Giáo trình toán cao cấp B2

Chia sẻ: Nguyen Thi Gioi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

2
1.949
lượt xem
657
download

Giáo trình toán cao cấp B2

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu cụ thể - Kiến thức: Nắm vững và sử dụng được các kiến thức cơ bản về Đại số tuyến tính, phép tính Vi tích phân của hàm hai biến và Phương trình vi phân. - Hiểu biết: Vận dụng các kiến thức được học khai thác được các phần mềm tính toán như Maple, Mathematica - Ứng dụng: Giải quyết được các bài toán thực tế sau khi đã được mô hình hóa bằng các công thức toán học...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Giáo trình toán cao cấp B2

  1. ´. Chu.o.ng 1. MA TRAN - DINH THU C (8+4) ˆ -. . I. Ma trˆna . * Cho m, n nguyˆn du.o.ng. Ta goi ma trˆn c˜. m × n l` mˆt bang sˆ gˆm m × n o` ´o ao’ a o e . . . .c d u.o.c viˆt th`nh m h`ng, n cˆt c´ dang nhu. sau: ´ ´ sˆ thu ¯ . o. e a a oo. .   a1,1 a1,2 ... a1,n a a2,n  a2,2 ... =  2,1 (ai,j )m×n  ... ... ... ... am,1 am,2 ... am,n trong d ´ c´c sˆ thu.c ´ ¯o a o . ai,j , i = 1, m, j = 1, n d u.o.c goi l` c´c phˆn tu. cu a ma trˆn, chı sˆ i chı h`ng v` chı sˆ j chı cˆt cua ` ’’ ´ ´ ’o ’a a ’o ’o ’ .aa a a ¯. . . phˆn tu. ma trˆn. ` a’ a . * Ma trˆn c˜. 1 × n d u.o.c goi l` ma trˆn h`ng, ma trˆn c˜. m × 1 d .o.c goi l` ma a a ao ¯. .a ao ¯u . .a . . . . n × n d u.o.c goi l` ma trˆn vuˆng cˆ p n. ´ trˆn cˆt, ma trˆn c˜ a o a o a ao ¯. .a . . . . * Trˆn ma trˆn vuˆng cˆ p n, d .`.ng ch´o gˆm c´c phˆn tu. ´ e` ` a’ e a o a ¯u o o a . ai,i , i = 1, n d u.o.c goi l` d u.`.ng ch´o ch´ , d .`.ng ch´o gˆm c´c phˆn tu. e` ` a’ . a¯ o e ınh ¯u o ¯. o a ai,n+1−i , i = 1, n d u.o.c goi l` d u.`.ng ch´o phu cua ma trˆn. .’ . a¯ o e ¯. a. ´p n c´ c´c phˆn tu. n˘ m ngo`i d u.`.ng ch´o ch´ d` u b˘ ng 0, ` ınh ¯ˆ ` ` ’a * Ma trˆn vuˆng cˆ a o a oa a a¯o e e a . ngh˜ l`: ıa a ai,j = 0, ∀i = j d u.o.c goi l` ma trˆn ch´o. a e ¯. .a . * Ma trˆn ch´o c´ a eo . ai,i = 1, i = 1, n d u.o.c goi l` ma trˆn d o.n vi cˆ p n, k´ hiˆu In . ´ a¯ .a ¯. .a ye . . . m × n c´ * Ma trˆn c˜ ao o . ai,j = 0, ∀i, j : i > j d u.o.c goi l` ma trˆn bˆc thang. a a ¯. .a . . . m × n c´ c´c phˆn tu. d` u b˘ ng 0 d u.o.c goi l` ma trˆn khˆng, k´ a ’ ¯ˆ ` ` a o * Ma trˆn c˜ ao oa e a ¯. .a y . . hiˆu 0m,n . e . ’ * Ta goi ma trˆn chuyˆ n vi a e . . .   a1,1 a2,1 ... am,1 a am,2  a2,2 ... =  1,2 AT = (aj,i )n×m  ... ... ... ... a1,n a2,n ... am,n Typeset by AMS-TEX
  2. 2 ’ cua ma trˆn a .   a1,1 a1,2 ... a1,n  a2,1 a2,n  a2,2 ... A = (ai,j )m×n =  ... ... ... ... am,1 am,2 ... am,n l` ma trˆn c´ d u.o.c t`. A b˘ ng c´ch chuyˆn h`ng th`nh cˆt, cˆt th`nh h`ng. ’ ` a a o¯ . u a a ea a oo a a . . . . (a ) .o.c goi l` b˘ ng nhau nˆu c´c phˆn ` ´ ` .aa * Hai ma trˆn c` ng c˜ i,j m×n v` (bi,j )m×n d u . au o a ¯ ea a . tu. o. t`.ng vi tr´ d` u b˘ ng nhau: e` ’’ u ı ¯ˆ a . ai,j = bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n. + Tˆ ng (hiˆu) cua hai ma trˆn c` ng c˜. m × n l` mˆt ma trˆn c˜. m × n, trong d ´ ’ ’ o e au o ao ao ¯o . . . . phˆn tu. cua ma trˆn tˆ ng (hiˆu) l` tˆ ng (hiˆu) c´c phˆn tu. o. vi tr´ tu.o.ng u.ng: ’ ’ ` ` a’’ a ’’ . ı ao e ao e a ´ . . . (ci,j )m×n = (ai,j )m×n ± (bi,j )m×n v´.i o ci,j = ai,j ± bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n. + T´ vˆ hu.´.ng cua sˆ thu.c α v´.i ma trˆn c˜. m × n l` ma trˆn c˜. m × n, trong d ´ ´ ’o. ıch o o o ao a ao ¯o . . mˆi phˆn tu. l` t´ cua α v´.i phˆn tu. o. vi tr´ tu.o.ng u.ng cua ma trˆn ban d` u: ˜ ` ` a ’ a ıch ’ a ’’ . ı ’ o o ´ a ¯ˆ a . (ci,j )m×n = α.(ai,j )m×n v´.i o ci,j = α.bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n. + T´ vˆ hu.´.ng c´ t´ phˆn bˆ v´.i ph´p cˆng c´c ma trˆn: α.(A + B ) = α.A + α.B , ´ ıch o o o ınh a o o eo a a . . .i ph´p cˆng c´c hˆ sˆ: (α + β ).A = α.A + β.B , c´ t´ kˆt ho.p: ´ ´ v´ o eo a eo o ınh e . . . α.(β · A) = (α.β ) · A. ıch ’ + T´ cua hai ma trˆn A = (ai,j )m×n v` B = (bj,k )n×q l` ma trˆn a a a a . . C = A × B = (ci,k )m×q , v´.i o n ci,k = ai,j bj,k , ∀i = 1, m, ∀k = 1, q. j =1 V´ du. ı.      13 2 13 1.1 + 3.1 + 2.3 1.3 − 3.1 + 2.2 10 4 2 4  ×  1 −1  =  2.1 + 4.1 + 7.3 2.3 − 4.1 + 7.2  =  27 16  7 35 6 32 3.1 + 5.1 + 6.3 3.3 − 5.1 + 6.2 26 16
  3. 3 + Ph´p nhˆn hai ma trˆn c´ t´ kˆt ho.p: A × (B × C ) = (A × B ) × C , t´ phˆn ´. e a a o ınh e ınh a . .i ph´p cˆng: ´´ phˆi d oi v´ o ¯ˆ o eo . A × (B + C ) = A × B + A × C ; (A + B ) × C = A × C + B × C. Ngo`i ra, nˆu A c´ c˜. m × n, th` ´ a e oo ı A × In = Im × A = A. II. Dinh th´.c -. u .’ a * Cho E = {1, 2, 3, . . . , n}. Ta goi ho´n vi cu a tˆp E l` mˆt song ´nh f : E → E , a ao a . . . k´ hiˆu ye . 1 2 ... n f: f (1) f (2) . . . f (n) hay (f (1), f (2), . . . , f (n)) ´ oa ’ (c´ tˆ t ca n! ho´n vi kh´c nhau). a.a V´ du. Cho E = {1, 2, 3}. Anh xa f : E → E x´c d .nh bo.i: f (1) = 1, f (2) = 3, f (3) = 2 ´ ’ ı. a ¯i . a .’ l` mˆt ho´n vi cua E , k´ hiˆu l` ao yea . . 12 3 13 2 ho˘c a . (1, 3, 2). * Cho mˆt ho´n vi o a. . 1 2 ... n f: f (1) f (2) ... f ( n) ta th`nh lˆp c´c c˘p th´. tu. a aaa u. . . (f (i), f (j )), ∀i = j, s˜ c´ Cn c˘p th´. tu. nhu. thˆ; mˆt c˘p (f (i), f (j )) d .o.c goi l` nghich thˆ nˆu eo 2a ´´ ´.. ee u. eoa ¯u . .a . . (i − j )(f (i) − f (j )) < 0. Goi N (f ) l` sˆ c´c nghich thˆ cua ho´n vi f (c´ trong Cn c˘p th´. tu. trˆn). 2 ´ ´ e’ aoa a. o a u. e . . . ´ nghich thˆ cua ho´n vi ´’ V´ du. T` sˆ ı. ım o e a. . 12 3 45 f: . 32 1 54
  4. 4 T`. ho´n vi n`y, ta c´ c´c c˘p th´. tu. u a .a oa a u. . (3, 2), (3, 1), (3, 5), (3, 4), (2, 1), (2, 5), (2, 4), (1, 5), (1, 4), (5, 4), ´ trong d o ta c´ c´c nghich thˆ: ¯´ oa e . (3, 2), (3, 1), (2, 1), (5, 4), suy ra N (f ) = 4 * Cho ma trˆn (A)n,n . Dinh th´.c cu a A l` mˆt sˆ thu.c, k´ hiˆu v` x´c d inh nhu. -. ’ .´ u a aoo . y e a a ¯. . . sau: (−1)N (f ) a1,f (1) a2,f (2) . . . an,f (n) det(A) = f ∈Sn trong d ´ Sn l` tˆp tˆ t ca n! ho`n vi cua n phˆn tu. {1, 2, . . . , n}. Nhu. vˆy, d inh ´ ` aa a ’ a .’ a’ ¯o a ¯. . . .c cua ma trˆn A l` mˆt sˆ: ´ ’ th´ u a aoo . . + b˘ ng tˆ ng d . i sˆ cua n! hang tu. dang ’ ¯a o ’ ` ´ ’. a o . a1,f (1) a2,f (2) . . . an,f (n) + mˆi hang tu. l` t´ cua n phˆn tu. ai,j m` mˆi h`ng, mˆi cˆt phai c´ mˆt ˜ ˜ ˜. ` ’ a ıch ’ a’ ’oo o. aoa oo . . tham gia v`o t´ d ´. ` a’o a’ v` chı mˆt phˆn tu a ıch ¯o . + dˆ u cua mˆi hang tu. phu thuˆc v`o sˆ nghich thˆ cua ho´n vi tu.o.ng u.ng. ˜ ´’ ´ ´ ’ e’ a o. oao a. ´ . . . * Ta goi d inh th´.c cˆ p 2 l` gi´ tri t´ d u.o.c t`. bang 2 h`ng, 2 cˆt nhu. sau: ´ a a . ınh ¯ . u ’ ¯. u a a o . . a1,1 a1,2 = a1,1 a2,2 − a2,1 a1,2 a2,1 a2,2 * Ta goi d inh th´.c cˆ p 3 l` gi´ tri t´ d u.o.c t`. bang 3 h`ng, 3 cˆt nhu. sau: ´ a a . ınh ¯ . u ’ . ¯. u a a o . a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 = a1,1 a2,2 a3,3 + a2,1 a3,2 a1,3 + a3,1 a1,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3 − a3,1 a2,2 a1,3 − a2,1 a1,2 a3,3 − a1,1 a3,2 a2,3 + Dˆ t´ nhanh d .nh th´.c cˆ p 3, ta viˆt cˆt th´. nhˆ t v` th´. hai tiˆp theo v`o bˆn - e ınh ’ ´ ´. ´ ´ ¯i ua eo u aau e ae ’’ phai bang n´i trˆn: oe a1,1 a1,2 a1,3 a1,1 a1,2 a2,1 a2,2 a2,3 a2,1 a2,2 a3,1 a3,2 a3,3 a3,1 a3,2 . lˆ y dˆ u cˆng l` t´ c´c phˆn tu. n˘ m trˆn c´c d .`.ng ch´o song song ` `a ’´ ´ . `a ’a th` 3 phˆn tu a a o ı a ıch a e a ¯u o e .i d .`.ng ch´o ch´ . lˆ y dˆ u tr`. l` t´ c´c phˆn tu. n˘ m trˆn c´c ` ` a ’´ ´ ` a ’a v´ ¯u o o e ınh, ba phˆn tu a a u a ıch a ea .`.ng ch´o song song v´.i d .`.ng ch´o phu (quy t˘c Serrhus) ´ du o ¯ e o ¯u o e a .
  5. 5 * Ta goi d inh th´.c cˆ p n l` gi´ tri t´ d u.o.c t`. bang: ´ a a . ınh ¯ . u ’ . ¯. u a a1,1 a1,2 ... a1,n a2,1 a2,2 ... a2,n = a1,1 D1 − a2,1 D2 + · · · + (−1)n+1 an,1 Dn ... ... ... ... an,1 an,2 ... an,n trong d ´ Dk l` d .nh th´.c cˆ p n − 1 thu d .o.c t`. bang d a cho b˘ ng c´ch bo cˆt ` ´ ¯u . u ’ ’o ¯o a ¯i ua ¯˜ a a . th´. nhˆ t v` h`ng th´. k, k = 1, n. ´ u a aa u V´ du. ı. 1 4 5 2 33 1 45 2 4 52 4 52 0 3 3 1 = 1. 0 4 0 − 0. 0 4 0 + 2. 3 3 1 − 0. 3 3 1 = 14 2 0 4 0 02 1 02 1 0 21 0 40 0 0 2 1 Dinh th´.c khˆng thay d o i nˆu ta d ˆ i h`ng th`nh cˆt -. ’´ ’ + u o ¯ˆ e ¯o a a o . - inh th´.c d ˆ i dˆ u nˆu ta d ˆ i chˆ hai h`ng (ho˘c hai cˆt) v´.i nhau ’a e ’ ˜ u ¯o ´ ´ + D. ¯o o a a o o . . Dinh th´.c c´ hai h`ng (ho˘c hai cˆt) ty lˆ v´.i nhau nhau th` b˘ ng 0 -. ı` ’eo + uo a a o a . . . .a sˆ chung cua mˆt h`ng hay cˆt c´ thˆ d u.a ra ngo`i dˆ u cua d nh th´.c ’ u´ ´ ’ ¯i ’ + Th` o oa o o e¯ aa u . . . - inh th´.c khˆng thay d ˆ i nˆu ta d` ng th`.i cˆng v`o c´c phˆn tu. cua mˆt h`ng ’e ´ ` ’’ + D. u o ¯o ¯ˆo oo aa a oa . . (hay mˆt cˆt) n`o d ´ c´c phˆn tu. cua mˆt h`ng (hay mˆt cˆt) kh´c nhˆn v´.i c` ng ` a’’ oo a ¯o a oa oo a aou .. . .. .´ mˆt sˆ. oo V´ du. Giai phu.o.ng tr` ’ ı. ınh: 1 1 1 ... 1 1 1−x 1 ... 1 1 1 2−x ... 1 = 0. ... ... ... ... ... 1 1 1 ... n−x Dinh th´.c o. vˆ tr´i cua phu.o.ng tr` l` d th´.c bˆc n nˆn c´ khˆng qu´ n nghiˆm -. ´ u’ea’ ınh a ¯a u a eoo a e . . kh´c nhau. Thay x = 0, x = 1, x = 2, . . . , x = n − 1 v`o d .nh th´.c, ta luˆn c´ hai a a ¯i u oo h`ng v´.i c´c phˆn tu. b˘ ng 1, nˆn d inh th´.c b˘ ng 0. Vˆy phu.o.ng tr` c´ n nghiˆm ` ` ` a ’a a oa e ¯. ua a ınh o e . . x = 0, x = 1, x = 2, . . . , x = n − 1. * Dinh th´.c cua ma trˆn vuˆng A = (ai,j )n×n , k´ hiˆu det(A) l` d .nh th´.c cˆ p n -. ´ ’ u a o ye a ¯i ua . . ’ ’ cua bang a1,1 a1,2 . . . a1,n a2,1 a2,2 . . . a2,n ... ... ... ... an,1 an,2 . . . an,n ´ v` c´ t´ chˆ t: a o ınh a + det(αA) = αn . det(A) + det(A × B ) = det(A). det(B ) III. Ma trˆn nghich d ’ o a ¯a . .
  6. 6 * Ma trˆn A = (ai,j )n×n d u.o.c goi l` ma trˆn kha nghich nˆu tˆn tai ma trˆn A−1 ’ e`. ´o a a ¯. .a a . . . . sao cho: A × A−1 = A−1 × A = In . Khi d o, ma trˆn A−1 d u.o.c goi l` ma trˆn nghich d a o cua A. ¯’ ’ a ¯´ a ¯. .a . . . ’ a’ + Ma trˆn A kha nghich khi v` chı khi a . . det A = 0. * Cho A = (ai,j )m×n . Mˆt d inh th´.c con cˆ p k (1 ≤ k ≤ n) cua A l` mˆt d inh ´ ’ o ¯. u a a o ¯. . . .c tao th`nh t`. ma trˆn A b˘ ng c´ch bo d i m − k h`ng v` n − k cˆt. ` ’¯ th´ . u a u a a a a a o . . ´ ’ * Cho ma trˆn vuˆng cˆ p n kha nghich a o a . .   a1,1 a1,2 ... a1,n a a2,n  a2,2 ... A =  2,1  ... ... ... ... an,1 an,2 ... an,n Phˆn b` d ai sˆ cua phˆn tu. ai,j , l` sˆ Ai,j = (−1)i+j Di,j trong d ´ Di,j l` d inh ` ´ ` ´ u ¯. o ’ a’ a ao ¯o a ¯. .c cˆ p n − 1 cua bang thu d u.o.c t`. ma trˆn A b˘ ng c´ch gach bo h`ng th´. i v` ` u´ ’ ’ ’a th´ a ¯. u a a a u a . . cˆt th´. j . o u . ´ ’ + Cho A l` ma trˆn vuˆng kha nghich cˆ p n v` ∆ = det A = 0. Khi d o ma trˆn a a o a a ¯´ a . . . ’ o cua A d u.o.c x´c d .nh mˆt c´ch duy nhˆ t bo.i: ´’ ’ nghich d a .¯ ¯ . a ¯i oa a . 1 T A−1 = Ai,j ∆  A1,1 A2,1 Dn,1 ... 1  A1,2 A2,2 Dn,2  ...   = ∆  ... ...  ... ... A1,n A2,n ... Dn,n . ¯’ ’ V´ du. Ma trˆn nghich d ao cua ı. a .   1 −1 1 A = 2 1 1 1 12 l`: a   1 3 −2 1 1 A−1 = −3 1 5 1 −2 3 v` ı: ∆ = det A = (1)(1)(2)+(2)(1)(1)+(1)(−1)(1)−(1)(1)(1)−(2)(−1)(2)−(1)(1)(1) = 5 = 0
  7. 7 v`: a 11 21 21 A1,1 = (−1)1+1 = 1; A1,2 = (−1)1+2 = −3; A1,3 = (−1)1+3 = 1; 12 12 11 −1 1 1 1 1 −1 A2,1 = (−1)2+1 = 3; A2,2 = (−1)2+2 = 1; A2,3 = (−1)2+3 = −2 1 2 1 2 1 1 −1 1 1 1 1 −1 A3,1 = (−1)3+1 = −2; A3,2 = (−1)3+2 = 1; A3,3 = (−1)3+3 =3 1 1 2 1 2 1 ´ + T´ chˆ t: ınh a 1 −1 − Cho A kha d ao v` k = 0, th` (kA)−1 = ’ ¯’ a ı: A k − Cho A, B c` ng cˆ p v` kha d ao, th` (A × B )−1 = B −1 × A−1 ´ ’ ¯’ u aa ı: −1 − Cho A kha d ao th` A c˜ ng kha d ao v` A−1 −1 ’ ¯’ ’ ¯’ a ı u =A ’ ` Phˆn I.4: Hang cua ma trˆn a a . . ’ ´ ´ a’a * Ta goi hang cu a ma trˆn A = (ai,j )m×n , k´ hiˆu r(A) l` cˆ p cao nhˆ t cua c´c a ye aa .. . . .c con kh´c 0 cua A. ’ d inh th´ ¯. u a ’ a ma trˆn 0m×n l` 0, hang cua ma trˆn A = (a) v´.i a = 0 l` 1. ’ + Hang cu a a a o a . . . . + Hang cua ma trˆn khˆng thay d ˆ i qua c´c ph´p biˆn d ˆ i so. cˆ p sau d ˆy: ’ ’ ´ ´ ’ a e e ¯o a a o ¯o ¯a . . - ˆ i chˆ hai h`ng ho˘c hai cˆt cho nhau; ’ ˜ a. Do o a a o . . b. Nhˆn mˆt h`ng (hay mˆt cˆt) v´.i mˆt sˆ kh´c 0; .´ a oa oo o ooa . .. c. Cˆng v`o mˆt h`ng (hay mˆt cˆt) v´.i mˆt h`ng (hay mˆt cˆt) kh´c nhˆn o a oa oo o oa oo a a . . .. . .. v´.i mˆt sˆ. ´ o oo . Dˆ t` hang cua ma trˆn Amtimesn , c´ thˆ d` ng c´c phu.o.ng ph´p sau: - e ım . ’ ’ ’ a o eu a a . .o.ng ph´p theo d inh ngh˜ t´ c´c d inh th´.c con t`. cˆ p 2 tro. lˆn. Gia ´ ’e ’ + Phu a ¯. ıa: ınh a ¯. u ua . ma trˆn c´ 1 d nh th´.c con cˆ p r kh´c 0, t´ tiˆp c´c d inh th´.c cˆ p r + 1, nˆu ´ ´ ´ ´ ’ su a o ¯i u a a ınh e a ¯. ua e . . tˆ t ca d` u b˘ ng 0 th` kˆt luˆn hang ma trˆn l` r, nˆu c´ d inh th´.c cˆ p r + 1 kh´c e` ´ ´a ´ ´ a ’ ¯ˆ a ıe aa e o ¯. ua a . . . 0 th` t´ tiˆp c´c d inh th´.c cˆ p r + 2, c´. nhu. thˆ dˆn d .nh th´.c cˆ p l´.n nhˆ t ´ ´ ´´ ´ ´ ı ınh e a ¯. ua u e ¯e ¯i uao a ’ V´ du. T` hang cua ma trˆn ı. ım . a .   1235 A = 3 2 4 9 1014 12 Ta c´ d .nh th´.c con cˆ p 2: = −4 = 0, v` c´c d .nh th´.c cˆ p 3: ´ ´ o ¯i u a a a ¯i ua 32 12 3 1 2 5 1 35 2 3 5 32 4 = 0; 3 2 9 = 0; 3 4 9 = 0; 2 4 9 =0 10 1 1 0 4 1 14 0 1 4 suy ra r(A) = 2
  8. 8 + Phu.o.ng ph´p d`ng ph´p biˆn d ˆ i so. cˆ p: biˆn d ˆ i ma trˆn vˆ dang bˆc ’ ’ ´ ´ ´ a`. a u e e ¯o a e ¯o e a . . thang   b1,1 b1,2 . . . b1,r . . . b1,n 0 b2,2 . . . b2,r . . . b2,n     ... ... ... ... ... ...  B =  0 0 . . . br,r . . . br,n    0 0 ... 0 ... 0 0 0 ... 0 ... 0 v´.i bi,j = 0, ∀i > j hay i > r v` bii = 0, i = 1, r th` r(A) = r(B ) = r. o a ı V´ du. T` hang ma trˆn ı. ım . a .   1 3 2 0 5 2 12  6 9 7 A=  −2 −5 2 4 5 1 4 8 4 20     1 3 2 0 5 13 2 0 5 0 2  h4−h3;h2↔h3  0 1 15  0 5 7 6 4 h2−2h1;h3+2h1;h4−h1     A −→ −→ 0 1 6 4 15 00 5 7 2 0 1 6 4 15 00 0 0 0 suy ra r(A) = 3 + Ngo`i ra, c´ thˆ t` ma trˆn nghich d a o qua c´c ph´p biˆn d ˆ i so. cˆ p: ’ ’ ¯’ ´ ´ o e ım a a e e ¯o a a . . . v´.i A, thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn d o i so. cˆ p CHI ’ ’ ´ ´ ´ lˆp ma trˆn khˆi A|E (E c` ng c˜ o a a o u o ea e e ¯ˆ a . . . . TREN HANG, nˆu d .a d .o.c vˆ dang E |B th` B l` nghich d ao cua A. ˆ ` e ¯u ¯u . ` . ´ . ¯’ ’ e ı a    1 −1 1 | 1 0 0 1 −1 1 | 1 0 0 h2−2h1,h3−h1 V´ du. A|E =  2 1 1 | 0 1 0   0 3 −1 | −2 1 0  ı. −→ 1 1 2|001 02 1 | −1 0 1     1 −3 0 | 2 0 −1 h2( 1 ) 1 −3 0 | 2 0 −1 h1−h3,h2+h3  0 5 0 | −3 1 1  −→  0 1 0 | −3/5 1/5 1/5  5 −→ 0  1 | −1 0 1 2 0 2 1 | −1 0 1 1 0 0 | 1/5 3/5 −2/5 h1+3h2,h3−2h2 1/5  thu d u.o.c kˆt qua nhu. c˜ .  0 1 0 | −3/5 1/5 ´ ’ −→ ¯. e u 0 1 1 | 1/5 −2/5 3/5 ` ˆ BAI TAP . ınh, ch´.ng minh c´c d inh th´.c sau chia hˆt cho 17: ´ 1.1. Khˆng t´ o u a ¯. u e 2 0 4 3 2 3 5 2 7; 20 9 1 2 5 5 55 2 5 1.2. Ch´.ng minh c´c d ang th´.c sau d ˆy (khˆng t´ d .nh th´.c b˘ ng d .nh ngh˜ ’ u` u a ¯˘ u ¯a o ınh ¯i a ¯i ıa):
  9. 9 0xyz 01 1 1 1 0 z2 y2 x0zy v´.i xyz = 0 a. = o 1 z 2 0 x2 yz0x 1 y 2 x2 0 xyz0 1 x yz b. 1 y zx = (x − y )(y − z )(z − x) 1 z xy 1 11 c. xy z = (x + y + z )(x − y )(y − z )(z − x) x3 y 3 z 3 1.3. T` x sao cho: ım 3 3 − x −x x x+1 x+2 a. 2 7 3 =0 b. x + 3 x + 4 x+5 =0 x + 1 3x − 7 x x+6 x+7 x+8 2 1xx x 12 c. 3 1 x 0 451 x + 1 2 −4 x 1 1 1 1 0 1 1 0 1 x x x 1 x 1 1 1 0 0 1 1 1 a 0 0 1.4. T´ c´c d .nh th´.c sau: ınh a ¯i u ; ; 1 1 x 1 1; 1 0 0 1 1 0 b 0 1 1 1 x 1 1 1 0 0 1 0 0 c 1 1 1 1 x x2 x3 1 x x2 + 1 a+x x x xy xz x3 x2 x 1 y2 + 1 a b+x x; xy yz ; ; 2x 3x2 4x3 1 2 x x c+x xz yz z +1 4x3 3x2 2x 1 a x x −x −x 0 x y z 2 x 1 x x 0 y 0 x 2a a 0 0 x 0 z y 1 x 2 x 0 z 0 t ; ; ; x a 2a 0 0; y z 0 x 2 1 x x y 0 z 0 −x 0 0 2a a x y z 0 x x 2 1 0 t 0 x −x 0 0 a 2a 1 2 3 ... n x a a ... a 2 1 2 ... n−1 a x a ... a 3 2 1 ... n−2 ; a a x ... a; ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... n n−1 n−2 ... 1 a a a a x 0 1 1 ... 1 1 cos(x1 − y1 ) cos(x1 − y2 ) ... cos(x1 − yn ) 1 0 x ... x x cos(x2 − y1 ) cos(x2 − y2 ) ... cos(x2 − yn ) 1 x 0 ... x x ; ; ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... cos(xn − y1 ) cos(xn − y2 ) ... cos(xn − yn ) 1 x x ... 0 x 1 x x ... x 0
  10. 10 a1 −a2 0 ... 0 0 1 + x1 y1 1 + x1 y2 ... 1 + x1 yn 0 a2 −a3 ... 0 0 1 + x2 y1 1 + x2 y2 ... 1 + x2 yn 0 0 a3 ... 0 0 ; ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 + xn y1 1 + xn y2 ... 1 + xn yn 0 0 0 ... an−1 −an 1 1 1 ... 1 1 + an     2 1 2 1 −2 3  v` B =  4 6 . T` A2 , AB, A−1 . 1.5. Cho A = 0 1 a ım 0 1 2 5 −3 n n n 2 −1 a 1 cos x − sin x 1.6. T` c´c ma trˆn ım a a ; ; . 3 −2 0 a sin x cos x 1 2 . T` f (A) v´.i f (x) = x2 − 4x + 3, f (x) = x2 − 2x + 1. 1.7. Cho A = ım o 2 1 1.8.     211 1 2 −2 a. Cho A =  3 1 2  v` B =  2 3 1 . a 1 −1 0 12 2 1. T` A−1 , B −1 . ım 2. T` f (A), f (B ) v´.i f (x) = x2 − x − 1 ım o     2 1 00 1 3 −5 7 3 2 0 0  0 1 2 −3  . ¯’ ’ b. T` ma trˆn nghich d ao cua A =  ; B= . ım a . 1 1 34 00 1 2 2 −1 2 3 00 0 1 1.9. a. T` ma trˆn vuˆng cˆ p hai c´ b` phu.o.ng b˘ ng ma trˆn khˆng. ` ´ ım a o a o ınh a a o . . .o.ng b˘ ng ma trˆn d .n vi. ` ´ b. T` ma trˆn vuˆng cˆ p hai c´ b` phu ım a o a o ınh a a ¯o . . . 1.10. T` ma trˆn X sao cho: ım a. 12 35 3 −2 −1 2 ×X = ; X× = ; 34 5 9 5 −4 5 6      1 2 −3 1 −3 0 1 1 −1 1 −1 3  3 2 −4 ×X =  10 2 7 ; X × 2 1 0  =  4 3 2 ; 2 −1 0 10 7 8 1 −1 1 1 −2 5 21 −3 2 −2 4 ×X × = ; 32 5 −3 3 −1 41 21 50 ×X × = ; 3 −1 53 61   111  0 1 1  − 2 2 1 −1 = 1 05 X× ; 30 6 −1 −2 1 001       122 35 15  2 5 4  × X +  7 6  = 3  −1 2 ; 245 21 −2 0
  11. 11     1 1 1 ... 1 1 2 3 ... n 0 1 0 2 ... n − 1 1 1 ... 1     0 1 ×X = 0 1 . . . n − 2 . 0 1 ... 0     ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 1 0 0 0 ... 1 ’ 1.11. T` hang cua ma trˆn sau: ım . a .       2111 2 1 11 2 1 3 205 1 3 1 1 1 4 −1    2 6 9 7 12  0  1 1 4 1 ; ; ;   11 4 56 −5 −2 −5 2 4 5   1115 2 −1 5 −6 1 4 8 4 20 1111     1 2 3 14   3 1 −3 1 1  3 2 1 11  13 5 7 91    2 −1 7 −3 2   1 −2 3 −4 5 2 ;  6 ; 11 1   1 3 −2 5 3   2 3 −1 5 2 11 12 25 22 4 3 −2 7 −5 3 11 0 3 ´ 1.12. Biˆn luˆn theo a sˆ hang ’ a c´c ma trˆn sau:  e a o . cu a  a . . .   −1 2 1 1 a −1 2 a114 2 ;  2 −1 a 5 ;  1 a 1 3 ; a −2 3 −6 (a + 3)(a + 7) 1 10 −6 1 1 2a 1 4       3114 1436 1 2 −1 3 2  2 −1 a2 0 4   a 4 10 1   −1 0 1 1  ; ;     1 7 17 3 2 1 −1 0 31 2 27 2243 02a4 12 a 11 ’ a.’ 1.13. T` c´c gi´ tri cua m dˆ: ım a ¯e   34 5 71  2 6 −3 4 2  a. r(A) = 2 v´.i A =   o 4 2 13 10 0 5 0 21 13 m   1 2 3 −1 1  3 2 1 −1 1 b. r(A) = 3 v´.i A =   o 231 1 1 5 5 2 0 2m + 1   1436  −1 0 1 1  c. r(A) = 3 v´.i A =  o  2 1 −1 0 02m4   3114  m 4 10 1  d. r(A) = 2 v´.i A =  o  1 7 17 3 2243   m111 1 1 m 1 e. r(A) = 2 v´.i A =  o  111m 1m11
  12. 12 -ooOoo-
  13. 13 .. Chu.o.ng 2. HE PHU O NG TR` ´ ˆ INH TUYEN T´ ˆ INH (2+2) . I. C´c d .nh ngh˜ a ¯i ıa * Ta goi hˆ phu.o.ng tr` e ınh m phu.o.ng tr` ’ ´ .e ınh tuyˆn t´ ınh n ˆ n l` hˆ c´ dang a aeo . . .  a1,1 x1 + a1,2 x2 + · · · + a1,n xn = b1     ... (1)  a2,1 x1 + a2,2 x2 + · · · + a2,n xn = b2    am,1 x1 + am,2 x2 + · · · + am,n xn = bm trong d o ai,j , bi (i = 1, m, j = 1, n) l` c´c hˆ sˆ (thu.c ho˘c ph´.c), x1 , x2 , . . . , xn l` c´c .´ ¯´ aa eo a u aa . . ’n sˆ. Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ d u.o.c goi l` c´ nghiˆm (hay tu.o.ng th´ ) nˆu ´ ´ ´ .ao e ıch e a ˆo e ınh e ınh ¯ . . . ˜ ’oao tˆp nghiˆm cua n´ kh´c rˆng. a e . . + Hˆ (1) c´ thˆ d u.o.c viˆt du.´.i dang ma trˆn AX = B trong d ´: ’ ´ e o e¯ . e o. a ¯o . .       a1,1 a1,2 . . . a1,n x1 b1 a a2,2 . . . a + 2, n  X =  x2 ; B =  b2  hay A =  2,1 ; ... ... ... ... . . .x .b .n .m am,1 am,2 . . . am,n   a1,1 a1,2 . . . a1,n b1 a a2,2 . . . a + 2, n b2  du.´.i dang ma trˆn mo. rˆng: A =  2,1 ’o , khi d o hang o. a ¯´ . . . ... ... ... ... ... am,1 am,2 . . . am,n bm r(A) cua A d u.o.c goi l` hang cu a hˆ phu.o.ng tr` ’ ’ e ınh (1) ¯. a. . . II. Hˆ Cramer e . * Hˆ (1) c´ sˆ phu.o.ng tr` b˘ ng sˆ nghiˆm (m = n) v` d .nh th´.c det(A) = 0 d u.o.c ` ´ ´ e oo ınh a o e a ¯i u ¯. . . goi l` hˆ Cramer. .ae . Di + Hˆ Cramer c´ nghiˆm duy nhˆ t d u.o.c x´c d .nh nhu. sau: ∀i = 1, n, xi = ´ e o e a ¯ . a ¯i , trong . . D d ´ D = det(A), c`n Di l` d inh th´.c thu d .o.c t`. D b˘ ng c´ch thay cˆt th´. i b˘ ng ` ` ¯o o a ¯. u ¯u . u a a o u a . . do. . .´ cˆt hˆ sˆ tu o eo.  x1 + 2x2 + 3x3 = 6  ’e V´ du. Giai hˆ: ı. .  2x1 − x2 + x3 = 2  3x1 + x2 − 2x3 = 2 12 3 ´ Do D = 2 −1 1 = 30 = 0, hˆ c´ nghiˆm duy nhˆ t (1, 1, 1): eo e a . . 3 1 −2 62 3 16 3 126 1 1 1 x= 2 −1 1 = 1; y = 2 2 1 = 1; z = 2 −1 2 = 1 30 30 30 2 1 −2 3 2 −2 312 y` ’ III. C´c d .nh l´ vˆ nghiˆm cua hˆ (Kronecker-Kapeli) a ¯i e e e . . .o.ng th´ a’ + (1) c´ nghiˆm (tu o e ıch) khi v` chı khi r(A) = r(A). . ´ a’ + (1) c´ nghiˆm duy nhˆ t (x´c d inh) khi v` chı khi r(A) = r(A ) = n. o e a a ¯. . ´u r(A) = r(A ) = r < n th` (1) c´ vˆ sˆ nghiˆm v` c´c th`nh phˆn nhiˆm phu ´ ` + nˆ e ı ooo e aa a a e . . . ´ thuˆc n − r tham sˆ tu` y. o o y´ .
  14. 14   ax1 + x2 + x3 = 1  ´ nghiˆm cua hˆ: ’e V´ du. Biˆn luˆn theo a sˆ ı. e a o e .  x1 + ax2 + x3 = 1 . . .  x1 + x2 + ax3 = 1 . cˆ p d e x´c d inh hang cua A v` A ’ ’ ´ ´ ’ D` ng c´c ph´p biˆn d o i so a ¯ˆ a ¯.  . u a e  ¯ˆ e a  a11|1 11a|1 h1↔h3 A =  1 a 1 | 1  −→  1 a 1 | 1  1 1 a | 1 a 1 1 | 1   1 1 a | 1 1 1 a | 1 h2−h1 h3+h2 −→  0 a − 1 1 − a | 0  −→  0 a − 1 0 1−a | h3−ah1 2 2 0 1−a 1−a | 1−a 0 0 2−a−a | 1−a ´u 2 − a − a2 = 0, c´ 2 .`.ng ho.p: + Nˆ e o tru o .  111|1 a = 1 th` A −→  0 0 0 | 0  ⇒ r(A) = r(A ) = 1 < 3, hˆ c´ vˆ sˆ ´ ı: eooo . 000|0 ´ nghiˆm phu thuˆc 2  e o tham sˆ tu` y. o y´ . . .  1 1 −2 | 1 a = −2 th` A −→  0 −3 3 | 0  ⇒ r(A) = 2 < r(A = 3, hˆ vˆ ı: eo . 00 0 |3 nghiˆm. e. ´u 2 − a − a2 = 0 ⇔ a = 1, a = −2, th` r(A) = r(A ) = 3, hˆ c´ nghiˆm duy nhˆ t. ´ + Nˆ e ı eo e a . . IV. Phu.o.ng ph´p giai hˆ ’e a . ´n d o i so. cˆ p cho hˆ tu.o.ng d .o.ng (tu.o.ng u.ng v´.i c´c ph´p biˆn d o i ’ ’ ´ ´ + C´c ph´p biˆ ¯ˆ a e e a e ¯u ´ oa e e ¯ˆ . . rˆng): ’ ’. theo h`ng cua ma trˆn mo o a a. - ˆ i chˆ hai phu.o.ng tr` cho nhau (d ˆ i chˆ hai h`ng cua ma trˆn) ’ ’ ˜ ˜ ’ − Do o ınh ¯o o a a. .o.ng tr` n`o d ´ v´.i mˆt sˆ kh´c 0 (nhˆn c´c phˆn tu. ´ ´ ` e’ a’ − Nhˆn hai vˆ cua phu a ınh a ¯o o ooa aa . .i mˆt sˆ kh´c 0) .´ ’ trˆn mˆt h`ng cua ma trˆn v´ e oa ao ooa . . − Cˆng t`.ng vˆ cua mˆt phu.o.ng tr` v´.i mˆt phu.o.ng tr` kh´c nhˆn v´.i ´ e’ o u o ınh o o ınh a ao . . . .i bˆi sˆ mˆt h`ng kh´c) .´. o.´. mˆt sˆ (cˆng mˆt h`ng v´ o o o a ooo oa a . ´ 1. Ap dung d inh l´ Carmer ¯. y . Nˆu hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ l` hˆ Cramer, c´ thˆ ´p dung d .nh l´ Carmer ’ ´e ´ e ınh e ınh a e o ea ¯i y . . . −1 −1 ho˘c t` ma trˆn A , suy ra X = A B . a ım a . .   2x + 3y + 2z = 9  V´ du. Giai b˘ ng phu.o.ng ph´p ma trˆn nghich d ao: ` ’a ¯’ ı. a a x + 2y − 3z = 14 . .   3x + 4y − z = 16 23 2 ` ea Do det(A) = 1 2 −3 = −6 = 0 nˆ hˆ l` Cramer. e. 34 1     A1,1 A2,1 A3,1 14 5 −13 1 1 V´.i A−1 = A1,2 A2,2 A3,2  = 8 o −10 −4 det(A) −6 −2 1 1 A1,3 A2,3 A3,3        x=2  14 5 −13 9 2 1   14  =  3 , suy ra −1 nˆn X = A B = − e −10 −4 8 y=3  6  −2 1 1 16 −2 z = −2.
  15. 15 2. Phu.o.ng ph´p Gauss (khu. dˆn ˆ n sˆ) a’ ’`a ´ a o . cˆ p theo c´c h`ng, biˆn d o i ma trˆn mo. rˆng A th`nh ’ ’ ´ ´ ´ ’o D` ng c´c ph´p biˆn d o i so a u a e e ¯ˆ aa e ¯ˆ a a . . . 0 (nhu. ma trˆn bˆc thang), khi d ´ r(A ) = r(A ) v` ` ` ’ ma trˆn A1 c´ nhiˆu phˆn tu a o e a a a ¯o a . . . 1 r(A) = r(A1 ). ´ + nˆu r(A1 ) < r(A1 ), th` hˆ vˆ nghiˆm e ıeo e . . + nˆu r(A1 ) = r(A1 ) = r th` lˆp hˆ phu.o.ng tr` m´.i (tu.o.ng d .o.ng hˆ d ˜ cho) sau ´ e ıa e ınh o ¯u e ¯a . . . kho bo c´c h`ng m` moi phˆn tu. d` u b˘ ng 0. Giai hˆ n`y (r phu.o.ng tr` ’ e` ` ’a a a ’ ¯ˆ a ’ ea a. ınh, n ˆ n a . . ban v` n − r ˆ n khˆng co. ban (thay b˘ ng tham sˆ tu` ’ ’ o` ` ´a ´ sˆ) b˘ ng c´ch chon r ˆ n co ’ a ’ a a a o a oy . ´u r = n th` hˆ c´ nghiˆm duy nhˆ t. ´ y), nˆ ´ e ıeo e a . . V´ du. Giai c´c hˆ phu.o.ng tr` sau: ’ae ı. ınh .  x1 − 3x2 + 2x3 = −1  x1 + 9x2 + 6x3 = 3   x1 + 3x2 + 5x3 = 1       1 −3 2 −1 1 −3 2 1 1 −3 2 −1 h2 ×1/2 h2 −h A =  1 9 6 3  −→1  0 12 4 4  −→  0 3 1 1 , h3 −h1 h3 −h2 1351 0 6 32 0010     x1 = 0  x1 − 3x2 + 2x3 = −1  x1 = −1 + 3x2 − 2x3    1 suy ra 3x2 + x3 = 1 ⇒ 3x2 = 1 − x3 ⇒ x2 =    3    x3 = 0 x3 =0 x3 = 0   x1 − 3x2 + 2x3 − x4 = 2  2x1 + 7x2 − x3 = −1   4x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 1     1 −3 2 −1 2 1 −3 2 −1 2 h −2h1 h3 −h B =  2 7 −1 0 −1  2 −→  0 13 −5 2 −5  −→2 h3 −4h1 4 1 3 −2 1  0 13 −5 2 −7 1 −3 2 −1 2  0 13 −5 2 −5  = B1 . Do r(B ) = r(B1 ) = 2 < 3 = r(B1 ) = r(B ), hˆ e . 00 0 0 −2 vˆ nghiˆm. o e.   x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 = 1    2x − x + 2x − x = 0 1 2 3 4  5x1 + 3x2 + 8x3 + x4 = 1    4x1 + 9x2 + 10x3 + 5x4 = 2     15 4 31 15431  2 −1 2 −1 0  h3 −h1 −2h2  2 −1 2 −1 0  C=    −→ 53 8 1 1 h4 −2h1 −h2 0 0 0 0 0 4 9 10 5 2 00000 1 5 4 3 1 h2 −2h1 , t´.c l`: −→ ua 0 −11 −6 −7 −2 ’ bo h3 ,h4
  16. 16 x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 =1 −11x2 − 6x3 − 7x4 = −2.  14 2 1  x1 = − α + β +    11 11 11   6 7 2 x2 = − α − β + Chon x3 = α, x4 = β , ta suy ra: .  11 11 11   x3 = α    x4 = β   ax + y + z = 1  ’ae V´ du 2. Giai v` biˆn luˆn theo a: ı. a x + ay + z = a . .   x + y + az = a2       1 1 a a2 a2 a111 1 1 a h3 ↔h h2 −h A =  1 a 1 a  −→ 1  1 a 1 a  −→1  0 a − 1 1 − a a − a2  h3 −ah1 1  a a2 2 3 1 a111  0 1−a 1−a 1−a a2 1 1 a h3 +h2 −→  0 a − 1 , suy ra: a − a2 1−a 2 2 3 0 0 2−a−a 1+a−a −a ´u 2 − a − a2 = 0 ⇔ (a = 1) ∨ (a = −2) * Nˆ e + Nˆu a = 1, th` A → (1 1 1 1), tu.o.ng d u.o.ng v´.i x + y + z = 1 nˆn c´ vˆ sˆ nghiˆm ´ ´ e ı ¯ o e ooo e . .i α, β tu` y. dang (1 − α − β ; 1; 1) v´ o y´ .   1 1 −2 4 + Nˆu a = −2, th` A →  0 −3 3 −6  suy ra r(A) = 2 < 3 = r(A ) nˆn hˆ vˆ ´ e ı e eo . 00 0 3, nghiˆm.e. ´u 2 − a − a2 = 0 ⇔ (a = 1) ∧ (a = −2) * Nˆ e   a2 11 a h :a−1  0 1 −1 −a , nˆn hˆ d ˜ cho tu.o.ng u.ng v´.i: A2 −→  e e ¯a ´ o (a + 1)2  . 2 h3 :2−a−a 00 1 a+2  a+1   x1 = −  2   x + y + az = a a−2      1 y − z = −a x2 = ⇔   a+2 (a + 1)2      z=  2  x = (a + 1) a−2 3 a+2   ax + y + z = 1  ’ae V´ du 3. Giai v` biˆn luˆn theo a, b: ı. a x + by + z = 3 . .   x + 2by + z = 4 a11 411 D = det(A) = 1 b 1 = (1 − a)b; Dx = 3 b 1 = −2b + 1; 1 2b 1 4 2b 1 a41 a14 Dy = 1 3 1 = 1 − a; Dz = 1 b 3 = 4b − 2ab − 1 141 1 2b 4
  17. 17 a=1 ´ ´ + Nˆu D = (1 − a)b = 0 ⇔ e , hˆ l` Cramer, c´ nghiˆm duy nhˆ t: ea o e a . . b=0   x = −2b + 1  1  (1 − a)b    1 x= 2 b     4b − 2ab − 1 x = 3 (1 − a)b    x+ y+z =1  x+ y +z = 4   + Nˆu a = 1, hˆ tro. th`nh: ´ e’a e x + by + z = 3 ⇔ (b − 1)y = −1 , th` ı:: .     x + 2by + z = 4  (2b − 1)y =0  x =2−α  x+y+z =0 1 ´ − Nˆu 2b − 1 = 0 ⇔ b = : e ⇔ y =2 , α tu` y. y´  2 y =2  z =α   x+ y+z =4 1 ´ − Nˆu 2b − 1 = 0 ⇔ b = : e (b − 1)y = −1 vˆ nghiˆm v` (b − 1)0 = −1 o e ı . 2 y =0  ax − y + z = 4  . th`nh: ´u b = 0, hˆ tro a ’ + Nˆ e e x + z = 3 vˆ nghiˆm o e . .   x +z =4 .o.ng tr` ´ ınh thuˆn nhˆ t ` ´ V. Hˆ phu e ınh tuyˆn t´ e a a . * Hˆ phu.o.ng tr` ´ ` ´ e ınh tuyˆn t´ e ınh thuˆn nhˆ t l` hˆ c´ dang a a aeo. . . AX = 0 (II) ´ (B l` ma trˆn to`n sˆ 0), khi d ´ r(A) = r(A ), hˆ luˆn luˆn c´ nghiˆm: a a ao ¯o eo oo e . . . .`.ng x = x = · · · = ` ´ ´ + nˆu r(A) = n, hˆ c´ nghiˆm duy nhˆ t nghiˆm tˆm thu o e a e eo e a . . . 1 2 xn = 0; ´ ´ ` a’ + nˆu r(A) < n, hˆ c´ vˆ sˆ nghiˆm, c´c th`nh phˆn cua nghiˆm phu thuˆc n − r(A) e eooo e a a e o . . . . . tham sˆ, nˆn c´ nghiˆm kh´c nghiˆm khˆng (nghiˆm khˆng tˆm thu.`.ng). ` ´ e o a o oeo e a e o . . . + V´.i hˆ c´ n phu.o.ng tr`ınh, n ˆ n sˆ, hˆ c´ nghiˆm khˆng tˆm thu.o.ng khi v` chı khi ’´. ` a’ o eo a o eo e o a . . .o.ng khi v` chı khi det(A) = 0. a` ´a a’ det(A) = 0 v` c´ nghiˆm duy nhˆ t tˆm thu ao e .   ax1 + x2 + · · · + xn−1 + xn = 0    x1 + ax2 + · · · + xn−1 + xn = 0   ’. ` V´ du. T` a dˆ hˆ ı. ım ¯e e ... = 0 c´ nghiˆm khˆng tˆm o e o a .    x1 + x2 + · · · + axn−1 + xn = 0    x1 + x2 + · · · + xn−1 + axn = 0. thu.o.ng
  18. 18 a 1 ... 1 1 1 a ... 1 1 det(A) = . . . . . . 1 1 ... a 1 1 1 ... 1 a a + n − 1 a + n −1 ... a + n −1 a +n − 1 1 a ... 1 1 h1 + hi = ... ... i=1 1 1 ... a 1 1 1 ... 1 a 1 1 ... 1 1 1 a ... 1 1 = (a + n − 1) . . . . . . 1 1 ... a 1 1 1 ... 1 a 1 1 ... 1 1 0 a − 1 ... 0 0 hi −h1 = (a + n − 1)(a − 1)n−1 = (a + n − 1) . . . ... i=1 0 0 ... a − 1 0 0 0 ... 0 a−1 a = 1−n Hˆ c´ nghiˆm khˆng tˆm thu.`.ng khi det(A) = 0 ⇔ ` eo e o a o . . a = 1. ´ + nˆu e (α1 ; α2 ; . . . ; αn−1 ; αn ) v` (β1 ; β2 ; . . . ; βn−1 ; βn ) a ’e l` nghiˆm cua hˆ (II) th` a e ı . . ∀h, k ∈ R : (hα1 + kβ1 ; hα2 + kβ2 ; . . . ; hαn−1 + kβn−1; hαn + kβn ) c˜ ng l` nghiˆm hˆ (II). u a e e . . + Tru.`.ng ho.p r(A) < n (sˆ ˆ n cua hˆ) th` r(A) ˆ n co. ban d u.o.c biˆu diˆn qua ´’ ’ ’ ˜ ’ ’ ¯. o oa e ı a e e . . . ban (lˆ y gi´ tri tu` y). Nˆu chon n − r(A) ˆ n khˆng co. ban ’ ’ ´ ´ n − r(A) ˆ n khˆng co ’ ’ a o a a . y´ e a o . .o.ng u.ng theo n − r(A) th`nh phˆn cua n − r(A) bˆ sˆ: ` ´ ’ tu ´ a a oo . (1; 0; 0; . . . ; 0); (0; 1; 0; . . . ; 0); (0; 0; 1; . . . ; 0); . . . ; (0; 0; 0; . . . ; 1) th` n − r(A) nghiˆm cu thˆ cua hˆ (II) d u.o.c goi l` mˆt hˆ nghiˆm co. ba n cu a ’ ’ ’ . e’ e .ao e e ı e ¯. . . . . . hˆ. e.   x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = 0    2x + 4x + 2x − x = 0 1 2 3 4 . ban cua V´ du. T` hˆ nghiˆm co ’ ’ ı. ım e e . .  x1 + 2x2 + 4x3 − 2x4 = 0    4x1 + 8x2 − 2x3 + x4 = 0.
  19. 19     1 2 −2 1 1 2 −2 1  2 4 2 −1  h2 −2h1  0 0 6 −3  h3 −h2 1 2 −2 1 u.ng A=  −→   −→ ´ 1 2 4 −2 0 0 6 −3 0 0 2 −1 h3 −h1 h2:2 0 0 6 −3 h4 −h2 h4 −4h1 4 8 −2 1 v´.i hˆ: oe . x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = 0 x1 = −2x2 ⇔ 2x3 − x4 = 0 x4 = 2x3 . + Chon (x2 , x3 ) = (1, 0), ta c´: nghiˆm (−2; 1; 0; 0) o e . . + Chon (x2 , x3 ) = (0, 1), ta c´: nghiˆm (0; 0; 1; 2) o e . . ’ i th´ c´ch t` ma trˆnghich d a o o. phˆn IV, chu.o.ng 1 ¯’ ’ ` * Gia ıch a ım a a . .  a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,n a a2,2 a2,3 . . . a2,n  Cho ma trˆn vuˆng A =  2,1  c´ det(A) = 0. X´t hˆ a o o ee . . ... ... an,1 an,2 an,3 . . . an,n n phu.o.ng tr` 2n ˆ n: ’ ınh a   a1,1 x1 + a1,2 x2 + a1,3 x3 + · · · + a1,n xn + xn+1 =0    a2,1 x1 + a2,2 x2 + a2,3 x3 + · · · + a2,n xn  + xn+2 =0  a3,1 x1 + a3,2 x2 + a3,3 x3 + · · · + a3,n xn + xn+3 =0    ..................    an,1 x1 + an,2 x2 + an,3 x3 + · · · + an,n xn + xn+1 =0 c´ dang ma trˆn o. a . A × X + X = 0 ⇔ A × X = −X (1)    xn+1 x1  x2   xn+2     v´.i X =  x3  v` X =  xn+3  o a . . . . . . xn x2n v` det(A) = 0, ∃A−1 nˆn: (1)⇔ X = −A−1 × X ⇔ X + A−1 × X = 0 (*) ı e   a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,n | 1 0 0 . . . 0  a2,1 a2,2 a2,3 . . . a2,n | 0 1 0 . . . 0    . ´ Hˆ c´ ma trˆn hˆ sˆ:  a3,1 a3,2 a3,3 . . . a3,n | 0 0 1 . . . 0  = (A|E ) eo a eo . .  ... ... ... an,1 an,2 an,3 . . . an,n | 0 0 0 . . . 1 ’ su. qua c´c ph´p biˆn d o i so. cˆ p trˆn c´c h`ng, ta d .a d u.o.c ma trˆn vˆ dang ’ ´ ´ a`. ’ Gia a e e ¯ˆ a eaa ¯u ¯ . .e   1 0 0 ... 0 | b1,1 b1,2 b1,3 ... b1,n 0 b2,n  1 0 ... 0 | b2,1 b2,2 b2,3 ...   0 b3,n  = (E |B ) 0 1 ... 0 | b3,1 b3,2 b3,3 ...   ... ... ... 0 0 0 ... 1 | bn,1 bn,2 bn,3 ... bn,n
  20. 20 u.ng v´.i hˆ: ´ oe .   x1 + b1,1 xn+1 + b1,2 xn+2 + b1,3 xn+3 + · · · + b1,n x2n =0     x2 + b2,1 xn+1 + b2,2 xn+2 + b2,3 xn+3 + · · · + b2,n x2n =0  x3 + b3,1 xn+1 + b3,2 xn+2 + b3,3 xn+3 + · · · + b3,n x2n =0    .........    xn + bn,1 xn+1 + bn,2 xn+2 + bn,3 xn+3 + · · · + bn,n x2n =0 c´ dang X + B × X = 0, suy ra B = A−1 o. ` ˆ BAI TAP.    3x − 5y + 2z + 4t = 2  2x + y − z = 1   ’ i c´c hˆ phu.o.ng tr` sau: 2.1. Gia a e ınh 7x − 4y + z + 3t = 5 x− y+z =2 .     5x + 7y − 4z − 6t = 3 4x + 3y + z = 3     x + y − 3z = −1  2x + 3y − z + 5t = 0  x − 2y + 3z − 4t = 4       3x − y + 2z − 7t = 0   2x + y − 2z = 1  y − z + t = −3  x + 2y − 3z = 1  4x + y − 3z + 6t = 0  x + 3y − 3t = 1          x+ y+ z =3 x − 2y + 4z − 7t = 0 −7y + 3z + 3t = −3    x − y + 2z − 3t = 1   x + 3y + 4z = 8   2x + y − 3z = 4     x + 4y − z − 2t = −2 x + 2y + z = 1 2x + y − z = 2    x − 4y + 3z − 2t = −2    2x + 6y − 5z = 4   3x − 3y + 2z = 11 x −y + 5z − 2t = −2 8   2x + 3y − z + t = 2  3x + 4y + 5z + 7t = 1  x + y + 5z = −7         2x + 3y + z = 4  2x + 6y − 3z + 4t = 2  x + 3y + z = 5  2x + 3y + 2z = 3  4x + 2y + 13z + 10t = 0  2x + y + z = 2          2x + 3y = 5  2x + 21z + 13t = 3  2x + 3y − 3z = 14   2x − 5y + 4z + 3t = 0  3x + y − 3z + t = 1  x + 2y + 3z − t = 1      3x − 4y + 7z + 5t = 0  2x − y + 7z − 3t = 2  3x + 2y + z − t = 1    4x − 9y + 8z + 5t = 0  x + 3y − 2z + 5t = 3  2x + 3y + z + t = 1          3x − 2y + 5z − 3t = 0 3x − 2y + 7z − 5t = 3 5x + 5y + 5z =2    8x + 6y + 5z + 2t = 21  x1 + x2 =1      3x + 3y + 2z + t = 10  x1 + x2 + x3   =4   4x + 2y + 3z + =8 x2 + x3 + x4 = −3     3x + 5y + z + t = 15     x3 + x4 + x5 = 2      7x + 4y + 5z + 2t = 18 x4 + x5 = −1  x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0    7x + 14x + 20x + 27x = 0 1 2 3 4   5x1 + 10x2 + 16x3 + 19x4 = −2   3x1 + 5x2 + 6x3 + 13x4 = 5 ’ae 2.2. Giai v` biˆn luˆn theo a c´c hˆ sau: a ae . . .
Đồng bộ tài khoản