Giáo trình toán cao cấp A3 ĐH - GV. ThS Đoàn Vương Nguyên

Chia sẻ: phamvanqui

Toán cao cấp A1, A2, A3 là chương trình toán đại cương dành cho sinh viên các nhóm ngành toán và nhóm ngành thuộc khối kỹ thuật. Nội dung của toán cao cấp A1, A3 chủ yếu là phép tính vi tích phân của hàm một hoặc nhiều biến

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Giáo trình toán cao cấp A3 ĐH - GV. ThS Đoàn Vương Nguyên

 

  1. TOÁN CAO C P A3 Đ I H C Chương 2. Tích phân b i 1. Tích phân b i hai (kép) PHÂN PH I CHƯƠNG TRÌNH 2. Tích phân b i ba S ti t h c: 30 3. ng d ng c a tích phân b i GV: ThS. Đoàn Vương Nguyên Chương 3. Tích phân đư ng Chương 1. Hàm s nhi u bi n Tích phân m t 1. Đ i cương v hàm s nhi u bi n 1. Tích phân đư ng lo i 1 2. Đ o hàm – Vi phân 2. Tích phân đư ng lo i 2 3. Tích phân m t lo i 1 3. C c tr c a hàm s nhi u bi n 4. Tích phân m t lo i 2 Chương 4 Tài li u tham kh o Phương trình vi phân 1. Giáo trình Toán cao cấp A3 H phương trình vi phân c p 1 – guyễn Phú Vinh – ĐHC TP. HCM. 2. Ngân hàng câu hỏi Toán cao cấp 1. Khái ni m cơ b n v PTVP – guyễn Phú Vinh – ĐHC TP.HCM. 2. Phương trình vi phân c p 1 3. Giải tích hàm nhiều biến (Toán 3) – Đỗ Công Khanh (chủ biên) 3. Phương trình vi phân c p 2 – XBĐHQG TP. HCM. 4. H phương trình vi phân c p 1 4. Giải tích hàm nhiều biến (Toán 4) – Đỗ Công Khanh (chủ biên) – XBĐHQG TP. HCM. Chương 1. Hàm s nhi u bi n 5. Phép tính Vi tích phân (tập 2) – Phan Quốc Khánh – XB Giáo dục. §1. KHÁI IỆM CƠ BẢ 6. Phép tính Giải tích hàm nhiều biến 1.1. Định nghĩa – guyễn Đình Trí (chủ biên) – XBGD. 1.2. Giới hạn của hàm số hai biến – Hàm số liên tục §2. ĐẠO HÀM RIÊ G – VI PHÂ 7. Tích phân hàm nhiều biến 2.1. Đạo hàm riêng – Phan Văn Hạp, Lê Đình Thịnh 2.2. Vi phân – XB KH và Kỹ thuật. 2.3. Đạo hàm của hàm số hợp 2.4. Đạo hàm của hàm số n 8. Bài tập Giải tích (tập 2) §3. CỰC TRN CỦA HÀM HAI BIẾ SỐ – guyễn Thủy Thanh – XB Giáo dục. 3.1. Định nghĩa 3.2. Định lý điều kiện cần và đủ Download Slide bài gi ng Toán A3 t i 3.3. Cực trị tự do dvntailieu.wordpress.com 3.4. Cực trị có điều kiện
  2. Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n §1. KHÁI IỆM CƠ BẢ 1.1. Định nghĩa • Cho D ⊂ ℝ 2 . Tương ứng f : D → ℝ , (x, y) ֏ z = f (x, y) – Trừ trường hợp D = ℝ 2 , D thường được giới hạn bởi 1 duy nhất, được gọi là hàm số 2 biến x và y. đường cong kín ∂D (biên) hoặc không. Miền liên thông D • Tập D được gọi là MXĐ của hàm số và là đơn liên nếu D được giới hạn bởi 1 đường cong kín; đa f (D) = {z ∈ ℝ z = f (x, y), ∀(x, y) ∈ D} là miền giá trị. liên nếu được giới hạn bởi nhiều đường cong kín rời nhau từng đôi một. – Nếu M(x, y) thì D là tập hợp điểm M trong ℝ 2 sao cho f(M) có nghĩa. Miền D thường là miền liên thông, nghĩa là nếu M, N thuộc miền D mà tồn tại 1 đường nối M với N nằm hoàn toàn trong D thì D là liên thông. Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n – D là miền đóng nếu M ∈∂D ⇒ M ∈ D , VD 4. Hàm số z = f (x, y) = ln(2x + y − 3) có MXĐ là nửa miền mở nếu M ∈∂D ⇒ M ∉ D . mp mở biên d: 2x + y – 3 không chứa O(0; 0). Chú ý 1.2. Giới hạn của hàm số hai biến – Hàm số liên tục • Khi cho hàm số f(x, y) mà không nói gì thêm thì ta hiểu • Dãy điểm Mn(xn; yn) dần đến điểm M0(x0; y0) trong ℝ 2 , ký MXĐ D là tập tất cả (x, y) sao cho f(x, y) có nghĩa. hiệu M n → M 0 hay (x n ; y n ) → (x 0 ;y 0 ) , khi n → +∞ nếu • Hàm số n biến f(x1, x2,…, xn) được định nghĩa tương tự. lim d ( M n , M 0 ) = lim (x n − x 0 )2 + (y n − y0 )2 = 0 . VD 1. n →∞ n →∞ Hàm số z = f(x, y) = x3y + 2xy2 – 1 xác định trên ℝ 2 . • Cho hàm số f(x, y) xác định trong miền D (có thể không VD 2. Hàm số z = f (x, y) = 4 − x 2 − y 2 có MXĐ là hình chứa M0), ta nói L là giới hạn của f(x, y) khi điểm M(x, y) dần đến M0 nếu mọi dãy điểm Mn (Mn khác M0) thuộc D tròn đóng tâm O(0; 0), bán kính R = 2. dần đến M0 thì lim f (x n , y n ) = L . n →∞ VD 3. Hàm số z = f (x, y) = ln(4 − x 2 − y2 ) có MXĐ là hình Ký hiệu: lim f (x, y) = lim f (M) = L . tròn mở tâm O(0; 0), bán kính R = 2. (x,y)→(x 0 ,y0 ) M →M0 Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n 3xy hận xét VD 7. Cho hàm số f (x, y) = . • Nếu khi M n → M 0 trên 2 đường khác nhau mà dãy x 2 + y2 {f(xn, yn)} có hai giới hạn khác nhau thì ∃ lim f (M) . Chứng tỏ lim f (x, y) không tồn tại. M → M0 ( x,y)→ (0,0) 2x y − 3x − 12 3 Giải VD 5. lim =− . Xét dãy điểm {M n ( x n ; y n )}. xy 2 + 3 (x,y) →(1, −1) 2 xy Khi M n → O(0; 0) trên đường y = x thì VD 6. Cho f (x, y) = , tính lim f (x, y) . x 2 + y2 (x ,y )→(0,0) 3x 2 3 lim f (x, y) = lim = . Giải ( x ,y) →(0,0) ( x ,y )→ (0,0) 2x 2 2 xy xy x →0 Khi M n → O(0; 0) trên đường y = 2x thì y→ 0 Ta có: 0 ≤ f (x, y) = ≤ = x  0 . → 6x 2 6 x +y 2 2 y 2 lim f (x, y) = lim = . (x,y) →(0,0) (x,y)→ (0,0) 5x 2 5 Vậy lim f (x, y) = 0 . Vậy lim f (x, y) không tồn tại. (x ,y)→ (0,0) ( x ,y) →(0,0)
  3. Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n Hàm số liên tục VD 8. Xét tính liên tục của hàm số:  xy • Hàm số f(x, y) xác định trong D chứa M0, ta nói f(x, y)  , (x, y) ≠ (0,0) f (x, y) =  x 2 + y 2 . liên tục tại M0 nếu tồn tại lim f (x, y) và ( x ,y )→( x 0 ,y 0 )  0, (x, y) = (0,0)  lim f (x, y) = f (x 0 , y0 ) . ( x ,y )→( x 0 ,y0 ) • Hàm số f(x, y) liên tục trong D nếu liên tục tại mọi điểm Giải M thuộc D. Với (x, y) ≠ (0,0) thì f(x, y) xác định nên liên tục. Tại (0,0) ta có lim f (x, y) không tồn tại (xem VD7). ( x ,y ) → (0,0) • Hàm số f(x, y) liên tục trong miền đóng giới nội D thì đạt Vậy f(x, y) liên tục trên ℝ 2 \ {(0,0)}. giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong D. Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n §2. ĐẠO HÀM RIÊ G – VI PHÂ • Tương tự ta có đạo hàm riêng theo biến y tại (x0, y0) là: 2.1. Đạo hàm riêng f ( x 0 , y 0 + ∆ y ) − f ( x0 , y 0 ) f y/ ( x0 , y0 ) = lim . a) Đạo hàm riêng cấp 1 ∆y → 0 ∆y ∂f • Cho hàm số f(x, y) xác định trên D chứa M0(x0, y0). Nếu • Tại (x, y) tùy ý ta dùng ký hiệu: f x hay f x/ hay . hàm số 1 biến f(x, y0) (y0 là hằng số) có đạo hàm tại x = x0 ∂x thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng theo biến x của hàm VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) tại (x0, y0). f(x, y) = x4 – 3x3y2 + 2y3 – 3xy tại (–1; 2). ∂f Ký hiệu: f x (x 0 , y0 ) hay f x/ (x 0 , y 0 ) hay (x 0 , y 0 ). Giải. Ta có: ∂x f x/ = 4 x 3 − 9 x 2 y 2 − 3 y ⇒ f x/ ( −1;2) = −46 . f (x 0 + ∆x, y 0 ) − f (x 0 , y 0 ) Vậy f (x 0 , y 0 ) = lim / . x ∆x → 0 ∆x f y/ = −6 x 3 y + 6 y 2 − 3 x ⇒ f y/ ( −1;2) = 39 . Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n y VD 2. Tính các đạo hàm riêng của hàm z = x (x > 0). Chú ý Gi i • V i hàm n bi n ta có đ nh nghĩa tương t . z = yx / y −1 , z y = x y ln x. / VD 4. Tính các đạo hàm riêng của f ( x, y , z ) = e x y sin z . 2 x x VD 3. Tính các đạo hàm riêng của z = cos tại (π ; 4) . Giải y 2 2 Giải f x/ = ( x 2 y ) /x e x y sin z = 2 xye x y sin z 2 2 x / x 1 x 2 f y/ = ( x 2 y ) /y e x y sin z = x 2 e x y sin z z x = −   sin = − sin ⇒ z x (π ;4) = − / / , 2  y x y y y 8 f z/ = e x y cos z . / x x x x π 2 z y = −   sin = 2 sin ⇒ z y (π ;4) = / / .  y y y y y 32
  4. Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n b) Đ o hàm riêng c p cao VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của • Các hàm số fx, fy có các đạo hàm riêng (fx)x, (fy)y, (fx)y, (fy)x f ( x , y ) = x 3e y + x 2 y 3 − y 4 tại ( −1; 1) . được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của f. Giải Ký hiệu: ∂ ∂f ∂2 f ( f x ) x = f xx = f x// =   = 2 , 2   ∂x  ∂x  ∂x ( f y ) y = f yy = f y/2/ = ∂∂y  ∂y  = ∂ y f2 , 2 f ∂  ∂   ∂  ∂f  ∂ 2 f ( fx )y = f xy = f xy = //  = , ∂y  ∂x  ∂y∂x ∂  ∂f  ∂ 2 f (f ) y x = f yx = f yx/ / =  = ∂x  ∂y  ∂x∂y . Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n 2.2. Vi phân a) Vi phân c p 1 • Các đ o hàm riêng c p hai c a hàm n bi n và đ o hàm riêng c p cao hơn đư c đ nh nghĩa tương t . • Cho hàm số f(x, y) xác định trong D ⊂ ℝ 2 và M 0 ( x0 , y0 ) ∈ D , M ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) ∈ D . Nếu số gia ∆f ( x0 , y0 ) = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) có Đ nh lý (Schwarz) thể biểu diễn dưới dạng: • N u hàm s f(x, y) có các đ o hàm riêng fxy và fyx ∆f ( x0 , y0 ) = A.∆x + B.∆y + α∆x + β ∆y liên t c trong mi n D thì fxy = fyx. trong đó A, B là những số không phụ thuộc ∆x, ∆y và α , β → 0 khi ( ∆x, ∆y ) → (0,0) , ta nói f khả vi tại M0. Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n • Từ ∆f ( x0 , y0 ) = A.∆x + B.∆y + α∆x + β∆y , ta suy ra: • Biểu thức A.∆x + B.∆y được gọi là vi phân cấp 1 (toàn f ( x0 + ∆x , y0 ) − f ( x0 , y0 ) = A.∆x + α∆x phần) của f(x, y) tại M0(x0, y0) ứng với ∆x, ∆y . f ( x0 + ∆x , y0 ) − f ( x0 , y0 ) ⇒ lim = A. Ký hiệu df(x0, y0). ∆x → 0 ∆x f ( x0 , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) • Hàm số f(x, y) khả vi trên miền D nếu f(x, y) khả vi tại mọi Tương tự lim = B. ∆y → 0 ∆y (x, y) thuộc D. Vậy df ( x0 , y0 ) = f x/ ( x0 , y0 ).∆x + f y/ ( x0 , y0 ).∆y hận xét hay df ( x0 , y0 ) = f x/ ( x0 , y0 )dx + f y/ ( x0 , y0 )dy . • Nếu f(x, y) khả vi tại M0 thì f(x, y) liên tục tại M0. Tổng quát: df ( x, y ) = f x/ ( x, y )dx + f y/ ( x, y )dy , ( x, y ) ∈ D.
  5. Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n VD 7. VD 8. Tính vi phân cấp 1 của f ( x, y ) = e x 2 −y sin( xy 2 ) . Tính vi phân cấp 1 của z = x 2 e x − y + xy 3 − y 5 tại (–1; 1). Giải Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n Định lý VD 9. Tính vi phân cấp 2 của • Nếu hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục tại M0 f ( x, y ) = x 2 y 3 + xy 2 − 3 x 3 y 5 tại (2; –1). trong miền D chứa M0 thì f(x, y) khả vi tại M0. Giải b) Vi phân cấp cao • Vi phân cấp 2: d 2 f ( x , y ) = d ( df ( x , y ) ) = f x// ( x , y )dx 2 + 2 f xy ( x , y )dxdy + f y// ( x, y )dy 2 . 2 // 2 • Vi phân cấp n: n d n f ( x, y ) = d n −1 ( df ( x, y ) ) = ∑ Cn f x(kny)n− k ( x, y )dx k dy n −k . k k =0 Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n VD 10. Tính vi phân cấp 2 của f ( x, y ) = ln( xy ) . 2 VD 11. Tính vi phân cấp 3 của z = x 3 y 2 . Giải Giải
  6. Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n 2.3. ð o hàm c a hàm s h p VD 12. Cho f ( u, v ) = u 2 − uv + 2v 2 , u = e − x , v = sin x . • Cho hàm số f(u, v), trong đó u = u(x) và v = v(x) là những df Tính . hàm số của biến x. Nếu f(u, v) là hàm khả vi của biến u, v và dx u(x), v(x) các hàm khả vi của x thì: df du dv = f u/ . + f v/ . dx dx dx Trong đó df du dv , , là các đạo hàm toàn phần theo x. dx dx dx Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n • Nếu hàm số f(x, y) khả vi của biến x, y và y = y(x) là hàm 2.4. ð o hàm c a hàm s n khả vi của biến x thì: df dy • Cho hai biến x, y thỏa phương trình F(x, y) = 0 (*). = f x/ + f y/ . Nếu y = y(x) là hàm số xác định trong 1 khoảng nào đó sao dx dx cho khi thế y(x) vào (*) ta được đồng nhất thức thì y = y(x) df là hàm số n xác định bởi (*). VD 13. Cho f ( x, y ) = ln( x 2 + y 2 ), y = sin 2 x . Tính . dx • Đạo hàm hai vế (*) theo x, ta được: Fx/ ( x , y ) + Fy/ ( x , y ). y ′ = 0 Fx/ ( x, y ) ⇒ y′ = − , Fy/ ( x, y ) ≠ 0 . Fy/ ( x, y ) Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n VD 14. VD 15. Cho xy − e x + e y = 0 . Tính y ′( x ) . Xác định hàm số Nn y(x) trong phương trình x2 + y2 – 4 = 0.
  7. Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n VD 16. Cho y 3 + ( x 2 + 1) y + x 4 = 0 . Tính y ′ . y VD 17. Cho ln x 2 + y 2 = arctg . Tính y ′ . x Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n Tương t : đ i v i hàm n hai bi n VD 18. Cho hàm Nn z(x, y) thỏa phương trình: xyz = cos( x + y + z ) . Tính z x , z y . / / • Cho hàm số Nn hai biến z = f(x, y) xác định bởi phương trình F(x, y, z) = 0, với Fz/ ( x, y, z ) ≠ 0 ta có: Fx/ ( x, y, z ) + Fz/ ( x, y, z ). z x ( x, y ) = 0 / / F ( x, y, z ) ⇒ z x ( x , y ) = − x/ / . Fz ( x , y , z ) Fy/ ( x , y, z ) + Fz/ ( x, y, z ). z y ( x, y ) = 0 / F / ( x, y, z ) ⇒ z y ( x, y ) = − y/ / . Fz ( x , y , z ) Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n VD 19. Cho hàm Nn z(x, y) thỏa phương trình mặt cầu: §3. C C TR C A HÀM HAI BI N S x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z − 2 = 0 . Tính z /y . 3.1. Định nghĩa • Hàm số z = f(x, y) đạt cực trị (địa phương) tại điểm M0(x0; y0) nếu với mọi điểm M(x, y) khá gần nhưng khác M0 thì hiệu f(M) – f(M0) có dấu không đổi. • N ếu hiệu f(M) – f(M0) > 0 thì f(M0) là cực tiểu và M0 là điểm cực tiểu của z. • N ếu hiệu f(M) – f(M0) < 0 thì f(M0) là cực đại và M0 là điểm cực đại của z. C c đ i và c c ti u g i chung là c c tr . VD 1. Hàm số f(x, y) = x2 + y2 – xy đạt cực tiểu tại O(0; 0).
  8. Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n b) Điều kiện đủ 3.2. Định lý a) Điều kiện cần • Giả sử f(x, y) có điểm dừng là M0 và có đạo hàm riêng cấp hai tại lân cận điểm M0. • N ếu hàm số z = f(x, y) đạt cực trị tại M0(x0, y0) và tại đó hàm số có đạo hàm riêng thì: Đặt A = f x// ( x0 , y0 ), B = f xy ( x0 , y0 ), C = f y// ( x0 , y0 ) . 2 // 2 f x/ ( x0 , y0 ) = f y/ ( x0 , y0 ) = 0. Khi đó: N ếu AC – B2 > 0 và A > 0 thì hàm số đạt cực tiểu Chú ý tại điểm M0; AC – B2 > 0 và A < 0 thì hàm số đạt cực đại • Điểm M0 thỏa f x/ ( x0 , y0 ) = f y/ ( x0 , y0 ) = 0 được gọi là tại điểm M0. điểm dừng, M0 có thể không là điểm cực trị của z. N ếu AC – B2 < 0 thì hàm số không có cực trị (điểm M0 được gọi là điểm yên ngựa). N ếu AC – B2 = 0 thì chưa thể kết luận hàm số có cực trị hay không (ta dùng định nghĩa để xét). Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n 3.3. Cực trị tự do VD 2. • Cho hàm số z = f(x, y). Để tìm cực trị của hàm f(x, y) trên Tìm điểm dừng của hàm số z = xy(1 – x – y). MXĐ D, ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Tìm điểm dừng M0(x0; y0) bằng cách giải hệ:  /  f x ( x0 , y 0 ) = 0  / .  f y ( x0 , y 0 ) = 0  Bước 2. Tính A = f x// ( x0 , y0 ), B = f xy ( x0 , y0 ) , 2 // C = f y 2 ( x0 , y0 ) ⇒ ∆ = AC − B 2 . // Bước 3. Dựa vào điều kiện đủ để kết luận. Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n VD 3. VD 4. Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8. Tìm cực trị của hàm số z = x3 + y3 – 3xy – 2.
  9. Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n VD 5. Tìm cực trị của hàm số z = 3x2y + y3 – 3x2 – 3y2 + 2. 3.4. C c tr có đi u ki n • Cho hàm số z = f(x, y) xác định trên lân cận của điểm M0(x0; y0) thuộc đường cong ϕ ( x , y ) = 0 . N ếu tại điểm M0 hàm số f(x, y) đạt cực trị thì ta nói điểm M0 là điểm cực trị của f(x, y) với điều kiện ϕ ( x , y ) = 0 . • Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số f(x, y) ta dùng phương pháp khử hoặc nhân tử Lagrange. Phương pháp khử • Từ phương trình ϕ ( x, y ) = 0 , ta rút x hoặc y thế vào f(x, y) và tìm cực trị của hàm 1 biến. Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n VD 6. Tìm cực trị của hàm số: Phương pháp nhân tử Lagrange f(x, y) = x2 + y2 – xy + x + y với điều kiện x + y + 3 = 0. • Bước 1. Lập hàm Lagrange: VD 7. Tìm cực trị của hàm số: L( x, y , λ ) = f ( x, y ) + λϕ ( x , y ) , λ là nhân tử Lagrange. f(x, y) = xy với điều kiện 2x + 3y – 5 = 0. • Bước 2. Giải hệ: L/x = 0, L/y = 0, L/λ = 0 ⇒ điểm dừng M0(x0; y0) ứng với λ0. • Bước 3. Tính vi phân cấp hai tại M0(x0; y0) ứng với λ0: d 2 L( M 0 ) = L''x 2 ( M 0 )dx 2 + 2 L''xy ( M 0 )dxdy + L''y 2 ( M 0 )dy 2 . Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 1. Hàm s nhi u bi n Điều kiện ràng buộc: VD 8. Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = 2x + y với điều kiện x2 + y2 = 5. dϕ ( x0 , y0 ) = 0 ⇒ ϕ x ( x0 , y0 )dx + ϕ y ( x0 , y0 )dy = 0 (1) / / và (dx)2 + (dy)2 > 0 (2). • Bước 4. Từ điều kiện (1) và (2), ta có: N ếu d 2 L( x0 , y0 ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại M0. N ếu d 2 L( x0 , y0 ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại M0. N ếu d 2 L( x0 , y0 ) = 0 thì điểm M0 không là điểm cực trị.
  10. Chương 1. Hàm s nhi u bi n Chương 2. TÍCH PHÂN B I VD 9. Tìm cực trị của hàm số z = xy §1. TÍCH PHÂ BỘI HAI (KÉP) 1.1. Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong) x2 y 2 với điều kiện + = 1. 1.2. Định nghĩa 8 2 1.3. Tính chất của tích phân kép 1.4. Phương pháp tính tích phân kép §2. TÍCH PHÂ BỘI BA 2.1. Bài toán mở đầu (khối lượng vật thể) 2.2. Định nghĩa 2.3. Phương pháp tính tích phân bội ba §3. Ứ G DỤ G CỦA TÍCH PHÂ BỘI 3.1. Diện tích, thể tích 3.2. Giá trị trung bình của hàm số trên miền đóng 3.3. Khối lượng 3.4. Momen tĩnh 3.5. Trọng tâm 3.6. Momen quán tính Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I §1. Tích phân bội hai (kép) Để tính thể tích khối trụ, ta chia miền D thành n phần 1.1. Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong) ( không dẫm nhau, diện tích mỗi phần là ∆Si i = 1, n . ) N hư vậy khối trụ cong được chia thành n khối trụ nhỏ. • Xét hàm s z = f(x,y) Trong mỗi ∆Si ta lấy điểm Mi(xi; yi) tùy ý. liên t c, không âm và m t m t tr có các Ta có thể tích ∆Vi của khối trụ nhỏ là: đư ng sinh song song n v i Oz, đáy là mi n ∆Vi ≈ f (x i ; yi )∆Si ⇒ V ≈ ∑ f (x i , yi )∆Si . ph ng đóng D trong i =1 m t ph ng Oxy. { Gọi di = max d(A, B ) A, B ∈ ∆Si } là đường kính của ∆Si . Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I Ta có: 1.2. Định nghĩa n ∑ f (xi , yi )∆Si . n V = lim max di →0 i =1 • N ếu I = lim max d →0 ∑ f (xi , yi )∆Si tồn tại hữu hạn, i i =1 Khi đó không phụ thuộc vào phân hoạch ∆Si và cách chọn n điểm Mi thì số thực I được gọi là tích phân bội hai I n = ∑ f (x i , yi )∆Si được gọi là tổng tích phân của f(x, y) trên D. i =1 của hàm f(x, y) trên D Ký hiệu (ứng với phân hoạch ∆Si và các điểm Mi). I = ∫∫ f (x , y )dS D
  11. Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chú ý 1.3. Tính chất của tích phân kép 1) N ếu chia D bởi các đường thẳng song song với các • Tính chất 1 trục tọa độ thì ∆Si = ∆xi.∆yi hay dS = dxdy. Hàm số f(x, y) liên tục trên D thì f(x, y) khả tích trên D. Vậy I = ∫∫ f (x , y )dS = ∫∫ f (x , y )dxdy . • Tính chất 2 (tính tuyến tính) D D ∫∫ [ f (x , y ) ± g(x , y )]dxdy = ∫∫ fdxdy ± ∫∫ gdxdy ; 2) ∫∫ f (x , y )dxdy = ∫∫ f (u, v )dudv . D D D hận xét D D ∫∫ kf (x, y )dxdy = k ∫∫ f (x, y )dxdy, k ∈ ℝ . D D 1) ∫∫ dxdy = S (D ) (diện tích miền D). • Tính chất 3 D N ếu chia D thành D1 và D2 bởi đường cong có diện 2) f(x, y) > 0, liên tục ∀(x, y) ∈ D thì ∫∫ f (x, y )dxdy tích bằng 0 thì: ∫∫ f (x, y )dxdy = ∫∫ f (x, y )dxdy + ∫∫ f (x, y )dxdy D là thể tích hình trụ có các đường sinh song song với Oz, hai đáy giới hạn bởi các mặt z = 0 và z = f(x, y). D D1 D2 Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I Khi đó: 1.4. Phương pháp tính tích phân kép b y2 (x )    ∫∫ f (x, y )dxdy = ∫  ∫  f (x , y )dy dx   1.4.1. Đưa về tích phân lặp     D a y1 (x )   b y2 (x ) Định lý (Fubini) = ∫ dx ∫ f (x , y )dy. ∫∫ f (x, y )dxdy tồn tại, với a y1 (x ) • Giả sử tích phân Tương tự, D D = {(x , y ) : x 1(y ) ≤ x ≤ x 2 (y ), c ≤ y ≤ d } , D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, y1 (x ) ≤ y ≤ y2 (x )} x 2 (y )  y2 (x ) d    ∫∫ f (x, y )dxdy = ∫  ∫ f (x , y )dx dy  và với mỗi x ∈ [a ; b ] cố định ∫ f (x , y )dy tồn tại. D  c x1 (y )      y1 (x ) d x 2 (y ) = ∫ dy ∫ f (x , y )dx . c x1 (y ) Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chú ý Tương tự, nếu 1) Khi D là hình chữ nhật D = {(x , y ) : x1(y ) ≤ x ≤ x 2 (y ), c ≤ y ≤ d } D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } = [a, b ] × [c, d ] thì: thì: b d d b x 2 (y ) d ∫∫ f (x , y )dxdy = ∫ dx ∫ f (x , y )dy = ∫ dy ∫ f (x , y )dx . ∫∫ f (x , y )dxdy = ∫ v(y )dy ∫ u(x )dx . D a c c a D c x1 (y ) 2) N ếu D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2 (x )} và f(x, y) = u(x).v(y) thì: 3) N ếu D là miền phức tạp thì ta chia D ra thành những b y2 (x ) miền đơn giản. ∫∫ f (x, y )dxdy = ∫ u(x )dx ∫ v(y )dy. D a y1 (x )
  12. Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I VD 1. Xác định cận ở tích phân lặp khi tính tích phân 2) D giới hạn bởi các đường y = x2 và x + y = 2. I = ∫∫ f (x , y )dxdy trong các trường hợp sau: D 1) D giới hạn bởi các đường y = 0, y = x và x = a > 0. Gi i Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I VD 2. Tính I = ∫∫ xydxdy với D giới hạn bởi Đổi thứ tự lấy tích phân D y = x – 4, y2 = 2x. Giải b y2 (x ) d x 2 (y ) I = ∫ dx ∫ f (x , y )dy I = ∫ dy ∫ f (x , y )dx a y1 (x ) c x1 (y ) Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I VD 3. Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau: VD 3. Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau: 1 x 3 1 1 2−x 2 1) I = ∫ dx ∫ f (x , y )dy 2) I = ∫ dx ∫ f (x , y )dy + ∫ dx ∫ f (x , y )dy . 0 x 0 x2 1 x2 9 9
  13. Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I 1.4.2. Phương pháp đổi biến Trong đó: a) Công thức đổi biến tổng quát / / ∂(x , y ) xu xv 1 1 Định lý J = = / = = • Giả sử x = x(u, v), y = y(u, v) là hai hàm số có các ∂(u, v ) yu / yv ∂(u, v ) / ux uy/ đạo hàm riêng liên tục trên miền đóng giới nội Duv ∂(x , y ) / / trong mpOuv. vx vy Gọi Dxy = {(x , y ) : x = x (u, v ), y = y(u, v ),(u, v ) ∈ Duv }. VD 4. Cho miền Duv là hình tam giác O(0;0), A(2;0), B(0;2) trong mpOuv. Gọi miền Dxy là ảnh của Duv qua N ếu hàm f(x, y) khả tích trên Dxy và định thức Jacobi phép biến hình g: (x, y) = g(u, v) = (u + v, u2 – v). ∂(x , y ) 1 J = ≠ 0 trong Duv thì: Tính tích phân của hàm f (x , y ) = trên ∂(u, v ) 1 + 4x + 4y ∫∫ f (x , y )dxdy = ∫∫ f (x(u, v ), y(u, v )) J dudv miền biến hình Dxy = g(Duv). Dxy Duv Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I VD 5. Cho miền Duv là phần tư hình tròn đơn vị trong VD 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4 mpOuv. Gọi miền Dxy là ảnh của Duv qua phép biến parapol: y = x2, y = 2x2, x = y2 và x = 3y2. hình g: (x, y) = g(u, v) = (u2 – v2, 2uv). Tính tích phân 1 của hàm f (x , y ) = trên miền biến hình Dxy. x + y2 2 Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I b) Đổi biến trong tọa độ cực x / xϕ / cos ϕ −r sin ϕ ∂(x , y ) x = r cos ϕ ⇒J = = r = = r.  ∂(r , ϕ) yr yϕ / / sin ϕ r cos ϕ • Đổi biến:   y = r sin ϕ   với Vậy ta có: r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π hoặc r ≥ 0, − π ≤ ϕ ≤ π ∫∫ f (x, y )dxdy = ∫∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ)rdrd ϕ Dxy Dr ϕ ϕ2 r2 ( ϕ ) Khi đó, miền Dxy trở thành: = ∫ dϕ ∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr . Dr ϕ = {(r , ϕ) : ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 , r1(ϕ) ≤ r ≤ r2 (ϕ)}. ϕ1 r1 (ϕ )
  14. Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chú ý 4) N ếu cực O nằm trên biên D thì: 1) Đổi biến trong tọa độ cực thường dùng khi biên ϕ2 r (ϕ ) D là đường tròn hoặc elip. I = ∫ dϕ ∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr .  x = r cos ϕ ϕ1 0 2) Để tìm r1(ϕ), r2 (ϕ) ta thay   x = r a cos ϕ  y = r sin ϕ   5) N ếu biên D là elip thì đặt:   vào phương trình của biên D. y = r b sin ϕ   3) N ếu cực O nằm trong D và mỗi tia từ O chỉ cắt biên ⇒ Dr ϕ = {(r , ϕ) : 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1}, D tại 1 điểm thì: 2π 1 2π r (ϕ ) I = ∫ dϕ ∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr . J = abr ⇒ I = ∫ d ϕ ∫ f (ra cos ϕ, rb sin ϕ)abrdr . 0 0 0 0 Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I VD 7. x2 y2 VD 8. Tính diện tích hình ellip: + ≤ 1. Biểu diễn tích phân ∫∫ f (x , y )dxdy trong tọa độ cực. a 2 b2 D Biết miền D là miền phẳng nằm ngoài (C1): (x – 1)2 + y2 = 1 và trong (C2): (x – 2)2 + y2 = 4. Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I −(x 2 +y 2 ) VD 9. Tính tích phân I = ∫∫ e dxdy với D là VD 10. Tính diện tích miền D (cắt tia Oy) giới hạn D bởi: y = –x, x 2 + y 2 = 3 x 2 + y 2 − 3x và y ≥ 0 . hình tròn x 2 + y 2 ≤ R 2 .
