Giáo trình toán cao cấp A3 ĐH - GV. ThS Đoàn Vương Nguyên

Chia sẻ: phamvanqui

Toán cao cấp A1, A2, A3 là chương trình toán đại cương dành cho sinh viên các nhóm ngành toán và nhóm ngành thuộc khối kỹ thuật. Nội dung của toán cao cấp A1, A3 chủ yếu là phép tính vi tích phân của hàm một hoặc nhiều biến

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Giáo trình toán cao cấp A3 ĐH - GV. ThS Đoàn Vương Nguyên

TOÁN CAO C P A3 Đ I H C Chương 2. Tích phân b i
1. Tích phân b i hai (kép)
PHÂN PH I CHƯƠNG TRÌNH
2. Tích phân b i ba
S ti t h c: 30
3. ng d ng c a tích phân b i
GV: ThS. Đoàn Vương Nguyên
Chương 3. Tích phân đư ng
Chương 1. Hàm s nhi u bi n Tích phân m t
1. Đ i cương v hàm s nhi u bi n 1. Tích phân đư ng lo i 1
2. Đ o hàm – Vi phân 2. Tích phân đư ng lo i 2
3. Tích phân m t lo i 1
3. C c tr c a hàm s nhi u bi n
4. Tích phân m t lo i 2




Chương 4 Tài li u tham kh o
Phương trình vi phân 1. Giáo trình Toán cao cấp A3
H phương trình vi phân c p 1 – guyễn Phú Vinh – ĐHC TP. HCM.
2. Ngân hàng câu hỏi Toán cao cấp
1. Khái ni m cơ b n v PTVP – guyễn Phú Vinh – ĐHC TP.HCM.

2. Phương trình vi phân c p 1 3. Giải tích hàm nhiều biến (Toán 3)
– Đỗ Công Khanh (chủ biên)
3. Phương trình vi phân c p 2 – XBĐHQG TP. HCM.
4. H phương trình vi phân c p 1 4. Giải tích hàm nhiều biến (Toán 4)
– Đỗ Công Khanh (chủ biên)
– XBĐHQG TP. HCM.




Chương 1. Hàm s nhi u bi n
5. Phép tính Vi tích phân (tập 2)
– Phan Quốc Khánh – XB Giáo dục. §1. KHÁI IỆM CƠ BẢ
6. Phép tính Giải tích hàm nhiều biến 1.1. Định nghĩa
– guyễn Đình Trí (chủ biên) – XBGD. 1.2. Giới hạn của hàm số hai biến – Hàm số liên tục
§2. ĐẠO HÀM RIÊ G – VI PHÂ
7. Tích phân hàm nhiều biến 2.1. Đạo hàm riêng
– Phan Văn Hạp, Lê Đình Thịnh 2.2. Vi phân
– XB KH và Kỹ thuật. 2.3. Đạo hàm của hàm số hợp
2.4. Đạo hàm của hàm số n
8. Bài tập Giải tích (tập 2) §3. CỰC TRN CỦA HÀM HAI BIẾ SỐ
– guyễn Thủy Thanh – XB Giáo dục. 3.1. Định nghĩa
3.2. Định lý điều kiện cần và đủ
Download Slide bài gi ng Toán A3 t i 3.3. Cực trị tự do
dvntailieu.wordpress.com 3.4. Cực trị có điều kiện
Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n
§1. KHÁI IỆM CƠ BẢ
1.1. Định nghĩa
• Cho D ⊂ ℝ 2 . Tương ứng f : D → ℝ ,
(x, y) ֏ z = f (x, y)
– Trừ trường hợp D = ℝ 2 , D thường được giới hạn bởi 1
duy nhất, được gọi là hàm số 2 biến x và y. đường cong kín ∂D (biên) hoặc không. Miền liên thông D
• Tập D được gọi là MXĐ của hàm số và là đơn liên nếu D được giới hạn bởi 1 đường cong kín; đa
f (D) = {z ∈ ℝ z = f (x, y), ∀(x, y) ∈ D} là miền giá trị.
liên nếu được giới hạn bởi nhiều đường cong kín rời nhau
từng đôi một.
– Nếu M(x, y) thì D là tập hợp điểm M trong ℝ 2 sao cho
f(M) có nghĩa. Miền D thường là miền liên thông, nghĩa là
nếu M, N thuộc miền D mà tồn tại 1 đường nối M với N
nằm hoàn toàn trong D thì D là liên thông.




Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n
– D là miền đóng nếu M ∈∂D ⇒ M ∈ D , VD 4. Hàm số z = f (x, y) = ln(2x + y − 3) có MXĐ là nửa
miền mở nếu M ∈∂D ⇒ M ∉ D . mp mở biên d: 2x + y – 3 không chứa O(0; 0).
Chú ý 1.2. Giới hạn của hàm số hai biến – Hàm số liên tục
• Khi cho hàm số f(x, y) mà không nói gì thêm thì ta hiểu
• Dãy điểm Mn(xn; yn) dần đến điểm M0(x0; y0) trong ℝ 2 , ký
MXĐ D là tập tất cả (x, y) sao cho f(x, y) có nghĩa.
hiệu M n → M 0 hay (x n ; y n ) → (x 0 ;y 0 ) , khi n → +∞ nếu
• Hàm số n biến f(x1, x2,…, xn) được định nghĩa tương tự.
lim d ( M n , M 0 ) = lim (x n − x 0 )2 + (y n − y0 )2 = 0 .
VD 1. n →∞ n →∞

Hàm số z = f(x, y) = x3y + 2xy2 – 1 xác định trên ℝ 2 . • Cho hàm số f(x, y) xác định trong miền D (có thể không
VD 2. Hàm số z = f (x, y) = 4 − x 2 − y 2 có MXĐ là hình chứa M0), ta nói L là giới hạn của f(x, y) khi điểm M(x, y)
dần đến M0 nếu mọi dãy điểm Mn (Mn khác M0) thuộc D
tròn đóng tâm O(0; 0), bán kính R = 2.
dần đến M0 thì lim f (x n , y n ) = L .
n →∞
VD 3. Hàm số z = f (x, y) = ln(4 − x 2 − y2 ) có MXĐ là hình
Ký hiệu: lim f (x, y) = lim f (M) = L .
tròn mở tâm O(0; 0), bán kính R = 2. (x,y)→(x 0 ,y0 ) M →M0




Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n
3xy
hận xét VD 7. Cho hàm số f (x, y) = .
• Nếu khi M n → M 0 trên 2 đường khác nhau mà dãy x 2 + y2
{f(xn, yn)} có hai giới hạn khác nhau thì ∃ lim f (M) . Chứng tỏ lim f (x, y) không tồn tại.
M → M0 ( x,y)→ (0,0)

2x y − 3x − 12
3 Giải
VD 5. lim =− . Xét dãy điểm {M n ( x n ; y n )}.
xy 2 + 3
(x,y) →(1, −1) 2
xy Khi M n → O(0; 0) trên đường y = x thì
VD 6. Cho f (x, y) = , tính lim f (x, y) .
x 2 + y2 (x ,y )→(0,0) 3x 2 3
lim f (x, y) = lim = .
Giải ( x ,y) →(0,0) ( x ,y )→ (0,0) 2x 2 2
xy xy x →0 Khi M n → O(0; 0) trên đường y = 2x thì
y→ 0
Ta có: 0 ≤ f (x, y) = ≤ = x  0 .
→ 6x 2 6
x +y 2 2
y 2
lim f (x, y) = lim = .
(x,y) →(0,0) (x,y)→ (0,0) 5x 2 5
Vậy lim f (x, y) = 0 . Vậy lim f (x, y) không tồn tại.
(x ,y)→ (0,0)
( x ,y) →(0,0)
Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n
Hàm số liên tục VD 8. Xét tính liên tục của hàm số:
 xy
• Hàm số f(x, y) xác định trong D chứa M0, ta nói f(x, y)  , (x, y) ≠ (0,0)
f (x, y) =  x 2 + y 2 .
liên tục tại M0 nếu tồn tại lim f (x, y) và
( x ,y )→( x 0 ,y 0 )  0, (x, y) = (0,0)

lim f (x, y) = f (x 0 , y0 ) .
( x ,y )→( x 0 ,y0 )


• Hàm số f(x, y) liên tục trong D nếu liên tục tại mọi điểm Giải
M thuộc D. Với (x, y) ≠ (0,0) thì f(x, y) xác định nên liên tục.
Tại (0,0) ta có lim f (x, y) không tồn tại (xem VD7).
( x ,y ) → (0,0)
• Hàm số f(x, y) liên tục trong miền đóng giới nội D thì đạt Vậy f(x, y) liên tục trên ℝ 2 \ {(0,0)}.
giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong D.




Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n
§2. ĐẠO HÀM RIÊ G – VI PHÂ
• Tương tự ta có đạo hàm riêng theo biến y tại (x0, y0) là:
2.1. Đạo hàm riêng f ( x 0 , y 0 + ∆ y ) − f ( x0 , y 0 )
f y/ ( x0 , y0 ) = lim .
a) Đạo hàm riêng cấp 1 ∆y → 0 ∆y
∂f
• Cho hàm số f(x, y) xác định trên D chứa M0(x0, y0). Nếu • Tại (x, y) tùy ý ta dùng ký hiệu: f x hay f x/ hay .
hàm số 1 biến f(x, y0) (y0 là hằng số) có đạo hàm tại x = x0 ∂x
thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng theo biến x của hàm VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm
số f(x, y) tại (x0, y0). f(x, y) = x4 – 3x3y2 + 2y3 – 3xy tại (–1; 2).
∂f
Ký hiệu: f x (x 0 , y0 ) hay f x/ (x 0 , y 0 ) hay (x 0 , y 0 ). Giải. Ta có:
∂x
f x/ = 4 x 3 − 9 x 2 y 2 − 3 y ⇒ f x/ ( −1;2) = −46 .
f (x 0 + ∆x, y 0 ) − f (x 0 , y 0 )
Vậy f (x 0 , y 0 ) = lim
/
.
x
∆x → 0 ∆x f y/ = −6 x 3 y + 6 y 2 − 3 x ⇒ f y/ ( −1;2) = 39 .




Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n
y
VD 2. Tính các đạo hàm riêng của hàm z = x (x > 0). Chú ý
Gi i • V i hàm n bi n ta có đ nh nghĩa tương t .
z = yx
/ y −1
, z y = x y ln x.
/
VD 4. Tính các đạo hàm riêng của f ( x, y , z ) = e x y sin z .
2
x
x
VD 3. Tính các đạo hàm riêng của z = cos tại (π ; 4) . Giải
y 2 2

Giải f x/ = ( x 2 y ) /x e x y sin z = 2 xye x y sin z
2 2

x
/
x 1 x 2 f y/ = ( x 2 y ) /y e x y sin z = x 2 e x y sin z
z x = −   sin = − sin ⇒ z x (π ;4) = −
/ /
, 2

 y x y y y 8 f z/ = e x y cos z .
/
x x x x π 2
z y = −   sin = 2 sin ⇒ z y (π ;4) =
/ /
.
 y y y y y 32
Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n
b) Đ o hàm riêng c p cao VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của
• Các hàm số fx, fy có các đạo hàm riêng (fx)x, (fy)y, (fx)y, (fy)x f ( x , y ) = x 3e y + x 2 y 3 − y 4 tại ( −1; 1) .
được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của f. Giải
Ký hiệu:
∂ ∂f ∂2 f
( f x ) x = f xx = f x// =   = 2 ,
2  
∂x  ∂x  ∂x

( f y ) y = f yy = f y/2/ = ∂∂y  ∂y  = ∂ y f2 ,
2
f
∂  ∂
 
∂  ∂f  ∂ 2 f
( fx )y = f xy = f xy =
//
 = ,
∂y  ∂x  ∂y∂x
∂  ∂f  ∂ 2 f
(f )
y x = f yx = f yx/
/
=  =
∂x  ∂y  ∂x∂y
.




Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n
2.2. Vi phân
a) Vi phân c p 1
• Các đ o hàm riêng c p hai c a hàm n bi n và đ o
hàm riêng c p cao hơn đư c đ nh nghĩa tương t . • Cho hàm số f(x, y) xác định trong D ⊂ ℝ 2 và
M 0 ( x0 , y0 ) ∈ D , M ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) ∈ D .
Nếu số gia ∆f ( x0 , y0 ) = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) có
Đ nh lý (Schwarz)
thể biểu diễn dưới dạng:
• N u hàm s f(x, y) có các đ o hàm riêng fxy và fyx ∆f ( x0 , y0 ) = A.∆x + B.∆y + α∆x + β ∆y
liên t c trong mi n D thì fxy = fyx.
trong đó A, B là những số không phụ thuộc ∆x, ∆y và
α , β → 0 khi ( ∆x, ∆y ) → (0,0) , ta nói f khả vi tại M0.




Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n
• Từ ∆f ( x0 , y0 ) = A.∆x + B.∆y + α∆x + β∆y , ta suy ra:
• Biểu thức A.∆x + B.∆y được gọi là vi phân cấp 1 (toàn
f ( x0 + ∆x , y0 ) − f ( x0 , y0 ) = A.∆x + α∆x
phần) của f(x, y) tại M0(x0, y0) ứng với ∆x, ∆y .
f ( x0 + ∆x , y0 ) − f ( x0 , y0 )
⇒ lim = A.
Ký hiệu df(x0, y0). ∆x → 0 ∆x
f ( x0 , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 )
• Hàm số f(x, y) khả vi trên miền D nếu f(x, y) khả vi tại mọi Tương tự lim = B.
∆y → 0 ∆y
(x, y) thuộc D.
Vậy df ( x0 , y0 ) = f x/ ( x0 , y0 ).∆x + f y/ ( x0 , y0 ).∆y
hận xét
hay df ( x0 , y0 ) = f x/ ( x0 , y0 )dx + f y/ ( x0 , y0 )dy .
• Nếu f(x, y) khả vi tại M0 thì f(x, y) liên tục tại M0.
Tổng quát:
df ( x, y ) = f x/ ( x, y )dx + f y/ ( x, y )dy , ( x, y ) ∈ D.
Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n
VD 7. VD 8. Tính vi phân cấp 1 của f ( x, y ) = e x
2
−y
sin( xy 2 ) .
Tính vi phân cấp 1 của z = x 2 e x − y + xy 3 − y 5 tại (–1; 1). Giải




Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n
Định lý VD 9. Tính vi phân cấp 2 của
• Nếu hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục tại M0 f ( x, y ) = x 2 y 3 + xy 2 − 3 x 3 y 5 tại (2; –1).
trong miền D chứa M0 thì f(x, y) khả vi tại M0. Giải
b) Vi phân cấp cao
• Vi phân cấp 2:
d 2 f ( x , y ) = d ( df ( x , y ) )
= f x// ( x , y )dx 2 + 2 f xy ( x , y )dxdy + f y// ( x, y )dy 2 .
2
//
2



• Vi phân cấp n:
n
d n f ( x, y ) = d n −1 ( df ( x, y ) ) = ∑ Cn f x(kny)n− k ( x, y )dx k dy n −k .
k

k =0




Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n
VD 10. Tính vi phân cấp 2 của f ( x, y ) = ln( xy ) . 2
VD 11. Tính vi phân cấp 3 của z = x 3 y 2 .
Giải Giải
Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n
2.3. ð o hàm c a hàm s h p VD 12. Cho f ( u, v ) = u 2 − uv + 2v 2 , u = e − x , v = sin x .
• Cho hàm số f(u, v), trong đó u = u(x) và v = v(x) là những df
Tính .
hàm số của biến x. Nếu f(u, v) là hàm khả vi của biến u, v và dx
u(x), v(x) các hàm khả vi của x thì:

df du dv
= f u/ . + f v/ .
dx dx dx
Trong đó
df du dv
, , là các đạo hàm toàn phần theo x.
dx dx dx




Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n
• Nếu hàm số f(x, y) khả vi của biến x, y và y = y(x) là hàm 2.4. ð o hàm c a hàm s n
khả vi của biến x thì:
df dy • Cho hai biến x, y thỏa phương trình F(x, y) = 0 (*).
= f x/ + f y/ . Nếu y = y(x) là hàm số xác định trong 1 khoảng nào đó sao
dx dx
cho khi thế y(x) vào (*) ta được đồng nhất thức thì y = y(x)
df là hàm số n xác định bởi (*).
VD 13. Cho f ( x, y ) = ln( x 2 + y 2 ), y = sin 2 x . Tính .
dx
• Đạo hàm hai vế (*) theo x, ta được:
Fx/ ( x , y ) + Fy/ ( x , y ). y ′ = 0

Fx/ ( x, y )
⇒ y′ = − , Fy/ ( x, y ) ≠ 0 .
Fy/ ( x, y )




Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n
VD 14. VD 15. Cho xy − e x + e y = 0 . Tính y ′( x ) .
Xác định hàm số Nn y(x) trong phương trình x2 + y2 – 4 = 0.
Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n
VD 16. Cho y 3 + ( x 2 + 1) y + x 4 = 0 . Tính y ′ . y
VD 17. Cho ln x 2 + y 2 = arctg . Tính y ′ .
x




Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n
Tương t : đ i v i hàm n hai bi n VD 18. Cho hàm Nn z(x, y) thỏa phương trình:
xyz = cos( x + y + z ) . Tính z x , z y .
/ /
• Cho hàm số Nn hai biến z = f(x, y) xác định bởi phương
trình F(x, y, z) = 0, với Fz/ ( x, y, z ) ≠ 0 ta có:

Fx/ ( x, y, z ) + Fz/ ( x, y, z ). z x ( x, y ) = 0
/

/
F ( x, y, z )
⇒ z x ( x , y ) = − x/
/
.
Fz ( x , y , z )

Fy/ ( x , y, z ) + Fz/ ( x, y, z ). z y ( x, y ) = 0
/


F / ( x, y, z )
⇒ z y ( x, y ) = − y/
/
.
Fz ( x , y , z )




Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n
VD 19. Cho hàm Nn z(x, y) thỏa phương trình mặt cầu: §3. C C TR C A HÀM HAI BI N S
x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z − 2 = 0 . Tính z /y .
3.1. Định nghĩa
• Hàm số z = f(x, y) đạt cực trị (địa phương) tại điểm
M0(x0; y0) nếu với mọi điểm M(x, y) khá gần nhưng khác M0
thì hiệu f(M) – f(M0) có dấu không đổi.
• N ếu hiệu f(M) – f(M0) > 0 thì f(M0) là cực tiểu và M0 là
điểm cực tiểu của z.
• N ếu hiệu f(M) – f(M0) < 0 thì f(M0) là cực đại và M0 là
điểm cực đại của z.
C c đ i và c c ti u g i chung là c c tr .
VD 1. Hàm số f(x, y) = x2 + y2 – xy đạt cực tiểu tại O(0; 0).
Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n
b) Điều kiện đủ
3.2. Định lý
a) Điều kiện cần • Giả sử f(x, y) có điểm dừng là M0 và có đạo hàm riêng cấp
hai tại lân cận điểm M0.
• N ếu hàm số z = f(x, y) đạt cực trị tại M0(x0, y0) và tại đó
hàm số có đạo hàm riêng thì: Đặt A = f x// ( x0 , y0 ), B = f xy ( x0 , y0 ), C = f y// ( x0 , y0 ) .
2
//
2


f x/ ( x0 , y0 ) = f y/ ( x0 , y0 ) = 0. Khi đó:
N ếu AC – B2 > 0 và A > 0 thì hàm số đạt cực tiểu
Chú ý tại điểm M0;
AC – B2 > 0 và A < 0 thì hàm số đạt cực đại
• Điểm M0 thỏa f x/ ( x0 , y0 ) = f y/ ( x0 , y0 ) = 0 được gọi là tại điểm M0.
điểm dừng, M0 có thể không là điểm cực trị của z. N ếu AC – B2 < 0 thì hàm số không có cực trị
(điểm M0 được gọi là điểm yên ngựa).
N ếu AC – B2 = 0 thì chưa thể kết luận hàm số có
cực trị hay không (ta dùng định nghĩa để xét).




Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n
3.3. Cực trị tự do VD 2.
• Cho hàm số z = f(x, y). Để tìm cực trị của hàm f(x, y) trên Tìm điểm dừng của hàm số z = xy(1 – x – y).
MXĐ D, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Tìm điểm dừng M0(x0; y0) bằng cách giải hệ:
 /
 f x ( x0 , y 0 ) = 0
 / .
 f y ( x0 , y 0 ) = 0

Bước 2. Tính A = f x// ( x0 , y0 ), B = f xy ( x0 , y0 ) ,
2
//


C = f y 2 ( x0 , y0 ) ⇒ ∆ = AC − B 2 .
//



Bước 3. Dựa vào điều kiện đủ để kết luận.




Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n
VD 3. VD 4.
Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8. Tìm cực trị của hàm số z = x3 + y3 – 3xy – 2.
Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n
VD 5.
Tìm cực trị của hàm số z = 3x2y + y3 – 3x2 – 3y2 + 2. 3.4. C c tr có đi u ki n
• Cho hàm số z = f(x, y) xác định trên lân cận của điểm
M0(x0; y0) thuộc đường cong ϕ ( x , y ) = 0 . N ếu tại điểm M0
hàm số f(x, y) đạt cực trị thì ta nói điểm M0 là điểm cực trị
của f(x, y) với điều kiện ϕ ( x , y ) = 0 .
• Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số f(x, y) ta dùng
phương pháp khử hoặc nhân tử Lagrange.

Phương pháp khử

• Từ phương trình ϕ ( x, y ) = 0 , ta rút x hoặc y thế vào f(x, y)
và tìm cực trị của hàm 1 biến.




Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n
VD 6. Tìm cực trị của hàm số: Phương pháp nhân tử Lagrange
f(x, y) = x2 + y2 – xy + x + y với điều kiện x + y + 3 = 0.
• Bước 1. Lập hàm Lagrange:
VD 7. Tìm cực trị của hàm số: L( x, y , λ ) = f ( x, y ) + λϕ ( x , y ) , λ là nhân tử Lagrange.
f(x, y) = xy với điều kiện 2x + 3y – 5 = 0.

• Bước 2. Giải hệ: L/x = 0, L/y = 0, L/λ = 0
⇒ điểm dừng M0(x0; y0) ứng với λ0.

• Bước 3. Tính vi phân cấp hai tại M0(x0; y0) ứng với λ0:
d 2 L( M 0 ) = L''x 2 ( M 0 )dx 2 + 2 L''xy ( M 0 )dxdy + L''y 2 ( M 0 )dy 2 .




Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n
Điều kiện ràng buộc: VD 8. Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = 2x + y
với điều kiện x2 + y2 = 5.
dϕ ( x0 , y0 ) = 0 ⇒ ϕ x ( x0 , y0 )dx + ϕ y ( x0 , y0 )dy = 0 (1)
/ /



(dx)2 + (dy)2 > 0 (2).

• Bước 4. Từ điều kiện (1) và (2), ta có:

N ếu d 2 L( x0 , y0 ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại M0.
N ếu d 2 L( x0 , y0 ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại M0.
N ếu d 2 L( x0 , y0 ) = 0 thì điểm M0 không là điểm cực trị.
Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 2. TÍCH PHÂN B I
VD 9. Tìm cực trị của hàm số z = xy §1. TÍCH PHÂ BỘI HAI (KÉP)
1.1. Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong)
x2 y 2
với điều kiện + = 1. 1.2. Định nghĩa
8 2 1.3. Tính chất của tích phân kép
1.4. Phương pháp tính tích phân kép
§2. TÍCH PHÂ BỘI BA
2.1. Bài toán mở đầu (khối lượng vật thể)
2.2. Định nghĩa
2.3. Phương pháp tính tích phân bội ba
§3. Ứ G DỤ G CỦA TÍCH PHÂ BỘI
3.1. Diện tích, thể tích
3.2. Giá trị trung bình của hàm số trên miền đóng
3.3. Khối lượng
3.4. Momen tĩnh
3.5. Trọng tâm
3.6. Momen quán tính




Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
§1. Tích phân bội hai (kép) Để tính thể tích khối trụ, ta chia miền D thành n phần

1.1. Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong) (
không dẫm nhau, diện tích mỗi phần là ∆Si i = 1, n . )
N hư vậy khối trụ cong được chia thành n khối trụ nhỏ.
• Xét hàm s z = f(x,y) Trong mỗi ∆Si ta lấy điểm Mi(xi; yi) tùy ý.
liên t c, không âm và
m t m t tr có các Ta có thể tích ∆Vi của khối trụ nhỏ là:
đư ng sinh song song n
v i Oz, đáy là mi n ∆Vi ≈ f (x i ; yi )∆Si ⇒ V ≈ ∑ f (x i , yi )∆Si .
ph ng đóng D trong i =1
m t ph ng Oxy.
{
Gọi di = max d(A, B ) A, B ∈ ∆Si }
là đường kính của ∆Si .




Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
Ta có: 1.2. Định nghĩa
n
∑ f (xi , yi )∆Si .
n
V = lim
max di →0
i =1
• N ếu I = lim
max d →0
∑ f (xi , yi )∆Si tồn tại hữu hạn,
i i =1
Khi đó không phụ thuộc vào phân hoạch ∆Si và cách chọn
n điểm Mi thì số thực I được gọi là tích phân bội hai
I n = ∑ f (x i , yi )∆Si được gọi là tổng tích phân của f(x, y) trên D.
i =1
của hàm f(x, y) trên D
Ký hiệu
(ứng với phân hoạch ∆Si và các điểm Mi).
I = ∫∫ f (x , y )dS
D
Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
Chú ý 1.3. Tính chất của tích phân kép
1) N ếu chia D bởi các đường thẳng song song với các • Tính chất 1
trục tọa độ thì ∆Si = ∆xi.∆yi hay dS = dxdy. Hàm số f(x, y) liên tục trên D thì f(x, y) khả tích trên D.
Vậy I = ∫∫ f (x , y )dS = ∫∫ f (x , y )dxdy . • Tính chất 2 (tính tuyến tính)
D D
∫∫ [ f (x , y ) ± g(x , y )]dxdy = ∫∫ fdxdy ± ∫∫ gdxdy ;
2) ∫∫ f (x , y )dxdy = ∫∫ f (u, v )dudv . D D D

hận xét
D D
∫∫ kf (x, y )dxdy = k ∫∫ f (x, y )dxdy, k ∈ ℝ .
D D
1) ∫∫ dxdy = S (D ) (diện tích miền D).
• Tính chất 3
D
N ếu chia D thành D1 và D2 bởi đường cong có diện
2) f(x, y) > 0, liên tục ∀(x, y) ∈ D thì ∫∫ f (x, y )dxdy tích bằng 0 thì:
∫∫ f (x, y )dxdy = ∫∫ f (x, y )dxdy + ∫∫ f (x, y )dxdy
D
là thể tích hình trụ có các đường sinh song song với
Oz, hai đáy giới hạn bởi các mặt z = 0 và z = f(x, y). D D1 D2




Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
Khi đó:
1.4. Phương pháp tính tích phân kép b y2 (x )



∫∫ f (x, y )dxdy = ∫  ∫
 f (x , y )dy dx


1.4.1. Đưa về tích phân lặp 
 

D a y1 (x )
 
b y2 (x )

Định lý (Fubini) = ∫ dx ∫ f (x , y )dy.

∫∫ f (x, y )dxdy tồn tại, với
a y1 (x )
• Giả sử tích phân Tương tự,
D D = {(x , y ) : x 1(y ) ≤ x ≤ x 2 (y ), c ≤ y ≤ d } ,
D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, y1 (x ) ≤ y ≤ y2 (x )}
x 2 (y ) 
y2 (x ) d
 

∫∫ f (x, y )dxdy = ∫  ∫ f (x , y )dx dy

và với mỗi x ∈ [a ; b ] cố định ∫ f (x , y )dy tồn tại.
D

c x1 (y )





y1 (x ) d x 2 (y )

= ∫ dy ∫ f (x , y )dx .
c x1 (y )




Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
Chú ý
Tương tự, nếu
1) Khi D là hình chữ nhật D = {(x , y ) : x1(y ) ≤ x ≤ x 2 (y ), c ≤ y ≤ d }
D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } = [a, b ] × [c, d ] thì: thì:
b d d b x 2 (y )
d
∫∫ f (x , y )dxdy = ∫ dx ∫ f (x , y )dy = ∫ dy ∫ f (x , y )dx .
∫∫ f (x , y )dxdy = ∫ v(y )dy ∫ u(x )dx .
D a c c a
D c x1 (y )

2) N ếu D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2 (x )}
và f(x, y) = u(x).v(y) thì: 3) N ếu D là miền phức tạp thì ta chia D ra thành những
b y2 (x )
miền đơn giản.
∫∫ f (x, y )dxdy = ∫ u(x )dx ∫ v(y )dy.
D a y1 (x )
Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
VD 1. Xác định cận ở tích phân lặp khi tính tích phân 2) D giới hạn bởi các đường y = x2 và x + y = 2.
I = ∫∫ f (x , y )dxdy trong các trường hợp sau:
D
1) D giới hạn bởi các đường y = 0, y = x và x = a > 0.

Gi i




Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
VD 2. Tính I = ∫∫ xydxdy với D giới hạn bởi Đổi thứ tự lấy tích phân
D
y = x – 4, y2 = 2x.

Giải




b y2 (x ) d x 2 (y )

I = ∫ dx ∫ f (x , y )dy I = ∫ dy ∫ f (x , y )dx
a y1 (x ) c x1 (y )




Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
VD 3. Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau: VD 3. Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau:
1 x 3 1
1 2−x 2
1) I = ∫ dx ∫ f (x , y )dy 2) I = ∫ dx ∫ f (x , y )dy + ∫ dx ∫ f (x , y )dy .
0 x 0 x2 1 x2
9 9
Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
1.4.2. Phương pháp đổi biến Trong đó:
a) Công thức đổi biến tổng quát / /
∂(x , y ) xu xv 1 1
Định lý J = = / = =
• Giả sử x = x(u, v), y = y(u, v) là hai hàm số có các ∂(u, v ) yu /
yv ∂(u, v ) /
ux uy/

đạo hàm riêng liên tục trên miền đóng giới nội Duv ∂(x , y ) / /
trong mpOuv. vx vy
Gọi
Dxy = {(x , y ) : x = x (u, v ), y = y(u, v ),(u, v ) ∈ Duv }. VD 4. Cho miền Duv là hình tam giác O(0;0), A(2;0),
B(0;2) trong mpOuv. Gọi miền Dxy là ảnh của Duv qua
N ếu hàm f(x, y) khả tích trên Dxy và định thức Jacobi phép biến hình g: (x, y) = g(u, v) = (u + v, u2 – v).
∂(x , y ) 1
J = ≠ 0 trong Duv thì: Tính tích phân của hàm f (x , y ) = trên
∂(u, v )
1 + 4x + 4y
∫∫ f (x , y )dxdy = ∫∫ f (x(u, v ), y(u, v )) J dudv miền biến hình Dxy = g(Duv).
Dxy Duv




Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
VD 5. Cho miền Duv là phần tư hình tròn đơn vị trong VD 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4
mpOuv. Gọi miền Dxy là ảnh của Duv qua phép biến parapol: y = x2, y = 2x2, x = y2 và x = 3y2.
hình g: (x, y) = g(u, v) = (u2 – v2, 2uv). Tính tích phân
1
của hàm f (x , y ) = trên miền biến hình Dxy.
x + y2
2




Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
b) Đổi biến trong tọa độ cực x / xϕ
/
cos ϕ −r sin ϕ
∂(x , y )
x = r cos ϕ ⇒J = = r = = r.
 ∂(r , ϕ) yr yϕ
/ / sin ϕ r cos ϕ
• Đổi biến: 

y = r sin ϕ


với Vậy ta có:
r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π
hoặc
r ≥ 0, − π ≤ ϕ ≤ π ∫∫ f (x, y )dxdy = ∫∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ)rdrd ϕ
Dxy Dr ϕ
ϕ2 r2 ( ϕ )
Khi đó, miền Dxy trở thành: = ∫ dϕ ∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr .
Dr ϕ = {(r , ϕ) : ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 , r1(ϕ) ≤ r ≤ r2 (ϕ)}. ϕ1 r1 (ϕ )
Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
Chú ý
4) N ếu cực O nằm trên biên D thì:
1) Đổi biến trong tọa độ cực thường dùng khi biên ϕ2 r (ϕ )
D là đường tròn hoặc elip. I = ∫ dϕ ∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr .

x = r cos ϕ ϕ1 0
2) Để tìm r1(ϕ), r2 (ϕ) ta thay 
 x = r a cos ϕ

y = r sin ϕ

 5) N ếu biên D là elip thì đặt: 

vào phương trình của biên D. y = r b sin ϕ


3) N ếu cực O nằm trong D và mỗi tia từ O chỉ cắt biên ⇒ Dr ϕ = {(r , ϕ) : 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1},
D tại 1 điểm thì: 2π 1
2π r (ϕ )
I = ∫ dϕ ∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr .
J = abr ⇒ I = ∫ d ϕ ∫ f (ra cos ϕ, rb sin ϕ)abrdr .
0 0
0 0




Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
VD 7. x2 y2
VD 8. Tính diện tích hình ellip: + ≤ 1.
Biểu diễn tích phân ∫∫ f (x , y )dxdy trong tọa độ cực. a 2
b2
D
Biết miền D là miền phẳng nằm ngoài
(C1): (x – 1)2 + y2 = 1 và trong (C2): (x – 2)2 + y2 = 4.




Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
−(x 2 +y 2 )
VD 9. Tính tích phân I = ∫∫ e dxdy với D là VD 10. Tính diện tích miền D (cắt tia Oy) giới hạn
D bởi: y = –x, x 2 + y 2 = 3 x 2 + y 2 − 3x và y ≥ 0 .
hình tròn x 2 + y 2 ≤ R 2 .
Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
VD 11. Tính thể tích vật thể V giới hạn bởi
Công thức Walliss
phần hình trụ x 2 + y 2 − 2y = 0 nằm trong  (n − 1)!!
π π 

hình cầu x 2 + y 2 + z 2 = 4 và z ≥ 0 .  , n leû
2 2  n !!
∫ sin
n
xdx = ∫ cos xdx = 
n
 .
π (n − 1)!!
 .
0 0 2 , n chaün

 n !!

Trong đó:
0!! = 1!! = 1; 2!! = 2; 3!! = 1.3; 4!! = 2.4;
5!! = 1.3.5; 6!! = 2.4.6; 7!! = 1.3.5.7; 8!! = 2.4.6.8;…




Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
MỘT SỐ MẶT BẬC HAI
TRO G KHÔ G GIA Oxyz




Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I




Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I




Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
§2. TÍCH PHÂ BỘI BA

2.1. Bài toán mở đầu (khối lượng vật thể) Khối lượng V xấp xỉ:
n n
• Giả sử ta cần tính khối lượng của vật thể V không m ≈ ∑ ρ(Pi )∆Vi = ∑ ρ(xi , yi , zi )∆Vi .
đồng chất, biết mật độ (khối lượng riêng) tại P(x, y, z) i =1 i =1
là ρ = ρ(P ) = ρ(x , y, z ). n
N ếu tồn tại lim
max di → 0
∑ ρ(xi , yi , zi )∆Vi thì:
Ta chia V tùy ý thành n phần không dẫm nhau, thể tích i =1
n
mỗi phần là ∆Vi (i=1,2,…,n). Trong mỗi ∆Vi ta lấy
điểm Pi(xi; yi; zi) và đường kính của ∆Vi là di.
m= lim
max d →0
∑ ρ(xi , yi , zi )∆Vi .
i i =1
Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
2.2. Định nghĩa Ký hiệu
• Cho hàm số f(x, y, z) xác định trong miền đo được V
của không gian Oxyz.
I = ∫∫∫ f (x , y, z )dV = ∫∫∫ f (x , y, z )dxdydz .
V V
Chia miền V (bài toán mở đầu) và lập tổng tích phân: hận xét
n
I n := ∑ f (x i , yi , z i )∆Vi . 1) N ếu f ≥ 0 trên V thì I = ∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz là
i =1 V
n khối lượng vật thể V, với khối lượng riêng vật chất
N ếu I = lim
max di → 0
∑ f (xi , yi , zi )∆Vi tồn tại hữu hạn, chiếm thể tích V là f(x, y, z).
i =1 Đặc biệt, nếu f(x, y, z) = 1 thì I là thể tích V.
không phụ thuộc vào cách chia V và cách chọn điểm Pi
thì số thực I được gọi là tích phân bội ba của hàm số 2) Tích phân bội ba có các tính chất như tích phân kép.
f(x, y, z) trên V.




Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
2.3. Phương pháp tính tích phân bội ba
b) Gọi D là hình chiếu của V trên mpOxz. Giả sử miền
2.3.1. Đưa về tích phân lặp
V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Oy) bởi hai
a) Giả sử miền V có giới hạn trên bởi mặt z = z2(x, y), mặt y = y2(x, z) và mặt y = y1(x, z), giới hạn xung
giới hạn dưới bởi z = z1(x, y), giới hạn xung quanh quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song Oy.
bởi mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz. Khi đó:
Gọi D là hình chiếu của V trên mpOxy. y2 (x ,z ) 
 

Khi đó: ∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz = ∫∫  ∫ f (x, y, z )dy dxdz

 

z (x ,y )  D y1 (x ,z )
 

2 

V

∫∫∫ f (x , y, z )dxdydz = ∫∫  ∫ f (x , y, z )dz dxdy

z (x ,y )



y2 (x ,z )
V D 1

z 2 (x ,y )
 = ∫∫ dxdz ∫ f (x , y, z )dy.
D y1 (x ,z )
= ∫∫ dxdy ∫ f (x , y, z )dz .
D z1 (x ,y )




Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
Đặc biệt
c) Gọi D là hình chiếu của V trên mpOyz. Giả sử miền
V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Ox) bởi hai • N ếu D là hình hộp chữ nhật
mặt x = x2(y, z) và mặt x = x1(y, z), giới hạn xung D = {(x , y, z ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, e ≤ z ≤ f }
quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song Ox. = [a, b ] × [c, d ] × [e, f ]
Khi đó: thì:
x (y ,z )  b d f
2 


∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz = ∫∫  ∫ f (x, y, z )dx dydz
 

∫∫∫ f (x , y, z )dxdydz = ∫ dx ∫ dy ∫ f (x , y, z )dz .
V D  x1 (y ,z )
 
 V a c e
x 2 (y ,z )

= ∫∫ dydz ∫ f (x , y, z )dx . VD 1. Tính tích phân I = ∫∫∫ 8xyzdxdydz với
D x1 (y,z ) V
V = [1, 2]×[–1, 3]×[0, 2].
Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
1 1 2
VD 3. Tính tích phân I = ∫∫∫ ydxdydz với V giới
VD 2. Tính tích phân lặp I = ∫ dx ∫ dy ∫ (1 + 2z )dz V
−1 x2 0 hạn bởi x + y + z – 1 = 0 và 3 mặt phẳng tọa độ.
và dựng miền lấy tích phân V.




Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
2.3.2. Đổi biến tổng quát Giả sử các hàm x, y, z có đạo hàm riêng liên tục trong
miền đóng, giới nội đo được Vuvw trong không gian
 Ouvw và J ≠ 0 thì:

x = x(u, v, w )

y = y(u, v, w ) , ta có Jacobien:
• Đặt 

z = z(u, v, w ) ∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz


 V
/ /
xu xv xw / = ∫∫∫ f (x(u, v, w ), y(u, v, w ), z(u, v, w )). J .dudvdw.
∂(x , y, z ) / / /
Vuvw
J = = yu yv yw .
∂(u, v, w ) / /
zu zv zw / VD 4. Tính tích phân I = ∫∫∫ (x + y + z )dxdydz với
V
V : −x + y + z + x − y + z + x + y − z ≤ 2 .




Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
VD 5. Tính thể tích của khối elipxoit 2.3.3. Đổi biến trong tọa độ trụ
x 2 y2 z 2
V : + + ≤ R2 . x = r cos ϕ
a 2 b2 c2 


Đặt y = r sin ϕ ,


z = z



với
r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π
hoặc
r ≥ 0, −π ≤ ϕ ≤ π .
Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
VD 6. Tính thể tích khối V giới hạn bởi các mặt
Jacobien:
/ / / x 2 + y 2 = 4 − z , x 2 + y 2 ≥ 2 và z = 0.
xr x ϕ xz cos ϕ −r sin ϕ 0
/ / /
J = yr yϕ yz = sin ϕ r cos ϕ 0 =r.
/ / / 0 0 1
zr zϕ zz

Khi đó ta có:
∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz
V
= ∫∫∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ, z ).r .drd ϕdz .
Vr ϕz




Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
∫∫∫ (x
2
VD 8. Tính tích phân I = + y 2 + z 2 )dxdydz
∫∫∫ z
2 2
VD 7. Tính tích phân I = x + y dxdydz
V V
với V là miền hình trụ giới hạn bởi: với V là miền hình nón giới hạn bởi các mặt:
x 2 + y 2 = 2y , z = 0 và z = 1. x 2 + y 2 = z 2 và z = 1.




Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
2.3.3. Đổi biến trong tọa độ cầu Jacobien:
/ / /
xr x ϕ xθ
x = r sin θ cos ϕ
 ∂(x , y, z ) / /
 J = = yr yϕ y θ = r 2 sin θ .
/
 ∂(r , ϕ, θ)
Đặt y = r sin θ sin ϕ ,
 /
zr /
zϕ /



z = r cos θ


với Khi đó ta có:
r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π
∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ f .r
2
sin θ.drd ϕd θ.
V Vr ϕθ
Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
VD 9.
1 VD 10. Tính tích phân I = ∫∫∫ (x 2 + y 2 )dxdydz với
Tính tích phân I = ∫∫∫ dxdydz V
V x + y2 + z2
2
V là miền giới hạn bởi: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 và z ≥ 0 .
với V là miền giới hạn
bởi các mặt cầu:
x 2 + y2 + z 2 = 1
và x 2 + y 2 + z 2 = 4 .




Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
VD 11. Tính tích phân §3. Ứ G DỤ G CỦA TÍCH PHÂ BỘI
(tham khảo)
I = ∫∫∫ x 2 + y 2 + z 2dxdydz
3.1. Diện tích, thể tích
V
với V là miền giới hạn bởi: x 2 + y 2 + z 2 − z ≤ 0 .
(xem nhận xét tích phân bội hai, ba).
3.2. Giá trị trung bình của hàm số trên miền đóng
• Giá trị trung bình của hàm số f(x, y) trên miền đóng
1
S (D ) ∫∫
D là: f = f (x , y )dxdy.
D

• Giá trị trung bình của hàm số f(x, y, z) trên miền
1
V ( ) ∫∫∫
đóng là: f = f (x , y, z )dxdydz .




Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
3.3. Khối lượng 3.4. Momen tĩnh
• Cho một bản phẳng chiếm miền D đóng trong Oxy có Định nghĩa
khối lượng riêng (mật độ khối lượng) tại điểm M(x, y) • Momen tĩnh của một chất điểm có khối lượng m đặt
thuộc D là hàm ρ(x , y ) liên tục trên D. Khối lượng của tại điểm M(x, y) trong Oxy đối với trục Ox, Oy theo thứ
bản phẳng là: tự là:
m = ∫∫ ρ(x , y )dxdy . My=0 = my, Mx=0 = mx.
D
• Momen tĩnh của một chất điểm có khối lượng m đặt
• Cho một vật thể chiếm miền V đóng trong Oxyz có tại điểm M(x, y, z) trong Oxyz đối với các mặt phẳng
khối lượng riêng tại điểm M(x, y, z) thuộc V là hàm tọa độ Oxy, Oyz, Oxz theo thứ tự là:
ρ(x , y, z ) liên tục trên V. Khối lượng của vật thể là: Mz=0 = mz, Mx=0 = mx, My=0 = my.
m= ∫∫∫ ρ(x , y, z )dxdydz .
V
Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
Công thức tính 3.5. Trọng tâm
• Momen tĩnh của bản phẳng chiếm diện tích D trong
• Cho bản phẳng chiếm diện tích D trong Oxy có khối
Oxy có khối lượng riêng tại điểm M(x, y) là hàm
ρ(x , y ) liên tục trên D là: lượng riêng tại điểm M(x, y) là hàm ρ(x , y ) liên tục trên
D. Khi đó, tọa độ trọng tâm G của bản phẳng là:
M y =0 = ∫∫ y ρ(x, y )dxdy, M x =0 = ∫∫ x ρ(x, y )dxdy .
D D
• Momen tĩnh của vật thể chiếm miền V trong Oxyz có
∫∫ x ρ(x , y )dxdy 1
khối lượng riêng tại điểm M(x, y, z) là hàm ρ(x , y, z ) xG = D = ∫∫ x ρ(x , y )dxdy,
liên tục trên V là: ∫∫ ρ(x , y )dxdy m
D
D
M z =0 = ∫∫∫ z ρ(x , y, z )dxdydz ,
V ∫∫ yρ(x, y )dxdy 1
Mx =0 = ∫∫∫ x ρ(x, y, z )dxdydz, yG = D
= ∫∫ y ρ(x , y )dxdy.
V
∫∫ ρ(x , y )dxdy m
D
My =0 = ∫∫∫ y ρ(x, y, z )dxdydz . D
V




Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
Khi bản phẳng đồng chất thì ρ(x , y ) là hằng số nên:
Khi vật thể đồng chất thì ρ(x , y, z ) là hằng số nên:
1 1
S (D ) ∫∫ S (D ) ∫∫
xG = xdxdy, yG = ydxdy . 1
D D xG = ∫∫∫ xdxdydz ,
• Cho vật thể chiếm thể tích V trong Oxyz có khối V
V
lượng riêng tại điểm M(x, y, z) là hàm ρ(x , y, z ) liên tục 1
trên V. Khi đó, tọa độ trọng tâm G của vật thể là: yG =
V ∫∫∫ ydxdydz,
1 V
xG = ∫∫∫ x ρ(x , y, z )dxdydz , 1
m
V zG =
V ∫∫∫ zdxdydz .
1
yG = ∫∫∫ y ρ(x , y, z )dxdydz,
V
m
V
1
zG = ∫∫∫ z ρ(x , y, z )dxdydz .
m
V




Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
3.6. Momen quán tính
Định nghĩa Công thức tính
• Momen quán tính của một chất điểm có khối lượng • Cho bản phẳng chiếm diện tích D trong mpOxy có
m đặt tại điểm M(x, y) đối với trục Ox, Oy và gốc tọa
khối lượng riêng tại điểm M(x, y) là hàm ρ(x , y ) liên
độ O theo thứ tự là:
Ix = my2, Iy = mx2 và IO = Ix + Iy = m(x2 + y2). tục trên D. Khi đó:
• Momen quán tính của một chất điểm có khối lượng I x = ∫∫ y 2ρ(x , y )dxdy,
m đặt tại điểm M(x, y, z) đối với trục Ox, Oy, Oz và D
gốc tọa độ O theo thứ tự là:
∫∫ x
2
Iy = ρ(x , y )dxdy,
Ix = m(y2 + z2), Iy = m(x2 + z2), Iz = m(x2 + y2)
D
và IO = Ix + Iy + Iz = m(x2 + y2 + z2).
∫∫ (x )
2
• Momen quán tính của một chất điểm có khối lượng IO = + y 2 ρ(x , y )dxdy.
m đặt tại điểm M(x, y, z) đối với các mặt phẳng tọa độ D
Oxy, Oyz, Oxz thứ tự là:
Iz=0 = mz2, Ix=0 = mx2, Iy=0 = my2.
Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
• Cho vật thể chiếm miền V trong Oxyz có khối lượng
riêng tại điểm M(x, y, z) là hàm ρ(x , y, z ) liên tục trên
∫∫∫ z
2
V. Khi đó: I z =0 = ρ(x , y, z )dxdydz,

∫∫∫ (y ) ρ(x, y, z )dxdydz,
2 2
Ix = +z V

∫∫∫ x
2
và I x =0 = ρ(x , y, z )dxdydz ,
V
Iy = ∫∫∫ (x + z ) ρ(x , y, z )dxdydz ,
2 2 V

∫∫∫ y ρ(x, y, z )dxdydz.
2
I y =0 =
V
= ∫∫∫ (x + y ) ρ(x , y, z )dxdydz ,
2 2 V
Iz
V
IO = ∫∫∫ (x + y + z ) ρ(x , y, z )dxdydz
2 2 2

V




Chương 3. Tích phân đư ng Chương 3. Tích phân đư ng
Tích phân m t Tích phân m t
§1. TÍCH PHÂ ĐƯỜ G LOẠI I §3. TÍCH PHÂ MẶT LOẠI I
1.1. Định nghĩa 3.1. Định nghĩa
1.2. Phương pháp tính 3.2. Phương pháp tính
1.3. Ứng dụng 3.3. Ứng dụng của tích phân mặt loại 1
§2. TÍCH PHÂ ĐƯỜ G LOẠI II §4. TÍCH PHÂ MẶT LOẠI II
2.1. Bài toán mở đầu 4.1. Định nghĩa
2.2. Định nghĩa 4.2. Liên hệ với tích phân mặt loại 1
2.3. Phương pháp tính 4.3. Phương pháp tính
2.4. Công thức Green (liên hệ với tích phân kép) 4.4. Công thức Stokes
2.5. Điều kiện tích phân đường không phụ thuộc 4.5. Công thức Gauss – Ostrogradski
đường lấy tích phân




Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
§1. TÍCH PHÂ ĐƯỜ G LOẠI I Gọi độ dài cung thứ i là ∆si . Trên cung thứ i lấy
1.1. Định nghĩa n
điểm M i (xi , yi ). Tổng I n = ∑ f (xi , yi )∆si được
• Giả sử đường cong L trong mặt phẳng Oxy có i =1
phương trình tham số: gọi là tổng tích phân đường (loại 1) của hàm f(x, y)
x = x (t ), y = y(t ) với a ≤ t ≤ b trên đường cong L.
và f(x, y) là hàm số xác định trên L. n

• Chia L thành n cung không dẫm lên nhau bởi các
• Giới hạn lim
max ∆s →0
∑ f (xi , yi )∆si tồn tại được gọi là
i i =1
điểm chia ứng với a = t0 < t1 < ... < tn = b . tích phân đường loại 1 của f(x, y) trên đường cong L.
Ký hiệu là ∫ f (x , y )ds.
L
Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
1.2. Phương pháp tính
hận xét a) Đường cong L có phương trình tham số
1) Tích phân đường loại 1 có tất cả các tính chất của • N ếu L có phương trình
tích phân xác định. x = x (t ), y = y(t ) với a ≤ t ≤ b thì:
b

(x ) + (y ) dt.
2) Tích phân đường loại 1 không phụ thuộc vào chiều 2 2
∫ f (x , y )ds = ∫ f (x(t ), y(t ))
/ /
của L: ∫ f (x , y )ds = ∫ f (x , y )ds. L a
t t

AB BA • N ếu L trong không gian có phương trình
x = x (t ), y = y(t ), z = z (t ) với a ≤ t ≤ b thì:
b

(x ) + (y ) + (z ) dt.
2 2 2
∫ ∫ f.
/ / /
f (x , y, z )ds = t t t
L a




Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t

b) Đường cong L có phương trình tổng quát Đặc biệt
• N ếu L có phương trình y = y(x ) với a ≤ x ≤ b thì: • N ếu L có phương trình y = α ∈ ℝ với a ≤ x ≤ b thì:
b b
( )
2
∫ f (x, y )ds = ∫ f (x, y(x )) ∫ f (x, y )ds = ∫ f (x, α)dx .
/
1 + yx dx .
L a L a

• N ếu L có phương trình x = x (y ) với a ≤ y ≤ b thì: • N ếu L có phương trình x = α ∈ ℝ với a ≤ y ≤ b thì:
b b

( )
2
∫ f (x , y )ds = ∫
/
f (x (y ), y ) x y + 1dy. ∫ f (x , y )ds = ∫ f (α, y )dy.
L a L a




Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
• N ếu L được cho trong tọa độ cực r = r (ϕ) với VD 1. Tính ∫ zds với L là đường xoắn ốc trụ tròn
α ≤ ϕ ≤ β thì ta xem ϕ là tham số. L
xoay có phương trình:
Khi đó, phương trình của L là:
x = a cos t , y = a sin t , z = bt , 0 ≤ t ≤ 2π .
x = r (ϕ)cos ϕ, y = r (ϕ)sin ϕ, α ≤ ϕ ≤ β.

Ta có:
β

( )
2
∫ ∫ f (r(ϕ)cos ϕ, r(ϕ)sin ϕ) r 2 + rϕ d ϕ
/
f (x , y )ds =
L α
Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
y
VD 2. Tính ∫ (x + y )ds với L là tam giác có các đỉnh: VD 3. Tính ∫ dl với C là phần giao
L C 1 + 4x 2 − 4x 4
O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1). tuyến giữa mặt z = 2 − x 2 − 2y 2 và z = x 2 nằm trong
góc phần 8 thứ nhất từ điểm A(0; 1; 0) đến B(1; 0; 1).




Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
1.3. Ứng dụng 3) N ếu dây vật dẫn có hình dạng L và hàm mật độ khối
lượng ρ(x , y, z ) phụ thuộc vào điểm M(x, y, z) trên L
1) Độ dài cung L là ∫ ds , với f ≡ 1.
L thì khối lượng của dây dẫn là m = ∫ ρ(x, y, z )ds.
2) N ếu dây vật dẫn có hình dạng L và hàm mật độ khối L
lượng ρ(x , y ) phụ thuộc vào điểm M(x, y) trên L thì • Trọng tâm G của L là:
1 1
khối lượng của dây vật dẫn là m = ∫ ρ(x , y )ds. xG = ∫ x ρ(x , y, z )ds , yG =
m m ∫ y ρ(x, y, z )ds ,
L L L
• Trọng tâm G của L là: 1
1 1 zG = ∫ z ρ(x , y, z )ds .
xG = ∫ x ρ(x , y )ds , yG = ∫ y ρ(x , y )ds . m
L
m m
L L




Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
2 2
VD 4. Tính độ dài cung tròn x + y − 2x = 0 nằm VD 5. Cho một dây thép dạng nửa đường tròn trong
1 3 mpOyz với phương trình y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0 .

trong góc thứ nhất từ A(2; 0) đến B  ;

2
.
 Biết mật độ khối lượng ρ(x , y, z ) = 2 − z .
 

2 
 Tìm khối lượng và trọng tâm của dây thép.
Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
§2. TÍCH PHÂ ĐƯỜ G LOẠI II Chiếu F (M i ) và Ai −1Ai lên trục Ox, Oy ta được:
2.1. Bài toán mở đầu F (M i ) = P (ξi , ηi ).i + Q(ξi , ηi ).j
Tính công sinh ra do lực F = F (M ) tác dụng lên và Ai −1Ai = ∆xi .i + ∆yi .j .
chất điểm M(x, y) di chuyển dọc theo đường cong L. Khi đó, công W sinh ra:
n n
• N ếu L là đoạn thẳng AB thì công sinh ra là:
W ≈ ∑Wi = ∑ F (M i )Ai −1Ai
(
W = F .AB = F AB cos F , AB . ) i =1 i =1
n
• N ếu L là đường cong thì ta chia L thành n cung nhỏ =∑ P (ξi , ηi )∆xi + Q(ξi , ηi )∆yi .
Vậy i =1
bởi các điểm chia A0, A1,…, An.
n
Trên mỗi cung Ai −1Ai lấy điểm Mi(xi, yi) tùy ý. W = lim
A →0
∑ P(ξi , ηi )∆xi + Q(ξi , ηi )∆yi  .
max Ai −1 i i =1




Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
2.2. Định nghĩa
• Cho hai hàm P(x, y), Q(x, y) xác định trên đường Giới hạn lim I n tồn tại được gọi là
max Ai −1Ai →0
cong L. Chia L thành n cung nhỏ bởi các điểm chia
A0, A1,…, An. Trên mỗi cung Ai −1Ai lấy điểm Mi(xi, yi) tích phân đường loại 2 của P(x, y) và Q(x, y) trên
đường cong L.
tùy ý. Gọi Ai −1Ai = (∆x i , ∆yi ).
n
Ký hiệu là:
Tổng I n = ∑ P(ξi , ηi )∆xi + Q(ξi , ηi )∆yi  được gọi ∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy.
 
i =1 L
là tổng tích phân đường loại 2 của P(x, y) và Q(x, y)
trên đường cong L.




Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
hận xét 3) Từ định nghĩa tổng tích phân, ta có thể viết:
1) Tích phân đường loại 2 có tất cả các tính chất như ∫ Pdx + Qdy = ∫ P(x, y )dx + ∫ Q(x, y )dy.
tích phân xác định. AB AB AB

2) Tích phân đường loại 2 phụ thuộc vào chiều của L Chú ý
vì khi thay đổi chiều thì Ai −1Ai = (∆x i , ∆yi ) đổi • N ếu L là đường cong phẳng, kín lấy theo chiều
dương (ngược chiều kim đồng hồ) thì ta dùng ký hiệu:
dấu, do đó khi viết tích phân ta cần ghi rõ điểm đầu
và cuối: ∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy.
∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy = −∫ Pdx + Qdy.
L
• Định nghĩa tương tự:
AB BA
∫ P(x, y, z )dx + Q(x, y, z )dy + R(x, y, z )dz .
L
Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
2.3. Phương pháp tính b) Đường cong L có phương trình tổng quát
a) Đường cong L có phương trình tham số
• N ếu L có phương trình x = x (t ), y = y(t ) thì: • N ếu L có phương trình y = y(x ) thì:
xB
∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy  /
AB
∫ Pdx + Qdy = ∫ P(x , y(x )) + Q(x , y(x )).yx  dx .
tB AB xA
P(x (t ), y(t ))x / + Q(x (t ), y(t ))y /  dt .
= ∫  t t  • N ếu L có phương trình x = x (y ) thì:
tA
yB
• N ếu L có pt x = x (t ), y = y(t ), z = z (t ) thì:
 
∫ ∫ P(x(y ), y ).xy + Q(x(y ), y ) dy.
/
tB Pdx + Qdy =
∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫ (P .xt )
/
+ Q .yt/ + R.zt/ dt . AB yA

AB tA




Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
Đặc biệt x 2 y2
VD 1. Tính ∫ xdy − ydx với L là elip + =1
• N ếu L có phương trình y = α (hằng số) thì: L a 2 b2
xB lấy theo chiều dương.
∫ P(x, y )dx + Q(x , y )dy = ∫ P(x, α)dx .
AB xA


• N ếu L có phương trình x = α (hằng số) thì:
yB

∫ P(x, y )dx + Q(x , y )dy = ∫ Q(α, y )dy.
AB yA




Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
VD 2. Tính I = ∫ (x − y )dx + (x + y )dy với L là VD 3. Tính I = ∫ dx − ydy + dz với L là đường xoắn
L L
đường nối O(0; 0) với A(1; 1) trong các trường hợp: ốc trụ tròn xoay có phương trình x = cos t , y = sin t ,
a) đường thẳng y = x; b) đường y = x2; z = 2t từ điểm A(1; 0; 0) đến B(0; 1; π).
c) đường y = x .
Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
2.4. Công thức Green (liên hệ với tích phân kép) Hệ quả
1
• Cho miền D là miền S (D ) = ∫ xdy − ydx .
liên thông, bị chặn, có 2
∂D
biên L Jordan kín trơn
x2 y2
từng khúc. Chiều dương
của L là chiều mà khi
VD 4. Tính ∫ xdy − ydx với L là (E ) : a 2 + b 2 =1
L
di chuyển ta thấy miền lấy theo chiều dương.
D nằm về phía tay trái.
• N ếu các hàm số P(x, y) và Q(x, y) có các đạo hàm
riêng cấp 1 liên tục trên D thì:
∫∫ (Qx − Py )dxdy = ∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy.
/ /

D L




Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
VD 5. Tính tích phân xdy − ydx
VD 6. Tính I = ∫ trong các trường hợp:
2 2
I = ∫ (xarctgx + y 2 )dx + (x + 2xy + y 2e −y )dy L x +y
L a) L là đường cong kín không bao quanh gốc O;
với L là đường tròn x 2 + y 2 − 2y = 0 . b) L là đường cong kín bao quanh gốc O.




Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
2.5. Điều kiện tích phân đường không phụ thuộc Khi đó, bốn mệnh đề sau tương đương:
vào đường lấy tích phân
1) Py/ = Qx , ∀(x , y ) ∈ D .
/
Định lý
• Giả sử các hàm số P(x, y), Q(x, y) và các đạo hàm 2) ∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy = 0 dọc theo mọi đường
riêng cấp 1 của chúng liên tục trong miền đơn liên D. L
Khi đó, bốn mệnh đề sau tương đương: cong kín L nằm trong D.
1) Py/ = Qx , ∀(x , y ) ∈ D .
/ 3) ∫ P (x , y )dx + Q(x , y )dy , trong đó AB nằm trong
AB
2) ∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy = 0 dọc theo mọi đường D, chỉ phụ thuộc vào hai mút A, B
L mà không phụ thuộc vào đường nối A với B.
cong kín L nằm trong D. 4) Biểu thức P(x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân toàn
phần của hàm u(x, y) nào đó trong miền D.
Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
Hệ quả
VD 8. Tích phân đường nào sau đây không phụ thuộc
• N ếu P(x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của vào các đường trơn từng khúc nối hai điểm A và B?
hàm u(x, y) nào đó trong miền đơn liên D, nghĩa là A. I = ∫ (4xy 3 + 2x )dx + (y 4 + 2y − x )dy .
Py/ = Qx , ∀(x , y ) ∈ D
/
AB

∫ (4xy
3
thì: B. I = + 2x − 1)dx + (y 4 + 6x 2y 2 − 1)dy .

∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy = u(B ) − u(A).
AB

∫ (4xy
3
C. I = + 2x )dx − (y 4 + 2y − x )dy .
AB
AB
x −y x +y
∫ x 2 + y2 ∫ (4xy
3
VD 7. Tính I = dx + dy với L là D. I = + 2x − 1)dx − (y 4 + 6x 2y 2 − 1)dy .
L x 2 + y2 AB
đường trơn từng khúc nối A(–1; –1) và B(–2; –2) nằm
trong miền D không chứa gốc tọa độ O.




Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
(3,2)
VD 9. Cho biết hàm u(x , y ) = xe − ye + 2x + 1
y x
(x + 2y )dx + ydy
có vi phân toàn phần là:
VD 10. Tính I = ∫ (x + y )2
theo một
(1,1)
du = (e y − ye x + 2)dx + (xe y − e x )dy
đường trơn từng khúc không cắt x + y = 0 .
(1,0)
Tính I = ∫ (e − ye + 2)dx + (xe − e )dy .
y x y x

(1,1)
A. I = −1 ; B. I = −2 ; C. I = 1 ; D. I = 2 .




Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
§3. TÍCH PHÂ MẶT LOẠI I n

3.1. Định nghĩa N ếu I = lim
max d (∆S )→0
∑ f (ξi , ηi , ζi )∆Si tồn tại hữu
i i =1
• Cho hàm số f(x, y, z) xác định trên mặt S. Chia S một hạn, không phụ thuộc vào cách chia S và cách chọn
cách tùy ý thành n phần không dẫm nhau, diện tích điểm Mi thì số thực I được gọi là tích phân mặt loại 1
mỗi phần là ∆Si (i =1, 2,…, n). Trong mỗi ∆Si ta lấy của hàm f(x, y, z) trên S.
điểm Mi (ξi , ηi , ζi ) tùy ý và lập tổng tích phân:

∫∫ f (x , y, z )dS .
n
Ký hiệu I =
In = ∑ f (ξi , ηi , ζi )∆Si . S
i =1
Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
3.2. Phương pháp tính c) Chiếu S lên Oyz
a) Chiếu S lên Oxy • N ếu S có phương trình x = x(y, z) và S có hình chiếu
• N ếu S có phương trình z = z(x, y) và S có hình chiếu trên Oyz là D thì:
trên Oxy là D thì:
( ) + (x ) dydz.
2 2
∫∫ f (x(y, z ), y, z )
/ /
I = 1 + xy
( ) + (z ) dxdy.
2 2 z
∫∫ f (x , y, z(x , y ))
/ /
I = 1 + zx y D
D VD 1.
b) Chiếu S lên Oxz
∫∫ (x
2
Tính I = + y 2 )dS
• N ếu S có phương trình y = y(x, z) và S có hình chiếu
S
trên Oxz là D thì: trong đó S là phần mặt nón
( ) + (y ) dxdz.
2 2
z 2 = x 2 + y 2 với 0 ≤ z ≤ 1.
∫∫ f (x , y(x, y ), z )
/ /
I = 1 + yx z
D




Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
VD 2. Tính I = ∫∫ zdS , trong đó S là phần Cách khác
S Chiếu S lên Oxy ta được
mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 4 với x ≥ 0 , y ≥ 0 . 1
hình tròn D : x 2 + y 2 ≤ 4
4
và S = S1 ∪ S 2 .




Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
VD 3. Tính I = ∫∫ xyzdS , trong đó S là 6 mặt của 3.3. Ứng dụng của tích phân mặt loại 1
1) Diện tích mặt S là ∫∫ dS .
S
hình hộp chữ nhật 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ z ≤ 3 . S
2) N ếu mặt S có hàm mật độ khối lượng là ρ(x , y, z )
thì khối lượng của mặt S là:
m = ∫∫ ρ(x , y, z )dS .
S
Khi đó, tọa độ trọng tâm G của mặt S là:
1 1
xG = ∫∫ x ρ(x , y, z )dS , yG = ∫∫ y ρ(x , y, z )dS ,
m m
S S
1
zG = ∫∫ z ρ(x , y, z )dS .
m
S
Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
§4. TÍCH PHÂ MẶT LOẠI II
4.1. Định nghĩa • Hướng của biên S là hướng ngược chiều kim đồng hồ
4.1.1. Mặt định hướng khi nhìn từ ngọn của n .
• Mặt trơn S được gọi là mặt định hướng nếu pháp
• Khi mặt S không kín, ta gọi phía trên là phía mà n
vector đơn vị n xác định tại mọi điểm M thuộc S (có lập với tia Oz góc nhọn, ngược là là phía dưới.
thể trừ biên S) biến đổi liên tục khi M chạy trên S.
• Khi mặt S kín ta gọi phía trong và phía ngoài.
Mặt định hướng có hai phía,
phía mà nếu đứng trên đó thì • Mặt trơn từng khúc S là định hướng được nếu hai
phần trơn bất kỳ của S nối với nhau bởi đường biên C
n hướng từ chân lên đầu là có định hướng ngược nhau.
phía dương, ngược lại là phía âm.




Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
4.1.2. Định nghĩa tích phân mặt loại 2 n
• Cho hàm số f(x, y, z) xác định trên mặt định hướng, Lập tổng tích phân I n = ∑ f (ξi , ηi , ζi ).S (Di ).
trơn từng khúc S. Chia S một cách tùy ý thành n phần i =1
n
không dẫm lên nhau, diện tích mỗi phần là ∆Si
(i=1,2,…,n). Trong mỗi ∆Si ta lấy điểm M i (ξi , ηi , ζi )
N ếu I = lim
max d (∆Si )→0
∑ f (ξi , ηi , ζi ).S (Di )tồn tại hữu
i =1
tùy ý. Gọi Di là hình chiếu của ∆Si lên Oxy kèm theo hạn, không phụ thuộc vào cách chia S và cách chọn
dấu dương nếu ∆Si có định hướng trên, ngược lại là điểm Mi thì số I được gọi là tích phân mặt loại 2 của
dấu âm. hàm f(x, y, z) trên mặt định hướng S.

Ký hiệu ∫∫ f (x, y, z )dxdy.
S




Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
• Tương tự, khi chiếu S lên Ozx và Oyz ta có: 4.2. Liên hệ với tích phân mặt loại 1
∫∫ f (x , y, z )dzdx và ∫∫ f (x , y, z )dydz . • Cho mặt định hướng trơn từng khúc S có pháp vector
S S n . Gọi α, β, γ lần lượt là góc hợp bởi n với các tia
• Kết hợp cả 3 dạng trên ta được tích phân mặt loại 2
Ox, Oy, Oz. Khi đó:
của các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) trên S:
∫∫ P(x , y, z )dydz + Q(x , y, z )dzdx + R(x , y, z )dxdy. ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
S
hận xét S
• N ếu đổi hướng của mặt S thì tích phân đổi dấu. = ∫∫ (P cos α + Q cos β + R cos γ)dS .
• N ếu S kín thì tích phân còn được ký hiệu là: S

∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy.
S
Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
4.3. Phương pháp tính
• N ếu S có pháp vector đơn vị n = (a, b, c ) thì:
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy a) N ếu S có hình chiếu đơn trị lên Oxy là miền Dxy và
có phương trình z = z(x, y) thì:
S
=∫∫ (P .a + Q.b + R.c )dS . ∫∫ R(x , y, z )dxdy = ±∫∫ R(x , y, z(x , y ))dxdy.
S S Dxy
(dấu + hay – tùy thuộc vào mặt ở phía trên hay dưới).
VD 1. Tính I = ∫∫ dydz + dzdx + dxdy , với S là
S b) N ếu S có hình chiếu đơn trị lên Oxz là miền Dxz và
tam giác giao của mặt phẳng x + y + z = 1 với 3 mặt có phương trình y = y(x, z) thì:
phẳng tọa độ (lấy phía trên).
∫∫ Q(x, y, z )dzdx = ±∫∫ Q(x, y(x, z ), z )dzdx .
S Dxz




Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
c) N ếu S có hình chiếu đơn trị lên Oyz là miền Dyz và 4.4. Công thức Stokes
có phương trình x = x(y, z) thì: • Cho S là mặt định hướng trơn từng khúc có biên ∂S
∫∫ P(x , y, z )dydz = ±∫∫ P(x (y, z ), y, z )dydz. trơn từng khúc và không tự cắt. Giả sử P, Q, R là các
S Dyz hàm có đạo hàm riêng liên tục trong miền mở chứa S.
Khi đó:

VD 2. Tính I = ∫∫ zdxdy , với S là phía ngoài của ∫ Pdx + Qdy + Rdz
∂S
 /
( ) 
( )
S / / /
mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = R 2 .  Ry − Qz dydz + Pz − Rx dzdx 
∫∫  = .
S 

+ Qx − Py/ dxdy 
/
 ( )
(Hướng của ∂S là hướng dương phù hợp với hướng
của S).




Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
VD 3. Tính ∫ ydx + zdy + xdz , với C là đường tròn 4.5. Công thức Gauss – Ostrogradski
C • Cho V là một khối giới nội với biên S trơn từng khúc.
giao của mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = R 2 và mặt phẳng Giả sử P, Q, R là các hàm có đạo hàm riêng liên tục
x + y + z = 0 và hướng tích phân trên C là hướng trong miền mở chứa V. Khi đó:
dương khi nhìn từ ngọn tia Oz.
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
S

∫∫∫ (Px )
/ / /
= + Qy + Rz dxdydz .
V
(Tích phân ∫∫ lấy theo phía ngoài của S).
S
Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
VD 4. Tính I = ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy , với S
3 3 3 VD 5. Tính I = ∫∫ dxdy , với S là mặt dưới của mặt
S S
2 2
là phía ngoài của mặt cầu x + y + z = R .2 2 y2
x2 +≤ 1, z = 2 .
9
A. I = −3π ; B. I = 3π ; C. I = −9π ; D. I = 9π .




Chương 3. Tích phân đư ng – m t Chương 3. Tích phân đư ng – m t
VD 6. Tính I = ∫∫ zdxdy , với S là mặt trên của mặt VD 7. Tính I = ∫∫ 3xdxdy + 2xdydz − ydzdx , với S
S S
z = 2 được giới hạn bởi x + y ≤ 1, x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 1 y2 z 2
với pháp vector theo chiều dương. là mặt biên ngoài của elipsoid : x2 + + ≤ 1.
4 9
A. I = 1; B. I = 2 ; C. I = 3 ; D. I = 4 . A. I = 144π ; B. I = 32π ; C. I = 8π ; D. I = 36π .




Chương 3. Tích phân đư ng – m t Gi i nhanh tích phân t ng ph n
VD 8. Tính I = ∫∫ xdydz + 2zdzdx + dxdy VD 1. I = ∫e
x
(x 3 − 2x 2 + 3)
dx
S
với S là mặt ngoài của mặt cầu:
x 3 − 2x 2 + 3 ex
x 2 + y 2 + z 2 − 2z = 0, z ≤ 1 .
2π 3x 2 − 4x ex
A. I = − ;
3 6x − 4 ex

B. I = − ; 6 ex
3
π 0 ex
C. I = ;
3
π Vậy I = e x (x 3 − 5x 2 + 10x − 7) + C .
D. I = − .
3
Gi i nhanh tích phân t ng ph n Gi i nhanh tích phân t ng ph n

∫e
2x
VD 3. I =
VD 2. I = ∫ x ln xdx sin 3x dx
sin 3x e 2x
ln x x
1 2x
3 cos 3x e
1 x2 2
x 2 1 2x
−9 sin 3x e
2 2 2 4
Vậy I =
x 1
ln x − ∫ xdx =
x
ln x −
x
+C . 1 3  9
2 2 2 4 Vậy I = e 2x  sin 3x − cos 3x  − I
 

2
 4 
 4
13 1 3 
⇒ I = e 2x  sin 3x − cos 3x  + C .
 

4 2
 4 





Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân

§1. KHÁI IỆM CƠ BẢ VỀ PT VI PHÂ §3. PHƯƠ G TRÌ H VI PHÂ CẤP CAO

§2. PHƯƠ G TRÌ H VI PHÂ CẤP 1 3.1. Các dạng phương trình vi phân cấp 2 cơ bản

2.1. Khái niệm cơ bản về pt vi phân cấp 1 3.1.1. Phương trình khuyết y và y’
3.1.2. Phương trình khuyết y
2.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản 3.1.3. Phương trình khuyết x
2.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly 3.2. Pt vi phân cấp 2 tuyến tính với hệ số hằng
2.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1
2.2.3. Phương trình vi phân toàn phần 3.2.1. Phương trình thuần nhất
2.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 3.2.2. Phương trình không thuần nhất
2.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli
3.3. Phương trình vi phân cấp n tuyến tính
với hệ số hằng




Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
§1. KHÁI IỆM CƠ BẢ VỀ PT VI PHÂ
Giải
1. Bài toán 1
Giả sử I (x , y ) ∈ (C ), hệ số góc tiếp tuyến tại I là:
PI PI y
• Tìm phương trình đường y ′(x ) = tg α = − =− ⇒ y ′(x ) = − (*).
cong (C ) : y = f (x ) đi qua PA OP x
điểm M(2; 3) sao cho mọi
C
đoạn của tiếp tuyến với (C ) N hận thấy hàm y = , C ∈ ℝ thỏa (*).
nằm giữa hai trục tọa độ x
C 6
đều bị tiếp điểm chia thành Thay tọa độ M vào y = ta được y = .
hai phần bằng nhau ? x x
Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
2. Bài toán 2 Phương trình chuyển động của vật là:
• Tìm vận tốc nhỏ nhất để khi phóng 1 vật theo d 2r Mm d 2r M
phương thẳng đứng sao cho vật không rơi trở lại trái m. = −k . ⇔ = −k . (1).
2 2 2
đất ? Biết lực cản của không khí không đáng kể. dt r dt r2

Giải d 2r dv dv dr dv
Mặt khác, == . =v nên:
Gọi khối lượng của trái đất và vật phóng là M, m. 2 dt dr dt dr
dt
Khoảng cách từ tâm trái đất đến trọng tâm của vật dv M kM
phóng là r. Theo định luật hấp dẫn N ewton, lực hút tác (1) ⇔ v = −k . ⇔ vdv = − dr
2
dr r r2
Mm
dụng lên vật là f = k . , k là hằng số hấp dẫn. kM v2 kM
r2 ⇒ ∫ vdv = −∫ dr ⇒ = + C 1 (2).
2 2 r
r




Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
3. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân
Tại t = 0 thì r = R (BK trái đất), v = v0 nên: • Phương trình chứa đạo hàm hoặc vi phân của 1 hoặc
2  2  vài hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân.
v0 kM v2 kM  v 0 kM 
 (3).
(2) ⇒ C 1 = − ⇒ = + −
2 
2 R 2 r  

R  • Cấp cao nhất của đạo hàm chứa trong phương trình

vi phân được gọi là cấp của phương trình vi phân đó.
2
v0 kM v2 2kM • Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n là:
Khi r → +∞ thì − = ≥ 0 ⇒ v0 ≥ .
2 R 2 R F (x , y, y ′,..., y (n ) ) = 0 (*)
Vậy v0 ≈ 11, 2 km / s . nếu từ (*) ta giải được theo y(n) thì ptvp có dạng:
y (n ) = f (x , y, y ′,..., y (n −1) ).




Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
§2. PHƯƠ G TRÌ H VI PHÂ CẤP 1
• N ghiệm của (*) trên khoảng K là hàm số y = φ(x) xác
định trên K sao cho khi thay y = φ(x) vào (*) ta được 2.1. Khái niệm cơ bản về pt vi phân cấp 1
đồng nhất thức trên K. • Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng
• Phương trình vi phân nếu có nghiệm thì có vô số tổng quát F (x , y, y ′) = 0 (*), nếu từ (*) ta giải được
nghiệm sai khác hằng số C. theo y ′ thì (*) trở thành y ′ = f (x , y ).
• Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm • Giải ptvp cấp 1 với điều kiện đầu y(x0) = y0 là đi tìm
của nó. nghiệm thỏa điều kiện đầu, hay tìm 1 đường cong
• Đồ thị của nghiệm y = φ(x) được gọi là đường cong tích phân của ptvp đi qua điểm M0(x0; y0).
tích phân. • N ghiệm chứa hằng số C là nghiệm tổng quát, nghiệm
chứa hằng số C0 cụ thể là nghiệm riêng và nghiệm
không nhận được từ nghiệm tổng quát là nghiệm kỳ dị.
Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân

VD 1. Giải ptvp y ′ − x = 0 , biết đường cong tích phân VD 2. Tìm nghiệm kỳ dị của ptvp y ′ = 1 − y 2 .
đi qua điểm M(2; 1).




Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân

VD 3. Tìm ptvp của họ đường cong y = Cx2. 2.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản
2.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly
• Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng:
f (x )dx + g(y )dy = 0 (1).
Phương pháp giải
• Lấy tích phân hai vế (1) ta được nghiệm tổng quát:
∫ f (x )dx + ∫ g(y )dy = C .




Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
xdx ydy
VD 4. Giải ptvp + = 0. Chú ý
2
1+x 1 + y2
1) Ptvp f1(x )g1(y )dx + f2 (x )g 2 (y )dy = 0 (1’)
được đưa về dạng (1) như sau:
• N ếu g1(y0) = 0 thì y = y0 là nghiệm của (1).
• N ếu f2(x0) = 0 thì x = x0 là nghiệm của (1).
• N ếu g1(y ) ≠ 0, f2(x ) ≠ 0 thì:
f (x ) g (y )
(1') ⇒ 1 dx + 2 dy = 0 (dạng (1)).
f2 (x ) g1(y )
2) Từ đây về sau ta không xét nghiệm kỳ dị.
Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
VD 5. Giải phương trình vi phân y ′ = xy(y + 2). VD 6. Giải ptvp x 2 (y + 1)dx + (x 3 − 1)(y − 1)dy = 0 .




Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
1 2.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1
VD 7. Giải ptvp xy ′ + y = y 2 thỏa điều kiện y(1) = .
2
• Hàm hai biến f(x, y) được gọi là đẳng cấp bậc n nếu
với mọi k > 0 thì f(kx, ky) = knf(x, y).
Chẳng hạn các hàm
x −y
f (x , y ) = ,
2x + 3y
x 2 − xy
f (x , y ) = ,
2x + 3y
2
f(x, y) = x + xy
là đẳng cấp bậc 0, 1, 2 tương ứng.




Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
y  x 2 − xy + y 2
• Cho hàm f(x, y) đẳng cấp bậc 0 hay f (x , y ) = ϕ  .
  VD 8. Giải phương trình vi phân y ′ = .
x 
  xy
Khi đó, phương trình vi phân đẳng cấp có dạng:
y ′ = f (x , y ) (2).

Phương pháp giải
y
• Đặt u = ⇒ y ′ = u + xu ′ .
x
du dx
• (2) ⇒ u + xu ′ = ϕ(u ) ⇒ =
ϕ(u ) − u x
( ϕ(u ) − u ≠ 0 ≠ x ) (ptvp có biến phân ly).
Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
x +y
VD 9. Giải phương trình vi phân y ′ = với 2.2.3. Phương trình vi phân toàn phần
x −y
điều kiện đầu y(1) = 0. • Cho phương trình vi phân có dạng:
P(x , y )dx + Q(x , y )dy = 0 (3)
với điều kiện Qx = Py/ trong miền phẳng D.
/

N ếu tồn tại hàm u(x, y) sao cho:
du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy
thì (3) được gọi là phương trình vi phân toàn phần.
• N ghiệm tổng quát của (3) là u(x, y) = C.




Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
Phương pháp giải VD 10. Cho phương trình vi phân:
Bước 1. Từ (3) ta có /
ux = P (3a) và /
uy = Q (3b). (3y 2 + 2xy + 2x )dx + (x 2 + 6xy + 3)dy = 0 (*).
a) Chứng tỏ (*) là phương trình vi phân toàn phần.
Bước 2. Lấy tích phân (3a) theo x: b) Giải phương trình (*).
u(x , y ) = ∫ P (x , y )dx = ϕ(x , y ) + C (y ) (3c),
với C(y) là hàm theo biến y.
Bước 3. Đạo hàm (3c) theo y:
uy = ϕy + C ′(y ) (3d).
/ /

Bước 4. So sánh (3b) và (3d) ta tìm được C(y),
thay vào (3c) ta được u(x, y).




Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân

VD 11. Giải ptvp (x + y − 1)dx + (e y + x )dy = 0 . 2.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
• Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng:
y ′ + p(x )y = q(x ) (4).
• Khi q(x) = 0 thì (4) được gọi là ptvp tuyến tính cấp 1
thuần nhất.
Phương pháp giải
(phương pháp biến thiên hằng số Lagrange)
Bước 1. Tìm biểu thức A(x ) = e ∫
− p(x )dx
.
∫ p(x )dxdx .
Bước 2. Tìm biểu thức B(x ) = ∫ q(x ).e
Bước 3. N ghiệm tổng quát là y = A(x ) B(x ) + C  .
Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
VD 12. Trong phương pháp biến thiên hằng số ta tìm
Chú ý nghiệm tổng quát của phương trình
• Khi tính các tích phân trên, ta chọn hằng số là 0. y
y ′ + 2 = 4x ln x dưới dạng:
• Phương pháp biến thiên hằng số là đi tìm nghiệm x
C (x ) C (x )
tổng quát của (4) dưới dạng: A. y = ; B. y = ;
2
x3
y = C (x )e ∫
− p(x )dx x
.
C (x ) C (x )
C. y = ; D. y = − .
∫ p(x )dx dx = q(x ) x x
• Tìm nhanh B(x ) = ∫ q(x ).e ∫ A(x ) dx .




Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
VD 13. Giải phương trình vi phân y ′ − x 2y = 0
VD 14. Giải phương trình y ′ + y cos x = e − sin x .
thỏa điều kiện x = 3, y = – e9.




Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân

VD 15. Giải phương trình y ′(x + y 2 ) = y . 2.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli
• Phương trình vi phân Bernoulli có dạng:
y ′ + p(x )y = q(x )y α (5).
• Khi α = 0 hoặc α = 1 thì (5) là tuyến tính cấp 1.
• Khi p(x) = q(x) = 1 thì (5) là pt có biến phân ly.
Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
Phương pháp giải (với α khác 0 và 1) y
VD 16. Giải phương trình vi phân y ′ + = xy 2
Với y ≠ 0 , chia hai vế cho y α : x
y′ y với điều kiện x = 1, y = 1.
(5) ⇒ + p(x ) = q(x )
α
y yα
⇒ y ′y −α + p(x )y 1−α = q(x ).
Đặt z = y 1−α ⇒ z ′ = (1 − α )y ′y −α thì:
(5) ⇒ z ′ + (1 − α )p(x )z = (1 − α )q(x )
(phương trình tuyến tính cấp 1).
Chú ý
• Ptvp Bernoulli luôn có nghiệm kỳ dị là y = 0.




Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân
VD 17. Giải ptvp y ′ − 2xy = x y .
3 4
dy dy
VD 18. Giải ptvp x 3 sin y + 2y = x .
dx dx




Chương 4. Phương trình vi phân
trì Chương 4. Phương trình vi phân
trì

§3. PHƯƠ G TRÌ H VI PHÂ CẤP CAO VD 1. Giải phương trình vi phân y ′′ = x 2 .

3.1. Các dạng phương trình vi phân cấp 2 cơ bản
3.1.1. Phương trình khuyết y và y’

• Dạng phương trình:
y ′′ = f (x ) (1).

Phương pháp giải
• Lấy tích phân hai vế (1) hai lần.
Chương 4. Phương trình vi phân
trì Chương 4. Phương trình vi phân
trì
7 3
VD 2. Giải ptvp y ′′ = e với y(0) = − , y ′(0) = .
2x
3.1.2. Phương trình khuyết y
4 2
• Dạng phương trình:
y ′′ = f (x , y ′) (2).

Phương pháp giải
• Đặt z = y ′ đưa (2) về phương trình tuyến tính cấp 1.




Chương 4. Phương trình vi phân
trì Chương 4. Phương trình vi phân
trì
y′ y ′
VD 3. Giải phương trình vi phân y ′′ = x − . VD 4. Giải ptvp y ′′ − − x (x − 1) = 0
x x −1
với y(2) = 1, y ′(2) = −1.




Chương 4. Phương trình vi phân
trì Chương 4. Phương trình vi phân
trì

3.1.3. Phương trình khuyết x
VD 5. Giải phương trình vi phân 2yy ′′ = (y ′) + 1 .
2

• Dạng phương trình:
y ′′ = f (y, y ′) (3).

Phương pháp giải
• Đặt z = y ′ ta có:
dz dz dy dz
y ′′ = z ′ = = . =z .
dx dy dx dy
Khi đó, (3) trở thành ptvp với biến số phân ly.
Chương 4. Phương trình vi phân
trì Chương 4. Phương trình vi phân
trì
VD 6. Giải phương trình vi phân y ′′ + 2y ′(1 − 2y ) = 0 3.2. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính
1 với hệ số hằng
với điều kiện y(0) = 0, y ′(0) = .
2 3.2.1. Phương trình thuần nhất
• Dạng phương trình:
y ′′ + a1y ′ + a2y = 0 (4)
(a1, a2 là các hằng số).
Phương pháp giải
• Xét phương trình đặc trưng của (4):
k 2 + a1k + a2 = 0 (5).




Chương 4. Phương trình vi phân
trì Chương 4. Phương trình vi phân
trì
1) Trường hợp 1
3) Trường hợp 3
Phương trình (5) có hai nghiệm thực phân biệt k1, k2.
Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng: Phương trình (5) có hai nghiệm phức liên hợp
y1 = e
k1x
, y2 = e
k 2x k = α ± iβ.
k1x k 2x Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng:
và nghiệm tổng quát là y = C 1e + C 2e .
y1 = e αx cos βx , y2 = e αx sin βx
2) Trường hợp 2
Phương trình (5) có nghiệm kép thực k. và nghiệm tổng quát:
Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng: y = e αx (C 1 cos βx + C 2 sin βx ) .
y1 = ekx , y 2 = xe kx
và nghiệm tổng quát là y = C 1ekx + C 2xe kx .




Chương 4. Phương trình vi phân
trì Chương 4. Phương trình vi phân
trì
VD 7. Giải phương trình vi phân: VD 8. Giải phương trình vi phân:
y ′′ + 2y ′ − 3y = 0 . y ′′ − 6y ′ + 9y = 0 .
Chương 4. Phương trình vi phân
trì Chương 4. Phương trình vi phân
trì
VD 9. Giải phương trình vi phân y ′′ + 16y = 0 . VD 10. Giải phương trình vi phân y ′′ + 2y ′ + 7y = 0 .




Chương 4. Phương trình vi phân
trì Chương 4. Phương trình vi phân
trì
VD 11. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: 3.2.2. Phương trình không thuần nhất
y ′′ − y ′ + y = 0 . • Dạng phương trình:
y ′′ + a1y ′ + a2y = f (x ) (6)
(a1, a2 là các hằng số).
Phương pháp giải
• N ếu (4) có hai nghiệm riêng y1(x), y2(x) thì (6) có
nghiệm tổng quát là y = C 1 (x )y1 (x ) + C 2 (x )y 2 (x ).

• Để tìm C1(x) và C2(x), ta giải hệ Wronsky:
C ′(x )y (x ) + C ′ (x )y (x ) = 0
 1
 1 2 2
 ′ ′ ′ ′
C 1(x )y1(x ) + C 2 (x )y2 (x ) = f (x ).






Chương 4. Phương trình vi phân
trì Chương 4. Phương trình vi phân
trì
VD 12. Giải phương trình vi phân: Định lý
1
y ′′ + y = (a). • N ghiệm tổng quát của (6) bằng tổng nghiệm tổng
cos x quát của (4) với 1 nghiệm riêng của (6).
VD 13. Cho phương trình vi phân:
y ′′ − 2y ′ + 2y = (2 + x 2 )e x (*).
a) Chứng tỏ (*) có 1 nghiệm riêng là y = x 2e x .
b) Tìm nghiệm tổng quát của (*).
Chương 4. Phương trình vi phân
trì Chương 4. Phương trình vi phân
trì
VD 14. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: Định lý (nguyên lý chồng nghiệm)
y ′′ + y ′ = 2 sin 2x + 4 cos 2x • Cho ptvp y ′′ + a1y ′ + a2y = f1 (x ) + f2 (x ) (7).
biết 1 nghiệm riêng là y = − cos 2x . Giả sử y1(x ) và y2 (x ) lần lượt là nghiệm riêng của
y ′′ + a1y ′ + a2y = f1 (x ), y ′′ + a1y ′ + a2y = f2 (x )
thì y = y1 (x ) + y2 (x ) là nghiệm riêng của (7).

VD 15. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:
y ′′ − y ′ = 2 cos2 x . Cho biết:
y ′′ − y ′ = 1 có nghiệm riêng y1 = −x ,
2 1
y ′′ − y ′ = cos 2x có N R y2 = − cos 2x − sin 2x .
10 10




3.3. Phương trình vi phân cấp n tuyến tính Chương 4. Phương trình vi phân
trì
với hệ số hằng
VD 16. Giải phương trình vi phân:
Định lý
y ′′′ − 2y ′′ − y ′ + 2y = 0 .
• Cho phương trình:
y (n ) +a1y (n−1) +a2y (n−2) +...+an−1y ′+an y = 0(8).
N ếu phương trình đặc trưng:
k n + a1k n−1 + a2k n −2 + ... + an −1k + an = 0
có n nghiệm thực đơn k1 , k2 ,..., kn−1 , kn thì (8) có
k1x k2 x kn −1x kn x
n N R y1 = e , y2 = e ,..., yn−1 = e , yn = e .
và nghiệm tổng quát là:
k1x k2x kn −1x kn x
y = C 1e + C 2e + ... + C n−1e + C ne .
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản