intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Giáo trình về Xác suất thống kê

Chia sẻ: Dung Dung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:123

Thêm vào BST
Báo xấu
152
lượt xem 38
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sü ra íi cõa lý thuy¸t xác su§t b­t ¦u tø nhúng th÷ tø trao êi giúa hai nhà toán håc vi ¤i ng÷íi Pháp là Pascal (1632−1662) và Fermat (1601−1665) xung quanh cách gi£i áp mët sè v§n · r­c rèi n©y sinh trong các trò chìi cí b¤c mà mët quý tëc Pháp °t ra cho Pascal. Düa vào các thành tüu cõa lý thuy¸t xác su§t, thèng kê xây düng các ph÷ìng pháp ra quy¸t ành trong i·u ki»n thông tin không ¦y õ. Hìn 300 nam phát triºn ¸n nay nëi dung và các ph÷ìng pháp xác su§t và thèng kê toán...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình về Xác suất thống kê

  1. Giáo trình Xác suất thống kê
  2. "C n nh r ng môn khoa h c b t đ u t vi c xem xét các trò chơi may r i l i h a h n tr thành đ i tư ng quan tr ng nh t c a tri th c loài ngư i. Ph n l n nh ng v n đ quan tr ng nh t c a đ i s ng th c ra ch là nh ng bài toán c a lý thuy t xác su t" P.S. Laplace(1812) Chương m đ u 1. Gi i thi u v s ra đ i c a xác su t S ra đ i c a lý thuy t xác su t b t đ u t nh ng thư t trao đ i gi a hai nhà toán h c vĩ đ i ngư i Pháp là Pascal (1632 − 1662) và Fermat (1601 − 1665) xung quanh cách gi i đáp m t s v n đ r c r i n y sinh trong các trò chơi c b c mà m t quý t c Pháp đ t ra cho Pascal. D a vào các thành t u c a lý thuy t xác su t, th ng kê xây d ng các phương pháp ra quy t đ nh trong đi u ki n thông tin không đ y đ . Hơn 300 năm phát tri n đ n nay n i dung và các phương pháp xác su t và th ng kê toán r t phong phú, đư c ng d ng r ng rãi trong nhi u lĩnh v c t nhiên và xã h i khác nhau. 2. T ng quan v m i liên h gi a t ng th và m u M t t p h p các ph n t ho c các đ i tư ng c n nghiên c u đ rút ra m t k t lu n nào đó đư c g i là t ng th . T p h p con ho c m t ph n c a t ng th đư c s d ng đ đưa ra k t lu n v t ng th đư c g i là m u. Ví d 1. Chúng ta mu n nghiên c u chi u cao c a thanh niên Vi t Nam trong vòng 5 năm t 2004 − 2009. T ng th trong trư ng h p này là "toàn b thanh niên Vi t Nam". Th c t ta không th đo đư c chi u cao c a toàn b thanh niên Vi t Nam (ch ng h n như: đi u ki n kinh t , th i gian, nhân l c, v.v..) mà ch có th ch n ng u nhiên "m t b ph n thanh niên Vi t Nam", b ph n này đư c g i là m u Mu n t k t qu c a m u suy ra k t qu cho t ng th t t thì m u ph i đ i di n đư c cho t ng th , mu n v y thì m u ph i đư c l y m t cách ng u nhiên. Ví d 2. Xét đi m thi c a toàn th sinh viên Khoa Kinh T khi thi k t thúc môn XSTK thì t ng th là toàn b đi m thi c a sinh viên Khoa Kinh T . N u ch n ng u nhiên t m i l p ra 10 sinh Trang 1
  3. viên đ kh o sát đi m thi thì t p h p t t c đi m thi c a các sinh viên này là m t m u (đ i di n cho đi m thi c a toàn b sinh viên Khoa Kinh T ). D a vào m u này ta có th rút ra m t s k t lu n như: Đi m trung bình môn thi XSTK c a toàn b sinh viên Khoa Kinh T , Đ phân tán đi m thi môn XSTK c a toàn b sinh viên Khoa Kinh T v.v.. S lư ng ph n t c a t ng th g i là kích thư c c a t ng th (có th vô h n). S lư ng ph n t c a m u g i là kích thư c m u (c m u), kí hi u là n. M i quan h gi a t ng th và m u 3. M t vài cách trình bày v b ng s li u c a m u 3.1. B ng phân ph i t n s Giá tr quan sát (xi ) x1 ... x2 xn S l n (fi ) ... f1 f2 fn 3.2. B ng phân ph i t n s ghép l p a1 − a2 a2 − a3 an−1 − an Giá tr quan sát ... S l n (fi ) ... f1 f2 fn xi giá tr đ i di n c a nhóm i đư c tính theo công th c sau amin + amax (1) xi = 2 trong đó fi là t n s c a nhóm i trong b ng phân ph i t n s ghép l p. 3.3. B ng phân ph i 2 chi u Trang 2
  4. 4. Các tham s đ c trưng m u • C m u: n. • Trung bình m u: n xi i=1 (2) x= n trong đó xi là giá tr quan sát đư c trên đơn v th i. • Phương sai m u: n (xi − x)2 i=n s2 = (3) n • Đ l ch chu n m u: √ s2 (4) s= • Phương sai m u hi u ch nh: n (xi − x)2 i=n s2 = (5) n−1 • Đ l ch chu n m u hi u ch nh: √ s2 (6) s= Trư ng h p b ng s li u có d ng 3.2. Trang 3
  5. • Trung bình m u: n xi fi i=1 (7) x= n fi i=1 n trong đó fi = n là kích c m u. i=1 • Phương sai m u: n (xi − x)2 fi i=n s2 = (8) n fi i=1 • Đ l ch chu n: √ s2 (9) s= • Phương sai m u hi u ch nh: n (xi − x)2 fi i=n s2 = (10) n fi − 1 i=1 • Đ l ch chu n m u hi u ch nh: √ s2 (11) s= Ví d 3. Gi s ta có s li u v ti n lương (nghìn đ/tu n) c a 2 nhóm công nhân như sau: Nhóm 1: 300, 400, 500, 600, 700 Nhóm 2: 400, 450, 500, 550, 600 a) So sánh s trung bình m u v ti n lương gi a 2 nhóm công nhân. b) So sánh đ l ch chu n m u hi u ch nh v ti n lương gi a 2 nhóm công nhân. Nh n xét. Gi i: Nhóm 1: x1 = 500, s2 = 20000 (V N D2 ) 1 Nhóm 2: x2 = 500, s2 = 5000 (V N D2 ) 2 Trang 4
  6. Nh n xét: M c dù ti n lương trung bình c a 2 nhóm công nhân là b ng nhau nhưng đ l ch chu n m u hi u ch nh c a nhóm 1 cao hơn nhóm 2 nên đ phân tán c a nhóm 1 v ti n lương l n hơn so v i nhóm 2 (ta cũng có th nói là nhóm 2 có m c ti n lương "đ ng đ u" hơn nhóm 1). Ví d 4. Gi s ta có s li u v lư ng nư c tiêu th (m3 /tháng) c a 200 h gia đình t i huy n X như sau: Lư ng nư c tiêu th (m3 /tháng) Sh 0 - 25 24 25 - 50 66 50 - 75 80 75 - 100 20 100 - 125 10 C ng 200 Tính các tham s đ c trưng m u: x, s. 5. Hình dáng phân ph i c a m t t p d li u 5.1. Khái ni m v Histogram và Diagram • Histogram Bi u đ Histogram đư c v t b ng phân ph i t n s v i tr c n m ngang mô t bi u hi n c a các nhóm, tr c đ ng mô t t n s . Nh n xét: Histogram cho ta c m nh n v b n ch t c a t p d li u đó là 1 t p d li u có phân ph i cân x ng hay không cân x ng. Ví d 5. Đ nghiên c u tình hình năng su t lao đ ng c a công nhân t i m t xí nghi p, ngư i ta ch n ng u nhiên m t m u 50 công nhân và thu đư c k t qu như sau: Năng su t lao đ ng (kg) S công nhân 20 - 30 14 30 - 40 18 40 - 50 10 50 - 60 5 ≥60 3 C ng 50 Trang 5
  7. Histogram c a b ng s li u trên là sơ đ sau • Diagram Cho ta c m nh n v m i liên h gi a 2 giá tr quan sát thông qua m t s lo i đ th tiêu bi u là Crosstabulation và Scatter Diagram. • Crosstabulation Là phương pháp có th dùng đ tóm t t d li u đ ng th i cho giá tr quan sát x và y. Ví d 6. Zargat là m t d ch v cung c p các d li u v các nhà hàng n m kh p nơi trên th gi i. D li u d a trên các bi n khác nhau như là đánh giá ch t lư ng và giá c c a b a ăn đư c ch n l a. Bi n ch t lư ng đư c đánh giá trên các tiêu chí "T t, R t t t, Tuy t v i" và bi n giá c đư c tính t $10 đ n $49. Zargat ti n hành kh o sát m t m u g m 300 nhà hàng khu v c Los Angeles và thu đư c k t qu như sau: Trang 6
  8. Nhà hàng Ch t lư ng Giá c 1 Tt 18 2 R tt t 22 3 Tt 28 4 Tuy t v i 38 5 R tt t 33 6 Tt 28 7 R tt t 19 8 R tt t 11 9 R tt t 23 10 Tt 13 ... ... ... B ng Crosstabulation Giá c Ch t lư ng 10-19 20-29 30-39 40-49 T ng s Tt 42 40 2 0 84 R tt t 34 64 46 6 150 Tuy t v i 2 14 28 22 66 78 118 76 28 300 T ng s • Scatter Diagram Là đ th bi u th m i liên h gi a hai bi n đ nh lư ng Ví d 7. Trong su t 10 tu n, m t c a hàng đã s d ng chương trình truy n hình đ qu ng cáo cho m t hàng c a mình nh m thúc đ y doanh s bán hàng. Nhà qu n lý mu n đi u tra m i liên h gi a s l n lên sóng c a m t hàng và doanh s c a c a hàng. S li u thu đư c trong 10 tu n đư c th hi n trong b ng sau: Trang 7
  9. Tu n S l n lên sóng Doanh s (đơn v $100) x y 1 2 50 2 5 57 3 1 41 4 3 54 5 4 54 6 1 38 7 5 63 8 3 48 9 4 59 10 2 46 Đ th Scatter 5.2. Phân ph i cân đ i và phân ph i l ch • Phân ph i cân đ i: Là phân ph i mà d li u n m đ i x ng v i nhau xung quanh giá tr trung bình m u Trang 8
  10. • Phân ph i l ch: Là phân ph i mà d li u n m l ch v m t bên so v i giá tr trung bình m u. Trang 9
  11. Chương 1 Xác su t và công th c tính xác su t 1. Nh c l i v đ i s t h p 1.1. Quy t c c ng N u m t công vi c có th th c hi n theo k phương án A1 , A2 , ..., Ak và m i phương án Ai có ni (i = 1, 2, ..., k ) cách th c hi n thì s cách th c hi n công vi c là k n= ni = n1 + n2 + .. + nk . i=1 Ví d 8. M t ngư i mu n mua m t đôi giày c 39 ho c 40. C 39 có hai màu đen và tr ng, c 40 có ba màu đen, tr ng và nâu. Khi đó s cách ch n mua giày c a ngư i đó là 2 + 3 = 5. 1.2. Quy t c nhân N u m t công vi c bao g m k giai đo n và m i giai đo n có ni (i = 1, 2, ..., k ) cách th c hi n thì s cách th c hi n công vi c là k n= ni = n1 n2 ...nk . i=1 Trang 10
  12. Ví d 9. Trong m t trò chơi, m i thí sinh ph i ch n m t trong 5 câu h i tr c nghi m có s n c a ban t ch c đ tr l i, m i câu h i có 4 l a ch n. Khi đó s kh năng x y ra là 5 × 4 = 20. Ví d 10. Ngư i ta phát hành vé s , trên m i vé g m 6 s đư c ch n t các ch s 0, 1, 2, ..., 9. H i có th có bao nhiêu t vé s đư c phát hành? 1.3. Hoán v Cho t p h p có n ph n t (khác nhau). M i cách s p x p n ph n t theo m t th t đư c g i là m t hoán v . S hoán v c a n ph n t là Pn = n ! Quy ư c: 0! = 1. Ví d 11. M t bàn có 4 h c sinh. H i có bao nhiêu cách x p ch ng i. M i cách s p x p ch ng i cho 4 h c sinh theo m t th t là m t hoán v c a 4 ph n t . S cách x p ch ng i là s hoán v c a 4 ph n t P4 = 4! = 24. 1.4. Ch nh h p Cho t p h p có n ph n t (khác nhau). M i nhóm k ph n t (1 ≤ k ≤ n) có th t c a t p h p này đư c g i là m t ch nh h p ch p k c a n. S ch nh h p ch p k c a n ph n t là n! Ak = . n (n − k )! Quy ư c: A0 = 1. n Ví d 12. Có th l p đư c bao nhiêu s t nhiên g m 3 ch s khác nhau t các s 1, 2, 3, 4, 5. Trang 11
  13. M i m t s t nhiên có 3 ch s khác nhau t o thành t các ch s 1, 2, 3, 4, 5 là m t ch nh h p ch p 3 c a 5. S các s t nhiên có 3 ch s khác nhau t o thành t các ch 5! s 1, 2, 3, 4, 5 là: A3 = = 20. 5 (5 − 3)! Ví d 13. Có th l p đư c bao nhiêu s t nhiên g m 4 ch s khác nhau t các s 0, 1, 2, ..., 6. 1.5. T h p Cho t p h p có n ph n t (khác nhau). M i nhóm k ph n t (1 ≤ k ≤ n) c a t p h p này đư c g i là m t t h p ch p k c a n. S t h p ch p k c a n ph n t là n! k Cn = . k !(n − k )! Ví d 14. M t h p đ ng 9 th , các th đư c đánh s 1, 2, ..., 9. Có bao nhiêu cách ch n 3 th t 9 th trên (không phân bi t th t c a các th )? Vì không phân bi t th t c a các th trong m i l n ch n nên m i cách ch n m t b 3 g m 3 th t 9 th là m t t h p ch p 3 c a 9. S cách ch n m t b 3 th t 9 th là C9 . Ví d 15. M t l p h c có 30 h c sinh nam và 20 h c sinh n . C n l p ra m t đ i văn ngh g m 5 nam và 5 n t các h c sinh nói trên. H i có bao nhiêu cách th c hi n vi c này. Tính ch t = Cn −k k n Cn Cn+1 = Cn + Cn−1 (H ng đ ng th c Pascal). k k k 1.6. Nh th c Newton Nh th c Newton n Cn an−k bk = Cn an + Cn an−1 b + Cn an−2 b2 + ... + Cn −1 abn−1 + Cn bn . n k 0 1 2 n n (a + b) = k=0 Trang 12
  14. Tam giác Pascal n=0: 1 n=1: 1 1 n=2: 1 2 1 n=3: 1 3 3 1 n=4: 1 4 6 4 1 n = 5 : 1 5 10 10 5 1 n = 6 : 1 6 15 20 15 6 1 n = 7 : 1 7 21 35 35 21 7 1 ... Ví d 16. Cho t p h p có n ph n t . Có bao nhiêu t p h p con c a t p h p trên? Gi s t p h p A có n ph n t . Vì các ph n t trong m t t p h p không phân bi t th t nên m i t p h p con g m k ph n t (0 ≤ k ≤ n) c a A là m t t h p ch p k c a n k và s cách ch n m t t p h p con g m k ph n t t n ph n t c a A là Cn . Vì v y s t p h p con c a A là Cn + Cn + Cn ... + Cn = (1 + 1)n = 2n . 0 1 2 n Trang 13
  15. B ng tóm t t Đ i s t h p Trang 14
  16. 2. Các khái ni m 2.1. Phép th và bi n c Xét vi c tung m t đ ng xu cân đ i, đ ng ch t trên m t ph ng n m ngang (đi u ki n nh t đ nh) thì thư ng ch có 2 kh năng x y ra: ho c xu t hi n m t ng a "N" (m t ng a là m t hi n giá tr c a đ ng xu) ho c xu t hi n m t s p "S". Vi c xu t hi n m t s p hay ng a là ng u nhiên (không d đoán trư c đư c). T p h p các trư ng h p x y ra {S, N } đư c g i là không gian m u và vi c tung đ ng xu v i các đi u ki n trên g i là phép th ng u nhiên. Phép th ng u nhiên đư c xem như là m t quá trình th c hi n m t nhóm các đi u ki n và quan sát hi n tư ng mà k t qu c a nó không đoán trư c đư c. T p h p các k t qu có th x y ra c a m t phép th g i là không gian m u, kí hi u Ω. Ví d 17. Trong phép th tung hai đ ng xu, n u xét k t qu xu t hi n là m t "s p" S hay "ng a" N thì không gian m u s là Ω = {SS, SN, N S, N N }. Ngư i ta quy ư c m t "ng a" là m t hi n giá tr c a đ ng xu và m t "s p" là phía ngư c l i. Ví d 18. Tuy nhiên n u ta quan tâm đ n t ng s m t s p S xu t hi n trong phép th tung hai đ ng xu thì không gian m u s là Ω = {0; 1; 2}. Ví d 19. N u ngư i ta th c hi n tung m t đ ng xu cho đ n khi xu t hi n m t s p S thì không gian m u c a phép th này s là Ω = {1; 2; 3; 4; ...}. Ví d 20. Xét phép th tung 2 con xúc s c cân đ i, đ ng ch t. Xác đ nh không gian m u c a phép th . Bi n c là m t t p h p con c a không gian m u. Ngư i ta thư ng kí hi u các bi n c b ng các ch cái in hoa: A, B, C, ... Bi n c A g i là bi n c sơ c p n u A ch ch a m t ph n t c a không gian m u Ω. Ví d 21. Trong ví d 17, bi n c "có ít nh t m t m t s p" là A = {SS, SN, N S } Trang 15
  17. Ví d 22. Trong ví d 17, các bi n c sơ c p là A1 = {SS }, A2 = {SN }, A3 = {N S }, A4 = {N N } Bi n c ch c ch n là bi n c luôn x y ra. Không gian m u là Ω là bi n c ch c ch n. Bi n c không th là bi n c không th x y ra, kí hi u ∅. Ví d 23. B ng s li u v trình đ h c v n và gi i tính c a 26293 ngư i tu i t 18 tr lên trong Đi u tra m c s ng c a dân cư m t vùng trong năm 2006 đư c th hi n như sau: Ch n ng u nhiên m t ngư i trong m u này. Hãy xác đ nh không gian m u và các bi n c sơ c p. 2.2. Quan h c a các bi n c 2.2.1. Bi n c tích (bi n c giao) Tich c a hai bi n c A và B , kí hi u A ∩ B ho c A.B , là bi n c "A và B đ ng th i x y ra". Ví d 24. Xét phép th tung hai đ ng xu. G i A là bi n c "xu t hi n m t s p đ ng xu th nh t", B là bi n c "xu t hi n m t s p đ ng xu th hai". Khi đó A ∩ B là bi n c "xu t hi n m t s p c hai đ ng xu". Trang 16
  18. Ví d 25. M t l p có 30 sinh viên bi t ít nh t m t trong hai ngo i ng Anh văn ho c Pháp văn, trong đó có 20 sinh viên gi i Anh văn, 15 sinh viên gi i Pháp văn. H i có bao nhiêu sinh viên gi i c hai môn. T ng quát n Tích c a n bi n c A1 , A2 , ..., An , kí hi u là Ai = A1 .A2 ...An , là bi n c "A1 , A2 , ..., An i=1 đ ng th i x y ra". 2.2.2. Bi n c h p H p c a hai bi n c A và B , kí hi u A ∪ B , là bi n c "ít nh t m t trong hai bi n c A, B x y ra". Trong trư ng h p A.B = ∅ thì ta dùng kí hi u A + B thay cho A ∪ B . Ví d 26. Xét phép th tung ba đ ng xu. G i A là bi n c "xu t hi n đúng hai m t s p trong ba đ ng xu", B là bi n c "xu t hi n m t s p c ba đ ng xu". Khi đó A ∪ B là bi n c "có ít nh t hai m t s p trong ba đ ng xu". T ng quát n Ai = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An , là bi n c "ít nh t H p c a n bi n c A1 , A2 , ..., An , kí hi u là i=1 m t trong các bi n c a1 , A2 , ..., An x y ra". 2.2.3. Bi n c xung kh c Bi n c A và B g i là xung kh c n u chúng không đ ng th i x y ra trong m t phép th , nghĩa là A ∩ B = ∅. Trang 17
  19. Ví d 27. Xét phép th trong ví d 26. Bi n c A ∩ B = ∅ nên A và B là hai bi n c xung kh c Ví d 28. Xét phép th tung m t con xíuc s c cân đ i đ ng ch t. Các bi n c nào sau đây là xung kh c v i nhau? A là bi n c "xu t hi n m t ch n". B là bi n c "xu t hi n m t nh ". C là bi n c "xu t hi n m t l ". D là bi n c "xu t hi n m t nh t ho c tam". 2.2.4. Bi n c kéo theo Bi n c A g i là kéo theo bi n c B , kí hi u A ⊂ B , n u A x y ra thì B x y ra. Ví d 29. Xét phép th tung hai đ ng xu, B là bi n c "m t s p xu t hi n ít nh t m t l n" và A là bi n c "m t s p xu t hi n trong c 2 l n tung đ ng xu". Khi đó n u bi n c A x y ra thì bi n c B cũng x y ra (A ⊂ B ). Do đó bi n c A là kéo theo bi n c B . 2.2.5. Bi n c bù (bi n c đ i l p) Bi n c bù c a bi n c A, kí hi u A ho c Ac , là bi n c "A không x y ra". Ví d 30. Xét phép th tung m t đ ng xu 2 l n và A là bi n c "m t s p S xu t hi n ít nh t m t l n". Khi đó bi n c bù A là bi n c "m t s p không xu t hi n trong c 2 l n tung đ ng xu". Ví d 31. B n l n lư t ba viên đ n vào m t bia. G i Ai là bi n c "viên đ n th i trúng bia" (i = 1, 2, 3). Khi đó bi n c 1. "có đúng m t viên đ n trúng bia" là A = A1 .A2 .A3 ∪ A1 .A2 .A3 ∪ A1 .A2 .A3 . Trang 18
  20. 2. "có đúng hai viên đ n trúng bia" là B = A1 A 2 A3 ∪ A1 A2 A 3 ∪ A 1 A2 A3 . 3. "có 3 viên đ n trúng bia" là C = A1 A 2 A3 . 4. "không có viên đ n nào trúng bia" là D = A 1 . A2 . A3 . 2.2.6. M t vài tính ch t Gi s A, B, C là các bi n c trong không gian m u Ω. Khi đó ta có các tính ch t sau: 1. Tính ch t giao hoán A.B = B.A và A ∪ B = B ∪ A. 2. Tính ch t k t h p (A.B ).C = A.(B.C ) và (A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ). 3. Lu t De-Morgan A ∪ B = A.B . A.B = A + B . A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An = A1 . A2 . . . A n . A1 .A2 . . . An = A1 ∪ A2 . . . ∪ An . 4. A + A = Ω và A.A = ∅. 3. Xác su t và công th c tính Xác su t là m t đ i lư ng th hi n m c đ x y ra (thư ng xuyên hay ít khi) c a m t bi n c . S gán cho bi n c A, kí hi u là P (A), g i là xác su t c a bi n c A. 3.1. Đ nh nghĩa xác su t 3.1.1. Đ nh nghĩa xác su t theo quan đi m c đi n Gi s không gian m u Ω c a m t phép th g m có n(Ω) bi n c sơ c p, các bi n c sơ c p này là đ ng kh năng và bi n c A g m có n(A) bi n c sơ c p (n(A) là s ph n t c a A). Khi đó xác su t c a bi n c A là s n(A) P (A) = . n(Ω) Trang 19
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2