  15. Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I VD 11. Tính thể tích vật thể V giới hạn bởi Công thức Walliss phần hình trụ x 2 + y 2 − 2y = 0 nằm trong  (n − 1)!! π π   hình cầu x 2 + y 2 + z 2 = 4 và z ≥ 0 .  , n leû 2 2  n !! ∫ sin n xdx = ∫ cos xdx =  n  . π (n − 1)!!  . 0 0 2 , n chaün   n !!  Trong đó: 0!! = 1!! = 1; 2!! = 2; 3!! = 1.3; 4!! = 2.4; 5!! = 1.3.5; 6!! = 2.4.6; 7!! = 1.3.5.7; 8!! = 2.4.6.8;… Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I MỘT SỐ MẶT BẬC HAI TRO G KHÔ G GIA Oxyz Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I
  16. Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I §2. TÍCH PHÂ BỘI BA 2.1. Bài toán mở đầu (khối lượng vật thể) Khối lượng V xấp xỉ: n n • Giả sử ta cần tính khối lượng của vật thể V không m ≈ ∑ ρ(Pi )∆Vi = ∑ ρ(xi , yi , zi )∆Vi . đồng chất, biết mật độ (khối lượng riêng) tại P(x, y, z) i =1 i =1 là ρ = ρ(P ) = ρ(x , y, z ). n N ếu tồn tại lim max di → 0 ∑ ρ(xi , yi , zi )∆Vi thì: Ta chia V tùy ý thành n phần không dẫm nhau, thể tích i =1 n mỗi phần là ∆Vi (i=1,2,…,n). Trong mỗi ∆Vi ta lấy điểm Pi(xi; yi; zi) và đường kính của ∆Vi là di. m= lim max d →0 ∑ ρ(xi , yi , zi )∆Vi . i i =1
  17. Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I 2.2. Định nghĩa Ký hiệu • Cho hàm số f(x, y, z) xác định trong miền đo được V của không gian Oxyz. I = ∫∫∫ f (x , y, z )dV = ∫∫∫ f (x , y, z )dxdydz . V V Chia miền V (bài toán mở đầu) và lập tổng tích phân: hận xét n I n := ∑ f (x i , yi , z i )∆Vi . 1) N ếu f ≥ 0 trên V thì I = ∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz là i =1 V n khối lượng vật thể V, với khối lượng riêng vật chất N ếu I = lim max di → 0 ∑ f (xi , yi , zi )∆Vi tồn tại hữu hạn, chiếm thể tích V là f(x, y, z). i =1 Đặc biệt, nếu f(x, y, z) = 1 thì I là thể tích V. không phụ thuộc vào cách chia V và cách chọn điểm Pi thì số thực I được gọi là tích phân bội ba của hàm số 2) Tích phân bội ba có các tính chất như tích phân kép. f(x, y, z) trên V. Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I 2.3. Phương pháp tính tích phân bội ba b) Gọi D là hình chiếu của V trên mpOxz. Giả sử miền 2.3.1. Đưa về tích phân lặp V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Oy) bởi hai a) Giả sử miền V có giới hạn trên bởi mặt z = z2(x, y), mặt y = y2(x, z) và mặt y = y1(x, z), giới hạn xung giới hạn dưới bởi z = z1(x, y), giới hạn xung quanh quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song Oy. bởi mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz. Khi đó: Gọi D là hình chiếu của V trên mpOxy. y2 (x ,z )     Khi đó: ∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz = ∫∫  ∫ f (x, y, z )dy dxdz     z (x ,y )  D y1 (x ,z )    2   V  ∫∫∫ f (x , y, z )dxdydz = ∫∫  ∫ f (x , y, z )dz dxdy  z (x ,y )    y2 (x ,z ) V D 1  z 2 (x ,y )  = ∫∫ dxdz ∫ f (x , y, z )dy. D y1 (x ,z ) = ∫∫ dxdy ∫ f (x , y, z )dz . D z1 (x ,y ) Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I Đặc biệt c) Gọi D là hình chiếu của V trên mpOyz. Giả sử miền V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Ox) bởi hai • N ếu D là hình hộp chữ nhật mặt x = x2(y, z) và mặt x = x1(y, z), giới hạn xung D = {(x , y, z ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, e ≤ z ≤ f } quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song Ox. = [a, b ] × [c, d ] × [e, f ] Khi đó: thì: x (y ,z )  b d f 2    ∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz = ∫∫  ∫ f (x, y, z )dx dydz    ∫∫∫ f (x , y, z )dxdydz = ∫ dx ∫ dy ∫ f (x , y, z )dz . V D  x1 (y ,z )    V a c e x 2 (y ,z ) = ∫∫ dydz ∫ f (x , y, z )dx . VD 1. Tính tích phân I = ∫∫∫ 8xyzdxdydz với D x1 (y,z ) V V = [1, 2]×[–1, 3]×[0, 2].
  18. Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I 1 1 2 VD 3. Tính tích phân I = ∫∫∫ ydxdydz với V giới VD 2. Tính tích phân lặp I = ∫ dx ∫ dy ∫ (1 + 2z )dz V −1 x2 0 hạn bởi x + y + z – 1 = 0 và 3 mặt phẳng tọa độ. và dựng miền lấy tích phân V. Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I 2.3.2. Đổi biến tổng quát Giả sử các hàm x, y, z có đạo hàm riêng liên tục trong miền đóng, giới nội đo được Vuvw trong không gian  Ouvw và J ≠ 0 thì:  x = x(u, v, w )  y = y(u, v, w ) , ta có Jacobien: • Đặt   z = z(u, v, w ) ∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz    V / / xu xv xw / = ∫∫∫ f (x(u, v, w ), y(u, v, w ), z(u, v, w )). J .dudvdw. ∂(x , y, z ) / / / Vuvw J = = yu yv yw . ∂(u, v, w ) / / zu zv zw / VD 4. Tính tích phân I = ∫∫∫ (x + y + z )dxdydz với V V : −x + y + z + x − y + z + x + y − z ≤ 2 . Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I VD 5. Tính thể tích của khối elipxoit 2.3.3. Đổi biến trong tọa độ trụ x 2 y2 z 2 V : + + ≤ R2 . x = r cos ϕ a 2 b2 c2    Đặt y = r sin ϕ ,   z = z    với r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π hoặc r ≥ 0, −π ≤ ϕ ≤ π .
  19. Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I VD 6. Tính thể tích khối V giới hạn bởi các mặt Jacobien: / / / x 2 + y 2 = 4 − z , x 2 + y 2 ≥ 2 và z = 0. xr x ϕ xz cos ϕ −r sin ϕ 0 / / / J = yr yϕ yz = sin ϕ r cos ϕ 0 =r. / / / 0 0 1 zr zϕ zz Khi đó ta có: ∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz V = ∫∫∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ, z ).r .drd ϕdz . Vr ϕz Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I ∫∫∫ (x 2 VD 8. Tính tích phân I = + y 2 + z 2 )dxdydz ∫∫∫ z 2 2 VD 7. Tính tích phân I = x + y dxdydz V V với V là miền hình trụ giới hạn bởi: với V là miền hình nón giới hạn bởi các mặt: x 2 + y 2 = 2y , z = 0 và z = 1. x 2 + y 2 = z 2 và z = 1. Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I 2.3.3. Đổi biến trong tọa độ cầu Jacobien: / / / xr x ϕ xθ x = r sin θ cos ϕ  ∂(x , y, z ) / /  J = = yr yϕ y θ = r 2 sin θ . /  ∂(r , ϕ, θ) Đặt y = r sin θ sin ϕ ,  / zr / zϕ / zθ   z = r cos θ   với Khi đó ta có: r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π ∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ f .r 2 sin θ.drd ϕd θ. V Vr ϕθ
  20. Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I VD 9. 1 VD 10. Tính tích phân I = ∫∫∫ (x 2 + y 2 )dxdydz với Tính tích phân I = ∫∫∫ dxdydz V V x + y2 + z2 2 V là miền giới hạn bởi: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 và z ≥ 0 . với V là miền giới hạn bởi các mặt cầu: x 2 + y2 + z 2 = 1 và x 2 + y 2 + z 2 = 4 . Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I VD 11. Tính tích phân §3. Ứ G DỤ G CỦA TÍCH PHÂ BỘI (tham khảo) I = ∫∫∫ x 2 + y 2 + z 2dxdydz 3.1. Diện tích, thể tích V với V là miền giới hạn bởi: x 2 + y 2 + z 2 − z ≤ 0 . (xem nhận xét tích phân bội hai, ba). 3.2. Giá trị trung bình của hàm số trên miền đóng • Giá trị trung bình của hàm số f(x, y) trên miền đóng 1 S (D ) ∫∫ D là: f = f (x , y )dxdy. D • Giá trị trung bình của hàm số f(x, y, z) trên miền 1 V ( ) ∫∫∫ đóng là: f = f (x , y, z )dxdydz . Chương 2. TÍCH PHÂN B I Chương 2. TÍCH PHÂN B I 3.3. Khối lượng 3.4. Momen tĩnh • Cho một bản phẳng chiếm miền D đóng trong Oxy có Định nghĩa khối lượng riêng (mật độ khối lượng) tại điểm M(x, y) • Momen tĩnh của một chất điểm có khối lượng m đặt thuộc D là hàm ρ(x , y ) liên tục trên D. Khối lượng của tại điểm M(x, y) trong Oxy đối với trục Ox, Oy theo thứ bản phẳng là: tự là: m = ∫∫ ρ(x , y )dxdy . My=0 = my, Mx=0 = mx. D • Momen tĩnh của một chất điểm có khối lượng m đặt • Cho một vật thể chiếm miền V đóng trong Oxyz có tại điểm M(x, y, z) trong Oxyz đối với các mặt phẳng khối lượng riêng tại điểm M(x, y, z) thuộc V là hàm tọa độ Oxy, Oyz, Oxz theo thứ tự là: ρ(x , y, z ) liên tục trên V. Khối lượng của vật thể là: Mz=0 = mz, Mx=0 = mx, My=0 = my. m= ∫∫∫ ρ(x , y, z )dxdydz . V
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản