC VAÁN ÑEÀ SINH VIEÂN CAÀN NAÉM VÖÕNG ÔÛ CHÖÔNG 1 höôùng nhích laïi gaàn nhau hôn hoaëc taùch xa. Khi ñoù löïc töông taùc giöõa caùc phaân töû cuûa
vaät theå phaûi thay ñoåi ñeå choáng laïi vôùi khuynh höôùng dòch chuyeån naøy. Söï thay ñoåi cuûa
1. Nhieäm vuï vaø ñoái töôïng moân hoïc.
löïc töông taùc giöõa caùc phaân töû trong vaät theå ñöôïc goïi laø noäi löïc. Moät vaät theå khoâng chòu
2. Khaùi nieäm ngoaïi löïc vaø taûi troïng taùc ñoäng. taùc ñoäng naøo töø beân ngoaøi nhö ngoaïi löïc, söï thay ñoåi nhieät ñoä,… thì ñöôïc goïi laø vaät theå ôû
traïng thaùi töï nhieân vaø noäi löïc cuûa noù ñöôïc coi laø baèng khoâng.
3. Phaân loaïi ngoai löïc thöôøng gaëp trong thöïc teá

Ngöôøi ta duøng phöông phaùp maët caét ñeå khaûo saùt noäi löïc trong 1 vaät theå. Xeùt laïi vaät
4. Phaân bieät ñöôïc lieân keát vaø phaûn löïc lieân keát.
theå caân baèng döôùi taùc duïng cuûa ngoaïi löïc. Töôûng töôïng 1 maët phaúng caûét qua vaø chia
5. Phaân bieät ñöôïc caùc goái di ñoäng, goái coá ñònh, ngaøm. Soá löôïng phaûn löïc sinh ra
vaät theå thaønh 2 phaàn A vaø B. Hai phaàn naøy seõ taùc ñoäng laãn nhau baèng heä löïc phaân boá
töông öùng.
treân dieän tích maët tieáp xuùc theo ñònh luaät löïc vaø phaûn löïc. Neáu ta taùch rieâng phaàn A thì
6. Caùc daïng chòu löïc cô baûn trong baøi toaùn SBVL.
heä löïc tc ñoäng töø phaàn B vaøo noù phaûi caân baèng vôùi ngoaïi löïc ban ñaàu nhö treân H.2.2 .
7. Caùc daïng bieán daïng thöôøng gaëp.

8. Caùc giaû thieát quan troïng trong baøi toaùn SBVL.

9. Phaân bieät khaùi nieäm bieán daïng vaø chuyeån vò.

10. Giaûi thíc veà vaät lieäu: lieân tuïc, ñoàng nhaát, ñaúng höôùng vaø ñaøn hoài tuyeán tính.


Baây giôø ta laïi xeùt 1 phaân toá dieän tích bao quanh ñieåm khaûo saùt C treân maët caét coù
phöông phaùp tuyeán. goïi Δ p laø vecto noäi löïc taùc duïng treân dA. Ta ñònh nghóa öùng suaát

Δp d p
toaøn phaàn taïi ñieåm khaûo saùt laø: pv = lim =
ΔA dA
ΔA →0



Thöù nguyeân cuûa öùng suaát : löïc/ [chieàu daøi]2.

Chuù yù raèng: ñònh nghóa öùng suaát nhö treân ñoøi hoûi söï lieân tuïc cuûa vaät theå, nhö ñöôïc
giaû thieát trong phaàn tröôùc.

Ta coù theå phaân öùng suaát toaøn phaàn pv ra 2 thaønh phaàn goàm thaønh phaàn öùng suaát
phaùp σ v höôùng theo phöông phaùp tuyeán vaø thaønh phaàn öùng suaát tieáp τ v naèm trong maët
phaúng theå hieän nhö hình veõ.

Trang 15 - 177 Trang 16 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


Caùc ñaïi löôïng naøy ñöôïc lieân heä thoâng qua bieåu thöùc: p 2v = σ 2v + τ 2v

Trong ñoù: Pix , Piy , Piz hình chieáu cuûa löïc P xuoáng caùc truïc x, y, z

Duøng caùc phöông trình caân baèng momen ñoái vôùi caùc truïc toïa ñoä ta coù:
n n n
M x + ∑ mx (Pi ) = 0 ; M y + ∑ my (Pi ) = 0 ; M z + ∑ mz (Pi ) = 0
i =1 i =1 i =1


Trong ñoù:
Öùng suaát laø 1 ñaïi löôïng cô hoïc ñaëc tröng cho möùc ñoä chòu ñöïng cuûa vaät lieäu taïi
1 thôøi ñieåm; öùng suaát vöôït quaù 1 giôùi haïn naøo ñoù thì vaät lieäu seõ bò phaù hoaïi. Vì vaäy, mx (Pi ) , my (Pi ) , mz (Pi ) : caùc momen cuûa caùc löïc Pi ñoái vôùi caùc truïc x, y, z
vieäc xaùc ñònh öùng suaát laø cô sôû ñeå ñaùnh giaù möùc ñoä an toaøn cuûa vaät lieäu. Do ñoù ñaây laø 1
Baûn chaát cuûa caùch xaùc ñònh Noäi löïc taïi 1 vò trí baát kì chình laø caân baèng löïc cuûa
noäi dung quan troïng cuûa moân SBVL.
phaàn coøn laïi sau khi caét ra.

2.2. CAÙC THAØNH PHAÀN VAØ CAÙCH XAÙC ÑÒNH NOÄI LÖÏC Caùc thaønh phaàn noäi löïc coù lieân heä vôùi caùc thaønh phaàn öùng suaát nhö sau:

+ Löïc doïc laø toång caùc öùng suaát phaùp.
Nhö ñaõ xaùc ñònh trong chöông 1, ñoái töôïng khaûo saùt cuûa SBVL laø nhöõng chi tieát daïng
thanh, ñaëc tröng bôûi maët caét ngang cuûa thanh veà troïng taâm maët caét, sao cho truïc z truøng + Löïc caét laø toång caùc öùng suaát tieáp cuøng phöông vôùi noù.
vôùi phöông phaùp tuyeán cuûa maët caét ngang, coøn 2 truïc kia naèm trong maët caét ngang. Khi
+ Momen uoán laø toång caùc momen gaây ra bôûi caùc öùng suaát ñoái vôùi truïc x hoaëc y.
ñoù ta coù theå phaân tích vecto ra 3 thaønh phaàn theo 3 truïc: thaønh phaàn theo phöông truïc z,
+ Momen xoaén laø toång caùc momen cuûa caùc öùng suaát tieáp ñoái vôùi truïc z.
goïi laø löïc doïc Nz , 2 thaønh phaàn naèm trong maët caét vaø höôùng theo truïc x vaø y, kí hieäu laø
Neáu σ z , τ zx , τ zy goïi laø caùc thaønh phaàn öùng suaát taïi ñieåm Momen(x,y) treân maët caét
Qx vaø Qy , ñöôïc goïi laø löïc caét. Vecto momen cuõng ñöôïc phaân tích ra 3 thaønh phaàn quay
ngang, ta coù bieåu thöùc sau:
quanh 3 truïc ñöôïc kí hieäu laø M x , M y vaø Mz . Caùc momen M x , M y ñöôïc goïi laø momen uoán,
NZ = ∫ σ AdA ; QY = ∫ τ zy dA ; Qx = ∫ τ zx dA
coøn momen Mz ñöôïc goïi laø momen xoaén. Saùu thaønh phaàn naøy ñöôïc goïi laø caùc thaønh
A A A
phaàn noäi löïc treân maët caét ngang nhö ñöôïc minh hoïa treân H.2.4.
M X = ∫ σ A .ydA ; M y = ∫ σ A .xdA ; M z = ∫ (τ zx .y −τ zy .x )dA
A A A


Trong ñoù, dA laø phaân toá dieän tích bao quanh ñieåm M(x,y)

Nhôø coù quan heä maø coù theå tìm ñöôïc caùc thaønh phaàn öùng suaát khi bieát caùc thaønh
phaàn noäi löïc.

Trong tröôøng hôïp baøi toaùn phaúng (ñöôïc xeùt chuû yeáu trong caùc chöông sau) ta chæ coù
3 thaønh phaàn noäi löïc naèm trong maët phaúng yz, bao goàm Nz , Qy , M x .

Quy öôùc daáu cuûa caùc thaønh phaàn noäi löïc naøy nhö sau:
Saùu thaønh phaàn noäi löïc treân 1 maët caét ngang ñöôïc xaùc ñònh töø 6 phöông trình caân
baèng ñoäc laäp cuûa phaàn vaät theå ñöôïc taùch ra, treân ñoù coù taùc duïng cuûa ngoaïi löïc ban ñaàu + Löïc doïc ñöôïc xem laø döông khi coù chieàu höôùng ra ngoaøi maët caét (nghóa laø gaây keùo
vaø caùc thaønh phaàn noäi löïc. söû duïng caùc phöông trình caân baèng hình chieáu caùc löïc treân cho ñoaïn thanh ñang xeùt )
caùc truïc toïa ñoä, ta ñöôïc:
+ Löïc caét ñöôïc xem laø döông khi coù khuynh höôùng laøm quay ñoaïn thanh ñang xeùt
n n n
theo chieàu kim ñoàng hoà.
Nz + ∑ Piz = 0 ; Qy + ∑ Piy = 0 ; Qx + ∑ Pix = 0
i =1 i =1 i =1



Trang 17 - 177 Trang 18 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


+ Momen uoán ñöôïc xem laø döông khi noù laøm caêng thôù döôùi. rằng tung độ biểu đồ momen uốn luôn luôn được lấy về phía thớ bị căng và có thể không cần
xét đến dấu.
Treân hình minh hoïa caùc noäi löïc cuûa baøi toaùn phaúng ñaët theo chieàu döông.
Ví dụ 1 : Vẽ biểu đồ nội lực của dầm chịu lực như hình vẽ (Hình 1-8)
Bài giải:
Xác định phản lực gối tựa VA và VB




Hệ trục toạ độ được xác định như trên hình vẽ. Xét nội
lực trên mặt cắt ngang 1-1 nào đó có hoành độ z.
Xét sự cân bằng của phần bên trái của thanh. Ðặt các
thành phần nội lực trên mặt cắt theo chiều dương như hình
2.3. BIEÅU ÑOÀ NOÄI LÖÏC vẽ. Lập các phương trình cân bằng :

Thoâng thöôøng, caùc noäi löïc treân moïi maët caét ngang cuûa 1 thanh laø khoâng gioáng
nhau. Ñöôøng cong bieåu dieãn söï bieán thieân cuûa caùc noäi löïc theo vò trí cuûa caùc maët caét
goïi laø bieåu ñoà noäi löïc.

Nhôø vaøo bieåu ñoà noäi löïc ta coù theå xaùc ñònh vò trí maët caét coù trò soá noäi löïc lôùn nhaát
cuõng nhö trò soá ñoù laø bao nhieâu.




Ñeå veõ bieåu ñoà noäi löïc ta söû duïng phöông phaùp maët caét caûét ngang qua thanh ôû 1 vò trí
baát kì cuûa toïa ñoä z. Xeùt söï caân baèng cuûa 1 phaàn, ta vieát ñöôïc bieåu thöùc giaûi tích cuûa noäi
Phương trình của momen uốn là hàm bậc II theo z
löïc theo z. Sau ñoù, veõ ñöôøng bieåu dieãn treân heä truïc toïa ñoä coù truïc hoaønh song song vôùi
truïc thanh maø ta goïi laø ñöôøng chuaån, choïn tung ñoä cuûa bieåu ñoà noäi löïc seõ ñöôïc dieãn taû
bôûi caùc ñoaïn thaúng vuoâng goùc caùc ñöôøng chuaån.
Biểu đồ nội lực của thanh như hình 1-9
Ðể thấy được phần nào sự biến dạng của thanh ta quy ước rằng đối với các biểu đồ lực
cắt, tung độ dương được biểu diễn về phía trên của trục hoành, còn đối với biểu đồ momen
uốn thì tung độ dương được biểu diễn về phía dưới của trục hoành. Với cách vẽ đó ta thấy Ví dụ 2 : vẽ biểu đồ nội lực của thanh đặt trên 2 gối tựa và chịu tác dụng của một lực tập
trung P đặt cách gối tựa bên trái một khoảng cách a như hình vẽ (1-10)

Trang 19 - 177 Trang 20 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


Ví dụ 3: vẽ biểu đồ nội lực của thanh đặt trên hai gối tựa, chịu tác dụng của momen tập
Bài giải:
trung M0 như hình vẽ 1-12
Xác định các phản lực ở gối tựa : VA , VB
Bài giải:
Xét điều kiện cân bằng của thanh, ta tính được trị số các phản lực là




Vì các đoạn AC và CB có nội lực khác nhau nên ta phải tính riêng cho từng đoạn
a. Ðoạn AC:
Chiều của VA hướng xuống dưới và chiều của VB hướng lên
Các phương trình cân bằng
Vì các đoạn AC và CB có nội lực khác nhau nên ta phải tính riêng cho từng đoạn :
a. Ðoạn AN
Lập phương trình cân bằng của phần bên trái




Mx = 0 : Mx + VA.z = 0 => Mx = - VA.z
b. Ðoạn CB:
z = 0 => Mx = 0
Các phương trình cân bằng



b. Ðoạn CB:
Lập phương trình cân bằng của phần bên phải:




Biểu đồ nội lực như hình 1-11




z = l => Mx = 0
Nhận xét sơ bộ:

Vôùi caùc bieåu ñoà noäi löïc trong caùc ví duï 2 vaø 3 ta nhaän thaáy raèng nôi naøo coù löïc
taäp trung thì nôi ñoù coù böôùc nhaûy cuûa bieåu ñoà löïc caét, nôi naøo coù momen taäp trung thì
nôi ñoù coù böôùc nhaûy cuûa bieåu ñoà momen.

Thaät vaäy, giaû söû coù moät thanh chòu löïc baát kyø taïi moät maët caét ngang C naøo ñoù,
thanh chòu taùc duïng cuûa löïc taäp trung P vaø moät momen M0.




Trang 21 - 177 Trang 22 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


Töôûng töôïng taùch moät ñoaïn thanh coù chieàu daøi voâ cuøng beù baèng caùc maët caét chieàu daøi coù cöôøng ñoä q(z) höôùng theo chieàu döông. Vì dz laø raát beù neân coù theå xem taûi
ngang 1-1 vaø 2-2 caùch nhau moät ñoaïn dz ôû veà 2 phía cuûa maët caét C vaø xeùt söï caân baèng troïng laø phaân boá ñeàu treân ñoaïn dz. Vieát phöông trình caân baèng hình chieáu caùc löïc treân
phöông thaúng ñöùng ta coù: Qy + q( z )dz − (Qy + dQy ) = 0
cuûa phaân toá.
Viết phương trình hình chiếu theo phương thẳng đứng và phương trình momen đối dQy
Töø ñoù, ta coù: q( z ) =
với trọng tâm mặt cắt 2-2 ta có :
dz
Qy + P - (Qy+DQy) = 0
Vaäy: Ñaïo haøm cuûa löïc caét baèng cöôøng ñoä cuûa löïc phaân boá vuoâng goùc vôùi truïc thanh.

+ Löïc phaân boá ñöôïc xem laø döông neáu coù chieàu höôùng leân treân.
Bỏ qua lượng bé Qy.dz vàĠ (bé so với Mx , M0 ), ta sẽ rút ra + Löïc phaân boá ñöôïc xem laø aâm neáu coù chieàu höôùng xuoáng.
được :
Vieát phöông trình caân baèng ñoái vôùi troïng taâm maët caét 2-2 ta ñöôïc:
dz
Qy dz + q( z )dz. + M x − (M x + dM x ) = 0
2
Töø ñoù nhaän thaáy dM x
dz
boû qua löôïng voâ cuøng beù baäc hai: q( z )dz. neân ta coù: Qy =
dz
2
Nôi naøo coù löïc taäp trung thì nôi ñoù coù böôùc nhaûy cuûa bieåu ñoà löïc caét. Böôùc

Vaäy ñaïo haøm cuûa momen uoán taïi 1 maët caét baèng löïc caét taïi maët caét ñoù.
nhaûy coù trò soá baèng trò soá cuûa löïc taäp trung .
Nôi naøo coù momen taäp trung thì bieåu ñoà momen ôû nôi ñoù coù böôùc nhaûy. Trò soá
• d 2M x
Vaø ta coù: q( z ) =
böôùc nhaûy baèng trò soá momen taäp trung dz 2

nghóa laø: ñaïo haøm baäc hai cuûa momen uoán taïi 1 ñieåm chính laø baèng cöôøng ñoä cuûa taûi
2.4. LIEÂN HEÄ VI PHAÂN GIÖÕA NOÄI LÖÏC VAØ TAÛI TROÏNG PHAÂN BOÁ
troïng phaân boá taïi ñieåm ñoù.
2.4.1. Thanh thaúng:
2.4.2. Thanh cong:
Xeùt 1 daàm chòu taûi troïng baát kì. Giöõa cöôøng ñoä cuûa taûi troïng phaân boá q(z), löïc caét Qy
Tham khaûo theâm trong caùc taøi lieäu tham khaûo.
vaø momen uoán M x taïi moät maët caét baát kì z, seõ toàn taïi caùc lieân heä vi phaân nhaát ñònh maø
thoâng qua caùc bieåu thöùc. ta nhaän thaáy laø ñaïo haøm cuûa momen uoán laø löïc caét, ñaïo haøm
2.5. CAÙCH VEÕ BIEÅU ÑOÀ THEO NHAÄN XEÙT
cuûa löïc caét laø löïc phaân boá.


2.5.1. Caùch aùp duïng nguyeân lyù coäng taùc duïng
Trong phaàn noùi treân, caùc bieåu ñoà noäi löïc ñöôïc veõ thoâng qua caùc bieåu thöùc giaûi tích
coøn ñöôïc goïi laø phöông phaùp giaûi tích. Ngoaøi ra khi thanh chòu taùc duïng cuûa nhieàu loaïi
taûi troïng, ta coù theå veõ bieåu ñoà noäi löïc trong thanh do töøng tröôøng hôïp taûi troïng rieâng leõ
gaây ra roài coäng ñaïi soá ñeå ñöôïc keát quaû cuoái cuøng.
Thaät vaäy, xeùt ñoaïn thanh vi phaân coù chieàu daøi dz, ñöôïc giôùi haïn bôûi 2 maët caét 1-1, 2-
2.5.2. Caùch veõ theo töøng ñieåm.
2 nhö treân. Noäi löïc taùc duïng treân maët caét 1-1 laø Löïc caét vaø M. noäi löïc taùc duïng treân maët
Döïa treân caùc lieân heä vi phaân ta coù theå ñònh daïng caùc bieåu ñoà noäi löïc tuøy theo daïng
caét 2-2 so vôùi maët caét 1-1 ñaõ taêng theâm 1 ñoïan vi phaân dQ vaø dM vaø trôû thaønh Löïc caét
taûi troïng ñaõ cho vaø töø ñoù ta xaùc ñònh soá ñieåm caàn thieát ñeå veõ bieåu ñoà.
Qy + dQ vaø Momen M x + d M x . Taûi troïng taùc duïng treân thanh naøy laø löïc phaân boá theo

Trang 23 - 177 Trang 24 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


Neáu bieåu ñoà coù daïng haèng soá ta chæ caàn xaùc ñònh 1 ñieåm baát kì, coøn bieåu ñoà coù daïng
CAÙC VAÁN ÑEÀ SINH VIEÂN CAÀN NAÉM VÖÕNG ÔÛ CHÖÔNG 2
baäc nhaát ta caàn tính noäi löïc taïi 2 ñieåm ñaàu thanh, neáu bieåu ñoà coù daïng baäc hai trôû leân thì
can ba giaù trò taïi ñieåm ñaàu, ñieåm cuoái vaø nôi coù cöïc trò, neáu khoâng coù cöïc trò thì caàn bieát
1. Phaân bieät khaùi nieäm noäi löïc vaø öùng suaát.
chieàu loài loõm cuûa bieåu ñoà theo daáu cuûa ñaïo haøm baäc hai. Ñoaïn thanh coù löïc phaân boá q
2. Qui öôùc daáu cuûa caùc giaù trò noâi löïc khi xeùt maët caét.
höôùng xuoáng seõ aâm, neân beà loõm cuûa bieåu ñoà momen höôùng leân. Ngöôïc laïi, neáu q
höôùng leân seõ döông neân beà loõm cuûa bieåu ñoà momen seõ höôùng xuoáng. 3. Thaønh thaïo xaùc ñònh noäi löïc theo phöông phaùp maët caét cuûa caùc daàm ñôn giaûn.
4. Vaän duïng toát caùc nhaän xeùt trong vieäc veõ bieåu ñoà Noäi löïc.
Toùm laïi, ñöôøng cong momen coù beà loõm sao cho höùng laáy löïc phaân boá q.
5. Hoïc thuoäc loøng giaù trò phaûn löïc vaø bieåu ñoà noäi löïc cuûa caùc sô ñoà ñôn giaûn sau (12
so ñoà)
2.6. TOÙM TAÉT NHAÄN XEÙT

Qui öôùc ñi töø traùi sang phaûi:

1. Momen uoán taïi goái coá ñònh, goái di ñoäng ôû vò trí bieân thì baèng 0.

2. Ñoaïn coù löïc phaân boá ñeàu höôùng xuoáng thì löïc caét laø daáu huyeàn, momen laø ñöôøng
cong baäc 2 loõm xuoáng höùng löïc (aùp duïng tính chaát q.a^2/8)

3. Vò trí coù löïc taäp trung thì löïc caét coù böôùc nhaûy theo chieàu cuûa löïc taäp trung, momen
gaõy khuùc theo hình daïng cuûa löïc taäp trung. ( ñoä cheânh leäch momen chính laø dieän tích cuûa
bieåu ñoà löïc caét; chuù yù momen döông: phía döôùi -> cheânh leäch döông ñi xuoáng)

4. Vò trí coù momen taäp trung quay thuaän kim thì bieåu ñoà momen tröôït xuoáng chính
baèng giaù trò taäp trung.

5. Ñoä cheânh leäch löïc caét trong ñoaïn coù löïc phaân boá q laø q.a

6. Ñoaïn khoâng coù löïc phaân boá ñeàu thì löïc caét laø ñöôøng naèm ngang, momen laø ñöôøng
ngang hoaëc ñöôøng xieân.

7. Chuù yù caùc vò trí tieáp tuyeán taïi caùc vò trí coù löïc phaân boá vaø khoâng coù löïc phaân boá.

8. Momen ñöôïc veõ theo thôù caêng (khoâng caàn ñeå daáu nhöng phaûi hieåu ngaàm: momen
aâm veõ ôû treân)

9. Kieåm tra laïi taïi 1 soá vò trí nuùt khung hoaëc taïi 1 soá vò trí phöùc taïp.




Trang 25 - 177 Trang 26 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


3.1.2. Giaû thuyeát veà caùc thôù doïc
CHÖÔNG 3 : KEÙO – NEÙN ÑUÙNG TAÂM Trong quaù trình bieán daïng, caùc thôù doïc khoâng eùp leân nhau cuõng khoâng ñaåy nhau
ra.
3.1. KHAÙI NIEÄM YÙ nghóa cuûa giaû thuyeát naøy laø thaønh phaàn öùng suaát phaùp treân caùc maët caét doïc
σx = σy = 0
phaûi baèng khoâng.
Trong chöông naøy chuùng ta seõ nghieân cöùu tröôøng hôïp chòu löïc ñôn giaûn nhaát cuûa
thanh thaúng - thanh chòu keùo hoaëc neùn ñuùng taâm. Ðoù laø moät trong nhöõng baøi toaùn cô Ngoaøi hai giaû thuyeát treân, ta vaãn coi vaät lieäu laøm vieäc trong giôùi haïn ñaøn hoài: vaät
baûn cuûa söùc beàn vaät lieäu. lieäu tuaân theo ñònh luaät Huùc: quan heä giöõa öùng suaát vaø bieán daïng laø baäc nhaát:

Ta goïi moät thanh chòu keùo hay neùn ñuùng taâm laø thanh chòu löïc sao cho treân σ z = E. ε z
moïi maët caét ngang chæ coù thaønh phaàn löïc doïc Nz.
Trong ñoù: E: moñun ñaøn hoài, laø haèng soá ñoái vôùi moãi loaïi vaät lieäu.
Ñeå tính öùng suaát treân maët caét ngang ta laøm thí nghieäm vôùi thanh maët caét ngang
ε z : bieán daïng daøi töông ñoái theo phöông z.
chöõ nhaät chòu keùo ñuùng taâm.
Ta gaëp tröôøng hôïp naøy khi thanh chòu taùc duïng cuûa löïc ôû 2 ñaàu thanh, doïc truïc thanh
Tröôùc khi cho thanh chòu löïc, vaïch leân maët thanh nhöõng ñöôøng thaúng song song
coù 2 trò soá baèng nhau vaø traùi chieàu. Thanh chòu keùo ñuùng taâm hay chòu neùn ñuùng taâm.
vôùi truïc töôïng tröng cho caùc thôù doïc vaø nhöõng ñöôøng vuoâng goùc vôùi truïc thanh töôïng
Thöïc teá coù theå gaëp caùc caáu kieän chòu keùo hay neùn ñuùng taâm nhö: daây caùp trong caàn
tröng cho caùc maët caét ngang, chuùng taïo thaønh maïng löôùi oâ vuoâng. Sau khi thanh bò
caåu, oáng khoùi, caùc thanh trong daøn.
bieán daïng ta thaáy caùc ñöôøng thaúng song song vaø vuoâng goùc vôùi truïc thanh vaãn coøn
song song vaø vuoâng goùc vôùi truïc nhöng maïng löôùi oâ vuoâng ñaõ trôû thaønh maïng löôùi oâ
3.2. ÖÙNG SUAÁT TREÂN MAËT CAÉT NGANG
chöõ nhaät (hình 2-1).

Döïa vaøo nhaän xeùt treân, ta ñöa ra 2 giaû thuyeát cô baûn sau ñaây ñeå laøm cô sôû cho
Xeùt thanh thaúng chòu keùo hay neùn ñuùng taâm (H.3.3a) caùc maët caét ngang CC vaø DD
vieäc tính öùng suaát vaø bieán daïng cuûa thanh chòu keùo, neùn ñuùng taâm:
tröôùc khi thanh chòu löïc caùch nhau dz vaø vuoâng goùc truïc thanh. Caùc thôù doïc trong ñoaïn
CD (nhö GH) baèng nhau (H.3.3b).

Khi thanh chòu keùo (neùn), noäi löïc treân maët caét ngang DD hay baát kì maët caét ngang
khaùc laø Nz = P (H.3.3c) thanh seõ daõn ra, maët caét DD di chuyeån doïc truïc thanh z so vôùi
δ dz
maët caét CC 1 ñoaïn beù (H.3.3b).


3.1.1. Giaû thuyeát maët caét ngang phaúng
Trong quaù trình bieán daïng maët caét ngang cuûa thanh luoân luoân giöõ phaúng vaø vuoâng
goùc vôùi truïc cuûa thanh.
YÙ nghóa cuûa giaû thuyeát naøy laø treân maët caét ngang chæ coù thaønh phaàn öùng suaát
σ z maø khoâng theå coù thaønh phaàn öùng suaát tieáp τ . Thaät vaäy, neáu coù thaønh phaàn
phaùp
öùng suaát tieáp thì maët caét ngang cuûa thanh sau bieán daïng seõ khoâng coøn phaúng vaø
vuoâng goùc vôùi truïc thanh nöõa, nhö vaäy löôùi oâ vuoâng seõ khoâng trôû thaønh löôùi oâ chöõ
nhaät. (Hình 2-1).



Trang 27 - 177 Trang 28 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


Ta thaáy bieán daïng caùc thôù doïc nhö GH ñeàu baèng HH’ vaø khoâng ñoåi, maët caét ngang Nz
ΔL = ∫ δ dz; ΔL = ∫ (3.2)
dz
trong suoát quaù trình bieán daïng vaãn phaúng vaø vuoâng goùc vôùi truïc thanh, ñieàu naøy cho EA
L L
σ z khoâng ñoåi (H.3.3d)
thaáy caùc ñieåm treân maët caét ngang chæ coù öùng suaát phaùp
Tröôøng hôïp E khoâng ñoåi, A laø haèng soù vaø N z cuõng khoâng ñoåi treân suoát chieàu daøi L
∫ σ z dA = N z
Ta coù cuûa thanh, ta seõ ñöôïc :
A
Nz Nz L
EA ∫
ΔL = ΔL =
σ z = const (3.3)
Vì neân ta ñöôïc : dz;
EA
L
Nz
σz =
σ z A = Nz hay (3.1) Neáu thanh goàm nhieàu ñoaïn chieàu daøi Li vaø treân moãi ñoaïn N z , E, A khoâng ñoåi thì ta
A
seõ coù :
vôùi A laø dieän tích maët caét ngang cuûa thanh.
N zi Li
ΔL = ∑ ΔLi = ∑ (3.3’)
3.3. BIEÁN DAÏNG CUÛA THANH CHÒU KEÙO HAY NEÙN ÑUÙNG TAÂM EA
Tích soá EA ñöôïc goïi laø ñoä cöùng khi chòu keùo hay neùn ñuùng taâm cuûa thanh. Ñoâi khi
3.3.1. Bieán daïng doïc
ngöôøi ta coøn duøng ñoä cöùng töông ñoái EA/L laø tyû soá ñoä cöùng vaø chieàu daøi thanh.
δ dz (H.3.3b). Nhö vaäy bieán daïng daøi
Bieán daïng doïc truïc z cuûa ñoaïn daøi dz chính laø
δ dz 3.3.2. Bieán daïng ngang
εz =
töông ñoái cuûa ñoaïn dz laø: (a)
Theo phöông ngang thanh cuõng coù bieán daïng, ta choïn z laø truïc thanh, x, y laø caùc
dz
ε y laø bieán daïng daøi töông ñoái theo 2
εx
phöông vuoâng goùc vôùi z (H.3.3d). Neáu ta goïi vaø
σz
εz =
Theo ñònh luaät Hooke, ta coù: (b)
ε x = ε y = −νε z
phöông x vaø y, thì ta coù quan heä : (3.4)
E
Trong ñoù:
ν:
Trong ñoù heä soá Poisson, laø haèng soá tuøy loaïi vaät lieäu vaø coù giaù trò töø 0 ñeán 0,5
E : laø haèng soá tyû leä, ñöôïc goïi laø moâñun ñaøn hoài khi keùo (neùn), noù phuï thuoäc vaøo vaät (xem baûng 3.1)
⎡ ⎤
löïc Daáu (-) trong bieåu thöùc chæ raèng bieán daïng theo phöông doïc vaø ngang ngöôïc
⎥ , ñôn vò N/m2
lieäu vaø coù thöù nguyeân ⎢
⎢ (chieàu daøi )2 ⎥ nhau.
⎣ ⎦

Baûng 3.1 : Trò soá E cuûa 1 soá vaät lieäu (tham khaûo trong taøi lieäu)
3.4. ÑAËC TRÖNG CÔ HOÏC CUÛA VAÄT LIEÄU

3.4.1. Khaùi nieäm
Vaán ñeà cuûa chuùng ta laø caàn phaûi so saùnh ñoä beàn, ñoä cöùng cuûa vaät lieäu khi chòu löïc
δ dz , sau ñoù theá (b) vaøo, ta ñöôïc bieán daïng daøi doïc truïc cuûa ñoaïn dz laø
Töø (a) ta tính
vôùi öùng suaát bieán daïng cuûa vaät lieäu cuøng loaïi ñaõ bieát. Ta caàn thí nghieäm keùo, neùn ñeå
σz Nz
δ dz = ε z dz = dz =
: (c)
dz tìm hieåu tính chaát chòu löïc vaø quaù trình bieán daïng töø luùc baét ñaàu chòu löïc ñeán luùc
E EA
phaù hoûng cuûa caùc loaïi vaät lieäu khaùc nhau.
Suy ra bieán daïng daøi (daõn daøi khi thanh chò keùo, co ngaén khi thanh chòu neùn) cuûa 1
Caên cöù vaøo bieán daïng vaø söï phaù hoûng, khaû naêng chòu keùo, neùn khaùc nhau ngöôøi ta
ñoaïnt hanh coù chieàu daøi L laø :
phaân vaät lieäu thaønh 2 loaïi cô baûn : vaät lieäu deûo laø vaät lieäu bò phaù hoaïi khi bieán daïng khaù



Trang 29 - 177 Trang 30 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


AD:Giai ñoaïn chaûy, löïc keùo khoâng taêng nhöng bieán daïng taêng lieân
lôùn nhö theùp, ñoàng , nhoâm…; vaät lieäu gioøn laø vaät lieäu bò phaù hoaïi khi bieán daïng coøn nhoû tuïc. Löïc keùo
nhö gang, ñaù, beâtoâng… Pch
σ ch =
töông uùng laø löïc chaûy Pch vaø ta coù giôùi haïn chaûy: (3.6)
Nhö vaäy, ta coù 4 thí nghieäm cô baûn sau: A0
ΔL
DBC: Giai ñoaïn cuûng coá (taùi beàn), töông quan giöõa löïc P vaø bieán daïng laø ñöôøng
3.4.2. Thí nghieäm keùo vaät lieäu deûo (theùp)
P
σb = b
cong. Löïc lôùn nhaát laø löïc beàn Pb vaø ta coù giôùi haïn: (3.7)
3.4.2.1. Maãu thí nghieäm: A0
Theo tieâu chuaån TCVN 197 – 85 (H.3.5)
Neáu ta goïi chieàu daøi maãu sau khi ñöùt (H.3.7) laø L1 vaø dieän tích maët caét ngang nôi ñöùt
Chieàu daøi L0 thí nghieäm laø ñoaïn thanh ñöôøng kính d0, dieän tích A0. laø A1 thì ta coù caùc ñònh nghóa ñaëc tröng cho tính deûo cuûa vaät lieäu nhö sau:

L1 − L0
δ=
Bieán daïng daøi töông ñoái (tính baèng %): (3.8)
100%
L0
A0 − A1
ψ=
Ñoä thaét tæ ñoái (tính baèng %): (3.9)
100%
A0

3.4.2.2. Thí nghieäm σ − ε (bieåu ñoà quy öôùc)
3.4.2.4. Bieåu ñoà
Taêng löïc keùo töø 0 ñeán khi maãu ñöùt, vôùi boä phaän veõ bieåu ñoà cuûa maùy keùo, ta nhaän Töø bieåu ñoà P − ΔL ta deã daøng suy ra bieán daïng töông quan giöõa öùng suaát
ΔL
ñöôïc ñoà thò quan heä giöõa löïc keùo P vaø bieán daïng daøi cuûa maãu nhö H.3.6. Ngoaøi ra, σ z = P / A0 vaø bieán daïng daøi töông ñoái ε z = ΔL / L0 .
sau khi maãu bò ñöùt ta chaép laïo, maãu seõ xoù hình daùng nhö H.3.7.




P − ΔL
Bieán daïng naøy coù hình daïng gioáng nhö bieán daïng (H.3.8). Treân bieán daïng
σ
3.4.2.3. Phaân tích keát quaû = tan α
σ tl ,σ ch , σ b E=
chæ roõ vaø caû moâñun ñaøn hoài :
ε
Quaù trình chòu löïc cuûa vaät lieäu coù theå chia laøm 3 giai ñoaïn.
εz
Neáu keå ñeán söï bieán ñoåi dieän tích maët caét ngang ta seõ coù bieán daïng töông quan vaø
OA: giai ñoaïn ñaøn hoài, töông quan giöõa P vaø ΔL baäc nhaát. Löïc lôùn nhaát trong giai
öùng suaát thöïc (ñöôøng neùt ñöùt).
ñoaïn naøy laø löïc tæ leä Ptl, öùng suaát töông öùng trong maãu laø giôùi haïn tæ leä:

Ptl
σ tl = (3.5)
A0




Trang 31 - 177 Trang 32 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


vaät lieäu deûo khi keùo vaø neùn nhö nhau. Con ñoái vôùi vaät lieäu doøn giôùi haïn beàn khi keùo beù
hôn nhieàu so vôùi giôùi haïn beàn khi neùn. Ví duï gang xaùm coù giôùi haïn beàn khi keùo laø
2,5kN/cm2 coøn giôùi haïn beàn khi neùn coù theå ñaït ñeán 10kN/cm2.


3.5. ÖÙNG SUAÁT CHO PHEÙP – HEÄ SOÁ AN TOAØN – BA BAØI TOAÙN CÔ
BAÛN

3.5.1. Öùng suaát cho pheùp:
σ 0 , laø trò soá öùng suaát maø uùng vôùi noù vaät lieäu ñöôïc
Ta goïi öùng suaát nguy hieåm, kí hieäu
3.4.3. Thí nghieäm keùo vaät lieäu doøn
xem laø bò phaù hoaïi. Ñoái vôùi vaät lieäu deûo σ 0 = σ ch , ñoái vôùi vaät lieäu doøn σ 0 = σ b .
Bieán daïng keùo vaät lieäu doøn coù daïng ñöôøng cong (H.3.9). Vaät lieäu khoâng coù giôùi haïn tæ
Pb Nhöng khi cheá taïo, vaät lieäu thöôøng khoâng ñoàng chaát hoaøn toaøn, vaø trong quaù trình söû
σb =
leä vaø giôùi haïn chaûy maø chæ coù giôùi haïn beàn: (3.10)
duïng taûi troïng coù theå vöôït qua taûi troïng thieát keá, ñieàu kieän laøm vieäc cuûa keát caáu hay chi
A0
tieát chöa ñöôïc xem xeùt ñaày ñuû, caùc giaû thieát tính toaùn chöa ñuùng vôùi söï laøm vieäc cuûa keát
Tuy vaäy, ngöôøi ta cuõng qui öôùc 1 giôùi haïn ñaøn hoài naøo ñoù vaø xem ñoà thò quan heä löïc
σ 0 . Chuùng ta phaûi choïn 1 heä soá an toaøn n>1 ñeå xaùc
caáu. Vì theá ta khoâng tính toaùn theo
keùo vaø bieán daïng laø ñöôøng thaúng (ñöôøng quy öôùc)
σ0
[σ ] =
ñònh öùng suaát cho pheùp: (3.15)
n
[σ ] ñeå tính toaùn.
vaø duøng trò soá


3.5.2. Heä soá an toaøn:
Heä soá an toaøn thöôøng do nhaø nöôùc hay hoäi ñoàng kó thuaät cuûa nhaø maùy qui ñònh.

Ñeå choïn heä soá an toaøn ñöôïc chính xaùc, nhieàu khi ngöôøi ta phaûi choïn nhieàu heä soá
theo rieâng töøng nguyeân nhaân daãn ñeán söï khoâng an toaøn cuûa coâng trình hay chi tieát maùy,
coù theå neâu ra:
3.4.4. Thí nghieäm neùn vaät lieäu deûo
- Heä soá keå ñeán ñoä ñoàng chaát cuûa vaät lieäu
Maãu neùn vaät lieäu deûo (vaø gioøn) thöôøng coù daïng hình truï troøn hay hình laäp phöông
- Heä soá keå ñeán söï vöôït quaù taûi troïng thieát keá
(H.3.10b). Bieán daïng neùn vaät lieäu deûo nhö H.3.10a. Ta chæ xaùc ñònh ñöôïc giôùi haïn tæ leä
vaø giôùi haïn chaûy, maø khoâng xaùc ñònh ñöôïc giôùi haïn beàn do söï phình ngang cuûa maãu - Heä soá keå ñeán söï laøm vieäc taïm thôøi hay laâu daøi
laøm cho dieän tích maët caét ngang cuûa maãu lieân tuïc taêng leân. Sau thí nghieäm, maãu coù
Nhö vaäy, muoán ñaûm baûo söï laøm vieäc an toaøn veà ñoä beàn khi thanh chòu keùo hay neùn
daïng hình troáng (H.3.10c).
ñuùng taâm, öùng suaát trong thanh phaûi thoûa maõn ñieàu kieän beàn laø:

3.4.5. Thí nghieäm neùn vaät lieäu doøn Nz
≤ [σ ]
σz = (3.16)
P − ΔL
Bieán daïng quan heä khi neùn vaät lieäu doøn cuõng laø ñöôøng cong töông töï bieán A
daïng keùo vaät lieäu doøn. Ta chæ xaùc ñònh ñöôïc giôùi haïn beàn töông öùng vôùi löïc neùn phaù
3.5.3. Ba baøi toaùn cô baûn:
hoûng Pb > Maãu thí nghieäm bò vôõ ñoät ngoät, coù hình daïng noùn (H.3.10.d). Nghieân cöùu caùc
Töø ñieàu kieän beàn, ta coù 3 baøi toaùn cô baûn:
thí nghieäm keùo vaø neùn caùc vaät lieäu deûo vaø doøn, ngöôøi ta thaáy raèng : giôùi haïn chaûy cuûa

Trang 33 - 177 Trang 34 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


- Kieåm tra beàn : laø kieåm tra xem öùng suaát trong thanh coù thoûa maõn ñieàu kieän beàn Ðoái vôùi kim loaïi, neáu öùng suaát ban ñaàu caøng lôùn, moâi tröôøng laøm vieäc coù nhieät ñoä
caøng cao thì hieän töôïng sau taùc duïng xaûy ra caøng roõ reät. Hieän töôïng sau taùc duïng ñöôïc
Nz
≤ [σ ] ± 5%
σz =
khoâng?
chia ra:
A
a./ Hieän töôïng chuøng
- Choïn kích thöôùc maët caét ngang : ñaây laø baøi toaùn thieát keá, ta phaûi ñònh kích thöôùc
maët caét ngang cuûa thanh sao cho ñaûm baûo ñieàu kieän beàn. Töø (3.16) ta coù : Hieän töôïng chuøng laø hieän töôïng bieán daïng thay ñoåi theo thôøi gian khi öùng suaát ñöôïc
giöõ khoâng ñoåi.
N
A≥ ± 5%
[σ ] Thí nghieäm cho thaáy, neáu taùc duïng vaøo maãu moät löïc ñuû lôùn ñeå maãu coù theå bieán
daïng deõo, sau ñoù giöõ cho löïc khoâng ñoåi thì ta thaáy maãu bò bieán daïng lieân tuïc theo thôøi
- Ñònh taûi troïng cho pheùp : töø (3.16) ta deã daøng xaùc ñònh ñöôïc noäi löïc lôùn nhaát coù
gian. Ta goïi ñoù laø hieän töôïng chuøng .
N z ≤ [σ ] A ± 5% N z = [σ ] A
theå ñaït ñöôïc cuûa thanh laø: hay
Ban ñaàu thanh coù bieán daïng töùc thôøi (0 (ñöôøng OA), bieán daïng naøy coù theå laø ñaøn hoài
[ N z ] ta coù theå tìm ñöôïc trò soá cho pheùp cra taûi troïng taùc duïng leân coâng trình hay hay ñaøn hoài deõo tuøy theo trò soá cuûa taûi troïng. Ta coù theå chia ñoà thò treân laøm 3 giai ñoaïn:
Töø

chi tieát maùy. - Ðoaïn AB: bieåu dieãn giai ñoaïn thöù nhaát cuûa hieän töôïng chuøng, toác ñoä bieán daïng
(bieán daïng deõo) luùc ñaàu taêng nhanh, sau giaûm daàn do vaät lieäu bò bieán cöùng.
3.6. MOÄT SOÁ HIEÄN TÖÔÏNG PHAÙT SINH KHI VAÄT LIEÄU CHÒU LÖÏC - Ðoaïn BC: bieåu dieãn giai ñoaïn thöù hai cuûa hieän töôïng chuøng, toác ñoä bieán daïng
trong giai ñoaïn naøy ñöôïc xem nhö khoâng ñoåi trong moät thôøi gian daøi do hieän töôïng bieán
3.6.1. Hieän töôïng bieán cöùng
cöùng vaø hieän töôïng chuøng tröø khöû laãn nhau .
Hieän töôïng bieán cöùng laø hieän töôïng taêng giôùi haïn ñaøn hoài cuûa vaät lieäu bò bieán daïng
- Ðoaïn CD: bieåu dieãn giai ñoaïn phaù hoaïi cuûa vaät lieäu: toác ñoä bieán daïng taêng nhanh
deõo. Trong thí nghieäm, neáu maãu coøn laøm vieäc trong giai ñoaïn ñaøn hoài thì ñöôøng bieåu
daàn ñeán luùc phaù hoaïi. Hieän töôïng chuøng caøng taêng laøm cho tính bieán cöùng cuûa vaät lieäu
dieãn seõ laø ñöôøng OA. Maãu seõ phuïc hoài laïi hình daïng vaø kích thöôùc ban ñaàu. Nhöng neáu
caøng giaûm .
löïc vöôït quaù giai ñoaïn ñaøn hoài thì khi boû löïc, vaät seõ coù bieán daïng dö. Ðöôøng bieåu dieãn khi
Nhöõng caùnh tuoác- bin trong nhaø maùy nhieät ñieän laøm vieäc ôû nhieät ñoä cao, do hieän
boû löïc seõ song song nhöng khoâng truøng vôùi OA. Sau ñoù neáu cho maãu chòu löïc ta laïi thaáy
töôïng chuøng laøm cho caùnh tuoác- bin daõn daøi ra coù theå gaây va ñaäp vaøo thaønh oáng.
giôùi haïn ñaøn hoài taêng leân so vôùi vaät lieäu ban ñaàu. Vaät lieäu bieán daïng dö khi taêng giaûm
löïc lieân tuïc coù giôùi haïn tæ leä cao hôn, nhöng bieán daïng deõo keùm hôn vaät lieäu ban ñaàu. b./ Hieän töôïng raõo
Hieän töôïng vaät lieäu giaûm bieán daïng deûo vaø naâng cao giôùi haïn tyû leä goïi laø hieän töôïng Hieän töôïng raõo laø hieän töôïng öùng suaát thay ñoåi theo thôøi gian do söï xuaát hieän bieán
bieán cöùng . daïng deõo trong vaät theå chòu löïc khi bieán daïng toaøn phaàn ñöôïc giöõ khoâng ñoåi.
Hieän töôïng naøy coù luùc ta phaûi loaïi tröø ñeå khoâi phuïc tính deõo ban ñaàu cuûa vaät lieäu, coù Hieän töôïng raõo thöôøng thaáy ôû caùc buloâng noái ôû caùc moái noái cuûa noài hôi ...
luùc ngöôøi ta lôïi duïng ñeå taêng beàn beà maët chi tieát trong quaù trình coâng ngheä hoaëc neùn
Buloâng coù hai ñaàu coá ñònh neân ñoä daõn daøi toaøn phaàn cuûa noù khoâng ñoåi nhöng do
theo chu kyø ñeå taêng beàn cho caùc coät truï beâtoâng coát theùp (beâtoâng tieàn aùp) .
hieän töôïng chuøng laøm bieán daïng deõo ngaøy moät taêng neân öùng suaát ngaøy moät giaûm. Bieán
Hieäu öùng Bauschinger: hieän töôïng giaûm giôùi haïn beàn neùn neáu laàn tröôùc maãu chòu daïng deõo ngaøy moät taêng laøm cho bieán daïng ñaøn hoài ngaøy moät giaûm, ñöa ñeán söï giaûm
keùo maø laàn sau chòu neùn . öùng suaát.

Hieän töôïng raõo cuûa buloâng ôû caùc moái noái coù theå gaây ra hieän töôïng thaåm thaáu hôi
3.6.2. Hieän töôïng sau taùc duïng
trong caùc noài hôi, oáng daãn hôi...
Hieän töôïng sau taùc duïng laø hieän töôïng xuaát hieän bieán daïng deõo theo thôøi gian laøm
thay ñoåi öùng suaát vaø bieán daïng trong vaät theå chòu taùc duïng cuûa ngoaïi löïc.


Trang 35 - 177 Trang 36 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


Ta phaûi laäp phöông trình thöù hai, ñoù laø phöông trình bieán daïng. Vì thanh bò ngaøm
3.7. KHAÙI NIEÄM VEÀ SÖÏ TAÄP TRUNG ÖÙNG SUAÁT
ôû hai daàu neân bieán daïng toaøn phaàn phaûi baèng 0, do ñoù phöông trình bieán daïng ñöôïc
Trong phaàn treân, chuùng ta ñaõ tìm ra luaät phaân boá öùng suaát treân caùc maët caét ngang vieát laø: Dl = 0
cuûa nhöõng thanh hình truï chòu keùo hoaëc neùn ñuùng taâm laø phaân boá ñeàu. Töø ñoù chuùng ta
Töôûng töôïng taùch boû ngaøm B vaø thay vaøo ñoù laø phaûn löïc VB.
ñaõ thöøa nhaän raèng söï phaân boá öùng suaát treân moïi maët caét ngang cuûa thanh coù maët caét
Töø caùc phöông trình thieát laäp ta tìm ñöôïc caùc phaûn löïc VA vaø VB vaø töø ñoù coù theå
thay ñoåi theo baäc cuõng laø phaân boá ñeàu. Ðieàu ñoù chæ ñuùng vôùi nhöõng maët caét ôû xa nhöõng
tính ñöôïc öùng suaát trong thanh.
vò trí coù kích thöôùc thay ñoåi ñoät ngoät. Khi maët caét coù hình daùng, kích thöôùc thay ñoåi ñoät
ngoät thì treân nhöõng maët caét taïi nhöõng choå thay ñoåi ñoù söï phaân boá öùng suaát khoâng coøn
CAÙC VAÁN ÑEÀ SINH VIEÂN CAÀN NAÉM VÖÕNG ÔÛ CHÖÔNG 3
ñeàu nöõa.

Lyù thuyeát ñaøn hoài ñaõ chöùng minh raèng, khi keùo hoaëc neùn moät taám chöõ nhaät coù loã troøn 1. Naém vöõng khaùi nieäm: modun ñaøn hoài heä soá an toaøn, öùng suaát cho pheùp.
beù, öùng suaát lôùn nhaát taïi meùp loã seõ lôùn gaáp 3 laàn öùng suaát taïi caùc maët caét xa loã. 2. Phaân bieät ñöôïc vaät lieäu deûo, vaät lieäu doøn.
3. Bieán daïng chuû yeáu cuûa thanh chòu keùo, neùn ñuùng taâm
Ngöôøi ta goïi hieän töôïng phaân boá khoâng ñeàu cuûa öùng suaát taïi caùc maët caét ngang coù
4. Coâng thöùc tính toaùn öùng suaát phaùp vaø kieåm tra ñieàu kieän beàn.
hình daïng vaø kích thöôùc thay ñoåi hoaëc ôû gaàn caùc ñieåm ñaët löïc laø hieän töôïng taäp trung
5. Vaän duïng baøi toaùn coäng taùc duïng ñeå ñôn giaûn hoùa baøi toaùn.
öùng suaát.
6. Thaønh thaïo giaûi quyeát 3 baøi toaùn cô baûn cuûa SBVL.
Vì hieän töôïng taäp trung öùng suaát coù tính chaát cuïc boä neân öùng suaát taïi caùc nôi naøy
7. Vaän duïng ñieàu kieän bieán daïng trong ñieàu kieän laøm vieäc vaøo baøi toaùn sieâu tænh.
ñöôïc goïi laø öùng suaát cuïc boä.
8. Tính toaùn caùc giaù trò öùng suaát phaùp taïi 1 maët caét baát kì, öùng suaát phaùp cöïc trò.
ÖÙng suaát cuïc boä lôùn hay beù phuï thuoäc vaøo daïng thay ñoåi cuûa maët caét ngang . Söï
thay ñoåi maët caét caøng ñoät ngoät thì söï phaân boá cuûa öùng suaát caøng khoâng ñeàu. Vì vaäy,
trong kyõ thuaät ñeå giaûm hieän töôïng taäp trung öùng suaát ñoái vôùi caùc chi tieát coù maët caét
ngang thay ñoåi ta phaûi laøm cho söï thay ñoåi maët caét laø töø töø. Caàn phaûi heát söùc traùnh söï
thay ñoåi maët caét ngang ñoät ngoät, vì nhö vaäy seõ gaây ra öùng suaát cuïc boä lôùn.


3.8. BAØI TOAÙN SIEÂU TÓNH

Heä sieâu tónh laø heä maø ngöôøi ta khoâng theå tính ñöôïc noäi löïc ôû taát caû caùc boä
phaän neáu chæ söû duïng caùc ñieàu kieän tónh hoïc

Ðeå giaûi baøi toaùn SIEÂU TÓNH naøy ta phaûi thieát laäp theâm phöông trình bieán daïng.


Ví duï: Xeùt thanh bò ngaøm ôû hai ñaàu chòu löïc nhö hình veõ. (Hình 2-19)
Döôùi taùc duïng cuûa löïc P taïi caùc ngaøm A vaø B phaùt sinh phaûn löïc VA vaø VB

Vieát phöông trình caân baèng leân phöông thaúng ñöùng ta ñöôïc:

VA + VB - P = 0

Nhö vaäy ta coù moät phöông trình caân baèng nhöng phaûi tìm hai aån soá VA vaø VB .




Trang 37 - 177 Trang 38 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


caïnh cuûa phaân toá. Traïng thaùi öùng suaát cuûa phaân toá seõ ñöôïc bieåu dieãn nhö treân H.4.2.
CHÖÔNG 4 : TRAÏNG THAÙI ÖÙNG SUAÁT Treân caùc maët cuûa phaân toá seõ xoù 9 thaønh phaàn öùng suaát, goàm 3 öùng suaát phaùp
σ x ,σ y ,σ z τ xy ,τ yz ,τ zx ,τ yx ,τ zy ,τ xz , . Moãi thaønh phaàn öùng suaát coù 2
vaø 6 öùng suaát tieáp

4.1. KHAÙI NIEÄM TRAÏNG THAÙI ÖÙNG SUAÁT TAÏI 1 ÑIEÅM chæ soá. Chæ soá thöù nhaát chæ roõ phöông phaùp tuyeán cuûa maët toïa ñoä coù öùng suaát taùc
duïng, chæ soá thöù 2 xaùc ñònh phöông taùc duïng cuûa thaønh phaàn öùng suaát.
4.1.1. Traïng thaùi öùng suaát
τ xy
Ví duï laø thaønh phaàn öùng suaát tieáp taùc duïng treân maët vuoâng goùc vôùi truïc x vaø coù
Ta ñaõ laøm quen vôùi khaùi nieäm öùng suaát ôû chöông 2 (noäi löïc vaø öùng suaát) vaø ñaõ tính
höôùng SONG SONG vôùi truïc y. Ñoái vôùi öùng suaát phaùp, 2 chæ soá truøng nhau neân quy öôùc
öùng suaát trong tröôøng hôïp thanh chòu löïc ñôn giaûn ôû chöông 3 (keùo, neùn ñuùng taâm).
σx
chæ vieát 1 chæ soá cho goïn. Chaúng haïn, laø öùng suaát phaùp treân beà maët vuoâng goùc vôùi
Xeùt 1 vaät theå ñaøn hoài caân baèng döôùi taùc duïng cuûa ngoaïi löïc (H.4.1). Treân caùc maët
truïc x.
caét ñi qua ñieåm K cuûa vaät theå, ta coù theå xaùc ñònh ñöôïc caùc thaønh phaàn öùng suaát phaùp vaø
öùng suaát tieáp. Caùc thaønh phaàn öùng suaát naøy seõ thay ñoåi tuøy theo vò trí cuûa moãi maët caét
ñi qua K. Ta xeùt taäp hôïp taát caû nhöõng öùng suaát treân moïi maët caét ñi qua K, taïo thaønh
traïng thaùi öùng suaát taïi ñieåm naøy.




4.1.2.b. Quy öôùc daáu
Tröôùc tieân, caùc maët cuûa phaân toá öùng suaát ñöôïc quy öôùc laø maët döông hoaëc aâm neáu
phaùp tuyeán cuûa maët ñoù cuøng chieàu hoaëc ngöôïc chieàu vôùi caùc truïc toïa ñoä.
Nhö vaäy, traïng thaùi öùng suaát taïi 1 ñieåm bao goàm taát caû nhöõng thaønh phaàn öùng
Ta quy öôùc thaønh phaàn öùng suaát coù daáu döông neáu noù taùc duïng treân maët döông vaø
suaát treân caùc maët caét ñi qua ñieåm ñoù.
cuøng chieàu vôùi truïc toïa ñoä hoaëc neáu taùc duïng treân maët aâm thì noù ngöôïc chieàu vôùi truïc
Traïng thaùi öùng suaát taïi 1 ñieåm ñaëc tröng cho möùc ñoä chòu löïc cuûa vaät theå taïi ñieåm toïa ñoä. Trong tröôøng hôïp ngöôïc laïi, öùng suaát ñöôïc coi laø aâm.
ñoù. Nhöõng thaønh phaàn öùng suaát cuûa traïng thaùi öùng suaát taïi 1 ñieåm coù lieân heä vôùi nhau.
Coù theå nhôù quy öôùc daáu naøy baèng 1 quy taéc ñôn giaûn : neáu caëp chæ soá maët vaø
Bôûi vaäy, chuùng ta caàn nghieân cöùu traïng thaùi öùng suaát, tìm ra ñaëc ñieåm moái lieân heä giöõa
phöông keát hôïp thaønh döông – döông hoaëc aâm – aâm thì öùng suaát laø döông, coøn khi caùc
öùng suaát, xaùc ñònh öùng suaát nguy hieåm ñeå töø ñoù tính toaùn ñoä beàn vaø ñoaùn bieát daïng phaù
chæ soá keát hôïp thaønh aâm – döông hoaëc döông – aâm thì öùng suaát laø aâm.
hoûng cuûa vaät theå chòu löïc.
Chaúng haïn, caùc thaønh phaàn öùng suaát treân H.4.2 ñeàu mang daáu döông.
4.1.2. Bieåu dieãn traïng thaùi öùng suaát
Vôùi caùch quy öôùc treân, öùng suaát keùo, höôùng theo phaùp tuyeán ngoaøi cuûa beø maët, coù
daáu döông. COØn öùng suaát neùn, höôùng vaøo beà maët, laø aâm.
4.1.2.a. Phöông phaùp nghieân cöùu
Qui öôùc öùng suaát tieáp: töø öùng suaát phaùp döông quay 90 ñoä ra öùng suaát tieáp döông.
Ñeå bieåu dieãn traïng thaùi öùng suaát taïi 1 ñieåm trong vaät theå, ta töôûng töôïng taùch 1 phaân
toá hình laäp phöông voâ cuøng beù bao boïc laáy ñieåm K. Phaân toá beù ñeán möùc theå tích cuûa noù
gaàn nhö baèng 0, khi ñoù coù theå xem nhö caùc beà maët cuûa phaân toá ñi qua ñieåm K. Ñeå
thuaän lôïi cho vieäc tính toaùn, ta choïn heä truïc toïa ñoä xyz coù caùc truïc song song vôùi caùc

Trang 39 - 177 Trang 40 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


4.1.3. Ñònh luaät ñoái öùng cuûa öùng suaát tieáp ⎡σ x τ xy τ xz ⎤
⎢ ⎥
Phaân toá hình hojp taùch ra töø vaät theå ñaøn hoài taïi ñieåm K phaûi ôû traïng thaùi caân baèng veà Tσ = ⎢τ yõ σ y τ yz ⎥
löïc vaø moâmen. ⎢τ τ σ ⎥
⎣ zx zy z ⎦
Xeùt caân baèng veà löïc taùc duïng leân phaân toá, ta coù theå thu ñöôïc caùc phöông trình vi
Chuù yù raèng, khi ta bieåu dieãn traïng thaùi öùng suaát qua caùc phaân toá öùng suaát vôùi caùc heä
phaân caân baèng laø heä phöông trình cô baûn cuûa lí thuyeát ñaøn hoài. Tuy vaäy, trong SBVL ñeå
toïa ñoä khaùc nhau, caùc thaønh phaàn öùng suaát treân caùc beà maët cuûa phaân toá öùng suaát tuy
ñôn giaûn hoùa ngöôøi ta thöôøng söû duïng caùc giaû thuyeát thay cho vieäc giaûi caùc phöông trình
thay ñoåi song chuùng vaãn bieåu dieãn cuøng 1 traïng thaùi öùng suaát.
naøy cho neân phöông trình vi phaân caân baèng khoâng ñöôïc ñeà caäp tôùi ôû ñaây.

4.1.4. Maët chính, phöông chính vaø öùng suaát chính. Phaân loaïi traïng
thaùi öùng suaát
Lí thuyeát ñaøn hoài chöùng minh ñöôïc raèng taïi 1 ñieåm baát kì cuûa vaät theå luoân toàn taïi
3 maët töông hoã vuoâng goùc maø treân caùc maët ñoù chæ taùc duïng öùng suaát phaùp chöù
khoâng coù öùng suaát tieáp. Nhöõng maët ñoù goïi laø maët chính. Phöông vuoâng goùc vôùi maët
chính goïi laø phöông chính . Öùng suaát phaùp taùc duïng treân maët chính goïi laø öùng suaát
σ1 .
chính vaø ñöôïc kí hieäu laø Caùc öùng suaát chính ñöôïc quy öôùc saép xeáp theo thöù töï
σ1 > σ 2 > σ 3 .
Ví duï, cho 3 öùng suaát chính chính laø 200N/cm2 , -400N/cm2 , -500N/cm2.
Ñeå xeùt caân baèng veà moâmen cuûa phaân toá treân, choïn 1 truïc SONG SONG vôùi truïc z vaø
σ 1 = 200 N / cm 2 ; σ 2 = −400 N / cm 2 ; σ 3 = −500 N / cm 2 ;
Theo quy öôùc :
ñi qua troïng taâm cuûa phaân toá. Treân H.4.3 chæ bieåu dieãn nhöõng löïc tham gia vaøo phöông
trình caân baèng moâmen ñoái vôùi truïc z vaø phöông trình naøy ñöôïc vieát nhö sau:
τ xy dxdydz = τ yx dxdydz (4.1)

trong ñoù, boû qua moâmen cuûa nhöõng löïc voâ cuøng beù baäc cao, chaúng haïn nhö löïc
τ xy = τ yx
khoái. Ta thu ñöôïc: (4.2)

Töông töï, vieát phöông trình caân baèng moâmen ñoái vôùi 2 truïc coøn laïi, ta thu ñöôïc bieåu
τ yz = τ zy ; τ xz = τ zx
thöùc: (4.3)

Nhö vaäy, ta thu ñöôïc nguyeân lí ñoái öùng cuûa öùng suaát tieáp : treân 2 maët vuoâng goùc, Traïng thaùi öùng suaát ñöôïc phaân loaïi nhö sau:
caùc öùng suaát tieáp coù trò soá baèng nhau vaø coù chieàu cuøng höôùng vaøo caïnh chung hoaëc
Neáu caû 3 öùng suaát chính khaùc 0, ñieåm ôû traïng thaùi öùng suaát khoái (H.4.5a)
cuøng taùch khoûi caïnh chung (xem H.4.4)
Neáu coù 2 öùng suaát chính khaùc 0, ñieåm ôû traïng thaùi öùng suaát phaúng (H.4.5b)
Do tính chaát ñoái öùng cuûa öùng suaát tieáp, taïi 1 ñieåm cuûa vaät theå chuùng ta chæ coù 6
Neáu chæ coù 1 öùng suaát chính khaùc 0, ñieåm ôû traïng thaùi öùng suaát ñôn (H.4.5c)
σ x ,σ y ,σ z
thaønh phaàn öùng suaát ñoäc laäp vôùi nhau laø 3 öùng suaát phaùp vaø 3 öùng suaát tieáp

τ xy ,τ yz ,τ zx . Traïng thaùi öùng suaát khoái vaø traïng thaùi öùng suaát phaúng goïi laø traïng thaùi öùng suaát
Caùc thaønh phaàn öùng suaát naøy ñöôïc bieåu dieãn qua caùc phaàn töû cuûa 1 ma
phöùc taïp.
trrajn ñoái xöùng goïi laø ma traän öùng suaát:
Ñeå nghieân cöùu traïng thaùi öùng suaát taïi 1 ñieåm, ta caàn xaùc ñònh maët chính, phöông
chính, caùc öùng suaát cöïc trò…taïi ñieåm ñoù. Traïng thaùi öùng suaát ñôn ñaõ ñöôïc giôùi thieäu ôû
Trang 41 - 177 Trang 42 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


chöông 3. Trong chöông naøy, ta seõ ng traïng thaùi öùng suaát phaúng vaø traïng thaùi öùng suaát Ta caàn phaûi xaùc ñònh öùng suaát treân maët caét nghieâng SONG SONG vôùi truïc z vaø coù
α α > 0 khi quay ngöôïc chieàu kim ñoàng
khoái. phaùp tuyeán u taïo vôùi truïc x 1 goùc (ta quy öôùc
σ x , σ y ,τ xy . Töôûng töôïng caét phaân toá
hoà keå töø truïc x), vôùi giaû thieát laø ñaõ bieát öùng suaát
4.2. TRAÏNG THAÙI ÖÙNG SUAÁT PHAÚNG baèng 1 maët caét nghieâng chia phaân toá ra laøm 1 phaàn, ta xeùt caân baèng cuûa 1 phaàn phaân toá
(H.4.7).
Baøi toaùn phaúng thöôøng hay gaëp trong kó thuaät. Ngöôøi ta thöôøng ñôn giaûn hoùa baøi toaùn
σu τ uv vaø
Treân maët nghieâng, öùng suaát kí hieäu vaø coù theå ñöôïc xaùc ñònh töø phöông
sao cho öùng suaát trong boä phaän coâng trình hay chi tieát maùy ñöôïc ñöa veà xaùc ñònh chæ
trong 1 maët phaúng. Chaúng haïn, neáu khoâng coù ngoaïi löïc taùc duïng leân 1 beà maët naøo ñoù trình caân baèng tónh hoïc. Ñeå thieát laäp phöông trình caân baèng, caàn tìm caùc löïc taùc duïng
cuûa vaät theå, khi ñoù öùng suaát phaùp vaø öùng suaát tieáp seõ = 0 treân beà maët vaø nhö vaäy seõ ôû leân caùc beà maët cuûa phaân toá. Dieän tích cuûa maët beán traùi (maët x aâm), cuûa maët ñaùy (maët y
traïng thaùi öùng suaát phaúng. aâm) vaø cuûa maët nghieâng laø dydz, dxdz vaø dsdz . Chieáu taát caû caùc löïc beà maët leân truïc u,
ta coù phöông trình thöù nhaát:
4.2.1. Caùch bieåu dieãn
σ u dsdz − σ x dzdy cos α − τ xy dzdy sin α − σ y dzdx sin α − τ xy dzdx cos α = 0
Töông töï, chieáu löïc taùc duïng leân phaân toá theo truïc v, ta ñöôïc phöông trình thöù 2:

τ uv dsdz + σ x dzdy sin α − τ xy dzdy cos α − σ y dzdx cos α − τ xy dzdx sin α = 0
τ xy = τ yx
Söû duïng tính chaát ñoái öùng cuûa öùng suaát tieáp:

dx = ds sin α ; dy = ds cos α
Vaø chuù yù raèng , sau khi giaûn öôùc vaø saép xeáp laïi, ta thu
ñöôïc caùc phöông trình sau:

σ u = σ x cos 2 α + σ y sin 2 α + 2τ xy sin α cos α (4.4a)
Xeùt 1 phaân toá voâ cuøng beù nhö treân H.4.6a. Öùng suaát treân maët vuoâng goùc vôùi truïc z
baèng 0 vaø maët naøy laø 1 maët chính vì coù öùng suaát tieáp baèng 0. Ñeã deã hình dung, ta bieåu τ uv = −(σ x − σ y )sin α cos α + τ xy (cos 2 α − sin 2 α ) (4.4b)
dieãn phaân toá treân maët phaúng baèng caùch chieáu toaøn boä leân maët phaúng Kxy (H.4.6b). Ñeå
Duøng caùc heä thöùc löôïng giaùc :
xaùc ñònh traïng thaùi öùng suaát taïi 1 ñieåm, caàn xaùc ñònh caùc thaønh phaàn öùng suaát treân 1
maët caét nghieâng baát kì. 1 1
cos 2 α = (1 + cos 2α ); sin 2 α = (1 − cos 2α )
2 2
4.2.2 Öùng suaát treân maët caét nghieâng. Phöông phaùp giaûi tích
1
sin α cos α = sin 2α
2
Phöông trình (4.4) coù theå bieán ñoåi thaùnh 1 daïng tieän söû duïng hôn:

σx +σ y σ x −σ y
σu = cos 2α + τ xy sin 2α
+ (4.5a)
2 2
σ x −σ y
τ uv = − sin 2α + τ xy cos 2α (4.5b)
2
Ñaây laø phöông trình xaùc ñònh öùng suaát treân maët caét nghieâng vaø coøn ñöôïc goïi laø
phöông trình chuyeån ñoåi öùng suaát, bôûi vì noù bieán ñoåi caùc thaønh phaàn öùng suaát töø heä truïc

Trang 43 - 177 Trang 44 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


tan 2α 0
naøy sang heä truïc khaùc. Töø phöông trình (4.5), ta coù theå ruùt ra 1 heä quaû quan troïng. Neáu 1
sin 2α 0 = ± ; cos2α 0 = ± (4.9)
α α + 90
thay theá baèng nhö treân (H.4.8) ta thu ñöôïc öùng suaát phaùp taùc duïng treân beà
0
1 + tan 2α 0 1 + tan 2 2α 0
2

maët v:
Ñöa vaøo (4.5a), ta ñöôïc caùc öùng suaát chính, hay öùng suaát phaùp cöïc trò.
σx +σ y σ x −σ y
σv = cos 2α − τ xy sin 2α
− (4.6)
σx +σ y ⎛ σ x −σ y ⎞
2
2 2
σ max = ⎟ + τ xy
±⎜ (4.10)
2

⎝2⎠
Laáy toång 2 phöông trình (4.5a) vaø (4.6), ta coù: 2
min


σu +σv = σ x +σ y (4.7)
4.2.3.b. Öùng suaát tieáp cöïc trò
Bieåu thöùc treân cho thaáy, toång cuûa öùng suaát phaùp taùc duïng treân 2 maët vuoâng goùc cuûa Ta tìm öùng suaát tieáp cöïc trò vaø maët phaân toá treân ñoù coù taùc duïng öùng suaát tieáp cöïc trò
phaân toá öùng suaát phaúng taïi ñieåm laø haèng soá vaø khoâng phuï thuoäc vaøo goùc α . α
baèng caùch laáy ñaïo haøm cuûa τ uv ñoái vôùi vaø cho ñaïo haøm naøy baèng 0, ta coù:

dτ uv
4.2.3. Öùng suaát chính vaø öùng suaát tieáp cöïc trò
= −(σ x − σ y ) cos 2α − 2τ xy sin 2α = 0 (4.11)

Töø phöông trình (4.5),ta thaáy öùng suaát phuï thuoäc vaøo goùc nghieâng cuûa maët caét. Ta
caàn xaùc ñònh vò trí maët caét, treân ñoù taùc duïng öùng suaát phaùp vaø öùng suaát tieáp cöïc trò. σ x −σ y
tan 2α = −
töø ñoù : (4.12)
2τ xy
4.2.3.a. ÖÙùng suaát chính vaø phöông chính
Ngoaøi maët chính laø maët ñaõ bieát vuoâng goùc vôùi truïc z, ta nhaän thaáy 2 maët chính coøn laïi 1
tan 2α = −
So saùnh 2 phöông trình (4.12) vôùi (4.8) ta ñöôïc: (4.13)
phaûi laø nhöõng maët SONG SONG vôùi truïc z ( vì phaûi vuoâng goùc vôùi maët chính ñaõ coù). tan 2α 0
Treân maët chính khoâng coù öùng suaát tieáp cho neân ta tìm 2 maët chính coøn laïi baèng caùch
2α = 2α 0 ± k 900 α = α 0 ± k 450
Nhö vaäy, ta coù : hay laø :
τ uv
cho trong (4.5b) baèng 0.
Ta coù theå keát luaän raèng, maët coù öùng suaát tieáp cöïc trò taïo vôùi nhöõng maët chính 1 goùc
α 0 laø goùc
Nhö vaäy, neáu goïi cuûa phöông chính hôïp vôùi truïc x thì ñieàu kieän ñeå tìm
0
45 .
σ x −σ y
sin 2α + τ xy cos 2α = 0

phöông chính laø: Theá (4.12) vaøo (4.9), roài sau ñoù thay (4.9) aøo (4.5b), ta tìm ñöôïc giaù trò cuûa öùng suaát
2
tieáp cöïc trò treân nhöõng maët SONG SONG vôùi truïc z:
2τ xy
α0 : tan 2α 0 =
Töø ñoù, ta coù phöông trình xaùc ñònh (4.8)
⎛ σ x −σ y ⎞
2
σ x −σ y
τ max = ⎜ ⎟ + τ xy (4.14)
2

⎝ 2⎠
α0
min
0
Phöông trình naøy coù 2 nghieäm sai khaùc nhau 180 , töùc laø coù 2 giaù trò khaùc nhau 1
0
Ta coù theå thu ñöôïc 1 bieåu thöùc khaùc cuûa öùng suaát tieáp cöïc trò töø caùc giaù trò cuûa öùng
goùc 90 . Vì vaäy, ta coù theå keát luaän raèng coù 2 maët chính vuoâng goùc vôùi nhau vaø SONG
σ1 σ 2 , ta coù:
suaát chính ñöôïc xaùc ñònh trong coâng thöùc (4.10). Laáy giaù trò tröø ñi
SONG vôùi truïc z. Treân moãi maët chính coù 1 öùng suaát chính taùc duïng.

σ1 − σ 2
Ta nhaän thaáy 2 öùng suaát chính naøy ñoàng thôøi cuõng laø öùng suaát phaùp cöïc trò (kí hieäu laø
τ max = (4.15)
σ1 σ 1 ). Thaät vaäy, laáy ñaïo haøm cuûa öùng suaát phaùp trong (4.5a) theo goùc α
hay roài cho 2
=0, ta laïi thu ñôïc phöông trình xaùc ñònh goùc (4.8). Giaù trò öùng suaát chính coù theå tính ñöôïc
α
baèng caùch theá ngöôïc trò soá cuûa trong (4.8) vaøo (4.5a). Ñeå yù raèng:




Trang 45 - 177 Trang 46 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


4.2.4. Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät: σx +σ y ⎞ ⎛ σ x −σ y ⎞
2 2

⎜σ u − ⎟ + τ uv = ⎜ ⎟ + τ xy (4.19a)
2 2

⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
4.2.4.a. Traïng thaùi öùng suaát phaúng ñaëc bieät:
σ x = σ ; σ y = 0; τ xy = τ
Phaân toá treân H.4.12 coù : σx +σ y ⎛ σ −σ y ⎞
2

⎟ + τ xy
c= ; R =⎜ x
Ñaët (4.19b)
2 2

⎝ 2⎠
σ1 σ3 2
Theo coâng thöùc (4.10), ta tính ñöôïc 2 öùng suaát chính vaø nhö sau :

(σ u − c ) + τ uv = R 2
σ
2
ñaúng thöùc (4.19a) trôû thaønh : (4.20)
2
1
σ max = σ 1,3 = σ 2 + 4τ 2
± (4.16)
2 2
min
σ τ,
Trong heä truïc toïa ñoä, vôùi truïc hoaønh vaø truïc tung ñaây laø phöông trình cuûa 1
Ñoù laø 1 ñaëc ñieåm cuûa traïng thaùi öùng suaát phaúng (coù 2 öùng suaát chính) maø ta seõ gaëp ñöôøng troøn coù taâm naèm treân truïc hoaønh caùch goác toïa ñoä 1 ñoaïn baèng c vaø coù baùn kính
ôû tröôøng hôïp thanh chòu uoán. R xaùc ñònh theo coâng thöùc (4.19b). Nhö vaäy, caùc giaù trò öùng suaát phaùp vaø öùng suaát tieáp
treân taát caû caùc maët SONG SONG vôùi truïc z cuûa phaân toá ñeàu bieåu thò baèng toïa ñoä nhöõng
(HÌNH VEÕ)
ñieåm treân voøng troøn. ta goïi voøng troøn bieåu thò traïng thaùi öùng suaát cuûa phaân toá laø voøng
4.2.4.b. Traïng thaùi tröôït thuaàn tuùy troøn öùng suaát hay voøng troøn Morh öùng suaát cuûa phaân toá.
σ x = σ y = 0; τ xy = τ
ÔÛ ñaây,

σ max = σ 1,3 = ±τ σ 1 = −σ 3 = τ
Thay vaøo (4.10), ta coù hay laø : (4.17)
min


Hai phöông chính ñöôïc xaùc ñònh theo coâng thöùc (4.8) nhö sau :

π π
α0 =
tan 2α 0 = ∞ +k
hay laø : (4.18)
4 2
Nhö vaäy, nhöõng phöông chính xieân goùc 450 vôùi truïc x vaø y.
4.2.5.b. ÖÙng suaát treân maët caét nghieâng.
4.2.5. Bieåu dieãn hình hoïc traïng thaùi öùng suaát. Voøng troøn Morh

4.2.5.a. Voøng troøn Morh öùng suaát 4.3. LIEÂN HEÄ ÖÙNG SUAÁT VAØ BIEÁN DAÏNG: ÑÒNH LUAÄT HOOKE
Coâng thöùc xaùc ñònh öùng suaát treân maët caét nghieâng (4.5) coù theå bieåu dieãn döôùi daïng
4.3.1. Lieân heä öùng suaát phaùp vaø bieán daïng daøi
hình hoïc baèng voøng troøn Morh. Caùch bieåu dieãn hình hoïc naøy cho ta thaáy roõ moái quan heä
giöõa öùng suaát phaùp vaø öùng suaát tieáp taùc duïng treân taát caû caùc maët nghieâng ñi qua 1 ñieåm ÔÛ phaàn treân, khi nghieân cöùu traïng thaùi öùng suaát taïi 1 ñieåm trong vaät theå, ta ñöa ra
trong vaät theå ôû traïng thaùi phaúng. Ñeå veõ voøng troøn Morh, ta saép xeáp laïi phöông trình (4.6) caùc phöông trình hoaøn toaøn töø vieäc xeùt caân baèng tónh hoïc chöù khoâng ñeà caùcajp tôùi tính
nhö sau: chaát cuûa vaät lieäu. Song ñeå tính toaùn bieán daïng trong vaät theå, chuùng ta caàn phaûi nghieân
σx +σ y σ x −σ y cöùu tính chaát vaät lieäu, töùc laø xeùt moái lieân heä giöõa öùng suaát vaø bieán daïng ñoái vôùi vaät lieäu
σu − cos 2α + τ xy sin 2α
= cuï theå. Nhö ñaõ giaû thieát ôû chöông 1 vaät lieäu laø lieân tuïc, ñoàng chaát, ñaúng höôùng vaø ñaøn
2 2
hoài tuyeán tính töùc laø tuaân theo ñònh luaät Hooke. Vôùi caùc giaû thieát treân, ta coù theå deã daøng
σ x −σ y
nhaän ñöôïc moái quan heä giöõa bieán daïng vaø öùng suaát trong vaät theå.
τ uv = − sin 2α + τ xy cos 2α (4.19)
2
Laáy bình phöông caû 2 veá cuûa 2 ñaúng thöùc noùi treân roài coäng chuùng laïi, ta thu ñöôïc :

Trang 47 - 177 Trang 48 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


- Traïng thaùi öùng suaát ñôn : trong chöông 3, ta ñaõ coù coâng thöùc cuûa ñònh luaät Hooke lieân heä giöõa bieán daïng daøi töông ñoái vaø öùng suaát phaùp theo 3 phöông vuoâng goùc baát kì
σ x, y, z ta vaãn coù coâng thöùc:
lieân heä giöõa öùng suaát phaùp vaø bieán daïng daøi trong traïng thaùi öùng suaát ñôn: ε =
E 1
εx = ⎡σ x − v(σ y + σ z ) ⎤
Trong ñoù : ε : laø bieán daïng daøi töông ñoái theo phöông öùng suaát
σ . Khi ñoù, theo E⎣ ⎦
phöông vuoâng goùc vôùi σ cuõng coù bieán daïng daøi töông ñoái ε ' ngöôïc daáu vôùi ε . 1
ε y = ⎡σ y − v(σ z + σ x ) ⎤ (4.30)
E⎣ ⎦
σ
ε ' = −vε = −v
1
E
ε z = ⎡σ z − v(σ x + σ y ) ⎤
E⎣ ⎦
- Traïng thaùi öùng suaát khoái : baây giôø, giaû söû ta coù phaân toá ôû traïng thaùi öùng suaát khoái
σ 1 ,σ 2 ,σ 3 Nhöõng coâng thöùc (4.27), (4.30) bieåu thò ñònh luaät Hooke toång quaùt ñoái vôùi bieán daïng
vôùi caùc öùng suaát chính theo 3 phöông chính I, II, III (H.4.20).
daøi.
ε1
Ta tìm bieán daïng daøi töông ñoái theo phöông chính I cuûa phaân toá. AÙp duïng nguyeân
4.3.2. Lieân heä giöõa öùng suaát tieáp vaø bieán daïng goùc
lí coäng taùc duïng, ta xeùt bieán daïng daøi töông ñoái do töøng öùng suaát gaây ra theo phöông I.

σ1 - Traïng thaùi öùng suaát phaúng : ta xeùt phaân toá öùng suaát ôû traïng thaùi tröôït thuaàn tuùy, treân
ε1 (σ 1 ) =
σ1
Bieán daïng daøi theo phöông I do gaây ra :
τ xy . Öùng suaát tieáp seõ laøm
maët beân song song vôùi truïc z cuûa phaân toá chæ coù öùng suaát tieáp
E
bieán daïng caùc maët phaân toá vuoâng goùc vôùi truïc z laøm cho nhöõng maët naøy trôû thaønh hình
σ2
ε1 (σ 2 ) = −v
σ2
Bieán daïng daøi theo phöông I do gaây ra :
γ xy
bình haønh (H.4.24). Bieán daïng goùc (goùc tröôït) bieåu thò söï thay ñoåi goùc vuoâng (goùc
E
tröôït giöõa 2 maët x vaø y). Giöõa öùng suaát tieáp vaø goùc tröôït coù moái lieân heä baäc nhaát goïi laø
σ3
σ3 ε1 (σ 3 ) = −v
Bieán daïng daøi theo phöông I do gaây ra : τ xy
γ xy =
E ñònh luaät Hooke veà tröôït : (4.31a)
G
Bieán daïng daøi theo phöông I do caû 3 öùng suaát (………) sinh ra seõ laø toång cuûa 3 bieán
⎡ ⎤
daïng treân:
löïc
⎢ ⎥
Trong ñoù: G : moâñun ñaøn hoài tröôït thöù nguyeân cuûa G laø vaø
⎢ (chieàu daøi ) ⎥
2
1
[σ 1 − v(σ 2 + σ 3 )]
ε1 = ε1 (σ 1 ) + ε1 (σ 2 ) + ε1 (σ 3 ) = (4.27) ⎣ ⎦
E
ñôn vò thöôøng duøng laø N/m2 hay MN/m2. Moâñun ñaøn hoài tröôït laø 1 haèng soá vaät lí coù theå
Laäp luaän töông töï ñoái vôùi bieán daïng daøi töông ñoái theo 2 phöông chính coøn laïi, ta tính
μ
suy ra töø moâñun ñaøn hoài E vaø heä soá Poisson nhö seõ trình baøy ôû phaàn sau:
ñöôïc:
- Traïng thaùi öùng suaát khoái: do öùng suaát tieáp chæ laøm bieán daïng beà maët vuoâng goùc vôùi
1
[σ 2 − v(σ 3 + σ 1 )]
ε2 = (4.28) beà maët maø noù taùc duïng chöù khoâng aûnh höôûng tôùi bieán daïng goùc treân caùc maët khaùc, cho
E
neân trong tröôøng hôïp öùng suaát khoái, ngoaøi (4.31a) ta cuõng coù caùc coâng thöùc khaùc lieân
heä caùc thaønh phaàn öùng suaát tieáp vaø caùc goùc tröôït coøn laïi nhö sau:
1
ε 3 = [σ 3 − v(σ 1 + σ 2 ) ] (4.29)
E
τ yz
γ yz = (4.31b)
Traïng thaùi öùng suaát toång quaùt: lí thuyeát ñaøn hoài ñaõ chöùng minh ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn G
hoài ñaúng höôùng, öùng suaát phaùp chæ sinh ra bieán daïng daøi maø khoâng sinh ra bieán daïng
τ xz
γ xz =
tröôït cuõng nhö öùng suaát tieáp chæ sinh ra bieán daïng tröôït maø khoâng sinh ra bieán daïng daøi. (4.31c)
G
Vì vaäy, trong tröôøng hôïp phaân toá ôû traïng thaùi öùng suaát toång quaùt vôùi ñaøy ñuû caùc thaønh
phaàn öùng suaát phaùp vaø öùng suaát tieáp, nhöõng coâng thöùc treân vaãn ñuùng. Cho neân, khi laäp

Trang 49 - 177 Trang 50 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


Caùc coâng thöùc (4.5a,b,c) goïi laø ñònh luaät Hooke veà tröôït lieân heä giöõa öùng suaát tieáp vaø
CAÙC VAÁN ÑEÀ SINH VIEÂN CAÀN NAÉM VÖÕNG ÔÛ CHÖÔNG 4
bieán daïng goùc.

- Lieân heä giöõa caùc haèng soá ñaøn hoài E, v vaø G 1. Qui öôùc daáu cuûa caùc thaønh phaàn öùng suaát.

Xeùt phaân toá phaúng hình vuoâng coù caïnh laø a ôû traïng thaùi tröôït thuaàn tuùy, treân caùc 2. Ñònh luaät ñoái öùng cuûa öùng suaát tieáp
caïnh chæ coù öùng suaát tieáp nhö treân H.4.25. Sau bieán daïng, maët CD bò tröôït ñi so vôùi caùc
3. Xaùc ñònh öùng suaát phaùp, tieáp theo 1 phöông a cho tröôùc trong baøi toaùn öùng
Δs . Caùc
maët AB, maët naøy ñöôïc coi laø coá ñònh. Caïnh CD seõ di chuyeån tôùi C’D’ 1 ñoaïn laø
suaát phaúng.
γ
goùc vuoâng seõ thay ñoåi 1 goùc goïi laø goùc tröôït hay bieán daïng goùc. Ñöôøng cheùo AC
4. Tìm öùng suaát chính trong baøi toaùn öùng suaát phaúng.
thaønh A’C’. Neáu töø C haï ñöôøng vuoâng goùc CAÙC” xuoáng C’C” chính laø ñoä daõn daøi töông
5. Coâng thöùc lieân heä giöõa caùc öùng suaát vôùi caùc bieán daïng töông öùng.
Δl . Do bieán daïng beù, ta coù : Δl = Δs cos 450
ñoái cuûa ñöôøng cheùo AC, kí hieäu laø
6. Naém vöõng caùc böôùc dieãn giaûi vaø chöùng minh ra coâng thöùc giaûi tích tính toaùn
Δl Δs cos 450 Δs
ε= = =
Nhö vaäy, bieán daïng daøi cuûa ñöôøng cheùo AC laø: öùng suaát.
l 2a
a2
7. Naém vöõng caùc böôùc thaønh laäp voøng troùn Mohr tính toaùn öùng suaát.
γ
Δs
γ = tgγ = c=
vì: ta coù : (a) 8.
a 2
Maët khaùc, phaân toá ôû traïng thaùi tröôït thuaàn tuùy nhö treân H.4.18 neân caùc öùng suaát
σ 1 = −σ 3 = τ ; ñöôøng cheùo AC cuõng laø phöông chính thöù nhaát. AÙp duïng ñònh luaät
chính
Hooke toång quaùt (4.27), bieán daïng daøi theo phöông ñöôøng cheùo coù daïng:

1+ v
1
ε = ε1 = (σ 1 − vσ 3 ) = τ (b)
E E
So saùnh (a) vaø (b), treân cô sôû ñònh luaät Hooke tröôït (4.31), ta ruùt ra ñöôïc lieân heä giöõa
E
G=
E, v vaø G nhö sau : (4.32)
2(1 + v)




Trang 51 - 177 Trang 52 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


S x = ∫ ydA; S y = ∫ xdA (5.1)
CHÖÔNG 5 : ÑAËC TRÖNG HÌNH HOÏC CUÛA MAËT CAÉT NGANG A A

vaø x, y coù theå aâm neân moâmen tónh coù theå coù trò soá aâm hoaëc döông.
5.1. KHAÙI NIEÄM
⎡(chieàu daøi )3 ⎤ .
Thö nguyeân cuûa moâmen tónh laø
⎢ ⎥
⎣ ⎦
ÔÛ chöông 3, khí tính söï chòu löïc cuûa thanh chòu keùo (neùn) ta nhaân thaáy öùng suaát
Chuù yù:
trong thanh chæ phuï thuoäc vaøo ñoä lôùn cuûa dieän tích maët caét ngang A. Trong nhöõng
tröôøng hôïp khaùc, nhö thanh chòu uoán, xoaén… thì öùng suaát trong thanh khoâng chæ phuï Truïc trung taâm laø truïc coù moâ men tónh cuûa dieän tích A ñoái vôùi truïc ñoù baèng 0. Troïng
thuoäc vaøo dieän tích A maø coøn phuï thuoäc vaøo hình daùng, caùch boá trí maët caét…nghóa laø vaøo taâm, laø giao ñieåm cuûa 2 truïc trung taâm cuûa maët caét. Nhö vaäy, moâmen tónh ñoái vôùi 1
nhöõng yeáu toáù khaùc maø ngöôøi ta goïi chung laø ñaëc tröng hình hoïc cuûa maët caét ngang. truïc ñi qua troïng taâm baèng 0.
Chaúng haïn, xeùt thanh chòu uoán trong 2 tröôøng hôïp maët caét ñaët khaùc nhau nhö treân Töø ñoù, ta suy ra caùch xaùc ñònh troïng taâm C cuûa dieän tích A nhö sau:
H.5.1. Quan saùt bieán daïng uoán, ta thaáy ñoä cong cuûa thanh seõ khaùc nhau khi ñaët chieàu
Qua C döïng heä truïc x0Cy0 song song vôùi heä truïc xOy ban ñaàu (H.5.3). Moái quan heä
heïp cuûa thanh theo phöông ngang vaø phöông thaúng ñöùng. Baèng tröïc giaùc, ta deã daøng
cuûa toïa ñoä ñieåm M trong 2 heä truïc toïa ñoä ñöôïc bieåu dieãn nhö sau:
nhaän thaáy trong tröôøng hôïp thöù 2, tuy raèng trong 2 tröôøng hôïp dieän tích cuûa thanh vaãn
x = xC + x0 ; y = yC + y0
nhö nhau. Nhö vaäy, khaû naêng chòu löïc cuûa thanh coøn phuï thuoäc vaøo caùch saép ñaët vaø
vò trí maët caét ngang ñoái vôùi phöông taùc duïng cuûa löïc. Cho neân, ngoaøi dieän tích A ta Thay vaøo coâng thöùc (5.1), ta ñöôïc:
phaûi nghieân cöùu caùc ñaëc tröng hình hoïc khaùc cuûa maët caét ñeå tính toaùn ñoä beàn, ñoä
S x = ∫ ( yC + y0 )dA = ∫ yC dA + ∫ y0 dA = yC A + S xo
cöùng, ñoä oån ñònh vaø thieát keá maët caét cuûa thanh cho hôïp lí. Ñoù chính laø caùc khaùi nieäm
A A A
môùi: Momen tónh vaø momen quaùn tính.
vì x0 laø truïc trung taâm neân Sxo = 0 ,=>

S x = yC A (5.2)

S y = xC A
Töông töï ta coù : (5.3)

Töø (5.2) vaø (5.3), ta coù :

Sy Sx
xC = ; yC = (5.4)
A A
Keát luaän : toïa ñoä troïng taâm C(xaùc, yC) ñöôïc xaùc ñònh trong heä truïc xOy ban ñaàu theo
moâmen tónh SX, SY vaø dieän tích A theo coâng thöùc (5.4). Ngöôïc laïi, neáu bieát tröôùc toïa ñoä
troïng taâm, ta coù theå söû duïng coâng thöùc (5.2), (5.3) ñeå xaùc ñònh moâmen tónh.

Nhaän xeùt : neáu maët caét coù truïc ñoái xöùng, troïng taâm seõ naèm treân truïc naøy vì
5.2. MOÂMEN TÓNH. TROÏNG TAÂM
moâmen tónh ñoái vôùi truïc baèng 0.
Xeùt 1 hình phaúng bieåu dieãn maët caét ngang A nhö treân H.5.2. Xaùc laäp 1 heä truïc toïa ñoä Chaúng haïn, troïng taâm maët caét coù truïc ñoái xöùng x treân H.5.4a seõ naèm treân truïc x,
vuoâng goùc Oxy trong maët phaúng cuûa maët caét. M(x,y) laø 1 ñieåm baát kì treân hình. Laáy troïng taâm maët caét coù truïc ñoái xöùng y treân H.5.4b seõ naèm treân truïc y. Neáu maët caét coù 2
chung quanh M moät vi phaân dieän tích dA. truïc ñoái xöùng nhö treân H.5.4c, troïng taâm seõ naèm ôû giao ñieåm 2 truïc ñoái xöùng.
Moâmen tónh cuûa dieän tích A ñoái vôùi truïc x (hay (y) laø tích phaân:
Trang 53 - 177 Trang 54 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


A1 x1 + A2 x2
Sy
xc = =
A1 + A2
A
S x A1 y1 + A2 y2
yC = =
A1 + A2
A
Troïng taâm cuûa caû hình naèm treân ñöôøng noái 2 troïng taâm cuûa töøng hình chöõ nhaät, nhö
treân H.5.5.

Toång quaùt hôn, ñoái vôùi tröôøng hôïp hình phöùc taïp goàm n hình ñöôn giaûn, toïa ñoä troïng
Trong thöïc teá, ta hay gaëp nhöõng maët caét ngang coù hình daùng phöùc taïp ñöôïc gheùp töø taâm laø:
nhieàu hình ñôn giaûn. Caên cöù vaøo ñònh nghóa, suy ra tính chaát sau cuûa moâmen tónh n

∑Ax
Tính chaát: Moâmen tónh cuûa hình phöùc taïp baèng toång moâmen tónh cuûa caùc hình ii
Sy
xc = = i =1
ñôn giaûn (nguyeân lyù coäng taùc dung. n

∑A
A
i
i =1
n

∑Ay i i
Sx
yC = = i =1
n

∑A
A
i
i =1

Ví dụ:

Vôùi nhöõng hình ñôn giaûn nhö hình chöõ nhaät, hình troøn, hình tam giaùc hoaëc maët caét 1) Xác định trọng tâm của mặt cắt ngang hình chữ nhật:
caùc loaïi theùp ñònh hình I, U, theùp goùc ñeàu caïnh, theùp goùc khoâng ñeàu caïnh…ta ñaõ bieát
tröôùc dieän tích, vò trí troïng taâm hoaëc coù theå tra theo caùc baûng trong phaàn phuï luïc. Cho
neân coù theå deã daøng tính ñöôïc moâmen tónh cuûa hình phöùc taïp:
n
S x = A1 y1 + A2 y2 + ... + An yn = ∑ Ai yi
1
(5.5)
n
S y = A1 x1 + A2 x2 + ... + An xn = ∑ Ai xi
1

Trong ñoù :

Ai, xi, yi : dieän tích vaø toïa ñoä troïng taâm cuûa hình ñôn giaûn thöù i

n : soá hình ñôn giaûn

Töø coâng thöùc treân, ta coù theå xaùc ñònh ñöôïc trojngt aâm cuûa 1 hình phöùc taïp trong heä
toïa ñoä xy. Ñeå minh hoïa caùch xaùc ñònh troïng taâm, ta xeùt tröôøng hôïp ñaëc bieät vôõi maët caét 2) Xác định tọa độ trọng tâm hình tam giác: (chỉ xét tung độ yc)
chöõ L chæ goàm 2 hình chöõ nhaät nhö treân H.5.5 Toïa ñoä troïng taâm C cuûa hình treân laø:
a) Tính momen tĩnh của mặt cắt ngang so với trục x trùng với cạnh đáy


Trang 55 - 177 Trang 56 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


Xét một dãy song song với trục x. Coi dãy đó là một hình chữ nhật có diện tích b(y).dy

Ta có: b(y) = Ay +B

y = 0 => b(y) = b => B = b




Vì y là trục đối xứng nên Sy = 0
b) Do Sy = 0 nên trọng tâm C nằm trên trục tung => xc = 0


b) Tung độ trọng tâm yc:

3) Xác định tọa độ trọng tâm hình nữa tròn:

Xác định momen tĩnh của mặt cắt ngang đối với trục x trùng cạnh đáy

5.3. MOÂMEN QUAÙN TÍNH, BAÙN KÍNH QUAÙN TÍNH

5.3.1. Moâmen quaùn tính
Moâmen quaùn tính cuûa maët caét (hay moâmen quaùn tính ñoäc cöïc) ñoái vôùi ñieåm O ñöôïc
ñònh nghóa laø bieåu thöùc tích phaân:

I ρ = ∫ ρ 2 dA (5.7)
A

Trong ñoù:

ρ : khoaûng caùch töø ñieåm M, taâm cuûa phaân toá dieän tích dA ñeán goác toïa ñoä O (H.5.2).

ρ
Neáu thay khoaûng caùch baèng khoaûng caùch töø M ñeán 1 truïc naøo ñoù, ta seõ coù
Xét một dãy dài b(y) rộng dy
ρ
moâmen quaùn tính ñoái vôùi truïc aáy. Chaúng haïn, thay baèng x vaø y, ta nhaän ñöôïc moâmen
Ta có: y = R.sin( ; b(y) = 2Rcos( ;
quaùn tính ñoái vôùi truïc y vaø x:

I y = ∫ x 2 dA; I x = ∫ y 2 dA
d(y) = R.dj.cosj (5.8)
A A
dF = b(y) dy = 2Rcosj.Rcosj dj
Moâmen quaùn tính li taâm cuûa maët caét ñoái vôùi heä truïc x, y ñöôïc ñònh nghóa laø bieåu thöùc
= 2R2cos2j dj tích phaân:

I xy = ∫ xydA (5.9)
A

Töø ñònh nghóa caùc moâmen quaùn tính,t a nhaän thaáy :

Trang 57 - 177 Trang 58 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


4
Tính chaát: Khi dieän tích A coù 1 truïc ñoái xöùng thì baát kì heä truïc vuoâng goùc naøo
⎡chieàu daøi ⎤
Moâmen quaùn tính coù thöù nguyeân laø ⎣ ⎦
chöùa truïc ñoái xöùng ñeàu laø heä truïc quaùn tính chính cuûa maët caét.
Trong khi Moâmen quaùn tính vôùi ñieåm, vôùi truïc luoân luoân döông, moâmen quaùn tính li
Thöïc vaäy, chaúng haïn vôùi hình A coù truïc ñoái xöùng laø y nhö treân H.5.7. ta luoân tìm ñöôïc
taâm coù theå döông, aâm hoaëc baèng 0.
nhöõng caëp vi phaân dieän tích ñoái xöùng ñeå :
ρ 2 = x2 + y 2

I xy = ∫ yxdA = ∫ ∫ ( xy − yx)dA = 0
yxdA = 1
moâmen quaùn tính ñoäc cöïc baèng toång moâmen quaùn tính ñoái vôùi 2 truïc vuoâng goùc x, y A1 + A2
A A12

Iρ = Ix + I y
coù goác taïi ñieåm cöïc: (5.10) Nhaän xeùt : keát hôïp vôùi nhaän xeùt phaàn 5.2, ta nhaän thaáy baát kì truïc naøo vuoâng goùc vôùi
truïc ñoái xöùng ñi qua troïng taâm cuõng hôïp vôùi noù thaønh 1 heä truïc QTCTT.
Neáu laáy 2 truïc u, v baát kì vuoâng goùc vôùi nhau, coù goác taïi ñieåm O ta cuõng coù :
I ρ = Iu + I v Moâmen quaùn tính ñoái vôùi truïc chính trung taâm ñöôïc goïi laø moâmen quaùn tính chính
trung taâm cuûa maët caét.
I x + I y = I u + I v = const
suy ra : (5.11)
5.3.3. Baùn kính quaùn tính
Nhö vaäy, taïi 1 ñieåm, toång moâmen quaùn tính ñoái vôùi 2 truïc vuoâng goùc laø 1 haèng soá.
Moät ñaëc tröng hình hoïc nöõa hay ñöôïc duøng trong tính toaùn keát caáu laø baùn kính quaùn
Toång naøy goïi laø baát bieán cuûa moâmen quaùn tính. Döïa vaøo ñònh nghóa, gioáng nhö momen
tónh, moâmen quaùn tính cuõng coù tính chaát sau: Iy
Ix
rx = ry =
tính ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: (5.13)
;
Tính chaát: Moâmen quaùn tính cuûa 1 hình phöùc taïp baèng toång moâmen quaùn tính cuûa A A
töøng hình ñôn giaûn. Baùn kính quaùn tính ñoái vôùi caùc truïc chính ñöôïc goïi laø baùn kính quaùn tính chính vaø coù
⎡chieàu daøi ⎤ .
thöù nguyeân ⎣ ⎦
5.3.2. Heä truïc quaùn tính chính trung taâm (QTCTT)
Moät heä truïc toïa ñoä coù moâmen quaùn tính li taâm ñoái vôùi heä truïc ñoù baèng 0 ñöôïc goïi laø
5.4. MOÂMEN QUAÙN TÍNH CHÍNH TRUNG TAÂM CUÛA 1 SOÁ HÌNH ÑÔN
heä truïc quaùn tính chính.
GIAÛN.
Nhaän xeùt : taïi moãi ñieåm treân maët phaúng A ta ñeàu tìm thaáy 1 heä truïc quaùn tính
chính.Ñieàu naøy seõ ñöôïc chöùng minh ôû muïc 5.5.
5.4.1. Hình chöõ nhaät
Ta xaùc ñònh moâmen quaùn tính chính trung taâm cuûa hình chöõ nhaät kích thöôùc b x h (
H.5.8)




Heä truïc quaùn tính chính ñi qua troïng taâm maët caét ñöôïc goïi laø heä truïc quaùn tính chính
trung taâm. Ñoái vôùi heä truïc naøy, ta coù :

S x = S y = 0; I xy = 0 (5.12)




Trang 59 - 177 Trang 60 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


Heä coù 2 truïc x, y laø 2 truïc ñoái xöùng neân ñoàng thôøi laø heä QTCTT. Ñeå tính Ix, ta laáy dieän Ñeå ñôn giaûn, tröôc heát ta tìm moâmen quaùn tính ñoäc cöïc ñoái vôùi troïng taâm O. Xeùt
tích vi phaân dA laø 1 daûi beà roäng b, beà daøy dy, khoaûng caùch ñeán truïc laø y. Ta coù: voøng troøn baùn kính R ôû H.5.10a. Laáy phaân toá dieän tích dA ôû daïng 1 vaønh troøn maûnh baùn
ρ d ρ . Nhö vaäy, dA = 2πρ d ρ
kính vaø beà daøy
h
3
2
bh Moâmen quaùn tính ñoäc cöïc cuûa toaøn boä hình troøn:
I x = ∫ y 2 dA = ∫ y bdy =
2
(5.14)
12
π R4 π D4
h R
A

I ρ = ∫ ρ dA = ∫ 2πρ 3 d ρ = = ≅ 0,1D 4
2
2 32
A 0
hb3
=
Töông töï, ñoåi vai troø cuûa x vaø y, b vaø h, ta ñöôïc: I y (5.15)
Ix = I y
DO ñoái xöùng, ta coù :
12
Theo tính chaát cuûa moâmen quaùn tính ñoäc cöïc, ta nhaän ñöôïc:

I ρ = I x + I y = 2I x = 2I y
5.4.2. Hình tam giaùc
Ta caàn tính moâmen quaùn tính cuûa dieän tích tam giaùc ñoái vôùi truïc x ñí qua ñaùy (H.5.9).
π R4 π D4
Ix = I y = = ≈ 0,05 D 4
Daûi vi phaân dieän tích dA song song vôùi ñaùy, coù chieàu daøy laø dy, khoaûng caùch ñeán truïc x (5.16)
4 64
laø y vaø coù beà roäng by ñöôïc tính nhö sau:
Theo tính chaát cuûa moâmen quaùn tính ñoái vôùi truïc ñaõ bieát ôû muïc 5.3, ta coù moâmen
b( h − y )
by = quaùn tính cuûa maët caét hình troøn roãng hay hình vaønh khaên (H.5.10b) laø hieäu moâmen quaùn
h
tính cuûa 2 ñöôøng troøn ñaëc tröng ñöôøng kính D vaø d :
Ta co:ù
I x = I x D ) − I x d ) = 0,05 D 4 − 0,05d 4
( (
h
h
b ⎛ hy 3 y 4 ⎞
b( h − y )
h
bh3
2
b
I x = ∫ y 2 dA = ∫y dy = ∫ y 2 b(h − y )dy = ⎜ − ⎟=
2
d
vôùi η
I x = I y ≈ 0,05 D 4 (1 − η 4 ) =
Nhö vaäy :
h⎝ 3 4 ⎠ 0 12
h h0
h
A − D
2

Trong tröôøng hôïp maët caét coù hình daùng phöùc taïp hôn, vieäc tính caùc moâmen quaùn tính
5.4.3. Hình troøn – Hình vaønh khaên
seõ khoù khaên hôn. Trong tröôøng hôïp ñoù, chuùng ta caàn phaûi söû duïng caùc coâng thöùc
chuyeån truïc vaø xoay truïc ñöôïc trình baøy ôû phaàn sau.


5.5. COÂNG THÖÙC CHUYEÅN TRUÏC SONG SONG

Giaû söû ta ñaõ bieát caùc moâmen quaùn tính cuûa hình phaúng A trong heä tuïc toïa ñoä Oxy.
Ta caàn xaùc ñònh moâmen quaùn tính cuûa hình phaúng naøy trong heä truïc O’XY song song vôùi
heä truïc ñaõ cho (H.5.11). Goïi a vaø b laø toïa ñoä cuûa O trong heä toïa ñoä O’XY. Trong hình veõ,
ta thaáy toïa ñoä cuûa ñieåm trong 2 truïc lieân heä vôùi nhau baèng coâng thöùc sau:

X =a+ x ; Y =b+ y
Theo ñònh nghóa:




Trang 61 - 177 Trang 62 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2



I X = ∫ Y 2 dA = ∫ ( b + y ) dA = ∫ y 2 dA + 2b ∫ ydA + ∫ b 2 dA
2

(5.17a)
A A A A A

I X = I x + 2bS x + b 2 A

IY = I y + 2aS y + a 2 A
töông töï : (5.17b)

Ñoái vôùi moâmen quaùn tính li taâm:

I XY = ∫ XYdA = ∫ (a + x) ( b + y ) dA = ∫ xydA + b ∫ xdA + a ∫ ydA + ab ∫ dA Toïa ñoä cuûa ñieåm trong heä truïc môùi vaø heä toïa ñoä cuõ ñöôïc lieân heä nhö sau:
(5.18)
A A A A A A
u = y sin α + x cos α
I XY = I xy + bS x + aS y + abA (5.20)
v = y cos α − x sin α
Neáu heä truïc Oxy laø heä truïc trung taâm cuûa hình A thí caùc coâng thöùc treân coù daïng:
Khi ñoù, moâmen quaùn tính ñoái vôùi truïc u seõ laø :
I X = I y + a 2 A; IY = I y + a 2 A; I XY = I xy + abA (5.19)
I u = ∫ v 2 dA = ∫ ( y cos α − x sin α ) dA
2

A A

= cos α ∫ y 2 dA + sin 2 α ∫ x 2 dA − 2sin α cos α ∫ xydA
2

A A A




hoaëc bieåu dieãn theoc aùc moâmen quaùn tính ñoái vôùi heä truïc x, y nhö sau:

I u = I x cos 2 α + I y sin 2 α − 2 I xy sin α cos α (a)

Ta söû duïng caùc coâng thöùc löôïng giaùc:
Coâng thöùc (5.19) thöôøng ñöôïc söû duïng ñeå tính caùc moâmen quaùn tính chính trung taâm 1 1
cos 2 α = (1 + cos 2α ); sin 2 α = (1 − cos 2α ); 2sin α cos α = sin 2α
cuûa 1 hình phöùc taïp khi ñöôïc bieát moâmen quaùn tính chính trung taâm cuûa töøng hình ñôn 2 2
giaûn.
Khi ñoù bieåu thöùc (a) trôû thaønh:
Töø coâng thöùc naøy, ta nhaän thaáy : trong taát caû caùc truïc song song thì moâmen quaùn
Ix + I y Ix − I y
tính ñoái vôùi truïc trung taâm luoân coù giaù trò min. cos 2α − I xy sin 2α
Iu = + (5.21)
2 2
5.6. COÂNG THÖÙC XOAY TRUÏC Töông töï, ta thu ñöôïc moâmen quaùn tính li taâm ñoái vôùi heä truïc uv:

Söû duïng caùc heä thöùc löôïng giaùc, bieåu thöùc (b) trôû thaønh:
Giaû söû ta ñaõ bieát caùc moâmen quaùn tính cuûa A trong heä truïc toïa ñoä Oxy. Ta xoay heä
α Ix − I y
truïc ban ñaàu Oxy quanh goác toïa ñoä O 1 goùc ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà va thu ñöôïc heä
sin 2α − I xy cos 2α
I uv = (5.22)
truïc môùi kí hieäu laø Ouv nhö treân H.5.12. Khi heä truïc quay, caùc moâmen quaùn tính cuûa A 2
ñoái vôùi heä truïc môùi cuõng thay ñoåi theo.
Laëp laïi quaù trình tính töông töï nhö tính moâmen Iu, ta thu ñöôïc moâmen quaùn tính Iv
α α + 900
(hoaëc baèng caùch theá tröïc tieáp baèng trong phöông trình (5.21)):




Trang 63 - 177 Trang 64 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


Ix + I y Ix − I y
cos 2α + I xy sin 2α
Iv = − (5.23)
2 2
Caõ coâng thöùc (5.21) – (5.23) goïi laø coâng thöùc xoay truïc bieåu dieãn söï bieán thieân cuûa
α
caùc moâmen quaùn tính Iu, Iv vaø Iuv phuï thuoäc vaøo goùc cöïc khi xoay truïc toïa ñoä. Bôûi
vaäy, caùc phöông trình naøy coøn ñöôïc goïi laø phöông trình chuyeån ñoåi moâmen quaùn tính.
Laáy toång (5.21) vaø (5.23), ta nhaän laïi ñöôïc baát bieán cuûa moâmen quaùn tính ñaõ bieát ôû muïc
5.3:

I u + I v = I x + I y = const (5.24)


Momen quán tính của một số mặt cắt ngang




CAÙC VAÁN ÑEÀ SINH VIEÂN CAÀN NAÉM VÖÕNG ÔÛ CHÖÔNG 5

1. Caùch xaùc ñònh momen tónh, troïng taâm, momen quaùn tính vaø baùn kính quaùn tính
cuûa 1 tieát dieän.

2. Coâng thöùc chuyeån truïc song song.

3. Aùp duïng thaønh thaïo vaø nhaän xeùt caùc tröôøng hôïp coù tieát dieän ñoái xöùng.

4. Thuoäc loøng caùc coâng thöùc xaùc ñònh momen quaùn tính cuûa tieát dieän chöõ nhaät,
troøn, vaønh khaên vaø tam giaùc.

5.




Trang 65 - 177 Trang 66 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2




CHÖÔNG 6: UOÁN NGANG PHAÚNG THANH THAÚNG

6.1. KHAÙI NIEÄM CHUNG

Moät thanh laêng truï coù truïc bò uoán cong khi chòu taùc duïng cuûa taûi troïng naèm trong maët
phaúng chöùa truïc thanh vaø coù phöông vuoâng goùc vôùi truïc thanh. Moät thanh chòu uoán laø
thanh döôùi taùc duïng cuûa ngoaïi löïc thì truïc cuûa noù bò uoán cong. Nhöõng thanh chòu uoán
ñöôïc goïi laø daàm ( ñaø)
Nhö theá daàm khaùc vôùi thanh chòu keùo (neùn) ñuùng taâm vaø thanh chòu xoaén thuaàn tuùy
khi chòu caùc ngaãu löïc coù vectô naèm doïc theo truïc thanh. Coøn ngoaïi löïc gaây ra uoán coù
theå laø löïc taäp trung hay phaân boá coù ñöôøng taùc duïng vuoâng goùc vôùi truïc daàm hoaëc do
nhöõng ngaãu löïc naèm trong maët phaúng chöùa truïc daàm.
Moät soá ñònh nghóa:
Neáu ngoaïi löïc cuøng ñaët trong moät maët phaúng, maët phaûng naøy chöùa truïc daàm :

Maët phaúng ñoù goïi laø maët phaúng taûi troïng.
Giao tuyeán cuûa maët phaúng taûi troïng vaø maët caét ngang cuûa daàm goïi laø ñöôøng taûi

troïng.
Maët phaúng taûi troïng truøng maët phaúng quaùn tính chính trung taâm (QTCTT)

(yoz,xoz) ta goïi thanh chòu uoán ñôn hay uoán phaúng
Neáu goïi maët phaúng quaùn tính chính trung taâm (QTCTT) laø maët phaúng taïo bôûi moät

truïc quaùn tính chính trung taâm cuûa maët caét ngang vaø truïc cuûa daàm thì maët ñoái
Hình 7.1 dieãn taû heä taûi troïng laøm cho daàm chòu uoán, caùc taûi troïng ñeàu naèm trong 1 xöùng laø maët phaúng taûi troïngvaø ñoàng thôøi laø maët quaùn tính chính trung taâm
(QTCTT).
maët phaúng chöùa truïc daàm vaø ta goïi ñoù laø maët phaúng taûi troïng. Gia tuyeán cuûa maët phaúng
Truïc cuûa daàm sau khi bò uoán laø moät döôøng cong phaúng naèm trong maët phaúng ñoái

taûi troïng vôùi maët caét ngang ñöôïc goïi laø ñöôøng taûi troïng.
xöùng. Truïc ñoái xöùng cuûa maët caét laø ñöôøng taûi troïng.
Ngoaïi löïc gaây uoán :
- Löïc taäp trung coù ñöôøng taùc duïng vu6ng goùc truïc daàm : P { Löïc: T ,Kg }
Trong chöông naøy chuùng ta chæ khaûo saùt nhöõng tröôøng hôïp maët caét ngang coù ít nhaát
- Taûi troïng phaân boá coù ñöôøng taùc duïng vu6ng goùc truïc daàm : q { Löïc/chieàu daøi } 1 truïc ñoái xöùng. Maët phaúng ñoái xöùng naøy cuõng chính laø maët phaúng quaùn tính chính trung
T/m , Kg/m , KN/m taâm, vaø ta giaû thieát raèng taûi troïng naèm trong maët phaúng ñoái xöùng nhö treân H.7.2. Khi ñoù
truïc daàm sau khi bò bieán daïng vaãn naèm trong maët phaúng naøy neân söï uoán coøn ñöôïc goïi
- Momen taäp trung naèm trong maët phaúng chöùa truïc daàm
laø uoán phaúng.




Trang 67 - 177 Trang 68 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


Caùc phaûn löïc cuûa caùc goái töïa ñeå caân baèng vôùi caùc ngoaïi löïc taùc duïng leân daàm, dó Theo hình veõ treân ñoaïn giöõa laø chòu uoán thuaàn tuùy vì coù Qy = 0 vaø Mx = Pa
nhieân cuõng phaûi naèm trong cuøng maët phaúng taûi troïng. Chuùng ta ñaõ bieát caùch xaùc ñònh Caùc coâng thöùc duøng ñeå tính öùng suaát phaùp trong tröôøng hôïp uoán phaúng thöôøng ñöôïc
chuùng trong chöông 2. Ta chæ khaûo saùt ôû ñaây nhöõng tröôøng hôïp daàm ñôn giaûn nhaát. Caùc thieát laäp töø vieäc nghieân cöùu baøi toaùn uoán thuaàn tuùy phaúng. Trôû laïi baøi toaùn uoán thuaàn tuùy
daàm naøy coøn ñöôïc xem laø keát caáu phaúng bôûi vì taûi troïng chæ naèm trong maët phaúng. phaúng nhö trong tröôøng hôïp H.6.5a chaúng haïn. taïi 1 maët caét m-m baát kì ôû caùch goái töïa
A 1 ñoaïn x, chæ toàn taïi 1 thaønh phaàn noäi löïc khaùc 0 laø moâmen uoán Mx. Vaán ñeà cuûa chuùng
Daàm coù goái töïa khôùp coá ñònh 1 ñaàu vaø goái töïa di ñoäng 1 ñaàu, goïi laø daàm ñôn giaûn.
ta laø xaùc ñònh thaønh phaàn öùng suaát taïi 1 ñieåm baát kì treân maët caét ngang vaø trò soá lôùn nhaát
Daàm bò cheøn keïp 1 ñaàu coøn ñaàu kia töï do, ñöôïc goïi laø daàm cheøn keïp ( hay daâm cuûa öùng suaát naøy.
coâng-xon ).
Moâ taû thí nghieäm.
Daàm coù1 ñoaïn muùt thöøa BC vôùi ñaàu töï do vaø töïa ñôn taïi A vaø B. Ngöôøi ta coøn goïi laø
Ta quan saùt bieán daïng cuûa daàm coù maët caét ngang hình chöõ nhaät
daàm coù 1 ñaàu muùt thöøa.

Ngoaøi ra, coøn coù nhieàu caùch saép ñaët caùc goái töïa khaùc cho daàm tuøy theo tröôøng hôïp
taùc duïng cuûa taûi troïng. Tuy hieân, nhöõng ví duï ñôn giaûn ôû ñaây cuõng ñuû ñeå minh hoïa
nhöõng khaùi nieäm cô baûn.

Döôùi taùc duïng cuûa caùc taûi troïng, treân caùc maët caét ngang cuûa daàm xuaát hieän caùc noäi
löïc maø hôïp löïc cuûa chuùng laø löïc caét hoaëc moâmen uoán. Ta phaân bieät 2 loaïi uoán phaúng :
Tröôùc khi cho daàm chòu löïc löïc, ta vaïch leân maët ngoaøi 1 thanh thaúng chòu uoán nhö
uoán thuaàn tuùy phaúng vaø uoán ngang phaúng.
trong H.6.6a, nhöõng ñöôøng song song vôùi truïc thanh töôïng tröng cho caùc thôù doïc vaø
Uoán thuaàn tuùy phaúng duøng ñeå chæ söï uoán cuûa caùc daàm vôùi moâmen uoán haèng soá,
nhöõng ñöôøng vuoâng goùc vôùi truïc thanh töôïng tröng cho caùc maët caét ngang, caùc ñöôøng
nghóa laø löïc caét baèng 0 ( bôûi vì Q = dM/dz)
naøy taïo thaønh caùc löôùi oâ vuoâng (H.6.6a).
Uoán ngang phaúng ñöôïc ñeà caäp ñeán trong tröôøng hôïp vôùi söï hieän dieän cuûa löïc caét,
Khi coù momen taùc duïng vaøo 2 ñaàu daàm (H.6.6b) ta nhaän thaáy caùc ñöôøng thaúng song
nghóa laø moâmen uoán thay ñoåi doïc theo truïc daàm.
song vôùi truïc thanh bieán thaønh caùc ñöôøng cong song song vôùi truïc thanh; nhöõng ñöông
Trong phaàn keá tieáp chuùng ta seõ xaùc ñònh caùc bieán daïng do uoán vaø öùng suaát phaùp vuoâng goùc vôùi truïc thanh thì sau khi bieán daïng vaãn coøn vuoâng goùc vôùi truïc thanh, nghóa
trong tröôøng hôïp uoán thuaàn tuùy vaø öùng suaát tieáp trong tröôøng hôïp uoán ngang. laø caùc goùc vuoâng luoân ñöôïc baûo toaøn trong quaù trình bieán daïng.
Các giả thuyết :
6.2. UOÁN THUAÀN TUÙY Với những nhận xét trên ta đề ra hai giả thuyết sau để làm cơ sở tính toán cho một
dầm chịu uốn thuần túy phẳng :
Ta goïi thanh chòu uoán thuaàn tuùy phaúng khi treân maët caét ngang cuûa thanh chæ coù moät •Giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng : Trước khi biến dạng, mặt cắt ngang của dầm
là phẳng và vuông góc với trục dầm thì sau khi biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục
thaønh phaàn noäi löïc laø momen uoán Mx naèm trong maët phaúng quaùn tính chính trung taâm
dầm.
•Giả thuyết về các thớ dọc : Trong quá trình biến dạng các thớ dọc không ép lên
nhau hoặc đẩy xa nhau.
•Ngoài ra ta vẫn thừa nhận giả thuyết vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi tuân
theo định luật Húc.

Nhận xét :
Quan sát biến dạng của dầm chịu uốn thuần túy phẳng ta nhận thấy :
Các thớ dọc ở phía trên trục dầm bị co lại .
Các thớ ở phía dưới trục dầm bị giãn ra.
Như vậy từ thớ bị co sang thớ bị giãn chắc chắn sẽ có thớ không bị co cũng không
bị giãn, tức là thớ không bị biến dạng. Thớ đó được gọi là thớ trung hòa.

Trang 69 - 177 Trang 70 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


Các thớ trung hòa tạo thành một lớp gọi là lớp trung hòa.
Giao tuyến của lớp trung hòa và mặt cắt ngang gọi là đường trung hòa.
Đường trung hòa chia mặt cắt ngang làm hai miền : một miền gồm các thớ bị co và
một miền gồm các thớ bị giãn.
Đường trung hòa là một đường cong, nhưng có thể xem nó là đường thẳng khi coi
mặt cắt sau biến dạng không thay đổi hình dáng ban đầu. Lúc này có thể coi biến dạng
của dầm chịu uốn thuần túy phẳng chỉ là sự quay của mặt cắt ngang xung quanh đường
trung hòa

Laäp luaän ñöa ra caùc coâng thöùc

Sau bieán daïng caùc maët caét ngang 1-1 vaø 2-2 voán caùch nhau 1 ñoaïn vi phaân dz seõ
Do vaäy, öùng suaát phaùp taùc duïng treân maët caét ngang bieán thieân baäc nhaát vôùi khoaûng
dθ . Goïi ρ
caét nhau taïi taâm cong O’ (H.6.6b) vaø hôïp thaønh 1 goùc laø baùn kính cong cuûa
caùch y töø thôù trung hoøa. Baây giôø chuùng ta haõy xeùt taäp hôïp cuûa caùc öùng suaát phaùp treân
thôù trung hoøa, töùc khoaûng caùch töø O’ ñeán thôù trung hoøa. Ñoä daõn daøi töông ñoái cuûa 1 thôû
toaøn maët caét ngang.
ab caùch thôù trung hoøa 1 khoaûng caùch y cho bôûi:
Trong tröôøng hôïp toång quaùt, hôïp löïc naøy bao goàm 1 löïc naèm ngang theo phöông z
a1b1 − ab ( ρ + y )dθ − ρ dθ y
εz = = =κy
= vaø 1 moâmen quanh truïc x. Tuy nhieân, bôûi vì treân maët caét ngang khoâng toàn taïi löïc doïc
ρ dθ ρ
ab neân chæ coøn moâmen uoán Mx maø thoâi.
κ
trong ñoù : laø doä cong Töø ñoù, chuùng ta coù 2 phöông trình tónh hoïc:
Heä thöùc naøy chöùng toû bieán daïng doïc truïc daàm thì tæ leä vôùi ñoä cong vaø bieán thieân Phöông trình thöù nhaát, dieãn taû hôïp löïc theo phöông z baèng 0.
tuyeán tính vôùi khoaûng caùch y töø thôù trung hoøa. Chuù yù raèng bieåu thöùc (6.1) ñöôïc suy ra
Phöông trình thöù nhaát, dieãn taû hôïp löïc caùc moâmen quanh truïc x baèng moâmen Mx.
hoaøn toaøn töø ñieàu kieän bieán daïng hình hoïc cuûa daàm vaø ñoäc laäp vôùi tính chaát cuûa vaät
Ñeå coù theå xaùc ñònh caùc hôïp löïc naøy, ta haõy xeùt dieän tích vi phaân dA treân maët caét
lieäu. Vì vaäy, heä thöùc treân khoâng tuøy thuoäc vaøo daïng cuûa bieåu ñoà öùng suaát – bieán daïng
ngang ôû khoaûng caùch y töø truïc trung hoøa (H.6.8). Löïc taùc duïng treân phaàn töû naøy vuoâng
cuûa vaät lieäu.
σ z dA . Bôûi vì khoâng coù noäi löïc theo phöông z neân
goùc vôùi maët caét ngang vaø coù trò soá laø
σ z dA
tích phaân cuûa treân toaøn dieän tích maët caét ngang phaûi trieät tieâu, do ñoù:


∫ σ dA = ∫ Eκ ydA = 0 (6.3)
z
A A

σσ
Bôûi vì ñoä cong vaø moâñun ñaøn hoài E laø haèng soá neân ta coù theå ñem ra ngoaøi daáu

∫ ydA = 0
tích phaân vaø suy ra : (6.4)
Moãi thôù doïc cuûa daàm chæ chòu keùo hoaëc neùn (nghóa laø caùc thôù doïc ôû traïng thaùi öùng A
suaát ñôn). Do vaäy, bieåu ñoà quan heä öùng suaát – bieán daïng cuûa vaät lieäu seõ cho ta heä thöùc
ñoái vôùi daàm chòu uoán thuaàn tuùy.
σz ε z . Neáu vaät lieäu laø ñaøn hoài tuyeán tính, ñònh luaät Hooke töông öùng vôùi traïng
giöõa vaø
Heä thöùc naøy dieãn taû raèng moâmen tónh cuûa dieän tích maët caét ngang ñoái vôùi truïc trung
thaùi öùng suaát ñôn cho ta:
hoøa x ñò qua troïng taâm maët caét ngang daàm khi vaät lieäu tuaân theo ñònh luaät Hooke. Tính
σ z = Eε z = Eκ y (6.2) chaát naøy cho pheùp ta xaùc ñònh truïc trung hoøa cuûa baát kì maët caét ngang naøo. Dó nhieân ta
chæ khaûo saùt tröôøng hôïp y laø truïc ñoái xöùng. Theo heä quaû cuûa chöông 6, heä truïc (x,y)
chính laø heä truïc quaùn tính chính trung taâm.



Trang 71 - 177 Trang 72 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


Chuùng ta haõy khaûo saùt sau ñaây hôïp moâmen cuûa caùc öùng löïc gaây bôûi caùc öùng suaát Do vaäy trong thöïc haønh, ta coù theå söû duïng coâng thöùc kó thuaät sau ñeå tính öùng suaát,
σz trong ñoù ta khoâng caàn ñeå yù ñeán daáu cuûa moâmen uoán Mx cuõng nhö cuûa y, maø chæ caàn
treân toaøn maët caét ngang. Ñoù chính laø taäp hôïp cuûa caùc moâmen vi phaân :
xeùt xem moâmen uoán ñaõ gaây ra keùo hoaëc neùn taïi ñieåm ñang xeùt.
dM x = σ z ydA (6.5)
Mx
σz = ±
Do vaäy, tích phaân cuûa taát caû caùc moâmen vi phaân treân toaøn tieát dieän phaûi caân baèng (6.11)
y
Ix
vôùi moâmen Mx , nghóa laø :
ta seõ laáy : daáu (+) neáu Mx gaây keùo taïi ñieåm caàn tính öùng suaát
M x = ∫ σ z ydA = κ E ∫ y 2 dA (6.6)
daáu (-) neáu gaây neùn.
A A

hay coù theå vieát döôùi daïng khaùc ñôn giaûn hôn: Öùng suaát phaùp khi keùo vaø khi neùn lôùn nhaát ôû treân daàm xaûy ra taïi nhöõng ñieåm ôû xa
σσ
ñöôøng trung hoøa nhaát. Goïi laàn löôït laø khoaûng caùch thôù chòu keùo vaø thôù chòu neùn ôû
M x = κ EI x (6.7)
σσ
xa ñöôøng trung hoøa nhaát. Khi ñoù öùng suaát chòu keùo lôùn nhaát, vaø öùng suaát chòu neùn
I x = ∫ y 2 dA
trong ñoù : (6.8) σσ
lôùn nhaát , seõ tính bôûi caùc coâng thöùc sau:
A
Mx k Mx
σ max = ymax = k (6.12a)
laø moâmen quaùn tính cuûa maët caét ngang ñoái vôùi truïc trung hoøa x.
Ix Wx
Bieåu thöùc (6.7) coù theå ñöôïc vieát laïi nhö sau:
Mx n Mx
σ min = ymax = n (6.12b)
Mx
1
κ= = (6.9) Ix Wx
ρ EI x
Ix Ix
Wxk = Wxn =
Heä thöùc naøy chöùng toû ñoä cong cuûa truïc thanh tæ leä vôùi moâmen uoán Mx, vaø tæ leä nghòch vôùi (6.13)
;
k n
ymax ymax
vôùi ñaïi löôïng EIx, goïi laø ñoä cöùng uoán cuûa daàm.

Thay (6.9) vaøo (6.1) ta tìm ñöôïc bieåu thöùc tính öùng suaát phaùp taïi 1 ñieåm treân maët caét goïi laø caùc suaát tieát dieän hoaëc moâmen khaùng uoán cuûa maët caét
Caùc ñaïi löôïng Wxk ; Wxn
ngang nhö sau:
ngang. Neáu truïc x cuõng laø ñoái xöùng thì :
Mx
σz = h
(6.10)
y ymax = ymax =
k n
Ix 2
Bieåu thöùc naøy chöùng toû öùng suaát phaùp tæ leä thuaän vôùi moâmen uoán Mx, vaø tæ leä nghòch 2I x
Wxk = Wxn = Wx =
khi ñoù : (6.14)
vôùi moâmen quaùn tính Ix cuûa maët caét ngang. Ngoaøi ra, öùng suaát coøn bieán thieân baäc 1 theo h
khoaûng caùch y töø truïc trung hoøa. Trong (6.10), moâmen uoán Mx döông khi coù khuynh
vaø öùng suaát neùùn vaø keùo cöïc ñaïi coù trò soá baèng nhau:
höôùng laø caêng thôù y döông. Ta coù theå nhaän thaáy raèng nhöõng ñieåm caøng xa truïc trung
Mx
hoøa coù trò soá öùng suaát caøng lôùn vaø nhöõng ñieåm cuøng coù khoaûng caùch tôùi thôù trung hoøa
σ max = σ min = (6.15)
seõ coù cuøng trò soá öùng suaát phaùp. Wx
Neáu moâmen uoán döông, daàm bò uoán cong vôùi maët loài höôùng phía döôùi, caùc thôù treân bj Ñoái vôùi maët caét ngang hình chöõ nhaät vôùi beà roäng b vaø chieàu cao h, moâmen quaùn tính
neùn (y ym ( z ) = 0
Còn đối với phương trình đường đàn hồi, ta có phương trình vi phân
Δy (a) = Δy (0) = y0
Khi đó:


Δϕ (a ) = Δϕ (0) = ϕ0


Ta có sự tương đương sau:

ϕ
Chúng ta thấy rằng muốn tính góc xoay và độ võng y của một dầm nào đó chịu momen
uốn Mx tương đương với việc vẽ biểu đồ lực cắt Q và momen uốn M của một dầm thay thế
tương đương.
Trong đó: các trị số Mo, Qo, qo, q0' là momen tập trung, lực tập trung, cường độ lực phân
bố và đạo hàm của lực phân bố tại đầu mút của dầm (z = 0) Người ta gọi các đại lượng thay thế tương đương là đại lượng giả tạo

Các trị số y0, y0', M0, Q0, q0, q0' được gọi là các thông số ban đầu, các thông số này
được xác định từ các điều kiện biên hoặc là các giá trị được cho biết trước.

Như vậy phương trình đường đàn hồi của đoạn dầm thứ nhất là: Ghi chú: qua biểu thức trên, ta thấy qgt luôn luôn ngược đấu với momen uốn Mx cho nên
tải trọng phân bố giả tạo luôn luôn hướng về phía các thớ căng của dầm thực. (tức là hướng
theo tung độ của biểu đồ momen uốn M)

Việc chọn dầm giả tạo phải đảm bảo các điều kiện biên của nội lực trên dầm giả tạo
Trường hợp đặc biệt khi E1 J1 = E2 J 2 = ... = En J n = EJ phù hợp với điều kiện biên của chuyển vị trên dầm thực. Nghĩa là nơi nào trên dầm thực

Thì : K1 = K 2 = ...= K n = K m+1 = ... = 1
Trang 101 - 177 Trang 102 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


không có độ võng và góc xoay thì ta phải chọn điều kiện liên kết của dầm giả tạo ở nơi đó Dựa vào phương pháp đồ toán ta chọn dầm giả tạo và tải trọng phân bố giả tạo như hình
sao cho qgt không gây nên M gt và Qgt . vẽ. Momen giả tạo tại B do tải trọng qgt gây nên là :

Với điều kiện đó ta có thể chọn các dầm giả tạo tương ứng với một số dầm thực cho
trong bảng sau đây:

Trị số của momen giả tạo đó chính là độ võng tại B. Với điều kiện độ võng bằng không ta
có phương trình:




Khi đã có RB ta dễ dàng vẽ được biểu đồ nội lực của dầm

CAÙC VAÁN ÑEÀ SINH VIEÂN CAÀN NAÉM VÖÕNG ÔÛ CHÖÔNG 7

1. Tính toaùn ñöôïc ñoä voõng cuûa caùc daàm ñôn giaûn theo phöông phaùp thoâng soá ban
ñaàu.
2. Thuoäc loøng caùc ñoä voõng cuûa caùc daàm: ñôn giaûn, coâng soân… vaø taûi troïng taùc duïng:
7.6. PHÖÔNG PHAÙP NHAÂN BIEÅU ÑOÀ phaân boá, taäp trung… thöôøng gaëp.
3. Vaän duïng thaønh thaïo baøi toaùn coäng taùc duïng ñeå giaûi quyeát vaán ñeà ñoä voõng taïi 1 vò
trí naøo ñoù.
4. Phaân tích ñöôïc caùc ñieàu kieän bieán daïng töông thích ñeå giaûi quyeát caùc baøi toaùn
7.7. BAØI TOAÙN SIEÂU TÓNH
sieâu tónh.
Cũng như trong các bài toán về kéo, nén và xoắn, ở đây ta cũng gặp những bài toán siêu
tĩnh về uốn. Ðể giải loại bài toán này ta phải thiết lập thêm phương trình biến dạng
Ví dụ:

Cho dầm chịu lực như hình vẽ. Ðể tính nội lực trong dầm ta phải biết các phản lực ở
ngàm và gối tựa. Như vậy số ẩn số phải tìm là 3, nhưng ta chỉ thiết lập được 2 phương trình
cân bằng nên chưa giải được bài toán.

Trong trường hợp đang xét, dựa vào điều kiện độ võng tại B của dầm bằng 0 để lập
phương trình biến dạng: yB = 0

Ðộ võng B do phản lực RB và do tải trọng phân bố q




Trang 103 - 177 Trang 104 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


Quy öôùc daáu: momen xoaén noäi löïc döông khi nhìn vaøo maët caét thaáy Mz quay theo
chieàu kim ñoàng hoà vaø ngöôïc laïi laø aâm.
Xeùt 1 thanh chòu taùc duïng cuûa 2 ngaãu löïc, aùp duïng nguyeân lyù coäng taùc duïng, phaân
CHÖÔNG 8 : XOAÉN THUAÀN TUÙY
tích thaønh toång cuûa 2 tröôøng hôïp taùc duïng rieâng leõ. Treân moãi tröôøng hôïp, ngoaïi löïc laø 1
ngaãu löïc gaây xoaén, do ñoù noäi löïc trong thanh cuõng laø momen xoaén, giaù trò cuûa noäi löïc
8.1. KHAÙI NIEÄM phaûi baèng giaù trò cuûa ngoaïi löïc vaø ngöôïc chieàu.
Coù theå nhaän xeùt daáu cuûa noäi löïc döông khi nhìn vaøo ñaàu thanh thaáy ngoaïi löïc quay
8.1.1. Ñònh nghóa
thuaän chieàu kim ñoàng hoà vaø ngöôïc laïi.
Thanh chòu xoaén thuaàn tuùy khi treân caùc maët caét ngang chæ coù thaønh phaàn noäi löïc laø
momen xoaén Mz, taùc duïng trong maët phaúng thaúng vuoâng goùc vôùi truïc thanh (xOy). 8.2. XOAÉN THANH THAÚNG TIEÁT DIEÄN TROØN

8.2.1. Thí nghieäm vaø nhaän xeùt
Laáy 1 thanh tieát dieän thaúng troøn, treân maët ngoaøi coù vaïch nhöõng ñöôøng song song vaø nhöõng
ñöôøng troøn thaúng goùc vôùi truïc tao thaønh löôùi oâ vuoâng. Taùc duïng leân 2 ñaàu thanh hai ngaãu löïc
xoaén ngöôïc chieàu, ta thaáy truïc thanh vaãn thaúng, chieàu daøi thanh khoâng ñoåi, nhöõng ñöôøng troøn
Thöïc teá, coù nhieàu caáu kieän trong cô khí, xaây döïng chòu xoaén nhö caùc truïc truyeàn
thaúng goùc vôùi truïc vaãn phaúng vaø thaúng goùc vôùi truïc, nhöõng ñöôøng song song vôùi truïc thaønh
ñoäng, keát caáu chòu löïc khoâng gian, daàm ñôõ oâ vaêng.... nhöõng ñöôùng xoaén oác, löôùi oâ vuoâng thaønh löôùi bình haønh.

8.1.2. Bieåu ñoà Noäi Löïc
Bieåu ñoà noäi löïc cuûa thanh chòu xoaén cuõng ñöôïc veõ baèng caùch xaùc ñònh noäi löïc theo
∑ M / z = 0.
phöông phaùp maët caét vaø ñieàu kieän caân baèng tónh hoïc:
a) Xeùt 1 truïc truyeàn ñoäng chòu taùc duïng cuûa 3 ngaãu löïc xoaén.
Thöïc hieän maët caét taïi 1 vò trí trong ñoaïn AB, xeùt ñieàu kieän caân baèng phaàn t raùi, coù theå
thaáy raèng ñeå caân baèng ngoaïi löïc thì ngaãu löïc xoaén taïi tieát dieän ñang xeùt phaûi coù noäi löïc
laø momen xoaén baèng vaø ngöôïc chieàu neân chæ caàn duøng 1 phöông trình caân baèng:
∑ M / z = 0.




Töø caùc nhaän xeùt treân, coù theå ñöa ra caùc giaû thieát laøm neàn taûng cho vieäc thieát laäp coâng thöùc
tính toaùn nhö sau:




Trang 105 - 177 Trang 106 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


ρ ρ +dρ ,
8.2.2. Caùc giaû thieát D’ phaûi naèm treân cung troøn baùn kính vaø ñoàng thôøi OA’B’ vaø OC’D’ phaûi
thaúng haøng.
a./ Giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng
dϕ laø goùc giöõa hai ñöôøng thaúng OAB vaø OA’B’, ñoù laø goùc xoay cuûa maët caét (2-2)
Goïi

so vôùi (1-1) quanh truïc z, goïi laø goùc xoaén töông ñoái giöõa hai tieát dieän laân caän caùch nahu
Trước và sau khi bị biến dạng mặt cắt ngang vẫn giữ phẳng và vuông góc với trục thanh (tức là
(z = 0)
dz.
Ñoái vôùi phaân toá ñang xeùt, goùc A’EA bieåu dieãn söï thay ñoåi goùc vuoâng cuûa maët beân
b./ Giả thuyết về bán kính của thanh
γ
phaân toá goïi laø bieán daïng tröôït ( goùc tröôït) cuûa phaân toá.
Trước và sau khi thanh bị biến dạng bán kính của của mặt cắt ngang vẫn thẳng và có độ dài

AA '
tan γ ≈ γ ≈ =ρ
không đổi (tức ( có phương vuông góc R) Ta coù:
EA dz
c./ Giả thuyết về chiều dài của thanh
Theo giaû thieát b), vì khoâng coù bieán daïng daøi theo phöông doïc truïc, phöông baùn kính
vaø phöông vuoâng goùc vôùi baùn kính neân khoâng coù öùng suaát phaùp taùc duïng leân caùc maët
Trước và sau khi thanh bị biến dạng, chiều dài của thanh cũng như khoảng cách giữa hai mặt cắt
cuûa phaân toá. Theo giaû thieát a) caùc goùc vuoâng cuûa maët CDHG vaø maât BAEF khoâng thay
ngang bất kỳ là không đổi ((z = 0 ; utt = 0)
ñoåi neân khoâng coù öùng suaát tieáp höôùng taâm treân maët A, B, C, D. do giaû thieát b), moïi baùn
d./ Giả thuyết về các thớ dọc
kính vaãn thaúng neân khoâng coù öùng suaát tieáp höôùng taâm treân maët A, B, E, F.
Nhö vaäy, treân maët caét ngang cuûa thanh chòu xoaén thuaàn tuùy chæ toàn taïi öùng suaát tieáp
Trong quá trình thanh bị biến dạng, các thớ dọc không ép lên nhau và cũng không tách xa nhau
τρ
((x = (y = 0 ) theo phöông vuoâng goùc baùn kính, goïi laø vaø phaân toá ñang xeùt ôû traïng thaùi tröôït thuaàn

tuùy.
8.2.3. Coâng thöùc öùng suaát tieáp
Aùp duïng ñònh luaät Hooke veà tröôït cho phaân toá naøy, ta coù:
Coù theå nhaän thaáy theo caùc giaû thieát treân ñaây, bieán daïng cuûa thanh chòu xoaén thuaàn tuùy chæ laø

τ ρ = Gγ τ ρ = Gρ
söï xoay töông ñoái giöõa caùc maët caét ngang quanh truïc. Töø ñoù ta coù:
dz
τ ρ dA
Goïi dA laø moät dieän tích voâ cuøng beù bao quanh ñieåm ñang xeùt, thì laø löïc tieáp

τ ρ dAρ τ ρ dA
tuyeán taùc duïng treân dieän tích ñoù vaø laø moâmen löïc cuûa löïc ñoái vôùi taâm O.

toång caùc momen naøy phaûi baèng Mz, cho neân ta vieát:

M z = ∫ τ ρ dAρ M z = ∫ Gρ dAρ
vaø
dz
A A


Vì laø haèng soá ñoái vôùi moïi ñieåm thuoäc maët caét A, neân ta coù theå ñöa ra ngoaøi
G
dz
ρ trong thanh, ta taùch
Ñeå xeùt bieán daïng xoaén cuûa 1 phaân toá taïi 1 ñieåm baát kì baùn kính
∫ρ
daáu tích phaân, khi ñoù tích phaân chính laø momen quaùn tính cöïc cuûa maët caét
2
dA Ip
phaân toá baèng ba caëp maët caét nhö sau: A

- Hai maët phaúng caét (1-1) vaø (2-2) thaúng goùc vôùi truïc caùch nhau ñoaïn dz. ngang ñoái vôùi taâm O.
dα dϕ dϕ
- Hai maët phaúng caét chöùa truïc hôïp vôùi nhau moät goùc
M z = ∫ Gρ dAρ = G Ip
ρ ρ +dρ .
- Hai maët caét truï ñoàng truïc z ( truïc thanh) baùn kính vaø dz dz
A
Theo caùc giaû thieát, trong quaù trình bieán daïng, so vôùi caùc ñieåm E, F, G, H thuoäc maët
caét (1-1); caùc ñieåm A, B, C, D cuûa phaân toá treân maët caét (2-2) dòch chuyeån ñeán A’, B’, C’,



Trang 107 - 177 Trang 108 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2



dϕ M z Mz
= Khi thanh goàm nhieàu ñoaïn, moãi ñoaïn coù laø haèng soá, thì toång quaùt:
Töø ñoù ta coù: . Coù theå thaáy raèng chính laø goùc xoaén treân 1 ñôn vò
dz GI p
dz GI p
dϕ Mz Mz Mz
ϕ = ∑(
, ta coù: θ = τρ = ρ
θ=
chieàu daøi, goïi laø goùc xoaén tyû ñoái (rad/m). ñaët vaø )i .
GI p Ip
dz GI p
i

ϕ
Öùng suaát tieáp thay ñoåi theo qui luaät baäc nhaát, baèng khoâng taïi taâm O vaø cöïc ñaïi taïi Goùc xoaén ñöôïc qui öôùc döông theo chieàu döông cuûa momen noäi löïc vaø ngöôïc laïi.
nhöõng ñieåm treân chu vi.
8.2.5. Ñieàu kieän beàn – ñieàu kieän cöùng
Bieåu ñoà öùng suaát tieáp taïi moïi ñieåm treân maët caét ngang, öùng suaát tieáp ñoái öùng treân
caùc maët caét chöùa truïc theå hieän treân hình veõ. Ñeå thanh chòu xoaén khoâng bò phaù hoaïi do beàn phaûi ñaûm baûo ñieàu kieän beàn:
τ0
τ max ≤ [τ ] = .
n
Ñoái vôùi thanh chòu xoaén, ngoaøi ñieàu kieän beàn coøn phaûi ñaûm baûo ñieàu kieän cöùng nhö
θ max ≤ [θ ] .
sau:
Coù theå tính toaùn thanh chòu xoaén theo ba baøi toaùn cô baûn nhö sau:
- kieåm tra beàn, cöùng (baøi toaùn kieåm tra)
- xaùc ñònh taûi toïng cho pheùp.
- xaùc ñònh ñöôøng kính (baøi toaùn thieát keá)
Mz
ρ = R , ta coù τ max =
Thay R
Ip
8.3. XOAÉN THANH THAÚNG TIEÁT DIEÄN CHÖÕ NHAÄT
Ip
Wρ =
Ñaët : momen choáng xoaén cuûa maët caét ngang. Thí ngheäm xoaén thanh tieát dieän chöõ nhaät cho thaáy nhöõng ñöôøng song song vaø thaúng vôùi truïc
R
khoâng coøn song song vaø thaúng goùc vôùi truïc, tieát dieän bò veânh, giaû thieát maët caét phaúng khoâng theå
Ip
= ≈ 0.2 D3 aùp duïng ñöôïc. Do ñoù khoâng theå döïa treân caùc giaû thieát maø ñôn giaûn hoùa baøi toaùn ñöôïc.
+ Vôùi tieát dieän troøn ñaëc vaø ñöôøng kính D: Wρ
R
Ip
≈ 0.2 D3 (1 − η 4 )
=
+ Vôùi tieát dieän troøn roãng vaø ñöôøng kính D, d: Wρ
R
Mz
τ max =
suy ra:
Wp

8.2.4. Coâng thöùc tính bieán daïng khi xoaén
Mz
dϕ = dz , laø goùc xoaén töông ñoái giöõa hai maët caét caùch nhau dz, do ñoù goùc
Ta coù:
GI p
Nghieân cöùu xoaén thanh tieát dieän chöõ nhaät baèng lyù thuyeát ñaøn hoài, ngöôøi ta thu ñöôïc caùc keát
xoaén töông ñoái giöõa hai maët caét caùch moät ñoaïn baèng chieàu daøi L cuûa thanh:
quaû nhö sau:
L
Mz
ϕ=∫ + Treân maët caét ngang chæ coù öùng suaát tieáp, taïi taâm vaø caùc goùc, öùng suaát tieáp baèng khoâng.
dz
Treân hai truïc ñoái xöùng cuûa tieát dieän, öùng suaát thay ñoåi theo ñöôøng cong, taêng daàn töø taâm vaø ñaït
GI p
0




Trang 109 - 177 Trang 110 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


giaù trò cöïc ñaïi taïi trung ñieåm caùc caïnh. Taïi trung ñieåm caïnh daøi, öùng suaát tieáp ñaït giaù trò lôùn nhaát
τ max ; taïi trung ñieåm caïnh ngaén, öùng suaát nhoû hôn τ max τ1 .
laø
+ Phaân boá öùng suaát tieáp taïi caùc ñieåm treân caùc truïc ñoái xöùng, caùc caïnh tieát dieän vaø
caùc ñöôøng cheùo ñöôïc bieåu dieän ôû hình döôùi




Ví dụ: một thanh bị ngàm chặt ở hai đầu, chịu tác dụng bởi các momen xoắn ngoại lực
M 1 và M 2 . Xác định momen xoắn ngoại lực tại hai đầu A, B

Giải:

Phương trình cân bằng:



Mz
τ max = ;τ = γτ max Hai đầu thanh bị ngàm chặt, do đó góc xoắn tương đối ϕ AB = 0 (đó là phương trình biến
a. Öùng suaát tieáp:
α hb 2 1 dạng). Bây giờ ta tưởng tượng bỏ qua một trong hai ngàm, ví dụ ngàm B và thay thế bởi
momen phản lực M B . Ðể tính góc xoay tương đối ϕ AB ta dùng phương pháp cộng tác
Mz
Goùc xoaén töông ñoái: θ =
b.
β hb3 dụng. Góc xoay tại B do các momen M 1 , M 2 và M B gây ra đồng thời sẽ bằng tổng các
α , β ,γ : góc xoay do từng momen một gây ra:
Trong ñoù: caùc heä soá phuï thuoäc tyû soá (caïnh daøi/caïnh ngaén) ñöôïc cho trong
baûng tra.


8.4. TÍNH LOØ XO XOAÉN HÌNH TRUÏ COÙ BÖÔÙC NGAÉN

Lò xo là một chi tiết được sử dụng rất rộng rãi trong kỹ thuật, ví dụ: trong các bộ phận
giảm chấn, các thiết bị bảo hiểm.....

Tham khaûo theâm trong caùc taøi lieäu tham khaûo.


8.5. BAØI TOÙAN XOAÉN SIEÂU TÓNH

Vậy góc xoay tổng cộng là:
Khi tính về xoắn, cũng như khi tính về kéo nén, ta có thể gặp những bài toán siêu tĩnh. Ðó
là những bài toán có số ẩn số lực nhiều hơn số phương trình cân bằng. Ðể giải bài toán này
ta phải lập thêm phương trình biến dạng



ϕ AB = 0 nên:



Trang 111 - 177 Trang 112 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2




CHÖÔNG 9 : THANH CHÒU LÖÏC PHÖÙC TAÏP
Dựa vào hai phương trình (1) và (2) ta tìm được M A và M B . Có được M A và M B
9.1. KHAÙI NIEÄM
ta có thể xác định được nội lực và biến dạng của thanh.


CAÙC VAÁN ÑEÀ SINH VIEÂN CAÀN NAÉM VÖÕNG ÔÛ CHÖÔNG 8 9.1.1. Ñònh nghóa
Thanh chòu löïc phöùc taïp khi treân caùc maët caét ngang coù taùc duïng ñoàng thôøi cuûa toå
1. Naém ñöïc khaùi nieäm xoaén thuaàn tuùy
hôïp caùc thaønh phaàn noäi löïc nhö löïc doïc Nz. moâmen uoán Mx, My, moâmen xoaén Mz (H.9.1)
2. Phaân bieät traïng thaùi xoaén thuaàn tuùy vôùi tröôït thuaàn tuøy, uoán thuaàn tuùy.
Khi moät thanh chòu löïc phöùc taïp, aûnh höôûng cuûa löïc caét ñeán ñoä beàn raát nhoû so vôùi
3. Coâng thöùc tính toaùn goùc xoay toaøn thanh.
caùc thaønh phaàn noäi löïc khaùc neân trong tính toaùn khoâng tính ñeán löïc caét.
4. Tính toaùn xoaén thanh thaúng tieát dieän troøn.
5. Vaän duïng thaønh thaïo baøi toaùn coäng taùc duïng ñeå giaûi quyeát vaán ñeà bieán daïng taïi 1
vò trí naøo ñoù.
6. Phaân tích ñöôïc caùc ñieàu kieän bieán daïng töông thích ñeå giaûi quyeát caùc baøi toaùn
sieâu tónh.




9.1.2. Phaïm vi nghieân cöùu
Trong chöông naøy chæ xeùt nhöõng thanh chòu löïc phöùc taïp maø trong quaù trình chòu löïc
coøn thoûa maõn ñieàu kieän söû duïng ñöôïc nguyeân lyù coäng taùc duïng, ñoù laø:

Vaät lieäu phaûi ñaøn hoài tuyeät ñoái vaø tuaân theo ñònh luaät Hooke.

Chuyeån vò vaø bieán daïng phaûi beù ñeå coù theå tính treân sô ñoà khoâng bieán daïng (sô ñoà
chöa coù taùc duïng cuûa löïc)



Trang 113 - 177 Trang 114 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


Nguyeân lyù coäng taùc duïng phaùt bieåu nhö sau: moät ñaïi löôïng do nhieàu nguyeân nhaân Ñaëc bieät vôùi thanh tieát dieän troøn, moïi ñöôøng kính ñeàu laø truïc ñoái xöùng, neân baát kì maët
phaúng chöùa truïc thanh naøo cuõng laø maët phaúng ñoái xöùng. Do ñoù thanh tieát dieän troøn luoân
taùc duïng ñoàng thôøi gaây ra thì baèng toång ñaïi löôïng ñoù do töøng nguyeân nhaân rieâng leû.
luoân chæ chòu uoán phaúng.
Nhôø ñoù, chuyeån vò hay öùng suaát do nhieàu thaønh phaàn noäi löïc taùc duïng ñoàng thôøi
ñöôïc phaân tích thaønh toång Chuyeån vò hay öùng suaát do töøng thaønh phaàn noäi löïc taùc duïng
9.2.2. Öùng suaát phaùp
rieâng leû. Maët khaùc coù theå söû duïng caùc keát quaû töø caùc baøi toaùn chòu löïc ñôn giaûn nhö
Taïi 1 ñieåm A(x,y) treân tieát dieän, neáu chæ coù Mz taùc duïng thì Jx gaây ra öùng suaát phaùp
thanh chòu keùo hay neùn ñuùng taâm, thanh chòu uoán phaúng hay thanh chòu xoaén thuaàn tuùy.
Mx
y
σz =
do uoán thuaàn tuùy trong maët phaúng yOz laø:
Ñeå vieäc nghieân cöùu ñöôïc thuaän lôïi, caùc baøi toaùn chòu löïc phöùc taïp ñöôïc xeùt theo thöù Ix
töï töø ñôn giaûn ñeán phöùc taïp laø: uoán xieân, uoán coäng keùo (hay neùn), keùo hay neùn leäch taâm,
Töông töï neáu chæ coù My taùc duïng thì öùng suaát phaùp do uoán thuaàn tuùy trong maët
uoán coäng xoaén vaø chòu löïc toång quaùt.
My
x
σz =
phaúng yOz laø:
Iy
9.2. UOÁN XIEÂN
Khi Mx, My cuøng taùc duïng thì theo nguyeân lyù coäng taùc duïng, ta coù
9.2.1. Ñònh nghóa:
My Mx
x+ y
σz =
Thanh chòu uoán xieân khi treân moïi maët caét ngang chæ coù 2 thaønh phaàn noäi löïc la (9.1)
Iy Ix
moâmen uoán Mx vaø moâmen uoán My taùc duïng trong caùc maët phaúng ñoái xöùng yoz vaø xoz
(H.10.2) Caùc soá haïng trong coâng thöùc (9.1) laø soá ñaïi soá, daáu cuûa moâmen uoán Mx, My vaø toïa
ñoä A(x,y) phaûi ñöôïc quy öôùc sao cho neáu Mx, My gaây keùo taïi ñieåm khaûo saùt thì öùng
suaát do chuùng gaây ra phaûi laø döông vaø ngöôïc laïi.

Nhö vaäy Mx, My laáy daáu döông khi chuùng gaây keùo taïi nhöõng ñieåm coù y, x döông, ta coù
theå choïn chieàu döông truïc y vaø truïc x veà phía gaây keùo cuûa Mx, My, khi ñoù soá haïng Mx,
My trong (9.1) laáy giaù trò tuyeät ñoái.

Trong tính toaùn thöïc haønh, thoâng thöôøng duøng coâng thöùc kyõ thuaät sau:

My
Mx
y± x
σz = ± (9.2)
Ix Iy
Theo cô hoïc lyù thuyeát, ta coù theå bieãu dieãn moâmen Mx vaø My baèng caùc veùctô thaúng
goùc vôùi maët phaúng taùc duïng cuûa chuùng, töùc laø treân caùc truïc x vaø y,hôïp 2 moâmen naøy laø Trong (9.2) laáy daáu (+) khi ñaïi löôïng ñoù gaây keùo vaø ngöôïc laïi.
moâmen toång Mu bieåu dieãn bôûi veùctô toång hình hoïc cuûa 2 veùctô Mx, My. Mu taùc duïng
trong maët phaúng voz, maët phaúng naøy thaúng goùc vôùi truïc u (chöùa veùctô Mu) vaø chöùa truïc
thanh (H10.3)

Vaäy coù theå noùi : thanh chòu uoán xieân khi treân caùc maët caét ngang chæ coù 1 moâmen uoán
Mu taùc duïng trong maët phaúng chöùa truïc maø khoâng truøng vôùi maët phaúng ñoái xöùng naøo.

Nhö treân hình H.9.3, ta coù M u = Mx + My
2 2




Trang 115 - 177 Trang 116 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


M MI
Mx
y + y x = 0 => y = − y . x .x (9.3)
Ix Iy Mx Iy

Phöông trình (9.3) coù daïng y = ax, ñöôøng trung hoøa laø 1 ñöôøng thaúng qua goác toïa ñoä.

Nhaän xeùt:

- Ñöôøng trung hoøa chia tieát dieän laøm 2 mieàn: mieàn chòu keùo vaø mieàn chòu neùn.

- Nhöõng ñieåm naèm treân nhöõng ñöôøng thaúng SONG SONG vôùi ñöôøng trung hoøa coù
cuøng giaù trò öùng suaát.

- Caøng xa ñöôøng trung hoøa, trò soá öùng suaát cuûa caùc ñieåm treân 1 ñöôøng thaúng vuoâng
goùc ñöôøng trung hoøa taêng theo luaät baäc nhaát.

Döïa treân caùc tính chaát naøy, coù theå bieåu dieãn söï phaân boá baèng bieàu ñoà öùng suaát
phaúng nhö sau.
9.2.3. Ñöôøng trung hoøa vaø bieåu ñoà öùng suaát
Keùo daøi ñöôøng trung hoøa, veõ ñöôøng chuaån vuoâng goùc vôùi ñöôøng trung hoøa taïi K, öùng
Coâng thöùc (9.1) laø 1 haøm 2 bieán, noù coù ñoà thò laø 1
suaát taïi moïi ñieåm treân ñöôøng trung hoøa ( σ z = 0 ) bieåu dieãn baèng ñieåm K treân ñöôøng
maët phaúng trong heä truïc Oxyz. Neáu bieåu dieãn giaù trò
σz chuaån. Söû duïng pheùp chieáu thaúng goùc, ñieåm naøo coù chaân hình chieáu xa K nhaát laø nhöõng
öùng suaát cho ôû (9.1) baèng caùc ñoaïn thaúng ñaïi soá
ñieåm chòu öùng suaát phaùp max.
theo truïc z ñònh höôùng döông ra ngoaøi maët caét
σ max
(H.10.4.a), ta thu ñöôïc moät maët phaúng chöùa ñaàu muùt - Ñieåm xa nhaát thuoäc mieàn keùo chòu öùng suaát keùo max, goïi la
caùc veùctô öùng suaát phaùp taïi moïi ñieåm treân tieát dieän, goïi
σ min
- Ñieåm xa nhaát thuoäc mieàn neùn chòu öùng suaát neùn max, goïi laø
laø maët öùng suaát (H.9.5.a).
σ max ,σ min
Tính roài bieåu dieãn baèng 2 ñoaïn thaúng veà 2 phía cuûa ñöôøng chuaån roài noái
laïi baèng ñöôøng thaúng, ñoù laø bieåu ñoà öùng suaát phaúng, trò soá öùng suaát taïi moïi ñieåm cuûa
tieát dieän treân ñöôøng thaúng song song vôi ñöôøng trung hoøa chính laø 1 tung ñoä treân bieåu
ñoà öùng suaát xaùc ñònh nhö ôû (H9.5.b)

9.2.4. Öùng suaát phaùp cöïc trò vaø ñieàu kieàn beàn
Goïi A(xA, yA) vaø B(xB, yB) laø 2 ñieåm xa ñöôøng trung hoøa nhaát veà phía chòu keùo vaø chòu
neùn, coâng thöùc (9.2) cho:

My
Mx
σ A = σ max = yA + xA
Ix Iy
Goïi giao tuyeán cuûa maët öùng suaát vaø maët caét ngang laø ñöôøng trung hoøa, ta thaáy,
(9.4)
ñöôøng trung hoøa laø 1 ñöôøng thaúng vaø laø quyõ tích cuûa nhöõng ñieåm treân maët caét ngang My
M
σ B = σ min = − x yB − xB
coù trò soá öùng suaát phaùp baèng 0.
Ix Iy
σ z = 0 , ta ñöôïc phöông trình ñöôøng trung hoøa:
Cho bieåu thöùc
Ñoái vôùi thanh tieát dieän chöõ nhaät (b.h), ñieåm xa ñöôøng trung hoøa nhaát luoân luoân laø caùc
ñieåm goùc cuûa tieát dieän, khi ñoù:

Trang 117 - 177 Trang 118 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


θ : góc hợp bởi phương của chuyển vị với trục x
b h
x A = xB = ; y A = yB =
2 2
9.3. UOÁN COÄNG KEÙO HAY NEÙN
My Mx My
Mx
σ max = σ min = −
+ − (9.5)
;
Wx Wy Wx Wy
9.3.1. Ñònh nghóa
bh 2 b2 h
Jy
J Thanh chòu uoán hay keùo (neùn) ñoàng thôøi khi treân caùc maët caét ngang coù caùc thaønh
Wx = x = Wy = =
;
h/2 6 b/2 6 phaàn noäi löïc laø moâmen uoán Mu vaø löïc doïc Nz.
Ñoái vôùi thanh tieát dieän troøn, khi tieát dieän chòu taùc duïng cuûa 2 moâmen uoán Mx, My Mu laø moâmen uoán taùc duïng trong maët phaúng chöùa truïc z, luoân luoân coù theå phaân
trong 2 maët phaúng vuoâng goùc yOz vaø xOz, moâmen toång laø Mu taùc duïng trong maët phaúng thaønh 2 moâmen uoán Mx vaø My trong maët phaúng ñoái xöùng yOz vaø xOz (H.9.11).
vOz cuõng laø maët phaúng ñoái xöùng, nghóa laø chæ chòu uoán phaúng, do ñoù:

π .D 3
Mu
σ max,min = ± ; M u = M x2 + M y ; Wu = ≈ 0,1D 3 (9.6)
2

Wu 32
Ñieàu kieàn beàn : treân maët caét ngang cuûa thanh chòu uoán xieân chæ coù öùng suaát phaùp,
khoâng coù öùng suaát tieáp, ñoù laø traïng thaùi öùng suaát ñôn, 2 ñieåm nguy hieåm laø 2 ñieåm chòu
σ max , σ min , tieát dieän beàn khi 2 ñieåm nguy hieåm treân thoûa maõn ñieàu kieàn beàn:
σ max ≤ [σ ]k , σ min ≤ [σ ]n (9.7)

[σ ]k = [σ ]n = [σ ] , ñieàu kieàn beàn ñöôïc thoûa khi
Ñoái vôùi vaät lieäu deûo :

max σ max , σ min ≤ [σ ] (9.8)


9.2.5. Ñoä voõng cuûa daàm khi uoán xieân
Gọi fx và fy là độ võng do Mx và My gây ra tại mặt cắt nào đó. Ðộ võng toàn phần f sẽ bằng tổng
hình học của fx và fy




Với cách đó ta có thể xác định được độ võng tại các mặt cắt khác nhau và

như vậy ta có thể xác định được đường đàn hồi của dầm.

Nếu đường đàn hồi nằm ngang trong mặt phẳng thì ta có uốn xiên phẳng,
nếu là một đường cong ghềnh thì gọi là uốn xiên không gian
9.3.2. Coâng thöùc öùng suaát phaùp
Phương của chuyển vị:
Aùp duïng nguyeân lyù coäng taùc duïng, ta thaáy baøi toaùn ñang xeùt laø toå hôïp cuûa thanh chòu
uoán xieân vaø keùo (neùn) ñuùng taâm. Do ñoù taïi 1 ñieåm baát kì treân maët caét ngang coù toïa ñoä
(x,y) chòu taùc duïng cuûa öùng suaát phaùp tính theo coâng thöùc sau :



Trang 119 - 177 Trang 120 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


soá öùng suaát cuûa caùc ñieåm treân 1 ñöôøng thaúng vuoâng goùc ñöôøng trung hoøa taêng theo luaät
M
Nz M x
σz = + y+ y x (9.9)
baäc nhaát. Nhöõng ñieåm xa ñöôøng trung hoøa nhaát coù giaù trò öùng suaát lôùn nhaát.
A Ix Iy
Roõ raøng ñöôøng trung hoøa chia tieát dieän laøm 2 mieàn : mieàn chòu keùo vaø mieàn chòu neùn.
ÖÙùng suaát phaùp gaây keùo ñöôïc quy öôùc döông.
Nhôø tính chaát naøy ta coù theå bieåu dieãn söï phaân boá öùng suaát phaùp treân maët caét ngang
Caùc soá haïng trong coâng thöùc(9.9) laø soá ñaïi soá, öùng suaát do Nz laáy (+) khi löïc doïc laø baèng bieåu ñoà öùng suaát phaúng nhö sau:
keùo vaø ngöôïc laïi, öùng suaát do Mx, My laáy daáu nhö coâng thöùc (9.1) cuûa uoán xieân, neáu
Keùo daøi ñöôøng trung hoøa ra ngoaøi tieát dieän , veõ ñöôøng chuaån vuoâng goùc vôùi ñöôøng
ñinh höôùng truïc y,x döông veà phía gaây keùo cuûa Mx, My thì laáy theo daáâu cuûa y,x.
trung hoøa taïi O, ñoù cuõng laø ñieåm bieåu dieãn giaù trò öùng suaát phaùp taïi moïi ñieåm treân ñöôøng
(HÌNH VEÕ) trung hoøa. Söû duïng pheùp chieáu thaúng goùc, chieáu moïi ñieåm treân nhöõng ñöôøng SONG
SONG vôùi ñöôøng trung hoøa leân ñöôøng chuaån, ñieåm naøo coù chaân hình chieáu xa o nhaát laø
Khi tính toaùn thöïc haønh, ta cuõng duøng coâng thöùc kyõ thuaät:
nhöõng ñieåm chòu öùng suaát phaùp max.
My
N M
σz = ± z ± x y ± x (9.10) σ max
- Ñieåm xa nhaát thuoäc mieàn keùo chòu öùng suaát keùo max, goïi laø
A Ix Iy
σ min
- Ñieåm xa nhaát thuoäc mieàn neùn chòu öùng suaát neùn max, goïi laø
Trong coâng thöùc (9.10), öùng vôùi moãi soá haïng, ta laáy daáu (+) neáu ñaïi löôïng ñoù gaây
σ max ,σ min baèng caùc tung ñoä veà 2 phía ñöôøng chuaån roài noái chuùng laïi
Bieåu dieãn giaù trò
keùo vaø ngöôïc laïi.
baèng ñöôøng thaúng, ñoù laø bieåu ñoà öùng suaát phaúng.
9.3.3. Ñöôøng trung hoøa vaø bieåu ñoà öùng suaát phaùp
9.3.4. Öùng suaát phaùp cöïc trò vaø ñieàu kieàn beàn
Töông töï nhö trong uoán xieân, coù theå thaáy raèng phöông trình (9.9) laø 1 haøm 2 bieán
σ z = f (x , y ) , neáu bieåu dieãn trong heä truïc Oxyz, vôùi O laø taâm maët caét ngang vaø σ z ñònh Goïi A(xA, yA) vaø B(xB, yB) laø 2 ñieåm xa ñöôøng trung hoøa nhaát veà phía chòu keùo vaø chòu
neùn, aùp duïng coâng thöùc (9.10) cho ta coâng thöùc tính öùng suaát phaùp cöïc trò:
höôùng döông ra ngoaøi maët caét, thì haøm (9.9) bieåu dieãn 1 maët phaúng, goïi laø maët öùng
suaát, giao tuyeán cuûa noù vôùi maët caét ngang laø ñöôøng trung hoøa. Deã thaáy raèng ñöôøng trung
My
M
Nz
σ A = σ max = ± + x yA +
hoøa laø 1 ñöôøng thaúng chöùa taát caû nhöõng ñieåm treân maët caét ngang coù trò soá öùng suaát phaùp xA
A Ix Iy
baèng 0. (9.12)
My
σ z = 0 , ta coù phöông trình ñöôøng trung hoøa: M
N
Töø ñoù, cho σ B = σ min = ± z − x yB − xB
A Ix Iy
M y Ix NI
y=− . .x − z x (9.11)
Theo (9.12), ta thaáy, khi öùng suaát do löïc doïc traùi daáu vôùi öùng suaát do Mx, My vaø coù trò
Mx Iy A Mx
soá lôn hôn toång trò soá tuyeät ñoái do caùc öùng suaát do Mx, My, ñöôøng trung hoøa naèm ngoaøi
Phöông trình (9.11) coù daïng y = ax+b, ñoù laø 1 ñöôøng thaúng khoâng qua goác toïa ñoä, maët caét, treân maët caét ngang chæ coù öùng suaát 1 daáu ( chæ chòu keùo hoaëc chæ chòu neùn).
NI
b=− z x - Vôùi thanh tieát dieän chöõ nhaät, ñieåm nguy hieåm nhaát A, B luoân luoân laø caùc ñieåm goùc
caét truïc y taïi tung ñoä
A Mx cuûa tieát dieän
Ñeå söû duïng (9.11) thuaän lôïi, ta neân ñònh höôùng truïc x,y nhö khi söû duïng coâng thöùc
(9.9), coøn Nz vaãn laáy daáu theo quy öôùc löïc doïc.

Maët khaùc, do tính chaát maët phaúng öùng suaát, nhöõng ñieåm naèm treân nhöõng ñöôøng thaúng
SONG SONG vôùi ñöôøng trung hoøa coù cuøng giaù trò öùng suaát. Caøng xa ñöôøng trung hoøa, trò



Trang 121 - 177 Trang 122 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


M x = P. yk
b h
x A = xB = ; y A = yB = (9.15)
M y = P.xk
2 2
My
Nz M
σ A = σ max = ± + x yA + Chieàu cuûa moâmen laáy theo nguyeân lí dôøi löïc.
(9.13)
xA
A Ix Iy
Do ñoù, taát caû coâng thöùc ñaõ ñöôïc thieát laäp cho baøi toaùn uoán coäng keùo hay neùn ñoàng
My thôøi ñeàu aùp duïng ñöôïc cho baøi toaùn keùo hay neùn leäch taâm.
N M
σ B = σ min = ± z − x yB − xB
A Ix Iy
9.3.6. Loõi tieát dieän
Vôùi thanh tieát dieän troøn, moâmen toång cuûa Mx, My laø Mu gaây uoán thuaàn tuùy thaúng, khi Ñoái vôùi thanh chòu keùo hay neùn leäch taâm, phöông trình ñöôøng trung hoøa coù theå vieát ôû
ñoù ta coù coâng thöùc tính öùng suaát phaùp cöïc trò: daïng khaùc. Cho phöông trình ñöôøng trung hoøa giaù trò baèng khoâng:

NZ M M
Nz M x
σ max = σ A = ± +u σz = + y+ y x=0
A Wu A Ix Iy
M
NZ
M x = N z . y K ; M y = N z . xK
σ min = σ B = ± Thay
−u (9.13)
A Wu
My
Nz M x
M u = M x2 + M y + y+ x=0
2

A Ix Iy
Thanh chòu uoán coäng keùo hay neùn ñoàng thôøi chæ gaây ra öùng suaát phaùp treân maët caét
⎡ yK .F ⎤
Nz x .F
⎢1 + y+ K x⎥ = 0
ngang, taïi ñieåm nguy hieåm, phaân toá ôû traïng thaùi öùng suaát ñôn, do ñoù ñieàu kieàn beàn cuûa
⎢ ⎥
A Ix Iy
⎣ ⎦
thanh laø:

σ max ≤ [σ ]k , σ min ≤ [σ ]n (9.14) Iy
Ix
ix = iy =
Ñaët ;
A A
9.3.5. Thanh chòu keùo hay neùn leäch taâm
y K . y xK . x
1+ + 2 =0
Thanh chòu keùo hay neùn leäch taâm khi ngoaïi löïc hay noäi löïc taùc duïng treân maët caét 2
ix iy
ngang töông ñöông 1 löïc P song song truïc thanh maø khoâng truøng vôùi truïc thanh. Neàu
löïc P naøy höôùng vaøo maët caét, thaùnh chòu neùn leäch taâm, ngöôïc laïi, neáu P höôùng ra, thanh 2 2
iy ix
a=− b=− (9.16)
;
chòu keùo leäch taâm (H.9.14.a)
xK yK
Trong thöïc teá, baøi toaùn neùn leäch taâm raát thöôøng gaëp trong tính toaùn coät moùng nhaø
Ta thu ñöôïc daïng khaùc cuûa phöông trình ñöôøng trung hoøa:
coâng nghieäp hay daân duïng, trong tính toaùn truï, moùng caàu thaùp…
xy
Aùp duïng nguyeân lí dôøi löïc, ñöa löïc keùo hay neùn leäch taâm veà taâm tieát dieän, ta coù theå + =1 (9.17)
ab
chöùng minh 2 tröôøng hôïp naøy thöïc chaát laø baøi toaùn uoán coäng keùo hay neùn ñoàng thôøi.
Treân H.9.14.a, goïi K(xK,yK) laø ñieåm ñaït löïc leäch taâm P, dôøi veà taâm O, ta coù: Töø (9.16), (9.17), ta thaáy ñöôøng trung hoøa coù caùc tính chaát sau:

N z = ± P , laáy (+) khi P laø löïc keùo, ngöôïc laïi, laáy (-) Ñöôøng trung hoøa caét truïc x tai a vaø truïc tung taïi b
-

Ñöôøng trung hoøa khoâng bao giôø qua phaàn tö chöùa ñieåm ñaët löïc K vì a, b luoân
-
traùi daàu vôùi xK, yK.

Trang 123 - 177 Trang 124 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


Ñieåm ñaët löïc tieán gaàn taâm O cuûa tieát dieän thì ñöôøng trung hoøa rôøi xa taâm vì xK,
-
yK giaûm thì a, b taêng.

Khi ñöôøng trung hoøa naèm ngoaøi tieát dieän, treân tieát dieän chæ chòu öùng suaát 1 daáu
-
: keùo hoaëc neùn.

Goïi loõi tieát dieän laø khu vöïc bao quanh taâm sao cho khi löïc leäch taâm ñaët trong phaïm vi
ñoù thì ñöôøng trung hoøa hoaøn toaøn naèm ngoaøi tieát dieän.

Vôùi 1 thanh chòu keùo hay neùn leäch taâm, vieäc xaùc ñònh loõi tieát dieän coù yù nghóa thöïc
tieãn. Trong thöïc teá coù nhieàu loaïi vaät lieäu chæ chòu neùn toát nhö gaïch, ñaù, gang, beâ toâng
khoâng theùp…, neáu chuùng chòu neùn leäch taâm maø löïc neùn ñaët ngoaøi loõi tieát dieän, öùng
suaát keùo phaùt sinh coù theå lôùn hôn khaû naêng chòu keùo cuûa chuùng, khi ñoù vaät lieäu seõ bò
phaù hoaïi, ñeå taän duïng toát khaû naêng chòu löïc cuûa vaät lieäu caàn thieát ñaët löïc neùn trong loõi
tieát dieän.

Coù theå xaùc ñònh loõi tieát dieän theo caùch sau:

Giaû söû ñöôøng trung hoøa tieáp xuùc 1 caïnh tieát dieän, töø (9.17) ta vieát ñöôïc phöông trình
ñöôøng trung hoøa, roài töø (9.16) ta suy ra toïa ñoä ñieåm ñaët löïc K töông öùng vôùi vò trí ñöôøng
trung hoøa. Aùp duïng caùch töông töï Ñoái vôùi taát caû caùc caïnh coøn laïi, noái vò trí caùc ñieåm ñaët
Nếu điểm đặt lực di chuyển trên đường thẳng PP (hình 9-14b) không đi qua trọng tâm mặt cắt thì
löïc, ta ñöôïc loõi tieát dieän. Ñeå yù raèng, duø tieát dieän laø ña giaùc loõm thì loõi tieát dieän luoân laø 1
đường trung hòa quay chung quanh một điểm K có tọa độ
ña giaùc loài.
Nếu điểm đặt lực di chuyển theo đường thẳng PP đi qua trọng tâm O của mặt cắt thì đường trung
hòa tịnh tiến (không quay) đến gần hoặc xa ra trọng tâm tùy theo điểm đặt lực di chuyển ra xa hoặc
đến gần trọng tâm. Trên hình vẽ (9-14a) vị trí các đường trung hòa (n1n1, n2n2 và n3n3; n0n0 đi ra
xa vô cùng) và biểu đồ ( tương ứng khi lực kéo P đặt tại các điểm O, 1, 2, 3 trên đường thẳng PP
Ngược lại, nếu đừơng trung hòa quay chung quanh một điểm cố định có tọa độ x0 và y0 thì điểm
(hình 9-14a)
đặt lực di chuyển trên đường thẳng PP không đi qua trọng tâm mặt cắt và có phương trình sau




Nếu điểm đặt lực nằm trên một trong những trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt thì thanh
đồng thời bị kéo hoặc nén dọc trục và uốn phẳng thuần túy. Trong trường hợp đó các công thức trên
vẫn đúng nhưng cần cho xP = 0 (nếu điểm đặt lực nằm trên trục y) hoặc yp = 0 (nếu điểm đặt lực
nằm trên trục x)

Ðể đảm bảo độ bền cho những thanh làm bằng vật liệu dòn chịu kéo đứt kém, ta cần phải đặt lực
lệch tâm thế nào đêí trên mặt cắt ngang không có ứng suất kéo.

Phần mặt phẳng của mặt cắt ngang có chứa trọng tâm và giới hạn bởi một chu tuyến kín để khi
đặt lực vào trong đó ứng suất tại mọi điểm của mặt cắt chỉ có một dấu (nén), gọi là lõi của mặt cắt.



Trang 125 - 177 Trang 126 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


9.4. UOÁN COÄNG XOAÉN
Chu tuyến của lõi là quỹ tích những điểm đặt lực lệch tâm, tương ứng với các điểm này, đường trung
hòa tiếp xúc với chu tuyến mặt cắt và không cắt mặt cắt ở chỗ nào.

9.4.1. Ñònh nghóa:
Những trường hợp đặc biệt:
Thanh chòu uoán coäng xoaén khi treân caùc maët caét
ngang coù taùc duïng ñoàng thôøi cuûa moâmen uoán Mu
trong maët phaúng chöùa truïc thanh vaø moâmen xoaén
Mz.

9.4.2. Thanh tieát dieän chöõ nhaät:
Uoán xoaén thanh tieát dieän chöõ nhaät thöôøng gaëp
trong trình daân duïng nhö lanh toâ ñôõ oâ vaêng, daàm
chòu löïc ngoaøi maët phaúng ñoái xöùng, thanh chòu uoán
trong heä khoâng gian…

Xeùt moät tieát dieän chöõ nhaät chòu uoán xoaén (H.9.20)
trong ñoù moâmen uoán Mu ñaõ ñöôïc phaân tích thaønh 2
moâmen uoán Mx, My trong caùc maët phaúng quaùn tính chính trung taâm yOz, xOz.




Aùp duïng nguyeân lyù coäng taùc duïng vaø ló thuyeát veà uoán, veà xoaén, ta ñöôïc caùc keát quaû
nhö sau (H.9.20.b):

Taïi caùc goùc tieát dieän (A, B), chæ coù öùng suaát phaùp lôùn nhaát do Mx, My, phaân toá ôû
traïng thaùi öùng suaát ñôn:

My
Mx
σ max,min = ± ± (9.19)
Wx Wy

Ñieàu kieàn beàn:



Trang 127 - 177 Trang 128 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


σ max ≤ [σ ]k , σ min ≤ [σ ]n
Taïi ñieåm giöõa caïnh ngaén (C,D), chòu öùng suaát phaùp lôùn nhaát do Mx vaø öùng suaát tieáp
τ1 do Mz, phaân toá ôû traïng thaùi öùng suaát phaúng:

Mx
σ max,min = ± τ 1 = γτ max (9.20)
;
Wx
Ñieàu kieàn beàn:

σ 2 + 4τ 2 ≤ [σ ]
Theo thuyeát beàn thöù 3 :
σ max,min ,
Döôùi taùc duïng cuûa moâmen uoán Mu, 2 ñieåm A, B chòu öùng suaát phaùp max
σ + 3τ ≤ [σ ]
Theo thuyeát beàn thöù 4 :
2 2
τ max ,
ngoaøi ra , do taùc duïng cuûa moâmen xoaén Mz, taïi 2 ñieåm A, B coøn chòu öùng suaát tieáp
ñoù laø 2 ñieåm gnuy hieåm nhaát treân tieát dieän.
Taïi ñieåm giöõa caïnh daøi (E, F), chòu öùng suaát phaùp lôùn nhaát do My vaø öùng suaát tieáp
τ 1max do Mz, phaân toá ôû traïng thaùi öùng suaát phaúng: Mu
σ max,min = ± M u = M x2 + M y
Ta coù: (9.22)
2
;
Wu
My Mz
σ max,min = ± τ max =
;
α hb 2 Mz
Wy
τ max =
Wp
Ñieàu kieàn beàn:
Phaân toá ñang xeùt vöøa chòu öùng suaát phaùp vöøa chòu öùng suaát tieáp, ñoù laø phaân toá ôû
σ 2 + 4τ 2 ≤ [σ ]
Theo thuyeát beàn thöù 3 :
traïng thaùi öùng suaát phaúng.

σ 2 + 3τ 2 ≤ [σ ] Ñieàu kieàn beàn:
Theo thuyeát beàn thöù 4 :

σ 2 + 4τ 2 ≤ [σ ]
Theo thuyeát beàn thöù 3 :
9.4.3. Tieát dieän troøn:
σ 2 + 3τ 2 ≤ [σ ]
Thanh tieát dieän troøn chòu uoán xoaén ñoàng thôøi raát thöôøng gaëp khi tính truïc truyeàn ñoäng Theo thuyeát beàn thöù 4 :
vì quaù trình truyeàn taùc duïng xoaén qua caùc puli luoân keøm theo taùc duïng uoán do löïc caêng
daây ñai, do troïng löôïng baûn thaân truïc, puli…
9.5. THANH CHÒU LÖÏC TOÅNG QUAÙT:
Xeùt 1 thanh tieát dieän troøn chòu taùc duïng cuûa moâmen uoán Mu vaø moâmen xoaén Mz
(H.9.21.a). Neáu coù nhieàu ngoaïi löïc gaây uoán taùc duïng trong nhöõng maët phaúng khaùc 9.5.1. Ñònh nghóa:
nhau, ta luoân luoân phaân tích chuùng thaønh caùc thaønh phaàn taùc duïng trong 2 maët phaúng Thanh chòu löïc toång quaùt khi treân caùc maët caét ngang
vuoâng goùc yOz, xOz, töø ñoù xaùc ñònh Mx, My, sau ñoù xaùc ñònh moâmen toång coù taùc duïng cuûa löïc doïc Nz, moâmen uoán Mu vaø moâmen
M u = M x2 + M y . xoaén Mz.
2



Aùp duïng nguyeân lyù coäng taùc duïng vaø ló thuyeát veà uoán, veà xoaén, ta ñöôïc caùc keát quaû
nhö sau (H.9.21.b): Thanh chòu löïc toång quaùt thöôøng gaëp khi tính caùc
thanh chòu löïc theo sô ñoà khoâng gian.


Trang 129 - 177 Trang 130 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


9.5.2. Thanh tieát dieän chöõ nhaät M
Nz
σ max,min = ± τ 1 = γτ max
± x; (9.26)
Aùp duïng nguyeân lyù coäng taùc duïng vaø lí thuyeát veà keùo (neùn) , veà A Wx
uoán vaø veà xoaén, ta ñöôïc keát quaû nhö sau (H.9.24.1,b):
Ñieàu kieàn beàn:

σ 2 + 4τ 2 ≤ [σ ]
Theo thuyeát beàn thöù 3 :


σ 2 + 3τ 2 ≤ [σ ]
Theo thuyeát beàn thöù 4 :


9.5.3. Thanh thanh tieát dieän troøn:
Ñieåm nguy hieåm naèm treân chu vi, ñoù laø 2 ñieåm A, B. Hai ñieåm naøy vöøa chòu öùng suaát
phaùp max do moâmen Mu vaø löïc doïc Nz, vöøa chòu öùng suaát tieáp max do Mz, phaân toá ôû
traïng thaùi öùng suaát phaúng:

M
Nz
σ max,min = ± ± u ; M u = M x2 + M y (9.27)
2

A Wu

Taïi caùc goùc tieát dieän, chæ coù öùng suaát phaùp do Nz, Mx, My, phaân toá ôû traïng thaùi öùng Mz
τ max =
suaát ñôn: Wp
My
M
Nz
σ max,min = ± ± x± (9.23)
A Wx Wy

σ max ≤ [σ ]k ,σ min ≤ [σ ]n
Ñieàu kieàn beàn:

Taïi ñieåm giöõa caïnh daøi, phaân toá vöøa chòu öùng suaát phaùp do My vaø löïc doïc Nz, vöøa
chòu öùng suaát tieáp max do Mz, ñoù laø phaân toá ôû traïng thaùi öùng suaát phaúng:

My
Nz Mz
σ max,min = ± τ max =
± (9.24)
;
α hb 2
A Wy
Ñieàu kieàn beàn:
Ñieàu kieàn beàn:

σ 2 + 4τ 2 ≤ [σ ]
σ 2 + 4τ 2 ≤ [σ ] Theo thuyeát beàn thöù 3 :
Theo thuyeát beàn thöù 3 :

σ 2 + 3τ 2 ≤ [σ ]
σ 2 + 3τ 2 ≤ [σ ] Theo thuyeát beàn thöù 4 :
Theo thuyeát beàn thöù 4 : (9.25)

Taïi ñieåm giöõa caïnh ngaén, phaân toá vöøa chòu öùng suaát phaùp max do Mx vaø löïc doïc Nz,
vöøa chòu öùng suaát tieáp do Mz, phaân toá ôû traïng thaùi öùng suaát phaúng:




Trang 131 - 177 Trang 132 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


CAÙC VAÁN ÑEÀ SINH VIEÂN CAÀN NAÉM VÖÕNG ÔÛ CHÖÔNG 9
CHÖÔNG 10: OÅN ÑÒNH CUÛA THANH THAÚNG CHÒU NEÙN
1.

10.1. KHAÙI NIEÄM VEÀ SÖÏ OÅN ÑÒNH CUÛA TRAÏNG THAÙI CAÂN BAÈNG

Ñeå ñaùp öùng yeâu caàu chòu löïc bình thöôøng, 1 thanh phaûi thoûa maõn ñieàu kieàn beàn vaø
cöùng, nhö ñaõ ñöôïc trình baøy trong caùc chöông tröôùc ñaây. Tuy nhieân, trong nhieàu tröôøng
hôïp, thanh coøn phaûi thoûa maõn theâm ñieàu kieän oån ñònh. Ñoù laø khaû naêng duy trì hình thöùc
bieán daïng ban ñaàu neáu bò nhieãu. Trong thöïc teá, nhieãu coù theå laø caùc yeáu toá sai leäch so
vôùi sô ñoà tính nhö ñoä cong ban ñaàu, söï nghieâng hoaëc leäch taâm cuûa löïc taùc duïng…

Khaùi nieäm oån ñònh coù theå minh hoïa baèng caùch xeùt söï caân baèng cuûa quaû caàu treân caùc
maët loõm, loài vaø phaúng treân H.10.1.




Neáu cho quaû caàu 1 chuyeån dòch nhoû (goïi laø nhieãu) töø vò trí ban ñaàu sang vò trí laân caän
roài boû nhieãu ñi thì:

- Treân maët loõm, quaû caàu quay veà vò trí ban ñaàu : söï caân baèng ôû vò trí ban ñaàu laø oån
ñònh.

- Treân maët loài, quaû caàu chuyeån ñoäng ra xa hôn vò trí ban ñaàu : söï caân baèng ôû vò trí
ban ñaàu laø khoâng oån ñònh.

- Treân maët phaúng, quaû caàu giöõ nguyeân vò trí môùi: söï caân baèng ôû vò trí ban ñaàu laø
phieám ñònh.

Hieän töôïng töông töï cuõng coù theå xaûy ra Ñoái vôùi söï caân baèng veà traïng thaùi bieán daïng
cuûa heä ñaøn hoài. Chaúng haïn vôùi thanh chòu neùn treân H.10.2. Trong ñieàu kieän lí töôûng
(thanh thaúng tuyeät ñoái, löïc P hoaøn toaøn ñuùng taâm…) thì thanh seõ giöõ hình daïng thaúng, chæ
co ngaén do chòu neùn ñuùng taâm. Neáu cho ñieåm ñaët löïc P 1 chuyeån vò beù δ do 1 löïc ngang
naøo ñoù gaây ra, sau ñoù boû löïc naøy ñi thì seõ xaûy ra caùc tröôøng hôïp bieán daïng nhö sau:

Neáu löïc P< 1 giaù trò Pth naøo ñoù, goïi laø löïc tôùi haïn, töùc laø PPth thì chuyeån vò seõ taêng vaø thanh bò cong theâm. Söï caân baèng cuûa traïng 10.2. LÖÏC TÔÙI HAÏN CUÛA THANH THAÚNG CHÒU NEÙN ÑUÙNG TAÂM
thaùi phaúng laø khoâng oån ñònh.
10.2.1. Thanh lieân keát khôùp 2 ñaàu:
ÖÙng vôùi P=Pth thì thanh vaãn giöõ nguyeân chuyeån vò ……vaø traïng thaùi bieán daïng cong.
Xeùt thanh thaúng lieân keát khôùp 2 ñaàu, chòu neùn bôûi löïc tôùi haïn Pth. Khi bò nhieãu, thanh
Söï caân baèng cuûa traïng thaùi phaúng laø phieám ñònh.
seõ boï uoán cong trong maët phaúng coù ñoä cöùng uoán nhoû nhaát, vaø caân baèng ôû hình daïng
môùi nhö treân H.10.4a.

Goïi ñoä cöùng choáng uoán trong maët phaúng uoán cong laø EI. Vôùi giaû thieát vaät lieäu ñaøn hoài
tuyeán tính vaø chuyeån vò beù, ta coù phöông trình vi phaân ñöôøng ñaøn hoài:

M
y" = − (10.1)
EI
Trong ñoù moâmen uoán ñöôïc xaùc ñònh töø ñieàu kieän caân baèng treân H.10.4b:

δ M = Pth y (10.2)
Ñoà thò quan heä giöõa löïc neùn P vaø chuyeån vò ñöôïc theå hieän
treân H.10.2.c. Ñieåm B ñöôïc goïi la ñieåm phaân nhaùnh. Khi P>Pth thì
daïng caân baèng thaúng ( δ = 0 ) laø khoâng oån ñònh; trong thöïc teá thanh seõ chuyeån vò δ vaø
chuyeån sang hình thöùc bieán daïng môùi bò uoáng cong, khaùc tröôùc veà tính chaát, baát lôïi veà
ñieàu kieän chòu löïc.




Theá (10.2) vaøo (10.1) ta coù :

Caùc keát caáu khaùc nhau ñeàu coù theå bò maát oån ñònh nhö thanh chòu neùn, daàm chòu uoán, Pth y Pth y
y" = − y "+ =0
Hay:
taám chòu neùn, voû chòu neùn hoaëc xoaén…nhö minh hoïa treân H.10.3. EI EI
Vieäc nghieân cöùu hieän töôïng oån ñònh cuûa traïng thaùi bieán daïng coù yù nghóa thöïc tieãn Pth y
α2 = ta thu ñöôïc: y "+ α y = 0
Ñaët (10.3)
2
quan troïng. Khi xaûy ra maát oån ñònh duø chæ cuûa 1 thanh cuõng daãn tôùi söï suïp ñoå cuûa toaøn EI
boä keát caáu. Tính chaát phaù hoaïi do maát oån ñònh laø ñoät ngoät vaø nguy hieåm. Trong lòch söû
Ngieäm toång quaùt cuûa (10.3) laø :
ngaønh xaây döïng ñaõ töøng xaûy ra nhöõng thaûm hoïa saäp caàu chæ vì söï maát oån ñònh cuûa 1
y = C1 cos α z + C2 sin α z (10.4)
thanh daøn chòu neùn nhö caàu Mekhelstein ôû Thuïy Só (1891), caàu Lavrentia ôû Myõ
(1907)…Vì vaät khi thieát keá caàn phaûi ñaûm baûo caû ñieàu kieän oån ñònh, ngoaøi ñieàu kieàn beàn Caùc haèng soá ñöôïc xaùc ñònh töø ñieàu kieän bieân y(0)=0 vaø y(l)=0.
vaø ñieàu kieän cöùng ñaõ neâu tröôùc ñay.
Vôùi y(0)=0 C1=0
Vaán ñeà oån ñònh keát caáu coù noäi dung roäng, trong chöông naøy chuû yeáu giôùi thieäu baøi
C2 sin α l = 0
y(l)=0
toaùn oån ñònh cuûa thanh thaúng chòu neùn.
sin α l = 0
do ñoù

Trang 135 - 177 Trang 136 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


nπ 2 EI
α l = nπ Pth =
, vôùi n =1, 2, 3,…, hay
phöông trình naøy coù nghieäm (10.5)
l2
Trong thöïc teá, khi löïc neùn ñaït ñeán giaù trò tôùi haïn nhoû nhaát theo (10.5) öùng vôùi n=1 thì
thanh ñaõ bò cong. Vì vaät, caùc giaù trò öùng vôùi n > 1 khoâng coù yù nghóa. DO ñoù, coâng thöùc
π 2 EI
Pth =
tính löïc tôùi haïn cuûa thanh thaúng 2 ñaaàu lieân keát khôùp laø (10.6)
l2
πz
y = C2 sin
Ñöôøng ñaøn hoøi töông öùng coù daïng 1 nöûa soùng hình sin :
l
vôùi C2 laø 1 haèng soá beù, theå hieän ñoä voõng giöõa nhòp.

10.2.2. Thanh coù caùc lieân keát khaùc
Khi aùp duïng phöông phaùp treân cho thanh coù caùc lieân keát khaùc nhau ôû 2 ñaàu, ngöôøi
10.2.3. ÖÙùng suaát tôùi haïn
ta thu ñöôïc coâng thöùc tính löïc tôùi h aïn coù daïng chung:
ÖÙùng suaát trong thanh thaúng chòu neùn ñuùng taâm bôûi löïc Pth goïi laø öùng suaát tôùi haïn vaø
n 2π 2 EI
Pth = (10.8) ñöôïc xaùc ñònh theo coâng thöùc:
l2
π 2 EI π 2 Er 2 π 2E
Pth Pth
σ th = σ th =
vôùi : n laø soá nöûa soùng hình sine cuûa ñöôøng ñaøn hoài khi maát oån ñònh. = = =
hay (10.10)
A ( μ l )2 A ( μ l )2 A ⎛ μl ⎞2
⎜⎟
1
μ=
Neáu ñaët , goïi laø heä soá quy ñoûi, thì (10.8) ñöôïc vieát laïi nhö döôùi ñaây vaø ñöôïc ⎝r⎠
n
π 2 EI I
r=
Pth = trong ñoù laø baùn kính quaùn tính cuûa tieát dieän trongmp uoán
goïi chung laø coâng thöùc Euler:
( μl )
2
A
μl
μl λ=
goïi laø chieàu daøi quy ñoåi cuûa thanh ( ra sô ñoà lieân keát khôùp 2 ñaàu).Daïng
Trò soá Ñaët goïi laø ñoä maûnh cuûa thanh, thì coâng thöùc (10.10) trôû thaønh:
r
μ
maát oån ñònh vaø heä soá cuûa thanh coù lieân keát 2 ñaàu khaùc nhau theå hieän treân H.10.5.
π 2E
σ th = (10.11)
λ2
λ
Ñoä maûnh khoâng coù thöù nguyeân, phuï thuoäc vaøo chieàu daøi thanh, ñieàu kieän lieân keát
vaø ñaëc tröng hình hoïc cuûa tieát dieän, thanh coù ñoä maûnh caøng lôùn thì caøng deã maát oån ñònh.

10.2.4. Giôùi haïn duøng cuûa coâng thöùc Euler
Coâng thöùc Euler ñöôïc xaây döïng treân cô sôû phöông trình vi phaân ñöôøng ñaøn hoài, vì
vaäy chæ aùp duïng ñöôïc khi vaät lieäu coøn laøm vieäc trong giai ñoaïn ñaøn hoài, töùc laø öùng suaát
trong thanh nhoû hôn giôùi haïn tyû leä:




Trang 137 - 177 Trang 138 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


Lực tới hạn Pth = (th.F = 14300.32,4 = 463.103N
π 2E π 2E
σ th = ≤ σ tl λ≥
hay (10.12)
λ2 σ tl

π 2E
λo =
neáu ñaët (10.13)
σ tl b) Khi thanh cao 2,25m:

Vì (1 = 61,4 < ( = 90 < (0 = 100
λ ≥ λo
thì ñieàu kieän aùp duïng cuûa coâng thöùc Euler laø: (10.14)
Ta dùng công thức Iasinski:
λo ñöôïc goïi la ñoä maûnh giôùi haïn vaø laø 1 haèng soá Ñoái vôùi moãi loaïi vaät lieäu.
trong ñoù :
= 31000 - 11490 = 19720N/cm2
= a - b.
λo = 100
Chaúng haïn : vôùi theùp xaây döïng thoâng thöôøng
th


Lực tới hạn: Pth = (th.F = 19720.32,4 = 638,9.103N
λo = 75 ; vôùi gang λo = 80
vôùi goã
Trong những phần trình bày ở trên, ta xét trường hợp liên kết của thanh là như nhau trong hai
λ ≥ λo
Neáu thì goïi laø ñoä maûnh lôùn. Nhö vaäy, coâng thöùc Euler chæ aùp duïng cho thanh
mặt phẳng quán tính chính trung tâm của mặt cắt. Như vậy, khi mất ổn định thanh sẽ cong trong mặt
coù ñoä maûnh lôùn. phẳng có độ cứng nhỏ nhất. Trong các công thức tính toán, ta dùng trị số momen quán tính cực tiểu
Jmin và bán kính quán tính cực tiểuĠ
Ví dụ : tính Pth và (th của thanh làm bằng thép CT3, mặt cắt ngang hình chữ I số 22a. thanh có
liên kết khớp tại hai đầu (Hình 12-9). Xét trường hợp
Trái lại, nếu liên kết trong hai mặt phẳng quán tính chính trung tâm là khác nhau thì sự mất ổn
định của thanh sẽ xảy ra trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm nào đó có độ mảnh lớn tức (th
a) Thanh cao 3m
nhỏ nhất cho nên ta lấy giá trị ( nào lớn để tính ứng suất và lực tới hạn.
b) Thanh cao 2,5m. biết E = 2,1.107N/cm2 ; (ch = 24.000N/cm2 ; (0 = 100
Chứng minh:
Giải :
Momen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục quán tính chính trung tâm là nhỏ nhất nên ta
chỉ cần so sánh J tức so sánh ( trong hai mặt phẳng trục quán tính chính trung tâm là đủ.
Mặt cắt chữ I số 22a có : F = 32,4cm2 ; iy = imin = 2,5 cm
Theo liên kết của thanh thì m = 1 1. Trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm zx

Xác định (1: thép CT3 có (tra bảng) a = 31000N/cm2 ; b = 114N/cm2 ; c = 0

våïi
Vậy (th = a - b.(1 = (ch
mzx : hệ số m phụ thuộc dạng liên kết trong mặt phẳng zx
2. Trong mặt phẳng quán tính trung tâm zy :




a) Khi thanh cao 3m :

Vì ( = 120 > (0 = 100 nên ta dùng công thức Ơ le




Trang 139 - 177 Trang 140 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


10.3 OÅN ÑÒNH NGOAØI MIEÀN ÑAØN HOÀI

10.3.1. YÙÕ nghóa
Coâng thöùc Euler chæ aùp duïng ñöôïc khi vaät lieäu ñaøn hoài. Ñoà thò cuûa phöông trình
σ th ≤ σ tl .
(10.11) laø 1 hyperbola nhö treân H.10.6, chæ ñuùng khi




Ví dụ :
Cho một cột bằng gỗ thông cao 7m, mặt cắt ngang hình chữ nhật 12 x 22 cm2 . Trong mặt
phẳng có độ cứng nhỏ nhất EJmin hai đầu bị ngàm chặt. Trong mặt phẳng có độ cứng lớn nhất
EJmax hai đầu liên kết khớp.

Xác định lực tới hạn và ứng suất tới hạn biết E = 9.105N/cm2 ; (0 = 75 (hình 12-10)

Giải: Với tiết diện hình chữ nhật ta có


σ tl
Khi öùng suaát tôùi haïn trong thanh lôùn hôn giôùi haïn tyû leä thì caàn thieát phaûi coù coâng
thöùc khaùc ñeå tính löïc tôùi haïn. Phaàn aøy seõ giôùi thieäu 1 soá coâng thöùc tính löïc tôùi haïn naèm
ngoaøi mieàn ñaøn hoài baèng thöïc nghieäm vaø lí thuyeát.

10.3.2. Coâng thöùc thöïc nghieäm Iasinski
Coâng thöùc Iasinski ñöôïc ñeà xuaát döïa treân nhieàu soá lieäu thöïc nghieäm, phuï thuoäc vaøo
Trong mặt phẳng có độ cứng lớn nhất (hình 12-10b): (zy)
ñoä maûnh cuûa thanh.

λ1 ≤ λ ≤ λo : aùp duïng coâng thöùc sau
- Thanh coù ñoä maûnh vöøa

σ th = a − λb (10.15)
Trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất (hình 12-10a): (zx)

vôùi : a vaø b laø caùc haèng soá phuï thuoäc vaät lieäu, ñöôïc xaùc ñònh baèng thöïc nghieäm

Theùp xaây döïng : a = 33,6kN/cm2 ; b = 0,147kN/cm2
Ta thấy (1 > (2 nên khi mất ổn định, cột sẽ cong trong mặt phẳng có độ cứng lớn nhất. Vậy ta
: a = 2,93kN/cm2 ; b = 0,0194kN/cm2
Goã
dùng (1 để tính Pth và (th .Ta thấy (1 = 110 > (0 = 75 nên ta dùng công thức Ơ le
a − σ tl
λ1 ñöôïc xaùc ñònh töø coâng thöùc: λ1 =
ñoä maûnh (10.16)
b
λ1 = 30 ÷ 40
thöïc nghieäm cho thaáy phaïm vi giaù trò
Vậy Pth = (th.F = 733.12.22 = 194.103N

Trang 141 - 177 Trang 142 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


λ ≤ λ1 : khi naøy thanh khoâng maát oån ñònh maø ñaït ñeán traïng Baèng caùch laäp luaän gioáng nhö muïc 10.2.1, nhöng chuù yù söï bieán thieân cuûa öùng suaát
- Thanh coù ñoä maûnh beù
khi maát oån ñònh töông öùng côùi moâñun ñaøn hoài tieáp tuyeán, Engesser ñaõ ñi ñeán coâng thöùc
thaùi phaù hoaïi cuûa vaät lieäu. Vì vaäy, ta coi:
töông töï nhö coâng thöùc Euler nhöng moâñun ñaøn hoài E ñöôïc thay baèng Et :
σ th = σ b ñoái vôùi vaät lieäu gioøn
π 2 Et I
Pth = (10.19)
σ th = σ ch ñoái vôùi vaät lieäu deûo ( μl )
2


Chuù yù:
π 2 Et
σ th =
Öùng suaát tôùi haïn töông öùng xaùc ñònh bôûi coâng thöùc: (10.20)
Neáu lieân keát cuûa thanh trong 2 maët phaúng quaùn tính gioáng nhau thì caùc ñaïi löôïng I λ2
vaø r trong caùc coâng thöùc seõ thay töông ñöông baèng Imin vaø rmin.
10.4 PHÖÔNG PHAÙP THÖÏC HAØNH TÍNH OÅN ÑÒNH THANH CHÒU NEÙN
Neáu lieân keát cuûa thanh trong 2 maët phaúng quaùn tính khaùc nhau thì khi maát oån ñònh
thanh seõ cong trong maët phaúng coù ñoä maûnh lôùn vaø caùc ñaïi löôïng I, r seõ laáy trong maët
10.4.1. Phöông phaùp tính
phaúng naøy.
Moät thanh chòu neùn caàn phaûi thoûa maõn:
10.3.3. Coâng thöùc lí thuyeát moâñun tieáp tuyeán
σ
P
≤ [σ ]n vôùi [σ ]n = o
σ=
- Ñieàu kieàn beàn :
Coâng thöùc tính löïc tôùi haïn cho thanh coù ñoä maûnh vöøa khi vaät lieäu laøm vieäc ngoaøi
Ag n
mieàn ñaøn hoài coù theå thieát laäp baèng lí thuyeát. Döôùi ñaây giôùi thieäu coâng thöùc lí thuyeát
moâñun tieáp tuyeán, ñöôïc duøng khaùc phoå bieán vì ñôn giaûn vaø cho keát quaû phuø hôïp töông trong ñoù n : heä soá an toaøn veà beàn
σ −ε
ñoái toát vôùi thöïc nghieäm. Ñöôøng cong quan heäâ ñoái vôùi vaät lieäu gioøn ñöôïc minh hoïa
Ag : dieän tích tieát dieän giaûm yeáu (bò khoeùt loã), neáu khoâng khoeùt loã
treân H.10.7.
thì Ag = A laø tieát dieän nguyeân

P
≤ [σ ]od
σ=
- Ñieàu kieän oån ñònh:
Ag

σ th
[σ ]od =
trong ñoù
k
k : heä soá an toaøn veà oån ñònh

A : dieän tích tieát dieän nguyeân

Vì söï giaûm yeáu cuïc boä taïi 1 soá tieát dieän coù aûnh höôûng khoâng ñaùng keå ñeán söï oån ñònh
chung cuûa thanh.
Moâñun ñaøn hoài tieáp tuyeán ñöôïc ñònh nghóa laø ñoä doác cuûa tieáp tuyeán cuûa ñöôøng cong
Do tính chaát nguy hieåm cuûa hieän töôïng maát oån ñònh vaø xeùt ñeán nhöõng yeáu toá khoâng

σ −ε σ − ε Et =
quan heä : (10.18) traùnh ñöôïc nhö ñoä cong ban ñaàu, ñoä leäch taâm cuûa löïc neùn… neân choïn k > n, vaø k thay

ñoåi phuï thuoäc vaøo ñoä maûnh. Theùo xaây döïng coù k = 1,8 – 3,5 nhö minh hoïa treân H.10.8;
Chuù yù raèng, ôû ngoaøi giôùi haïn ñaøn hoài moâñun tieáp tuyeán laø 1 ñaïi löôïng phuï thuoäc öùng gang k = 5 – 5,5; goã k = 2,8 – 3,2.
Et = Et (σ ) ; quy luaät naøy ñöôïc xaùc ñònh tröôùc baèng thöïc nghieäm cho töøng loaïi vaät
suaát
lieäu.


Trang 143 - 177 Trang 144 - 177
SBVL 1 & 2 SBVL 1 & 2


trong thöïc teá, neáu thoûa (10.24) thì thöôøng cuõng thoûa (10.23)

Ñoái vôùi baøi toaùn oån ñònh cuõng coù 3 baøi toaùn:

P
≤ ϕ [σ ]n
σ=
+ Baøi toaùn 1: Kieåm tra oån ñònh: (10.25)
A
[ P ] ≤ ϕ A[σ ]n
+ Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh taûi troïng cho pheùp: (10.26)

ϕ
Trong 2 baøi toaùn treân, vì tieát dieän thanh ñaõ bieát neân coù theå suy ra heä soá theo trình
μl
A, I → λ = →ϕ
töï : ( tra baûng 10.1)
I/A
+ Baøi toaùn 3: Choïn tieát dieän:

ϕ ( A)
vieäc tìm A phaûi laø ñuùng daàn, vì trong (10.27) chöa 2 bieán :A vaø

Ñeå thuaän tieän cho tính toaùn thöïc haønh, ngöôøi ta ñöa vaøo khaùi nieäm heä soá uoán doïc Trình töï nhö sau:
ϕ
hoaëc heä soá giaûm öùng suaát cho pheùp ñöôïc ñònh nghóa nhö sau:
P
=> λo
ϕo = 0,5 , tính ñöôïc : Ao =
- Giaû thieát :
ϕo [σ ]n
[σ ]od σn
ϕ= = th
[σ ]n σo k
ϕo + ϕo'
λo ϕo' . Neáu ϕo' ≠ ϕo ϕ1 =
- Töø tra baûng ta ñöôïc thì laáy
σ th 2
n
ϕ < 1 vì caû 2 tæ soá : < 1 vaø < 1
σo thöôøng laëp laïi quaù trình tính khoaûng 2 – 3 laàn thì sai soá töông ñoái giöõa 2 laàn tính ñuû
k
(≤ 5%)
nhoû
P
[σ ]od = ϕ [σ ] , vaø ñieàu kieän oån ñònh trôû thaønh σ = ≤ ϕ [σ ]n
töø ñoù
A 10.4.2. Choïn maët caét ngang vaø vaät lieäu hôïp lí
P
≤ [σ ]n Khi thieát keá thanh chòu neùn, ngöôøi ta coá gaéng laøm cho khaû naêng chòu löïc cuûa thanh
hay
ϕA caøng lôùn caøng toát. Theo coâng thöùc (10.9) vaø (10.19) ta coù löïc tôùi haïn:

ϕ = ϕ [ E, λ , k ] π 2 EI
Heä soá ñöôïc cho ôû baûng 10.1
Pth =
- Trong mieàn ñaøn hoài :
( μl )
2



ϕ
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản