Giáo trình toán cao cấp

Chia sẻ: namnttn

Trong ngôn ngữ hàng ngày , ta thường dùng đến khái niệm tập hợp : tập hợp các sinh viên trong một lớp học, tập hợp các câu hỏi ôn thi...Ở đây ta không định nghĩa tập hợp mà chỉ mô tả nó bằng một dấu hiệu hay một tính chất khác.

Bạn đang xem 20 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Giáo trình toán cao cấp

CHƯƠNG 1
KHÁI NI M V T P H P VÀ ÁNH X
§1. T P H P
1.1 CÁC KHÁI NI M CƠ B N
Trong ngôn ng hàng ngày, ta thư ng dùng ñ n khái ni m t p h p: t p h p
các sinh viên có m t trong m t l p h c, t p h p các câu h i ôn thi… ñây ta
không ñ nh nghĩa t p h p mà ch mô t nó b ng m t d u hi u hay m t tính ch t
nào ñó cho phép ta nh n bi t ñư c t p h p ñó và phân bi t nó v i các t p h p
khác. Ta coi t p h p là m t khái ni m nguyên thu cũng gi ng như khái ni m
ñi m, ñư ng th ng, m t ph ng trong hình h c.
Các ñ i tư ng l p nên t p h p ñư c g i là các ph n t c a t p h p.
N u a là m t ph n t c a t p h p A thì ta ký hi u:
a ∈ A (ñ c: a thu c A )
N u a không ph i là m t ph n t c a t p h p A thì ta ký hi u:
a ∉ A (ñ c: a không thu c A )

Ví d : N u A là t p h p các s nguyên ch n thì 2 ∈ A, 10 ∈ A nhưng
15 ∉ A .
M t t p h p ñư c g i là h u h n n u nó g m m t s nh t ñ nh ph n t .
Ví d : T p h p các sinh viên c a m t l p h c là h u h n, s ph n t ñây
là s sinh viên c a l p ñó.
T p h p các nghi m c a phương trình x 2 − 3x + 2 = 0 là h u h n, nó g m
hai ph n t là 1 và 2.
Có nh ng t p h p ch có ñúng m t ph n t , ch ng h n t p h p các nghi m
dương nh hơn 2 c a phương trình sin x = 1 ch có m t ph n t là π .
2 6
ð ñư c thu n ti n, ngư i ta cũng ñưa vào lo i t p h p không ch a m t
ph n t nào và g i nó là t p h p r ng, ký hi u là ∅.
Ví d : T p h p các nghi m th c c a phương trình x 2 + 1 = 0 là r ng, vì
không t n t i s th c nào mà bình phương l i b ng −1 .
T p h p g m vô s ph n t g i là t p h p vô h n. Ngư i ta phân bi t:


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 1 Giáo trình toán cao c p 1
T p h p vô h n ñ m ñư c là t p h p tuy s lư ng ph n t là vô h n song ta
có th ñánh s th t các ph n t c a nó (t c là có th bi t ñư c ph n t ñ ng
li n trư c và ñ ng li n sau c a m t ph n t b t kỳ).
Ví d : T p h p các nghi m c a phương trình sin x = 1 là vô h n ñ m
ñư c, vì các ph n t c a nó có d ng x k = π + 2k π ; v i
2
k = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... chúng ñư c ñánh s theo s nguyên k .

T p h p vô h n không ñ m ñư c là t p h p có vô s ph n t và không có
cách nào ñánh s th t các ph n t c a nó.
Ví d : T p h p các ñi m trên ño n th ng [0,1] .

T p h p con:
Cho hai t p h p A và B . N u b t kỳ ph n B
t nào c a t p h p A cũng là ph n t c a t p h p A
B thì ta nói A là t p h p con c a B và ký hi u
E
A ⊂ B (ñ c: A bao hàm trong B ).
Như v y ta có: A ⊂ B ⇔ x ∈ A ⇒ x ∈ B Hình 1. A ⊂ B

(ký hi u ⇔ ñ c là “khi và ch khi”, nó có nghĩa c a ñi u ki n c n và ñ , ký
hi u ⇒ ñ c là “suy ra” hay “kéo theo”).
Ví d : G i A là t p h p các nghi m c a phương trình x 2 − 3x + 2 = 0 ,
B là t p h p các s nguyên dương thì A ⊂ B vì 1 và 2 cũng là các s nguyên
dương.
Quan h bao hàm gi a các t p h p có tính ch t b c c u nghĩa là:
n u A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C .
T p h p b ng nhau:
N u A ⊂ B ñ ng th i B ⊂ A thì ta nói hai t p h p A , B là b ng nhau.
Ta cũng ký hi u A = B .
Như v y: A = B ⇔ A ⊂ B và B ⊂ A

Ngư i ta quy ư c r ng : T p h p r ng ∅ là t p h p con c a b t kỳ t p h p
nào. Th t v y, n u A ⊂ B thì b t kỳ ph n t nào không thu c B cũng không
thu c A và như v y ∅ ⊂ B vì không có ph n t nào thu c t p h p r ng.
ð ti n l i cho vi c xét các t p h p, ta thư ng coi t p các t p h p ñư c
kh o sát là các t p h p con c a m t t p h p E “ñ l n” nào ñó, ch ng h n
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 2 Giáo trình toán cao c p 1
trong chương trình toán h c Trung h c khi xét t p h p các nghi m c a
phương trình, ta ñ u coi chúng là t p h p con c a t p h p s th c.
1.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN T P H P
Gi s A, B,C ,... là các t p h p con c a m t t p h p E nào ñó. Ta có th
xây d ng các t p h p m i d a trên các t p h p ñó b ng các phép toán sau:
a) Phép h p: H p c a hai t p h p A và B
B
là m t t p h p ch a các ph n t thu c ít nh t A
m t trong hai t p h p A ho c B . Ta cũng nói
h p c a A, B , là t p h p ch a các ph n t ho c
thu c A ho c thu c B . Ta ký hi u h p c a hai Hình 2. A ∪ B
t p h p A và B là: A ∪ B .
Như v y: x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ho c x ∈ B


Ví d : N u A là t p h p các s th c nh hơn 1 , B là t p h p các s th c
l n hơn 2 thì t p h p các nghi m th c c a b t phương trình x 2 − 3x + 2 > 0 là
A∪B.
b) Phép giao: Giao c a hai t p h p A và B
A
B là m t t p h p ch a các ph n t thu c c A
l n c B . Ta ký hi u giao c a hai t p h p A và
B là A ∩ B . Hình 3. A ∩ B
Như v y: x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A và x ∈ B
Ví d : A là t p h p các s th c nh hơn 2 , B là t p h p các s th c l n
hơn 1 thì t p h p các nghi m c a phương trình x 2 − 3x + 2 < 0 là A ∩ B .
N u A ∩ B = ∅ thì ta nói các t p h p A và B không giao nhau hay r i nhau.
Ví d : A là t p h p các ñi m trên ñư ng th ng y = x + 1 , B là t p h p
các ñi m trên Parabol y = −x 2 thì A ∩ B = ∅ (hai ñư ng không giao nhau.)
c) Phép tr : Hi u c a hai t p h p A và B là
B
m t t p h p ch a các ph n t thu c A mà không
A
thu c B.
Ta ký hi u hi u c a hai t p h p A và B là
A\B . Hình 4. A \ B

Như v y: x ∈ A \ B ⇔ x ∈ A và x ∉ B
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 3 Giáo trình toán cao c p 1
Ví d : R là t p h p s th c, B là t p h p g m hai s th c 1 và 2 thì t p
h p xác ñ nh c a phân th c 2 1 + x là R \ B .
x − 3x + 2
ð c bi t, hi u E \ A ñư c g i là ph n bù (hay b xung ) c a A trong E ,
ký hi u là C E A , hay n u t p E ñã bi t thì có th ký hi u ñơn gi n là A .
Các tính ch t c a các phép toán trên:
Gi s A, B,C là các t p con c a m t t p h p E . Các phép toán h p, giao,
b xung có các tính ch t sau:

1. A = A
2. A ∪ A = A A∩A=A
3. A ∪ A = E A∩A=∅
4. A ∪ E = E A∩E =A
5. A ∪ ∅ = A A∩∅=∅
6. A ∪ B = B ∪ A A∩B =B ∩A
7. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )

8. A ∪ (B ∩C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪C ) ; A ∩ (B ∪C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩C )

9. A ∪ B = A ∩ B A∩B =A∪B
Tính ch t cu i cùng còn ñư c g i là quy t c ð mooc-găng: Khi l y ph n
bù c a h p hay giao hai t p h p, thì m i t p h p ñư c thay b ng ph n bù c a
nó, phép h p ñư c thay b ng phép giao, phép giao thay b ng phép h p.
Vi c ch ng minh các tính ch t trên d a vào vi c ch ng minh s b ng nhau
c a hai t p h p. Ta nh c l i: T = P khi và ch khi T ⊂ P và P ⊂ T .
Ta ch ng minh tính ch t 9.1 : ð t T = A ∪ B và P = A ∩ B .
ð u tiên ch ng minh T ⊂ P :
L y x ∈ T t c là x ∈ A ∪ B . Theo hình v 2, x thu c ph n bù c a A ∪ B
t c là x ph i không thu c A và không thu c B : x ∉ A, x ∉ B. Nhưng x ∉ A
t c là x ∈ A . Cũng như v y, t c là x ∈ B . V y x ∈ A và x ∈ B hay
x ∈A∩B.
Ta ñã ch ng minh n u x ∈ A ∪ B thì x ∈ A ∩ B . T ñó ta có:

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 4 Giáo trình toán cao c p 1
A∪B ⊂A∩B. (1)
Bây gi ta ch ng minh P ⊂ T .
L y y ∈ P t c là y ∈ A ∩ B . Theo ñ nh nghĩa phép giao ta có y ∈ A và
y ∈ B t c là y ∉ A và y ∉ B . Khi ñó y ph i thu c ph n bù c a A ∪ B t c là
ta có y ∈ A ∪ B . Như v y:

A∩B ⊂A∪B (2)
T (1) và (2) ta suy ra: A∪B =A∩B
Phương pháp ch ng minh các tính ch t khác cũng tương t .
1.3 CÁCH CHO M T T P H P
Ngư i ta thư ng cho t p h p b ng cách:
a) Li t kê các ph n t c a nó
Ví d : B ng danh sách các thí sinh trúng tuy n vào m t trư ng ñ i h c.
N u s các ph n t c a t p h p ít, ta có th vi t tên các ph n t c a t p h p
gi a hai d u {} , ch ng h n A = {1,2,3,4} ; thì A là t p có 4 ph n t là 1,2,3,4

b) Cho quy t c ñ nh n bi t các ph n t c a nó
Ta vi t: A = {x : P(x )} và hi u: A là t p h p g m các ph n t x sao cho
tính ch t P ñúng v i x .
Ví d : A = {x ∈ R : x 2 − 3x + 2 = 0} hi u: A là t p h p các s th c x là
nghi m c a phương trình x 2 − 3x + 2 = 0 t c là A = {1,2}

§2. ÁNH X
2.1 KHÁI NI M V ÁNH X
Cho hai t p h p A và B . Ta nói r ng f y

có m t ánh x f t A vào B n u v i m i x
ph n t x ∈ A có tương ng theo m t quy
t c nào ñó m t ph n t duy nh t y ∈ B
Ta ký hi u: f : A → B (ñ c: f là ánh B
A
x t A vào B ) A là t p ngu n, B là t p Hình 5
ñích.



----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 5 Giáo trình toán cao c p 1
Ph n t y ∈ B tương ng v i ph n t x ∈ A b i ánh x f , ñư c g i là nh
c a x qua f và ñư c ký hi u là f (x ) .

N u v i b t kỳ ph n t x nào c a A , nh f (x ) c a nó ñư c xác ñ nh thì A
còn ñư c g i là t p xác ñ nh c a ánh x f .
N u A là t p xác ñ nh c a ánh x f thì nh c a t p h p A b i ánh x
f ñư c ñ nh nghĩa b i: f (A) = {y ∈ B : ∃x ∈ A,y = f (x )}

Ví d : Xét ánh x f t t p h p s th c R vào chính nó xác ñ nh b i
f (x ) = 12 thì t p xác ñ nh c a nó là R \ {0} còn t p h p nh c a nó là t p h p
x
m i s th c dương R + .
Ánh x b ng nhau:
Cho ánh x f : A → B và g : A′ → B ′ . N u A = A′ và v i m i x ∈ A ta
có f (x ) = g(x ) thì ta nói hai ánh x f và g là b ng nhau, ta vi t f = g .

Ví d : Cho t p h p A = {−1,0,1} và các ánh x :

f : A → R xác ñ nh b i f (x ) = x + 1 ;

g : A → R xác ñ nh b i g(x ) = −x 3 + 2x + 1 .

Ta có: f = g (N u xét các ánh x f và g t R vào R thì ta l i có f ≠ g ).
2.2 CÁC LO I ÁNH X
Cho ánh x f t A vào B .
a) Ánh x f ñư c g i là ñơn ánh n u nh c a các ph n t khác nhau là khác
nhau. Nói cách khác, v i m i x 1, x 2 ∈ A , n u x 1 ≠ x 2 thì f (x 1) ≠ f (x 2) .

b) Ánh x f ñư c g i là toàn ánh n u f (A) = B . Nói cách khác, v i b t kỳ y
thu c B , t n t i ít nh t ph n t x thu c A sao cho: f (x ) = y .

c) Ánh x f ñư c g i là song ánh n u nó v a là toàn ánh v a là ñơn ánh.
Ta chú ý r ng n u f là song ánh t A
f
lên B thì do tính ch t toàn ánh nên v i m i
y ∈ B có tương ng m t x ∈ A ñ f (x ) = y ,
x y
và do tính ch t ñơn ánh nên ph n t x ñó
ph i duy nh t (n u trái l i, gi s ph n t
f-1
y ∈ B tương ng v i hai ph n t khác nhau A B
Hình 6
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 6 Giáo trình toán cao c p 1
x 1 ≠ x 2 mà f (x 1) = f (x 2) = y , trái tính ch t
ñơn ánh).
Như v y, n u f là song ánh t A lên B thì ta l i có m t ánh x t B lên
A , ánh x này ñư c g i là ánh x ngư c c a ánh x f , nó cũng là song ánh.
Ánh x ngư c c a ánh x f ký hi u là f −1 .
V i song ánh f : A → B xác ñ nh b i y = f (x ) thì ánh x ngư c c a nó là
f −1 : B → A xác ñ nh b i x = f −1(y) .

Các ví d :
Ánh x f : R → R xác ñ nh b i f (x ) = a x là ñơn ánh, vì v i x 1 ≠ x 2 ta có
a x1 ≠ a x 2
Ánh x g : R → [ − 1,1] xác ñ nh b i g(x ) = sin x là toàn ánh vì v i s th c
p b t kỳ thu c kho ng [ −1,1] ta luôn luôn tìm ñư c s th c x sao cho
sin x = p .
Ánh x h : R → R xác ñ nh b i h(x ) = x 3 là song ánh, vì nó v a là ñơn ánh
v a là toàn ánh.
2.3 ÁNH X H P
Gi s f và g là hai ánh x sao cho t p h p xác ñ nh c a g trùng v i t p
h p nh c a f . Khi ñó ta có th vi t dãy liên ti p các ánh x
f : A → B;g : B → C . Như v y ta có th xác ñ nh m t ánh x m i h : A → C b i
h(x ) = g[ f (x )] , trong ñó f (x ) ∈ B là nh c a x ∈ A b i ánh x f ; g[ f (x )] ∈C là
nh c a f (x ) ∈ B b i ánh x g .

Ánh x h xác ñ nh như trên ñư c g i là ánh x h p c a ánh x f và ánh x
g , ñư c ký hi u là g f . Như v y h(x ) = (g f )(x ) = g[ f (x )] .

Ví d : Cho f : R → R xác ñ nh b i f (x ) = 2x + 1 ;

g : R → R xác ñ nh b i g(x ) = x 2 ;

Ta có: (g f )(x ) = g[ f (x )] = [ f (x )]2 = [2x + 1]2 = 4x 2 + 4x + 1 .

Chú ý: Khi ánh x h p g f ñư c xác ñ nh thì chưa ch c ánh x f g ñã
xác ñ nh. Ngay c trong trư ng h p f g xác ñ nh thì nói chung ta có



----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 7 Giáo trình toán cao c p 1
g f ≠f g. Ch ng h n trong Ví d trên ta có
(f g)(x ) = f [g(x )] = 2g(x ) + 1 = 2x 2 + 1.

§3 T P H P S TH C
3.1 ð NH NGHĨA TRƯ NG
Cho m t t p h p E . Ta coi ñã xác ñ nh ñư c m t phép toán hai ngôi trong
E hay m t lu t h p thành trong E n u v i m i c p ph n t (a,b) c a E ta cho
tương ng v i m t ph n t c cũng c a E . Ta ký hi u phép toán ñó b i d u * và
ta vi t a * b = c v i a,b,c ∈ E . (N u phép toán là phép c ng ta dùng d u + như
thư ng l , n u là phép nhân ta dùng d u × hay d u i ).
Phép toán * ñư c g i là có tính ch t k t h p n u v i a,b,c ∈ E ta có:
(a * b)* c = a *(b * c)

Phép toán * ñư c g i là có tính ch t giao hoán n u v i a, b ∈ E ta có:
a *b = b *a
Ph n t e ∈ E ñư c g i là ph n t trung hoà ñ i v i phép toán * n u v i
m i a ∈ E ta có: a *e = e * a = a . (V i phép c ng ph n t trung hoà là s 0 , v i
phép nhân ñó là s 1 ).
Ph n t a ′ ∈ E sao cho v i a ∈ E ta có a * a ′ = a ′ * a = e v i e là ph n t
trung hoà c a phép toán *, ñư c g i là ph n t ngư c c a a ñ i v i phép toán
*. Ta ký hi u ph n t ngư c c a ph n t a là a −1 (v i phép c ng, ph n t
ngư c c a a chính là s ñ i −a , v i phép nhân ñó chính là s ngh ch ñ o
1
a ,a ≠ 0 ).
T p h p E ñư c g i là có c u trúc trư ng, hay nói g n hơn, là m t
trư ng n u trong E có xác ñ nh hai phép toán:
+ Phép toán th nh t ñư c g i là phép c ng, nó th a mãn các tính ch t sau:
A1 – Phép c ng có tính ch t giao hoán: ∀a,b ∈ E,a + b = b + a
A2 – Phép c ng có tính ch t k t h p: ∀a,b,c ∈ E,(a +b) + c = a + (b + c)

A3 – Phép c ng có ph n t trung hoà trong E , ký hi u là 0 : ∀a ∈ E,a + 0 = a

A4 - M i ph n t trong E ñ u có ph n t ngư c ký hi u là −a : a +−a = 0
+ Phép toán th hai ñư c g i là phép nhân, nó tho mãn các tính ch t sau:

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 8 Giáo trình toán cao c p 1
B1 – Phép nhân có tính ch t giao hoán: ∀a,b ∈ E,a.b = ba
.

B2 – Phép nhân có tính ch t k t h p: ∀a,b,c ∈ E,(a.b).c = a.(bc)
.

B3- Phép nhân có ph n t trung hòa, ký hi u là 1: ∀a ∈ E; a.1 = 1.a = a
B4 - M i ph n t a ∈ E,a ≠ 0 ñ u có ph n t ngư c ñ i v i phép nhân là ph n
1
t ngh ch ñ o a cũng thu c E .

+ Gi a phép c ng và phép nhân có tính ch t:
C – phép nhân có tính ch t phân ph i ñ i v i phép c ng:
∀a,b,c ∈ E :a.(b + c) = ab + a.c
.

p
Ví d : T p h p các s h u t , t c là t p các s có d ng q ,(p,q ) = 1 , có c u
trúc trư ng: c ng hai s h u t , nhân hai s h u t ta ñư c m t s h u t , c hai
phép toán ñó ñ u tho mãn 8 tính ch t trên.
T p h p các s nguyên không có c u trúc trư ng vì ngh ch ñ o c a m t s
nguyên khác không không ph i là m t s nguyên.
Chú ý: Trong trư ng ta có th ñ nh nghĩa phép chia cho m t s khác không:
n u b ≠ 0 thì a : b = a.(1) .
b
3.2 CÁC TÍNH CH T CƠ B N C A TRƯ NG S TH C
T p h p s th c R v i hai phép toán c ng và nhân có c u trúc trư ng,
nghĩa là c ng hai s th c ta ñư c m t s th c, nhân hai s th c ta ñư c m t s
th c. Phép c ng và phép nhân có các tính ch t giao hoán, k t h p; phép nhân có
tính ch t phân ph i ñ i v i phép c ng; ph n t trung hoà c a phép c ng là s 0 ,
c a phép nhân là s 1 ; ph n t ngư c ñ i v i phép c ng c a s a là s ñ i −a ,
1
ñ i v i phép nhân c a s a ≠ 0 là s ngh ch ñ o a .

Trong t p h p s th c R ta xét m t t p h p con ký hi u là R + và ta ñ nh
nghĩa R − là t p h p nh ng s ñ i c a x n u x ∈ R + (t c là −x ∈ R− ) sao cho:
1)R + ∩ R− = ∅;
2)R + ∪ R− ∪ {0} = R;
3) ∀a,b ∈ R + : a +b ∈ R +,ab ∈ R +
.



----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 9 Giáo trình toán cao c p 1
Khi ñó ta nói r ng trư ng s th c R là m t trư ng có th t . Các s th c
thu c R + ñư c g i là các s th c dương, các s th c thu c R − ñư c g i là các
s th c âm.
Ta xác ñ nh trên R m t quan h th t ký hi u < (ñ c là bé hơn) như sau:
V i hai s th c a,b ta có a < b khi và ch khi b −a là s th c dương (t c là
b + (−a) ∈ R + ). Quan h < có tính ch t b c c u, nghĩa là: n u a < b và b < c thì
a a (ñ c b l n hơn a ). N u
a là s th c âm thì ta vi t a < 0 , n u a là s th c dương thì ta vi t a > 0 .
Trư ng s th c còn là trư ng có th t Acsimet: V i hai s th c tuỳ ý
a,b;a > 0 bao gi cũng tìm ñư c m t s t nhiên n sao cho na > b . Nói cách
khác, dù s th c dương a có nh ñi bao nhiêu chăng n a và dù s th c b có l n
ñi bao nhiêu chăng n a thì t ng c a m t s ñ l n a s vư t quá b .
Tính ch t trên cho phép ngư i ta có th x p x tuỳ ý m t s th c b i m t s
th p phân (g n ñúng thi u ho c g n ñúng th a), và như v y trong th c hành
ngư i ta có th th c hi n ñư c các phép tính trên các s th c.
3.3 GIÁ TR TUY T ð I C A M T S TH C
V i m i s th c x ta ñ nh nghĩa giá tr tuy t ñ i c a x , ký hi u x như sau:
 x khi x > 0




x =  0 khi x = 0


−x khi x < 0



Ta có các tính ch t sau:
a) x = 0 ⇔ x = 0;
b) x = −x ;
c) x.y = x y ;
d) x + y ≤ x + y ;
e) x − y ≥ x − y .

Ta ch ng minh m t trong các tính ch t, tính ch t d ) ch ng h n:

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 10 Giáo trình toán cao c p 1
T ñ nh nghĩa ta có:
−x ≤x ≤ x
−y ≤y ≤ y ;
T ñó: −(x + y ) ≤ x + y ≤ x + y ;

Hay: x + y ≤ x + y .
3.4 T P S TH C SUY R NG
Ta thêm vào t p s th c R hai ph n t khác nhau, ký hi u là +∞ và −∞
(ñ c là dương vô cùng và âm vô cùng), không thu c R , và v i m i s th c x ta
ñ t:
−∞ < x < +∞;
x + (+∞) = (+∞) + x = +∞;
x + (−∞) = (−∞) + x = −∞;


V i x >0:
x.(+∞) = (+∞).x = +∞; x.(−∞) = (−∞).x = −∞;
(+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞;
(+∞).(+∞) = +∞; (−∞).(−∞) = +∞;

T p h p s th c R cùng v i hai ph n t +∞; − ∞ có các tính ch t trên
g i là t p h p s th c suy r ng.
Có th bi u di n hình h c t p h p s th c nh tr c s : ðó là ñư ng th ng
x ′Ox , ñi m g c O ng v i s không, các s th c dương thu c n a ñư ng th ng
Ox , các s th c âm thu c n a ñư ng th ng Ox′ , m i s th c a ng v i m t
ñi m A trên ñư ng th ng sao cho ñ dài OA = a .


§4 T P H P S PH C

Ta đã bi t r ng n u ch h n ch trong trư ng s th c thì có nh ng
phương trình vô nghi m, ch ng h n phương trình b c hai x 2 + 1 = 0 .
Trong ph n này ta s tìm cách m r ng trư ng s th c sang m t t p h p s
m i sao cho t p h p s th c là t p con c a t p s m i này và trong t p s m i
ñó m i phương trình b c hai ñ u có nghi m.
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 11 Giáo trình toán cao c p 1
4.1 ð NH NGHĨA S PH C VÀ CÁC PHÉP TÍNH TRÊN S PH C
Xét t p h p C mà các ph n t z ∈C là các c p s th c (a,b) :

C = {z = (a, b), a ∈ R, b ∈ R}

Ph n t z ∈C ñư c g i là s ph c.
Hai sè phøc z = (a,b);z ′ = (a ′,b ′) ®−îc coi l b»ng nhau khi v chØ khi:
a = a ′;b = b′

Trong t p h p s ph c C ta xác ñ nh hai phép tính:
Phép c ng hai s ph c: v i hai s ph c z = (a,b) và z ′ = (a ′,b ′) thì t ng c a
chúng ñư c xác ñ nh b ng: z + z ′ = (a + a ′,b + b ′) .

Phép nhân hai s ph c: v i hai s ph c z = (a,b) và z ′ = (a ′,b ′) thì tích c a
chúng ñư c xác ñ nh b ng: z.z ′ = (a.a ′ −bb ′,a.b ′ + b.a ′)
.
Có th ki m ch ng r ng các phép toán c ng và nhân trên có các tính ch t
giao hoán, k t h p, phép nhân có tính ch t phân ph i ñ i v i phép c ng, ph n t
trung hoà c a phép c ng là s ph c (0,0) , c a phép nhân là s ph c (1,0) ; ph n
t ngư c c a s ph c z = (a,b) ñ i v i phép c ng là (−a,−b) , ñ i v i phép nhân
(v i ñi u ki n a ≠ 0,b ≠ 0 ) là s ph c z = ( 2 a 2 , 2 −b 2 )
1
a +b a +b
Như v y, t p h p s ph c có c u trúc m t trư ng, ta g i nó là trư ng s
ph c.
4.2 CÁC CHÚ Ý
1) Có th ñ ng nh t s ph c (a,0) v i s th c a vì ta có:
(a,0) + (a ′,0) = (a + a ′,0) l sè thùc a + a ′;
(a,0).(a ′,0) = (a.a ′,0) l sè thùc a.a ′;
Như v y có th coi t p h p s th c là t p con c a t p s ph c R ⊂C .
Sau này ta s vi t a thay cho (a,0)

2) Có th vi t s ph c (a,b) dư i d ng t ng: (a,b) = (a,0) + (b,0).(0,1)

S (a,0) ñư c vi t b ng a , s (b,0) ñư c vi t b ng b .

Ta ñ t i = (0,1) thì ta có i 2 = (0,1).(0,1) = (−1,0) = −1 .

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 12 Giáo trình toán cao c p 1
Như v y, s ph c (a,b) ñư c vi t dư i d ng: z = (a,b) = a +bi víi i 2 = −1 .
a ñư c g i là ph n th c, b ñư c g i là ph n o c a s ph c z , s ph c
i = (0,1) m i 2 = −1 ñư c g i là ñơn v o.

Trong th c t ngư i ta thư ng vi t s ph c dư i d ng a + bi
3) Khi vi t s ph c dư i d ng a + bi thì ta có th th c hi n các phép tính theo
các quy t c thông thư ng c a s th c (do có cùng c u trúc trư ng) và v i chú ý
r ng i 2 = −1
(a + bi) + (a ′ + b ′i) = (a + a ′) + (b +b ′)i;
(a + bi).(a ′ +b ′i) = a.a ′ + ab ′i +ba ′i + bb ′i 2 = (aa ′ −bb ′) + (ab ′ +ba ′)i
ð tìm s ph c ñ o c a s ph c z = a + bi ta làm như sau:
1 1 a − bi a − bi a bi
z = a + bi = (a + bi)(a − bi) = a 2 + b 2 = a 2 + b 2 − a 2 + b 2

T ñó, phép chia s ph c z cho s ph c z ′ ≠ 0 ñư c th c hi n theo quy
t c z.( 1 ) .
z′
S ph c a −bi ñư c g i là s ph c liên h p c a s ph c a + bi .
4) Ta tìm nghi m c a phương trình x 2 + 1 = 0 trong trư ng s ph c.
Ta có th vi t x 2 = −1 = i 2 ; t ñó, x = ±i .
Trong trư ng s ph c m i phương trình b c hai v i h s th c ñ u có
nghi m.

Th t v y, ta có: ax 2 + bx + c = a(x + b )2 − (b − 4ac ) = 0
2
(*)
2a 4a 2
ð t ∆ = b 2 − 4ac thì:

+ N u ∆ ≥ 0 phương trình b c hai có nghi m th c x = −b ± ∆
2a

+ N u ∆ < 0 ñ t α = −b β 2 = 4ac − b thì (*) tr thành:
2

2a 4a 2
a.[(x − α)2 + β 2 ] = 0 ⇒ x = α ± i β

Ví d : Xét phương trình x 2 − 2x + 4 = 0
Ta có ∆ = −12 = 12i 2 t ñó phương trình có hai nghi m ph c:
x =1±i 3
4.3 D NG LƯ NG GIÁC C A S PH C
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 13 Giáo trình toán cao c p 1
Cho s ph c z = x + yi . Có th bi u di n hình h c s ph c ñó trên m t
ph ng s ph c: ñó là m t ph ng trên ñó có hai tr c x ′Ox và y ′Oy vuông góc
v i nhau. Ta cho tương ng s ph c z = x + yi v i ñi m M có to ñ (x,y)
trên m t ph ng ñó (hay v i véc tơ OM ); Các ñi m trên tr c x ′Ox tương ng
v i các s (x,0) , ñó là các s th c x ; các ñi m trên tr c y ′Oy tương ng v i
các s (0,y) , ñó là các s ph c có d ng iy .

ð dài r c a véc tơ OM ñư c g i là mô ñun c a s ph c z , ta ký hi u là
r=z .

Góc ϕ gi a véc tơ OM và Ox ñư c g i là argumen c a s ph c z , ký
hi u là ϕ = Argz .
Góc ϕ ñư c xác ñ nh chính xác ñ n 2k π , ngư i ta thư ng ch n giá tr
chính c a nó trong kho ng [−π; π] .

y
Ta có: x = r cos ϕ; y = r sin ϕ (hay r = x 2 + y 2; tgϕ = x )

Khi ñó ta có th vi t s ph c z = x + yi dư i d ng lư ng giác:
z = r.(cos ϕ + i sin ϕ)

Ví d : Vi t các s ph c (1,0),i,1 + i dư i d ng lư ng giác.

V i s (1,0) ta có x = 1 ; y = 0 nên r = 1 , tgϕ = 0 ⇒ ϕ = 0 .

V y (1,0) = cos 0 + i sin 0

V i s i ta có x = 0,y = 1 nªn r = 1 , tgϕ = ∞ ⇒ ϕ = π
2
V y i = cos π + i sin π
2 2

Tương t 1 + i = 2 (cos π + i sin π )
4 4
Khi vi t s ph c dư i d ng lư ng giác thì các phép tính nhân, chia, lu
th a các s ph c ñư c ti n hành thu n l i. Ta có các quy t c:
N u z1 = r1. (cos ϕ1 + i sin ϕ1) ; z 2 = r2. (cos ϕ2 + i sin ϕ2) thì

a) z 1.z 2 = r1.r2 [cos (ϕ1 + ϕ2) + i sin (ϕ1 + ϕ2)];
z r
b) z 1 = r1 [cos (ϕ1 − ϕ2) + i sin (ϕ1 − ϕ2)]; z2 ≠ 0
2 2


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 14 Giáo trình toán cao c p 1
c) z 1n = r1n [cos (nϕ1) + i sin (nϕ1)]
Ta ch ng minh cho a):
z 1.z 2 = r1.r2 [cos ϕ1.cos ϕ2 + i 2 sin ϕ1.sin ϕ2 + i(cos ϕ1.sin ϕ2 + sin ϕ1.cos ϕ2)] =
= r1.r2 [cos (ϕ1 + ϕ2 ) + i sin (ϕ1 + ϕ2 )]; do i 2 = −1.

Ch ng minh tương t cho (b). Phép ch ng minh (c) ñư c suy ra t (a) b ng
quy n p.
Dùng k t qu trên có th ch ng t ñư c r ng: Trong trư ng s ph c căn
b c n c a ñơn v [sô ph c (1,0) ] có n giá tr khác nhau.

Th t v y, ta vi t (1,0) dư i d ng lư ng giác: (1, 0) = cos 0 + i sin 0.

G i căn b c n c a (1,0) là z , t c là z n = (1,0) .

Gi s s ph c z có d ng lư ng giác là z = r. (cos ϕ + i sin ϕ)

Khi ñó: z n = r n [cos (nϕ) + i sin (nϕ)] = cos 0 + i sin 0.
T ñó suy ra:
 rn = 1 
 r =1

 
cos nϕ = cos 0; sin nϕ = sin 0 ⇒ 


  2k π
nϕ = 2k π;⇒ ϕ = n k = 0,1,2...n − 1


V y căn b c n c a s ph c ñơn v có n giá tr khác nhau, g i các căn b c n ñó là
εk , k = 0,1,...n − 1. Ta có: εk = cos 2kπ + i sin 2k π ; k = 0,1,..., n − 1.
n n




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 15 Giáo trình toán cao c p 1
BÀI T P
1.1 Ta ký hi u các kho ng ñóng, n a kho ng ñóng, n a ñóng (ho c n a m ),
m trên t p h p s th c R như sau:
a, b = {x ∈ R, a ≤ x ≤ b} ;
 
a, b) = {x ∈ R, a ≤ x < b} ;

(a,b = {x ∈ R, a < x ≤ b};
(a,b) = {x ∈ R,a < x < b}.
Tìm A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A trong các trư ng h p sau:

a, A = 3, 5 , B = 2, 4 ;
   
b, A = 3, 5), B = (2, 4);

c, A = (3, 5), B = 2, 4).


1.2 Cho A = {x ∈ R,| x |≥ 5} ; B = {x ∈ R, − 6 ≤ x < 0} . Xác ñ nh các t p

h p: A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A và bi u di n chúng trên tr c s .

1.3 Ch ng minh các ñ ng th c t p h p sau:
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) ; A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) ;
A \ (B ∪ C ) = (A \ B ) ∩ (A \ C ); A \ (B ∩ C ) = (A \ B) ∪ (A \ C );

1.4 Trong 100 sinh viên có 28 ngư i h c ti ng Anh, 30 ngư i h c ti ng ð c,
42 ngư i h c ti ng Pháp, 8 ngư i h c c ti ng Anh và ti ng ð c, 10 ngư i
h c c ti ng Anh và ti ng Pháp, 5 ngư i h c c ti ng ð c và ti ng Pháp, 3
ngư i h c c 3 th ti ng. H i có bao nhiêu ngư i không h c ngo i ng nào?
Có bao nhiêu ngư i ch h c m t ngo i ng ?
1.5 Cho A, B là các t p h p, f là ánh x . Ch ng minh r ng:
a, f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B );
b, f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B );

c, N u f là ñơn ánh thì f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B ).
1.6 Ch ng minh r ng các ánh x sau là song ánh và xác ñ nh ánh x ngư c c a
chúng.
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 16 Giáo trình toán cao c p 1
a, f : R → R xác ñ nh b i f (x ) = 2x − 1

b, g : [0,1] → [0,1] xác ñ nh b i g(x ) = 1 − x 2

1.7 Cho các ánh x f : A → R; f (x ) = 2x 2 − 1; g : A → R; g(x ) = 1 − 3x;

Tìm t p h p A ñ f = g .
1.8 Cho R là t p các s th c, R + là t p các s th c không âm. Xét hai ánh x :
f : R → R + x¸c ®Þnh bëi f (x ) = x 2
g : R → R + x¸c ®Þnh bëi g(x ) = x 2 + 1
a, f có là ñơn ánh không? Có là toàn ánh không ? T i sao ?
b, Cũng câu h i trên cho ánh x g
−5
1.9 Cho ánh x f : R \ {1} → R x¸c ®Þnh nh− sau: f (x ) = 4x − 1
x
a, f có ph i là ñơn ánh, toàn ánh không? t i sao?
b, Cho A = [0, 3] \ {1}; B = [2, 3] . Tìm f (A), f −1(B)

p
1.10 S h u t là s có d ng q trong ñó p và q là hai s nguyên t cùng nhau.

Dùng ñ nh nghĩa ñó hãy ch ng minh s 2 không ph i là s h u t (ch ng
minh b ng ph n ch ng).
1.11 Các s a,b,a ′,b ′ là h u t , c không ph i là h u t . Ch ng minh r ng n u
a + b c = a '+ b ' c thì a = a ′,b = b ′ . Dùng k t qu y hãy tìm các s x và

y sao cho x + y 2 = 17 + 12 2 .
Nguyên lý quy n p: Nhi u m nh ñ toán h c ñư c ch ng minh b ng nguyên lý
quy n p sau: N u P là m t tính ch t nào ñó ñư c xác ñ nh trên t p h p các s
t nhiên N sao cho:
a, Tính ch t P ñúng v i s t nhiên 1.
b, N u tính ch t P ñã ñúng cho s t nhiên n thì nó cũng ñúng cho s t
nhiên n+1. Khi ñó tính ch t P s ñúng cho m i s t nhiên n.
Sơ ñ ch ng minh theo quy n p như sau:
ð u tiên ta ch ng t tính ch t P ñúng cho n = 1 .


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 17 Giáo trình toán cao c p 1
Sau ñó ta gi s tính ch t P ñúng cho n và tìm cách ch ng minh nó cũng
ñúng cho n + 1 .
Ta k t lu n tính ch t P ñúng cho m i n .
n (n + 1)
Ví d : Ch ng min t ng: Pn = 1 + 2 + ... + n = v i n là s t
2
nhiên b ng phương pháp quy n p.
1 (1 + 1)
V i n = 1 ta có P1 = = 1 công th c ñúng.
2
n (n + 1)
Ta gi s công th c ñúng cho n, t c là: Pn = . T ñó ta s ch ng
2
(n + 1)(n + 2)
minh công th c ñúng cho n + 1 t c là ph i ch ng minh: Pn +1 = .
2
n (n + 1) (n + 1)(n + 2)
Ta có P n +1 = Pn + (n + 1) = +n +1= . V y công
2 2
th c ñúng cho m i s t nhiên n.
1.12 Dùng nguyên lý quy n p hãy ch ng minh:
a, (1 + a )n ≥ 1 + na, a > −1
b, (1 + 2 + ... + n )2 = 13 + 23 + ... + n 3.
c, N u m t t p h u h n có n ph n t thì s t t c các t p h p con c a nó là
2n

1.13 Tính: a) 1 ; b) 1 − i ; c) 2 ; d ) ( 3 − i) .
2
i 1+i 1 − 3i
1.14 Vi t các s ph c i,− 8,1 − i dư i d ng lư ng giác, t ñó hãy tính:
3
i, 3
−8, 1 − i.
1.15 Tìm mi n ch a ñi m ph c z n u: a,| z |> 5; b,| z + 2i |≥ 2




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 18 Giáo trình toán cao c p 1
CHƯƠNG 2
KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Trong chương trình toán h c ph thông Trung h c, ta ñã h c các véc tơ
trong m t ph ng và trong không gian. Ta ñã bi u di n các véc tơ ñó theo t a ñ
và ñã bi t cách c ng các véc tơ và nhân m t véc tơ v i m t s theo các t a ñ
c a chúng. Trong chương này ta s m r ng khái ni m véc tơ hình h c sang véc
tơ t ng quát, nó có liên quan ñ n nhi u v n ñ trong toán h c và trong th c t .

§1 KHÔNG GIAN VÉC T
1.1 ð NH NGHĨA
Không gian véc tơ V trên trư ng s th c R là m t t p không r ng các
ph n t ñư c g i là các véc tơ trong ñó có xác ñ nh hai phép tính:
Phép tính th nh t là phép c ng hai véc tơ: N u x và y là hai ph n t c a
V thì t ng x + y cũng là ph n t c a V .
Phép tính th hai là phép nhân m t véc tơ v i m t s th c: N u x là m t
ph n t c a V và α là m t s th c thì α.x cũng là m t véc tơ.
Các phép tính ñó ph i th a mãn 8 tiên ñ :
V1- Phép c ng có tính giao hoán: ∀x,y ∈V : x + y = y + x.
V2- Phép c ng có tính k t h p: ∀x,y, z ∈V :(x + y) + z = x + (y + z ).

V3- T n t i ph n t không: ∃ 0 ∈V : ∀x ∈V , x + 0 = x .

V4- T n t i ph n t ñ i: ∀ x ∈V , ∃− x ∈V :x + (−x ) = 0

V5- Phép nhân v i m t s có tính ch t k t h p:
∀ α, β ∈ R, ∀ x ∈V : α.(βx ) = (α.β)x .

V6- Tính ch t c a s th c 1 : ∀ x ∈V :1.x = x.

V7- Phép nhân v i m t s có tính ch t phân ph i ñ i v i phép c ng véc tơ:
∀x,y ∈V , ∀α ∈ R :α(x + y) = αx + αy.

V8- Phép nhân có tính ch t phân ph i ñ i v i phép c ng s th c:
∀x ∈V , ∀α, β ∈ R :(α + β)x = αx + βx.

T các tiên ñ trên suy ra:
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 19 Giáo trình toán cao c p 1
a,Ph n t không c a V là duy nh t
Th t v y gi s trong V có hai ph n t không là 01 v 02 .
Theo V3, v i 01 là ph n t không: 01 + 02 = 02 ;
v i 02 là ph n t không: 01 + 02 = 01;
Dùng V1 ta suy ra 01 = 02 .
b,Ph n t ñ i c a x ∈V là duy nh t
Th t v y, gi s trong V có hai ph n t ñ i c a x là −x 1 v − x 2 .
T các tiên ñ V3, V4, V2 ta có:
−x 2 = −x 2 + 0 = −x 2 + x + (−x 1) = (−x 2 + x ) + (−x 1) = 0 + (−x 1) = −x 1.

1.2 CÁC VÍ D
1. T p các véc tơ hình h c l p thành m t không gian véc tơ
2. Không gian véc tơ Rn
Xét t p h p Rn mà m i ph n t c a nó ñư c xác ñ nh b ng m t b n s
th c s p th t : x = (x 1, x 2,..., x n )
Ta ñ nh nghĩa phép c ng như sau:
N Õu x = (x 1, x 2,..., x n ),y = (y1,y2,...,yn ) th× x + y = (x 1 + y1, x 2 + y2,..., x n + yn ).

Phép nhân m t s th c v i m t ph n t trong Rn ñư c xác ñ nh b ng:
N Õu x = (x 1, x 2,..., x n ), α ∈ R th× αx = (αx 1, αx 2,..., αx n ).

Dùng tính ch t c a t p h p s th c có th ch ng t r ng t p h p Rn tho
mãn c 8 tiên ñ c a m t không gian véc tơ. Ph n t không trong Rn là
(0,0,...,0) , ph n t ñ i c a ph n t x là ph n t −x = (−x 1,−x 2,...,−x n ) .
V y t p h p Rn l p thành m t không gian véc tơ trên trư ng s th c.
3. Không gian các ña th c
Xét t p h p các ña th c v i h s th c có b c không vư t quá n :
Pn(x ) = a 0x n + a1x n−1 + ... + an−1x + an
T ng hai ña th c có b c không vư t quá n cũng là m t ña th c có b c
không vư t quá n ; tích m t ña th c có b c không vư t quá n v i m t s th c


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 20 Giáo trình toán cao c p 1
cũng là m t ña th c có b c không vư t quá n . C 8 tiên ñ nêu trên cũng ñư c
tho mãn. ða th c không là ña th c có m i h s b ng không.
V y t p h p các ña th c có b c không vư t quá n l p thành m t không
gian véc tơ trên trư ng s th c.
4. Không gian các hàm.
Xét t p h p các hàm s th c f (x ) liên t c trên m t kho ng (a,b) nào ñó. Ta
có t ng các hàm liên t c là hàm liên t c, tích m t hàm liên t c v i m t s th c
là hàm liên t c. Hàm không là hàm ñ ng nh t b ng không v i m i giá tr c a x .
Hàm ñ i c a hàm f (x ) là hàm −f (x ) . 8 tiên ñ ñã nêu cũng ñư c tho mãn.
V y t p h p các hàm s liên t c trên m t kho ng l p thành m t không gian
véc tơ trên trư ng s th c.
5. Không gian các s ph c
Xét t p h p C các s ph c z = a + bi , v i a,b ∈ R , i là ñơn v o:
i 2 = −1 . Ta ñã bi t phép c ng hai s ph c, phép nhân m t s ph c v i m t s
th c. Ta có th nghi m l i 8 tiên ñ c a m t không gian véc tơ cho t p h p s
ph c.
V y t p h p s ph c là m t không gian véc tơ trên trư ng s th c.
§2. CƠ S C A M T KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Theo ñ nh nghĩa c a m t không gian véc tơ, n u v1, v2,...,vn là các véc tơ
thu c không gian véc tơ V và α1, α2,..., αn là các s thì α1v1 + α2v2 + ... + αnvn
cũng là m t véc tơ thu c V .
2.1 S ð C L P TUY N TÍNH VÀ PH THU C TUY N TÍNH
ð nh nghĩa 1. Bi u th c α1v1 + α2v2 + ... + αnvn ñư c g i là t h p tuy n
tính c a các véc tơ v1,v2,...,vn v i các h s α1, α2,..., αn .
ð nh nghĩa 2. Các véc tơ v1,v2,...,vn c a không gian véc tơ V ñư c g i là
ñ c l p tuy n tính n u m i t h p tuy n tính c a chúng là véc tơ không khi và
ch khi m i h s c a t h p ñó b ng không:
α1v1 + α2v2 + ... + αnvn = 0 ⇔ α1 = α2 = ... = αn = 0.
Trong trư ng h p trái l i, n u có ít nh t m t αi ≠ 0,i = 1,2,...,n thì các véc
tơ v1, v2,...,vn ñư c g i là ph thu c tuy n tính.


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 21 Giáo trình toán cao c p 1
N u các véc tơ v1,v2,...,vn ph thu c tuy n tính thì m t véc tơ trong chúng
s là t h p tuy n tính c a các véc tơ còn l i.
Th t v y, t α1v1 + α2v2 + ... + αnvn = 0 và gi s α1 ≠ 0 ta suy ra:
α α
v1 = − α2 v2 − ... − αn vn .
1 1

Ví d : Trong không gian các véc tơ hình h c, hai véc tơ ñ ng phương, ba
véc tơ ñ ng ph ng là ph thu c tuy n tính.
Th t v y, t v1 = kv2 ta suy ra v1 − kv2 = 0 v i h s c a v1 là 1 ≠ 0 .
T ba véc tơ ñ ng ph ng thì: v1 = kv2 + lv3 ta suy ra v1 − kv2 −lv 3 = 0 v i
h s c a v1 là 1 ≠ 0 . Hai véc tơ không ñ ng phương, ba véc tơ không ñ ng
ph ng thì ñ c l p tuy n tính. Gi s kv1 + lv2 = 0 ta suy ra k = l = 0 . Th t v y,
n u k ≠ 0 thì ta có v1 = − 1 v2 t c là v1,v2 ñ ng phương, trái gi thi t. Tương
k
t cho l .
2.2 CƠ S C A KHÔNG GIAN VÉC TƠ
ð nh nghĩa 3. M t h các véc tơ v1, v2,..., vn c a không gian véc tơ V ñư c
g i là m t cơ s c a V n u:
• Chúng ñ c l p tuy n tính.
• M i véc tơ c a V ñ u ñư c bi u di n b ng m t t h p tuy n tính
c a các véc tơ cơ s v1, v2,..., vn

H các véc tơ v1, v2,..., vn sao cho v i m i v∈V ta có:
v = α1v1 + α2v2 + ... + αnvn ñư c g i là h các ph n t sinh hay g i t t là h sinh
c aV .
Như v y, m t cơ s c a không gian véc tơ V là m t h sinh g m các véc tơ
ñ c l p tuy n tính c a V .
Các ví d :
Hai véc tơ không ñ ng phương l p thành m t cơ s trong m t ph ng.
Ba véc tơ không ñ ng ph ng l p thành m t cơ s trong không gian hình h c
Trong không gian các ña th c có b c không vư t quá 2 các ña th c 1,t,t 2 l p
thành m t cơ s .


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 22 Giáo trình toán cao c p 1
Th t v y, các ña th c 1,t,t 2 là ñ c l p tuy n tính: α.1 + β.t + γ.t 2 = 0 (ña
th c không) khi và ch khi α = β = γ = 0 .
M i ña th c có b c không vư t quá 2 ñ u ñư c bi u di n tuy n tính qua
1,t,t 2 . P(t ) = a +bt + ct 2

Trong không gian véc tơ Rn n véc tơ e1,e2,...,en v i:
e1 = (1,0,0,...,0),e2 = (0,1,0,...,0),...,en = (0,0,...,0,1) l p thành m t cơ s

Ta ch ng t các véc tơ e1,e2,...,en ñ c l p tuy n tính:
Xét t h p tuy n tính:
α1e1 + α2e2 + ... + αnen = (α1, α2,..., αn ) = 0 ⇒ α1 = α2 = ... = αn = 0

Hơn n a ∀v ∈V ,v = (a1,a2,...,an ) = a1e1 + a2e2 + ... + anen.

Cơ s : e1 = (1,0,0,...,0),e2 = (0,1,0,...,0),...,en = (0,0,...,0,1) ñư c g i là cơ s
chính t c c a không gian Rn .
Chú ý: N u v1, v2,..., vn là m t cơ s c a không gian véc tơ V thì m i véc
tơ c a V ñư c bi u di n m t cách duy nh t b ng m t t h p tuy n tính c a
v1, v2,..., vn

Th t v y, gi s có hai cách bi u di n c a v ∈V theo cơ s v1, v2,..., vn :

v = α1v1 + α2v2 + ... + αnvn;
v = β1v1 + β2v2 + ... + βnvn;
T ñó: 0 = v − v = (α1 − β1)v1 + (α2 − β2)v2 + ... + (αn − βn )vn , do v1, v2,..., vn ñ c
l p tuy n tính ta suy ra: α1 − β1 = α2 − β2 = ... = αn − βn = 0 0 t c là
α1 = β1; α2 = β2;...; αn = βn , hai cách bi u di n ñó trùng nhau.

ð nh nghĩa 4. N u v1, v2,..., vn là m t cơ s c a không gian véc tơ V và
v ∈V ,v = α1v1 + α2v2 + ... + αnvn th× c¸c sè α1, α2,..., αn ñư c g i là các to ñ
c a véc tơ v theo cơ s v1, v2,..., vn .

2.3 S CHI U C A KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Ta chú ý r ng n u m t không gian véc tơ V có m t cơ s g m n véc tơ thì
n là s l n nh t các véc tơ ñ c l p tuy n tính có trong V . Ta có ñ nh lý sau:

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 23 Giáo trình toán cao c p 1
ð nh lý. Gi s v1, v2,..., vn là m t h sinh c a không gian véc tơ V và gi
s v1, v2,..., vr ; r ≤ n là s l n nh t các véc tơ ñ c l p tuy n tính c a h . Khi ñó
h các véc tơ v1, v2,..., vr l p thành m t cơ s c a V .

Ta ch còn ph i ch ng minh v1, v2,..., vr là m t h sinh c a V .

Vì r là s l n nh t các véc tơ ñ c l p tuy n tính c a h nên n u thêm m t
véc tơ vi,i > r vào h thì các véc tơ v1, v2,..., vr, vi s ph thu c tuy n tính:
α1v1 + α2v2 + ... + αrvr + αivi = 0 víi αi ≠ 0 .
α1 α2 α
T ñó: vi = −α v1 + −α v2 + ... + αr vr
i i i

Do các véc tơ v1, v2,..., vn là m t h sinh c a không gian véc tơ V nên v i
m i v ∈V ta có: v = β1v1 + β2v2 + ... + βnvn .
Ta ch vi c thay các vi,i > r theo bi u th c trên vào v r i sát nh p các h
s c a v1, v2,..., vr vào v i nhau thì s bi u di n ñư c m i véc tơ c a V b ng t
h p tuy n tính các véc tơ v1, v2,..., vr .

V y h v1, v2,..., vr là h sinh c a V và do chúng ñ c l p tuy n tính nên
chúng l p thành m t cơ s c a V .
Như v y, m t cơ s c a không gian véc tơ V là m t h g m s l n nh t
các véc tơ ñ c lâp tuy n tính có trong V .
ð nh nghĩa 5. S l n nh t các véc tơ ñ c l p tuy n tính c a không gian véc
tơ V ñư c g i là s chi u c a không gian V .
Như v y s chi u c a không gian V chính là s véc tơ trong cơ s c a V .
N u s chi u c a không gian V là n thì ta vi t dimV = n . Ta cũng nói V
là không gian n chi u.
Ta chú ý r ng có th ch n các cơ s khác nhau trong m t không gian véc
tơ. N u V là không gian n chi u thì m i cơ s c a nó ñ u ph i ch a n véc tơ
ñ c l p tuy n tính. Các to ñ c a cùng m t véc tơ trong các cơ s khác nhau s
khác nhau.
Ví d : Xét không gian các ña th c có b c không vư t quá hai.



----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 24 Giáo trình toán cao c p 1
N u ch n cơ s B = {1,t,t 2} thì ña th c P(t ) = a +bt + ct 2 có to ñ là (a,b,c) .
N u ch n cơ s B ′ = {1,t −1,t(t −1)} (hãy ki m tra l i các ñi u ki n c a m t cơ
s ) thì P(t) s ñư c bi u di n b ng:

a + bt + ct 2 = α.1 + β(t − 1) + γt(t − 1) = (α − β) + (β − γ)t + γt 2

Ta có: α − β = a; β − γ = b; γ = c;

T ñó α = a + b + c; β = b + c; γ = c;

V y to ñ c a P(t) trong cơ s B ′ là (a + b + c,b + c,c)

Ta có th vi t: P(t) = a +b + c + (b + c)(t − 1) + ct(t −1).

§3 KHÔNG GIAN VÉC TƠ CON
3.1 ð NH NGHĨA
Ta g i không gian véc tơ con c a không gian véc tơ V là m t t p con V ′
c a V tho mãn hai tính ch t sau:
N Õu x,y ∈V ′ th× x + y ∈V ′
N Õu x ∈V ′ v α l mét sè th× αx ∈V ′

Ta chú ý r ng không gian con V ′ c a V cũng là m t không gian véc tơ vì
hai phép tính nêu trên tho mãn c 8 tiên ñ c a m t không gian véc tơ.
Th t v y, ph n t không cũng thu c V ′ : N Õu x ∈V ′ th× 0 = 0x ∈V ′ .
Ph n t ñ i c a x ∈V ′ là −x = (−1)x ∈V ′ .
Các tiên ñ V1, …, V8 ñã ñúng cho V thì cũng ñúng cho V ′ .
3.2 CÁC VÍ D
1. Xét không gian hình h c R 3 . T p h p m i véc tơ n m trong m t ph ng
ñi qua g c to ñ l p thành m t không gian véc tơ con c a R 3 . T p h p m i véc
tơ n m trên ñư ng th ng ñi qua g c to ñ cũng là m t không gian con c a R 3 .
2. Xét không gian véc tơ V .
Gi s v1,v2,...,vn ∈V v α1, α2,..., αn là các s .
T p h p V ′ , m i t h p tuy n tính α1v1 + α2v2 + ... + αnvn c a các véc tơ
trên l p thành m t không gian con c a V .


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 25 Giáo trình toán cao c p 1
Th t v y, t ng hai t h p tuy n tính c a các véc tơ v1, v2,...,vn cũng là t
h p tuy n tính c a các véc tơ ñó, tích m t s th c v i m t t h p tuy n tính c a
các véc tơ ñó cũng là m t t h p tuy n tính c a chúng:
N Õu α1v1 + α2v2 + ... + αnvn ∈V ′; β1v1 + β2v2 + ... + βnvn ∈V ′
th× (α1 + β1)v1 + (α2 + β2)v2 + ... + (αn + βn )vn ∈V ′ V
V íi mäi sè thùc k :k(α1v1 + α2v2 + ... + αnvn ) = k α1v1 + k α2v2 + ... + k αnvn ∈V ′.
V y V ′ là m t không gian con c a V .
Không gian con V ′ các t h p tuy n tính c a v1, v2,...,vn còn ñư c g i là
không gian véc tơ sinh b i các véc tơ v1,v2,...,vn .
Ta th a nh n r ng n u không gian V có s chi u là n thì m i không gian
con c a V có s chi u là n ′ víi n ′ ≤ n .




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 26 Giáo trình toán cao c p 1
BÀI T P
2.1 Ch ng t r ng v i m i véc tơ v trong không gian véc tơ V và v i s
th c k tùy ý n u kv = 0 thì ho c k = 0 ho c v = 0 .
2.2 Ch ng minh hai tính ch t sau c a không gian véc tơ V :
a) V i u,v,w ∈V thì t u + w = v + w ta suy ra u = v .
b) V i u,v ∈V và k là s th c khác không thì t ku = kv ta suy ra u = v .
2.3 Cho a,b,c là ba s th c tùy ý. Xét t p V m i b có th t ba s th c
(x, y, z ) sao cho ax +by + cz = 0 . Ch ng t r ng V là m t không gian véc tơ
trên trư ng s th c.
2.4 T p h p m i ña th c b c n có l p thành m t không gian véc tơ không?
Gi i thích t i sao?
2.5 Cho các véc tơ v1 = (1,1) và v2 = (−3,2) . Ch ng t r ng chúng ñ c l p
tuy n tính và l p thành m t cơ s c a R2 . Tìm t a ñ c a véc tơ v = (1,0) theo
cơ s ñó.
2.6 Ch ng minh r ng trong không gian R 3 :
a, Các véc tơ v1 = (2,1,1),v2 = (1,3,1),v 3 = (−2,1,3) ñ c l p tuy n tính.

b, Các véc tơ v1 = (1,0,3),v2 = (0,1,2),v 3 = (2,−3,0) ph thu c tuy n tính.

2.7 Ch ng minh r ng các véc tơ:
v1 = (0,1,1,1),v2 = (1,0,1,1),v3 = (1,1,0,1),v 4 = (1,1,1,0) l p thành m t cơ s c a
không gian R 4 .
Tìm các t a ñ c a véc tơ v = (1,1,1,1) theo cơ s ñó.
2.8 Trong không gian P các ña th c có b c không vư t quá 4 ta xét các ña
th c có nghi m là x = a, x = b v i a ≠ b . Ch ng t r ng t p h p ñó là m t
không gian con c a không gian P . Tìm m t cơ s c a không gian ñó.
2.9 Trong không gian F các hàm s m t bi n s th c t hãy ch ng t r ng
các hàm s t,sin t,e t là ñ c l p tuy n tính.

Ch ng t r ng m i hàm s có d ng f (t ) = at + b sin t + ce t víi a,b,c ∈ R l p
thành m t không gian con c a không gian F .


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 27 Giáo trình toán cao c p 1
2.10 Ch ng minh r ng hai s ph c a + bi v c + di t o thành m t cơ s c a
không gian véc tơ C các s ph c khi và ch khi ad ≠ bc .
2.11 Cho không gian véc tơ E; F v G là hai không gian con c a E . Ta
g i H là t p h p các z ∈ E sao cho z = x + y v i x ∈ F,y ∈G .

1) Ch ng minh H là m t không gian véc tơ con c a E .
2) Ch ng minh r ng ñ F ∩G = {0} thì c n và ñ là z ñư c bi u di n m t
cách duy nh t b i z = x + y, víi x ∈ F,y ∈G. T ñó suy ra r ng m i hàm s m t
bi n s th c xác ñ nh trên [−a,a ] có th ñư c phân tích m t cách duy nh t thành
t ng hai hàm, m t hàm ch n và m t hàm l .




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 28 Giáo trình toán cao c p 1
CHƯƠNG 3
MA TR N VÀ ð NH TH C
§1 PHÉP TÍNH MA TR N
1.1 ð NH NGHĨA MA TR N
Cho m , n là hai s nguyên dương. M t ma tr n lo i m ×n là m t b ng
hình ch nh t g m m.n s th c ñư c trình bày theo m hàng và n c t:
a11 a12 ... a1n 
 
a21 a22
 ... a2n 


A =  ... ...



... ... 
 (1)

 

a 

 m1 a m 2
 ... amn 

Các s a ij; 1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n ñư c g i là các ph n t c a ma tr n A
(ph n t n m hàng i và c t j c a ma tr n).
Ma tr n lo i 1×n là ma tr n hàng: nó ch có m t hàng.
Ma tr n lo i m×1 là ma tr n c t: nó ch có m t c t.
Gi s ta có ma tr n A . Bây gi ta l p m t ma tr n m i, nó có các hàng là
các c t c a ma tr n A còn các c t là các hàng c a ma tr n A (v n gi nguyên
th t các hàng và các c t). Ma tr n m i này ñư c g i là ma tr n chuy n v c a
ma tr n A , ta ký hi u nó là At . Như v y, n u A là ma tr n cho b i (1) thì ta có:
a11 a21 ... am1 
 
a12 a22
 ... am 2 


A =  ... ...
t

 ... ... 



 

a 

 1n a2n
 ... amn 

N u A là ma tr n lo i m ×n thì At là ma tr n lo i n ×m .
Ma tr n lo i n ×n là ma tr n vuông c p n ; nó có n hàng và n c t.
Các ph n t c a ma tr n vuông có ch s hàng b ng ch s c t
a11; a22;...; ann là các ph n t n m trên ñư ng chéo chính.

Ma tr n vuông ñư c g i là ma tr n ñ i x ng n u các ph n t v trí ñ i
x ng qua ñư ng chéo chính là b ng nhau.
V i ma tr n ñ i x ng ta có: aij = a ji i≠j


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 29 Giáo trình toán cao c p 1
Ma tr n vuông ñư c g i là ma tr n chéo n u m i ph n t n m ngoài
ñư ng chéo chính ñ u b ng không
Ma tr n không là ma tr n có m i ph n t ñ u b ng không.
Hai ma tr n là b ng nhau n u chúng cùng lo i và có các ph n t tương
ng b ng nhau.
Các Ví d :


1 0

1 2 3
 
 
A= 2 5

0 5 4;
 A =
t
 


 
 
3 4
 

 

5 −1 0
 1 0 0 


  
 
   
Ma tr n vuông: B = 3 8 2 ; Ma tr n chéo C = 0 4 0 
   
 
  
0 6 4
  0 0 −2
 

   

1 0 5


 
0 3 7
Ma tr n ñ i x ng D = 
 



5 7 2


 


1.2 CÁC PHÉP TÍNH TRÊN MA TR N
Phép c ng hai ma tr n
Gi s A = (aij ); B = (bij ) là hai ma tr n cùng lo i m ×n .

T ng hai ma tr n A và B là m t ma tr n C cùng lo i v i A v B . Ph n t
cij (hàng i , c t j ) c a ma tr n C là t ng các ph n t v trí tương ng c a A
và B
cij = aij + bij

Ta ký hi u: C = A+B .
Có th nghi m l i r ng phép c ng các ma tr n th a mãn 4 tiên ñ c a phép
c ng véc tơ ñã nêu trong chương hai, ma tr n ñ i c a A là ma tr n có các ph n
t là các ph n t ñ i c a các ph n t tương ng c a ma tr n A .
Phép nhân m t ma tr n v i m t s th c



----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 30 Giáo trình toán cao c p 1
Tích c a m t ma tr n A v i m t s th c α là m t ma tr n cùng lo i v i A
có ph n t v trí (i, j ) là tích c a α v i ph n t aij c a ma tr n A .

Ta vi t: αA = (αaij )

Có th nghi m l i r ng phép nhân m t ma tr n v i m t s th c th a mãn
hai tiên ñ 5, 6 c a phép nhân m t véc tơ v i m t s th c; phép nhân và phép
c ng th a mãn c hai tiên ñ 7, 8 c a m t không gian véc tơ.
V y t p h p các ma tr n cùng hai phép tính nêu trên l p thành m t không
gian véc tơ trên trư ng s th c.
1 2 3
 2 0 −4

Ví d : Cho A =  ; 
B = .
0 5 4
 
  
3 −5 2 


3 2 −1
 2 4 6
Ta có: A + B = 
3 0 6 ;
 2A = 
0 10 8


 
 
 


Phép nhân hai ma tr n
Phép nhân m t ma tr n hàng v i m t ma tr n c t.
Gi s :
u = (u1 u2 ... un );
v1 
 
v2 
  
v = ...
 
 
 
 
 
 
v 

u là ma tr n hàng lo i (1×m) , v là ma tr n c t lo i (n×1) .

Tích c a u v v ñư c xác ñ nh b i: uv = (u1v1 + u2v2 + ... + unvn ) .
b, Phép nhân hai ma tr n.
ði u ki n c a phép nhân: Mu n nhân ma tr n A v i ma tr n B thì s c t
c a ma tr n A ph i b ng s hàng c a ma tr n B .
Tích c a ma tr n A lo i (m × p) và ma tr n B lo i (p ×n) là m t ma tr n
C . C là ma tr n lo i (m ×n) có ph n t v trí (i, j ) b ng tích c a hàng i c a
ma tr n A v i c t j c a ma tr n B :
cij = ai1b1j + ai2b2 j + ... + ainbnj . Ta ký hi u C = AB .
.

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 31 Giáo trình toán cao c p 1
Ví d : Cho các ma tr n:
1 3 0 0

3 1 4
 
 
A= 1 1 0 0 ; Tìm ma tr n tích C = AB .

2 0 5 ;
  B =
 

.
 
  
0 0 1 1
 
 

C s là ma tr n lo i (2×4) v i:
c11 = 3 × 1 + 1 × 1 + 4 × 0 = 4; c12 = 3 × 3 + 1 × 1 + 4 × 0 = 10
c13 = 3 × 0 + 1 × 0 + 4 × 1 = 4; c14 = 3 × 0 + 1 × 0 + 4 × 1 = 4;
c21 = 2 × 1 + 0 × 1 + 5 × 0 = 2; c22 = 2 × 3 + 0 × 1 + 5 × 0 = 6;
c23 = 2 × 0 + 0 × 0 + 5 × 1 = 5; c24 = 2 × 0 + 0 × 0 + 5 × 1 = 5.
4 10 4 4

Ma tr n tích: 
C = 
2 6 5 5
 


Ta có th nghi m l i r ng: N u các ma tr n A, B,C th a mãn ñi u ki n
nhân: A là ma tr n lo i (m × p) , B là ma tr n lo i (p ×q ) , C là ma tr n lo i
(q ×n) thì tích ABC có tính k t h p: A(BC ) = (AB)
. . . . C
Nhưng ta c n chú ý r ng phép nhân hai ma tr n không có tính ch t giao
hoán. N u ma tr n A nhân ñư c v i ma tr n B thì chưa ch c B ñã nhân ñư c
v i A (không th a mãn ñi u ki n nhân); ngay c khi tích B.A t n t i thì chưa
ch c ta có AB = B.A .
.
1 1 1 0
; B =   . Khi ñó 2 0

Ví d : Cho 
A=    
AB =   còn

0 0
 
1 0
 
0 0

  
1 1


BA =  

1 1


N u A và B th a mãn ñi u ki n nhân thì B t và At cũng th a mãn ñi u
ki n nhân và ta có: (AB)t = B tAt
.

Chuy n v c a ma tr n tích b ng tích các ma tr n chuy n v nhưng l y theo
th t ngư c l i.
Ta cũng c n chú ý r ng trong phép nhân ma tr n thì h th c AB = 0 chưa
ch c ñã kéo theo ho c A = 0 ho c B = 0 .
0 0
 0 1
 Nhưng AB = 
0 0


Ch ng h n, cho A =  ; B =  
0 0 
0 0 .
0 1
 
 
 
 
 


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 32 Giáo trình toán cao c p 1
Bây gi ta xét ma tr n vuông c p n là ma tr n chéo có các ph n t n m
trên ñư ng chéo chính b ng 1 . Ta ký hi u ma tr n ñó là I
Khi ñó m i ma tr n vuông A c p n ta có: AI = IA = A
Ma tr n I ñư c g i là ma tr n ñơn v c p n .
§2 ð NH TH C
2.1 HOÁN V VÀ NGH CH TH

Cho t p h p h u h n E = {1,2,..., n}.

Xét m t hoán v c a các ph n t c a E (ñó là m t song ánh P t E vào
chính nó):
 1 2 ... n 
α α ... α 
P
 1


 2 
n


v i α1, α2,..., αn ∈ E. L y hai s αi, α j trong m t hoán v c a E . N u
αi > αj v i i > j thì ta nói các s αi, α j l p thành m t ngh ch th .

Ví d : Trong hoán v 3214 c a 4 s 1234 thì có 3 c p t o thành ngh ch
th , ñó là (3,2),(3,1),(2,1)

ð αi, αj l p thành m t ngh ch th thì (αι − αj )(i − j ) < 0 .

Ta ký hi u I (α1, α2,..., αn ) là t ng s t t c các ngh ch th c a hoán v

(α , α ,..., α ) . Trong ví d
1 2 n trên ta có: I (3,2,1,4) = 3 .

ð nh nghĩa 1. M t hoán v c a E ñư c g i là hoán v ch n n u t ng s
các ngh ch th c a nó là ch n ho c b ng không, hoán v là l n u t ng s các
ngh ch th c a nó là l .

Xét m t hoán v (α1, α2,..., αn ) . N u ta ñ i ch hai ph n t αi, α j cho nhau
còn các ph n t khác v n gi nguyên thì ta nói ñã th c hi n m t phép chuy n v .
Phép chuy n v làm thay ñ i tính ch n l c a hoán v .
Ví d : Xét hoán v 3,2,1,4 c a b n s 1,2,3,4 . Ta có I (3,2,1,4) = 3 . N u ta
ñ i ch 2 và 1 cho nhau (th c hi n m t phép chuy n v ), khi ñó I (3,1,2,4) = 2 .
Bây gi ta xét thêm m t ví d ñ minh h a m t tính ch t khác c a hoán v .

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 33 Giáo trình toán cao c p 1
Cho E = {1,2,3,4,5} và xét m t hoán v c a E là 5,3,4,2,1 .

1 2 3 4 5


P :E → E P 

5 3 4 2 1


Nó có 9 ngh ch th (hoán v l ). Ta s p x p l i các c t c a ma tr n trên ñ
ñưa hàng 2 v th t t nhiên b ng cách th c hi n phép ñ i ch các c t c nh
nhau.
ð i ch c t 5 cho c t 4 r i cho c t 3 , c t 2 r i cu i cùng c t 1 , t c là
th c hi n 4 phép chuy n v .
5 1 2 3 4
1 5 3 4 2
P



 

Ti p t c ñưa c t 5 c a ma tr n m i ñ n v trí c t 2 , t c là th c hi n 3
5 4 1 2 3
phép chuy n v : c5 → c4 → c3 → c2 1 2 5 3 4
 


 

ð i ch c t 4 cho c t 3 , th c hi n m t phép chuy n v :
5 4 2 1 3


1 2 3 5 4
 

 
Cu i cùng ñ i ch c t 5 cho c t 4 , th c hi n m t phép chuy n v :
5 4 2 3 1

 
1 2 3 4 5

 

Như v y ñ ñưa hàng 2 v th t t nhiên ta ñã bi n ñ i ma tr n xu t phát
b ng ñúng 9 phép chuy n v hai c t c nh nhau (b ng s ngh ch th hàng 2
c a ma tr n xu t phát). Sau m i phép chuy n v ñó hàng 1 thêm m t ngh ch th ,
hàng 2 b t ñi m t ngh ch th . Như v y hàng 1 c a ma tr n cu i cùng có cùng
s ngh ch th v i hoán v P Có th coi hàng ñó như m t hoán v ngư c c a P ;
ta bi u di n nó b ng P −1 .
Phương pháp trình bày như trên có th áp d ng cho b t kỳ hoán v nào c a
t p h p E = {1,2,...,n} . Ta có k t qu t ng quát sau:
ð nh lý: N u m t hoán v tùy ý P : E → E có k ngh ch th thì hoán v
ngư c P −1 cũng có k ngh ch th .



----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 34 Giáo trình toán cao c p 1
 1 2 ... n  β1 β2 ... βn 

α α ... α  ñư c ñưa v d ng:  1 2 ... n  b ng k phép
Ma tr n: 
 1

 
 
 2 
n  

ñ i ch hai c t c nh nhau.
2.2 ð NH NGHĨA ð NH TH C
a11 a12 

Cho ma tr n vuông c p 2 A = a
 21 a22 . Ta g i ñ nh th c c a ma tr n 2


 
là ñ nh th c c p 2 , ký hi u det(A) , là m t s xác ñ nh như sau:

det(A) = a11a22 − a12a21 .
a11 a12
Ta cũng ký hi u ñ nh th c c p hai b i a a22 .
21


Giá tr c a det(A) là tích c a ph n t n m trên ñư ng chéo chính tr ñi
tích các ph n t n m trên ñư ng chéo kia. Nói cách khác, ñó là hi u c a hai s
h ng, m i s h ng là tích c a hai ph n t : m i ph n t n m trên ñúng m t hàng
và ñúng m t c t, ch s th nh t ch hàng ch s th hai ch c t, ñó là hai hoán
v c a hai s 1 và 2 : ñó là (1,2) và (2,1) . Hoán v sau có m t ngh ch th , nó là
l ; s h ng ng v i ph n t ñó có d u tr .
a11 a12 a13  

 
 
Xét ma tr n vuông c p 3 : A = a21 a22 a23  . ð nh th c c a ma tr n A là
 
 
a 31 a 32 a 33 
 

 
ñ nh th c c p 3 , ñó là s :

a11 a12 a13
det(A) = a21 a22 a23 = a11a22a 33 + a12a23a 31 + a13a21a 32 −
(1)
a 31 a 32 a 33
−a13a22a 31 − a12a21a 33 − a11a23a 32
Ta nh n xét r ng m i s h ng c a ñ nh th c c p 3 g m tích c a 3 ph n t ,
m i ph n t n m trong ñúng m t c t và ñúng m t hàng. Các th a s trong m i
s h ng ñư c vi t theo quy t c sau: ð u tiên là ph n t hàng m t r i ñ n hàng
hai, hàng ba. Ch s các c t c a các th a s ñó l p thành m t hoán v c a ba s
1,2,3 . S các hoán v c a ba s là 3! = 6 v a b ng s các s h ng vi t trong (1).
Trong 6 hoán v c a 1,2,3 thì các hoán v 1,2,3; 2,3,1; 3,1,2 là ch n, chúng ng


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 35 Giáo trình toán cao c p 1
v i các s h ng mang d u + bi u th c c a ñ nh th c vi t trong (1), còn các
hoán v 3,2,1; 2,1,3; 1,3,2 là l , chúng ng v i các s h ng mang d u − (1).

Vì v y ta có th vi t: det(A) = ∑ (−1)
I (α1, α2, α3 )
a1α1a2α2a 3α3

T ng ñư c l y theo m i hoán v c a 123 .

D a vào nh n xét trên ta có ñ nh nghĩa ñ nh th c c p n .
ð nh nghĩa 2. Xét ma tr n vuông A c p n . ð nh th c c a ma tr n A là m t s ,
ký hi u là det(A) , s ñó ñư c xác ñ nh b ng:

det(A) = ∑ (−1)
I (α1, α2,..., αn )
a1α1a2α2 ...an αn (2)

trong ñó α1, α2,..., αn là m t hoán v c a n s 1,2,...,n , I (α1, α2,..., αn ) là t ng
các ngh ch th c a hoán v ñó, t ng ∑ ñư c l y theo m i hoán v c a n s
1,2,...,n (có t t c n ! hoán v nên t ng ñó ch a n ! s h ng).
Ta cũng ký hi u ñ nh th c c p n c a ma tr n A b ng:
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
det(A) = ... ... ... ...
an1 an 2 ... ann

2.3 CÁC TÍNH CH T C A ð NH TH C
Xét m t ñ nh th c c p n . ð thu n ti n cho vi c phát bi u các tính ch t
c a ñ nh th c ta ký hi u A1, A2,..., An là các c t c a ñ nh th c và ta vi t

D (A1, A2,...An ) .

Tính ch t 1. N u m t ñ nh th c có m t c t ñư c phân tích thành t ng c a
hai véc tơ c t, ch ng h n Aj = Aj ' + Aj '' thì ta có th phân tích ñ nh th c thành
t ng c a hai ñ nh th c:

D (A1, A2,..., Aj ' + Aj '',...An ) = D (A1, A2,..., Aj ',..., An ) + D (A1, A2,..., Aj '',...An )

Th t v y trong bi u th c c a ñ nh th c (2), m i s h ng trong t ng ñ u
có ch a m t ph n t n m c t th j , ta ch vi c thay ph n t ñó b ng t ng
aij + aij , sau ñó ta tách t ng toàn b thành hai t ng: m t ng v i các s h ng có
′ ′′
ch a a′ m t ng v i các s h ng có ch a a′′ .
ij ij

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 36 Giáo trình toán cao c p 1
Tính ch t 2. Có th ñưa th a s chung c a m t c t ra ngoài d u ñ nh th c:

D (A1,..., kAj ,...An ) = kD (A1,..., Aj ,..., An ).

M i s h ng ñ u ch a k do ñó ta ch vi c ñưa k ra ngoài d u t ng.
Tính ch t 3. ð i ch hai c t thì ñ nh th c ñ i d u.

D (A1,..., Ai,..., Aj ,...An ) = −D (A1,..., Aj ,..., Ai,...An )

Vi c ñ i ch làm thay ñ i tính ch n l c a hoán v , do ñó trong bi u th c
(2) các s h ng mang d u + s chuy n thành − và các s h ng mang d u − s
chuy n thành + .
H qu . ð nh th c có hai c t gi ng nhau thì b ng không.
Th t v y, ñ i ch hai c t gi ng nhau thì ñ nh th c không thay ñ i nhưng
theo tính ch t 3 thì ñ nh th c ñ i d u, ta có D = −D ⇒ D = 0 .
Tính ch t 4. N u m t c t c a ñ nh th c là t h p tuy n tính c a các c t
khác thì ñ nh th c b ng không.
Ch vi c áp d ng tính ch t 1 ñ phân tích ñ nh th c thành t ng nhi u ñ nh
th c, sau ñó áp d ng tích ch t 2 ta s ñưa v các ñ nh th c có hai c t gi ng
nhau, chúng ñ u b ng không.
H qu . N u thêm vào m t c t c a m t ñ nh th c m t t h p tuy n tính
các c t khác thì ñ nh th c không thay ñ i:

D (A1,..., Aj + ∑ αιAi,..., An ) = D (A1,..., Aj ,..., An ).

Tính ch t 5. ð nh th c c a ma tr n chuy n v c a ma tr n A b ng ñ nh
th c c a ma tr n A : det (At ) = det (A) .
Nói cách khác, giá tr c a ñ nh th c không thay ñ i khi ta chuy n hàng
thành c t, chuy n c t thành hàng, v n gi nguyên th t .
G i các ph n t c a ma tr n A là aij , ta có:

det (A) = ∑ (−1)I (α1, α2,...,αn ) a1α1a2α2 ...anαn (2)

G i các ph n t c a ma tr n chuy n v At là bij t c là bij = a ji ta có:

det (A) = ∑ (−1)I (β1, β2,..., βn ) b1β1b2β2 ...bn βn =∑ (−1)I (β1, β2,..., βn ) a β11a β2 2...a βnn (3)



----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 37 Giáo trình toán cao c p 1
M i tích trong (3), chưa k d u, cũng là m t tích trong (2) vì tích ñó ch a các
ph n t thu c ñúng m t hàng và ñúng m t c t, d u c a chúng cũng như nhau vì
 1 2 ... n  β1 β2 ... βn 
α α ... α  ;
hai hoán v : 
 1

  1 2 ... n  có cùng s ngh ch th .




 2 
n  


T ñó ta có: det (At ) = det (A) .
Tính ch t 5 cho ta m t k t qu quan tr ng: trong m t ñ nh th c vai trò c a
c t và hàng là như nhau, các tính ch t ñã ñúng cho c t thì cũng ñúng cho hàng ,
trong các phát bi u c a các tính ch t 1, 2, 3, 4 ta ch vi c thay t c t b ng t
hàng.
2.4 KHAI TRI N M T ð NH TH C
Công vi c tính ñ nh th c c p hai r t ñơn gi n. Vì v y ta tìm cách ñưa các
ñ nh th c c p cao v các ñ nh th c c p hai.
1. ð nh th c con. Ph n bù ñ i s
Cho ma tr n vuông A c p n. Ta g i ñ nh th c con c a ph n t aij c a ma
tr n A là ñ nh th c Dij c a ma tr n nh n ñư c t ma tr n A b ng cách xóa ñi
hàng i c t j .
Như v y Dij là ñ nh th c c p n − 1 .

Xét ñ nh th c c p 3 c a ma tr n A .

a11 a12 a13
det(A) = a21 a22 a23 = a11a22a 33 + a12a23a 31 + a13a21a 32 −
a 31 a 32 a 33
−a13a22a 31 − a11a23a 32 − a12a21a 33
Nhóm các s h ng có ch a a11 l i ta ñư c: a11 (a22a 33 − a23a 32) = a11D11 v i D11
là ñ nh th c con c a ph n t a11 . Như v y:
T ng các s h ng ch a a11 c a ñ nh th c b ng tích c a a11 v i ñ nh th c
con D11 c a nó.
Tính ch t trên cũng ñúng v i ñ nh th c c p n .
B ñ . Trong ñ nh th c c a ma tr n vuông A c p n có ch a (n −1)! s
h ng ch a a11 làm th a s . T ng c a (n − 1)! s h ng ñó b ng tích a11D11 v i
D11 là ñ nh th c con c a ph n t a11 .

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 38 Giáo trình toán cao c p 1
Ta có: det (A) = ∑ (−1)I (α1, α2,...,αn ) a1α1a2α2 ...anαn (2)

T ng ñư c l y theo m i hoán v c a n s (1,2,...,n) . M t s h ng tùy ý ch a
a11 làm th a s khi và ch khi α1 = 1 , còn l i (α2,..., αn ) là m t hoán v c a
n − 1 s và như v y có (n − 1)! hoán v t c là có (n − 1)! s h ng ch a a11 . Vì
s ngh ch th c a (α2,..., αn ) cũng b ng s ngh ch th c a (1, α2,..., αn ) .

Khi cho α1 = 1 trong (2) ta có:

a11 ∑ (−1) (
I 1, α2,...,αn )
a2α2 ...anαn = a11 ∑ (−1)I (α2,..., αn )a2α2 ...anαn = a11D11 (t ng sau
cùng theo ñ nh nghĩa chính là ñ nh th c D11 ).
Ta có m t k t qu t ng quát hơn:
Trong ñ nh th c c a ma tr n vuông A c p n có (n − 1)! s h ng ch a ph n
t aij làm th a s . T ng c a (n − 1)! s h ng ñó b ng (−1)i + j aij Dij v i Dij là
ñ nh th c con c a ph n t aij .

Th t v y, xét m t ph n t a ij nào ñó. Ta l n lư t chuy n hàng i c a ñ nh
th c lên hàng m t b ng i − 1 phép ñ i ch hai hàng liên ti p, ñ nh th c nh n
ñư c có ph n t ai1 n m góc trái trên cùng. Bây gi ta l i chuy n c t j (có
ch a ph n t aij ) lên v trí c t 1 b ng j − 1 phép ñ i ch hai c t liên ti p. Như
v y trong ñ nh th c cu i cùng này, ta g i nó là det (A′) , ph n t aij s n m
góc trái trên cùng (v trí 1.1). ð nh th c cu i cùng det (A′) , ñư c suy t ñ nh
th c xu t phát, det (A) , b ng i + j −1 l n ñ i ch , m i l n ñ i ch ñ nh th c
ñ i d u m t l n, do ñó: det (A) = (−1)i + j −2 det (A′) = (−1)i + j det (A′)

Theo b ñ trên, các s h ng ch a aij s b ng a ij nhân v i ñ nh th c con
nh n ñư c t A′ b ng cách b ñi hàng 1 và c t 1, ñ nh th c con ñó cũng chính
là ñ nh th c con c a ph n t aij trong A. V y t ng các s h ng ch a aij trong
det(A) là: (−1)i + j a ijDij .

ð nh nghĩa. Ph n bù ñ i s c a ph n t aij trong ma tr n A là ±Dij , l y
d u c ng khi t ng ch s hàng và c t c a aij là ch n, d u tr n u t ng ñó l .

Ký hi u ph n bù ñ i s c a aij là Aij ta có: Aij = (−1)i + j Dij .

2. ð nh lý khai tri n

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 39 Giáo trình toán cao c p 1
V i ma tr n vuông A c p n ta có:
det (A) = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ... + ain Ain ; i = 1,2,..., n (khai tri n theo hàng i)

det (A) = a1j A1j + a2 j A2 j + ... + anj Anj ; j = 1,2,..., n (khai tri n theo c t j)

ð nh lý này là k t qu c a b ñ trên khi ta nhóm các s h ng có ch a
ai1, ai2,..., ain (ho c a1j , a 2 j ,..., anj ) trong bi u th c c a ñ nh th c.

Ví d 1: Tính ñ nh th c b ng cách dùng ñ nh lý khai tri n:

3 1 5
D = −1 2 1 .
−2 4 3

Ta khai tri n theo hàng m t:
2 4 −1 1 −1 2
D=3 − +5 = 3 (6 − 4) − (−3 + 2) + 5 (−4 + 4) = 7 .
1 3 −2 3 −2 4

Dùng các tính ch t c a ñ nh th c ta có th bi n ñ i sao cho trong ñ nh th c
có ch a m t hàng ho c m t c t g m nhi u s không, sau ñó ta ch vi c khai
tri n theo hàng ho c c t ñó.
Ví d 2: Tính l i ñ nh th c D trong ví d 1.
L y hàng m t c ng v i 3 l n hàng hai r i l y hàng ba tr ñi hai l n hàng hai ta
ñư c:

0 7 8
0 7
D = −1 2 1 = = 7 (khai tri n theo hàng ba)
−1 2
0 0 1

2 −4 0 6
4 −5 6 7
Ví d 3: Tính ñ nh th c c p 4: D =
3 0 1 2
−2 2 8 0

ðem c t m t tr ñi ba l n c t ba, sau ñó ñem c t b n tr ñi hai l n c t ba:




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 40 Giáo trình toán cao c p 1
2 −4 0 6
2 −4 6
−14 −5 6 −5
D= = 1 −14 −5 −5 =
0 0 1 0
−26 2 −16
−26 2 8 −16

2 0 0
−33 37
= −14 −33 37 = 2 = −392.
−50 62
−26 −50 62

(trong ñ nh th c c p ba ta l y c t hai c ng hai l n c t m t và c t ba tr ba l n
c t m t).
3. ð nh th c c a ma tr n tích

a11 a12  b11 b12


Cho các ma tr n vuông c p hai: A = a ;

 B =
 
b21 b22
 21 a22
 
 


a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22
Tính tích AB . T ñó ta có: det (AB) =
. .
a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22

Ta có th tách ñ nh th c trên thành b n ñ nh th c:
a11 a11
ð nh th c 1 = a
21 a21 b11b12 = 0;

a11 a12
ð nh th c 2 = a
21 a22 b11b22 = det (A)b11b22 ;

a12 a11
ð nh th c 3 = a
22 a21 b21b12 = − det (A)b21b12

a12 a12
ð nh th c 4 = a
22 a22 b21b22 = 0.

Cu i cùng ta có: det (AB) = det (A) (b11b22 − b21b12 ) = det (A) det (B ).

K t qu trên cũng ñúng cho trư ng h p A, B là các ma tr n vuông c p n:
ð nh th c c a ma tr n tích b ng tích các ñ nh th c c a t ng ma tr n.




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 41 Giáo trình toán cao c p 1
§3. MA TR N NGH CH ð O
Xét các ma tr n vuông c p n .
ð nh nghĩa. Ma tr n A là kh ngh ch n u t n t i ma tr n B cùng c p sao
cho: AB = B.A = I
. (1)
V i I là ma tr n ñơn v cùng c p.
Khi ñó ma tr n B ñư c g i là ma tr n ngh ch ñ o c a ma tr n A , ta ký
hi u nó b ng A−1 . Ta có: AA−1 = A−1.A = I
.
Ta s xét xem v i ñi u ki n nào c a A thì nó là kh ngh ch?
ð nh lý. ð ma tr n A là kh ngh ch thì ñi u ki n c n và ñ là ñ nh th c
c a ma tr n A ph i khác không.
A kh¶ nghÞch ⇔ det A ≠ 0

* ði u ki n c n. Gi s A kh ngh ch, khi ñó t n t i ma tr n A−1 ñ :
AA−1 = I . Theo ñ nh lý v ñ nh th c c a tích hai ma tr n ta có:
.
det(AA−1) = det A.det(A−1) = det(I ) = 1 ≠ 0; ⇒ det(A) ≠ 0
.

* ði u ki n ñ . Gi s det(A) ≠ 0 . Ta ph i ñi tìm m t ma tr n B th a mãn (1).

Ta v n g i aij là các ph n t c a ma tr n A và Aij là ph n bù ñ i s c a
ph n t aij trong ma tr n A .

Chuy n v ma tr n A ta ñư c ma tr n At . Như v y n u A = (aij ) thì
At = (a ji )

Thay trong ma tr n At các ph n t a ji b i ph n bù ñ i s Aji c a chúng ta
ñư c m t ma tr n m i, ta g i ma tr n ñó là ma tr n ph h p c a ma tr n A và
ký hi u nó là A . Như v y A = (Aji ) .
ɶ ɶ

.ɶ ɶ.
Bây gi ta xét tích AA và AA .
ɶ
L y hàng i trong ma tr n A nhân v i c t k trong ma tr n A ta ñư c ph n
t cik v trí i, k trong ma tr n tích.
Các ph n t trong hàng i c a ma tr n A là ai1, ai2,..., ain ;

ɶ
Các ph n t trong c t k c a ma tr n A là Ak1, Ak 2,..., Akn ; (2)



----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 42 Giáo trình toán cao c p 1
N u k = i thì các ph n t cii s là các ph n t n m trên ñư ng chéo chính
c a ma tr n tích. Ta có:
cii = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ... + ainAin = det(A) (khai tri n theo hàng i ).
N u k ≠ i ta xét ma tr n A′ là ma tr n nh n ñư c t A b ng cách thay
hàng k b i hàng i , các hàng khác không thay ñ i.
Như v y ma tr n A′ có hàng k là: ai1, ai1,..., ain (3).

còn các hàng khác gi ng như các hàng tương ng c a ma tr n A . Vì v y khi ta
g ch hàng k c t j c a ma tr n A′ thì các ph n t còn l i c a ma tr n A′ cũng
gi ng như các ph n t còn l i c a ma tr n A khi ta g ch hàng k c t j . T ñó
suy ra các ph n bù ñ i s c a các ph n t n m trên hàng k c t j c a A và A′
là như nhau: Akj = Akj .


Thay vào (2) ta ñư c: cik = ai1Ak′1 + ai2Ak′2 + ... + ain Akn ;
′ i ≠ k.
ðó chính là công th c khai tri n c a det(A′) theo hàng k [ñ ý t i (3)].

Nhưng det(A′) có hai hàng gi ng nhau (các ph n t c a hàng k và hàng i
cùng là ai1; ai2,..., ain ) do ñó det(A′) = 0 t c là cik = 0 v i i ≠ k .


Tóm l i, các ph n t cik c a ma tr n tích AA là:
det (A),
 khi i = k
cik = 

0
 khi i ≠ k


Ma tr n AA khi ñó là ma tr n chéo có các ph n t n m trên ñư ng chéo
chính b ng det(A), t ñó ta có: AA = det(A).I


 ɶ
Vì det(A) ≠ 0 nên: A. 1 A = I
det (A) 
 

 1 ɶ
Tương t ta cũng ch ng minh ñư c: det (A) A A = I

 


V y ma tr n ngh ch ñ o c a ma tr n A là: A−1 = 1 A. ɶ
det (A)
Tóm l i, ñ tìm ma tr n ngh ch ñ o c a ma tr n A ta th c hi n các bư c
sau:



----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 43 Giáo trình toán cao c p 1
• Tính det(A) . N u det(A) = 0 ma tr n A không kh ngh ch (không có
ma tr n ngh ch ñ o), còn n u det(A) ≠ 0 , ma tr n A kh ngh ch.

• Chuy n v ma tr n A r i thay các ph n t c a At b ng các ph n bù
ɶ
ñ i s c a chúng ta ñư c ma tr n ph h p A .

• Cu i cùng ta có A−1 = 1 A ɶ
det (A)
Ví d 1. Ch ng t r ng ma tr n A dư i ñây là kh ngh ch và tìm ma tr n
ngh ch ñ o c a nó:
1 2 −1

 
3 0 
A=
 2
 
4 −2 5 
 

 

1 2 −1
Ta có det (A) = 3 0 2 = −4. Ma tr n A là kh ngh ch.
4 −2 5

1 3 4 

 

Chuy n v ma tr n A ta ñư c: At =  2 0 −2

 
 
−1 2 5 
 

 
Thay các ph n t c a At b ng các ph n bù ñ i s c a chúng ta ñư c ma tr n
ph h p:
 4 −8 4 


 
−7 9 −5
ɶ = 
A  


−6 10 6 


 

V y ma tr n ngh ch ñ o c a ma tr n A là:
−1 2 −1

 
 
A−1 = 1 A =  7 −9 5 
ɶ  

det (A) 4
 4 4
 3 −5 3 




2
 2 2




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 44 Giáo trình toán cao c p 1
1 1 1 


 
1 2 −1 có det(A) = 0 nên không có ma tr n
Ví d 2. Ma tr n A =  
 


1 0 3 


 

ngh ch ñ o.
§4. H NG C A MA TR N
4.1 ð NH NGHĨA H NG C A MA TR N
Cho A là ma tr n lo i m × n . N u ta l y ra k hàng và k c t thì các ph n t
n m trên giao ñi m c a các hàng và các c t l y ra ñó l p thành m t ma tr n
vuông c p k .
ð nh th c c a ma tr n vuông ñó ñư c g i là ñ nh th c con c p k trích t
ma tr n A . M t ma tr n lo i m × n có r t nhi u ñ nh th c con các c p khác
nhau, m i ph n t c a A là m t ñ nh th c con c p m t, c p l n nh t c a ñ nh
th c con trích t A là s nh nh t trong hai s m, n .
ð nh nghĩa. C p l n nh t c a các ñ nh th c con khác không trích t ma
tr n A ñư c g i là h ng c a ma tr n A .
H ng c a ma tr n A ñư c ký hi u b ng r(A) .
Ví d . Tìm h ng c a các ma tr n:
1 2 7 
 . H ng c a A l n nh t là 2. Ta có
1 7

A=  = −15 ≠ 0. V y

2 4 −1
 2 −1

r(A) = 2 .

1 2 −3 

−1 −2 


 3 


B = .
 H ng c a B l n nh t b ng 3. ð nh th c
4 8 −12


 

0

 0 0 


1 2 −3
−1 −2 3 = 0 vì có hai hàng t l . Các ñ nh th c c p ba khác cùng b ng
4 8 −12
không vì ch a m t hàng g m toàn ph n t không. M i ñ nh th c c p hai cũng
ñ u b ng không do có hai hàng t l . V y h ng c a B b ng 1.
4.2 CÁC PHÉP BI N ð I SƠ C P TRÊN MA TR N


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 45 Giáo trình toán cao c p 1
ð nh nghĩa. Các phép bi n ñ i sơ c p trên ma tr n là các phép bi n ñ i
sau:
Phép chuy n v ma tr n.
Phép ñ i ch các hàng ho c các c t.
B kh i ma tr n m t hàng ho c m t c t g m toàn ph n t không.
B kh i ma tr n m t hàng ho c m t c t là t h p tuy n tính c a các hàng
ho c c t khác.
Nhân m t hàng ho c m t c t v i m t s khác không.
C ng vào m t hàng ho c m t c t m t t h p tuy n tính c a các hàng ho c
c t khác.
Dùng các tính ch t ñã bi t c a ñ nh th c ta có th ch ng t ñư c r ng: th c hi n
các phép bi n ñ i sơ c p trên ma tr n không làm thay ñ i h ng c a ma tr n.
Vì v y ta có th dùng các phép bi n ñ i sơ c p ñ tìm h ng c a ma tr n.
1 3 5 4 

 
 
Ví d . Tìm h ng c a ma tr n A = 2 −1 3 1 
 
 
8 3 19 11
 

 
Th c hi n các phép bi n ñ i sơ c p l n lư t như sau:
ðem hàng hai tr hai l n hàng m t, hàng ba tr tám l n hàng m t;
B hàng ba vì nó t l v i hàng hai; ñem hàng hai chia cho −7
1 3 5 4

  1 3 5 4

H ng A = H ng 0 −7 −7 −7 = H ng 

  0 1 1 1 . Có m t ñ nh


 
 
 

0 21 21 21 
 
 
th c c p hai b ng 1. V y h ng A b ng 2.




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 46 Giáo trình toán cao c p 1
BÀI T P
 1 2 3
 −1 5 −2
.

3.1 Cho các ma tr n A =  
 và B =  
−1 0 2
 
 

 1 1 −1


T×m A + B, 3B, A + 2B, At, B t.

 
2 1 5
  3 4
  1 3
  
  .
3.2 Cho các ma tr n A =  , B = −1 2,C =  
1 3 2
 
 
 
 −1 −1
 

 2 1
 
 

Tìm AB; BC . Ch ng t r ng (AB).C = A.(BC )
. . . .

2 1 1
, B = 
3
 . Hãy nghi m l i r ng

3.3 Cho các ma tr n A =    

3 1
 
−1 −1

 
(AB)t = B t.At .
.

3 1 0
 0 1 0


  
 
0 3 0, J = 0 0 0 .
3.4 Cho các ma tr n A =    
 
  

 
0 0 3 
0 0 0


 
 
 


1) Ch ng minh r ng A = 3I + J v i I là ma tr n ñơn v c p ba.
2) Tính J 2 và b ng phương pháp quy n p hãy ch ng minh r ng An = 3n + anJ
v i an là m t s có th xác ñ nh ñư c. Vi t ma tr n An .
0 1 0 

 
 
3.5 Cho ma tr n A = −1 2 0 
 
 
 1 0 −1
 

 

1) Tính A2 và A3 . Nghi m l i r ng ta có A3 − A2 − A + I = 0 v i I là ma tr n
ñơn v c p ba.
2) Ch ng t r ng ma tr n A là kh ngh ch. Hãy suy ra A−1 t h th c trên.
3.6 Cho ma tr n A là ma tr n vuông c p ba mà m i ph n t thu c ñư ng chéo
chính b ng không, các ph n t khác b ng 1.
1) I là ma tr n ñơn v c p ba. Xác ñ nh các s th c a,b sao cho ma tr n
P = aA + bB th a mãn h th c P 2 = I .
2) Tìm ma tr n I .
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 47 Giáo trình toán cao c p 1
3.7 Xét các ma tr n vuông c p n . Ch ng minh r ng n u A kh ngh ch thì h
th c AB = 0 kéo theo B = 0 và n u B kh ngh ch thì t h th c ñó ta suy ra
.
A = 0 . T ñó suy ra r ng n u AB = 0 thì ho c A = 0 ho c B = 0 ho c c
.
hai không kh ngh ch. Tìm ma tr n kh ngh ch A sao cho A2 = A .
3.8 Tính các ñ nh th c:
x 1 1 1
3 0 1 1 a a2
1 x 1 1
1) 1 2 5; 2) ; 3) 1 b b 2
1 1 x 1
−1 4 2 1 c c2
1 1 1 x

3.9 Dùng các tính ch t c a ñ nh th c ch ng t r ng:

84 35 62 2 3 1
1) 8 3 6 = 0; 2) 2 7 8 chia h t cho 15.
4 5 2 5 5 0

3.10 Tìm x ñ các véc tơ (x, a, a),(a, x, b),(b, b, x ) thu c không gian R 3 là ph
thu c tuy n tính.
3.11 Ch ng minh r ng các véc tơ:
V1 = (0,1,2, 3),V2 = (1,2, 3, 4),V3 = (2, 3, 4, 0),V4 = (3, 4, 0,1) thu c không gian
R 4 là ñ c l p tuy n tính.
3.12 Ch ng t r ng các ma tr n sau ñây là kh ngh ch và tìm ma tr n ngh ch ñ o
c a chúng:
1 −a 0 0

1 1 1 
0 1 −a 0 

 
  
   

 
1) A = 1 2 4 ; 2) B =  

 
 0 0 1 −a

1 3 9
 
 


  0 0 

 0 
1

3.13 Tìm h ng c a các ma tr n:
1 3 −2 1 
 
  1 −2 −5 −8

2
 1  
 5 2 
;  
1) A = 
1  2) B = −1 1
 1 5

 1 6 13
 
 


 
 1 2 11 4 

  
 
−2 −6 8 10
 



----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 48 Giáo trình toán cao c p 1
3.14 Ch ng minh r ng t p h p M các ma tr n vuông c p hai v i các ph n t là
a c 
b d  là m t không gian con c a không gian các ma tr n vuông c p
s th c 



 

hai. Tìm m t cơ s và s chi u c a không gian con ñó.
3.15 Tính các ñ nh th c:
−a b c d
a + b ab a 2 + b 2
b −a d c
1) b + c bc b + c ; 2 2
2)
c d −a b
c + a ca c + a 2 2
d c b −a

cos α − sin α
.

3.16 Cho ma tr n: A =  
sin α cos α 


1) Tính tích AAt . Suy ra r ng A là kh ngh ch và tìm A−1 .
.
2) Tính Ak v i k là s nguyên b t kỳ.
3) Suy ra công th c c a cos 3α theo cos α .




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 49 Giáo trình toán cao c p 1
CHƯƠNG 4
H PHƯƠNG TRÌNH TUY N TÍNH
§1 H CRAMER
1.1 ð NH NGHĨA
Xét m t h n phương trình tuy n tính n n:
a11x 1 + a12x 2 + ... + a1nx n
 = b1


a21x 1 + a22x 2 + ... + a2nx n
 = b2

 (1)


... ... ... ... ...

a x + a x + ... + a x
 n1 1 = bn

 n2 2 nn


Các s th c x 1; x 2;...; x n là các n, các s th c aij là các h s c a n, các
s bi là các s h ng t do.
Nghi m c a h là m t b n s th c x 1; x 2;...; x n tho mãn m i phương
trình c a h .
H (1) ñư c g i là h Cramer n u ñ nh th c các h s c a n khác không.
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
∆ = det (A) = ... ... ... ... ≠ 0
an1 an2 ... ann

1.2 QUY T C CRAMER
Xét h véc tơ c t c a các h s c a các n t c là các c t c a ma tr n A :
A1, A2,..., An thu c không gian Rn .
N u các véc tơ ñó ph thu c tuy n tính thì s có m t trong chúng là t h p
tuy n tính c a các véc tơ còn l i t c là m t c t c a ñ nh th c là t h p tuy n
tính c a các c t khác do ñó det(A) = 0 . V y n u det(A) ≠ 0 thì các véc tơ
A1, A2,..., An ph i ñ c l p tuy n tính, chúng l p thành m t cơ s c a Rn . Véc tơ
c t B các s h ng t do cũng là m t véc tơ thu c Rn nên nó ñư c phân tích
m t cách duy nh t theo cơ s ñã ch n A1, A2,..., An
B = x 1A1 + x 2A2 + ... + x nAn (2)



----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 50 Giáo trình toán cao c p 1
Các t a ñ c a véc tơ B (x 1, x 2,..., x n ) tho mãn h phương trình (1) nên là
nghi m c a h ñó.
Như v y ta ñã ch ng t h Cramer (h có det(A) ≠ 0 ) luôn luôn có
nghi m duy nh t. Bây gi ta tìm công th c bi u di n nghi m c a h .

Ta ký hi u l i ñ nh th c det(A) dư i d ng D (A1, A2,..., An ).

Ta xét ñ nh th c: ∆i = D (A1, A2,..., Ai −1, B, Ai +1,..., An ).

Thay B b i (2) r i dùng tính ch t c a ñ nh th c ta có th phân tích ∆i
thành n ñ nh th c mà trong ñó có n − 1 ñ nh th c có hai c t t l , ch ng h n
ñ nh th c D (A1,..., Ai −1, x 1A1, Ai +1,..., An ).

Các ñ nh th c ñó b ng không, ta ch còn l i m t ñ nh th c có d ng:
D (A1,..., Ai −1, x iAi, Ai +1,..., An ) . Nó b ng x i det (A) = x i ∆ . Như v y ta có
∆i
∆i = x i ∆ . Do ∆ ≠ 0 ta suy ra x i = ; i = 1,2,..., n.

Ta có k t qu quan tr ng sau:
H phương trình tuy n tính (1) là h Cramer n u nó tho mãn ñi u ki n
ñ nh th c các h s ∆ ≠ 0 . Khi ñó h có nghi m duy nh t ñư c cho b i công
th c:
∆i
xi = ; i = 1,2,..., n. (3)

trong ñó ñ nh th c ∆ là ñ nh th c các h s c a n, ∆i là ñ nh th c nh n ñư c
t ∆ b ng cách thay c t th i b ng c t h s t do n m v ph i c a (1), t c là
thay c t Ai b i c t B .
Ví d : Gi i h phương trình:
 x1 + x 2 + x 3 = 6



2x − x + x = 3
 1
 2
x − x + 2x = 5
3

 1

 2 3


1 1 1
Ta tÝnh ∆ = 2 −1 1 = −5. ®ã l hÖ Cramer, nã cã nghiÖm duy nhÊt.
1 −1 2

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 51 Giáo trình toán cao c p 1
Ta tÝnh c¸c ®Þnh thøc ∆i, i = 1,2, 3.

6 1 1 1 6 1 1 1 6
∆1 = 3 −1 1 = −5; ∆2 = 2 3 1 = −10; ∆3 = 2 −1 3 = −15;
5 −1 2 1 5 2 1 −1 5
VËy nghiÖm cña hÖ l :
∆1 ∆ ∆
x1 = = 1; x 2 = 2 = 2; x 3 = 3 = 3.
∆ ∆ ∆
Chú ý: N u ta ký hi u A là ma tr n các h s c a h (1), X là ma tr n c t
các n, B là ma tr n c t các s h ng t do thì d ng ma tr n c a h (1) là:
AX = B .
V i h Cramer, det(A) ≠ 0 nên ma tr n A là kh ngh ch, t n t i ma tr n
ngh ch ñ o A−1 , t ñó ta có: A−1AX = A−1B ⇒ X = A−1B
Ta có th tìm nghi m c a h Cramer b ng cách tìm ma tr n ngh ch ñ o A−1
c a ma tr n A r i tính tích c a hai ma tr n A−1 và B .
§2. H PHƯƠNG TRÌNH TUY N TÍNH T NG QUÁT
2.1 ðI U KI N TƯƠNG THÍCH
Xét h phương trình tuy n tính t ng quát m phương trình n n:


 a11x 1 + a12x 2 + ... + a1nx n = b1



 a21x 1 + a22x 2 + ... + a2nx n = b2


 ... ... ... .... ... (4)


.... ... ...

a x + a x + ... + a x = b
 m1 1

 m2 2 mn n m


Nghi m c a h là m t b n s th c (x 1, x 2,..., x n ) tho mãn m i phương
trình c a h .
H (4) ñư c g i là tương thích n u nó có ít nh t m t nghi m.
Ta s tìm xem v i ñi u ki n nào thì h (4) là tương thích?
G i A là ma tr n các h s c a h , A là ma tr n lo i (m × n) .

A là ma tr n nh n ñư c t A b ng cách thêm c t các s h ng t do vào c t
cu i, ta g i nó là ma tr n m r ng c a A .


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 52 Giáo trình toán cao c p 1
a11 a12 ... a1n  a11 a12 ... a1n b1 

  
 
a21 a22
 ... a2n 


a21 a22
 ... a2n b2 


A =  ... ...
 
... ... ; A=
 

 
 
 ... ... ... ... ...



 
  

am1 am 2 
... amn  
am1 am 2 
 
 ... amn 
bm 

ði u ki n tương thích (Kronecker - Capelli).
ð h (4) là tương thích thì c n và ñ là h ng c a ma tr n A b ng h ng
c a ma tr n m r ng A
Th t v y, gi s h (4) là tương thích, t c là t n t i nghi m
(x 1, x 2,..., x n ) ®Ó: B = x 1A1 + x 2A2 + ... + x nAn

Ta th y r ng c t cu i cùng c a ma tr n A khi ñó là t h p tuy n tính c a
các c t còn l i, do ñó khi b c t ñó ñi thì h ng c a ma tr n không thay ñ i,
nhưng khi ñó ma tr n còn lai chính là ma tr n A , v y h ng c a A b ng h ng
c a A.
ð o l i, n u h¹ng (A) = h¹ng (A) = r thì trong A s ch a ít nh t m t ñ nh
th c c p r khác không. B ng cách ñ i ch các hàng và các c t c a A (không
làm thay ñ i h ng c a nó) ta có th gi thi t r ng ñ nh th c khác không ñó n m
v trí r hàng ñ u và r c t ñ u. Khi ñó r véc tơ c t A1, A2,..., Ar là ñ c l p
tuy n tính và ta coi chúng là các véc tơ cơ s . Vì h¹ng(A) = r nên các véc tơ
c t B là t h p tuy n tính c a A1, A2,..., Ar :

B = α1A1 + α2A2 + .. + αr Ar
Ta ñ t: x 1 = α1, x 2 = α2,..., x r = αr , x r +1 = x r +2 = ... = x n = 0.

B n s th c (α1, α2,...αr , 0,..., 0) s là m t nghi m c a h (4).

V y h (4) là tương thích.
2.2 CÁCH GI I H PHƯƠNG TRÌNH TUY N TÍNH T NG QUÁT.
Gi s h (4) tương thích và có h ng là r . Khi ñó ma tr n A c a nó ch a r
c t ñ c l p tuy n tính A1, A2,..., Ar .

Do ta ch n các c t A1, A2,..., Ar làm các véc tơ cơ s nên các n x 1, x 2,..., x r
tương ng v i chúng ñư c g i là các n cơ s . N u r < n thì h có vô s

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 53 Giáo trình toán cao c p 1
nghi m. Ta có th gán cho các n x r +1, x r +2,..., x n các giá tr tuỳ ý (ta g i chúng
là các n t do). Khi ñó h v i các n là x 1, x 2,..., x r s là m t h Cramer (vì có
ñ nh th c các h s khác không). Ta có th tìm các n ñó theo quy t c Cramer.
N u r = n thì h có nghi m duy nh t.
Ví d 1: Xét h :
 x +y +z
 = 1

 x + 2y − z

 = −1
 x + 3z =


3

2x + y + 4z
 = 4

Ma tr n các h s A và ma tr n m r ng A ñ u có h ng 2 và do ñ nh th c
c p hai góc trái khác không, nên ta gi l i hai phương trình ñ u và các n x, y
làm các n cơ s còn n z là tuỳ ý. Ta có h Cramer:
x +y = 1−z


x + 2y = −1 + z Tõ ®ã: x = 3 − 3z; y = −2 + 2z; z tuú ý.



Ví d 2: Xét h :
 x + 2y − z = 1



2x + y + 2z = 2



x − 4y + 7z = 3


1 2
ð nh th c các h s det(A) ≠ 0 . ð nh th c c p hai góc trái ≠0
2 1
nên h ng ma tr n A b ng 2. Ma tr n m r ng A ch a ñ nh th c c p 3:

1 −1 1
2 2 2 = 8.
1 7 3

V y h ng ma tr n A = 3. H ñã cho không tương thích.
2.3 H PHƯƠNG TRÌNH TUY N TÍNH THU N NH T
1. ð nh nghĩa. N u c t s h ng t do v ph i c a (4) b ng không, t c là:
b1 = b2 = ... = bn = 0
thì ta có h thu n nh t.
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 54 Giáo trình toán cao c p 1
Như v y, m t h phương trình tuy n tính thu n nh t có d ng:

∑ a x j = 0, i = 1,2,..., m.
ij
(5)

Do ma tr n m r ng ch a m t c t g m toàn ph n t không nên h ng c a
nó luôn b ng h ng c a ma tr n A . V y h (5) là tương thích. Ta th y ngay m t
nghi m c a nó là x 1 = 0, x 2 = 0,..., x n = 0 . Ta g i nghi m này là nghi m t m
thư ng.
2. ði u ki n ñ h thu n nh t có nghi m khác nghi m t m thư ng
Ta xét h phương trình tuy n tính thu n nh t có s phương trình b ng s n
t c là m = n . Khi ñó, n u det(A) ≠ 0 , nó là h Cramer. Nghi m duy nh t c a
nó là nghi m t m thư ng.
Như v y, ñ h thu n nh t có nghi m khác t m thư ng thì ñ nh th c các h
s c a n ph i b ng không: det(A) = 0
Khi ñó h ng c a ma tr n A = r < n và ta s gi i h theo r n cơ s như
ñã trình bày trên.
Ví d : Tìm nghi m khác không c a h thu n nh t:


 2x + y − z = 0

 x + 2y + z = 0


3x + y − 2z = 0



2 1
Ta có det(A) = 0 v = 3 nên h có h ng 2. Ta ch n x và y làm n
1 2
cơ s và cho z = α tuỳ ý ta ñư c: x = α, y = −α, z = α víi α tuú ý.

§3. GI I H PHƯƠNG TRÌNH TUY N TÍNH B NG PHƯƠNG PHÁP
GAUSS
Ta xét h m phương trình n n:
 a11x 1 + a12x 2 + ... + a1nx n = b1



 a21x 1 + a22x 2 + ... + a2nx n = b2


 ............................. (4)


... ...

am1x 1 + am2x 2 + ... + amnx n = bm





----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 55 Giáo trình toán cao c p 1
Gi s h s a11 ≠ 0 (n u không ta ch vi c ñ i ch các phương trình). Ta
s dùng phương trình ñ u ñ kh n x 1 t m − 1 phương trình sau. Khi ñó ta
nh n ñư c m t h m − 1 phương trình v i n − 1 n (không có n x 1 ). Ta l i
dùng phương trình ñ u c a h m i nh n ñư c này ñ kh n x2 các phương
trình ñ ng sau (gi thi t h s c a n x 2 c a phương trình ñó là khác không), ta
s ñư c m t h m − 2 phương trình v i n − 2 n (không có n x 1 v x 2 ). Ta c
ti p t c như v y ñ kh d n d n các n cho ñ n khi ch còn m t phương trình.
Ta dùng phương trình này ñ tìm n (có th là m t ho c nhi u n), sau ñó tìm
các n còn l i t các phương trình ñ ng trên. Trong quá trình kh n có th x y
ra các tình hu ng sau:
a) M i h s c a n ñ u b ng không, v ph i cũng b ng không. Khi ñó ta
b phương trình ñó ñi vì nó là h qu c a các phương trình khác (ñó chính là b
m t hàng ch a toàn ph n t không c a ma tr n).
b)M i h s c a n ñ u b ng không, v ph i khác không. Khi ñó h ñã cho
là không tương thích vì nó ch a m t phương trình không ñư c tho mãn v i b t
kỳ giá tr nào c a n (ñó là trư ng h p h ng ma tr n các h s khác h ng ma
tr n m r ng ).
Cách kh liên ti p các n ñư c ti n hành như sau:
Ta có h :
 a11x 1 + a12x 2 + ... + a1nx n = b1



 a21x 1 + a22x 2 + ... + a2nx n = b2


 ............................. (4)


... ...

am1x 1 + am2x 2 + ... + amnx n = bm



Gi s a11 ≠ 0 (n u không ch vi c ñ i ch các phương trình r i ñánh s l i).
Bư c 1: Chia c hai v c a phương trình ñ u cho a11 .
L y phương trình th hai tr ñi phương trình ñ u m i sau khi ñã nhân nó v i
a21
L y phương trình th ba tr ñi phương trình ñ u m i sau khi ñã nhân nó v i a 31
Ta ñư c h :




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 56 Giáo trình toán cao c p 1
x 1 + b12x 2 + ... + b1nx n = b1
 ′



 b22x 2 + ... + b2nx n = b2 ′

 .......................... ... ...




 bm 2x 2 + ... + bmnx n = bm



a b
trong ®ã: b1i = a1j , j = 1,2,..., n;b1 = a 1 ;

11 11

bij = a ij − ai1b1j,bi′ = bi − ai1b1, i = 2, 3,..., m; j = 2, 3,..., n;


Bư c 2: Ta l i gi thi t b22 ≠ 0 và l i áp d ng thu t toán trên ñ kh n x2
t m − 2 phương trình sau ta s ñi t i h :
x 1 + b12x 2 + b13x 3 + ... + b1n x n
 = b1′



 x 2 + c23x 3 + ... + c2n x n = ′′
b2



 c33x 3 + ... + c3n x n = ′′
b3




......................... ... ...


 cm 3x 3 + ... + cmn x n = bm
′′


Ta l p l i thu t toán ñó cho các bư c ti p theo cu i cùng s ñi t i ma tr n
các h s có d ng hình thang ho c hình tam giác trên.
Vì ta ch th c hi n các phép bi n ñ i trên các h s nên khi trình bày các
bư c liên ti p ta ch c n vi t các h s c a n.
Ví d : Cho h phương trình:

 x 1 − x 2 − x 3 − 3x 4 + x 5 = 1



 x 1 + x 2 − 5x 3 − x 4 + 7x 5 = 2
 −x + 2x + 2x + 2x + x = 0

 1 2 3 4 5

−x 1 + 5x 2 − 4x 3 + 9x 4 + 7x 5
 = a

Ta vi t l i b ng các h s c a n và c t s t do:
1 −1 −1 −3 1 1
1 1 −5 −1 7 2
−1 2 2 2 10
−2 5 −4 9 7a

Bư c 1: Gi nguyên hàng ñ u (vì a11 ñã b ng 1); ðem nhân hàng hai tr
hàng ñ u, ñem hàng ba c ng hàng ñ u, ñem hàng tư c ng hàng ñ u nhân v i 2:

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 57 Giáo trình toán cao c p 1
1 −1 −1 −3 1 1
0 2 −4 2 61
0 1 1 −1 2 1
0 3 −6 3 9a +2

Bư c 2: ðem hàng hai chia cho 2 r i ñem hàng ba tr ñi hàng hai m i nh n
ñư c và hàng tư tr ñi 3 l n hàng hai nói trên:

1 − 1 −1 − 3 11
0 1 −2 1 3 1/ 2
0 0 3 −2 −1 1/ 2
0 0 0 0 0 a + 1/ 2

1
dòng cu i cùng ta có: 0 = a + 2 .

N u a ≠ −1/ 2 h ñã cho vô nghi m.

N u a = 1/ 2 ta b dòng cu i cùng ñi.

Như v y dòng th ba có nghĩa là: 3x 3 − 2x 4 + x 5 = 1/ 2;

Ta coi x 4 v x 5 là các n tuỳ ý, x 3, x 2 v x1 là các n cơ s , ta có:

x 3 = 1 + 2 x 4 + 1 x 5;
6 3 3
Dòng th hai có nghĩa là: x 2 − 2x 3 + x 4 + 3x 5 = 1/ 2.

Ta thay giá tr c a x 3 v a tính ñư c trên và rút ra x 2 :

x 2 = 5 + 1 x 4 − 7 x 5;
6 3 3
Dòng ñ u có nghĩa là: x 1 − x 2 − x 3 − 3x 4 + x 5 = 1.
Thay giá tr c a x 2 và x 3 v a tính ñư c r i rút ra x 1 :
x 1 = 2 + 4x 4 − 3x 5.
Tóm l i, v i a ≠ 1/ 2 h ñã cho vô nghi m;

v i a = 1/ 2 h ñã cho có nghi m là:




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 58 Giáo trình toán cao c p 1
x 1 = 2 + 4x 4 − 3x 5;

x 2 = 5 + 1 x 4 − 7 x 5;
6 3 3
x 3 = 1 + 2 x 4 + 1 x 5;
6 3 3
x 4 v x 5 l tuú ý
Chú ý: Trong vi c gi i h phương trình tuy n tính Cramer b ng phương
pháp Gauss ta ñã ñưa phương trình ma tr n AX = B v phương trình
A′ X = B ′ trong ñó A′ là ma tr n tam giác trên (t c là ma tr n có m i ph n t
n m dư i ñư ng chéo chính b ng không). Sau khi tìm ñư c n x n ta l i ph i
dùng các phép bi n ñ i ñ tìm d n các n ñ ng trên. ði u ñó có nghĩa là ta ñã
dùng các phép bi n ñ i ñ ñưa ma tr n A′ v ma tr n ñơn v . Các phép bi n ñ i
ñó chính là các phép bi n ñ i sơ c p trên các hàng c a ma tr n A′ . ðưa ma
tr n A v ma tr n I có nghĩa là ñã nhân bên trái c a A v i ma tr n ngh ch ñ o
A−1 . Ta ñư c:
A−1AX = A−1B hay X = A−1B.
Như v y phép bi n ñ i nói trên ñã ñưa ma tr n B v ma tr n nghi m.
Ta th c hi n các phép bi n ñ i ñó theo trình t sau:
ð u tiên ta vi t ma tr n A các h s và ma tr n B c t s t do:
AB
B ng phương pháp Gauss ta bi n ñ i c hai ma tr n sao cho ma tr n A tr
thành ma tr n tam giác trên A′ . Sau ñó ta l y hàng n − 1 c a A′ tr ñi hàng n
c a nó ñư c nhân v i m t s thích h p sao cho ph n t th n c a hàng ñó b ng
không. Ta l i l y hàng n − 2 tr ñi m t t h p tuy n tính c a các hàng n − 1 và
n ñ làm cho m i ph n t trên hàng n − 2 , tr ph n t n m trên ñư ng chéo
chính, ñ u b ng không và c th ti p t c cho các hàng trên ñ n khi ta ñưa
ñư c A′ v ma tr n ñơn v . Ta có th áp d ng phương pháp trên ñ tìm ma tr n
ñơn v . Mu n v y ta s vi t trên cùng m t hàng 3 ma tr n: A, I , B r i b ng các
phép bi n ñ i sơ c p ta ñưa v 3 ma tr n: I , A−1, X .

AI B
A−1A A−1I A−1B
I A−1 X



----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 59 Giáo trình toán cao c p 1
Ví d : Gi i h phương trình có k t h p tìm ma tr n ngh ch ñ o c a ma tr n
các h s A .


 x1 + x 2 + x 3 = 6

2x − x + x = 3
 1
 2
x − x + 2x = 5
3

 1

 2 3


Ta vi t 3 ma tr n A, I , B :
1 1 1 1 0 0 6
2 −1 1 0 1 0 3
1 −1 2 0 0 1 5

ðem hàng hai tr hai l n hàng m t, hàng ba tr hàng m t:
1 1 1 1 0 0 6
0 −3 −1 −2 1 − −9
0 −2 1 −1 0 1 −1

ðem hàng hai chia cho 3, hàng ba c ng hai l n hàng hai m i:
1 1 1 1 0 0 6

0 1 1 2 −1 0 3
3 3 3
0 0 5 1 −2 1 5
3 3 3
Nhân hàng ba v i 3/5:
1 1 1 1 0 0 6

0 1 1 2 −1 0 3
3 3 3
0 0 1 1 −2 3 3
5 5 5
ð n ñây ta ñã ñưa ma tr n A v d ng tam giác trên A′ ; ta ti p t c bi n ñ i ñ
ñưa ma tr n A′ v ma tr n ñơn v I :
ðem hàng hai tr 3 l n hàng m t, hàng m t tr hàng ba:

1 1 0 4 2 −3 3
5 5 5
3 1 1
0 1 0 5 −5 −5 2

0 0 1 1 −2 3 3
5 5 5

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 60 Giáo trình toán cao c p 1
ðem hàng m t tr hàng hai, khi ñó ma tr n A′ s tr thành ma tr n ñơn v I :

1 0 0 1 3 −2 1
5 5 5
3 1 1
0 1 0 5 −5 −5 2

0 0 1 1 −2 3 3
5 5 5
Như v y ta có nghi m c a h là: x 1 = 1; x 2 = 2; x 3 = 3.

Ma tr n ngh ch ñ o A−1 c a ma tr n A các h s c a phương trình là ma tr n
ngăn gi a.




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 61 Giáo trình toán cao c p 1
BÀI T P
4.1 Gi i h phương trình tuy n tính sau:
2x − y − z − t
 = −1
3x + 2y + 4z = 1
 


 x − 2y + z + t = −2
 2x − y + z = 0 
 x + y − 2z + t = 4

 x + 2y + 3z = 1 


 

 x + y + z − 2t = −8

4.2 Gi i h phương trình:
 2x − y + 3z
 = 1

−4x + 2y + z

 = 3
−2x + y + 4z =


4

10x − 5y − 6z
 = −10

4.3 Gi i và bi n lu n theo tham s m h phương trình sau:
 x + y + (1 − m)z = m + 2



(1 + m)x − y + 2z =
 0

 2x − my + 3z

 = m +2

4.4 Gi i h phương trình sau b ng phương pháp Gauss
 2x 1 − x 2 + 2x 4 − 6x 5
 = 0  x 2 + x 3 − 3x 4 + 2x 5
 = 6
 
 2x − x + 2x − 6x

 x 2 + x 3 − 3x 4 + 2x 5 = 0  = 4
  1 2 4 5
6x − 3x + 7x − 10x = 0 6x − 3x + 7x − 10x = −8
 1
 2 4 5  1
 2 4 5

 

 2x + x 3 + x 4 + 12x 5
 1
= 0  2x + x 3 + x 4 + 12X 5
 1

= 15

4.5 B ng các phép bi n ñ i sơ c p hãy tìm ma tr n ngh ch ñ o c a các ma tr n:
 1 3 1
  
1 −2

  1
 
−1 4 0
   1 −2 1 
 
 
  


 2 1 1
 
−2 1 

 
 
 1


4.6 Kh o sát theo các giá tr c a tham s th c a h ng và tính kh gi i (có l i
gi i) c a h :




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 62 Giáo trình toán cao c p 1


ax + y + z + t = 1


x + ay + z + t = a


x + y + az + t = a 2



4.7 Bi n lu n và gi i h :
ax + y + z = α



x + ay + z = β


x + y + az = γ



Trong ñó a, α, β, γ là các s cho trư c.




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 63 Giáo trình toán cao c p 1
CHƯƠNG 5
ÁNH X TUY N TÍNH - D NG TOÀN PHƯƠNG
§1. ÁNH X TUY N TÍNH
1.1 ð NH NGHĨA
Cho E v F là hai không gian véc tơ trên cùng m t trư ng K . M t ánh x
f t E vào F ñư c g i là tuy n tính n u nó tho mãn ñi u ki n sau:
L1 : V i m i u, v ∈ E ta có f (u + v) = f (u) + f (v);

L2 : V i m i α ∈ K , v i m i u ∈ E ta có: f (αu) = α f (u)

T L1 ta suy ra: v i 0 ∈ E ta có f (0) = 0, (0 ∈ F )

Th t v y: f (u) = f (u + 0) = f (u) + f (0) ⇒ f (0) = 0.

Ta có th vi t g p hai ñi u ki n L1 , L2 thành:
Ánh x f : E → F là tuy n tính ⇔ ∀v1, v2 ∈ E, ∀α1, α2 ∈ K ta có:

f (α1v1 + α2v2) = α1f (v1) + α2 f (v2)
M t cách t ng quát hơn, ta có:
∀vi ∈ E, ∀αι ∈ K , f (∑ αιvi ) = ∑ αι f (vi ), i = 1,2,..., n.

ði u ki n trên nói lên r ng ánh x tuy n tính b o toàn t h p tuy n tính c a các
véc tơ.
Ví d 1: Cho ánh x f : R2 → R xác ñ nh b i
f (x, y) = 3x − 2y; ∀(x, y) ∈ R2 . Hãy ch ng t r ng ánh x f là tuy n tính.

LÊy u, v ∈ R 2, u = (a, b), v = (c, d ) v α ∈ R ta cã:
f (u + v) = f (a + c, b + d ) = 3(a + c) − 2(b + d ) = (3a − 2b) + (3c − 2d ) = f (u) + f (v)
f (αu) = f (αa, αb) = 3αa − 2αb = α(3a − 2b) = α f (u).

C hai ñi u ki n L1 , L2 ñ u tho mãn, v y ánh x f là tuy n tính.
Ví d 2: Xét không gian P các ña th c có b c không vư t quá n . Cho
ánh x f : P → P xác ñ nh b i f (v) = v ′ (ñ o hàm c a v ), v i v ∈ P . Ta th y
r ng ánh x f là tuy n tính.


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 64 Giáo trình toán cao c p 1
Víi u, v ∈ P ta cã f (u + v) = (u + v)′ = u ′ + v ′ = f (u) + f (v).
Víi α ∈ R, f (αu) = (αu)′ = αu ′ = α f (u).

C hai ñi u ki n L1 , L2 ñ u tho mãn.
1.2 NHÂN VÀ NH C A M T ÁNH X TUY N TÍNH
Cho E và F là hai không gian véc tơ trên m t trư ng K , f là m t ánh x
tuy n tính t E vào F .
ð nh nghĩa 1. Ta g i nhân c a ánh x f là t p h p các véc tơ v c a E
sao cho f (v) = 0 . Ta ký hi u nhân c a f là ker f .

Như v y: ker f = {v, v ∈ E : f (v) = 0}

T p h p ker f là m t không gian con c a E . Th t v y, t p ker f không
r ng vì ít nh t nó cũng ch a ph n t không f (0) = 0 ; hơn n a n u u, v ∈ ker f ,
t c là f (u) = 0, f (v) = 0 , do f là tuy n tính nên f (u + v) = f (u) + f (v) = 0 , t
ñó suy ra u + v ∈ ker f .
Ví d : Xét không gian V các véc tơ hình h c. Cho trư c m t véc tơ
u ∈ V , v i m i m t véc tơ v ∈ V ta xét ánh x f : V → R xác ñ nh b i
f (v) = u.v (tích vô hư ng c a hai véc tơ u và v). Ch ng t r ng f là ánh x
tuy n tính và tìm ker f .
Theo tính ch t c a tích vô hư ng ta có:
f (v1 + v2) = u(v1 + v2) = uv1 + uv2 = f (v1) + f (v2);
f (αv) = u(αv) = α(uv) = α f (v)
V y f là ánh x tuy n tính. Bây gi ta ñi tìm nhân c a ánh x f .
f (v) = 0 ⇔ uv = 0 ⇔ các véc tơ ph i vuông góc v i véc tơ u ñã cho.

V y ker f là t p h p m i véc tơ vuông góc v i véc tơ u ñã cho.
ð nh lý 1. Ánh x tuy n tính f là ñơn ánh khi và ch khi nhân c a f ch
ch a ph n t không. f ®¬n ¸nh ⇔ ker f = {0}

Ta nh c l i ánh x f là ñơn ánh n u x ≠ y th× f (x ) ≠ f (y) .

Do ñó v i v ≠ 0 ta có f (v) ≠ f (0), nh−ng f (0) = 0 t c là v i m i ph n t
v ≠ 0 ta có f (v) ≠ 0 , ta suy ra v ∉ ker f , ker f ch ch a ph n t không.

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 65 Giáo trình toán cao c p 1
ð o l i, gi s ker f = {0} . G i u và v là các ph n t c a E sao cho ta có
f (u) = f (v) . Ta ph i ch ng minh f là ñơn ánh t c là ph i ch ng minh u = v .

Th t v y, do ánh x f là tuy n tính nên: f (u − v) = f (u) − f (v) = 0 .

Ta suy ra u − v ∈ ker f . Nhưng vì ker f = {0} nên u − v = 0 t c là
u =v.
V y f là ñơn ánh.
ð nh lý 2. Gi s f là m t ánh x tuy n tính t E vào F , nhân c a f ch
ch a ph n t không. Khi ñó, n u v1, v2,..., vn là các véc tơ ñ c l p tuy n tính c a
E thì f (v1), f (v2 ),..., f (vn ) cũng ñ c l p tuy n tính trong F . Ngư c l i, t o nh
c a m t h ñ c l p luôn ñ c l p.
Ch ng minh: Gi s α1, α2,..., αn là các s sao cho:
α1f (v1) + α2 f (v2) + ... + αn f (vn ) = 0 . Ta ph i ch ng minh
α1 = α2 = ... = αn = 0 (xem ñ nh nghĩa h véc tơ ñ c l p tuy n tính chương
2).
Theo tính tuy n tính c a f ta có: f (α1v1 + ... + αnvn ) = 0

T ñ nh nghĩa c a nhân f ta suy ra: α1v1 + ... + αnvn ∈ ker f
Theo gi thi t ker f = {0} nên α1v1 + ... + αnvn = 0
Vì v1, v2,..., vn ñ c l p tuy n tính nên t h th c trên ta suy ra
α1 = α2 = ... = αn = 0 .
V y f (v1), f (v2),..., f (vn ) ñ c l p tuy n tính trong F .

Ngư c l i: Gi s f (v1), f (v2),..., f (vn ) ñ c l p tuy n tính trong F . Xét t h p
α1v1 + α2v2 + ... + αnvn = 0 . Qua ánh x tuy n tính f ta có:
f (α1v1 + α2v2 + ... + αnvn ) = 0 ⇒ α1f (v1) + α2 f (v2) + ... + αn f (vn ) = 0 . Do h
f (v1), f (v2),..., f (vn ) ñ c l p tuy n tính trong F nên ta có α1 = α2 = ... = αn = 0
hay h v1,v2,...,vn ñ c l p tuy n tính.

ð nh nghĩa 2. nh c a m t ánh x tuy n tính f là t p h p các véc tơ
w ∈ F sao cho t n t i ph n t v ∈ E ñ f (v) = w . Ta ký hi u nh c a f là
Im f .
Im f = {w, w ∈ F : ∃v ∈ E, f (v) = w } .
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 66 Giáo trình toán cao c p 1
Ta có t p Im f là m t không gian con c a F .
Th t v y, t p Im f không r ng, nó ch a ph n t không ( f (0) = 0 ).

N u w1, w2 ∈ Im f thì t n t i v1, v2 ∈ ker f sao cho f (v1) = w1, f (v2) = w 2 .

T ñó: f (v1 + v2) = f (v1) + f (v2) = w1 + w 2, t c là: w1 + w2 ∈ Im f

N u: w ∈ Im f thì có v ∈ E, f (v) = w . T ñó: f (αv) = α f (v) = αw. V y
αw ∈ Im f
ð nh lý 3 (ñ nh lý nhân - nh).
Gi s f là ánh x tuy n tính t không gian véc tơ E vào không gian véc tơ F .
N u s chi u c a E là n , s chi u c a nhân f là q và s chi u c a nh f là s
thì ta có: n = q + s .
Nói cách khác: dim E = dim ker f + dim Im f .
Ch ng minh: Gi s w1, w 2,...., ws là m t cơ s c a Im f . Khi ñó có các
véc tơ v1, v2,..., vs ∈ E sao cho f (vi ) = wi, i = 1,2,..., s . G i u1, u2,..., uq là m t
cơ s c a ker f . Ta s ch ng t h véc tơ: v1, v2,..., vs , u1, u2,..., uq l p thành m t
cơ s c a E .
V i v ∈ E thì f (v) ∈ Im f , ta bi u di n f (v) theo cơ s w1, w 2,...., ws c a
Im f :
f (v) = x 1w1 + x 2w 2 + ... + x sws =
= x 1f (v1) + x 2 f (v2) + ... + x s f (vs ) = f (x 1v1 + x 2v2 + ... + x svs ).
T : f (v − x 1v1 − x 2v2 − ... − x svs ) = 0 , ta suy ra:
v − x 1v1 − x 2v2 − ... − x svs ∈ ker f .
Ta bi u di n ph n t ñó c a ker f theo cơ s u1, u2,..., uq c a ker f :
v − x 1v1 − x 2v2 − ... − x svs = y1u1 + y2u2 + ... + yquq
hay: v = x 1v1 + x 2v2 + ... + x svs + y1u1 + y2u2 + ... + yquq

H các véc tơ v1, v2,..., vs, u1, u2,..., uq là m t h các ph n t sinh c a E .

ð ch ng minh chúng l p thành m t cơ s c a E ta ch còn ph i ch ng
minh chúng ñ c l p tuy n tính.
Xét t h p tuy n tính:

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 67 Giáo trình toán cao c p 1
α1v1 + α2v2 + ... + αsvs + β1u1 + β2u2 + ... + βquq = 0 (1)

Tác ñ ng ánh x f vào nó và ñ ý t i tính tuy n tính c a f ta có:
α1f (v1) + α2 f (v2 ) + ... + αs f (vs ) + β1f (u1) + β2 f (u2 ) + ... + βq f (uq ) = 0

Vì u1, u2,..., uq ∈ ker f nên f (u1) = f (u2 ) = ... = f (uq ) = 0 , ta có :

α1f (v1) + ... + αs f (vs ) = 0 .

Thay w i = f (vi ) vào h th c trên ta ñư c:
α1w1 + ... + αsws = 0
Vì w1, w 2,...., ws là cơ s nên chúng ñ c l p tuy n tính, do ñó ta suy ra:
α1 = α2 = ... = αs = 0 (2)
Thay vào (1) ta ñư c: β1u1 + β2u2 + ... + βquq = 0

Vì u1, u2,..., uq là cơ s nên chúng ñ c l p tuy n tính, t h th c trên ta suy ra:

β1 = β2 = ... = βq = 0 (3)

Các k t qu (2), (3) cùng v i (1) ch ng t các véc tơ v1, v2,..., vs, u1, u2,..., uq
l p thành m t cơ s c a E. ði u ñó ch ng t
dim E = s + q = dim ker f + dim Im f .
ð nh lý ñã ñư c ch ng minh.
1.3 MA TR N VÀ ÁNH X TUY N TÍNH
a11 a12 ... a1n 
 
a21 a22
 ... a2n 


Cho ma tr n A lo i (m × n) : A =  ... ...



... ... 


 

a
 m1 a m 2 

... amn 


Xét các không gian véc tơ Rn v Rm . Ta bi u di n các véc tơ c a không
gian ñó b ng các véc tơ c t. V i m i v ∈ Rn ta xác ñ nh ánh x :
f : R n → R m x¸c ®Þnh bëi f (v) = Av

(khi nhân m t ma tr n lo i (m × n) v i ma tr n c t lo i (n × 1) (ñó là m t ph n
t c a Rn ), ta ñư c m t ma tr n c t lo i (m × 1) (ñó là m t ph n t c a Rm )).

B ng phép tính ma tr n ta th y r ng ánh x f là tuy n tính:

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 68 Giáo trình toán cao c p 1
V i u, v ∈ Rn ta có: f (u + v) = A(u + v) = Au + Av = f (u) + f (v);

V i s α ta có: f (αu) = A(αu) = αAu = α f (u)

G i x 1, x 2,..., x n là các to ñ c a véc tơ v trong Rn ; y1, y2,..., ym là các to
ñ c a véc tơ f (v) trong Rm theo các cơ s ñã ch n trư c trong các không gian
ñó ta có th vi t bi u th c f (v) = Av dư i d ng ma tr n:

y1  a11 a12
 ... a1n  x 1 
     
y2  a21 a22
   ... a2n  x 2 
  
  
 =
     
...   ... ...
   ... ...  × ... 
  
  
  
y  a  
 m   m1 a m 2
   ... amn  x n 
  
  

Như v y, cho m t ma tr n A lo i (m × n) ta có th xác ñ nh ñư c m t ánh
x tuy n tính t m t không gian m − chi u vào m t không gian n − chi u, ánh
x ñó ñư c xác ñ nh b i f (v) = Av , v i v là véc tơ c t thu c Rn . Ma tr n A
ñư c g i là ma tr n c a ánh x tuy n tính f trong các cơ s ñã ch n c a Rn và
Rm .
Ngư c l i, cho m t ánh x tuy n tính f : Rn → Rm thì ta có th tìm ñư c
ma tr n c a ánh x ñó trong các cơ s ñã ch n c a Rn và R m .
Gi s : (e1,e2,..., en ) là m t cơ s c a Rn ; (f1, f2,..., fm ) là m t cơ s c a
Rm .
V i v ∈ Rn ta có: v = x 1e1 + x 2e2 + ... + x nen
Do f là ánh x tuy n tính nên:
f (v) = f (x 1e1 + x 2e2 + ... + x nen ) = x 1f (e1) + x 2 f (e2) + ... + x n f (en ) (4)

Vì f (e1), f (e2 ),..., f (en ) là các véc tơ thu c R m nên ta có th bi u di n chúng
theo cơ s (f1, f2,..., fm ) :
f (e1) = a11f1 + a21f2 + ... + am1fm
f (e2 ) = a12 f1 + a22 f2 + ... + am 2 fm
..................................................
f (en ) = a1n f1 + a2n f2 + ... + amn fm
Thay các giá tr v a nh n ñư c vào v ph i c a (4) ta ñư c:



----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 69 Giáo trình toán cao c p 1
f (v) = (a11x 1 + a12x 2 + ... + a1nx n )f1 + (a21x 1 + a22x 2 + ... + a2nx n )f2 +
(5)
+... + (am1x 1 + am 2x 2 + ... + amnx n )fm

M t khác vì f (v) ∈ R m nên: f (v) = y1f1 + y2 f2 + ... + ym fm (6)

Do f (v) ñư c bi u di n m t cách duy nh t qua cơ s (f1, f2,..., fm ) , nên t
(5), (6) ta suy ra:
y1 = a11x1 + a12x 2 + ... + a1nx n
y2 = a21x 1 + a22x 2 + ... + a2nx n
............................................
ym = am1x1 + am2x 2 + ... + amnx n
Có th vi t k t q a trên dư i d ng ma tr n:
y1  a11 a12
 ... a1n  x 1 
     
y2  a21 a22
   ... a2n  x 2 
  
  
 =
     
...   ... ...
   ... ...  × ... 
  
  
  
y  a   
 m   m1 a m 2
   ... amn  x n 
  
 
Y = AX
.
Ta ñã xác ñ nh ñư c ma tr n c a ánh x ñó.
Như v y, n u f là ánh x tuy n tính t Rn vào Rm và (e1,e2,..., en ) ,
(f1, f2,..., fm ) l n lư t là các cơ s ñã cho c a Rn và Rm thì ma tr n c a ánh x
f là m t ma tr n lo i (m × n) có các ph n t n m trên c t th j là các to ñ
c a véc tơ f (e j ) tính theo cơ s ñã cho c a R m .

Ví d : G i Pn là không gian các ña th c có b c không vư t quá n . Xét ánh
x f t P3 vào P2 xác ñ nh b i f (v) = v ′ v i v ∈ P3 và v ′ là ñ o hàm c a v .
Như ta ñã bi t ánh x ñó là tuy n tính. Ta tìm ma tr n c a nó trong các cơ
s x 3, x 2, x,1 c a P3 ; x 2, x,1 c a P2 . Ta ph i tìm nh c a các véc tơ cơ s c a
P3 trong P2 .
Ta có:
f (x 3 ) = (x 3 )′ = 3x 2 = (3, 0, 0)
f (x 2 ) = (x 2 )′ = 2x = (0,2, 0)
f (x ) = (x )′ = 1 = (0, 0,1)
f (1) = (1)′ = (0, 0, 0)
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 70 Giáo trình toán cao c p 1
3 0 0 0


 
0 2 0 0
V y ma tr n c a ánh x này là: A =  
 


0 0 1 0


 


1.4 MA TR N CHUY N CƠ S
Gi s B = {e1,..., en } v B ′ = {e1,...,en } là hai cơ s
′ ′ trong cùng m t
không gian véc tơ E có s chi u là n .
′ ′
Ta bi u di n các véc tơ e1,..., en theo các véc tơ c a cơ s B :
e1 = a11e1 + a21e2 + ... + an1en

e2 = a12e1 + a22e2 + ... + an2en

(7)
..........................................
en = a1ne1 + a2ne2 + ... + annen

ð nh nghĩa: Ma tr n:
a11 a12 ... a1n 
 
a21 a22
 ... a2n 


P =  ... ...

 ... .. 



 

a
 

... ann 
 n1 an 2

mà c t th j là các to ñ c a véc tơ e′ theo cơ s B ñư c g i là ma tr n
j

chuy n cơ s t cơ s B sang cơ s B ′ .
Gi s v ∈ E .
G i x 1, x 2,..., x n là các to ñ c a véc tơ v theo cơ s B
′ ′ ′
G i x 1, x 2,..., x n là các to ñ c a nó theo cơ s B ′
Ta c n tìm công th c liên h gi a hai to ñ ñó.
n n n n n
v = ∑ x ′ei′ = ∑ ∑ x ′a ijei = ∑ ∑ aijx ′ei
j j j (8)
j =1 j =1 i =1 i =1 j =1


M t khác, bi u di n v theo cơ s B ta có:
n
v = ∑ x iei (9)
i =1

n
So sánh (8) và (9) ta ñư c: x i = ∑ aij x j′; i = 1,2,..., n
j =1




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 71 Giáo trình toán cao c p 1
x 1  x 1 
′
   
 
x 2 
   ′
 , X ′ = x 2  và P là ma tr n chuy n

ð t X = ...   
  trên ta có: X = P.X ′ (10)
 
   
... 
 
   
 

x n 
 x n 
 ′
 

Ta chú ý r ng trên ta ñã chuy n t cơ s B sang cơ s B ′ . Khi ñó ma
tr n chuy n là P và ta có công th c (9). Ta cũng có th chuy n t cơ s B′
sang cơ s B . Như v y ma tr n P ph i là ma tr n kh ngh ch và ta có:
X ′ = P −1X
V y ma tr n chuy n t cơ s B′ sang cơ s B là ma tr n ngh ch ñ o P −1
Ví d 1: Xét h to ñ tr c chu n Oxy trong m t ph ng. Quay h tr c này
m t góc α ta ñư c h tr c Ox ′y ′ . L p công th c chuy n to ñ t h Oxy sang
h Ox ′y ′ .
G i e1, e2 là các véc tơ ñơn v trên các tr c s Ox,Oy ;
e1, e2 là các véc tơ ñơn v trên các tr c s Ox ′,Oy ′ , ta có:
′ ′
e1 = e1 cos α + e2 sin α

e2 = e1 cos(π + α) + e2 sin(π + α) = −e1 cos α + e2 sin α.

2 2
V y ma tr n chuy n t h Oxy sang Ox ′y ′ là:
cos α − sin α


P = 
sin α cos α 
 


x  x ′

T X = PX ′ v i X = y , X ′ =   ta suy ra:
   
y ′
 
   


x = x ′ cos α − y ′ sin α;
y = x ′ sin α + y ′ cos α.
Ví d 2: Cho không gian R 4 v i cơ s chính t c:
e1 = (1, 0, 0, 0),e2 = (0,1, 0, 0),e3 = (0, 0,1, 0), e4 = (0, 0, 0,1)

Ta xét m t cơ s m i:
e1 = (0,1,1,1),e2 = (1, 0,1,1),e3 = (1,1, 0,1), e4 = (1,1,1, 0)
′ ′ ′ ′


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 72 Giáo trình toán cao c p 1
L p công th c chuy n t các to ñ chính t c x 1, x 2, x 3, x 4 c a m t véc tơ
v ∈ R 4 sang các to ñ x 1, x 2, x 3, x 4 c a véc tơ ñó theo cơ s m i.
′ ′ ′ ′
Ma tr n chuy n cơ s là ma tr n có các c t là các to ñ c a các véc tơ
e1,e ′, e3,e4 theo cơ s chính t c. Ta có:
′ ′ ′

x 1  0 1 1 1 x 1 

     
 
 
x 2  1
   0 1 1 x 2 
 ′ 
 =
    
 
 ′ 
 
x 3  1 1 0 1x 3 
     
 
  
x  1
 4   
1 1 0 x ′
 4 

T ñó suy ra:
x1 = x2 + x 3 + x 4
′ ′ ′
x 2 = x1
′ + x3 + x4
′ ′
x 3 = x1 + x 2
′ ′ + x4

x 4 = x1 + x 2 + x 3
′ ′ ′
1.5 MA TR N C A ÁNH X TUY N TÍNH KHI CHUY N CƠ S
Cho ánh x tuy n tính f : E → E , A là ma tr n c a ánh x f ñ i v i cơ s
B c a E. P là ma tr n chuy n t cơ s
B = {e1,..., en } sang c¬ së B ′ = {e1,...,en } . Khi ñó ma tr n c a ánh x f trong
′ ′
cơ s B ′ s là A′ . Ta tìm m i liên h gi a A v A′ .
D ng ma tr n c a ánh x f ñ i v i cơ s B là: Y = AX
ñ i v i cơ s B′ là: Y ′ = A′ X ′ (11)
Vì P là ma tr n chuy n t cơ s B sang cơ s B ′ nên:
X = PX ′,Y = PY ′

T ñó ta có:
PY ′ = Y = AX = APX ′ ;
ta suy ra: Y ′ = P −1PY ′ = P −1APX ′ .
So sánh v i (11) ta ñư c: A′ = P −1AP .
Ta ñi t i k t qu sau:



----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 73 Giáo trình toán cao c p 1
ð nh lý: N u A và A′ là hai ma tr n c a m t ánh x tuy n tính f t
không gian E vào chính nó ñ i v i hai cơ s B và B′ , và n u P là ma tr n
chuy n t cơ s B sang cơ s B ′ thì: A′ = P −1AP
ð nh nghĩa: Hai ma tr n A và A′ sao cho có m t ma tr n kh ngh ch P
tho mãn h th c A′ = P −1AP ñư c g i là hai ma tr n ñ ng d ng.
Như v y, các ma tr n c a cùng m t ánh x tuy n tính f t E vào chính nó
trong các cơ s khác nhau thì ñ ng d ng v i nhau.
Ví d : Xét ánh x tuy n tính t R 3 vào chính nó ñư c cho b i ma tr n:
1 1 0


 

A = 1 0 1

 
 
0 1 1
 

 

ñ i v i cơ s chính t c trong R 3 , e1 = (1, 0, 0), e2 = (0,1, 0), e3 = (0, 0,1)

Phép chuy n sang cơ s m i B′ ñư c cho b i:
e1 = e1 + 2e2 + e3

e2 = 2e1 + e2 + 3e3

e3 = e1 + e2 + e3

Tìm ma tr n A′ c a ánh x theo cơ s m i và cho bi u di n c a ánh x ñó
theo to ñ trong B′
Ma tr n chuy n t cơ s chính t c sang cơ s B ′ là:
1 2 1
 −2 1 1


  
 
2 1 1. Ta cã P −1 = −1 0
P =
  

1

  

 
1 3 1 
 5 −1 −3


 
 
 

1 3 0

 
 

Tõ ®ã: A′ = P −1AP = 0 1 0

 

4 −2 2
 
 
Bi u th c c a ánh x tuy n tính trong cơ s B ′ là:
y1 = x 1 + 3x 2
 ′ ′ ′



Y ′ = AX ′ ⇔ y2 = x 2
′ ′



y ′ = 4x 1 − 2x 2 + 2x 3
′ ′ ′
 3

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 74 Giáo trình toán cao c p 1
Chú ý: Ánh x tuy n tính t không gian véc tơ E vào chính nó còn ñư c
g i là phép bi n ñ i tuy n tính. M t s phép bi n hình mà chúng ta ñã ñư c h c
chương trình trung h c như phép quay m t ñi m xung quanh g c O m t góc
α , phép v t tâm O t s k , phép ñ i x ng qua m t tr c to ñ ,…ñ u là các
phép bi n ñ i tuy n tính.
Ch ng h n, các ma tr n c a phép quay m t ñi m xung quang g c O m t
góc α và c a phép ñ i x ng qua tr c Oy l n lư t là:
cos α − sin α
 −1 0

sin α cos α  ;
   0 1




 
  


§2. GIÁ TR RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG
2.1 ð NH NGHĨA
Gi s f là m t ánh x tuy n tính t không gian véc tơ E vào chính nó
(phép bi n ñ i tuy n tính). Ta ñi tìm các véc tơ v ∈ E sao cho f (v) t l v i v ,
t c là tìm v sao cho có s λ ñ f (v) = λv

Do f (v) = 0 nên véc tơ 0 luôn luôn có tính ch t y, vì v t ta ch ñi tìm các
véc tơ khác không.
ð nh nghĩa: M t véc tơ khác không v ∈ E ñư c g i là véc tơ riêng c a ánh
x f t không gian E vào chính nó n u t n t i s λ (th c ho c ph c) sao cho
f (v) = λv . S λ ñư c g i là giá tr riêng liên k t v i véc tơ riêng v .

Ví d Xét phép bi n ñ i tuy n tính trong R 2 xác ñ nh b i:
f (x 1, x 2) = (x 2, x 1) . Ta có f (1,1) = (1,1) = 1(1,1) nên s 1 là giá tr riêng ng v i
véc tơ riêng v1 = (1,1) . Ta cũng có: f (1, −1) = (−1,1) = −1(1, −1) nên s −1 là
m t giá tr riêng ng v i véc tơ riêng v2 = (1, −1) .

Ta chú ý r ng phép bi n ñ i tuy n tính f (x 1, x 2) = (x 2, x 1) nói trên chính là
phép ñ i x ng qua ñư ng phân giác y = x . Nh ng véc tơ n m trên tr c ñ i
x ng s có nh là chính chúng, các véc tơ vuông góc v i tr c ñ i x ng s có nh
là các véc tơ ñ i c a chúng.
Nh n xét:
a, Giá tr riêng λ ng v i véc tơ riêng v là duy nh t.
Th t v y, n u véc tơ riêng v có hai giá tr riêng là λ v η th× :


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 75 Giáo trình toán cao c p 1
f (v) = λv v f (v) = ηv
λv = ηv ⇔ (λ − η)v = 0; do v ≠ 0 nªn λ = η
b, Trái l i, m t giá tr riêng có th liên k t v i nhi u véc tơ riêng.
Th t v y, n u λ là m t giá tr riêng liên k t v i véc tơ v thì f (v) = λv

Gi s k là m t s khác không, do ánh x f là tuy n tính ta có:
f (kv) = kf (v) = k(λv) = λ(kv)
ñi u ñó ch ng t kv cũng là véc tơ riêng ng v i giá tr riêng λ
2.2 ðA TH C ð C TRƯNG
Cho phép bi n ñ i tuy n tính f : E → E . Gi s A là ma tr n c a phép
bi n ñ i ñó theo cơ s e1,e2,..., en . Ta ký hi u véc tơ riêng v ∈ E dư i d ng ma
tr n c t X thì d ng ma tr n c a bi u th c f (v) = λv s là:

AX = λX hay (A − λI )X = 0 (12)
Trong ñó I là ma tr n ñơn v cùng c p v i ma tr n A .
Ta ñư c m t h n phương trình tuy n tính thu n nh t.
Theo quy t c Cramer, n u det(A − λI ) ≠ 0 thì h có nghi m t m thư ng duy
nh t X = 0 .
V y ñ h (12) có nghi m khác không thì c n và ñ là: det(A − λI ) = 0

Các giá tr riêng λ c a ma tr n A hay c a ánh x f là các nghi m c a phương
trình: det(A − λI ) = 0 (12’)

ð nh nghĩa: ð nh th c det(A − λI ) là m t ña th c b c n ñ i v i λ . Ta
g i nó là ña th c ñ c trưng c a ma tr n A ; phương trình (12’) là phương
trình ñ c trưng c a A (hay c a ánh x f ).
6 2


Ví d 1. Cho ánh x f : R2 → R 2 b i ma tr n: A =   . Hãy tìm các
2 3
 

giá tr riêng và véc tơ riêng c a nó.
Ta có phương trình ñ c trưng:
6 −λ 2
det(A − λI ) = = (6 − λ)(3 − λ) − 4 = λ 2 − 9λ + 14 = 0
2 3 −λ


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 76 Giáo trình toán cao c p 1
Gi i phương trình b c hai ñ i v i λ ta ñư c: λ1 = 2, λ2 = 7
ð tìm véc tơ riêng liên k t v i giá tr riêng λ1 = 2 ta gi i h thu n nh t:
(A − λ1I )X = 0
4x1 + 2x 2 = 0

tøc l : 
 2x + x
 1 =0

 2


H ñó tương ñương v i phương trình: 2x 1 + x 2 = 0. Có th cho x 1 = 1 khi ñó
ta có x 2 = −2 . Véc tơ riêng ng v i giá tr riêng λ1 = 2 là v1 = (1, −2)

ð tìm véc tơ riêng ng v i tr riêng λ2 = 7 ta gi i h phương trình:
−x 1 + 2x 2 = 0


2x − 4x = 0
 1

 2


H tương ñương v i x 1 − 2x 2 = 0; cho x 2 = 1 th× suy ra x 1 = 2

Véc tơ riêng ng v i λ2 = 7 là v2 = (2,1)
Ví d 2. Tìm các giá tr riêng và véc tơ riêng c a ma tr n:
 2 −1 1 


 

A = −1 2 −1

 
 

0
 0 1
 
Phương trình ñ c trưng:

2−λ −1 1
det(A − λI ) = −1 2 −λ −1 = (1 − λ)[(2 − λ)2 − 1 ] = (1 − λ)2(3 − λ) = 0
0 0 1−λ

Nó có nghi m kép λ1,2 = 1 và nghi m ñơn λ3 = 3

Ta xét phương trình (A − λI )X = 0

 x1 − x 2 + x 3 = 0



v i λ1,2 = 1 ta có: −x 1 + x 2 − x 3 = 0




 x3 =0

T ñó x 3 = 0 , có th cho x 1 = x 2 = 1
Véc tơ riêng ng v i λ1,2 = 1 là v1 = (1,1, 0)
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 77 Giáo trình toán cao c p 1


−x 1 − x 2 + x 3 = 0

V i λ3 = 3 ta có: −x 1 − x 2 − x 3 = 0




 x3 = 0



T ñó x 3 = 0 , có th cho x 1 = 1, x 2 = −1
Véc tơ riêng ng v i λ3 = 3 là v2 = (1, −1, 0)

2.3 ðƯA MA TR N VUÔNG V D NG CHÉO
Ta xét ánh x f t E vào chính nó. Gi s ma tr n A c a ánh x có n tr
riêng th c khác nhau. Ta s ch ng t trong trư ng h p ñó n véc tơ riêng ng
v i n tr riêng s l p thành m t cơ s c a E .
ð nh lý: Gi s f là m t ánh x t không gian n chi u E vào chính nó.
N u các tr riêng λ1, λ2,..., λn c a f ñôi m t khác nhau thì các véc tơ riêng
tương ng c a chúng v1, v2,..., vn l p thành m t cơ s c a E .
Ch ng minh: Do s chi u c a E là n nên ta ch còn ph i ch ng minh n
véc tơ v1, v2,..., vn ñ c l p tuy n tính.
Gi s h ng c a h véc tơ v1, v2,..., vn là r v i r < n (t c là s véc tơ ñ c
l p tuy n tính l n nh t c a h là r ). Không m t tính t ng quát ta có th gi thi t
ñó là r véc tơ ñ u v1, v2,..., vr . Khi ñó các véc tơ còn l i s là t h p tuy n tính
c a r véc tơ ñó: vr +1 = α1v1 + α2v2 + ... + αrvr (13)

Do f là ánh x tuy n tính nên:
f (vr +1) = α1f (v1) + α2 f (v2) + ... + αr f (vr )

Các vi là các véc tơ riêng nên f (vi ) = λivi , ta có:
λr +1vr +1 = α1λ1v1 + α2λ2v2 + ... + αr λr vr

Thay vr +1 b i (13):

λr +1(α1v1 + α2v2 + ... + αr vr ) = α1λ1v1 + α2λ2v2 + ... + αr λrvr

T ñó: α1(λr +1 − λ1)v1 + α2(λr +1 − λ2)v2 + ... + αr (λr +1 − λr )vr = 0

Vì các véc tơ v1, v2,..., vr ñ c l p tuy n tính và các λi ñôi m t khác nhau
nên ta suy ra: α1 = α2 = ... = αr = 0 .


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 78 Giáo trình toán cao c p 1
Thay vào (13) ta ñư c vr +1 = 0 . ði u này mâu thu n v i gi thi t vr +1 là
véc tơ riêng. Mâu thu n ñó xu t phát t ch ta gi thi t r < n . V y ph i có
r =n.
n véc tơ v1, v2,..., vn ñ c l p tuy n tính c a không gian n chi u E l p thành
m t cơ s c a không gian ñó. ð nh lý ñã ñư c ch ng minh.
Bây gi ta tìm ma tr n c a ánh x tuy n tính f theo cơ s v1, v2,..., vn là n
véc tơ riêng c a không gian ñó.
Do:
f (v1) = λ1v1 = (λ1, 0,..., 0)
f (v2) = λ2v2 = (0, λ2,..., 0)
........................................
f (vn ) = λnvn = (0, 0,..., λn )
Ma tr n c a ánh x là ma tr n chéo:
λ1 0 ... 0


 
 0 λ2
 ... 0 


D = 
... ...
 ... ...


 


0 0

 ... λn 


Trong trư ng h p này ta nói ma tr n c a ánh x tuy n tính A ñã ñư c
chéo hoá. Như v y mu n chéo hoá m t ma tr n A ta ph i l y m t cơ s c a
không gian E g m n véc tơ ñ c l p tuy n tính c a ma tr n ñó.
N u P là ma tr n chuy n t cơ s e1, e2,..., en sang cơ s v1, v2,..., vn c a
không gian E thì theo 1.4 ta có: D = P −1AP
Như v y, m i ma tr n vuông c p n A có n giá tr riêng khác nhau t ng
ñôi thì ñ ng d ng v i ma tr n chéo D có các ph n t n m trên ñư ng chéo
chính là các giá tr riêng c a A .
Ví d : Hãy chéo hoá ma tr n A và tìm ma tr n chuy n P .
1 1 4 

 
 2 0 −4
A= 
 


−1 1 5 


 

ða th c ñ c trưng:

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 79 Giáo trình toán cao c p 1
1−λ 1 4
det(A − λI ) = 2 −λ −4 = (1 − λ)(λ − 2)(λ − 3) = 0
−1 1 5−λ

Ma tr n A có 3 giá tr riêng phân bi t: λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3
1 0 0


 
0 2 0
Ma tr n chéo ph i tìm là:  
 


0 0 3


 

ð tìm ma tr n chuy n ta ph i tìm các véc tơ riêng ng v i các giá tr riêng ñó.


 x 2 + 4x 3

= 0
V i λ1 = 1 ta có  2x 1 − x 2 − 4x 3 = 0 ⇒ x1 = 0, x 2 = −4x 3, x 3 tuú ý


−x + x + 4x = 0
 1

 2 3


Ch n x 3 = 1 ta suy ra x 2 = −4
Véc tơ riêng ng v i λ1 = 1 là v1 = (0, −4,1)

−x1 + x 2 + 4x 3 = 0




V i λ2 = 2 ta có 2x 1 − 2x 2 − 4x 3 = 0 ⇒ x 3 = 0, x1 = x 2 = 1

−x + x + 3x = 0
 1

 2 3


Véc tơ riêng ng v i λ2 = 2 là v2 = (1,1, 0)



−2x 1 + x 2 + 4x 3 = 0

V i λ3 = 3 ta có  2x 1 − 3x 2 − 4x 3 = 0 ⇒ x 2 = 0, x 1 = 2x 3


 −x + x + 2x
 1
 = 0
 2 3


Cho x 3 = 1 ta suy ra x 1 = 2
Véc tơ riêng ng v i λ3 = 3 là v 3 = (2, 0,1)

Ma tr n chuy n P là ma tr n có các c t là to ñ c a các véc tơ riêng v1, v2, v3
 0 1 2


 
 
P =  4 1 0 ;
 
 
−1 0 1
 

 
n u tính ma tr n ngh ch ñ o c a P ta có:
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 80 Giáo trình toán cao c p 1
 1 −1 

2 −1



 2 
P −1  2 −1 4 
= 


 

−1 1 



2 −2

2
Có th nghi m l i r ng: D = P −1AP
Chú ý: ði u ki n ña th c ñ c trưng b c n có n nghi m phân bi t ch là
m t ñi u ki n ñ ñ chéo hoá m t ma tr n. Trong trư ng h p ña th c ñ c trưng
có nghi m b i ngư i ta ñã ch ng minh ñư c r ng n u v n tìm ñư c n véc tơ
riêng ñ c l p tuy n tính thì ta v n có th chéo hoá ñư c ma tr n A .
2.4 CHÉO HOÁ TR C GIAO
1. Không gian v i tích vô hư ng
Trong không gian Rn cho hai véc tơ u = (x 1, x 2,..., x n ); v = (y1, y2,..., yn )

ð nh nghĩa: Tích vô hư ng c a hai véc tơ u và v , ký hi u là u.v là m t s
th c:
u.v = x1y1 + x 2y2 + ... + x nyn
ð dài hay chu n c a m t véc tơ u là: u = u.u
Hai véc tơ u, v là tr c giao n u u.v = 0
Hai véc tơ u, v là tr c chu n n u chúng tr c giao và có ñ dài b ng ñơn v
u.v = 0; u = v = 1

Ví d : Các véc tơ c a cơ s chính t c trong R 3 :
e1 = (1, 0, 0), e2 = (0,1, 0), e3 = (0, 0,1) là các véc tơ tr c chu n.
Ta chú ý r ng t p các véc tơ tr c chu n trong Rn là ñ c l p tuy n tính.
Th t v y, gi s v1, v2,..., vn là các véc tơ tr c chu n. Ta có:

( )
n n
∑ αivi = 0 ⇔ ∑ αivi .v j = 0 ⇔ ∑ αiviv j + α jv jv j = 0 (14)
i =1 i =1 i≠j


Do các véc tơ vi tr c giao nên viv j = 0 v i i ≠ j

Do các véc tơ vi tr c chu n nên viv j = 1 v i i = j

T (14) ta suy ra: αj .1 = 0 ⇒ αj = 0


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 81 Giáo trình toán cao c p 1
L n lư t cho j các giá tr 1,2,..., n ta s có m i αj = 0 . ði u ñó ch ng t các
véc tơ v1, v2,..., vn ñ c l p tuy n tính.
2. Chéo hoá tr c giao
ð nh nghĩa: N u ma tr n A có n véc tơ riêng tr c chu n thì vi c chéo
hoá ma tr n A ñư c g i là chéo hoá tr c giao.
Trong trư ng h p ñó ma tr n chuy n t cơ s {e1, e2,..., en } sang cơ s
{v1, v2,..., vn } s tho mãn ñi u ki n:

0 khi i ≠ j

viv j = 
 (15)
1 khi i = j


Ta có th coi c t vi c a ma tr n chuy n P là hàng th i c a ma tr n
chuy n v P t nên tích vô hư ng viv j chính là ph n t v trí (i, j ) c a ma tr n
tích P t P . Do (15) ta th y r ng ma tr n tích có các ph n t n m trên ñư ng chéo
chính b ng 1 còn các ph n t khác b ng không, ñó là ma tr n ñơn v .
V y ta có: P tP = I
M t khác ta có: P −1P = I ta suy ra: P t = P −1
ð nh nghĩa: Ma tr n P có tính ch t: chuy n v nó ta ñư c ma tr n ngh ch
ñ o, ñư c g i là ma tr n tr c giao.
cosα -sinα
 là tr c giao vì:

Ví d : Ma tr n P =  

sinα cosα 


 cos α sin α
Pt = 
  = P −1


− sin α cos α

Gi s A là ma tr n chéo hoá tr c giao ñư c.
Khi ñó t n t i ma tr n tr c giao P ñ : D = P −1AP
T ñó suy ra: A = PDP −1 = PDP t
Theo tính ch t chuy n v c a ma tr n tích ta có:
At = (PDP t )t = (P t )t D t P t = PDP t = A
ði u ñó có nghĩa là ma tr n A ph i là ma tr n ñ i x ng.
Như v y, n u ma tr n A có th chéo hoá tr c giao ñư c thì nó ph i là ma
tr n ñ i x ng.

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 82 Giáo trình toán cao c p 1
Ta th a nh n r ng, ngư c l i n u ma tr n A là ma tr n ñ i x ng thì nó
chéo hoá tr c giao ñư c.
ð minh ho ñi u ñó ta xét ma tr n sau:
 7 −2 0 


 

A = −2 6 −2

 
 
 0 −2 5 
 

 
Nó là ma tr n ñ i x ng. Phương trình ñ c trưng:

7 −λ −2 0
det(A − λI ) = −2 6−λ −2 = λ 3 − 18λ 2 + 99λ − 162 = 0.
0 −2 5 −λ

Ta có 3 tr riêng λ1 = 3, λ2 = 6, λ3 = 9.
Các véc tơ riêng ng v i các tr riêng ñó là:
v1 = (1,2,2), v2 = (2,1, −2), v 3 = (−2,2, −1)

Ta có: v1v2 = v2v3 = v3v1 = 0 , các véc tơ ñó tr c giao. Bây gi ta chu n
hoá chúng (t c là ñưa các véc tơ ñó v các véc tơ ñơn v ).

= (2 , 1 , −2), V3 = 3 = (−2 , 2 , −1)
v1 v2 v
V1 = = (1 , 2 , 2), V2 =
v1 3 3 3 v2 3 3 3 v3 3 3 3
Ma tr n chuy n t cơ s chính t c sang cơ s g m các véc tơ tr c chu n
V1,V2,V3 là:
1 2 −2
3 3
 3
 

P = 2 1
 2

 3 3 3

2 −2 −1




3 3
 3


D dàng ki m ch ng r ng P tP = I .
3 0 0


 
 
Ma tr n chéo hoá c a A là D = 0 6 0
 
 
0 0 9
 

 




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 83 Giáo trình toán cao c p 1
§3. D NG TOÀN PHƯƠNG
3.1 D NG SONG TUY N TÍNH
T p h p các s th c R ñư c coi là m t không gian véc tơ trên chính nó.
ð nh nghĩa: M t ánh x tuy n tính f t không gian véc tơ X vào R ñư c
g i là m t d ng tuy n tính ñ i v i x ∈ X .
Xét tích ð - các X × X , ñó là t p các c p (x, y) v i x ∈ X y ∈ X

M t ánh x f : X × X → R ñư c g i là m t d ng song tuy n tính n u nó là m t
d ng tuy n tính ñ i v i x (coi y là không ñ i) và là d ng tuy n tính ñ i v i y
(coi x như không ñ i).
Nói cách khác, ánh x f : X × X → R là d ng song tuy n tính n u:
∀x,x1, x 2, y, y1, y2 ∈ X, ∀α1, α2 ∈ R :
f (α1x 1 + α2x 2, y) = α1f (x 1, y) + α2 f (x 2, y)
f (x, α1y1 + α2y2) = α1f (x, y1) + α2 f (x, y2)

Ví d : Xét tích vô hư ng c a hai véc tơ trong R 3 . T các tính ch t ñã bi t
c a tích vô hư ng ta có:
(α1u1 + α2u2).v = α1(u1.v) + α2(u2.v);
u(α1v1 + α2v2) = α1(u.v1) + α2(u.v2).
V y tích vô hư ng trong R 3 là m t d ng song tuy n tính.
M t d ng song tuy n tính f là ñ i x ng n u và ch n u:
f (x, y) = f (y, x ); ∀x, y ∈ X

M t d ng song tuy n tính f là xác ñ nh dương n u và ch n u:
f (x, x ) ≥ 0; f (x, x ) = 0 ⇔ x = 0

Tích vô hư ng nói trên là m t d ng song tuy n tính ñ i x ng và xác ñ nh
dương.
Xét d ng song tuy n tính: f : X 2 → R
Gi s X là không gian có s chi u h u h n là n và U = {u1, u2,..., un } là
m t cơ s c a X .

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 84 Giáo trình toán cao c p 1
n n
Ta có: x = ∑ x iui, y = ∑ y ju j
i =1 j =1

n n n n
Khi ñó: f (x, y) = f (∑ x iui, ∑ y ju j ) = ∑ ∑ x i f (ui, u j )y j
i =1 j =1 i =1 j =1


ð t a ij = f (ui, u j ) và coi nó là ph n t v trí (i, j ) c a m t ma tr n A thì
h th c trên có th ñư c coi là tích c a 3 ma tr n:
a11 a12 ... a1n y1 
  
a21 a22
 ... a2n  y2 
 
 
f (x, y) = (x 1, x 2,..., x n )  ... ...


 
... ...  ... 
 

  
 
a  
 
 n1 a n 2
 ... ann yn 

Ma tr n A = (a ij) ñư c g i là ma tr n c a d ng song tuy n tính f .

Ta th a nh n r ng m t d ng song tuy n tính là ñ i x ng khi và ch khi ma
tr n c a nó là ñ i x ng.
3.2 D NG TOÀN PHƯƠNG
Xét d ng song tuy n tính ñ i x ng:
n n
f (x, y) = ∑ ∑ aijx ix j, víi a ij = a ji
i =1 j =1


Khi thay x b i y ta s ñư c d ng toàn phương.
ð nh nghĩa: M t d ng toàn phương trong Rn là bi u th c có d ng:
n n
f (x, x ) = ∑ ∑ aijx ix j, víi x = (x 1, x 2,..., x n ) ∈ Rn v a ij = a ji
i =1 j =1


Ta ký hi u d ng toàn phương c a bi n x là Q(x )

Ví d :
D ng toàn phương trong R2 là:
Q(x ) = a11x 12 + 2a12x 1x 2 + a22x 22
D ng toàn phương trong R 3 là:
Q(x ) = a11x 12 + a22x 22 + a 33x 32 + 2a12x 1x 2 + 2a13x 1x 3 + 2a23x 2x 3
D ng ma tr n c a d ng toàn phương là:




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 85 Giáo trình toán cao c p 1
a11 a12 ... a1n x 1 
  
a21 a22
 ... a2n  x 2 
 
 
Q(x ) = (x 1, x 2,..., x n )  ... ...


 
... ...  ... 
 

  
 
a
 n1 a n 2  
 
... ann x n 


v i ma tr n A là ma tr n ñ i x ng.
D ng chính t c c a d ng toàn phương
N u ma tr n A c a d ng toàn phương là ma tr n chéo, t c là aij = 0 v i
i ≠ j thì ta có d ng chính t c c a d ng toàn phương:
a11x 12 + a22x 22 + ... + annx n 2
Nó ch ch a các s h ng bình phương mà không ch a các s h ng ch nh t
x ix j víi i ≠ j .

Rút g n m t d ng toàn phương t c là ñưa nó v d ng chính t c, ñi u ñó có
nghĩa ph i ñưa ma tr n c a d ng toàn phương v d ng chéo.
Do ma tr n A c a d ng toàn phương là ma tr n ñ i x ng nên n u nó có n
tr riêng th c phân bi t thì n véc tơ riêng tương ng c a chúng s l p thành m t
cơ s tr c giao và ta có th ñưa cơ s ñó v cơ s tr c chu n. Như v y ma tr n
A c a d ng toàn phương s chéo hoá tr c giao ñư c.
Ta s xét xem khi th c hi n phép chuy n cơ s c a d ng toàn phương ñã
cho v cơ s tr c chu n l p b i các véc tơ riêng thì ma tr n A c a d ng toàn
phương s thay ñ i như th nào?
Ta có d ng toàn phương xu t phát v i ma tr n ñ i x ng A :
Q(x ) = X tAX , trong ®ã X l ma trËn cét
Chuy n sang cơ s m i l p thành t các véc tơ riêng thì ma tr n chuy n cơ
s P là ma tr n tr c giao.
X = PX ′ ⇒ X t = (PX ′)t = (X ′)t P t = (X ′)t P −1

T ñó: Q(x ) = (X ′)t P −1APX ′
Nhưng P −1AP chính là ma tr n chéo có các ph n t n m trên ñư ng chéo
chính là các giá tr riêng λi .
Ta ñư c d ng chính t c c a d ng toàn phương là:
n
X ′t DX = ∑ λix i′2 = λ1x12 + λ2x ′2 + ... + λnx n 2
′ 2 ′
i =1
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 86 Giáo trình toán cao c p 1
Như v y mu n ñưa m t d ng toàn phương v d ng chính t c ta ph i
chuy n cơ s ñã cho c a d ng toàn phương v cơ s g m các véc tơ riêng tr c
chu n; khi ñó các h s trong d ng chính t c s là các giá tr riêng.
Ví d : ðưa d ng toàn phương sau ñây v d ng chính t c và tìm ma tr nn
chuy n c a nó. Q(x ) = 5x 12 + 8x 1x 2 + 5x 22

5 4


Ma tr n A c a d ng toàn phương: A =  ;
4 5
 

Phương trình ñ c trưng:
5−λ 4
= 0 ⇔ (5 − λ)2 − 16 = 0; ⇒ λ1 = 1, λ2 = 9
4 5−λ

V i tr riêng λ1 = 1 ta có véc tơ riêng (1, −1) , chu n hoá nó ta ñư c

(
v1 = 1 , − 1
2 2 )
V i tr riêng λ2 = 9 ta có véc tơ riêng chu n hoá v2 = 1 , 1 .
2 2 ( )
 1 1

 2
Ma tr n chuy n cơ s là: P =  2
 
 1
− 1


 2
 2


D ng chính t c c a d ng toàn phương là: Q = x 12 + 9x 22
′ ′
Có th nghi m l i r ng phép chuy n cơ s nói trên chính là phép bi n ñ i:

x 1 = 1 x 1′ + 1 x′
2
2 2
x 2 = −1 x 1′ + 1 x′
2 2 2
Thay x 1, x 2 vào d ng toàn phương ñã cho ta s ñưa ñư c nó v d ng chính
t c như trên.
V m t hình h c, phép bi n ñ i ñ i v i ma tr n P trên là phép quay trong
m t ph ng xung quanh g c O m t góc −π . Như v y nêu trong m t ph ng ta có
4
ñư ng cong cho b i phương trình 5x + 8xy + 5y 2 − 9 = 0 thì phép quay nói
2


y ′2
trên s ñưa phương trình ñó v d ng x ′2 + 9y ′2 − 9 = 0 hay x ′ +
2
= 1 . Ta
9 1


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 87 Giáo trình toán cao c p 1
ñư c phương trình chính t c c a ñư ng elip trong h tr c to ñ Ox′y′ nh n
ñư c do quay h tr c to ñ Oxy m t góc −π
4
Ví d 2: Tìm phép bi n ñ i ñ ñưa d ng toàn phương sau v d ng chính
t c: Q(x ) = 7x 12 + 6x 22 + 5x 32 − 4x 1x 2 − 4x 2x 3 .
Ta vi t ma tr n A c a d ng toàn phương và ña th c ñ c trưng
det(A − λI ) :

 7 −2 0 
 7 −λ −2 0

 
 

A = −2 6 −2 ;
 det(A − λI ) = −2 6 −λ −2 = 0
 
 0 −2 5 
 
 −2 5 −λ
  0

Các giá tr riêng là λ1 = 3, λ2 = 6, λ3 = 9 . Các véc tơ riêng chu n hoá
tương ng là:

( ) ( ) (
v1 = 1 , 2 , 2 ; v2 = 2 , 1 , − 2 ; v3 = − 2 , 2 , − 1
3 3 3 3 3 3 3 3 3 )
1 2 −2
3 3
 3
 
2 1

Ma tr n chuy n: P =  2

3 3 3

2 −1 −1




3 3
 3


Phép bi n ñ i:

x 1 = 1 x 1′ + 2 x 2′ − 2 x 3′
3 3 3
x 2 = 2 x 1′ + 1 x 2′ + 2 x 3′
3 3 3
x 3 = 2 x 1′ − 2 x 2′ − 1 x 3′
3 3 3
D ng chính t c c a d ng toàn phương ñã cho là:

Q = 3x 1′2 + 6x 22 + 9x 3′2

Chú ý: D ng chính t c c a m t d ng toàn phương không ph i duy nh t.
Ngoài vi c chéo hoá tr c giao ma tr n A như ñã mô t trên ngư i ta còn có th
dùng các phương pháp khác ñ ñưa m t d ng toàn phương v d ng chính t c. Ta
tr l i d ng toàn phương ñã xét trong ví d 1:
Q(x ) = 5x 12 + 8x 1x 2 + 5x 22

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 88 Giáo trình toán cao c p 1
Ta có th bi n ñ i:

Q = 5(x 12 + 8 x 1x 2 + 16 x 22) + 5x 22 − 16 x 22 = 5(x 1 + 5 x 2)2 + 5 x 22
5 5
4 9
25

ð t ξ1 = x 1 + 4 x 2; ξ2 = x 2 ta cã: Q = 5ξ12 + 9 ξ22
5 5
Ta ñư c m t d ng chính t c khác c a d ng toàn phương ñã cho.
3.3 D NG TOÀN PHƯƠNG XÁC ð NH DƯƠNG
ð nh nghĩa: M t d ng toàn phương ñư c g i là xác ñ nh dương n u v i
m i x ≠ 0 thu c E ta có Q(x ) > 0.
Trong trư ng h p này ma tr n A c a d ng toàn phương cũng ñư c g i là
ma tr n xác ñ nh dương.
B ng cách thay X b i các véc tơ thu c cơ s chính t c c a E ta s suy ra:
N u Q là d ng toàn phương xác ñ nh dương thì aii > 0 v i m i
i = 1,2,..., n . Trong trư ng h p ma tr n A c a d ng toàn phương có n tr riêng
n
phân bi t là s dương, d ng chính t c c a nó ∑ λix i′2, λi > 0 , d ng toàn phương
i =1

là xác ñ nh dương.
Bây gi ta s phát bi u m t ñi u ki n c n và ñ ñ m t d ng toàn phương
là xác ñ nh dương. Gi s ma tr n c a d ng toàn phương là A . T ñ nh th c c a
ma tr n A ta trích ra các ñ nh th c con c p k :
a11 a12 ... a1k
a21 a22 ... a2k
∆k = ... ... ... ... víi k lÇn l−ît b»ng 1,2,..., n.
ak1 ak 2 ... akk

Các ñ nh th c ∆k ñư c g i là các ñ nh th c con chính c p k c a ma tr n A .
Ta công nh n k t qu sau:
N u m i ñ nh th c con chính c a ma tr n A ñ u dương thì d ng toàn
phương v i ma tr n A là xác ñ nh dương.
Ví d 3: D ng toàn phương ñã xét trong ví d 2 là xác ñ nh dương vì nó có
ba giá tr riêng dương. N u xét các ñ nh th c con chính c a A thì ta có:




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 89 Giáo trình toán cao c p 1
7 −2 0
7 −2
∆1 = 7; ∆2 = = 38; ∆3 = 2 6 2 = 162
−2 6
0 2 −5

C ba ñ nh th c con chính ñ u dương nên d ng toàn phương là xác ñ nh dương.
Ví d : D ng toàn phương:
3x 12 + x 22 + 5x 32 + 4x1x 2 − 8x 1x 3 − 4x 2x 3
không xác ñ nh dương vì ma tr n A c a nó có ch a m t ñ nh th c con chính:
3 2
∆2 = = −1 < 0
2 1

M t d ng toàn phương Q là xác ñ nh âm n u d ng toàn phương −Q là xác
ñ nh dương.
N u ma tr n c a Q là A thì ma tr n c a −Q là −A . Khi tính các ñ nh th c
con chính c p k thì b ng cách ñưa d u − ra ngoài ñ nh th c ta th y r ng n u k
là s ch n thì ñ nh th c con chính c p k c a A và −A s như nhau, còn n u k
là s l thì ñ nh th c con chính c p l c a A và −A là trái d u nhau.
T ñó: M t d ng toàn phương là xác ñ nh âm khi và ch khi m i ñ nh th c
con chính c p l ñ u âm, m i ñ nh th c con chính c p ch n ñ u dương.




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 90 Giáo trình toán cao c p 1
BÀI T P
5.1 Trong các ánh x f : R 3 → R sau ñây, ánh x nào là tuy n tính?
a) f (x, y, z ) = 3x + 2y − 5z;
b) f (x, y, z ) = 5x − 3y;
c) f (x, y, z ) = 10x + 4y − 3z + 1

5.2 Xét t p h p F các hàm s liên t c trên [a,b] . V i m i hàm v ∈ F ta xét ánh
b
x I : F → R víi I (v) = ∫ v(x )dx . Ch ng minh r ng I là ánh x tuy n tính.
a

5.3 C là không gian véc tơ các s ph c. Xét ánh x f : C → C xác ñ nh b i
víi z = x + iy ∈ C ; ta cã f (z ) = (a + bi)z, a, b l c¸c sè thùc . Ch ng t r ng f
là ánh x tuy n tính và tìm ma tr n c a ánh x ñó.

5.4 Trong không gian véc tơ R2 cho cơ s A = {(−1,1),(1, −1)} . Trong không

gian véc tơ R 3 cho cơ s B = {(0,1,1),(1, 0,1),(1,1, 0)} . Hãy tìm ma tr n c a ánh
x tuy n tính f : R 2 → R 3 xác ñ nh như sau:
a) f (x, y) = (x, y, x + y);
b) f (x, y) = (0, x + y, x − y)

5.5 V i m i ña th c P(x ) có b c không vư t quá 3 ta cho tương ng ña th c:

Q(x ) = (2x + 1)P(x ) − (x 2 − 1)P ′(x ) , v i P ′(x ) là ñ o hàm c a P(x ) .

a) Ch ng minh r ng ánh x f : E 3 → E 4 , v i E 3, E 4 l n lư t là các không
gian các ña th c không vư t quá 3 và 4, xác ñ nh như trên là m t ánh x tuy n
tính.
b) Ch ng minh r ng f là ñơn ánh.
c) Các không gian E 3 và E 4 ñư c quy v các cơ s 1, x, x 2, x 3 và
1, x, x 2, x 3, x 4 , hãy xác ñ nh ma tr n c a ánh x f .
5.6 Trong R 3 cho cơ s chính t c e1 = (1, 0, 0);e2 = (0,1, 0);e3 = (0, 0,1).




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 91 Giáo trình toán cao c p 1
0 1 1


 
1 0 1
Xét phép bi n ñ i tuy n tính f : R 3 → R 3 cã ma trËn: A =  
 


1 1 0


 


Tính các thành ph n x ′, y ′, z ′ c a f (v) theo các thành ph n x, y, z c a v .

Ch ng t r ng f là song ánh và tính x, y, z theo x ′, y ′, z ′ . T ñó suy ra ma
tr n ngh ch ñ o A−1 .
5.7 Trong không gian các ña th c có b c không vư t quá 3 quy v cơ s
1, x, x 2, x 3 , ta xét ña th c P(x ) = 1 + x + x 2 + x 3.

a) Ch ng minh r ng các ña th c P, P ′, P ′′, P ′′′ l p nên m t cơ s m i c a
không gian ñang xét.
b) L p ma tr n chuy n H t cơ s 1, x, x 2, x 3 sang cơ s P, P ′, P ′′, P ′′′ .
c) Q(x ) là m t ña th c b t kỳ.

Ta ñ t: Q(x ) = a 0 + a1x + a2x 2 + a 3x 3 = b0P + b1P ′ + b2P ′′ + b3P ′′′ .

Tính: a 0, a1, a2, a 3 theo b0,b1,b2,b3 và ngư c l i. Suy ra ma tr n H −1 .
5.8 Ta xét môt ánh x f : R 4 → R 4 cho tương ng m i ph n t (x, y, z, t) c a
R 4 v i ph n t (x + y, y − z, z + x ) c a R 3 . Ch ng t r ng f là ánh x tuy n
tính. Tìm m t cơ s c a Kerf và c a Im f .
5.9 Tìm các tr riêng và các véc tơ riêng c a các ma tr n sau:
1 1 4   
1 −2 
  1 1 3
 
 2 0 −4 ; 1 5 1
1 4  ;



 









 
  
−1 1 5 
 
 3 1 1
 

   
5.10 Tìm các tr riêng và các véc tơ riêng c a phép bi n ñ i tuy n tính trong R 2
x ′ = 5x + 4y

ñư c cho b i: 

y ′ = 8x + 9y


5.11 Tìm tr riêng và véc tơ riêng c a phép quay trong không gian xung quanh
tr c Oz m t góc π .
3
5.12 ðưa các ma tr n sau v d ng chéo và tìm ma tr n chuy n:



----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 92 Giáo trình toán cao c p 1
 2 − 2   
 2
   1 −1 −1
   
 2 
2 2 ; −1 1 −1
 


4 
  

 
 
 

− 2 2 2
 1  −1 −1 1 
 
 

2 1 0


 
0 1 1
5.13 Ch ng t r ng ta không chéo hoá ñư c ma tr n:  
 


0 2 4


 

5.14 Ch ng t r ng các ma tr n ñ ng d ng có cùng phương trình ñ c trưng.
5.15 Có th chéo hoá tr c giao các ma tr n sau ñư c không? N u ñư c hãy tìm
1 2 −4
5 4 
 
  
ma tr n chuy n tương ng:  ;  2 −2
 −2
4 5
 
  

−4 −2
 1
 

5.16 Cho X là không gian các hàm liên t c trên [a,b] . Xét ánh x f : X 2 → R
b
xác ñ nh b i f (u, v) = ∫ u(t )v(t )dt víi u, v ∈ X . Ch ng t r ng f là d ng song
a

tuy n tính. Nó có ñ i x ng, có xác ñ nh dương không?
5.17 Cho X là không gian th c R 3 . Xét ánh x f : X 2 → R xác ñ nh b i:
f (x, y) = x 1y1 + x 2y2 − x 3y 3 víi x = (x1, x 2, x 3); y = (y1, y2, y 3).

Ch ng t r ng f là d ng song tuy n tính và tìm ma tr n A c a nó trong cơ s :
B = {(0,1,1),(1, 0,1),(1,1, 0)} cña R 3
5.18 ðưa các d ng toàn phương sau v d ng chính t c và ch ra phép bi n ñ i
tương ng.
a)Q(x ) = x 12 − x 22 + 2x 1x 2 3;
b)Q(x ) = 2x 12 + 4x 22 + x 32 + 4x 1x 2 − 2 2x 1x 3 + 4 2x 2x 3
c)Q(x ) = 6x 12 + 3x 22 + 3x 32 + 4x 1x 2 − 8x 2x 3

5.19 Tìm d ng c a ñư ng có phương trình:
x 2 − y 2 + 2 3xy − 2(1 + 3)x − 2(1 − 3)y + 2.




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 93 Giáo trình toán cao c p 1
CHƯƠNG 6
HÀM S VÀ GI I H N


§1. HÀM S M T BI N S
Các ñ i lư ng mà ta g p trong th c t thư ng là các ñ i lư ng bi n thiên,
nghĩa là chúng nh n các giá tr thay ñ i trong quá trình kh o sát. Có th x y ra
trư ng h p m t ñ i lư ng tuy bi n thiên nhưng giá tr c a nó l i ph thu c vào
m t ñ i lư ng bi n thiên khác. Thí d m t chi c xe ô tô ch y trên ñư ng v i v n
t c không ñ i. Quãng ñư ng xe ch y ñư c (ñ i lư ng bi n thiên s ) ph thu c
vào th i gian ch y xe (ñ i lư ng bi n thiên t ). N u t c ñ c a xe là v thì quãng
ñư ng s ñư c xác ñ nh theo th i gian t b i công th c s = vt . N u bi t t thì ta
xác ñ nh ñư c giá tr c a s m t cách duy nh t.
Quan h ph thu c gi a s và t như trên ñư c g i là quan h ph thu c
hàm s .
1.1. ð NH NGHĨA HÀM S M T BI N S
Cho t p h p s th c R . M t ánh x f t R vào R ñư c g i là m t hàm
s th c c a m t bi n s th c, hay m t hàm s c a m t bi n s . Nói cách khác,
v i m i m t bi n s th c x ta cho tương ng v i m t s th c duy nh t theo m t
quy t c f nào ñó thì ta nói là ta ñã xác ñ nh m t hàm s f .
Ph n t x ñư c g i là bi n s ñ c l p. Ph n t y tương ng v i x ñư c
g i là giá tr c a hàm s t i x , ta thư ng ký hi u là f(x) và vi t y=f(x).
T p h p t t c các s th c x mà ta có th xác ñ nh ñư c y theo quy t c f
ñã cho ñư c g i là mi n xác ñ nh c a hàm s f .
N u t p h p A ⊂ R là mi n xác ñ nh c a hàm s thì t p h p t t c các s
th c y sao cho y = f (x ) víi x ∈ A ñư c g i là mi n giá tr c a hàm s (ñó chính
là t p nh c a f ). Hay {f (x ) : x ∈ A} là mi n giá tr c a hàm s .

Ví d : Cho hàm s y = 9 − x 2 thì mi n xác ñ nh A c a hàm s là t p h p t t
c các s th c x sao cho 9 − x 2 ≥ 0, tøc l − 3 ≤ x ≤ 3 . Mi n giá tr c a hàm s
là t p h p m i s th c y sao cho 0 ≤ y ≤ 3 .
1.2. ð TH C A HÀM S
ð có m t hình nh hình h c v m t hàm s , ngư i ta tìm cách bi u di n

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 94 Giáo trình toán cao c p 1
nó trên m t ph ng to ñ , t c là m t m t ph ng trên ñó có xác ñ nh h tr c to
ñ Ox,Oy (thư ng là vuông góc).
V i m i m t x thu c mi n xác ñ nh A c a hàm s ta cho tương ng v i
m t ñi m có to ñ (x,y) , v i y = f (x ) , thu c m t ph ng Oxy .

T p h p t t c các ñi m (x,y) v i m i x ∈ A ñư c g i là ñ th c a hàm
s y = f (x ) .

Ví d : trong bi u di n ñ th c a hàm s f :A→R xác ñ nh b i
f (x ) = −x 3 + 2x + 1 trong hai trư ng h p:

A = {−1, 0,1} (tËp hîp A chØ gåm 3 ®iÓm)

A = R ( A là t p h p các s th c)
Trong trư ng h p th nh t mi n giá tr c a hàm cũng ch g m 3 ñi m:
y1 = f (−1) = 0; y2 = f (0) = 1; y 3 = f (1) = 2 . Do ñó ñ th c a hàm s f ch có 3
ñi m.
Trong trư ng h p th hai, mi n giá tr c a hàm là R , ñ th c a hàm s là m t
ñư ng cong liên t c (ñó là ñư ng parabol b c 3 – hình 8).
y y

2 2


1 1

x x
-1 1 -1 1



Hình 8

1.3. HÀM S NGƯ C VÀ ð TH HÀM S NGƯ C
Xét hàm s f : A → B , t c là v i m i x ∈ A tương ng v i m t y duy
nh t thu c B . N u f là song ánh, t c là v i m i y ∈ B có tương ng duy nh t
m t x ∈ A , thì f s có m t ánh x ngư c là f −1 : B → A . Khi ñó ta nói f −1 là
hàm s ngư c c a hàm f . V y f : A → B ⇔ f −1 : B → A
Khi ñó trên m t ph ng to ñ Oxy , n u ñi m M có t a ñ (x,y) v i
y = f (x ) thu c ñ th hàm thu n f thì ñi m M’ có t a ñ (y,x) s thu c ñ th
hàm s ngư c f −1 . N u các ñơn v ch n trên các tr c là như nhau thì các ñi m
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 95 Giáo trình toán cao c p 1
M và M’ s ñ i x ng v i nhau qua ñư ng phân giác y = x .
ð th c a hàm f và hàm ngư c f −1 là ñ i x ng nhau qua ñư ng th ng
y =x .
Chú ý: khi vi t hàm ngư c c a hàm y = f (x ) dư i d ng x = f −1(y) thì y là bi n
s ñ c l p. ð thu n ti n cho vi c trình bày trên cùng m t h tr c to ñ ta luôn
coi bi n x là bi n ñ c l p ( ng v i tr c hoành) còn bi n y là bi n ph thu c
( ng v i tr c tung). Khi ñó ta s ký hi u hàm ngư c c a hàm y = f (x ) là hàm
y = f −1(x ) .

Ví d : hàm y = 2x + 1 có hàm ngư c là x = (y − 1)/ 2 , nhưng ta ký hi u l i
là y = (x − 1)/ 2 . Ta vi t:
f : R → R, f (x ) = 2x + 1

f −1 : R → R, f −1(x ) = x − 1
2
y y=f -1(x)
4
3
2 y=f(x)
1
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4


1.4. CÁC HÀM SƠ C P
1.4.1. Hàm ña th c
Hàm f : R → R xác ñ nh b i f (x ) = a 0x n + a1x n −1 + ... + an , v i n là m t
s nguyên dương, a 0,..., an là các h ng s th c, ñư c g i là m t hàm ña th c.
Hàm ña th c xác ñ nh v i m i s th c x và l y giá tr th c.
Sau ñây là d ng ñ th c a m t s hàm ña th c:




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 96 Giáo trình toán cao c p 1
9 y
8
7
6
5
4
3
2
1 x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-3
-4
y=x -5
-6 y=x 2-4x-3
-7
y=x 3 -x 2 -4x+5 -8
-9

1.4.2. Hàm phân th c h u t
P(x )
Hàm f : R → R xác ñ nh b i f (x ) = , víi P(x ) v Q(x ) là các hàm ña
Q(x )
th c, ñư c g i là hàm phân th c h u t .
N u N 0 là t p các không ñi m c a Q(x), t c là N 0 = {x ∈ R : Q(x ) = 0}
thì hàm phân th c h u t f (x ) có mi n xác ñ nh là t p h p R \ N 0 .
Trong chương trình trung h c ta ñã xét ñ th c a các hàm phân th c h u
y = ax + b ; y = ax px bxq+ c
+
2
t : y =a;
x cx + d +

ð th c a các hàm phân th c h u t là ñư ng hypebol.
1.4.3. Hàm s mũ
Hàm s mũ cơ s a v i a > 0 v a ≠ 0 là hàm f : R → R + xác ñ nh b i
f (x ) = a x . Hàm s mũ xác ñ nh v i m i s th c x và ch l y giá tr riêng.

N u cơ s a > 1 thì hàm mũ tăng, nghĩa là: v i x 1 < x 2 ta cã a x1 < a x2 .
N u cơ s a < 1 thì hàm mũ tăng, nghĩa là: v i x 1 < x 2 ta cã a x1 > a x2 .
N u cơ s a = e (e là cơ s vô t và có giá tr g n ñúng là 2,71828) thì hàm mũ
cơ s e ñư c g i là hàm exponent, ký hi u là exp(x ). VËy exp(x ) = e x .




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 97 Giáo trình toán cao c p 1
y y=ax a1 8 8
6 6
4 y=logax 4
2 2
x x
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-2 -2
-4 -4 y=loga x
-6 -6
-8 -8


Hình 10. ð th hàm mũ y = a x v h m y = loga x
Trong vi c nghiên c u s phát tri n c a m t qu n th sinh v t khi th i
gian tăng theo c p s c ng mà s lư ng qu n th tăng theo c p s nhân, t c là
th i ñi m ban ñ u (lúc t = 0 ) s lư ng qu n th là m 0 , lúc t = 1 s lư ng qu n
th là m 0q ( q là m t h ng s nào ñó, công b i c a c p s nhân), lúc t = 2 thì s
lư ng là m 0q 2 ,…, lúc t thì s lư ng qu n th là m 0q t . ð t q = e α, α là m t
h ng s nào ñó thì s lư ng qu n th m th i ñi m t s ñư c xác ñ nh nh
hàm mũ:
m(t) = m 0e αt = m 0 exp(αt )

M t hi n tư ng phát tri n như trên ñư c g i là phát tri n theo lu t mũ. Ta
thư ng g p hi n tư ng ñó khi xét các qu n th ñ c l p và nh ng ñi u ki n h t
s c r ng rãi (không b h n ch b i ngu n th c ăn, v ñ a lý cư trú,…).
1.4.4. Hàm logarit
Nhìn trên ñ th hàm mũ ta th y: v i m i s th c x có tương ng v i m t
s th c dương y duy nh t và ngư c l i v i m i s th c y có tương ng v i m t
s th c x duy nh t. ði u ñó có nghĩa là hàm mũ là song ánh, do ñó nó có hàm
ngư c.
Ta g i hàm ngư c c a hàm mũ là hàm logarit cơ s a , ký hi u là loga x ,
hàm này xác ñ nh trên t p các s th c dương và l y m i giá tr th c.
f : R + → R, f (x ) = loga x

Như v y các bi u th c sau là tương ñương:
y = loga x ⇔ x = a y, x ∈ R +, y ∈ R

Logarit cơ s 10 ñư c g i là logarit th p phân, ký hi u là lg x = log10 x .

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 98 Giáo trình toán cao c p 1
Logarit v i cơ s e ñư c g i là logarit nêpe hay logarit t nhiên, nó ñư c ký
hi u là: ln x = loge x

Dùng các tính ch t c a logarit ta có công th c ñ i cơ s trong logarit sau:
loga x
logb x =
loga b

Ch ng h n mu n chuy n t logarit th p phân sang logarit nêpe ta dùng công
th c:
lg x
ln x = , víi lg e ≃ 0, 4343 hay 1 ≃ 2, 3026
lg e lg e

Ta ñã bi t logarit có r t nhi u ng d ng. Trong vi c tính toán, khi ta
chuy n các s sang logarit c a chúng thì phép tính nhân ñư c thay th b ng
phép tính c ng, phép tính chia ñư c thay b ng phép tính tr , nh v y rút ng n
ñư c th i gian tính toán.
Khi v ñ th hàm s ngư i ta thư ng dùng gi y k ô vuông. Gi y k ô
bán logarit là lo i gi y k ô mà trên ñó thang dùng trên tr c Ox (tr c hoành) là
thang ñơn v ñ dài thông thư ng, còn thang tr c tung Oy ñư c ghi theo logarit
c a ñơn v ñ dài, ch ng h n ch ghi s 2 ta ph i hi u ñó là lg2 . Khi bi u di n
ñ th hàm mũ y = e αx ta bi n ñ i nó thành lg y = (α lg e)x và dùng gi y k ô bán
logarit thì ta s ñư c ñ th là m t ñư ng th ng. Như v y ñ ki m tra xem gi a
hai ñ i lư ng bi n thiên x và y có s ph thu c theo quy lu t mũ không ta bi u
di n các ñi m (x, lg y) trên gi y k ô bán logarit, n u các ñi m nh n ñư c x p x
th ng hàng thì ta có th ch p nh n quy lu t mũ gi a x và y .
1.4.5. Hàm lu th a
Hàm f : R → R ñư c xác ñ nh b i f (x ) = x α , víi α là h ng s th c, ñư c
g i là hàm lu th a tuỳ thu c vào s th c α .
V i α = n , n là s nguyên dương, thì hàm y = x n là hàm lu th a
nguyên và xác ñ nh trên R .
V i α = −n , n là s nguyên dương, thì hàm y = x −n là hàm lu th a
th p phân và nó xác ñ nh trên R \ {0} .

V i α = 1/ n , n là s nguyên dương, thì hàm y = x 1 / n là hàm căn th c,
nó xác ñ nh trên R + n u n ch n và trên t p R n u n l .



----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 99 Giáo trình toán cao c p 1
y
k=3 k=2
8
k=1
6

4
k=1/2
k=1/3
2

k=-1 x
2 4 6 8

Hình 12. Hàm lu th a y = x k v i giá tr k khác nhau.

Chú ý: Khi nghiên c u s ph thu c gi a hai ñ i lư ng bi n thiên x và y , n u
gi a chúng có h th c y = bx k thì b ng phép bi n ñ i logarit ta ñư c:
lg y = lg b + k lg x

n u ñ t Y = lg y, X = lg x, B = lg b thì ta có:
Y = kX + B
ñây l i là m t ñư ng th ng trong h to ñ n u c hai tr c có thang logarit.
1.4.6. Các hàm lư ng giác
Trong chương trình trung h c ta ñã ñ nh nghĩa các hàm lư ng giác.
Các hàm y = sin x, y = cos x xác ñ nh trên t p s th c R và l y giá tr trong
[−1,1] .

Hàm y = tg x xác ñ nh v i m i giá tr x ≠ (2k + 1)π / 2 .

Hàm y = cotg x xác ñ nh v i m i giá tr x ≠ kπ , chúng l y các giá tr th c.
Các hàm y = sin x, y = cos x là các hàm tu n hoàn v i chu kỳ 2π , nghĩa là:
sin(2k π + x ) = sin x, cos(2k π + x ) = cos x, ∀k ∈ Z, ∀x

Các hàm y = tg x , y = cotg x là hàm tu n hoàn v i chu kỳ π .
tg(x + k π) = tg x, cotg(x + k π) = cotg x




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 100 Giáo trình toán cao c p 1
y y

1 1

x x
-6 -4 -2 2 4 6 -6 -4 -2 2 4 6

-1 -1
y=sinx y=cosx


y y

1 1

x x
-π -π π π -π -π π π
2 2 2 2
-1 -1
y=cotgx
y=tgx

Hình 13. ð th các hàm lư ng giác.

1.4.7. Các hàm lư ng giác ngư c
Hàm y = sin x xét trên R không là ñơn ánh (do nó tu n hoàn), do ñó nó
không là song ánh. Tuy nhiên, n u ta h n ch mi n xác ñ nh c a nó trên kho ng
[− π , π ] thì nó là song ánh, nó có hàm ngư c là f −1 , ta g i hàm ngư c c a nó là
2 2
hàm arcsin.
f −1 : [−1, 1] → [− π , π ], f −1(x ) = arcsin x
2 2
như v y ta có:
y = arcsin x ⇔ x = sin y
−1 ≤ x ≤ 1; − π ≤ y ≤ π
2 2
Tương t , hàm f : [0, π] → [−1, 1], f (x ) = cos x là song ánh, hàm ngư c c a nó
là: f −1 : [−1,1] → [0, π], f −1(x ) = arccos x

y = arccos x ⇔ x = cos y
−1 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ π

Hàm f : (− π , π) → R, f (x ) = tg x cũng là song ánh, nó có hàm ngư c là:
2 2
f −1 : R → (− π , π ), f −1(x ) = arctg x
2 2


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 101 Giáo trình toán cao c p 1
Hàm song ánh f : (0, π) → R, f (x ) = cotg x có ánh x ngư c là:

f : R → (0, π), f −1(x ) = arccotg x

V y ta có:
y = arctg x ⇔ x = tg y y = arc cotg x ⇔ x = cotg y
−∞ < x < +∞, − π < y < π −∞ < x < +∞, 0 < y < π
2 2
ð th c a các hàm lư ng giác ngư c ñư c v b ng cách l y ñ i x ng qua
ñư ng phân giác y = x ñ th các hàm lư ng giác tương ng thu c mi n xác
ñ nh h n ch c a chúng.
Các hàm s lu th a, hàm mũ, hàm logarit, các hàm lư ng giác và các
hàm ngư c c a chúng ñư c g i là các hàm sơ c p cơ b n. Hàm s ñư c t o t
các hàm s sơ c p cơ b n nh các phép tính ñ i s và phép h p hàm ñư c g i là
hàm s sơ c p.
Ví d : các hàm ña th c, các hàm h u t là các hàm sơ c p;
A sin(αx + β), eax sin x, e x cos(ax + b),... cũng là các hàm sơ c p.
2 −x




1.5. HÀM CHO B NG THAM S
Khi nghiên c u s ph thu c hàm s gi a hai ñ i lư ng x và y ta cũng
hay g p trư ng h p c x và y ñ u ph thu c vào m t bi n th ba t .
x = ϕ(t ), y = ψ(t ) (*)

Khi ñó v i m i t ta xác ñ nh ñư c m t ñi m (x,y) thu c m t ph ng, khi t
thay ñ i (trong mi n xác ñ nh c a các hàm ϕ, ψ ) thì ñi m (x,y) v ch nên m t
ñư ng L nào ñó. C p phương trình (*) ñư c g i là phương trình tham s c a
ñư ng L.
Ví d : C p phương trình x = a cos t, y = b sin t, 0 ≤ t ≤ 2π bi u di n ñư ng elip,
vì khi kh tham s t ta ñư c:
x 2 + y 2 = cos2 t + sin2 t = 1
a 2 b2
Bây gi ta xét xem c p phương trình (*) khi nào bi u di n hàm y = f (x ) .

Gi s các hàm ϕ, ψ xác ñ nh trong mi n G . Khi ñó mi n xác ñ nh c a
hàm f (x ) là t p h p m i giá tr c a hàm x = ϕ(t), t ∈ G, tøc l D = ϕ(G ) . N u
hàm y là song ánh thì v i m i x ∈ D ta tìm ñư c duy nh t m t t ∈ G,
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 102 Giáo trình toán cao c p 1
t = ϕ−1(x ) , và v i t ñó ta xác ñ nh ñư c m t y duy nh t theo hàm y = ψ(t ) .

Như v y, n u hàm ϕ, ψ xác ñ nh trong mi n G và ϕ là song ánh trên G
thì: x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ G bi u di n m t hàm s . Ta g i hàm s ñó cho b ng
tham s .
Phương trình ñư ng elip nói trên x = a cos t, y = b sin t bi u di n hai hàm:
V i 0 ≤ t ≤ π, h m x = a cos t là m t song ánh. Ta có hàm:
b
y = a a2 − x 2

V i π ≤ t ≤ 2π ta cã h m: b
y = −a a2 − x 2



§2. GI I H N C A DÃY S
2.1. ð NH NGHĨA DÃY S
M t hàm f : N → R xác ñ nh trong t p h p các s t nhiên N ñư c g i
là m t dãy s .
Ta ñ t u1 = f (1), u2 = f (2),..., un = f (n),... sè un ñư c g i là s h ng t ng
quát c a dãy s . Ta ký hi u dãy s là {un } . Có th xác ñ nh dãy s b ng cách:

a) Cho công th c t ng quát: un = f (n)

Ví d : Cho dãy s un = a.q n −1 , v i a và q là các h ng s . ðó chính là m t dãy
s nhân a, aq, aq 2,..., aq n,...
b) Cho công th c truy ch ng, ch ng h n: u1 = a, un = f (un −1)

Ví d 1: Cho dãy s u1 = 2, un = 2 + un −1 . ðó là dãy

2, 2 + 2, 2 + 2 + 2,...

Ví d 2: Cho dãy s Fibonasi u1 = u2 = 1, un = un −1 + un −2 . ðó là dãy 1, 1, 2, 3,
5, 8, 13,…
2.2. GI I H N C A DÃY S
Ví d m ñ u: Xét s th c a = 1/ 3 . Ta có th bi u di n g n ñúng thi u s a
b ng dãy s : u1 = 0, 3; u2 = 0, 33;...; un = 0, 3...3 ( n s 3), ho c bi u di n g n
ñúng th a b ng dãy s v1 = 0, 4; v2 = 0, 34;....; vn = 0, 3...34 ( n − 1 s 3).

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 103 Giáo trình toán cao c p 1
Ta nh n xét r ng hi u un − a hoÆc vn − a v tr tuy t ñ i không vư t quá
10−n . B ng cách tăng n ta có th làm cho hi u ñó nh ñi bao nhiêu cũng ñư c.
ði u ñó có nghĩa là n u ε là m t s dương cho trư c, bé tùy ý, thì ta có th tìm
ñư c s nguyên N sao cho v i m i n > N ta luôn có | un − a |< ε . Khi ñó s a
ñư c g i là gi i h n c a dãy s {un } .

ð nh nghĩa: dãy s {un } ñư c g i là có gi i h n là a n u v i m i ε > 0 cho
trư c, ta có th tìm ñư c m t s N > 0 sao cho v i m i n > N ta luôn có:
| un − a |< ε

Ta ký hi u: lim un = a
n →+∞
hay un → a khi n → +∞

N u dãy {un } có gi i h n là a thì ta cũng nói dãy {un } h i t t i a .
+
Ví d : xét dãy s cho b i un = n n 1

+
Ta th y r ng dãy s ñó h i t t i 1 vì | un − 1 |= n n 1 − 1 = n .
1


V i m i ε > 0 cho trư c, mu n có | un − 1 |< ε thì ch vi c l y n > 1 là ñư c.
ε
Như v y ta ch n N là s nguyên l n nh t có giá tr nh hơn ho c b ng 1 .
ε
Ch ng h n n u cho ε = 0, 003 th× 1 = 333, 3 . Ta ch vi c l y N =333 thì v i m i
ε
n > 333 (t c là k t s h ng th 334 tr ñi) ta có | un − 1 |< 0, 003 .

2.3. CÁC PHÉP TÍNH V DÃY H I T
ð nh lý: n u dãy {un } h i t t i a , dãy {vn } h i t t i b thì

1) Dãy t ng {un + vn } h i t t i a + b

2) Dãy tích {un.vn } h i t t i a.b

3) Dãy ngh ch ñ o {1/ vn } h i t t i 1/b v i ñi u ki n b ≠ 0

4) Dãy thương {un / vn } h i t t i a / b v i ñi u ki n b ≠ 0
Ta s ch ng minh cho tính ch t (1), các tính ch t còn l i ñư c ch ng minh
tương t .
Vì un → a nên theo ñ nh nghĩa c a gi i h n, cho trư c s ε / 2 ta tìm
ñư c s N 1 sao cho v i m i n > N 1 ta có | un − a |< ε / 2. V× vn → b nên v i s
ε / 2 nói trên ta tìm ñư c s N 2 sao cho v i m i n > N 2 ta có | vn − a |< ε / 2 .

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 104 Giáo trình toán cao c p 1
G i N = max(N 1, N 2) thì v i m i n > N ta có:

| un − a |< ε / 2 và | vn − a |< ε / 2

Khi ñó v i m i s ε > 0 cho trư c ta ñã tìm ñư c s N sao cho v i m i
n > N ta có:
| (un + vn ) − (a + b) |=| (un − a) + (vn − b) |≤| un − a | + | vn − b) |≤ ε / 2 + ε / 2 = ε

ði u ñó ch ng t (un + vn ) → (a + b) .

2.4. HAI TIÊU CHU N ð ð DÃY H I T
Không ph i dãy s nào cũng h i t , ch ng h n dãy un = (−1)n mà các giá
tr c a nó l n lư t là -1 và 1 không ti n t i m t gi i h n nào c .
Dư i ñây ta s phát bi u hai tiêu chu n mà nh ñó ta có th bi t ñư c m t
dãy ñã cho là h i t .
Tiêu chu n 1: Cho ba dãy {un },{vn } v {wn } sao cho

vn ≤ u n ≤ w n (1)
Khi ñó n u các dãy {vn } v {wn } cùng h i t t i a thì dãy {un } cũng h i t t i
a.
Ch ng minh:
Do vn → a nên v i ε > 0 ta tìm ñư c N 1 ñ ∀n > N 1 ta cã | vn − a |< ε
(2)
Do wn → a nên v i ε > 0 ta tìm ñư c N 2 ñ ∀n > N 2 ta cã | wn − a |< ε (3)

G i N = max(N 1, N 2) thì khi n > N các b t ñ ng th c (2) và (3) cùng x y ra.
K t h p v i (1) ta có: −ε < vn − a ≤ un − a ≤ wn − a < ε
Như v y, v i ε > 0 cho trư c ta tìm ñư c s N sao cho v i m i n > N ta có:
| un − a |< ε

ði u ñó ch ng t dãy {un } h i t t i a . ■
Trư c khi phát bi u tiêu chu n th hai, ta xét thêm m t vài khái ni m:
Dãy {un } ñư c g i là ñơn ñi u tăng n u ∀n, m v n > m ta lu«n cã un > um .

Dãy {un } ñư c g i là ñơn ñi u gi m n u ∀n, m v n > m ta lu«n cã un < um .


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 105 Giáo trình toán cao c p 1
1
Ví d : dãy cho b i un = n n 1 là dãy tăng, dãy cho b i vn = n là dãy gi m.
+
Dãy {un } ñư c g i là b ch n trên n u m i s h ng trong dãy, k t m t s
h ng nào ñó tr ñi, không vư t quá m t h ng s A nào ñó.
Dãy {un } ñư c g i là b ch n dư i n u m i s h ng trong dãy, k t m t s
h ng nào ñó tr ñi, không nh hơn m t h ng s B nào ñó.
Tiêu chu n 2: m i dãy tăng và b ch n trên thì h i t . M i dãy gi m và b ch n
dư i thì h i t .
Ta không ch ng minh tiêu chu n này.

Ví d : xét dãy s cho b i un = (1 + n )
n
1

Ta s ch ng minh r ng dãy {un } tăng và b ch n trên.
th t v y, ta khai tri n un theo nh th c Newton:
1 n(n − 1) . 1 + n(n − 1)(n − 2) . 1 + ... + n(n − 1)...1 . 1
( )
n
1
un = 1 + n = 1 + n .n +
1! 2! n2 3! n3 n! nn
( ) ( )( ) ( )(
= 2 + 1 1 − n + 1 1 − n 1 − n + ... + 1 1 − n 1 − n ... 1 − n n 1
2!
1
3!
1 2
n!
1 2 −
) ( )
Thay n b i n + 1 thì:

2! (
un = 2 + 1 1 − 1 + ... +
n +1
1
)
(n + 1)!
1− 1
n +1 (
1 − 2 ... 1 − n
n +1 n +1 )( ) ( )
1 1
Do: 1 − k < 1 − k + 1 v i m i k = 1, 2,... ta suy ra un < un +1 , t c là dãy {un }
tăng.

M t khác: 1 − 1 < 1, ∀k nªn un < 2 + 1 + 1 + ... + 1
k 2! 3! n!

Hơn n a: 1 = 1 < 1 = 1 , ∀k = 2, 3,...
k ! 2.3...k 2.2...2 2k −1

Do ñó: un < 2 + 1 + 12 + ... + n1 1 < 2 + 1 + 12 + ... + n1 1 + ...
2 2 2 − 2 2 2 −
1/ 2
T ng 2 + 2 + 12 + ... + n1−1 + ... =
1 = 1 vì là t ng c a m t c p s nhân
2 2 1 − 1/ 2
lùi vô h n.
V y un < 3 .
Tóm l i dãy {un } tăng và b ch n trên b i 3 nên theo tiêu chu n 2 thì nó h i t .


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 106 Giáo trình toán cao c p 1
ð nh nghĩa: Gi i h n c a dãy un = (1 + n ) ñư c g i là s e .
n
1


( )
n
1
lim 1 + n =e
n → +∞


Ngư i ta ch ng minh ñư c r ng s e là s vô t . Giá tr g n ñúng c a nó v i 5
ch s th p phân là 2,71828. S e ñư c dùng làm cơ s cho m t h logarit
(logarit nêpe). R t nhi u công th c toán h c cũng như k thu t ñư c bi u di n
nh s e .
2.5. GI I H N VÔ CÙNG C A DÃY
Khi xét dãy {un } h i t t i a, a là h u h n ( −∞ < a < +∞ ). Có nh ng
dãy mà k t m t s h ng nào ñó tr ñi, m i s h ng trong dãy ñ u l n hơn ho c
nh hơn m t s b t kỳ cho trư c có tr tuy t ñ i l n tùy ý. Khi ñó ta nói là dãy
có gi i h n vô cùng.
ð nh nghĩa:
Dãy {un } có gi i h n +∞ n u v i m i s M > 0 cho trư c, ta có th tìm
ñư c s N > 0 sao cho v i m i n > N ta có un > M . Ta viÕt un → +∞ .
Dãy {un } có gi i h n −∞ n u v i m i s M > 0 cho trư c, ta có th tìm
ñư c s N > 0 sao cho v i m i n > N ta có un < −M . Ta viÕt un → −∞ .


Ví d : dãy s cho b i un = n 2 có gi i h n là +∞ .
Ta ch ng minh ñư c r ng:
N u un → +∞, vn → +∞ th× un + vn → +∞; un .vn → +∞

N u un → −∞, vn → −∞ th× un + vn → −∞; un.vn → +∞

N u un → +∞, vn → −∞ th× un.vn → −∞
N u un → a > 0, vn → +∞ th× un.vn → +∞

Chú ý: N u un → +∞, vn → +∞ th× hiÖu (un − vn ), th−¬ng un ñư c g i là các
vn
d ng vô ñ nh. N u un → 0, vn → ∞ th× un.vn cũng là d ng vô ñ nh.
Trong vi c tính gi i h n, khi g p các d ng vô ñ nh ta ph i tìm cách kh
chúng ñi (xem §3).


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 107 Giáo trình toán cao c p 1
§3. GI I H N C A HÀM S
3.1. ð NH NGHĨA GI I H N KHI x → a
2(x 2 − 1)
Ví d : xét hàm s f (x ) = x − 1

Hàm s không xác ñ nh t i x = 1 . Tuy nhiên v i các giá tr c a x khá g n
1 ta th y các giá tr c a f (x ) tương ng khác 4 r t ít và ta có th tìm ñư c nh ng
kho ng ñ nh ch a 1 sao cho v i m i x thu c kho ng ñó thì hi u | f (x ) − 4 |
nh bao nhiêu cũng ñư c. Khi ñó ta nói hàm f (x ) có gi i h n là 4 khi x d n t i
1.
ð nh nghĩa: hàm f (x ) có gi i h n là h khi x d n t i a n u v i m i ε > 0 sao
cho
∃δ = δ(ε) > 0 ®Ó ∀x : 0 0 b t kỳ (ch ng h n ε = 0, 001 ) ta c n xác ñ nh s
δ > 0 sao cho khi:
2(x 2 − 1)
0 0, ∃δ = ε / 2, ∀x : 0 0 ta tìm ñư c s M >0 sao cho
∀x < −M , f (x ) − h < ε .

3.3. LƯ NG VÔ CÙNG BÉ (VCB)
N u f (x ) có gi i h n b ng 0 khi x → a thì hàm f (x ) ñư c g i là lư ng vô
cùng bé lân c n c a a .
Ví d : khi x → 0 th× sin x → 0 (do ta luôn có | sin x | < | x | ). V y sin x là ñ i
lư ng vô cùng bé (VCB) lân c n c a 0.
So sánh các VCB: gi s f (x ), g(x ) là các VCB khi x → a .
f (x )
N u lim = 0 thì ta nói r ng f là VCB c p cao hơn g .
x →a g(x )

f (x )
N u lim = k ≠ 0 thì ta nói r ng f và g là VCB cùng c p.
x →a g(x )

ñ c bi t, n u k = 1 thì f và g là hai VCB tương ñương, ta ký hi u f ∼ g .

Ví d : chương trình Trung h c ta ñã bi t lim sin x = 1 . Như v y trong lân c n
x →0 x
c a 0 thì ta có: sin x ∼ x
2 x 2 x

Ta có: lim 1 − cos x = lim 2 sin 2 = lim 2 sin 2 . sin x = 0
x →0 x x →0 x x →0 x 2
V y: 1-cosx là VCB c p cao hơn x .
2 x x x
lim 1 − cos x = lim 2 sin 2 = lim 2 sin 2 . sin 2 = 1
x →0 x2 x →0 x2 x →0 x x 2

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 109 Giáo trình toán cao c p 1
V y 1 − cos x là VCB cùng c p v i x 2 , ta cũng nói 1 − cos x là VCB c p hai ñ i
v i x.
f
Chú ý: t s c a hai VCB g (x → a hoÆc ∞) là d ng vô ñ nh 0 . ð nh lý sau cho
0
ta m t phương pháp ñ kh d ng vô ñ nh.
ð nh lý: gi s f1(x ), f2(x ), g1(x ), g 2(x ) là các VCB (khi x → a ho c ∞ ). Khi ñó
f1(x ) f (x )
n u f1(x ) ∼ f2(x ), g1(x ) ∼ g2(x ) thì: lim = lim 2 .
x → a g (x ) x → a g (x )
1 2


Ch ng minh: Ta có th vi t
f1 f1 f2 g 2
g1 = f2 . g 2 . g1

f f
Do lim f1 = 1, lim g2 = 1 nên ta có: lim g1 = lim g2 .
f
g1
2 1 2


Ví d :

1) Tìm lim sin 5x
x → 0 sin 3x


Khi x → 0 th× sin 5x ∼ 5x, sin 3x ∼ 3x . Theo ñ nh lý trên ta có:

lim sin 5x = lim 5x = 5
x → 0 sin 3x x → 0 3x 3

2) Tìm x → π sin 2x
lim
sin
5x

Khi x → π th× sin 5x → 0, tøc l sin 5x là m t VCB. Tuy nhiên, ta không th
vi t sin 5x ∼ 5x vì 5x → 5π không ph i là m t VCB. ð gi i quy t v n ñ này
ta làm như sau:
ð t t = π − x. Khi x → π th× t → 0 , sin 5x = sin(5π − 5t ) = sin(π − 5t ) = sin 5t
và sin 2x = sin(2π − 2t) = sin(−2t) = − sin 2t . Khi ñó n u t → 0 th× sin 5t ∼ 5t
và sin 2t ∼ 2t . V y:

lim sin 5x = lim sin 5t = lim 5t = − 5
t → 0 − sin 2t t → 0 −2t
x →π sin 2x 2
M t s VCB tương ñương thư ng g p:
Khi x → 0 thì:

sin x ∼ x; tg x ~ x; 1 − cos x ∼ 1 x 2
2
ln(1 + x ) ~ x; e x − 1 ~ x; 1 + x − 1 ~ 1 x
2
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 110 Giáo trình toán cao c p 1
ln(1 + x ) x

Ta ch ng minh: lim
x →0 x = 1 v lim e x 1 = 1
x →0


m c 2.4 ta ñã ñ nh nghĩa: nlim (1 + n ) = e
n
1
→∞


V i s th c z b t kỳ bao gi ta cũng tìm ñư c s n sao cho: n ≤ z ≤ n + 1
T ñó:

( ) ( ) ( )
n +1
1 ≤ 1 ≤ 1 ⇒ 1+ 1 ≤ 1+ 1 ≤ 1+ 1 ⇒ 1+ 1 n ≤ 1+ 1 z ≤ 1+ 1
n +1 z n n +1 z n n +1 z n
V y:

(1 + n + 1) .(1 + n + 1)
n +1 −1
1 1
(1z 1n
) ( 1
≤ 1+ z ≤ 1+ n . 1+ n ) ( )
Khi z → +∞ th× n → +∞ và ta có:

(1 + n + 1)
n +1
(1 + n )
n
1 → e; 1 →e

Còn: (1 + n + 1) → 1; (1 + n ) → 1
−1
1 1

Do ñó theo tiêu chu n 1 c a gi i h n (nhưng áp d ng ñ i v i hàm) ta có:

( )
z
1
lim 1 + z = e , v i z là m t s th c.
z →∞

1
ð t x = 1/ z th× khi z → +∞, x → 0 . V y: lim (1 + x )x = e
x →0


ln(1 + x ) 1 1
Ta có: lim
x →0 x = lim ln (1 + x )x = ln lim (1 + x )x = ln e = 1
x →0 x →0


ð t y = e x − 1 th× x = ln(1 + y), khi x → 0 th× y → 0 . Khi ñó:
x

lim e x 1 = lim
y
=1
x →0 y → 0 ln(1 + y)


3.4. LƯ NG VÔ CÙNG L N (VCL)
Hàm f có gi i h n +∞ khi x → a n u v i m i M > 0 ta tìm ñư c s
δ > 0 sao cho khi 0 < x − a < δ thì f (x ) > M .

Hàm f có gi i h n −∞ khi x → a n u v i m i M > 0 ta tìm ñư c s
δ > 0 sao cho khi 0 < x − a < δ thì f (x ) < −M .

B n ñ c hãy t ñ nh nghĩa gi i h n vô cùng ( +∞ hoÆc − ∞ ) c a hàm f
khi x → +∞ hoÆc x → −∞ .

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 111 Giáo trình toán cao c p 1
N u hàm f có gi i h n là vô cùng thì nó ñư c g i là lư ng vô cùng l n.
Ta d dàng ch ng minh ñư c là: n u f (x ) là VCB khác 0 thì 1/ f (x ) là
m t VCL và ngư c l i, n u f (x ) là VCL khác 0 thì 1/ f (x ) là VCB.

N u f , g là các VCL và t s f / g cũng là VCL thì f là VCL có c p cao
hơn g . Vì v y, trong vi c tính gi i h n c a t s f / g (d ng vô ñ nh ∞ / ∞ ) ta
ch gi l i t s và m u s các VCL có c p cao nh t và ng t b các VCL c p
th p hơn ñi.

lim 2x 3+ 5x − 3x = x lim 2x 3 = 2
3 2 3
Ví d : 1
x →+∞ 4x − 7x + 6 →+∞ 4x




§4. HÀM S LIÊN T C
Trong §3 ta ñã xét gi i h n c a hàm s f (x ) khi x → a mà không ñòi h i
hàm f ph i xác ñ nh t i a . Trong m c này ta s xét m t l p hàm ñ c bi t, hay
g p trong th c t : hàm f xác ñ nh t i a , hàm f có gi i h n khi x → a và giá tr
gi i h n ñó b ng giá tr c a hàm t i a . ðó là l p các hàm s liên t c.
4.1. ð NH NGHĨA
Hàm s y = f (x ) ñư c g i là liên t c t i x = a n u: nó xác ñ nh t i a và
lim f (x ) = f (a) .
x →a


Ví d : hàm f (x ) = x 2 liên t c t i m i ñi m x . Th t v y, l y x = a b t kỳ thì
f (a) = a 2 v lim x 2 = a 2 , ñi u này có nghĩa là hàm f liên t c t i a . Nhưng a
x →a

ñư c ch n b t kỳ nên hàm f liên t c t i m i ñi m.
Dùng các ñ nh lý v gi i h n ta ch ng minh ñư c:
ð nh lý 1: n u các hàm f (x ), g(x ) liên t c t i x = a thì các hàm f (x ) + g(x ),
f (x )
k.f (x ) v i k là h ng s , f (x ).g(x ), v i g(a) ≠ 0 cũng liên t c t i a .
g(x )

Bây gi ta xem xét tính liên t c c a hàm h p:
Trư c tiên ta xem l i khái ni m hàm h p. Gi s có hai hàm:
u : A → B, u(x ) = y
f : B → C , f (y) = z


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 112 Giáo trình toán cao c p 1
Như v y ta có hàm h p: f u : A → C , (f u)(x ) = f (u(x ))

ð nh lý 2: n u hàm u liên t c t i x = a , hàm f liên t c t i ñi m u 0 = u(a) thì
hàm h p f u cũng liên t c t i x = a .
Ch ng minh:
Do f liên t c t i u 0 nên v i m i ε > 0 cho trư c, ta tìm ñư c s η > 0
sao cho: | u − u 0 |< η ⇒ | f (u) − f (u 0) |< ε (1)

Do hàm u liên t c t i a nên v i η > 0 tìm ñư c trên ta tìm ñư c δ > 0
sao cho: | x − a |< δ ⇒ | u(x ) − u(a) | = | u − u 0 | < η (2)

K t h p (1) và (2) ta có:
| x − a |< δ ⇒ | u − u 0 | < η ⇒ | f (u) − f (u 0) | < ε

hay: | f [u(x )] − f [u(a)] | < ε

ði u ñó ch ng t lim f [u(x )] = f [u(a)] . T c là hàm h p f u liên t c t i x = a .▄
x →a


Ta th a nh n r ng: các hàm sơ c p cơ b n liên t c t i m i ñi m trong mi n xác
ñ nh c a chúng.
Dùng ñ nh lý 1 và ñ nh lý 2 ta có th phát bi u: các hàm sơ c p ñ u liên t c
trong mi n xác ñ nh c a chúng.
4.2. HÀM LIÊN T C TRONG M T KHO NG KÍN
4.2.1. Liên t c m t phía
Trong ñ nh nghĩa gi i h n, khi ta vi t x → a ta c n hi u là x d n t i a
theo nh ng giá tr nh hơn a ( x d n t i a theo phía trái, ký hi u x → a − 0
ho c x → a − ) và x d n t i a theo nh ng giá tr l n hơn a ( x d n t i a theo
phía ph i, ký hi u x → a + 0 ho c x → a + ).
Gi i h n c a hàm f khi x → a như v y là giói h n hai phía.
Trong nhi u trư ng h p, ta ch c n xét gi i h n c a hàm khi x → a − 0 , ta
có gi i h n trái, ho c khi x → a + 0 , ta có gi i h n ph i.
Ví d : v i hàm f (x ) = x thì khi xét gi i h n c a nó khi x → 0 ta ch có th xét
gi i h n ph i, vì n u xét gi i h n trái thì vô nghĩa (vì hàm x ch xác ñ nh v i
x ≥ 0 ).
Hàm f ñư c g i là liên t c trái t i a n u nó xác ñ nh t i a và
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 113 Giáo trình toán cao c p 1
lim f (x ) = f (a) . Hàm f ñư c g i là liên t c ph i t i a n u nó xác ñ nh t i a và
x →a−

lim f (x ) = f (a) .
x →a +


Hàm f ñư c g i là liên t c t i a n u nó liên t c c phía trái và c phía
ph i t i a .
4.2.2. Hàm liên t c trên kho ng kín [a,b ]

M t hàm f ñư c g i là liên t c trên kho ng kín [a,b ] n u:

Nó liên t c t i m i ñi m x ∈ (a, b) .
Nó liên t c ph i t i a và liên t c trái t i b .
Khi bi u di n ñ th c a m t hàm liên t c trên m t kho ng thì ta ñư c m t
ñư ng cong li n nét (v ñư c b ng m t nét bút).
Ta phát bi u không ch ng minh mà ch minh ho b ng hình h c các tính ch t
quan tr ng c a hàm liên t c trên m t kho ng kín.
Tính ch t 1: n u hàm f liên t c trên kho ng kín [a,b ] thì nó ñ t giá tr nh
nh t m và giá tr l n nh t M ít nh t m t l n trên kho ng [a,b ] .

Nói cách khác, t n t i x 1 ∈ [a, b ] v x 2 ∈ [a, b ] sao cho v i m i x ∈ [a, b ] ta có
m = f (x 1) ≤ f (x ); M = f (x 1) ≥ f (x ) .

Chú ý r ng ñi u ki n kho ng kín là quan tr ng, ch ng h n n u xét hàm
f (x ) = x liên t c trong kho ng m (0,1) thì không tìm ñư c ñi m trong (0,1) ñ
hàm f ñ t giá tr nh nh t cũng như giá tr l n nh t.
Tính ch t 2: n u hàm f liên t c trong kho ng kín [a,b ] thì nó nh n m i giá
tr trong kho ng kín [m, M ] , t c là nh c a ño n [a,b ] qua f là [m, M ] .

Nói cách khác, n u µ là m t giá tr tuỳ ý thu c kho ng kín
[m, M ], m ≤ µ ≤ M thì th nào cũng tìm ñư c ξ ∈ [a, b ] ñ f (ξ) = µ (hình 15).

y
M


X1 x
a X2 ξ b
µ
m


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 114 Giáo trình toán cao c p 1
Hình 15


H qu : n u hàm f liên t c trên kho ng kín [a,b ] , giá tr c a hàm t i a và b
trái d u nhau, t c là f (a).f (b) < 0 , thì phương trình f (x ) = 0 bao gi cũng có
nghi m trong kho ng (a, b) . Hơn n a, n u f ñơn ñi u trong kho ng [a,b ] thì
nghi m ñó là duy nh t.
Ta ch vi c áp d ng tính ch t 2 v i m < 0, M > 0, µ = 0 .
4.3. HÀM S GIÁN ðO N
N u hàm f không liên t c t i x = a thì ñi m x = a là ñi m gián ño n c a
hàm s . Ta cũng nói hàm s gián ño n t i a . Các trư ng h p gián ño n thư ng
g p là:
Hàm f không xác ñ nh t i a và f (x ) → ∞ khi x → a . ði m x = a ñư c
g i là ñi m gián ño n vô cùng.
Ví d : hàm f (x ) = 1/ x có gián ño n vô cùng t i x = 0 .

Hàm f xác ñ nh t i x = a , hàm có các gi i h n trái (h u h n) và gi i h n
ph i t i a nhưng các gi i h n ñó không b ng nhau. Khi ñó ta nói hàm có
gián ño n lo i m t t i ñi m x = a , và t i x = a hàm f có bư c nh y
b ng | f (a + 0) − f (a − 0) | .
−1 khi x < 0

Ví d : hàm f (x ) = 
 có gián ño n lo i m t t i x = 0 . Bư c
1 khi x ≥ 0


nh y t i x = 0 là | f (+0) − f (−0) | = | 1 − (−1) |= 2

y y y
1

x x x

sin x
y=
x



Hình 17
Hàm f không xác ñ nh t i x = a nhưng có gi i h n (hai phía) khi x → a .
N u ta b sung cho hàm f giá tr t i a b ng gi i h n t i a c a nó thì ta

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 115 Giáo trình toán cao c p 1
s thu ñư c m t hàm m i liên t c t i a . Khi ñó ñi m x = a ñư c g i là
ñi m gián ño n kh ñư c.

Ví d : hàm f (x ) = sin x không xác ñ nh t i x = 0 nhưng lim sin x = 1 nên
x x →0 x
sin x khi x ≠ 0


n u ta xét hàm f1(x ) =  x thì hàm này liên t c v i m i x .
1
 khi x = 0






----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 116 Giáo trình toán cao c p 1
BÀI T P
6.1. Tìm mi n xác ñ nh c a hàm s (trên t p s th c) ñư c cho b i:

a) y = x 2 − 3x + 2 + 1 ; b) y = sin x + 16 − x 2;
3 + 2x − x 2

c) y = lg[1 − lg(x 2 − 5x + 6)]; d ) y = arcsin(x − 2); e) y = arccos 1 − 2x
3
6.2. Hàm f xác ñ nh trên R ñư c g i là hàm l n u f (−x ) = −f (x ) ; là hàm ch n
n u f (−x ) = f (x ) . Cho hàm f (x ) = loga (x + x 2 + 1) , hãy ch ng minh nó là hàm
l và tìm hàm ngư c c a nó.
6.3. Ch ng minh các công th c sau:
1
N u x > 0 : arctg x + arctg x ; suy ra h th c tương ng ñ i v i x < 0 .

arcsin a + arcsin b = arcsin(a 1 − b 2 + b 1 − a 2 ) .

6.4. Ngư i ta ñ nh nghĩa các hàm Hypebolic như sau:
1
Hàm sinhypebolic, ký hi u sh x : f : R → R, f (x ) = sh x = 2 (e x − e −x )

1
Hàm coshypebolic, ký hi u ch x : g : R → R, g(x ) = ch x = 2 (e x + e −x )

Ch ng t r ng hàm sh x là hàm là hàm l và hàm ch x là hàm ch n.
Xu t phát t ñ th c a hàm s e x , e −x hãy v ñ thì các hàm sh x , ch x .
Tìm hàm ngư c c a hàm sh x . Ph i h n ch mi n xác ñinh c a hàm ch x
như th nào ñ nó có hàm ngư c? Hãy tìm hàm ngư c ñó.
Ch ng minh các công th c:
ch2 x − sh2 x = 1, ch2 x + sh2 x = ch 2x, 2 sh x. ch x = sh 2x

6.5. Cho dãy s xác ñ nh b i: u1 = 1, un +1 = 2 + un
Ch ng minh r ng v i m i n ta có un < 2 .
Ch ng minh r ng dãy {un } tăng, t ñó hãy tìm gi i h n c a dãy.
6.6. Tính các gi i h n:

1) lim x2 − 2 ; 2) lim 1 − x ; 3) lim 2x + 5x + 2
3 2

x →2 x − 4 x →1 1 − x x →−2 2x + 7x 2 + 6x
3



4) lim sin 2x cotg x; 5) lim cos 2x ; 6) lim 2− x
x →0 x→π
4
sin x − cos x x →4 3 − 2x + 1
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 117 Giáo trình toán cao c p 1
6.7. Tính các gi i h n:

1) lim 1 − cos x ; 2) lim 1 − 1 − x ; 3) xlim1 x3 +1
x → 0 sin x 2 x →0 sin 4x →− arcsin(x + 1)

4) lim e x − 1 ; 5) lim e − e ; 6) lim ln x − 1 ; 7) lim x 1 − 2x ; 8) x lim ( x ) ;
−2x x x
x →0 x→4π x −1 x →e x − e x →0 →+∞ x + 1



9) x lim 1 + 2x + 1 ; 10) lim
2 tg 2x
; 11) x lim x arccotg x; 12) x lim (x − x 2 + 5x )
→−∞ x x → 4 cotg(π − x )
π →+∞ →+∞
4
x + 1 khi x ≤ 1

6.8. Cho hàm s xác ñ nh b i: f (x ) =   . Ph i ch n a như th
3 − ax 2 khi x > 1


nào ñ hàm f liên t c v i m i x ? Khi ñó hãy v ñ th c a hàm f .
6.9. Tìm các ñi m gián ño n và v ñ th c a hàm s cho b i:
2 | x −1 |
f (x ) =
x2 −x3
6.10. Dùng tính ch t c a hàm liên t c ñ ch ng minh r ng:
Phương trình x 5 − 3x = 1 có nghi m trong kho ng (1, 2).
Phương trình x.2x = 1 có nghi m dương nh hơn 1.
1
6.11. Ch ng t r ng hàm f xác ñ nh b i f (x ) = x sin x v i x ≠ 0 , f (0) = 0 liên
t cv im i x.




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 118 Giáo trình toán cao c p 1
CHƯƠNG 7
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM S M T BI N S


§1. ð O HÀM C A HÀM S
Có nhi u v n ñ trong th c t d n ñ n vi c tính gi i h n d ng:
f (x ) − f (x 1)
lim
x → x1 x − x1

Ví d : m t ñi m chuy n ñ ng trên m t ñư ng th ng theo quy lu t xác ñ nh b i
hàm s = f (t) , trong ñó s ch v trí c a ñi m trên ñư ng ng v i th i ñi m t
(tính theo m t g c v trí và g c th i gian nào ñó). Như v y trong kho ng th i
gian t t1 ñ n t2 ñi m chuy n ñ ng ñư c m t quãng ñư ng f (t2) − f (t1) . T c ñ
trung bình c a ñi m trong kho ng th i gian [t1, t2 ] là:
f (t2) − f (t1)
t2 − t1

Nhưng n u mu n tính t c ñ c a ñi m t i th i ñi m t1 (t c ñ t c th i) thì ta
ph i xét gi i h n:
f (t2) − f (t1)
lim
t2 → t1 t2 − t1

Các gi i h n như trên ñưa ta ñ n khái ni m ñ o hàm.
1.1. ð NH NGHĨA ð O HÀM C A HÀM S
Gi s hàm y = f (x ) là m t hàm s xác ñ nh trong m t kho ng nào ñó
ch a ñi m x 0 . Khi ñó ta g i ñ o hàm c a hàm s y = f (x ) t i ñi m x 0 là gi i
f (x ) − f (x 0)
h n (n u có) c a t s x − x0 khi x → x 0 .

Ta ký hi u ñ o hàm c a hàm s y = f (x ) t i ñi m x 0 là f '(x 0) hay y 'x = x 0 .

Như v y n u hàm y = f (x ) có ñ o hàm t i ñi m x 0 thì:
f (x ) − f (x 0)
f '(x 0) = xlim
→x x − x0
0



Ví d 1: hàm f (x ) = x 2 có ñ o hàm t i x 0 và f '(x 0) = 2x 0 .
2



x2 −x2
Th t v y: lim x − x 0 = xlim(x + x 0) = 2x 0
x → x0 → x0
0


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 119 Giáo trình toán cao c p 1
Ví d 2: hàm f (x ) =| x | không có ñ o hàm t i x = 0 . Th t v y, xét t s :


f (x ) − f (0) | x | 1 nÕu x > 0
= x =
x −1
 nÕu x < 0

khi x → 0+ thì gi i h n c a t s trên b ng 1, còn b ng -1 khi x → 0− . Do ñó
gi i h n trái và gi i h n ph i khác nhau, hay t s ñó không t n t i gi i h n t i
ñi m 0. Như v y hàm không có ñ o hàm t i 0.
1.2. Ý NGHĨA HÌNH H C C A ð O HÀM
1.2.1. Ý nghĩa hình h c
Ngư i ta ñ nh nghĩa ti p tuy n v i m t ñư ng cong t i ñi m M0 là v trí
gi i h n c a cát tuy n MM0 khi M d n t i M0.
H s góc c a cát tuy n MM0 y
f (x ) − f (x 0)
là: tgϕ = x − x0
M
y=f(x)
∆f
Khi ñi m M d n t i ñi m M0, ∆x
M0
n u ñư ng cong có ti p tuy n, thì f(x0)
tg ϕ → tg α là h s góc c a ti p φ α x
x0
tuy n M0T.
T ñó ta có: ñ o hàm hàm s
Hình 18
y = f (x ) t i ñi m x 0 cho ta h s
góc c a ti p tuy n v i ñ th hàm s t i ñi m M0 (hình 18).
tg α = f '(x 0)

1.2.2. Ý nghĩa cơ h c
Gi s m t ñi m chuy n ñ ng trên m t ñư ng v i quy lu t có phương
trình s = f (t) . Khi ñó: ñ o hàm hàm f (t) t i t0 cho ta t c ñ v c a chuy n ñ ng
lúc t0 là v = f '(t0) .

1.2.3. Ý nghĩa t ng quát
Hàm s y = f (x ) cho ta m i liên h gi a hai ñ i lư ng bi n thiên x và y .
Như v y ñ o hàm f '(x 0) cho ta t c ñ bi n thiên c a hàm s t i ñi m x 0 .
Nhi u v n ñ trong v t lý, hoá h c, sinh h c như t c ñ truy n nhi t, m t
ñ phân ph i v t ch t, t c ñ ph n ng, t c ñ phát tri n,… ñ u có liên quan ñ n
khái ni m ñ o hàm.

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 120 Giáo trình toán cao c p 1
1.3. HÀM LIÊN T C VÀ HÀM CÓ ð O HÀM
Hàm f có ñ o hàm t i x 0 thì nó liên t c t i ñó.
Th t v y, ta có:
f (x ) − f (x 0)
lim[ f (x ) − f (x 0)] = xlim
x →x0 →x x − x 0 .(x − x 0)
0



do f có ñ o hàm t i x 0 nên
f (x ) − f (x 0)
f '(x 0) = xlim
→x x − x0 và xlim(x − x 0) = 0
→ x0
0



v y xlim[ f (x ) − f (x 0)] = 0 hay xlim f (x ) = f (x 0)
→x →x
0 0



nghĩa là hàm f liên t c t i x 0 .

Nhưng chú ý r ng ñi u ngư c l i chưa ch c ñúng. Ch ng h n hàm f (x ) =| x |
liên t c t i ñi m 0 nhưng l i không có ñ o hàm t i ñi m ñó (xem ví d 2 m c
1.1).
1.4. CÁC PHÉP TOÁN ð I V I ð O HÀM
D a trên các phép tính ñ i v i gi i h n và ñ nh nghĩa c a ñ o hàm ta có:
1.4.1. ð o hàm c a t ng, tích, thương
N u các hàm u(x ), v(x ) có ñ o hàm t i x 0 thì:

Hàm t ng u(x ) + v(x ) cũng có ñ o hàm t i x 0 và

(u(x ) + v(x )) 'x = x 0 = u '(x 0) + v '(x 0)

Hàm tích u(x ).v(x ) cũng có ñ o hàm t i x 0 và

(u(x ).v(x )) 'x = x 0 = u '(x 0).v(x 0) + u(x 0).v '(x 0)

Hàm thương u(x )/ v(x ) , v i ñi u ki n v(x 0) ≠ 0 , cũng có ñ o hàm t i x 0 và
'
u(x )
 u '(x 0).v(x 0) − u(x 0).v '(x 0)

v(x ) =
 x = x 0 v 2(x 0)

1.4.2. ð o hàm c a hàm s h p
N u hàm u(x ) có ñ o hàm t i x 0 , hàm f (u) cũng có ñ o hàm t i
u = u 0 = u(x 0) thì hàm h p f (u(x )) cũng có ñ o hàm t i x 0 và

[f (u(x ))] 'x = x 0 = f '(u 0).u '(x 0)

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 121 Giáo trình toán cao c p 1
1.4.3. ð o hàm c a hàm s ngư c
Gi s hàm y = f (x ) có hàm ngư c là x = f −1(y) xác ñ nh trong m t lân
c n c a y = y 0 = f (x 0) . Khi ñó n u hàm y = f (x ) có ñ o hàm khác 0 t i x 0 thì
hàm x = f −1(y) cũng có ñ o hàm t i y 0 và:

f −1(y 0) = 1
f '(x 0)

1.5. B NG ð O HÀM C A M T S HÀM S
Dùng ñ nh nghĩa c a ñ o hàm và các phép tính ñ i v i ñ o hàm ta thành
l p ñư c b ng sau:
Stt Hàm f (x ) ð o hàm f '(x ) Stt Hàm f (x ) ð o hàm f '(x )

1 C =h ng s 0 8 ax a x ln a
2 x α, α ∈ R αx α −1 9 ex ex
1
3 sin x cos x 10 arcsin x 1−x2
−1
4 cos x − sin x 11 arccos x 1−x2

tg x 1 arctg x 1
5 cos2 x 12 1 + x2

cotg x −1 arccotg x −1
6 sin2 x 13 1 + x2

7 ln | x | 1 14 loga | x |, a > 0 1
x x ln a


Ta ch ng minh m t vài công th c:
Công th c 7: xét hàm y = ln x v i x > 0 . ð t x = x 0 + α ta có:
ln x − ln x 0
x − x0 =
ln(x 0 + α) − ln x 0
α
1 α
= α ln 1 + x
0
( )
α
0
α
khi x → x 0 thì α → 0. Do ln 1 + x ∼ x nên:
0
( )
lim
x → x0
ln x − ln x 0
→x
1 α
( ) 1 α 1
x − x 0 = xlim0 α ln 1 + x 0 = xlim0 α . x 0 = x 0
→x


V y: (ln x ) 'x = x 0 = 1
x0


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 122 Giáo trình toán cao c p 1
Do x 0 là s dương tuỳ ý nên v i x > 0 thì: (ln x ) ' = 1 (1)
x
Bây gi xét hàm y = ln(−x ) víi x < 0 . ð t u = −x thì u > 0 và theo (1) ta có:
1
y = ln u ⇒ y 'u = u ; u = −x ⇒ u 'x = −1

Theo quy t c hàm h p thì:
1 1
[ln(−x )] 'x = y 'x = y 'u .u 'x = u .(−1) = x (2)

Có th vi t chung (1) và (2) dư i d ng công th c (7).

Công th c 8: hàm y = a x có hàm ngư c là x = loga y = ln a .
ln
y

Theo quy t c ñ o hàm c a hàm ngư c ta có:

y 'x = 1 = 1 = y ln a = a x ln a
x 'y 1
y ln a

Công th c 2: ta vi t x α = e α ln x . Xét hàm h p:
y = e u víi u = α ln x th× y 'x = y 'u .u 'x = e u . α = αx α −1
x
Các ví d tính ñ o hàm:

1) y = tg x , y' = 1 . 1 .1 = 1
2 2 tg x cos2 x 2 4 cos2 x tg x
2 2 2 2

2) y = ln (x + x 2 + a 2 ) ; y' = 1
x + x 2 + a2 (
1 + 2x 2 = 2 1 2
x +a x +a )
3) y = e −x ; y ' = (−2x )e −x = −2xe −x
2 2 2




1
4) y = arctg2 x ; 1
y ' = 2.arctg x .
1 + 12 x2( )
1 . − 1 = − 2 arctg 1
1+ x2 x
x
5) y = x x , x > 0 , ta không th áp d ng ngay công th c (2) ho c (8). Ta vi t:

y = x x = e x ln x ⇒ y ' = e x ln x (ln x + 1) = x x (ln x + 1)

Ta cũng có th dùng phương pháp ñ o hàm loga:
L y logarit c hai v c a y = x x : ln y = x ln x
L y ñ o hàm theo x hai v c a bi u th c v a nh n ñư c:
y'
(ln y ) ' = (x ln x ) ' ⇒
y = ln x + 1

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 123 Giáo trình toán cao c p 1
T ñó: y ' = y.(ln x + 1) = x x (ln x + 1)

1.6. ð O HÀM C P CAO
1.6.1. Hàm ñ o hàm
ð o hàm c a hàm s y = f (x ) t i ñi m x 0 là m t giá tr b ng s . N u hàm
f có ñ o hàm t i m i ñi m x thu c kho ng m E nào ñó thì v i m i x ∈ E có
tương ng m t y′ là ñ o hàm c a hàm f t i x . Như v y ta có m t hàm m i, g i
là hàm ñ o hàm, nó cũng ñư c ký hi u là y ' = f '(x ) .

1.6.2. ð o hàm c p cao
f '(x ) − f '(x 0)
N u hàm f '(x ) có ñ o hàm t i ñi m x 0 (t c là xlim
→x x − x0 t n t i)
0


thì ñ o hàm c a f ' ñư c g i là ñ o hàm c p hai c a hàm f t i ñi m x 0 . Nó
ñư c ký hi u là f ''(x 0) hay y ''x = x 0 .

B ng quy n p ta ñ nh nghĩa ñư c ñ o hàm c p n c a hàm y = f (x ) .

N u hàm s y = f (x ) có ñ o hàm c p n − 1 t i m i ñi m x thu c mi n
xác ñ nh c a hàm thì ñ o hàm (n u có) c a hàm ñ o hàm c p n − 1 t i ñi m
x = x 0 ñư c g i là ñ o hàm c p n c a hàm f t i ñi m x 0 .

Ký hi u ñ o hàm c p n c a hàm f t i ñi m x = x 0 là f (n)(x 0) . Khi ñó:

f (n)(x 0) = [f (n −1)(x )] 'x = x 0

Trong cơ h c, n u chuy n ñ ng c a m t ñư ng th ng có phương trình
s = f (t ) thì ñ o hàm c p m t f '(t 0) cho ta t c ñ chuy n ñ ng t i th i ñi m
t = t0 , ñ o hàm c p hai f ''(t0) cho ta gia t c c a chuy n ñ ng t i t = t0 .

Các ví d :
Hàm y = x n , v i n là m t s nguyên dương, có ñ o hàm t i m i c p trên t p
h p s th c R .
V i k n : y' = 0

Hàm y = sin x có ñ o hàm t i m i c p trên R và y (n) = sin(x + n π / 2) .
Th t v y:

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 124 Giáo trình toán cao c p 1
V i n = 1 thì ta có công th c ñúng: y ' = cos x = sin(x + π / 2)

Gi s công th c ñó ñúng v i n −1 , t c là y (n −1) = sin[x + (n − 1)π / 2] , ta s
ch ng minh nó ñúng cho n .
y (n ) = [y (n −1) ]' = cos[x + (n − 1)π / 2] = sin(x + n π / 2)

Tương t ta cũng ch ng minh ñư c:
N u y = cos x thì y (n) = cos(x + nπ / 2)



§2. VI PHÂN C A HÀM S
2.1. VI PHÂN LÀ PH N CHÍNH C A S GIA HÀM S
Gi s y = f ( x) có ñ o hàm t i ñi m x = x0 . Khi ñó ta có:
 f ( x ) − f ( x0 ) 
lim  − f ′ ( x0 )  = 0
x→ x
0
 x − x0 
f ( x ) − f ( x0 )
ði u ñó ch ng t lư ng − f ′ ( x0 ) là m t vô cùng bé khi x → x0 .
x − x0
f ( x ) − f ( x0 )
Ta ñ t: − f ′ ( x0 ) = α v i α là m t vô cùng bé khi x → x0 .
x − x0
T ñó: f ( x ) − f ( x0 ) = f ′ ( x0 )( x − x0 ) + α ( x − x0 ) (2.1)
ð t ∆x = x − x0 , ∆f = f ( x) − f ( x0 ) thì (2.1) tr thành:
∆f = f ′ ( x0 ) ∆x + α∆x (2.2)
Khi x → x0 thì ∆x là m t vô cùng bé. N u f ′ ( x0 ) ≠ 0 thì lư ng f ′ ( x0 ) ∆x là m t
vô cùng bé cùng b c v i ∆x , còn lư ng α∆x m t vô cùng bé c p cao hơn ∆x .
Khi ñó ta nói lư ng f ′ ( x0 ) ∆x là ph n chính c a vô cùng bé ∆f khi x → x0 .
Quan sát bi u th c (2.2) ta th y s gia ∆f c a hàm s f ñư c phân tích thành
hai thành ph n: thành ph n th nh t là ph n chính c a ∆f , thành ph n th hai là
m t vô cùng bé có c p cao hơn ∆f . Ta ñi t i khái ni m vi phân c a hàm s .
ð nh nghĩa. Vi phân c a hàm s y = f ( x) t i ñi m x = x0 là ph n chính c a s
gia ∆f ( x0 ) ; nó khác s gia ∆f ( x0 ) b i m t lư ng vô cùng bé có c p cao hơn
∆x .
Vi phân c a hàm s ñư c kí hi u là df ( x0 ) hay n u không chú ý t i giá tr c th
c a x0 thì ta vi t df hay dy .

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 125 Giáo trình toán cao c p 1
V y n u hàm f có ñ o hàm t i x0 thì theo cách phân tích trên ta có
df ( x0 ) = f ′ ( x0 ) ∆x hay
dy = f ′ ( x ) ∆x (2.3)
N u hàm f có ñ o hàm t i x = x0 thì nó cũng có vi phân t i x0 và vi phân c a
nó ñư c cho b i công th c (2.3).
Bây gi ta s ch ng minh r ng ngư c l i, n u hàm f có vi phân t i x = x0 thì nó
cũng có ñ o hàm t i x0 .
Th t v y, hàm f có vi phân nên ta có th phân tích s gia ∆f c a nó thành:
∆f ( x0 ) = A∆x + α∆x
trong ñó A ≠ 0, α → 0 khi ∆x → 0 .
∆f ( x0 ) ∆f
Chia c hai v cho ∆x ta ñư c = A + α ; t ñó lim = A.
∆x ∆x → 0 ∆x


Gi i h n trên c a t s trên t n t i, v y hàm f có ñ o hàm t i x0 và ñ o hàm ñó
b ng A.
f ′ ( x0 ) = A
Do k t qu trên, sau này ta cũng g i m t hàm có ñ o hàm là hàm kh vi.
Chú ý: V i hàm y = x ta có dy = dx = 1.∆x . T c là n u x là bi n s ñ c l p thì s
gia c a nó b ng vi phân c a nó dx = ∆x , vì v y bi u th c c a vi phân hàm s f
còn ñư c vi t dư i d ng:
df ( x0 ) = f ′ ( x0 ) dx hay dy = f ′ ( x0 ) dx
df ( x0 ) dy
T ñó ta có f ′ ( x0 ) = hay g n hơn y′ = .
dx dx
ð o hàm hàm s là t s c a vi phân hàm s và vi phân c a bi n s ñ c l p.
Thí d : Tìm s gia và tìm vi phân c a hàm s f ( x ) = x 2 t i ñi m x0

∆f ( x0 ) = ( x0 + ∆x ) − x0 2 = 2 x0 ∆x − ∆x 2
2



df ( x0 ) = f ′ ( x0 ) ∆x = 2 x0 ∆x
Ta th y r ng vi phân là ph n chính c a s gia, nó khác s gia b i m t vô cùng
bé có b c hai so v i ∆x .
Quan sát trên hình ta th y giá tr hàm f ( x ) = x 2 t i x0 là
di n tích hình vuông có c nh x0 ; s gia ∆f ( x0 ) là ph n
di n tích tăng thêm khi c nh hình vuông ñư c tăng thêm

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 126 Giáo trình toán cao c p 1
∆x còn vi phân df ( x0 ) là ph n di n tích nói trên nhưng b ñi hình vuông con có
di n tích ∆x 2 .
N u ∆x khá bé ta có th coi vi phân là giá tr x p x c a s gia, t ñó ta có công
th c tính giá tr g n ñúng c a s gia hàm s :
∆f ( x0 ) = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ≅ f ′ ( x0 ) ∆x
Ta suy ra công th c tính giá tr x p x c a hàm f t i x0 + ∆x :
f ( x0 + ∆x) ≅ f ( x0 ) + f ′ ( x0 ) ∆x (2.4)
Thí d : Tính g n ñúng 4 17
Ta xét hàm s f ( x) = 4 x . Áp d ng (2.4) ta có:
1
4 x0 + ∆x ≅ 4 x0 + ∆x
4 4 x0 3
Cho x0 = 16, ∆x = 1 ta có:
1 1
4
17 ≅ 4 16 + ⋅1 = 2 + = 2,031
4 4 163 4 ⋅ 23
n
Áp d ng công th c (2.4) cho các hàm s x , sin x, ln x ta có:
∆x
a) n x0 + ∆x ≅ n x0 + .
n n x0 n−1
α
Cho x0 = 1, ∆x = α thì ta có: n 1 + α ≅ 1 + v i α khá bé.
n
b) sin( x0 + ∆x) ≅ sin x0 + cos x0 ∆x;
Cho x0 = 0, ∆x = α ta có: sin α ≅ α v i α khá bé.
∆x
c) ln( x0 + ∆x) ≅ ln x0 +
x0
Cho x0 = 1, ∆x = α ta có: ln (1 + α ) ≅ α v i α khá bé.


2.2. CÁC QUY T C TÍNH VI PHÂN
Theo ñ nh nghĩa, vi phân c a hàm s t i x0 là dy = y′dx , k t h p v i các
quy t c tính ñ o hàm ta có:
1). N u các hàm s u ( x), v ( x ) kh vi t i x0 thì các hàm t ng, tích, thương (v i
ñi u ki n v ( x0 ) ≠ 0 ) cũng kh vi và:

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 127 Giáo trình toán cao c p 1
d (u + v) = du + dv
d (uv) = vdu + udv
 u  vdu − udv
d = , v ( x0 ) ≠ 0
v v2
2). N u hàm u = u ( x) kh vi t i x0 , hàm y = f (u ) kh vi t i u0 = u ( x0 ) thì hàm
h p y = f u ( x )  kh vi và df u ( x )  =  f ′ ( u0 ) ⋅ u′ ( x0 )  dx = f ′ ( u0 ) du ( x0 ) .
     
V m t hình th c ta v n có vi phân c a hàm s b ng ñ o hàm c a hàm nhân v i
vi phân c a bi n s không phân bi t bi n s ñó là ñ c l p hay ph thu c.


2.3. VI PHÂN C P CAO
Gi s hàm s y = f ( x) kh vi trong m t kho ng nào ñó. Khi y, vi phân
dy = f ′ ( x ) dx ph thu c vào x , còn dx là h ng s n u x là bi n s ñ c l p; n u
hàm s f ′ ( x ) dx kh vi t i x0 thì vi phân d  f ′ ( x ) dx  c a nó ñư c g i là vi phân
 
c p hai c a hàm s xu t phát f , ta ký hi u vi phân c p hai là d 2 f hay d 2 y . Như
v y:
d 2 y = d ( dy ) = d  f ′ ( x ) dx  =  f ′ ( x0 ) dx  dx = f ′′ ( x0 ) dx 2
   
Vi phân c p hai c a hàm f ( x) t i ñi m x0 b ng ñ o hàm c p hai c a f t i ñi m
x0 nhân v i bình phương c a vi phân bi n s ñ c l p: d 2 y = f ′′ ( x0 ) dx 2
d 2 y ( x0 )
Ta cũng có th vi t ñ o hàm c p hai c a f dư i d ng: f ′′ ( x0 ) =
dx 2
B ng quy n p ta ch ng t ñư c r ng: n u hàm f v i bi n s x ñ c l p có ñ o
hàm t i c p n t i x0 thì nó cũng có vi phân c p n t i x0 , ký hi u d n y ( x0 ) và
d n y ( x0 ) = f ( n ) y ( x0 ) dx n .
T ñó:
d n y ( x0 )
f ( n ) y ( x0 ) =
dx n


§3. CÁC ð NH LÝ V HÀM KH VI
3.1. ð NH LÝ ROLLE
N u hàm f liên t c trên kho ng kín [a,b] ; kh vi trong kho ng (a,b);
f (a) = f (b) thì trong kho ng m (a, b) có ít nh t m t ñi m c sao cho f ′(c) = 0


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 128 Giáo trình toán cao c p 1
Ch ng minh:
Hàm f liên t c trên [a,b] nên theo tính ch t
hàm liên t c trên kho ng kín hàm f ñ t giá tr
l n nh t M và giá tr nh nh t m trên [a,b]
N u nó ñ t c hai giá tr ñó t i hai ñ u mút a, b
thì do f (a) = f (b) ta suy ra M = m , khi ñó hàm
là không ñ i trên [a,b] nên ñ o hàm f ′ ( x ) = 0 víi x ∈ [ a,b ] .
Xét trư ng h p nó ñ t ít nh t m t trong hai giá tr M, m t i m t ñi m n m trong
(a, b) , ch ng h n nó ñ t giá tr l n nh t M t i c ∈ ( a, b ) .
Khi ñó: M = f (c) ≥ f ( x ) v i m i x ∈ ( a, b ) .
f ( x) − f (c) f ( x) − f (c)
V i x < c thì: ≥ 0 ⇒ lim ≥0
x−c x →c −0 x−c
f ( x) − f (c) f ( x) − f (c)
V i x > c thì: ≤ 0 ⇒ lim ≤0 (3.1)
x−c x →c + 0 x−c
f ( x) − f (c)
Do hàm f kh vi t i c nên f ′ ( c ) = lim t n t i: gi i h n bên ph i và
x →c x−c
bên trái t i c ph i b ng nhau.
f ( x) − f (c)
Vì v y, t k t qu (3.1) ta suy ra: f ′ ( c ) = lim =0
x →c x−c
Ý nghĩa hình h c c a ñ nh lý trên là: Trên cung AB bi u di n hàm f (x ) tho
mãn các ñi u ki n c a ñ nh lý, có m t ñi m C t i ñó ti p tuy n song song v i
tr c Ox .
T ñ nh lý Rolle ta có ñ nh lý quan tr ng sau.


3.2. ð NH LÝ LAGRANGE
N u hàm f ( x) liên t c trên kho ng kín [ a,b ] , kh vi trên kho ng m
( a, b ) thì trong kho ng ( a, b ) có ít nh t m t ñi m c sao cho:
f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( c )( b − a ) (3.2)
Ch ng minh:
f (b) − f ( a )
Ta xét hàm ph : F ( x ) = f ( x ) − ( x − a)
(b − a )
Do hàm f ( x) liên t c và kh vi nên hàm F cũng liên t c trên [ a, b ] , kh vi
trong ( a, b ) . Hơn n a F ( a ) = f ( a ) ; F ( b ) = f ( a ) hàm F th a mãn các ñi u ki n
c a ñ nh lý Rolle nên t n t i c ∈ ( a, b ) ñ F ′ ( c ) = 0
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 129 Giáo trình toán cao c p 1
f (b ) − f (a )
Ta có: F ′ (c ) = f ′ (c ) −
(b − a )
f (b ) − f (a )
T ñó: = f ′ (c ) . Ta suy ra công th c ph i ch ng minh (3.2).
(b − a )
V m t hình h c, ñ nh lý Lagrange nói lên r ng: Trên cung AB có ít nh t m t
ñi m C t i ñó ti p tuy n song song v i dây cung AB.
Chú ý: N u ta thêm ñi u ki n f (a ) = f (b) thì t (3.2) ta có f '(c) = 0 t c là ta l i
có ñ nh lý Rolle.
Công th c (3.2) còn ñư c g i là công th c s gia h u h n.
ð t a = x 0 , b = x 0 + ∆x , s c n m trong kho ng (x 0 , x 0 + ∆x ) nên có th vi t:
c = x 0 + θ∆x v i 0 < θ < 1 , công th c (3.2) có d ng:
f (x 0 + ∆x ) = f (x 0 ) + f ′ ( x 0 + θ∆x ) ∆x (3.3)
Bây gi ta ñi xét m t ng d ng c a ñ nh lý Lagrange trong vi c kh o sát tính
ñơn ñi u c a m t hàm s .

ð nh nghĩa:
Hàm y = f (x ) là ñơn ñi u tăng trên m t t p h p E n u v i x 1, x 2 b t kì thu c
E:
x 1 < x 2 ⇒ f (x 1 ) < f (x 2 )
Hàm y = f (x ) là ñơn ñi u gi m trên m t t p h p E n u v i x 1, x 2 b t kì thu c
E:
x 1 < x 2 ⇒ f (x 1 ) > f (x 2 )
ð nh lý:Gi s f là m t hàm liên t c và kh vi trong m t kho ng E nào ñó.
1). N u f ′ ( x ) = 0, ∀x ∈ E thì hàm f không ñ i trên E.
2). N u f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ E thì hàm f tăng trên E.
3). N u f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ E thì hàm f gi m trên E.
Ch ng minh:
L y hai ñi m x 1, x 2 b t ký thu c E r i áp d ng ñ nh lý Lagrange cho hàm f trên
[x 1, x 2 ] ta tìm ñư c ñi m c ∈ (x 1, x 2 ) sao cho:
f (x 2 ) − f (x 1 ) = f ′(c) ( x 2 − x 1 ) (3.4)
N u f ′ ( x ) = 0, ∀x ∈ E thì f '(c) = 0 ta suy ra f (x 1 ) = f (x 2 ) ; Giá tr c a hàm s
f t i hai ñi m b t kỳ c a E ñ u b ng nhau nên hàm f có giá tr không ñ i
trên E.
N u f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ E thì f '(c) > 0
T (3.4) suy ra v i m i x 1, x 2 mà x 1 < x 2 thì f (x 1 ) < f (x 2 ) : Hàm f tăng.
f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ E thì f '(c) < 0 , t ñó x 1 < x 2 thì f (x 1 ) > f (x 2 ) : Hàm f gi m.
Thí d 1:
π
Ch ng minh r ng ∀x ∈ [ −1,1] ta có: arcsin x + arccos x =
2

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 130 Giáo trình toán cao c p 1
Xét hàm s f (x ) = arcsin x + arccos x . Nó liên t c trên [ −1,1] , kh vi trong (−1,1)
1 1
và f '(x ) = − = 0 t i m i ∀x ∈ (−1,1) nên nó không ñ i trong
1−x 2
1 − x2
(−1,1) . ð tính giá tr không ñ i c a nó ta có th tính giá tr c a hàm s t i m t
ñi m b t kỳ thu c kho ng (−1,1) , ch ng h n t i x = 0 . Ta có
π
f (0) = arcsin 0 + arccos 0 =
2
π
V y trong kho ng (−1,1) ta có: arcsin x + arccos x =
2
Ta cũng có
π π
f (−1) = arcsin(−1) + arccos(−1) = − +π =
2 2
π π
f (1) = arcsin(1) + arccos(1) = +0 =
2 2
π
V y v i ∀x ∈ [ −1,1] ta có: arcsin x + arccos x =
2
2
Thí d 2: Tìm các kho ng ñơn di u c a hàm s f (x ) = e −x
2 2
Hàm s xác ñ nh v i m i x . Ta có y ' = −2xe −x . Do e −x > 0 v i m i x nên d u
c a y ' ngư c v i d u c a x .
V i x < 0 thì y ' > 0 hàm f tăng. V i x > 0 thì y ' < 0 hàm f gi m.

T ñ nh lý Rolle ta cũng suy ra:
ð nh lý Cauchy: N u các hàm f ( x ) , g ( x ) liên t c trên [ a, b ] , kh vi trong
( a, b ) , g ′ ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ ( a, b ) thì có ít nh t m t ñi m c ∈ ( a, b ) sao cho:
f (b) − f ( a ) f ′( c)
=
g (b) − g ( a ) g′ ( c )
ð ch ng minh ch vi c áp d ng ñ nh lý Rolle cho hàm ph :
f (b ) − f (a )
F (x ) = f (x ) − [g(x ) − g(a )]
g (b ) − g(a )
ð nh lý Lagrange là m t trư ng h p ñ c bi t c a ñ nh lý Cauchy v i g(x ) = x .
Quy t c Lopital:
Gi s các hàm f (x ), g(x ) liên t c và kh vi trong m t mi n nào ñó, khi
x → x 0 ho c khi x → ∞ thì c hai hàm f (x ), g(x ) cùng ti n t i không (ho c
f ′(x )
cùng ti n t i vô cùng). Khi ñó n u gi i h n c a t s t n t i thì gi i h n
g ′(x )
f (x ) f (x ) f ′(x ) f (x ) f ′(x )
c at s cũng t n t i và lim = lim ; lim = lim .
g(x ) x →x g (x ) x →x g ′(x )
0 x →∞ g (x )
0 x →∞ g ′(x )


Ta ch ng minh quy t c trên theo trư ng h p ñơn gi n khi f (x 0 ) = g(x 0 ) = 0 . Khi
ñó theo ñ nh lý Cauchy ta có:
f ( x) f ( x ) − f ( x0 ) f ′ ( c )
= =
g ( x) g ( x ) − g ( x0 ) g ′ ( c )
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 131 Giáo trình toán cao c p 1
f (x ) f ′(c )
Do c ∈ ( x 0 , x ) nên khi x → x 0 thì c → x 0 . T ñó lim = lim .
x →x 0 g (x ) c →x g ′(c)
0


Gi i h n v ph i t n t i nên gi i h n v trái cũng t n t i. Ta công nh n các
trư ng h p còn l i c a quy t c.
Quy t c Lopital có ng d ng quan tr ng trong vi c tính toán các gi i h n có
0 ∞
d ng vô ñ nh ; .
0 ∞
Các thí d :
e 2x − e x 2e 2x − e x
1. lim = lim =1
x →0 sin x x →0 cos x
e 2x − 1 − 2x 2e 2x − 2 4e 2x
2. lim = lim = lim =1
x →0 2x 2 x →0 4x x →0 4
1
ln x 1
3. xlim α = xlim xα −1 = xlim α = 0 (α > 0 )
→+∞ x →+∞ α x →+∞ α x


a x ( ln a )
n
ax a x ln a
4. lim
x →+∞ x n
= lim
x →+∞ nx n −1
= ... = lim =∞ (a > 1)
x →+∞ n!
Các thí d 3 và 4 nói lên r ng khi x → ∞ thì các hàm s a x , x α , ln x là các vô
cùng l n nhưng hàm logarit tăng ch m hơn hàm lu th a, hàm mũ tăng nhanh
hơn hàm lu th a.
Chú ý: Khi g p các d ng vô ñ nh 0.∞, ∞ − ∞, 1∞ , 0∞ , 00 , ∞ 0 ngư i ta tìm cách bi n
0 ∞
ñ i ñ ñưa chúng v d ng ; r i áp d ng quy t c Lopital.
0 ∞
Thí d :
 ln x  1/ x 1
5. lim ( x 2 ln x ) = lim   = lim = − lim x 2 = 0
x →0 x →0  1 x 
2 x → 0 −2 / x 2
2 x →0
 
1

6. Tìm A = lim(cos x ) . Nó có d ng 1∞ . Ta tìm gi i h n c a logarit c a nó.
x2
x →0

1
ln cos x −tgx 1
ð t A1 = lim ln ( cosx ) x = lim
2
2
= lim =−
x →0 x→0 x x →0 2 x 2
1
Do A1 = ln A ta suy ra A = e −1/ 2 = .
e


3.3. CÔNG TH C TAYLOR
Trong §2.1 ta ñ nh nghĩa vi phân hàm s là ph n chính c a s gia hàm s :
f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = f ′ ( x0 ) ∆x + α∆x v i α → 0 khi ∆x → 0
ð t ∆x = h, x0 + ∆x = x thì ta có f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 ) h + α h

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 132 Giáo trình toán cao c p 1
N u b qua lư ng α h thì f ( x) ≅ f ( x0 ) + f ′( x0 )h t c là ta ñã x p x hàm s f (x )
b i ña th c b c nh t c a h .
Trong ph n này ta trình bày cách x p x hàm s f (x ) b i ña th c b c n c a h :
f ( x ) ≅ Pn (h ) = a 0 + a1h + +a 2h 2 + ... + an h n
Mu n v y ta gi thi t hàm f (x ) có ñ o hàm t i c p n và ta vi t:
f (x ) = Pn (h ) + α h n v i α → 0 khi h → 0
V n ñ ñ t ra c n ch n các h s c a ña th c như th nào ñ ñi u ki n trên ñư c
tho mãn t c là tìm ña th c Pn (h ) ñ :
f ( x 0 + h ) − Pn (h )
lim = lim α = 0
h →0 hn h →0

ð ý r ng:
lim  f ( x 0 + h ) − Pn (h ) = f (x 0 ) − a 0
 
h →0


lim  f ′ ( x 0 + h ) − Pn ′(h ) = f ′(x 0 ) − a1
h →0  
lim  f ′′ ( x 0 + h ) − Pn ′′(h ) = f ′′(x 0 ) − 1.2a2
h →0 
 

M t cách t ng quát:
lim  f (k ) ( x 0 + h ) − Pn (k ) (h ) = f (k ) (x 0 ) − k ! ak
 
h →0

Như v y n u ta ch n các h s c a ña th c Pn (h ) sao cho:
(k )
f (x 0 )
ak = , k = 0,1,.., n thì các gi i h n v trái b ng không và khi ñó ta có th
k!
tính gi i h n c a t s :
f ( x 0 + h ) − Pn (h )
hn
b ng cách áp d ng quy t c Lopital liên t c n l n.

f (k ) (x 0 )
Như v y, n u ta ch n các h s c a ña th c Pn (h ) sao cho: ak = ,
k!
k = 0,1,.., n thì ña th c Pn (h ) s là ph n chính b c n c a hàm s f (x ) và nó ch
khác f (x ) b i m t vô cùng bé c p cao hơn h n .
Ta ñã ch ng minh ñư c công th c Taylor:
N u hàm s f (x ) có ñ o hàm liên t c t i c p n trong m t mi n ch a ñi m x 0 thì:
f ′ (x 0 ) f ′′ ( x 0 ) f n (x 0 )
( )


f (x ) = f (x 0 ) + (x − x 0 ) + ( x − x 0 ) + ... + (x − x 0 ) + α ( x − x 0 )
2 n n
(3.7)
1! 2! n!

v i α → 0 khi x → x 0 .
Thành ph n α ( x − x 0 ) ñư c g i là ph n dư th n c a công th c Taylor và ta kí
n


hi u là Rn .
Công th c Taylor cho phép ta khai tri n m t hàm b t kỳ thành ña th c c a
(x − x 0 ) . ð c bi t khi x 0 = 0 thì ta có công th c Maclaurin:
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 133 Giáo trình toán cao c p 1
f ′ ( 0) f ′′ ( 0) 2 f n ( 0) n
( )

f (x ) = f ( 0) + x+ x + ... + x + αx n (3.8)
1! 2! n!
Nó cho phép khai tri n m t hàm b t kì (có ñ o hàm liên t c t i c p n) thành ña
th c c a x .
Các thí d :
Khai tri n Maclaurin c a hàm s f (x ) = e x
Hàm s này có ñ o hàm liên t c t i m i c p và f (k )(x ) = e x nên f (k )(0) = 1 v i
k = 0,1,..., n . Do ñó:
x x2 xn
e = 1+ +
x
+ ... + + Rn (3.9)
1! 2 ! n!
Khai tri n Maclaurin c a hàm s f (x ) = sin x
Hàm s này có ñ o hàm liên t c t i m i c p và f (k )(x ) = sin(x + kπ / 2) .
T ñó:
x3 x5 x 2k −1
− ... + ( −1)
k −1
sin x = x − + + R2k −1 (3.10)
3! 5! ( 2k − 1) !

Khai tri n Maclaurin c a hàm s f (x ) = cos x
x2 x4 k x
2k

cos x = x − + − ... + ( −1) + R2k
2! 4! ( 2k ) !
Chú ý: N u hàm s f có ñ o hàm t i c p n + 1 thì ngư i ta ch ng minh ñư c
r ng có th vi t ph n dư Rn c a công th c Taylor dư i d ng:
f (n +1) ( x 0 + θ∆x )
(x − x 0 ) ,
n +1
Rn = 0 0 trong (a, x 0 ) thì hàm s f tăng trong kho ng ñó nên
f (x ) < f ( x 0 ) .
N u f ′(x ) < 0 trong (x 0 , b) thì hàm s f gi m trong kho ng ñó nên
f (x ) < f ( x 0 ) .


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 135 Giáo trình toán cao c p 1
V i m i x thu c lân c n c a x 0 ta có f (x ) ≤ f ( x 0 ) . V y t i x 0 hàm s có c c
ñ i.
Ch ng minh tương t cho trư ng h p c c ti u.
Chú ý: Không nh t thi t hàm s ph i kh vi t i ñi m c c tr x 0 .
Ch ng h n, hàm s f (x ) = x có c c ti u t i x = 0 nhưng t i ñó hàm s không
kh vi.
K t h p v i các k t qu trên ta có quy t c tìm c c tr c a hàm s :
a. Tìm các ñi m thu c mi n xác ñ nh c a hàm s mà t i ñó ñ o hàm c a hàm s
tri t tiêu ho c không t n t i;
b. Xét d u c a ñ o hàm t i lân c n các ñi m ñó, n u ñ o hàm có d u khác nhau
hai bên ñi m ñó thì ñi m ñang xét là ñi m c c tr .
Thí d : Hàm s f (x ) = e −x có c c ñ i t i x = 0 . Th t v y, f ′(x ) = −2xe −x , v i
2 2




x < 0 thì f ′(x ) > 0 ; v i x > 0 thì f ′(x ) < 0 ñ o hàm có d u khác nhau hai bên
ñi m x = 0 .

2) ð nh lý 2: Gi s hàm s f (x ) có ñ o hàm liên t c t i c p hai lân c n ñi m
x 0 (k c t i c x 0 ). N u f ′(x 0 ) = 0 và f ′′(x 0 ) ≠ 0 thì hàm s có c c tr t i x 0 . C
th là:
N u f ′′(x 0 ) > 0 thì hàm s có c c ti u t i x 0 .
N u f ′′(x 0 ) < 0 thì hàm s có c c ñ i t i x 0 .
Th t v y, t khai tri n hàm s f theo công th c Taylor ñ n c p hai:
f ′ (x 0 ) f ′′ ( x 0 )
f (x ) = f ( x 0 ) + (x − x 0 ) + (x − x 0 ) + α (x − x 0 ) ;
2 2

1! 2!
Do f ′ ( x 0 ) = 0 nên:
f ′′ ( x 0 )
f (x ) − f ( x 0 ) = (x − x 0 ) + α (x − x 0 ) ;
2 2

2!
α → 0 khi x → x 0
lân c n c a x 0 , d u c a f (x ) − f ( x 0 ) là d u c a f ′′ ( x 0 ) .
Do ñó n u f ′′(x 0 ) > 0 thì f (x ) ≥ f (x 0 ) hàm s có c c ti u t i x 0 . N u f ′′(x 0 ) < 0
thì f (x ) ≤ f (x 0 ) hàm s có c c ñ i t i x 0 .
Thí d : Xét hàm s f (x ) = e −x , ta có: f ′(x ) = −2xe −x ; f ′(x ) = 0 khi x = 0
2 2




f ′′(x ) = −2 (1 − 2x 2 ) e − x ; f ′′ ( 0 ) = −2 . Hàm s có c c ñ i t i x = 0 .
2




3.5. HÀM S L I, LÕM, ðI M U N
ð nh nghĩa: ð th hàm s f (x ) ñư c g i là l i (chính xác hơn là l i trên) trên
ño n [a,b] n u nó n m phía dư i m i ti p tuy n v i ñ th v trong ño n ñó.
ð th hàm s f (x ) ñư c g i là lõm (chính xác hơn là l i dư i) trên ño n [a,b]
n u nó n m phía trên m i ti p tuy n v i ñ th v trong ño n ñó.
ði m trên ñư ng cong ngăn cách ph n l i và ph n lõm ñư c g i là ñi m u n.
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 136 Giáo trình toán cao c p 1
ð nh lý. Gi s hàm s f (x ) có ñ o hàm liên t c t i c p hai trong m t mi n
ch a ñi m x 0 .
N u trong mi n ñó f ′′(x ) > 0 thì ñ th hàm s là lõm;
N u trong mi n ñó f ′′(x ) < 0 thì ñ th hàm s là l i.
Ch ng minh: Ta khai tri n hàm s f t i lân c n x 0 theo công th c Taylor ñ n
c p hai:
f ′ (x 0 ) f ′′ ( x 0 )
f (x ) = f ( x 0 ) + (x − x 0 ) + (x − x 0 ) + α (x − x 0 )
2 2

1! 2!
Phương trình ti p tuy n v i ñ th t i M 0 (x 0 , y 0 ) :
y = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 )
g i M là ñi m có hoành ñ x trên ñư ng cong, P là ñi m có hoành ñ x trên
ti p tuy n t i M 0 (x 0 , y 0 ) , ta có:
f ′′ ( x 0 )
(x − x 0 ) + α (x − x 0 )
2 2
PM = f (x ) − y =
2!
Do α → 0 khi x → x 0 nên lân c n c a x 0 d u c a PM là d u c a f ′′ ( x 0 ) . T
ñó:
N u f ′′(x 0 ) > 0 thì PM > 0 : ñi m M n m phía trên ñi m P , t c là ñư ng cong
n m phía trên ti p tuy n: hàm s lõm trong lân c n x 0 ;
N u f ′′(x 0 ) < 0 thì PM < 0 : ñi m M n m phía dư i ñi m P , t c là hàm s l i
trong lân c n x 0 .
T k t qu trên ta suy ra r ng: N u t i x 0 ta có f ′′ ( x 0 ) = 0 và f ′′(x ) ñ i d u khi
x qua x 0 thì hàm s f (x ) có ñi m u n t i x 0 .
f (x ) = e − x , ta có: f ′(x ) = −2xe −x ; f ′′(x ) = −2 (1 − 2x 2 ) e −x ;
2 2 2
Thí d : Xét hàm s
1
f ′′ ( x ) = 0 khi x = ±.
2
1 1
V ix , f ′ ( x ) > 0 hàm lõm trong các kho ng ñó.
2 2
1 1
V i− 0 hàm s gi m, t i x = 0 hàm s có c c
ñ i, giá tr c c ñ i b ng 1.
Ta xét ñ o hàm c p hai và l p b ng xét d u ñ o hàm c p hai ñ tìm các kho ng
l i, lõm c a ñư ng cong:
f ′′(x ) = 2(2x 2 − 1)e −x ; f ′′ = 0 khi x = ± 1
2

2

x −∞ − 1 1 +∞
2 2
f ′′ + 0 - 0 +
f Lõm 1 l i 1 lõm
e e
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 138 Giáo trình toán cao c p 1
ð th có hai ñi m u n (− 1 , 1 ) và ( 1 , 1 ) .
2 e 2 e
Khi x → ±∞ thì f (x ) → 0 , ñư ng y = 0 là ti m c n ngang.
ð th c a hàm có d ng hình chuông. Hàm này có nhi u ng d ng trong lý
thuy t xác su t.
Thí d 2: Kh o sát và v ñ th c a hàm s f (x ) = (5 − x )3 x 2
1. Hàm xác ñ nh v i m i x .
1 5(2 − x )
2. f ′(x ) = −3 x 2 + (5 − x ) 2 x −3 =
3 33 x
f ′(x ) = 0 khi x = 2 , ngoài ra ñ o hàm không t n t i khi x = 0 . Ta l p b ng bi n
thiên:




T i x = 0 hàm có c c ti u f (0) = 0 ; t i x = 2 hàm có c c ñ i f (2) = 33 4 .
Ta chú ý r ng t i x = 0 hàm có ti p tuy n th ng ñ ng (ñ o hàm vô c c); t i
x = 2 hàm có ti p tuy n n m ngang (ñ o hàm tri t tiêu).
3. Ta không kh o sát tính l i, lõm.
4. Hàm có nhánh vô t n nhưng không có ti m c n là ñư ng th ng. ð th c t
tr c Ox t i x = 5 .




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 139 Giáo trình toán cao c p 1
BÀI T P

7.1. Tính các ñ o hàm c a hàm s sau:
1) y = (3x 2 + 5 x − 1) 4 ; 1
5) y = cos x ;
2) y = 5 x 2 − 3x ; 6) y = tg 1 − 4x 2 ;
1
3) y = ; 7) y = sin2 x − tg 2 2x ;
3x − 2 x 2 + 1
4
8) y = sin2[(x − 1) x ] ;
4) y = sin 12 ;
x
7.2. Tính các ñ o hàm c a hàm s :
2
1) y = arcsin
x
arccos x
2) y =
x
1
3) y = arctg 2 ;
x
4) y = arctg x + 1 ;
x−
1

5) y = arctg ln x ;
3
6) y = x a 2 − x 2 + a 2 arcsin x
2 2 a
7.3. Tính các ñ o hàm c a:
1) y = ln2 x 6) y = ae −b x ;
2



2) y = ln sinx 7) y = e −α ln x ;
2


3) y = x 2 log3 x ; 8) y = Ae −k x sin(ωx + ϕ) ;
2



4) y = ln(1 − 2x ) ;
x
5) y = 2 ln x ;
7.4. V i giá tr nào c a a thì hai ñư ng y = ax 2 và y = ln x s ti p xúc v i nhau?
7.5. Radium b phân hu theo công th c m(t ) = Ce −kt , trong ñó m(t ) là kh i lư ng
radium hi n có lúc t ; C, k là các h ng s . Có 1g radium ñ phân hu , sau 1
tri u năm nó còn 0,1g. Tính t c ñ phân hu .
7.6. Cư ng ñ dòng ñi n không ñ i là ñi n lư ng ñi qua thi t di n c a dây d n
trong m t ñơn v th i gian. Hãy cho ñ nh nghĩa c a cư ng ñ dòng ñi n bi n
ñ i. Áp d ng: ñi n lư ng ñi qua dây d n tính t lúc t = 0 ñư c cho b i công
th c Q = 2t 2 + 3t + 1 (cu-lông). Tính cư ng ñ dòng ñi n ssau 5 giây.
7.7. Ch ng minh r ng n u hàm f ( x) có ñ o hàm t i x0 thì:
f ( x0 + h) − f ( x0 − h)
lim = f ′( x0 )
h →0 2h
7.8. Tính ñ o hàm c a hàm y = arcsin(2x 1 − x 2 ) r i so sánh v i ñ o hàm hàm
z = arcsin x . T ñó suy ra m i liên h gi a y và z .
7.9. Tính các t ng
1) Pn = 1 + 2 x + 3x 2 + ... + nx n −1
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 140 Giáo trình toán cao c p 1
2) Sn = sin x + sin 2x + ... + sin nx
3) Cn = cos x + 2 cos 2x + ... + n cos nx
7.10. Tìm ñ o hàm c p hai c a các hàm:
1) y = xe −x
2



1
2) y =
1 + x2
3) y = (1 + x 2 )arctgx ;
4) y = ln(x + 1 + x 2 ) ;
7.11. Tìm ñ o hàm c p n c a các hàm:
1) y = e −x
2) y = sin ax + cos ax
3) y = sin 4 x + cos 4 x ;
7.12. Cho hàm s y = x3 − x . Tính ∆y và dy t i x = 2 khi l n lư t cho ∆x các
∆y − y
giá tr 1; 0,1; 0,01. Tính các giá tr tương ng c a t s R = .
∆y
7.13. Tìm vi phân c a các hàm s :
x
1) y = 3x2 ; 2) y = 1 − x 2 ; 3) y = ; 4) y = ln tg x − x ;
1 − x2 4 4
7.14. Tính g n ñúng: 1) 0,95 ; 3
2) cos 60006′ ; 3) arctg 0,98 ;
7.15. Dùng quy t c Lopitan tính các gi i h n sau:
x − sin x
4) lim  −
1 1 
1) lim ;  ;
x →0 x3 x →0x e − 1 x


2) lim (x2 ln x ) ;
x →0
5) lim(sin x) ;
x
x →0

6) lim (1 + x )ln x ;
x
2
xe x →0
3) lim
x → ∞ x + ex
;
7.16. Tìm c c tr c a hàm s :
4
x
1) y = ; 2) y = x 1 − x 2 ; 3) y = 1 − ( x − 2 ) 5 ;
ln x
7.17. Tìm các giá tr a và b ñ hàm:
y = a ln x + bx 2 + x có c c tr t i x1 = 1, x2 = 2 .
7.18. Kh o sát và v ñ th các hàm s :
x3 + 4
1) y = ; 2) y = 3 1 − x3 ; 3) y = 3 x 2 ( x − 2 ) ;
x2




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 141 Giáo trình toán cao c p 1
CHƯƠNG 8
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHI U BI N

§1. HÀM S NHI U BI N S
1.1. ð NH NGHĨA
M t hàm s th c c a n bi n s th c là m t ánh x t t p h p Rn (t p h p
các b n s th c) vào t p s th c R.
Nói cách khác, v i m i b n s th c ( x1 , x2 , ...,xn ) ∈ R ta có tương ng
n


m t s th c u ∈ R theo m t quy t c f nào ñó. Ph n t u ∈ R , nh c a ph n t
(x1, x2 , ...,xn ) ∈ Rn qua ánh x f s ñư c kí hi u là u = f ( x1 , x2 , ..., xn )
ð cho ti n ta dùng ngay kí hi u trên ñ ch hàm n bi n và c n hi u là:
Hàm n bi n:
f : Rn → R
u = f (x1 , x2 ,..., xn )

Thí d 1. Cho hàm hai bi n f : R 2 → R z = a 2 − x 2 − y 2 (1.1)
Ta th y ngay r ng ñ có z tương ng v i (x, y) theo hàm trên thì các s (x, y)
ph i th a mãn ñi u ki n
a 2 − x 2 − y 2 ≥ 0 hay x2 + y2 ≤ a2
Mi n ch a ñi m (x, y) th a mãn ñi u ki n trên cũng ñư c g i là mi n xác ñ nh
c a hàm, ñây là mi n hình tròn tâm O, bán kính a (k c ñư ng biên)
Hàm (1.1) có m t hình nh hình h c là n a m t c u tâm O bán kính a n m phía
trên m t ph ng xOy.
Thí d 2. Hàm hai bi n f : R 2 → R z = ax + by + c là hàm b c nh t ñ i v i hai
bi n x và y . Nó xác ñ nh v i m i (x, y) và có hình nh hình h c là m t m t
ph ng trong không gian.
Chú ý 1. N u ta cho m t s bi n c a hàm nhi u bi n các giá tr không ñ i thì ta
s có hàm v i s bi n ít hơn. Ch ng h n v i hàm hai bi n z = f ( x, y ) n u ta cho
y = y0 không ñ i trong su t quá trình kh o sát thì ta có hàm c a m t bi n x :
z = f ( x , y0 ) .

Chú ý 2. N u trong hàm hai bi n z = f ( x, y ) ta cho z giá tr không ñ i C thì
phương trình f ( x, y ) = C nói chung bi u di n m t ñư ng cong nào ñó (là giao
tuy n c a m t ph ng z = C v i m t cong z = f ( x, y ) ). Trên ñư ng cong này, các

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 142 Giáo trình toán cao c p 1
giá tr c a hàm là như nhau. Ta g i nó là ñư ng ñ ng m c c a hàm f (v i m c
C). Bi u di n m t s ñư ng ñ ng m c trên cùng m t hình v ta có m t hình nh
v hàm ñang xét. Thí d , trên m t b n ñ ñ a lý, các ñi m có cùng m t ñ sâu
ñư c n i v i nhau b ng các ñư ng ñ ng m c.
V i hàm ba bi n f ( x, y, z ) , các m t f ( x, y, z ) = C là các m t ñ ng m c. Thí d
trong v t lý h c, n u hàm f là m t hàm th , cho giá tr c a th năng t i các ñi m
trong không gian thì m t ñ ng m c chính là các m t ñ ng th .
1.2. GI I H N VÀ LIÊN T C
Ta coi m t b n s th c ( x1 , x2 , .., xn ) như m t ñi m M trong không gian n
chi u R n . Như v y hàm n bi n u = f ( x1 , x2 , .., xn ) s ñư c coi như hàm c a ñi m
M: u = f ( M ) .
Ta g i kho ng cách gi a hai ñi m A ( a1 , a2 , .., an ) và M ( x1 , x2 , .., xn ) là s :

d ( A, M ) = ( x1 − a1 ) + ( x2 − a2 ) + ... + ( xn − an )
2 2 2



 x1 → a1
x → a

ði m M d n t i M 0 : M → M 0 khi và ch khi  2 2

...
 xn → an

ð nh nghĩa:
1. Hàm u = f ( M ) có gi i h n là l khi ñi m M d n t i ñi m A n u v i m i ε > 0
cho trư c ta tìm ñư c m t s δ > 0 sao cho : khi 0 ≠ d ( A, M ) < δ thì
f (M ) − l < ε .

Ta vi t M → A f ( M ) = l
lim

2. Hàm u = f ( M ) ñư c g i là liên t c t i ñi m A n u:
a. Nó xác ñ nh t i A (t c là giá tr f ( a1 , a2 ,.., an ) có)
b. M → A f ( M ) = f ( A )
lim


§2. ð O HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN C A HÀM NHI U BI N
2.1. ð O HÀM RIÊNG
Gi s f là m t hàm n bi n xác ñ nh trong m t mi n xác ñ nh ch a ñi m
( x1 , x2 , .., xn ) . Ta cho s xi m t s gia ∆xi còn gi nguyên các bi n khác (coi như

hàm ch ch a bi n xi )

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 143 Giáo trình toán cao c p 1
Xét t s
∆f f ( x1 ,..., xi + ∆xi ,..., xn ) − f ( x1 ,..., xi ,..., xn )
=
∆xi ∆xi
N u ∆xi → 0 mà t s trên có gi i h n thì gi i h n c a nó ñư c g i là ñ o hàm
riêng l y theo bi n xi t i ñi m ( x1 , x2 , .., xn ) c a hàm f .
∂f
Ta kí hi u ñ o hàm riêng cuat hàm f l y theo bi n xi là , i = 1, 2,..., n hay
∂xi
f x′i ( x1 , x2 , .., xn ) .

Như v y mu n tính ñ o hàm riêng c a m t hàm f theo m t bi n nào ñó ta ch
vi c tính ñ o hàm c a hàm ñó theo bi n ñang xét (coi như hàm m t bi n), còn
các bi n khác coi như h ng s .
y
Thí d 1: Tính các ñ o hàm riêng c a hàm hai bi n f ( x, y ) = .
x

∂f  1 ′ y ∂f 1 1
Ta có = y  = − 2 ; = ( y )′ y =
∂x xx x ∂y x x
Thí d 2: f ( x, y ) = x y . Khi l y ñ o hàm riêng theo x, coi như h ng s nên áp
∂f
d ng quy t c ñ o hàm hàm lu th a: = yx y −1 . Khi l y ñ o hàm riêng theo y,
∂x
∂f
coi x như h ng s nên áp d ng quy t c ñ o hàm hàm mũ: = x y ln x .
∂x
Thí d 3: f (x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2
∂f x ∂f y ∂f z
= ; = ; = ;
∂x x +y +z
2 2 2 ∂y x +y +z
2 2 2 ∂z x + y2 + z2
2



N u ñ t r = x 2 + y 2 + z 2 thì r là ñ dài c a véc tơ OM v i M (x, y, z ) ; g i α , β , γ
là các góc t o b i véc tơ OM v i các tr c Ox, Oy, Oz thì:
∂f x ∂f y ∂f z
= = cos α ; = = cos β ; = = cos ϕ ;
∂x r ∂y r ∂z r

2.2. CÁC ð O HÀM RIÊNG C P HAI
N u hàm z = f (x, y ) có các ñ o hàm riêng theo x trong m t mi n D nào ñó
thì có th coi f x′(x, y ) là hàm c a hai bi n x, y . N u hàm này l i có các ñ o hàm
riêng thì các ñ o hàm riêng c a f x′ theo x và theo y ñư c g i là các ñ o hàm
riêng c p hai:
∂  ∂f  ∂ 2 f
ð o hàm riêng c p hai c hai l n theo x:  = ′′
hay f xx
∂x  ∂x  ∂x 2
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 144 Giáo trình toán cao c p 1
∂  ∂f  ∂ 2 f
ð o hàm riêng c p hai h n h p, theo x r i theo y:  = ′′
hay f xy
∂y  ∂x  ∂x∂y

∂  ∂f  ∂ 2 f
ð o hàm riêng c p hai h n h p, theo y r i theo x:   = ′′
hay f yx
∂x  ∂y  ∂y∂x
∂  ∂f  ∂ 2 f
ð o hàm riêng c p hai c hai l n theo y:  = ′′
hay f yy
∂y  ∂y  ∂y 2
Ta th a nh n r ng: n u các ñ o hàm h n h p c p hai c a hàm z = f (x, y ) là liên
t c thì chúng b ng nhau: f xy (x, y ) = f yx (x, y )
′′ ′′

Thí d : V i hàm hai bi n z = x 3 y 2 − 3 xy 3 − xy + 1 ta có:
∂z ∂z
Các ñ o hàm riêng c p 1: = 3 x 2 y 2 − 3 y 3 − y; = 2 x 3 y − 9 xy 2 − x;
∂x ∂y
Các ñ o hàm riêng c p 2:
∂2z ∂2z
= 6 xy 2 ; = 2 x 3 − 18 xy
∂x 2 ∂y 2
∂2z ∂2z
= 6 x 2 y − 9 y 2 − 1; = 6x 2 y − 9 y 2 − 1
∂y∂x ∂x∂y
Các ñ o hàm riêng c a các hàm ñ o hàm riêng c p hai (n u có) ñư c g i là các
ñ o hàm riêng c p ba. N u các ñ o hàm riêng là liên t c thì chúng không ph
thu c th t l y ñ o hàm.
Ta cũng có các k t qu tương t cho các hàm nhi u bi n hơn.
2.3. VI PHÂN TOÀN PH N
Cho hàm hai bi n z = f (x, y ) xác ñ nh trong m t mi n nào ñó ch a ñi m
(x0 , y0 ) . Ta xét s gia toàn ph n c a hàm t i ñi m (x0 , y 0 ) :
∆f = f (x 0 + ∆x, y 0 + ∆y ) − f ( x0 , y 0 )

Cũng như ñ i v i hàm m t bi n n u ta có có th bi u di n s gia ∆f dư i d ng:
∆f = A∆x + B∆y + α (ρ ), ρ = ∆x 2 + ∆y 2 (2.1)
T c là nó g m hai ph n:
+ Thành ph n th nh t, b c nh t ñ i v i ∆x, ∆y (A, B ñ c l p v i ∆x, ∆y );
α (ρ )
+ Thành ph n th hai là m t vô cùng bé c p cao hơn ρ , t c là → 0 khi
ρ
ρ → 0 (c ∆x và ∆y ñ u ti n v 0).




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 145 Giáo trình toán cao c p 1
Khi ñó, thành ph n A∆x + B∆y , ph n chính b c nh t ñ i v i ∆x, ∆y c a s gia
∆f s ñư c g i là vi phân toàn ph n c a hàm z = f (x, y ) t i ñi m ( x0 , y 0 ) . Nó

ñư c kí hi u df (x 0 , y 0 ) hay g n hơn là dz .
Thí d : Tìm vi phân toàn ph n c a hàm z = f (x, y ) = x 2 + y 2
Ta có ∆f = (x0 + ∆x )2 + ( y 0 + ∆y )2 − (x0 2 + y 0 2 ) = 2 x0 ∆x + 2 y 0 ∆y + ∆x 2 + ∆y 2
α (ρ ) ∆x 2 + ∆y 2
ñây α (ρ ) = ∆x 2 + ∆y 2 vì = = ∆x 2 + ∆y 2 → 0 khi ρ → 0
ρ ∆x + ∆y
2 2



(∆x → 0, ∆y → 0); α (ρ ) là vô cùng bé có c p cao hơn ρ
V y: df ( x0 , y 0 ) = 2 x0 ∆x + 2 y 0 ∆y

ð nh lý: N u hàm z = f (x, y ) có vi phân t i (x0 , y 0 ) thì nó cũng có các ñ o hàm
∂f ( x 0 , y 0 ) ∂f ( x0 , y 0 )
riêng t i (x0 , y 0 ) và = A và =B
∂x ∂y
Th c v y, ta cho trong (2.1) ∆y = 0 : f ( x 0 + ∆x, y 0 ) − f ( x0 , y 0 ) = A∆x + α ( ∆x )
f ( x 0 + ∆x , y 0 + ∆ y ) − f ( x 0 , y 0 ) α ( ∆x )
lim = A + lim
∆x →0 ∆x ∆x → 0 ∆x
Khi ∆x → 0 thì gi i h n cu i cùng b ng không vì α ( ∆x ) là vô cùng bé c p cao
∂f ( x0 , y 0 ) ∂f ( x0 , y 0 )
hơn ∆x . V y = A . Ch ng minh tương t ta có =B
∂x ∂y
Ta th a nh n k t qu sau:
Ngư c l i, n u hàm z = f (x, y ) có các ñ o hàm riêng liên t c t i (x0 , y 0 ) thì nó có
vi phân t i ñi m ñó và
∂f ( x0 , y 0 ) ∂f ( x0 , y 0 )
df (x0 , y 0 ) = ∆x + ∆y (2.2)
∂x ∂y
Sau này ñ tính vi phân toàn ph n c a hàm hai bi n ta s dùng công th c (2.2).
∂z ∂z
Ta thư ng vi t nó dư i d ng thu g n: dz = ∆x + ∆ y .
∂x ∂y
N u các bi n s x, y c a hàm hai bi n z = f (x, y ) ñ c l p thì ta cũng có dx = ∆x
và dy = ∆y , khi ñó vi phân toàn ph n c a hàm hai bi n còn ñư c vi t dư i d ng:
∂z ∂z
dz = dx + dy
∂x ∂y
Ta cũng có k t qu tương t cho hàm s nhi u bi n hơn, ch ng h n v i hàm c a
ba bi n s ñ c l p u = f ( x, y, z ) ta có vi phân toàn ph n c a nó:

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 146 Giáo trình toán cao c p 1
∂u ∂u ∂u
du = dx + dy + dz
∂x ∂y ∂z
Thí d : Tìm vi phân toàn ph n c a hàm u = xyz t i ñi m ( x, y, z ) .
∂u ∂u ∂u
Ta có = yz; = xz; = xy;
∂x ∂y ∂z
T ñó: du = yzdx + zxdy + xydz
2.4. ÁP D NG VI PHÂN TOÀN PH N VÀO TÍNH G N ðÚNG VÀ
ðÁNH GIÁ SAI S
T công th c (2.1) ta th y r ng khi ρ khá bé t c là ∆x , ∆y khá bé ta có công
th c tính g n ñúng
∂f ( x0 , y0 ) ∂f ( x0 , y0 )
f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) ≅ f ( x0 , y0 ) + ∆x + ∆y
∂x ∂y
Thí d : Tính g n ñúng 1, 024,05
Xét hàm z = x y và áp d ng công th c g n ñúng trên:
( x0 + ∆x )
y0 +∆y
≅ x0 y0 + y0 x0 y0 −1∆x + x0 y0 ln x0 ∆y
Cho x0 = 1, ∆x = 0, 02, y0 = 4, ∆y = 0, 05 ta có
1, 024,05 ≅ 14 + 4.130, 02 + 14 ln 0, 05 = 1, 08
Bây gi xét m t áp d ng c a vi phân toàn ph n vào vi c ñánh giá sai s
Gi s ta ph i tính giá tr c a hàm cho trư c z = f ( x, y ) t i các giá tr c a x và y
mà ta ch bi t chúng m t cách x p x . Nói cách khác v i giá tr x ta m c ph i sai
s ∆x , v i y ta m c ph i sai s ∆y , như v y khi tính z theo các giá tr
x + ∆x, y + ∆y ta s m c ph i sai s , sai s ñó chính là ∆z . Do ∆x, ∆y khá bé nên ta
có th thay ∆z b i dz .
Thông thư ng sai s ∆x c a giá tr x, v tr tuy t ñ i không vư t quá m t s
dương ∆ x nào ñó, s ∆ x này ñư c g i là sai s tuy t ñ i c a x: ∆x ≤ ∆ x .
Tương t ∆y ≤ ∆ y , v i ∆ y là sai s tuy t ñ i c c ñ i c a y.
∂z ∂z
T ñó, ∆z ≅ dz ≤ ∆x + ∆y
∂x ∂y
∂z ∂z
V y sai s tuy t ñ i c c ñ i c a z là: ∆ z = ∆x + ∆y
∂x ∂y
Chú ý: Nhi u khi ngư i ta dùng sai s tương ñ i c c ñ i c a z, ñó là t s :
∆z
δz = .
z
∂z ∂x ∂z ∂y ∂ ln z ∂ ln z
Như v y, δ z = ∆x + ∆y = ∆x + ∆y
z z ∂x ∂y
Sai s tương ñ i c c ñ i c a z b ng sai s tuy t ñ i c a ln z .



----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 147 Giáo trình toán cao c p 1
2.5. ð O HÀM HÀM S H P
Cho hàm s z = f ( x, y ) có vi phân (kh vi ñ i v i x và y). Gi s x và y không
ph i là bi n s ñ c l p mà là hàm c a m t bi n t nào ñó: x = x ( t ) , y = ( t ) v i gi
thi t chúng là các hàm kh vi ñ i v i t.
Như v y, v th c ch t hàm z = f ( x, y ) là hàm c a bi n s t, và ta mu n tính ñ o
hàm c a nó theo t.
Vì hàm f có vi phân nên ta có th vi t: ∆f = A∆x + B∆y + α ( ρ )
∆f ∆x ∆y α ( ρ )
T ñó: =A +B + . A, B ñ c l p v i ∆x, ∆y nên cũng ñ c l p v i ∆t
∆t ∆t ∆t ∆t
∆x dx ∆y dy
nên khi ∆t → 0 thì: A → A , B → B
∆t dt ∆t dt
∆(ρ) α ( ρ ) ∆x 2 + ∆y 2 α ( ρ )  ∆x  2  ∆y  2
M t khác, = ⋅ = ⋅   + 
∆t ρ ∆t ρ  ∆ t   ∆t 
Các hàm x(t ), y (t ) kh vi nên liên t c, vì v y, khi ∆t → 0 thì c ∆x, ∆y → 0 t c là
α (ρ )
ρ → 0 . Theo ñ nh nghĩa c a vi phân → 0 khi ρ → 0 . Vì v y:
ρ
α (ρ) 2
 dx   dy 
2

Khi ∆t → 0 : → 0⋅   +   = 0
ρ  dt   dt 
∆f dx dy df ∂f dx ∂f dy
v y lim = A⋅ + B ⋅ hay = ⋅ + ⋅
∆t →0 ∆t dt dt dt ∂x dt ∂y dt
Ta có th m r ng k t qu trên cho trư ng h p hàm h p c a hai bi n:
z = f ( x, y ) v i x = x ( u , v ) ; y = y ( u , v )
Khi ñó n u hàm z là kh vi ñ i v i x, y; các hàm x, y kh vi ñ i v i u, v thì hàm
h p z = f  x ( u , v ) , y = y ( u , v ) cũng kh vi ñ i v i u, v và ta có:
 
df ∂f dx ∂f dy
= ⋅ + ⋅
du ∂x du ∂y du
df ∂f dx ∂f dy
= ⋅ + ⋅
dv ∂x dv ∂y dv
2 2
Thí d 1: z = e x + y x = a cos t , y = b sin t
∂z 2 2 ∂z 2 2 dx dy
Ta có: = 2 xe x +y
; = 2 ye x +y ; = −a sin t ; = bcost
∂x ∂y dt dt
t ñó:
dz
= 2e x +y ( − ax sin t + bycost ) = e x +y sin 2t (b 2 − a 2 )
2 2 2 2


dt
Thí d 2: z = x 2 + y 2 trong ñó x = u + v; y = u − v
Khi ñó:
dz ∂z dx ∂z dy
= ⋅ + ⋅ = 2 x + 2 y = 4u
du ∂x du ∂y du
dz ∂z dx ∂z dy
= ⋅ + ⋅ = 2 x − 2 y = 4v
dv ∂x dv ∂y dv

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 148 Giáo trình toán cao c p 1
§3. C C TR C A HÀM NHI U BI N
3.1. ð NH NGHĨA
Hàm n bi n z = f ( x1 , x2 ,..., xn ) có c c ñ i t i ( x10 , x2 ,..., xn ) trong m t mi n D
0 0


n u v i m i ñi m ( x1 , x2 ,..., xn ) thu c m t lân c n ñ nh c a ñi m ( x10 , x2 ,..., xn )(∗)
0 0


ta có:
f ( x1 , x2 ,..., xn ) ≤ f ( x10 , x2 ,..., xn )
0 0


Hàm n bi n z = f ( x1 , x2 ,..., xn ) có c c ti u t i ( x10 , x2 ,..., xn ) trong m t mi n D
0 0


n u v i m i ñi m ( x1 , x2 ,..., xn ) thu c m t lân c n ñ nh c a ñi m ( x10 , x2 ,..., xn )(∗)
0 0


ta có:
f ( x1 , x2 ,..., xn ) ≥ f ( x10 , x2 ,..., xn ) .
0 0


Thí d : Hàm z = f ( x, y ) = x 2 + y 2 có c c ti u t i ( 0, 0 ) vì v y v i m i x, y ta luôn
có: f ( x, y ) = x 2 + y 2 ≥ 0 = f (0, 0)
3.2. ðI U KI N C N C A C C TR
N u hàm kh vi z = f ( x1 , x2 ,..., xn ) c c tr t i ñi m ( x10 , x2 ,..., xn ) thì các ñ o
0 0


hàm riêng c a hàm t i ñi m ñó tri t tiêu.
Ta ch ng minh cho trư ng h p hàm hai bi n z = f ( x, y ) . Gi s nó có c c tr t i
ñi m (x0 , y 0 ) . Xét hàm m t bi n z = f ( x, y0 ) , do gi thi t nó có c c tr t i ñi m
∂z
x = x0 , theo ñi u ki n c n c a c c tr hàm m t bi n ta có = 0 t i ñi m ( x0 , y0 ) .
∂x
∂z
Tương t ta có = 0 t i ñi m ( x0 , y0 ) .
∂y
Trong thí d ph n trên ta ñã ch ng t hàm z = x 2 + y 2 có c c ti u t i (0,0).
∂z ∂z
Ta có = 2 x = 0; = 2 y = 0 t c là các ñ o hàm riêng t i ñi m c c tr (0,0) tri t
∂x ∂y
tiêu.
C n chú ý r ng ñi u ki n các ñ o hàm riêng tri t tiêu ch là ñi u ki n c n ch
không ph i là ñ .
ch ng h n hàm z = x 2 − y 2 có các ñ o hàm riêng tri t tiêu t i (0,0), nhưng t i ñó
nó không có c c tr . Ta có f (0, 0) = 0 . N u ta l y các ñi m ( x, y ) thu c lân c n
ñi m (0, 0) mà x > y thì f ( x, y ) > 0 còn n u l y các ñi m ( x, y ) mà x < y thì
f ( x, y ) < 0 (hình 30)
Hàm không th a mãn ñ nh nghĩa c a c c tr t i ñi m (0, 0) . ði u ki n ñ c a c c
tr hàm nhi u bi n khá ph c t p. Ta phát bi u ñây mà không ch ng minh.
ði u ki n ñ c a c c tr hàm hai bi n:
Gi s hàm z = f ( x, y ) liên t c cùng v i các ñ o hàm riêng c p m t và c p hai
c a nó trong m t mi n ch a ñi m ( x0 , y0 ) . T i ( x0 , y0 ) các ñ o hàm riêng c p m t
tri t tiêu. Ký hi u các ñ o hàm riêng c p hai t i ( x0 , y0 ) là:


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 149 Giáo trình toán cao c p 1
 ∂2 z   ∂2 z   ∂2 z 
A= 2  ; B=  ; C = 2 
 ∂x ( x0 , y0 )  ∂x∂y ( x0 , y0 )  ∂y ( x0 , y0 )
N u AC − B 2 > 0 hàm f ( x, y ) có c c tr t i ñi m ( x0 , y0 ) . C c tr ñó là c c
ñ i n u A < 0 ; là c c ti u n u A > 0 .
N u AC − B 2 < 0 hàm f ( x, y ) không có c c tr t i ñi m ( x0 , y0 ) .
N u AC − B 2 = 0 , ta không k t lu n ñư c. Nói cách khác, tiêu chu n này
không có hi u l c ta ph i dùng các tiêu chu n khác ho c dùng ñ nh nghĩa c c
tr ñ kh o sát.
Thí d : Tìm các ñi m c c tr c a hàm z = 2 x3 + xy 2 + 5 x 2 + y 2
6 x 2 + y 2 + 10 x = 0
Cho các ñ o hàm riêng c p m t tri t tiêu ta ñư c h 
 2 xy + 2 y = 0
T phương trình hai ta ñư c x = −1 ho c y = 0 . Thay vào phương trình ñ u, ta
tìm ñư c b n ñi m M 1 ( 0, 0 ) , M 2  − , 0  , M 3 ( −1, 2 ) , M 4 ( −1, −2 ) .
5
 
3  
∂ z 2
∂2 z ∂2z
Ta tính các ñ o hàm riêng c p hai: 2 = 12 x + 10; = 2 y; = 2x + 2
∂x ∂x∂y ∂y 2
T i M 1 : A = 10; B = 0; C = 2, AC − B 2 > 0, A > 0 : hàm có c c ti u.
4
T i M 2 : A = −20; B = 0; C = − , AC − B 2 > 0, A < 0 : hàm có c c ñ i
3
T i M 3 : A = −2; B = 4; C = 0, AC − B 2 < 0 : hàm không có c c tr
T i M 4 : A = −2; B = −4; C = 0, AC − B 2 < 0 : hàm không có c c tr
Chú ý: trong nhi u trư ng h p ñ c bi t là trong các bài toán tìm giá tr l n nh t
ho c giá tr nh nh t, n u ta bi t r ng bài toán ñang xét ch c ch n có c c tr mà
ta ch tìm ñư c m t ñi m t i ñó có các ñ o hàm riêng c p m t tri t tiêu thì s
d ng ñi u ki n c n c a c c tr ta có th k t lu n ñi m ta tìm ñư c là ñi m c c tr
tránh ph i dùng ñi u ki n ñ c a c c tr vì nó khá ph c t p.




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 150 Giáo trình toán cao c p 1
BÀI T P
8.1. Tìm mi n xác ñ nh c a các hàm sau:
1  x 
z= ; z = arcsin  2 
a2 − x2 − y 2 y 
 x
z = ln  −  ; u = x + y + z
 y
8.2. Tìm các ñư ng ñ ng m c c a các hàm
x x
1) z = 2 x + y; 2) z = ; 3) z =
y y
8.3. Cho hàm s
x
1) f ( x, y ) = xy + ; tính f x′ ( 2,1) f y′ ( 2,1)
y
. Tính z′ , z′y
2
+y 2
2) z = e x x

1 ∂z 1 ∂z z
8.4. Ch ng t r ng hàm z = y ln( x 2 − y 2 ) th a mãn phương trình + = 2
x ∂x y ∂y y
∂x ∂x
∂r ∂ϕ
8.5. cho x = rcosϕ , y = rsinϕ . Tìm
∂y ∂y
∂r ∂ϕ
8.6. Tìm vi phân toàn ph n c a các hàm s sau:
1) z = ln( x + x 2 + y 2 )
2) u = e x (cosy + xsiny)
2
3) u = x y z
8.7. Ch ng t r ng n u bi u th c P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy là vi phân toàn ph n c a
∂P ∂Q
m t hàm u ( x, y ) nào ñó thì ta có = .
∂y ∂x
8.8. Tính g n ñúng:
1,02
1) arctg ; 2) 3 1,02 2 + 0,052 ; 3) sin 2 1,55 + 8e0,015
0,95
8.9.
1) Cho hàm z = y ln x . Tìm z′′ , z′′ , z′′
xx xy yy

 y
2) Cho hàm z = ln tg   . Tìm z′′
xy
x  
8.10. Cho hàm
1 u
1) z = ln v i u = tg 2 x, v = cot g 2 x . Tìm z′
x
2 v
x2 − y dz
2) z = 2 v i y = 3x + 1 . Tìm
x +y dx

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 151 Giáo trình toán cao c p 1
1 ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2u
8.11. Cho hàm u = v i r = x 2 + y 2 + z 2 . ch ng t r ng: 2 + 2 + 2 = 0
r ∂x ∂y ∂z
8.12. ð o hàm theo hư ng. Ngư i ta ñ nh nghĩa ñ o hàm c a hàm z = f ( x, y ) t i
ñi m M ( x, y ) theo hư ng véc tơ l = MM 1 v i M 1 ( x1 , y1 ) là gi i h n (n u có) c a
t s :
f ( M1 ) − f (M ) ∂z
khi MM 1 → 0 ; ký hi u ñ o hàm theo hư ng l là . Như v y,
MM 1 ∂l
n u ñ t ∆z = f ( M 1 ) − f ( M ); x1 = x + ∆x, y1 = y + ∆y, ρ = MM 1 thì ρ = ∆x 2 + ∆y 2
∂z ∆z
và = lim . Dùng công th c ∆z = dz + α ( ρ ) , α → 0 khi ρ → 0 . Ch ng minh
∂l ρ →0 ρ
r ng n u hàm z kh vi thì ñ o hàm c a nó theo hư ng l (cosx , sinx) s là:
∂z ∂z ∂z
= cosα + sin α
∂l ∂x ∂y
t ñó hãy tìm hư ng mà theo ñó ñ o hàm theo hư ng có giá tr l n nh t và tìm
giá tr l n nh t ñó.
8.13. Tìm các c c tr c a các hàm
1) z = x 2 + xy + y 2 − 3 x − 6 y
1 x y
2) z = xy + ( 47 − x − y )  + 
2 3 4
8.14. Ch ng minh r ng trong s các hình ch nh t có t ng ba kích thư c không
ñ i thì hình l p phương có th tích l n nh t.
8.15. C c tr có ñi u ki n. C c tr c a hàm z = f ( x, y ) v i ñi u ki n gi a x và y
th a mãn h th c ϕ ( x, y ) = 0 ñư c g i là c c tr có ñi u ki n. Cách tìm c c tr có
ñi u ki n: Xét hàm z = f ( x, y ) v i ϕ ( x, y ) = 0 . Có th coi y là hàm c a x:
dz
y = y ( x) nên z = f  x, y ( x )  . ði u ki n c n c a c c tr
  là =0 hay
dx
dz ∂f ∂f dy
= + = 0 (a)
dx ∂x ∂y dx
dy ∂ϕ ∂ϕ dy ϕ′
Ta tính . T ϕ ( x, y ) = 0 có dϕ = dx + dy = 0 nên =− x
dx ∂x ∂y dx ϕ′ y

∂f ϕ x ∂f′ f′ f y′
Thay vào (a) ta có: − =0⇔ x = (b )
∂x ϕ ′ ∂yy ϕ′ ϕ′
x y

f′ f′ ∂f ∂f
ð t x = y = −λ thì (b) tương ñương v i ′
+ λϕ x = 0; + λϕ ′ = 0
ϕx ϕ′
′ y ∂x ∂y
y


V y ñ tìm c c tr c a hàm s z = f ( x, y ) v i ñi u ki n ϕ ( x, y ) = 0 ta tìm c c tr
hàm ph (ñư c g i là hàm Lagrange):
F ( x, y ) = f ( x, y ) + λϕ ( x, y ) v i λ là m t h ng s .
Áp d ng: Tìm c c tr c a hàm z = xy v i ñi u ki n 2 x + 3 y − 5 = 0 .

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 152 Giáo trình toán cao c p 1
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 153 Giáo trình toán cao c p 1
CHƯƠNG 9
PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
§1. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN B T ð NH
1.1 NGUYÊN HÀM C A HÀM S
Trong chương 7, ta ñã xét bài toán ñ o hàm: Cho hàm s F (x ) , tìm hàm
f (x ) là ñ o hàm c a hàm F (x ) :

f (x ) = F ′(x )

Trong chương này ta xét bài toán ngư c l i: Cho hàm f (x ) , hãy tìm m t
hàm F (x ) sao cho nó có ñ o hàm ñúng b ng f (x ) ñã cho:

F ′(x ) = f (x )

Ví d : Cho f (x ) = cos x thì F (x ) = sin x vì:
F ′(x ) = (sin x )′ = cos x = f (x )

ð nh nghĩa: Hàm F (x ) ñư c g i là nguyên hàm c a hàm f (x ) n u t i m i
x thu c mi n xác ñ nh c a hàm ta có:
F ′(x ) = f (x )
n +1
Ví d : Nguyên hàm c a cos x là sin x , nguyên hàm c a x n là x .
n +1
Ta ñã bi t r ng, n u m t hàm s có ñ o hàm thì ñ o hàm c a nó là duy
nh t. Nhưng n u m t hàm s ñã có m t nguyên hàm thì nó có vô s nguyên
hàm. Th t v y, n u F (x ) là m t nguyên hàm c a f (x ) thì F (x ) + C v i C là
m t h ng s tuỳ ý cũng là m t nguyên hàm c a f (x ) .
ð nh lý: Hai nguyên hàm c a cùng m t hàm s ch sai khác nhau m t
h ng s .
Gi s F1(x ) và F2(x ) cùng là nguyên hàm c a hàm f (x )

Ta xét hàm Φ(x ) = F1(x ) − F2(x )

Ta có: Φ′(x ) = F2′(x ) − F1′ x ) = f (x ) − f (x ) = 0.
(

Hàm Φ(x ) có ñ o hàm b ng không t i m i ñi m thu c mi n xác ñ nh c a
nó nên có giá tr không ñ i:

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 154 Giáo trình toán cao c p 1
Φ(x ) = C hay F2′(x ) − F1′ x ) = C
(

Như v y ñ tìm m i nguyên hàm c a hàm f (x ) ta ch vi c tìm m t nguyên
hàm F (x ) c a nó r i thêm h ng s C tuỳ ý. Mu n tìm m t nguyên hàm tho
mãn ñi u ki n nào ñó ta tìm t p h p m i nguyên hàm r i xác ñ nh h ng s C
nh ñi u ki n ñã cho.
Ví d : Tìm nguyên hàm c a hàm cos x bi t nguyên hàm ñó b ng 0 t i
x = π.
2
T p h p các nguyên hàm c a cos x là sin x + C

T i x = π ta có sin π + C = 0 hay 1 + C = 0,C = −1
2 2
V y nguyên hàm c n tìm là (sin x − 1)

1.2 TÍCH PHÂN B T ð NH
ð tìm nguyên hàm c a hàm s ñư c thu n l i, ta ñưa vào khái ni m tích
phân b t ñ nh.
ð nh nghĩa : T p h p m i nguyên hàm c a hàm f (x ) ñư c g i là tích phân
b t ñ nh c a hàm f (x ) và ñư c ký hi u là: ∫ f (x )dx .

D u ∫ là d u tích phân, hàm f (x ) là hàm s dư i d u tích phân, dx là vi
phân c a x , x ch bi n s l y d u tích phân, f (x )dx là bi u th c dư i d u tích
phân.
Như v y, n u F (x ) là m t nguyên hàm c a f (x ) thì: ∫ f (x )dx = F(x ) + C
C là m t h ng s tuỳ ý. Ta suy ra các tính ch t c a tích phân b t ñ nh:
1) ð o hàm c a tích phân b t ñ nh b ng hàm s dư i d u tích phân:

∫ f (x )dx  = [F (x ) + C ]′ = f (x ) . T ñó:
 
d ∫ f (x )dx = f (x )dx

Vi phân c a tích phân b t ñ nh b ng bi u th c dư i d u tích phân.
2) Ta có: ∫ dF (x ) = F (x ) + C do dF (x ) = F ′(x )dx = f (x )dx.
3) Tích phân b t ñ nh c a m t t ng các hàm s b ng t ng c a các tích
phân c a t ng hàm s : ∫ [f (x ) + g(x )]dx = ∫ f (x )dx + ∫ g(x )dx .
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 155 Giáo trình toán cao c p 1
4) Có th ñưa h ng s không ñ i ra ngoài d u tích phân.
N u k là m t h s không ñ i thì ∫ kf (x )dx = k ∫ f (x )dx .
Có th ki m ch ng các tính ch t 3, 4 b ng cách ch ng t ñ o hàm c a v
ph i và v trái b ng nhau.
1.3 B NG CÁC TÍCH PHÂN B T ð NH C A M T S HÀM S
D a vào b ng ñ o hàm và ñ nh nghĩa tích phân b t ñ nh ta có :
α +1 dx
x
∫ x αdx = α + 1 + C ; α ≠ −1 ∫ cos2 x = tgx + C
dx dx
∫ x = ln | x | +C ∫ sin2 x = − cot gx + C
x
a dx x
∫ a xdx = ln a + C ∫ a 2 − x 2 = arcsin a + C
∫ e xdx = e x + C dx 1 x
∫ a 2 + x 2 = a arctg a + C
∫ sin xdx = − cos x + C dx 1 a +x
∫ a 2 − x 2 = 2a ln | a − x | +C
∫ cos xdx = sin x + C
dx
∫ x 2 + a = ln | x + x 2 + a | +C



ð ki m ch ng các công th c trên ta ch vi c l y ñ o hàm v ph i ta s
ñư c hàm dư i d u tích phân. Ch ng h n v i công th c (12):
′ 1  
ln | x + x 2 + a | +C  =
  1 + 2x  = 21
 
x + x2 + a  x +a x +a
ð vi c tìm tích phân b t ñ nh ñư c nhanh chóng ta c n h c thu c lòng
b ng tích phân trên.
§2. HAI PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
2.1 PHÉP ð I BI N
Gi s F là m t nguyên hàm c a hàm c a hàm f và gi s x = ϕ(t) là m t
hàm kh vi nào ñó. Ta xét hàm h p: F (x ) = F (ϕ(t ))

ð o hàm c a nó: {F [ϕ(t )]} = f [ϕ(t)]ϕ′(t) .

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 156 Giáo trình toán cao c p 1
Theo ñ nh nghĩa tích phân b t ñ nh:

∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt = F (ϕ(t)) + C = F (x ) + C = ∫ f (x )dx
T ñó ta ñư c công th c ñ i bi n s trong tích phân b t ñ nh:

∫ f (x )dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt (1)

v i x = ϕ(t) là hàm kh vi.

ð ñ i bi n s trong tích phân ta thay x = ϕ(t) hàm dư i d u tích phân,
v i ϕ(t ) là m t hàm kh vi, dx = ϕ ′(t )dt sao cho tích phân nh n ñư c, v i bi n
s tích phân là t , thu c lo i tích phân trong b ng nêu trên.

Ví d 1: ∫ cos(ax + b)dx . ð t t = ax + b , t c là x = t − b , dx = a dt;
a
1


1 1 1
∫ cos(ax + b)dx = a ∫ cos tdt = a sin t + C = a sin(ax + b) + C
Ví d 2: ∫ a 2 − x 2dx . ð t x = a sin t, a 2 − x 2 = a 2 cos2 t, dx = a cos tdt;

1 + cos 2t =
∫ a 2 − x 2dx = ∫ a cos t.a cos tdt = a 2 ∫ cos2 tdt = a 2 ∫ 2
2 2 2 2
= a ∫ dt + a ∫ cos 2tdt = a t + a sin 2t + C .
2 2 2 4
x x
ð tr l i bi n x ta chú ý là: x = a sin t ⇔ sin t = a ⇔ t = arcsin a .


2
sin 2t = 2 sin t cos t = 2 sin 1 − sin2 t = 2 a 1 − x 2 = 2 x2 a 2 − x 2
x
a a
2
a x x
∫ a 2 − x 2dx = 2 arcsin a + 2 a 2 − x 2 + C
Chú ý: Thay ñ i vai trò c a t và x trong công th c (1) ta ñư c:

∫ f (ϕ(x ))ϕ′(x )dx = ∫ f (f )dt
N u ta bi n ñ i tích phân ñã cho v trái v tích phân v ph i thì khi ñó
ta dùng phép ñ i bi n t = ϕ(x ).

Ví d 3: ∫ tgxdx

Ta vi t ∫ tgxdx = ∫ sin xdx ; ñ t t = cos x, dt = − sin xdx ta ñư c:
cos x
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 157 Giáo trình toán cao c p 1
dt
∫ tgxdx = −∫ t = − ln t + C = − ln cos x + C
∫ xe x dx;
2
Ví d 4:

ñ t t = x 2, dt = 2xdx → ∫ xe x dx = 1 ∫ e tdt = 1 e t + C = 1 e x + C
2 2

2 2 2

Ví d 5: ∫ dx ;
x ln x

ñ t t = ln x, dt = dx → ∫ dx = ∫ dt = ln t + C = ln ln x + C
x t
x ln x
Chú ý: ð t t = f (x ), dt = f ′(x )dx ta có:


f (x )
∫ f (x ) dx = ln f (x ) + C
′ f (x )
∫ f (x ) dx = 2 f (x ) + C

Ví d :
2x + 1 1 4x + 2 1
∫ 2x 2 + 2x + 5 dx = 2 ∫ 2x 2 + 2x + 5 dx = 2 ln(2x 2 + 2x + 5) + C .
2.2 PHÉP PHÂN ðO N
Gi s u và v là hai hàm kh vi.
Ta có (u.v)′ = u ′v + uv ′

T ñó: ∫ (u ′v + uv ′)dx = uv + C ; ∫ u ′vdx + ∫ uv ′dx = uv + C
Do: v ′dx = dv, u ' dx = du

Nên: ∫ udv + ∫ vdu = uv + C

∫ udv = uv − ∫ vdu (2)

Ta ñ h ng s C n m trong tích phân, nó s xu t hi n khi ta tính ∫ vdu

Công th c (2) ñư c g i là công th c tính tích phân b ng phân ño n hay l y
tích phân t ng ph n.
Ví d 1: ∫ ln xdx
ð t u = ln x, dv = dx ta có:

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 158 Giáo trình toán cao c p 1
du = dx , v = x → ∫ ln xdx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C .
x
Ví d 2: ∫ x 2e xdx

ð t u = x 2, dv = e xdx ta có du = 2xdx, v = e x → ∫ x 2e xdx = x 2e x − ∫ 2xe xdx .

Ti p t c phân ño n cho tích phân sau cùng:
ð t u = x, dv = e xdx ta có:

du = dx, v = e x → ∫ xe xdx = xe x − ∫ e xdx = xe x − e x + C

Cu i cùng ta có: ∫ x 2e xdx = x 2e x − 2(xe x − e x ) + C = (x 2 − 2x + 2)e x + C
Ví d 3: ∫ eax cos bxdx
ð t:

u = eax , dv = cos bxdx th× du = aeaxdx, v = 1 sin bx
b
I = ∫ eax cos bxdx = 1 eax sin bx − a ∫ eax sin bxdx
b b
Phân ño n cho tích phân sau:

ð t u = e ax, dv = sin bxdx th× du = ae axdx, v = − 1 cos bx
b
1 a 1 a
∫ eax sin bxdx = − b eax cos bx + b ∫ eax cos bxdx = − b eax cos bx + b I

b b b (
I = 1 eax sin bx − a − 1 eax cos bx + a I
b )
( ) ( )
2
1 + a2 I = 1 eax sin bx + a cos bx
b b b
e (b sin bx + a cos bx )
ax
I =
a 2 + b2
Chú ý: Các tích phân có d ng sau ñư c tính b ng phương pháp phân ño n,
P(x ) là hàm ña th c.


1) ∫ P(x )sin axdx ∫ P(x )cos axdx ∫ P(x )eaxdx; cho u = P(x )
2) ∫ P(x )arcsin xdx ∫ P(x )arccos xdx ∫ P(x )ln xdx; cho dv = P(x )dx




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 159 Giáo trình toán cao c p 1
§3. PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM M T S
§3. HÀM S
3.1 NGUYÊN HÀM C A HÀM H U T
P(x )
Hàm h u t là hàm có d ng trong ñó P(x ),Q(x ) là các hàm ña th c.
Q(x )
N u b c c a P(x ) ≥ b c c a Q(x ) thì b ng cách chia ña th c ta ñư c:
P(x ) P (x )
= A(x ) + 1
Q(x ) Q(x )
trong ñó A(x ) là ña th c nguyên, còn P1(x ) là ña th c có b c bé hơn b c
c a Q(x ) .

Tính nguyên hàm c a A(x ) không có gì khó khăn, ch vi c dùng công th c:
n +1
x
∫ x ndx = n + 1 + C
P1(x )
ð tìm nguyên hàm c a phân th c th c s ta phân tích nó thành các
Q(x )
phân th c t i gi n mà ta s trình bày m t s trư ng h p ñơn gi n.
1) N u Q(x ) ch có các nghi m th c và ñơn:
P1(x )
Q(x ) = (x − a1)(x − a2 )...(x − an ) thì phân th c ñư c phân tích thành
Q(x )
P1(x ) A A A
= x −1a + x −2a + ... + x −na ta tính các h s A1, A2,..., An b ng cách
Q(x ) 1 2 n

quy ñ ng m u s v ph i r i ñ ng nh t các h s c a ña th c hai v .
2) N u Q(x ) có ch a m t nghi m th c b , b i k , trong phân tích c a Q(x )
có th a s (x − b)k
P1(x )
ng v i th a s ñó, trong phân tích c a s ch a k phân th c d ng:
Q(x )
Bk Bk −1 B1
k + k −1 + ... + x − b
(x − b) (x − b)




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 160 Giáo trình toán cao c p 1
3) N u khi phân tích Q(x ) thành th a s , nó ch a th a s d ng
x 2 + px + q v i p 2 − 4q < 0 (tam th c không có nghi m th c) thì th a s ñó
P (x )
ng v i phân th c: 2 Ax+B trong phân tích c a 1 .
x + px + q Q(x )
Vi c tính các h s A, B ho c B1....Bk cũng ñư c làm như ph n (1)

Trong các trư ng h p nêu trên, vi c tính nguyên hàm c a phân th c th c
s d n t i vi c tìm nguyên hàm c a các phân th c t i gi n có d ng:
A B Ax+B
x − a , (x − b)k , x2 + px + q , p − 4q < 0.
2



A
∫ x − a dx = A ln x − a + C ;
B B 1
∫ (x − b)k = 1 − k (x − b)k −1 + C , k ≠ 1;
A Ap
Ax + B = 2 (2x + p) + B − 2 dx =
∫ x 2 + px + q ∫ x 2 + px + q
p
d(x 2 + px + q) Ap d(x + 2 )
= A∫ 2 + (B − )∫ =
2 x + px + q 2 p2 p2
(x + 2 ) + q − 4
Ap p
= A ln(x 2 + px + q ) + B − 2 arctg x + 2 + C
2 p2 p2
q− 4 q− 4



Ta xét m t s ví d sau:

Ví d 1: ∫ x3 − 3 dx, ta có x 3 − x = x(x − 1)(x + 1).
x −x
Q(x ) có 3 nghi m th c và ñơn nên ta phân tích:

x − 3 = A + B + C = A(x − 1) + Bx(x + 1) + Cx(x − 1) =
2

x3 −x x x −1 x +1 x(x − 1)(x + 1)
(A + B + C )x 2 + (B − C )x − A
=
x3 −x
ð ng nh t các h s tương ng hai v , ta có:




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 161 Giáo trình toán cao c p 1
A + B + C = 0 A = 3




B − C = 1 ⇒ B = −1


A = 3
 C = −2


V y:
x −3 dx dx dx
∫ x 3 − x dx = 3∫ x − ∫ x − 1 − 2∫ x + 1 = 3 ln x − ln x − 1 − 2 ln x + 1 + C

Ví d 2: ∫ x2 + 1 dx
(x − 1)3(x + 3)
M u s Q(x ) có m t nghi m th c, ñơn x = −3 và nghi m th c x = 1 b i

3 nên ta phân tích: x2 + 1 = A + B + C + D ;
(x − 1)2(x + 3) (x − 1)3 (x − 1)2 x − 1 x + 3
Kh m u s chung:
x 2 + 1 = A(x + 3) + B(x − 1)(x + 3) + C (x − 1)2(x + 3) + D(x − 1)3
= (C + D)x 3 + (B − 3C − 2C − 3D)x 2 + (A + 2B + C − 2D)x +
+3A − 3B + 3C − D;
Ta có:
C + D = 0; B + C − 3D = 1;

A + 2B + C − D = 0; ⇒ A = 1 B = 3 C = 5 D = − 5
2 8 32 32
3A − 3B + 3C − D = 0.
x2 + 1 = 1 ∫ dx 3 + 3 ∫ dx 2 + 5 ∫ dx − 5 ∫ dx =
∫ (x − 1)3(x + 3) dx 2 (x − 1) 8 (x − 1) 32 x − 1 32 x + 3
= 1
2 −
3 + 5 ln x − 1 + C
4(x − 1) 8(x − 1) 32 x + 3


Ví d 3: ∫ dx
x(x 2 + 1)
M u s Q(x ) có ch a th a s x 2 + 1 không có nghi m th c nên:
1 = A + Bx + C ; 1 = (A + B)x 2 + Cx + A
x(x + 1) x
2
x2 + 1
T ñó: A = 1,C = 0, A + B = 0 nªn B = −1

dx dx 1
∫ x(x 2 + 1) = ∫ x = ln x − 2 ln(x 2 + 1) + C
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 162 Giáo trình toán cao c p 1
Ta không xét ñây trư ng h p m u s Q(x ) có ch a các th a s
(x 2 + px + q )k .
Ngư i ta ch ng minh ñư c r ng ngay c trong trư ng h p ñó v n tìm ñư c
nguyên hàm c a hàm h u t dư i d ng các hàm s sơ c p. Như v y: Các hàm
s h u t ñ u có nguyên hàm dư i d ng hàm sơ c p.
Khi ph i tìm nguyên hàm c a m t hàm f (x ) , n u ta tìm ñư c phép ñ i bi n
thích h p ñưa ∫ f (x )dx v d ng ∫ R(t)dt v i R(t) là m t hàm h u t ñ i v i t
thì ta coi như tìm ñư c nguyên hàm dư i d ng hàm sơ c p.

Ví d 4: ∫ dx
sin x
Hàm dư i d u tích phân không ph i là hàm h u t . Tuy nhiên n u dùng
phép ñ i bi n t = tg x ta có sin x = 2t 2 , x = 2arctgt, dx = 2dt 2 , ta có:
2 1+t 1+t

dx = 2dt /(1 + t ) = dt = ln t + C = ln tg x + C
2
∫ sin x ∫ 2t /(1 + t 2) ∫ t 2

3.2 NGUYÊN HÀM M T S HÀM VÔ T ðƠN GI N
Nói chung các hàm vô t không có nguyên hàm bi u di n dư i d ng hàm
sơ c p. ñây ta ch xét m t s trư ng h p ñơn gi n mà ta có th ñưa v hàm
h u t ñư c, ho c ñưa v nh ng tích phân có trong b ng ñã l p.
1) Tích phân có d ng ∫ R(x,n ax + b )dx , trong ñó R(u, v) ch m t bi u th c
h ut ñ i v i u v v.
Ta ñ t t n = ax + b .

Ví d : ∫ 3 xdx ®Æt t 3 = x + 1 th× x = t 3 − 1, dx = 3t 2dt
x +1
(t 3 − 1)3t 2

xdx =
∫ dt = 3∫ (t 4 − 1)dt = 5 t 5 − 3 t 2 + C =
3
3
x +1 t 2
5 2
= 5 (x + 1)3 − 3 (x + 1)3 + C .
3
2
2) Tích phân có ch a ax 2 + bx + c : bi n ñ i bi u th c dư i d u căn v
d ng αt 2 + β
Ví d 1:



----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 163 Giáo trình toán cao c p 1
1
d(x + 2) x +21
dx
∫ 1− x − x2 =∫ = arcsin + C = arcsin 2x + 1 + C
5 12 5 5
4 − (x + 2) 4
Ví d 2:
dx dx
∫ x 2 + 2x + 5 = ∫ (x + 1)2 + 4 = ln x + 1 + x 2 + 2x + 5 + C

Ví d 3:
5
5x + 3 2 (2x + 4) + 3 − 10 dx
∫ x 2 + 4x + 10 dx = ∫ x 2 + 4x + 10
d(x 2 + 4x + 10) d(x + 2)
= 5∫ − 7∫ =
2 x 2 + 4x + 10 (x + 2)2 + 6
= 5 x 2 + 4x + 10 − 7 ln x + 2 + x 2 + 4x + 10 + C

Ví d 4: ∫ x 2 + x + 1dx = ∫ (x + 1)2 + 3dx.
2 4
ð tính I = ∫ t 2 + a 2dt ta dùng phép phân ño n: ñ t u = t 2 + a 2, dv = dt
thì du = tdt ; v = t
t2 + a2
2
t
∫ t 2 + a 2dt = t ∫ t 2 + a 2 − ∫ t 2 + a 2 =
= t t 2 + a 2 − ∫ t +2a −2a dt =
2 2 2

t +a
= t t 2 + a 2 − ∫ t 2 + a 2dt + a 2 ∫ dt
t + a2
2


2I = t t 2 + a 2 + a 2 ln t + t 2 + a 2 + C
2
I = t t 2 + a 2 + a ln t + t 2 + a 2 + C
2 2
T ñó ta có:
2x + 1 3 1
∫ x 2 + x + 1dx = 4 x 2 + x + 1 + 8 ln x + 2 + x 2 + x + 1 + C
3.3 NGUYÊN HÀM CÁC HÀM LƯ NG GIÁC
Ta ch xét m t s trư ng h p ñơn gi n:
1) D ng ∫ R(sin x, cos x )dx v i R là bi u th c h u t ñ i v i sin x và
cos x .

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 164 Giáo trình toán cao c p 1
ðưa v h u t b ng cách ñ t t = tg x .
2

Khi ñó: sin x = 2t , cos x = 1 − t 2 , dx = 2dt
1 + t2 1 + t2 1 + t2
Ví d :
2dt
dx 1 + t2 = 2∫ 2 dt
∫ sin x − 4 cos x + 5 = ∫
2t − 4 1 − t 2 + 5 2t + 8t + 8
=
1 + t2 1 + t2
= ∫ dt 2 = − 1 + C = − x1 +C
(t + 2) t +2 tg 2 + 2

2) D ng ∫ sinm x cosn xdx v i m, n là các s nguyên dương.
m lÎ thÕ t = cos x;
a) Ít nh t m t trong hai s m, n l :
n lÎ thÕ t = sin x.
Ví d :

∫ sin5 x cos2 xdx = −∫ sin 4 x cos2 xd(cos x ) = −∫ (1 − t 2)t 2dt =
3
t5
= −∫ (t 2 − 2t 4 + t 6)dt = − t + 25 − 1 t 7 + C =
3 7
= − 1 cos3 x + 2 cos5 x − 1 cos7 x + C
5
3 7
b) C hai s m, n ñ u ch n. Ta dùng công th c h b c:

sin2 x = 1 − cos 2x ; cos2 x = 1 + cos 2x ; sin x cos x = 1 sin 2x
2 2 2
Ví d :
1
∫ sin2 x cos4 xdx = ∫ (sin x cos x )2 cos2 xdx = 8 ∫ sin2 2x(1 + cos 2x )dx =
= 1 ∫ sin2 2xdx + 1 ∫ sin2 2x cos 2xdx = 1 ∫ 1 − cos 4x dx + 1 ∫ sin2 2xd sin 2x =
8 8 8 2 16
= 1 x − 1 sin 4x + 1 sin 3 2x + C
16 64 48
3) D ng ∫ cos mx cos nxdx; ∫ sin mx cos nxdx ; ∫ sin mx sin nxdx

Ta dùng công th c lư ng giác bi n ñ i tích thành t ng.
Ví d :
1 1 1
∫ sin 5x sin 3xdx = 2 ∫ (cos 2x − cos 6x )dx = 4 sin 2x − 16 sin 8x + C .

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 165 Giáo trình toán cao c p 1
Ta ñã xét m t s phương pháp ñ tìm nguyên hàm c a m t hàm s . Ta th a
nh n r ng m i hàm liên t c trên m t kho ng (a, b) ñ u có nguyên hàm trong
kho ng ñó. Tuy nhiên không ph i b t c hàm liên t c nào cũng có nguyên hàm
bi u di n ñư c dư i d ng hàm sơ c p. Ch ng h n các hàm
sin x ; cos x ;e −x 2 ; 1 − k 2 sin2 x , v,v…không có nguyên hàm bi u di n b ng hàm
x x
sơ c p. ð tìm nguyên hàm c a chúng ta ph i dùng các phương pháp khác.




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 166 Giáo trình toán cao c p 1
BÀI T P
9.1 Dùng các tính ch t và b ng nguyên hàm tìm nguyên hàm c a các hàm s
sau:

2. x + x x + 1
3
1. (x 3 + 1)3 3 3. 2e x − 3 x 2 4. 3x e x

5. x2 6. sin2 x 7. 1
x +1
2 2 1 + cos 2x
9.2 Dùng các phép th (ñ i bi n) ñơn gi n tính các tích phân b t ñ nh sau :
x
1. ∫ cos(ax + b)dx 2. ∫ e − 2dx 3. ∫ dx
2−x
4. ∫ sin 2x dx
1 + cos 2x

5. ∫ dx 6. ∫ cotgxdx 7. x x 2 − 1dx 8.
x ln x
arcsin x
∫ 1 − x 2 dx
9.3 Tính b ng phép th :

1. ∫ dx 2. ∫ x x + 1dx 3. dx 4. ∫ dx
x +1 1+ 3x +1 ex − 1

5. ∫ x 2dx 6. ∫ dx 7. ∫ dx dx
8. ∫ cos x
a2 − x 2 x x 2 − a2
2
x 1 + x2
9.4 Tính b ng phép phân ño n:

1. ∫ xarctgxdx 2. ∫ x ln xdx 3. ∫ arcsin x dx
x +1

4. ∫ x 2 sin xdx 5. ∫ x 2 + a 2dx 6. ∫ 2 dx 2 2
(x + a )

9.5 Cho I n = ∫ cosn xdx . L p công th c liên h gi a In và In-2

9.6 Tìm nguyên hàm các hàm h u t :

1. x 2+ 2x
4 2
2. x 3. x2 4. x
x +1 x + 3x + 2
2
x + 4x + 5
2
x3 − 8

5. x + x + 1
3
6. 1 7. 1
x 4 − 81 (x − 2x )2
2
x +1
4



9.7 Ch ng minh r ng có th tính I n = ∫ 2 dx 2 n theo công th c:
(x + a )

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 167 Giáo trình toán cao c p 1
In = 1 . x + 1 2n − 3 I . Áp d ng tính I3
2a 2(n − 1) (x 2 + a 2 )n −1 a 2 2n − 2 n −1

9.8 Tính ∫ 2 3x + 2 dx
(x + 2x + 10)
9.9 Tìm nguyên hàm các hàm vô t .

1. x 2. 4 x 3. x +3 4.
1− x x +1
3
4x + 4x + 3
2


x2 + x + 1

5. 1 6. 1
2 − 3x − 4x 2 x 5x 2 − 2x + 1
9.10 Tìm nguyên hàm c a các hàm lư ng giác:

1. sin3x 2. sin2xcos2x 3. 1 4.
sin2 x cos2 x
sin x − cos x
sin x + cos x

5. 1 6. sinxsin3x 7. 1
cos4 x 4 sin x + 3 cos x + 5
(sin x + sin 3 x )
8. 9. cos x cos x cos x
cos 2x 2 4
9.11 Tính hai tích phân:

A = ∫ cos xdx
cos x + sin x
B=∫ sin xdx
cos x + sin x
9.12 Tính các tích phân:
5
1. ∫ tg 3xdx 2. ∫ x 3(1 − x 2 )2dx 3. ∫ x cos x dx
sin2 x




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 168 Giáo trình toán cao c p 1
CHƯƠNG 10
TÍCH PHÂN XÁC ð NH

§1. DI N TÍCH HÌNH PH NG, ð NH NGHĨA TÍCH PHÂN
1.1. BÀI TOÁN DI N TÍCH HÌNH THANG CONG
Vi c tính di n tích m t hình ph ng d a trên nguyên t c sau:
a) Di n tích có tính không âm: A là m t hình ph ng thì di n tích c a A ≥ 0 .
b) Di n tích có tính c ng ñư c: n u A, B là hai hình không có ph n chung
( A ∩ B = φ ) thì: Di n tích ( A ∪ B )= Di n tích ( A ) + Di n tích ( B )
c) Hình vuông có c nh b ng 1 thì có di n tích b ng 1.
Như v y ñ tính di n tích m t hình ph ng b t kỳ, ta có th chia hình ñó thành
nhi u hình vuông và các hình ñ c bi t là các tam giác cong ho c hình thang
cong. Vì tam giác cong ch là m t trư ng h p ñ c bi t c a hình thang cong, nên
ta ñ t v n ñ tìm di n tích hình thang cong.
Hình thang cong:
Trong h t a ñ vuông góc xOy , ta xét y
m t hình gi i h n b i ñư ng cong liên t c
y = f (x ) , tr c Ox , các ñư ng th ng x = a, x = b
(ta gi thi t f (x ) ≥ 0 trên [a,b ] ).
Trư ng h p ñ c bi t, ñư ng cong y = f (x )
có th c t tr c Ox t i x = a ho c x = b .
M t hình như v y ñư c g i là m t hình O a b x
thang cong. Hình 32
Di n tích hình thang cong:
ð tính di n tích hình thang cong ta làm như sau: chia hình thang cong ñó
thành n d i con (hình 32), coi m i d i con có di n tích x p x di n tích m t hình
ch nh t. Như v y t ng di n tích c a n d i hình ch nh t ñó s cho ta m t giá
tr g n ñúng c a di n tích hình thang cong.
C th , ta làm như sau: chia ño n [a,b ] thành n ño n con b ng nhau, m i

ño n có ñ dài △x = b −a , ta có các ñi m chia:
n
x 0 = a, x 1 = x 0 +△x,..., x n = x 0 + n.△x = b

Trong m i ño n con th i (i = 1,2,...,n) ta ch n m t ñi m tùy ý ξi . Tích

f (ξi ).△x cho ta di n tích hình ch nh t có các c nh là f (ξi ) và △x , và ta coi nó

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 169 Giáo trình toán cao c p 1
x p x v i di n tích d i con th i . Như v y t ng:
f (ξ1).△x + f (ξ2).△x +⋅⋅⋅+ f (ξn ).△x = ∑ i=1 f (ξi ).△x
n


c a n di n tích hình ch nh t s cho ta giá tr g n ñúng c a di n tích hình thang
cong. Ta th y r ng n u n khá l n, t c là △x khá bé thì k t qu càng chính xác.
Vì v y:
N u t ng trên có gi i h n khi △x → 0 thì gi i h n ñó ñư c g i là di n
tích S c a hình thang cong ñã cho.
n
S = lim ∑ f (ξi ).△x (1.1)
△x →0 i =1

Ta th a nh n r ng, n u hàm f liên t c trên [a,b ] thì gi i h n trên t n t i,
t c là hình thang cong ñã xét có di n tích.
Ví d : Tính di n tích c a hình gi i h n b i ñư ng parabol y = x 2 , tr c Ox , các
ñư ng x = 0, x = 1 .
Chia ño n [0,1] ra làm n ño n con b ng nhau b i các ñi m chia:

x i = i , i = 1,n
n
Ch n ñi m chia ξi là ñi m mút ph i c a m i ño n ξi = i , i = 1,n .
n

( ) vµ △x = n
2
Ta có: f (ξi ) = ξ = i2 1
i
n

∑ f (ξ )△x = (1 + 2 +⋅⋅⋅+ n ). 1 = 1 + 2 +⋅⋅⋅+ n
n 2 2 2 2 2 2
Nên: i 2 2 2 3
i =1 n n n n n
n(n + 1)(2n + 1)
Ta ñã bi t: 12 + 22 +⋅⋅⋅+ n 2 =
6
n n(n + 1)(2n + 1) 1
T ñó: lim ∑ f (ξi )△x = lim =
△x →0 i =1 n →∞ 6n 3 3
V y di n tích hình ph i tìm là 1/ 3 ñơn v di n tích.
1.2. ð NH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ð NH
Gi s y = f (x ) là m t hàm xác ñ nh trên [a,b ] . Ta chia ño n [a,b ] ra làm
n ño n con b i các ñi m chia: x 0 = a < x 1 < ... < x n = b .
ð t △x i = x i − x i−1 . L y trong m i ño n con [x i−1, x i ] m t ñi m ξi tùy ý và
l p t ng:
n
∑ f (ξi )△x i (1.2)
i =1

T ng (1.2) ñư c g i là t ng tích phân c a hàm f (x ) l y trên ño n [a,b ] .
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 170 Giáo trình toán cao c p 1
ð nh nghĩa: n u ñ dài l n nh t trong các △x i d n t i 0 mà t ng tích phân
(1.2) có gi i h n không ph thu c vào cách chia ño n [a,b ] thành n ño n con
cũng như cách ch n ñi m ξi trong m i ño n con thì gi i h n ñó ñư c g i là tích
phân xác ñ nh c a hàm f (x ) l y trên ño n [a,b ] .
b
Tích phân xác ñ nh ñư c ký hi u là: ∫ f (x )dx
a

v i ∫ là d u tích phân, a là c n dư i c a tích phân, b là c n trên, f (x ) là hàm
s dư i d u tích phân, f (x )dx là bi u th c dư i d u tích phân (ñó là bi u th c vi
phân), x là bi n s l y tích phân.
Như v y theo ñ nh nghĩa:
b n
∫ f (x )dx = lim ∑ f (ξi )△x i
max△x i →0 i =1
(1.3)
a

Theo bài toán tính di n tích hình thang cong trên thì:
b
N u f (x ) ≥ 0 trên [a,b ] thì ∫ f (x )dx cho ta di n tích hình thang cong gi i
a

h n b i các ñư ng y = f (x ),y = 0, x = a, x = b . ðó là ý nghĩa hình h c c a tích
phân xác ñ nh.
Hàm f (x ) mà v i nó gi i h n (1.3) t n t i ñư c g i là kh tích trên ño n
[a,b ] .
Ta th a nh n ñ nh lý sau:
ð nh lý: n u hàm f (x ) liên t c trên [a,b ] thì nó kh tích trên ñó.
T ng quát hơn, n u hàm f (x ) có trong [a,b ] m t s h u h n ñi m gián
ño n lo i m t (ta còn g i hàm f liên t c t ng khúc) thì nó kh tích trên [a,b ] .
Chú ý 1: khi ñ nh nghĩa tích phân xác ñ nh trên [a,b ] ta ñã gi thi t a < b .
b a
N u a > b ta ñ nh nghĩa: ∫ f (x )dx = −∫ f (x )dx
a b
b
N u a = b thì: ∫ f (x )dx = 0
a
b
Chú ý 2: trong tích phân ∫ f (x )dx thì x là bi n s tích phân. Tuy nhiên ta có th
a

dùng m t ch b t kỳ nào khác ñ kí hi u bi n s tích phân mà không nh hư ng
t i giá tr c a tích phân. Như v y ta có th vi t:

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 171 Giáo trình toán cao c p 1
b b b
∫ f (x )dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u)du = ...
a a a

1.3. CÁC TÍNH CH T C A TÍCH PHÂN XÁC ð NH
D a trên ñ nh nghĩa c a tích phân xác ñ nh và các phép tính v gi i h n,
ta có th ch ng minh ñư c:
N u các hàm f (x ), g(x ) kh tích trên [a,b ] thì các hàm f (x ) + g(x ),k.f (x ) v i
k là h ng s cũng kh tích trên [a,b ] và:
b b b

∫ [ f (x ) + g(x )]dx = ∫ f (x )dx + ∫ g(x )dx
a a a
b b

∫ kf (x )dx = k ∫ f (x )dx
a a

N u hàm f kh tích trên các ño n [a,c ], [c,b ] thì nó cũng kh tích trên [a,b ]
và:
b c b

∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx
a a c
b
N u f (x ) ≥ 0 trên [a,b ] , a < b thì ∫ f (x )dx ≥ 0
a

T tính ch t 3 và 1 ta suy ra:
b b
N u f (x ) ≥ g(x ) trên [a,b ] thì ∫ f (x )dx ≥ ∫ g(x )dx
a a

N u m và M là giá tr nh nh t và l n nh t c a hàm f(x) trên [a,b ] thì:
b
m(b −a) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b −a)
a

Th t v y, ta có m ≤ f (x ) ≤ M nên t tính ch t 4 và 1 suy ra:
b b b
m ∫ dx ≤ ∫ f (x )dx ≤ M ∫ dx
a a a
b n
theo ñ nh nghĩa tích phân xác ñ nh thì: ∫ dx = lim ∑ △x i = b −a (t ng các
a i =1

ño n con chính là ñ dài ño n [a,b ] )
V m t hình h c:
Tính ch t 3 nói lên r ng di n tích là m t s không âm.
Tính ch t 4 nói lên r ng: n u f ≥ g thì di n tích hình thang cong gi i h n
b i f s không bé hơn di n tích hình thang cong gi i h n b i g .

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 172 Giáo trình toán cao c p 1
Tính ch t 5 nói r ng: di n tích hình thang cong k p gi a di n tích hình
ch nh t n i ti p và hình ch nh t ngo i ti p (hình 33a).
y y D
B µ C B
Q
F P
A C

M m
x =a
A E
O a b x O
x =b F(c,0) x

Hình 33
ð nh lý v giá tr trung bình:
N u hàm f liên t c trên [a,b ] thì có ít nh t m t ñi m c ∈ [a,b ] sao cho:
b

∫ f (x )dx = f (c).(b −a)
a

Ch ng minh: hàm f có giá tr nh nh t m và M trên [a,b ] . Theo tính ch t 5:
b
m(b −a) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b −a)
a
b
hay v i a < b thì: m ≤ 1 ∫ f (x )dx ≤ M
b −a a
b
ð t µ = 1 ∫ f (x )dx thì m ≤ µ ≤ M . Hàm f liên t c trên [a,b ] nên nó
b −a a
nh n m i giá tr gi a m và M . Như v y t n t i c ∈ (a,b) ñ f (c) = µ . T ñó
suy ra công th c ph i ch ng minh.
b
Giá tr f (c) = 1 ∫ f (x )dx ñư c g i là giá tr trung bình c a hàm f
b −a a
trên ño n [a,b ] .
Ý nghĩa hình h c: di n tích hình thang cong b ng di n tích hình ch nh t
có cùng ñáy [a,b ] v i hình thang và ñư ng cao b ng giá tr trung bình c a hàm
trên ño n [a,b ] , t c là f (c) (hình 33b).
§2. TÍCH PHÂN XÁC ð NH VÀ NGUYÊN HÀM
Trong chương 9 ta ñã ñưa ra khái ni m tích phân b t ñ nh c a m t hàm f
là m t t p h p m i nguyên hàm c a hàm s f ñó. Trong chương này ta có khái
ni m tích phân xác ñ nh c a m t hàm f là gi i h n c a t ng tích phân c a hàm
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 173 Giáo trình toán cao c p 1
f trên ño n [a,b ] , c hai khái ni m ñ u có chung m t ph n tên g i là tích phân
và có chung ký hi u ∫ . Trong m c này ta s ñưa ra m i liên h gi a hai khái
ni m ñó.
2.1. ð O HÀM C A TÍCH PHÂN XÁC ð NH THEO C N TRÊN
x
Xét tích phân ∫ f (t)dt có c n trên là x . N u x bi n thiên trong m t mi n
a

[a,b ] thì giá tr c a tích phân trên s ph thu c vào x . Như v y ta có m t hàm:
x
x → Φ(x ) = ∫ f (t )dt xác ñ nh trên [a,b ] .
a
x
ð nh lý: n u hàm f liên t c trên ño n [a,b ] thì Φ′(x ) = [∫ f (t)dt ]x = f (x ) .
'

a

Nói cách khác, n u hàm dư i d u tích phân liên t c trên ño n l y tích
phân thì ñ o hàm c a tích phân xác ñ nh theo c n trên b ng hàm s dư i d u
tích phân, trong ñó bi n s tích phân ñư c thay b ng c n trên.
Ch ng minh: ta l p s gia △Φ c a hàm
x +△x x
△Φ = Φ(x +△x ) −Φ(x ) = ∫ f (t)dt − ∫ f (t)dt
a a
x x +△x x x +△x
= ∫ f (t )dt + ∫ f (t)dt − ∫ f (t)dt = ∫ f (t)dt
a x a x
x +△x
ñây ta ñã dùng tính ch t 2 ñ phân tích tích phân ∫ f (t )dt thành hai
a

tích phân.
Bây gi ta áp d ng ñ nh lý v giá tr trung bình cho tích phân cu i cùng:
do hàm f liên t c nên t n t i c ∈ (x, x +△x ) t c là x < c < x +△x sao cho:
x +△x
△Φ(x ) = ∫ f (t)dt = f (c)△x
x


T ñó △Φ = f (c) ; khi △x → 0 thì c → x , hàm f liên t c nên f (c) → f (x ) .
△x
V y: lim △Φ = f (x ) hay Φ′(x ) = f (x ) .
△x →0 △x

ð nh lý ñã ñư c ch ng minh.
b x b
Chú ý: do ∫ f (t )dt = −∫ f (t )dt nên [∫ f (t)dt ]′ = −f (x ) .
x
x b x

2.2. CÔNG TH C NEWTON-LEIBNIZ

----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 174 Giáo trình toán cao c p 1
ð nh lý: n u f (x ) là m t hàm liên t c trên [a,b ] và F (x ) là m t nguyên hàm c a
nó thì
b
∫ f (x )dx = F (b) − F (a) (2.1)
a

giá tr c a tích phân xác ñ nh c a hàm f b ng hi u các nguyên hàm F c a f
l y t i các c n c a tích phân.
x
Ch ng minh: Theo ñ nh lý m c 2.1 thì hàm Φ(x ) = ∫ f (t )dt cũng là m t
a

nguyên hàm c a hàm f (x ) nên theo tính ch t c a nguyên hàm thì hai hàm Φ(x )
và F (x ) c a f (x ) ch sai khác m t h ng s C : Φ(x ) − F (x ) = C
a
Cho x = a thì Φ(a) = ∫ f (t)dt = 0 ; nên C = −F (a); Φ(x ) − F (x ) = −F (a) .
a
b b
Cho x = b thì Φ(b) = ∫ f (t)dt ; nên ∫ f (t)dt − F (b) = −F (a)
a a
b
Hay: ∫ f (t)dt = F(b) − F (a)
a
b
Vi t v i bi n s x thì ∫ f (x )dx = F (b) − F (a) . ð nh lý ñư c ch ng minh.
a

Công th c (2.1) ñư c g i là công th c Newton-Leibniz.
Công th c ñó có m t vai trò quan tr ng trong toán h c: nó cho phép ta
tính ñư c tích phân xác ñ nh nh nguyên hàm mà không c n ph i l y gi i h n
c a t ng tích phân.
ð tính tích phân xác ñ nh c a hàm f trên [a,b ] ta ch vi c tìm m t
nguyên hàm F c a nó r i l p hi u c a F t i b và t i a :
b b
∫ f (x )dx = F (x )a = F (b) − F (a)
a

Ví d 1: ta tr l i bài toán tính di n tích hình ph ng gi i h n b i ñư ng cong
y = x 2 , tr c Ox , các ñư ng x = 0, x = 1 ñã nêu m c 1.1. Ta có:
1 1
3
S = ∫ x 2dx = x = 1 − 0 = 1
0 30 3 3
Ví d 2: tìm giá tr trung bình c a hàm f (x ) = sin x trên ño n [0, π] .
Theo ñ nh lý v giá tr trung bình (tính ch t 6, 1.3) thì:


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 175 Giáo trình toán cao c p 1
π π
f (c) = 1 ∫ sin xdx = 1 (− cos x ) = − 1 (cos π − cos0) = 2
π0 π 0 π π


§3. HAI PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ð NH
Theo công th c Newton-Leibniz, vi c tính tích phân xác ñ nh ñưa ñ n
vi c tìm nguyên hàm. Vì v y ta có th s d ng các phương pháp ñã bi t
chương 9 ñ tìm nguyên hàm, c th là các phương pháp bi n ñ i bi n s và
phân ño n. ñây ta s trình bày cách áp d ng các phương pháp ñó vào tích
phân xác ñ nh.
3.1. PHÉP BI N ð I TRONG TÍCH PHÂN XÁC ð NH
N u f (x ) là m t hàm liên t c trên [a,b ] , x = ϕ(t) là m t hàm xác ñ nh và
có ñ o hàm liên t c trên [α, β ] v i ϕ(α) = a, ϕ(β) = b thì:
b β

∫ f (x )dx = ∫ f [ϕ(t)].ϕ′(t)dt (3.1)
a α
b
Th t v y, n u F là nguyên hàm c a f thì: ∫ f (x )dx = F (b) − F (a)
a

Theo công th c ñ i bi n trong tích phân b t ñ nh ta có:
∫ f (x )dx = ∫ f [ϕ(t)].ϕ′(t)dt
β
nên: ∫ f [ϕ(t)].ϕ′(t)dt = F[ϕ(β )]− F[ϕ(α)] = F (b) − F(a)
α

T ñó suy ra công th c (3.1).
Như v y, khi th c hi n phép ñ i bi n trong tích phân xác ñ nh, ñ ng th i
v i vi c bi n ñ i bi u th c dư i d u tích phân ta bi n ñ i các c n l y tích phân
theo bi n s m i, sau khi áp d ng công th c Newton-Leibniz ta ñư c ngay giá
tr c a tích phân mà không ph i tr v bi n cũ n a.
a
Ví d 1: tính I = ∫ a 2 − x 2dx
0

Phép ñ i bi n x = a sin x th a mãn các ñi u ki n c a quy t c ñ i bi n ñã
 
nêu trên ño n 0, π . Ta có: a 2 − x 2 = a 2(1 − sin2 t ) = a 2 cos2 t, dx = a cos tdt . N u
 2
x = 0 thì t = 0; x = a thì sin t = 1, t = π . Do ñó:
2
π π π

( )
2 2 2 π
2
I = ∫ a cost.a cos tdt = a cos tdt = a a2 1 2
= πa
2
2
∫ 2
2
∫ (1 + cos2t)dt = 2 t + 2 sin2t 4
0 0 0 0


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 176 Giáo trình toán cao c p 1
Cũng như trong tích phân b t ñ nh, công th c (3.1) cũng ñư c áp d ng toe
chi u ngư c l i, nghĩa là ta có th dùng phép th t = ϕ(x ) .
π
2
Ví d 2: tính I = ∫ sin x dx
0 1 + cos2 x

ð t t = cos x thì dt = − sin xdx; x = 0 thì t = 1 ; x = π thì t = 0 .
2
0 1
I = ∫ −dt2 = ∫ dt 2 = arctg t 0 = π
1

1 1+t 0 1+t 4
Tích phân hàm ch n hay l trên m t kho ng ñ i x ng qua O:
a
Gi s ph i tính: I = ∫ f (x )dx
−a

Trong ñó hàm f (x ) là hàm ch n ho c l trên [−a,a ]
a 0 a
I = ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx
−a −a 0

Ta ñ i bi n x = −t trong tích phân gi a:
0 0 a a
∫ f (x )dx = −∫ f (−t )dt = ∫ f (−t )dt = ∫ f (−x )dx
−a a 0 0

(ký hi u l i bi n s tích phân tích phân th ba b ng x )
a a a
I = ∫ f (−x )dx + ∫ f (x )dx = ∫ [ f (−x ) + f (x )]dx
0 0 0

N u hàm f (x ) là hàm l trên [−a,a ] thì f (−x ) = −f (x ) nên
f (−x ) + f (x ) = 0 . Ta có I = 0 .
N u hàm f (x ) là hàm ch n trên [−a,a ] thì f (−x ) = f (x ) nên
f (−x ) + f (x ) = 2f (x ) . T ñó:
a
I = 2∫ f (x )dx
0

0
 khi f lÎ

Tóm l i: ∫ f (x )dx =  a
a

−a
2∫ f (x )dx
 khi f ch½n
 0



π
Ví d : ∫ sin xdx = 0 vì hàm sin x là hàm l .
−π




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 177 Giáo trình toán cao c p 1
π/2 π/2 π

∫ cos xdx = 2 ∫ cos xdx = 2sin x 2
0
=2
−π/2 0

Tích phân hàm tu n hoàn
Hàm f xác ñ nh trên R là hàm tu n hoàn v i chu kỳ T n u
f (x + kT ) = f (x ) v i m i x ∈ R và k nguyên.
a +T
Ta xét: I = ∫ f (x )dx
a

ð i bi n x = z −T trong tích phân ñ u v ph i.
0 T T a +T

∫ f (x )dx = ∫ f (z −T )dz = ∫ f (z )dz = − ∫ f (x )dx
a a +T a +T T
a +T T a +T T
V y: I = − ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx
T 0 T 0
a +T T
Ta có: ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx
a 0

Tích phân c a hàm tu n hoàn l y trên ño n có ñ dài b ng chu kỳ thì
không ph thu c vào g c c a ño n l y tích phân.
3.2. PHÉP PHÂN ðO N TRONG TÍCH PHÂN XÁC ð NH
N u u và v là các hàm có ñ o hàm liên t c trên [a,b ] thì:
b b
∫ udv = uv | −∫ vdu b
a (3.2)
a a
b b b b
Th t v y, ta có: uv |b = ∫ d(uv) = ∫ (vdu + udv) = ∫ vdu + ∫ udv
a
a a a a

T ñó ta ñư c công th c (3.2).
2
Ví d 1: I = ∫ ln xdx
1


ð t u = ln x,dv = dx , ta có: du = dx , v = x .
x
2 2
I = x ln x 1
− ∫ dx = 2ln2 −1
1
π/2
Ví d 2: l p công th c tính I n = ∫ sinn xdx; n ∈ N
0

ð t u = sinn−1 x,dv = sin xdx thì du = (n − 1)sinn−2 x.cos xdx, v = − cos x .


----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 178 Giáo trình toán cao c p 1
π/2
π/2
I n = − cos x sin n −1
x 0
+ (n − 1) ∫ sinn−2 x cos2 xdx
0


Thành ph n ñ u v ph i b ng 0 khi thay x b i π và 0, thay cos2 x = 1 − sin2 x
2
trong tích phân v ph i ta ñư c:
π/2 π/2
I n = (n − 1) ∫ sinn−2 xdx −(n − 1) ∫ sinn xdx
0 0

T ñó: I n = (n − 1)I n−2 − (n −1)I n

Hay: I n = n − 1 I n−2
n
Ta ñư c công th c truy ch ng cho phép tính I n n u bi t I n−2 .
ð tính I n v i m i n ta c n tính I 0 v I 1 r i áp d ng công th c trên.
π/2 π/2
I 0 = ∫ dx = π ; I 0 = ∫ sin xdx = 1
0 2 0

Như v y ta s tính ñư c I n v i m i n nguyên dương, ch ng h n:

I2 = 1 I0 = π ;
2 4
2I = 2;
I2 = 1
3 4
3 I = 3 . 1 .I = 3 . 1 . π
I4 = 2
4 4 2 0 4 2 2




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 179 Giáo trình toán cao c p 1
TÀI LI U THAM KH O
[1] Nguy n ðình Trí và các tác gi khác, Toán cao c p, T p 1, 2, 3, NXB
Giáo d c.
[2] Tr n Tr ng Hu , ð i s tuy n tính và hình gi i tích, NXB ð i h c Qu c
gia Hà N i, 2001.
[3] Tr n ð c Long và các tác gi khác, Giáo trình gi i tích, T p I, II, III.
NXB ð i h c Qu c gia Hà N i, 2002.
[4] Nguy n Th a H p, Gi i tích, T p I, II, III, NXB ð i h c Qu c gia Hà
N i, 2002.
[5] T ng ðình Quỳ, Nguy n C nh Lương, Giúp ôn t p t t Toán cao c p -
ð i s tuy n tính, NXB Giáo d c.
[6] Nguy n Xuân Liêm, Gi i tích, T p I, II. NXB Giáo d c.
[7] Nguy n ðình Trí, Bài t p toán cao c p, T p 1, 2, 3, NXB Giáo d c,
1999.
[8] Lê Văn Ti n. Giáo trình toán cao c p. NXB Nông Nghi p, Hà n i, 1998.




----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB 180 Giáo trình toán cao c p 1
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản