intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Giáo trình phân tích cấu tạo lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử divergence p1

Chia sẻ: Ewtw Tert | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST
Báo xấu
80
lượt xem 6
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giải họ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng (7.8.2) tìm các hàm T k (t) sau đó thế vào công thức (7.8.1) suy ra nghiệm của bài toán HH1b. Họ phương trình (7.8.2) có thể giải bằng phương pháp toán tử Laplace nói ở chương 5 hoặc bằng một trong các phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng đ~ biết nào đó. Lập luận tương tự như bài toán HH1a chúng ta có kết quả...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình phân tích cấu tạo lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử divergence p1

  1. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- Giáo trình phân tích cấu tạo lý thuyết w w PD PD er er ! ! W W O O N N trường và phương thức sử dụng y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m toán tử divergence Ch−¬ng 6. Lý ThuyÕt Tr−êng w w w w o o .c .c .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k NÕu F l tr−êng chÊt láng th× th«ng l−îng chÝnh l l−îng n chÊt láng ®i qua mÆt cong S theo h−íng ph¸p vect¬ n trong mét ®¬n vÞ thêi gian. Γ S • Cho tr−êng vect¬ (D, F ) víi F = {X, Y, Z}. Tr−êng v« h−íng ∂X ∂Y ∂Z + + div F = (6.4.2) ∂x ∂y ∂z gäi l divergence (nguån) cña tr−êng vect¬ F. VÝ dô Cho tr−êng vect¬ F = {xy, yz, zx} v ®iÓm A(1, 1, -1) Ta cã div F = y + z + x v div F(A) = 1 + 1 - 1 = 2 §Þnh lý Cho F, G l c¸c tr−êng vect¬ v u l tr−êng v« h−íng. Divergence cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y. div (F + G) = div F + div G 1. div (u F) = u div F + 2. Chøng minh Suy ra tõ ®Þnh nghÜa (6.4.2) v c¸c tÝnh chÊt cña ®¹o h m riªng. • Gi¶ sö Ω l miÒn ®ãng n»m gän trong miÒn D v cã biªn l mÆt cong kÝn S tr¬n tõng m¶nh, ®Þnh h−íng theo ph¸p vect¬ ngo i n. Khi ®ã c«ng thøc Ostrogradski ®−îc viÕt l¹i ë d¹ng vect¬ nh− sau. ∫∫ < F, n > dS = ∫∫∫ divFdV (6.4.3) Ω S Chän Ω l h×nh cÇu ®ãng t©m A, b¸n kÝnh ε. Tõ c«ng thøc (6.4.3) v ®Þnh lý vÒ trÞ trung b×nh cña tÝch ph©n béi ba suy ra. 1 div F(A) = lim ∫∫ < F, n > dS (6.4.4) ε →0 V S Theo c«ng thøc trªn, nguån cña tr−êng vect¬ F t¹i ®iÓm A l l−îng chÊt láng ®i ra tõ ®iÓm A theo h−íng cña tr−êng vect¬ F. • Cho tr−êng vect¬ (D, F ) v ®iÓm A ∈ D. NÕu div F(A) > 0 th× ®iÓm A gäi l ®iÓm nguån. NÕu div F(A) < 0 th× ®iÓm A gäi l ®iÓm thñng. VÝ dô Cho tr−êng vect¬ F = {xy, yz, zx} div F = y + z + x Ta cã div F(1, 0, 0) = 1 > 0 ®iÓm (1, 0, 0) l ®iÓm nguån div F(-1, 0, 0) = -1 < 0 ®iÓm (-1, 0, 0) l ®iÓm thñng . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 105
  2. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 6. Lý ThuyÕt Tr−êng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k §5. Ho n l−u • Cho tr−êng vect¬ (D, F ) v ®−êng cong Γ kÝn, tr¬n tõng khóc, n»m gän trong miÒn D, ®Þnh h−íng theo vect¬ tiÕp xóc T. TÝch ph©n ®−êng lo¹i hai K = ∫ < F, T > ds = ∫ Xdx + Ydy + Zdz (3.5.1) Γ Γ gäi l ho n l−u cña tr−êng vect¬ F däc theo ®−êng cong kÝn Γ. NÕu F l tr−êng chÊt láng th× ho n l−u l c«ng dÞch chuyÓn mét ®¬n vÞ khèi l−îng chÊt láng däc Γ theo ®−êng cong Γ theo h−íng vect¬ T. • Cho tr−êng vect¬ (D, F ) víi F = {X, Y, Z}. Tr−êng vect¬  ∂Z ∂Y   ∂Y ∂X   ∂X ∂Z   ∂y − ∂z  i +  ∂z − ∂x  j +  ∂x − ∂y  k rot F =   (6.5.2)         gäi l rotation (xo¸y) cña tr−êng vect¬ F. VÝ dô Cho tr−êng vect¬ F = {xy, yz, zx} v ®iÓm A(1, 0, -1) Ta cã rot F = {z, x, y} v rot F(A) = {-1, 1, 0} §Þnh lý Cho F, G l c¸c tr−êng vect¬ v u l tr−êng v« h−íng. Rotation cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y. rot (F + G) = rot F + rot G 1. rot (u F) = u rot F + [grad u, F] 2. Chøng minh Suy ra tõ ®Þnh nghÜa (6.5.2) v c¸c tÝnh chÊt cña ®¹o h m riªng. • Gi¶ sö S l mÆt cong tr¬n tõng m¶nh, n»m gän trong miÒn D, ®Þnh h−íng theo ph¸p vect¬ n v cã biªn l ®−êng cong kÝn Γ tr¬n tõng khóc, ®Þnh h−íng theo vect¬ tiÕp xóc T phï hîp víi h−íng ph¸p vect¬ n. Khi ®ã c«ng thøc Stokes viÕt l¹i ë d¹ng vect¬ nh− sau. ∫ < F, T > ds = ∫∫ < rotF, n > dS (6.5.3) Γ S Chän S l nöa mÆt cÇu t©m A, b¸n kÝnh ε. Tõ c«ng thøc (6.5.3) v ®Þnh lý vÒ trÞ trung b×nh cña tÝch ph©n mÆt lo¹i hai suy ra. 1 < rot F, n >(A) = lim ∫ < F, T > ds (6.5.4) ε→ 0 S Γ Theo c«ng thøc trªn, c−êng ®é cña tr−êng vect¬ rot F theo h−íng ph¸p vect¬ n t¹i ®iÓm A l c«ng tù quay cña ®iÓm A theo h−íng trôc quay n. . Trang 106 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  3. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 6. Lý ThuyÕt Tr−êng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k • Cho tr−êng vect¬ (D, F ) v ®iÓm A ∈ D. NÕu < rot F, n >(A) > 0 th× ®iÓm A gäi l ®iÓm xo¸y thuËn. NÕu < rot F, n >(A) < 0 th× ®iÓm A gäi l ®iÓm xo¸y nghÞch. VÝ dô Cho tr−êng vect¬ F = {xy, yz, zx} v n = {x, y, z} rot F = {z, x, y} v < rot F, n > = zx + xy + yz Ta cã < rot F, n > (1, 0, 1) = 1 > 0 ®iÓm (1, 0, 1) l ®iÓm xo¸y thuËn < rot F, n > (1, 0, -1) = -1 < 0 ®iÓm (1, 0, -1) l ®iÓm xo¸y nghÞch §Þnh lý Cho tr−êng vect¬ v ®iÓm A ∈ D. Max | < rot F, n >(A) | = | rot F(A) | ®¹t ®−îc khi v chØ khi n // rot F 1. Min | < rot F, n >(A) | = 0 ®¹t ®−îc khi v chØ khi n ⊥ rot F 2. Chøng minh Suy ra tõ tÝnh chÊt cña tÝch v« h−íng. • Theo kÕt qu¶ trªn th× c−êng ®é xo¸y cã trÞ tuyÖt ®èi lín nhÊt theo h−íng ®ång ph−¬ng víi vect¬ rot F v cã trÞ tuyÖt ®èi bÐ nhÊt theo h−íng vu«ng gãc víi vect¬ rot F. §6. To¸n tö Hamilton • Vect¬ t−îng tr−ng ∂ ∂ ∂ ∇= i+ j+ k (6.6.1) ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ víi , v t−¬ng øng l phÐp lÊy ®¹o h m riªng theo c¸c biÕn x, y, v z gäi l ∂x ∂y ∂z to¸n tö Hamilton. • T¸c ®éng to¸n tö Hamilton mét lÇn chóng ta nhËn ®−îc c¸c tr−êng grad, div v rot ® nãi ë c¸c môc trªn nh− sau. 1. TÝch cña vect¬ ∇ víi tr−êng v« h−íng u l tr−êng vect¬ grad u ∂ ∂ ∂ ∂u ∂u ∂u ∇u = ( i+ j+ k)u = i+ j+ k (6.6.2) ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z 2. TÝch v« h−íng cña vect¬ ∇ víi tr−êng vect¬ F l tr−êng v« h−íng div F ∂ ∂ ∂ ∂X ∂Y ∂Z ∇F = ( i+ j+ k)(Xi + Yj + Zk) = + + (6.6.3) ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z 3. TÝch cã h−íng cña vect¬ ∇ víi tr−êng vect¬ F l tr−êng vect¬ rot F .Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 107
  4. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 6. Lý ThuyÕt Tr−êng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ∂ ∂ ∂ ∇×F = ( k) × (Xi + Yj + Zk) i+ j+ ∂x ∂y ∂z  ∂Z ∂Y   ∂Y ∂X   ∂X ∂Z   ∂y − ∂z  i +  ∂x − ∂y  k − =   j + (6.6.4)    ∂z ∂x      • T¸c ®éng to¸n tö Hamilton hai lÇn chóng ta nhËn ®−îc c¸c to¸n tö vi ph©n cÊp hai. 4. Víi mäi tr−êng v« h−íng (D, u) thuéc líp C2 ∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u ∂u = ∆u div (grad u) = div ( i+ j+ k) = + + (6.6.5) ∂x ∂y ∂z ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 To¸n tö ∂2 ∂2 ∂2 ∆= i+ j+ k ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 gäi l to¸n tö Laplace. ∆u = div (grad u) = ∇(∇u) = ∇2u Tøc l 5. Víi mäi tr−êng v« h−íng (D, u) thuéc líp C2 ∂u ∂u ∂u rot (grad u) = rot ( i+ j+ k) = 0 (6.6.6) ∂x ∂y ∂z rot (grad u) = ∇×∇u = 0 Tøc l 6. Víi mäi tr−êng vect¬ (D, F ) thuéc líp C2  ∂Y ∂X    ∂Z ∂Y   ∂X ∂Z   ∂x − ∂y  k  = 0 (6.6.7)  ∂y − ∂z  i +  ∂z − ∂x  j +  div (rot F) = div          div (rot F) = ∇(∇ × F) = 0 Tøc l 7. Víi mäi tr−êng vect¬ (D, F ) thuéc líp C2  ∂Y ∂X    ∂Z ∂Y   ∂X ∂Z   ∂x − ∂y  k   ∂y − ∂z  i +  ∂z − ∂x  j +  rot (rot F) = rot          = grad (div F) - ∆ F (6.6.8) §7. Tr−êng thÕ • Tr−êng vect¬ (D, F ) víi F = {X, Y, Z} gäi l tr−êng thÕ nÕu cã tr−êng v« h−íng (D, u) sao cho F = grad u. Tøc l ∂u ∂u ∂u X= Y= Z= (6.7.1) ∂x ∂y ∂z H m u gäi l h m thÕ vÞ cña tr−êng vect¬ F. . Trang 108 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  5. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 6. Lý ThuyÕt Tr−êng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Tõ ®Þnh nghÜa suy ra nÕu tr−êng vect¬ F l tr−êng thÕ th× rot F = rot (grad u) = 0 (6.7.2) Chóng ta sÏ chøng minh r»ng ®iÒu ng−îc l¹i còng ®óng. §Þnh lý Tr−êng vect¬ (D, F ) l tr−êng thÕ khi v chØ khi rot F = 0 Chøng minh §iÒu kiÖn cÇn suy ra tõ c«ng thøc (6.7.2). Chóng ta chøng minh ®iÒu kiÖn ®ñ rot F = 0 Gi¶ sö Khi ®ã víi mäi ®−êng cong Γ kÝn, tr¬n tõng khóc v n»m gän trong miÒn D. ∫ Xdx + Ydy + Zdz = ∫∫ < rot F, n > dS = 0 Γ S víi S l mÆt cong tr¬n tõng m¶nh, n»m gän trong miÒn D v cã biªn ®Þnh h−íng theo ph¸p vect¬ n l ®−êng cong Γ. Suy ra víi mäi A, M ∈ D tÝch ph©n ∫ Xdx + Ydy + Zdz AM kh«ng phô thuéc v o ®−êng lÊy tÝch ph©n. Cè ®Þnh ®iÓm A ∈ D v ®Æt ∫ Xdx + Ydy + Zdz víi M ∈ D u(M) = AM Do c¸c h m X, Y, Z cã ®¹o h m riªng liªn tôc nªn h m u cã ®¹o h m riªng liªn tôc trªn miÒn D. KiÓm tra trùc tiÕp ta cã grad u = F Tõ ®ã suy ra tr−êng vect¬ F l tr−êng thÕ v h m u l h m thÕ vÞ cña nã. • Tõ c¸c kÕt qu¶ ë trªn suy ra ý nghÜa c¬ häc cña tr−êng thÕ nh− sau. 1. Trong tr−êng thÕ kh«ng cã ®iÓm xo¸y rot F = 0 2. Ho n l−u däc theo ®−êng cong kÝn n»m gän trong miÒn D lu«n b»ng kh«ng. ∫ < F, T > ds = ∫∫ < rot F, n > dS = 0 K= (6.7.3) Γ S 3. C«ng dÞch chuyÓn b»ng thÕ vÞ ®iÓm cuèi trõ ®i thÕ vÞ ®iÓm ®Çu. ∫ < F, T > ds = ∫ Xdx + Ydy + Zdz = ∫ du = u(N) - u(M) (6.7.4) MN MN MN u(M) u(N) . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 109
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2